Cấu Trúc Điện Tử Và Tính Chất Truyền Dẫn Của Các Siêu Mạng Graphene.pdf

LỜI MỞ ĐẦU iii MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU 1 1 Lí do chọn luận văn 1 2 Mục đích nghiên cứu 2 3 Phương pháp nghiên cứu 2 4 Đối tượng nghiên cứu 2 5 Cấu trúc luận văn 2 Chương 1 TÍNH CHẤT ĐIỆN TỬ CỦA GRAPHENE 4[.]

iii MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU 1 Lí chọn luận văn Mục đích nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Cấu trúc luận văn Chương 1: TÍNH CHẤT ĐIỆN TỬ CỦA GRAPHENE 1 Cấu trúc mạng tinh thể graphene 1.2 Cấu trúc vùng lượng graphene 1.3 Mơ hình Dirac 1.4 Nghịch lý Klein chui ngầm Chiral 10 1.5 Hiệu ứng Hall lượng tử khác thường 14 Chương CẤU TRÚC ĐIỆN TỬ VÀ TÍNH CHẤT TRUYỀN DẪN CỦA SIÊU MẠNG GRAPHENE ĐƠN LỚP 18 2.1 Tổng quan siêu mạng graphene 18 2.2 Phương pháp ma trận chuyển (Transfer matrix) 20 2.3 Phổ lượng siêu mạng đơn lớp graphene 27 Chương KẾT QUẢ VÀ THẢO LUẬN 33 3.1 Các điểm Dirac 33 3.2 Biểu thức tán sắc vùng lượng nhỏ 38 3.3 Vận tốc nhóm điểm Dirac 40 3.4 Tensor độ dẫn 44 KẾT LUẬN 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO 50 iii LỜI MỞ ĐẦU Lí chọn luận văn Giải thưởng Nobel năm 2010, giải thưởng danh giá khoa học tôn vinh hai nhà khoa học Vật lý gốc Nga Andre Geim Konstantin Novoselov với cơng trình nghiên cứu tìm vật liệu graphene hai chiều Đây kiện mang tính đột phá ngành vật lý nói chung ngành vật lý hệ thấp chiều nói riêng Thời gian gần dạng cấu trúc nano khác carbon nghiên cứu ứng dụng nhiều như: cầu fullerences C60 ống nano carbon (Carbon nanotube) Kể từ lần chế tạo thành cơng vật liệu graphene, với tính chất vật lý thú vị (cấu trúc điện tử lượng thấp, độ linh động điện tử cao,…) graphene thu hút quan tâm đặc biệt giới khoa học nói chung nhà khoa học vật liệu nói riêng.Graphene trở thành tâm điểm thu hút ý khoa học lĩnh vực ứng dụng điểm bật sau [4] Thứ nhất: Tại lân cận điểm Dirac, hạt tải graphene có vận tốc khoảng 1/300 vận tốc ánh sáng lại hành xử hạt tương đối tính khơng khối lượng Thứ hai: Hệ khí điện tử hai chiều vật liệu graphene có tính chất khác biệt so với hệ khí điện tử hai chiều thơng thường dị cấu trúc bán dẫn Do có cấu trúc mạng tổ ong nên vật liệu có cấu trúc vùng lượng khác biệt Trong năm gần đây, nhà khoa học mặt tìm cách phát triển vật liệu tựa graphene (như silicene, phosphorene, molybdenum disulfide,…), mặt khác cố gắng tạo nên vật liệu khác từ graphene Để thay đổi cấu trúc điện tử graphene người ta áp vào tuần hoàn bên để tạo siêu mạng graphene [30] Về mặt thực nghiệm, sử dụng phương pháp lắng đọng chùm điện tử, mẫu siêu mạng với chu kỳ nm “in” lên graphene [25] Phương pháp epitaxi nuôi graphene bề mặt kim loại ruthenium hay iridium tạo mẫu siêu mạng với chu kỳ mạng khoảng 3–10 nm Về mặt lý thuyết, có nhiều cách thức khác để tạo cấu trúc tuần hoàn graphene sử dụng tĩnh điện hay hàng rào từ Người ta rằng, siêu mạng graphene với tuần hoàn chiều dẫn đến xuất điểm Dirac cấu trúc điện tử ảnh hưởng đến tính chất truyền dẫn graphene, bao gồm tính dị hướng vận tốc nhóm hạt tải [26].Với tính chất vật lý thú vị vậy, lựa chọn hướng “Cấu trúc điện tử tính chất truyền dẫn siêu mạng graphene đơn lớp” làm đề tài luận văn Kết đề tài giúp học viên hiểu sâu tính chất vật lý siêu mạng graphene làm quen với phương pháp nghiên cứu cấu trúc điện tử tính chất truyền dẫn vật liệu thấp chiều Mục đích nghiên cứu Mục tiêu đề tài bước đầu tìm hiểu tính chất vật lý siêu mạng graphene; khảo sát cấu trúc điện tử tính chất truyền dẫn siêu mạng graphene đơn lớp với chiều Phương pháp nghiên cứu Trong luận văn, để giải toán đặt ra, sử dụng phương pháp ma trận chuyển (Transfer matrix) để xác định hàm sóng, phương trình tán sắc, hệ số phản xạ truyền qua, Kết giải tích tính tốn số phần mềm Matlab Đối tượng nghiên cứu Tính chất truyền dẫn cấu trúc điện tử siêu mạng graphene đơn lớp với tuần hoàn chiều Cấu trúc luận văn Ngoài phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, Luận văn gồm 03 chương sau: Chương 1: Tổng quan tính chất điện tử graphene Chương 2: Tính chất điện tử truyền dẫn siêu mạng graphene đơn lớp Chương 3: Kết thảo luận Chương 1: TÍNH CHẤT ĐIỆN TỬ CỦA GRAPHENE 1 Cấu trúc mạng tinh thể graphene Graphene đơn lớp mạng tinh thể hai chiều tạo từ nguyên tử carbon (C) xếp cấu trúc lục giác Cấu trúc hình thành việc lồng ghép hai mạng tam giác đối xứng với Hệ vector sở dùng để xác định vị trí tất nút mạng tinh thể chọn sau a1  acc a (3, 3); a2  cc (3,  3) 2 (1.1) acc  1,42 Å khoảng cách hai nguyên tử C gần [22] Các vector có độ dài hợp với góc 60 độ Từ xác định vector sở mạng đảo b1  2 2 (1, 3); b2  (1,  3) 3a 3a Hình 1.1.Mơ hình mạng tinh thể graphene [1] (1.2) Hình 1.2.Cấu trúc mạng đảo vùng Brillouin[22] Vùng Brillouin vẽ hình lục giác với đỉnh đánh dấu K K’, trung điểm cạnh M Các điểm K K’ gọi điểm Dirac Vị trí chúng khơng gian xung lượng xác định [22]  2 2  '  2 2  (1.3) K  ,  , K   3a ,  3a   3a 3a   Ba vector gần không gian mạng thực cho bởi: δ1= a a (1, √3), δ2= (1,− √3), δ3= − a (1,0) 2 (1.4) 1.2 Cấu trúc vùng lượng graphene Để xác định cấu trúc vùng lượng graphene,chúng ta sử dụng phương pháp gần liên kết chặt (Tight-binding model) Hamiltonian cho điện tử graphene xét đến liên kết cặp nguyên tử gần có biểu thức H  t  (a i , j ,  ,i  b ,i  c)  t '  i , j , (a  ,i a ,i  b  ,ib ,i  c) (1.5) Trong đó: t  2,67 eV lượng nhảy hai nút mạng gần t' lượng nhảy hai nút mạng Hc liên hiệp Hermitic  ta  i + + b j Các kí hiệu , bj , ai, b jlà toán tử sinh, hủy điện tử hai i, j mạng A, B vị trí tương ứng RiA, RjB[1] Thực phép biến đổi Fourier ta có b j N e ikR j B bk ;   k N e  ikR j A ak  k (1.6) với N số đơn vị mạng tinh thể graphene Thay biểu thức (1.6) vào (1.5) viết lại Hamiltonian dạng H   t i, j   t i, j A A 1 ik ' R B ik ' R B e ikRi ak   e j bk '  Hc   t  (e  kRi ak  )(e j bk ' )  Hc  N k N k ,k ' k' i, j i ( k ' R B  kR A ) (e j i ak bk ' )  Hc  N k ,k ' Hình 1.3.Các liên kết lân cận mạng tinh thể graphene [1] (1.7) Trong mơ hình liên kết chặt, ứng với nguyên tử tính đến tác dụng ba nguyên tử lân cận gần hình 1.3 Trên hình 1.3 ta có: RjB = RjA + ei(j)hay ei(j)= RjB - RjA với j = 1,2,3 ei (1)  a(1, 0); ei (2)  a( 1 1  , ); ei (3)  a( , ) 2 2 (1.8) (1.9) Thay (1.8) (1.9) vào phương trình (1.7) ta được: H   t i, j  ( k ,k ' N k'  (e i ( k '  k ) Ri A e ik ' ei ( j ) ak  bk ' )  hc k ,k ' e i ( k '  k ) Ri A i   ( k N )(t. e ik '( R j B  Ri A ) )(ak  bk ' )  hc j A ik '( R B  R A ) ei ( k '  k ) Ri )(t. e j i )(ak  bk ' )  c  N i j (1.10)    (k ' k )hk ak  bk '  hc   hk ak bk '  hc k k' k   (hk ak bk '  hk bk ak )  *  k Trong :  (k ' k )  N e i ( k '  k ) Ri A i hk  h(k )  t  e ik ( R j B  Ri A ) i( j)  t e i( j) ikei ( j ) (1.11) Biểu thức (1.10) viết lại dạng ma trận sau  H k  H (k )   *  hk hk   0 (1.12) Ở đây, trị riêng H(k) giá trị lượng riêng có điện tử Thực chéo hóa ma trận (1.12) thu E (k ) hk hk * E (k )   E (k )  hk *hk   E (k )   hk (1.13) Thay giá trị ei(j)ở (1.9) vào (1.11) sau thay vào (1.13) thu biểu thức lượng E (k )  t  4cos( 3k y a ) cos( 3k y a )  4cos ( 3k y a ) (1.14) Từ cơng thức (1.14) thấy, với giá trị vector trạng thái k tương ứng có hai giá trị lượng E Trên hình 1.4 dải π ứng với dấu (+), dải π* tương ứng dấu (-) biểu thức (1.14) Hai dải lượng lượng vùng dẫn vùng hóa trị Chúng đối xứng tiếp xúc sáu đỉnh hình lục giác vùng Brillouin, điểm gọi điểm Dirac Tại điểm Dirac lượng E = Tại điểm lân cận dải lượng có dạng mặt nón trịn xoay giá trị lượng điện tử E(k) tỉ lệ tuyến tính với độ lớn vectơ sóng k lân cận điểm Hình 1.4 Cấu trúc vùng lượng graphene vùng Brillouin I [1] a) Đồ thị không gian ba chiều; b) Đồ thị chiếu lên mặt phẳng kx, ky Một tính chất điện tử quan trọng hấp dẫn vật liệu graphene cấu trúc hai mặt nón lượng đối xứng khoảng lượng xung quanh mức Fermi Điều dẫn đến hệ miền lượng điện tử có biểu tương tự hạt fermion tương đối tính khơng khối lượng Do tính chất điện graphene mơ tả tương đối tốt mơ hình Dirac hai chiều xem xét điện tử bên lớp graphene hạt (giả hạt) fermion tương đối tính khơng khối lượng trạng thái chuyển động đặc trưng vận tốc Fermi 1.3 Mơ hình Dirac Như nói tính chất điện tử graphene mơ tả tốt mơ hình Dirac hai chiều Trong mục xem xét mơ hình Dirac cho điện tử miền lượng thấp mức lượng thấp điện tử ưu tiên chiếm chỗ Thực khai triển hk lân cận điểm Dirac với k vô bé gần bậc ta có [1]: hk  t  e i ( K  k ).ei ( j ) i( j)  t e i( j) iKei ( j )  t e iKe i ( j ) e ikei ( j ) i( j)  t e i( j) iKei ( j )  t e iKei ( j ) (1  ikei ( j ) ) i( j) ikei ( j )  t  e iKei ( j ) ikei ( j ) i( j) Xét điểmDirac K  2 a (1.15) 1   ,  Khi đó:     i i (  k ) 3 3 t.a.(k x  ik y )e  t.a.e k 2 k  k  arctan( y ) kx hk ( K )  (1.16) Thay biểu thức (1.16) vào (1.12) thu ma trận Hamiltonian điện tử lân cận điểm K  Hk   * hk  hk     i 0   ( k  ik ) e y  F x    F (k x  ik y )e     i (1.17) Có thể thấy Hamiltonian (1.17) điện tử lân cận điểm K giống với Hamiltonian hạt không khối lượng chuyển động tương đối tính với vận tốc Fermi thay cho vận tốc ánh sáng Kết tương tự mơ hình Dirac thể cho hạt tương đối tính Vì phương trình mơ tả chuyển động điện tử graphene lân cận điểm K gọi phương trình tựa Dirac dạng Hˆ k   E  Hˆ k   F  pˆ x x  pˆ y y    F  pˆ   (1.18) 45 (a) (b) Hình 3.7 Sự phụ thuộc lượng độ dẫn  xx  yy với độ cao rào u  6   vF  20 [10] k BTL Ở cần ý rằng,  xx hàm dao động mức Fermi phục hồi biểu giả tuyến tính (tương tự trường hợp graphene khơng siêu mạng)  F lớn so với độ cao rào Về trung bình, giá trị  yy tăng dần theo  F tiến dần đến giá trị độ dẫn graphene không siêu mạng Sự biến đổi độ dẫn  xx  yy có nguyên nhân chuyển dịch mức Fermi qua mini vùng khác siêu mạng Chú ý rằng, trường hợp Wb  0.4 , độ dẫn bất đối xứng electron lỗ trống Trong hai trường hợp Wb  Ww  0.5 Wb  0.4 , độ dẫn  xx có đáy vị trí  F  n  xx không bị ảnh hưởng điểm 46 Dirac vùng lượng thấp phổ lượng gần phẳng lân cận điểm Tương tự vậy, Wb  0.4 , độ dẫn  yy có giá trị nhỏ  F  , giá trị lượng để xuất hai điểm Dirac phổ lượng Hình 3.8 biểu diễn phụ thuộc lượng độ dẫn  xx  yy siêu mạng graphene với độ cao rào u  , 4 , 4.5 , 6 , 7.5   vF  20 Wb  Ww  0.5 [7][10] k BTL (a) (b) Hình 3.8 Sự phụ thuộc lượng độ dẫn  xx  yy với độ cao rào u  , 4 , 4.5 , 6 , 7.5   vF  20 Wb  Ww  0.5 [10] k BTL 47 Có thể thấy vùng lượng thấp (  F  ), độ dẫn  yy nhỏ giá trị độ dẫn graphene khơng siêu mạng, độ dốc lại tăng nhanh độ cao rào tăng Điều có nguyên nhân bởi, điểm Dirac xuất độ cao rào lớn, vận tốc lân cận chúng tăng nhanh dọc theo trục y Chú ý rằng,  F  có biểu thức  xx   yy hệ bất đẳng thức lân cận điểm Dirac vx  v y Kết luận chương Trong chương này, chúng tơi thực tính tốn số kết giải tích thu cho siêu mạng với đơn lớp graphene chương Chúng xuất điểm Dirac tuần hoàn, điều kiện để xuất điểm Dirac mới,… trường hợp độ rộng hố hàng rào khác Đồng thời, chúng tơi tập trung khảo sát tính chất thú vị lân cận điểm Dirac đường cong tán sắc, vận tốc nhóm,…và tensor độ dẫn siêu mạng graphene 48 KẾT LUẬN Với đối tượng nghiên cứu siêu mạng graphene, luận văn tơi thu kết sau: - Bản luận văn cung cấp tổng quan graphene, siêu mạng graphene - Cung cấp tổng quan phương pháp ma trận chuyển ứng dụng phương pháp ma trận chuyển nghiên cứu tượng truyền sóng qua hàng rào tuần hồn Từ chúng tơi tiếp cận tốn đơn lớp graphene tuần hồn chiều, đưa phương trình tán sắc lượng - Từ phương trình tác sắc lượng chúng tơi thực tính tốn số kết giải tích cho siêu mạng với đơn lớp graphene Chúng tơi xuất điểm Dirac tuần hồn, điều kiện để xuất điểm Dirac mới,… trường hợp độ rộng hố hàng rào khác Đồng thời, tập trung khảo sát tính chất thú vị lân cận điểm Dirac đường cong tán sắc, vận tốc nhóm,…và tensor độ dẫn siêu mạng graphene Các kết lý thuyết luận văn ý nghĩa cho nhà nghiên cứu thực nghiệm cơng nghệ liên quan tới tính chất điện siêu mạng graphene Các kết phân tích số liệu chúng tơi thuộc tính điểm Dirac mới, cấu trúc khe vùng hy vọng sử dụng để thực nghiệm thêm đắn Ngồi phương pháp sử dụng luận văn cịn có nhiều phương pháp tiếp cận khác để có kết Cũng phương pháp cịn ứng dụng nhiều mơ hình khác Hướng nghiên cứu tiến hành thời gian tới để có kết phù hợp với thực nghiệm Luận văn hồn thành với mong muốn góp phần vào hoàn chỉnh tranh chung graphene ứng dụng Tuy nhiên thời gian có hạn hạn chế tài liệu chuyên nghành đồng thời 49 vật liệu q trình tìm hiểu nên thơng số cịn chưa đầy đủ nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Vì em kính mong Thầy, Cơ bạn đóng góp thêm nhiều ý kiến để em chỉnh sửa luận hồn thiện Mọi ý kiến đóng góp xin gửi địa chỉ: Hatranb9@gmail.com 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tài liệu Tiếng Việt Lê Hoàng Anh (2015), Nghiên cứu tính chất điện tử, quang học truyền dẫn vật liệu graphene hướng tới ứng dụng điện tử quang điện tử, tr 5-9, Luận án tiến sĩ khoa học, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội Lê Thị Bích Liên (2015), Chất bán dẫn graphene, tr 16-18, Khóa luận tốt nghiệp đại học, Trường Đại học sư phạm Huế Lưu Thị Phượng (2015), Cấu trúc vùng lượng siêu mạng grapheme hai lớp, tr.19, 20, Luận văn thạc sĩ khoa học, Trường Đại học Quốc Gia Hà Nội Cấn Thị Thu Thủy (2015), Hệ Exciton dải băng graphene, tr 1, Luận văn Thạc sĩ khoa học, Trường Đại học Quốc gia Hà Nội Hoàng Mạnh Tiến (2008), Chui ngầm Ballistic shot noise cấu trúc nano graphene, tr 22 - 24, Luận văn tốt nghiệp đại học, Trường Đại học Quốc Gia Hà Nội Tài liệu Tiếng Anh Abromowitz M., Stegun I A (1965), “Handbook of Mathematical Functions”, (Dover, New York), pp 777-782 Barbier M (2012), “Transport properties of nanostructures and superlattices on single-layer and bilayer graphene”, PhD thesis, University of Antwerp Barbier M., Peeters F M., Vasilopoulos P., Pereira J M (2008), “Dirac and Klein-Gordon particles in one-dimensional periodic potentials”, Physical Review B 77, 115446 Barbier M., Vasilopoulos P., Peeters F M (2010), “Single-layer and bilayer graphene superlattices: collimation, additional Dirac points and Dirac lines”, Philosophical Transactions of the Royal Society A368, pp 5499–5524 51 10 Barbier M., Vasilopoulos P., Peeters F M (2010), “Extra Dirac points in the energy spectrum for superlattices on single-layer graphene”, Physical Review B 81, 075438 11 Brey L., Fertig H A (2009), “Emerging Zero Modes for Graphene in a Periodic Potential”, Physical Review Letters 103, 046809 12 Charbonneau M., van Vliet K M., Vasilopoulos P (1982), “Linear response theory revisited III: One body response formulas and generalized Boltzmann equations”, Journal of Mathematical Physics 23, 318 13 Davies J H (1996), “The physics of low-dimentional semiconductors”, Cambridge University Press 14 Esaki L., Tsu R (1970), “Superlattice and Negative Differential Conductivity in Semiconductors”, IBM Journal of Research and Development 14 (1), pp 61-65 15 Griffiths D J., Steinke C A (2001), “Waves in locally periodic media”, American Journal of Physics 69, 137 16 Ho J H., Chiu Y H., Tsai S J., Lin M F (2009), “Semimetallic graphene in a modulated electric potential”, Physical Review B 79, 115427 17 Kiang D (1974), “Multiple scattering by a Dirac comb”, American Journal of Physics 42, pp 785–787 18 Lang S (1987), “Linear Algebra” (Springer, New York), 3rd ed., pp 241 19 Markoš P., Soukoulis C M (2008), “Wave Propagation: From Electrons to Photonic Crystals and Left-Handed Materials”, Princeton University Press (New Jersey, US) 20 Merzbacher E (1998), “Quantum Mechanics”, (New York), 3rd ed 21 Meyer J C., GiritC O., Crommie M F., Zettl A (2008), “Hydrocarbon lithography on graphene membranes”, Applied Physics Letters 92, 123110 52 22 Neto A H.C., Geim A K., Novoselov K.S., Guinea F., Peres N M R (2009), “The electron properties of graphene”, Reviews of Modern Physics 81, pp.109–162 23 Novoselov K S., Geim A K., Morozov S V., Jiang D., Zhang Y., Dubonos S V., Grigorieva I.V., Firsov A A (2004), “Electric field effect in atomically thin carbon films”, Science, 306, pp.666-669 24 Novoselov K S., Geim A K., Morozov S V., Jiang D., Katsnelson M I., Grigorieva I V., Dubonos S V., Firsov A A (2005), “Twodimensional gas of masslessDirac fermions in graphene”, Nature 438, pp 197-200 25 Park C-H., Yang L., Son Y-W., Cohen M L., Louie S G (2008) “New Generationof Massless Dirac Fermions in Graphene under External Periodic Potentials”,Physical Review Letters 101, 126804 26 Park C-H., Yang L., Son Y-W., Cohen M L., Louie S G (2008), “Anisotropic behaviours of massless Dirac fermions in graphene under periodic potentials”, Nature Physics 4, pp 213–217 27 Park C.-H., Son Y.-W., Yang L., Cohen M L., Louie S G (2009), “Landau Levels and Quantum Hall Effect in Graphene Superlattices”, Physical Review Letters 103, 046808 28 Sarma S.D., Adam S., Hwang E H., Rossi E (2011), “Electron transport in two–dimensional graphene”, Reviews of Modern Physics 83, 407 29 Wallace P R (1947), “The band theory of graphite”, Phys Rev 71, 622 30 Wang L.- G., Zhu S.-Y (2010), “Electronic band gaps and transport properties in graphene superlattices with one-dimensional periodic potentials of square barriers”, Physical Review B 81, 205444 31 Xu Y., Hen Y., Yang Y (2015), “Transmission gaps in graphene superlattices with periodic potential patterns”, Physica B 457, pp.188-193 P1 PHỤ LỤC Dưới số chương trình Matlab sử dụng luận văn P1 Chương trình vẽ cấu trúc vùng lượng siêu mạng graphene độ rộng giếng hàng rào Ww  Wb  u  9 đường đẳng vùng dẫn % clc;clear all;close all; u=9*pi; lambda=@(ky,e)((e+u/2).^2-ky.^2).^(1/2); gamma=@(ky,e)((e-u/2).^2-ky.^2).^(1/2); G=@(ky,e)((e+u/2).*(e-u/2)-ky.^2)./(lambda(ky,e).*gamma(ky,e)); % -figure(21) fimplicit3(@(kx,ky,e)cos(kx)cos(lambda(ky,e)/2).*cos(gamma(ky,e)/2)+G(ky,e).*sin(lambda(ky,e)/2).*sin (gamma(ky,e)/2),[-1.5*pi 1.5*pi -6*pi 6*pi -1.5 1.5]); xlabel('k_x');ylabel('k_y');zlabel('\epsilon'); % -figure(22) fimplicit3(@(kx,ky,e)cos(kx)cos(lambda(ky,e)/2).*cos(gamma(ky,e)/2)+G(ky,e).*sin(lambda(ky,e)/2).*sin (gamma(ky,e)/2),[-0.8*pi 0.8*pi 4*pi 1.2]); xlabel('k_x');ylabel('k_y');zlabel('\epsilon'); view(2) % - P2 P2 Chương trình vẽ cấu trúc vùng lượng siêu mạng graphene độ rộng giếng hàng rào tương ứng Ww  0.6; Wb  0.4 u  5 đường đẳng vùng dẫn vùng hóa trị mặt phẳng ( k x , k y ) % clc;clear all;close all; % -figure(31) u=5*pi;ww=0.6; lambda=@(ky,e)((e+u*(1-ww)).^2-ky.^2).^(1/2); gamma=@(ky,e)((e-u*ww).^2-ky.^2).^(1/2); G=@(ky,e)((e+u*(1-ww)).*(e-u*ww)-ky.^2)./(lambda(ky,e).*gamma(ky,e)); fimplicit3(@(kx,ky,e) cos(kx)-cos(lambda(ky,e)*ww).*cos(gamma(ky,e)*(1ww))+G(ky,e).*sin(lambda(ky,e)*ww).*sin(gamma(ky,e)*(1-ww)),[-pi pi 3*pi 3*pi -3 3]); xlabel('k_x');ylabel('k_y');zlabel('\epsilon'); % -figure(32) u=5*pi;ww=0.6; lambda=@(ky,e)((e+u*(1-ww)).^2-ky.^2).^(1/2); gamma=@(ky,e)((e-u*ww).^2-ky.^2).^(1/2); G=@(ky,e)((e+u*(1-ww)).*(e-u*ww)-ky.^2)./(lambda(ky,e).*gamma(ky,e)); fimplicit3(@(kx,ky,e) cos(kx)-cos(lambda(ky,e)*ww).*cos(gamma(ky,e)*(1ww))+G(ky,e).*sin(lambda(ky,e)*ww).*sin(gamma(ky,e)*(1-ww)),[-pi pi 3*pi 3]); xlabel('k_x');ylabel('k_y');zlabel('\epsilon'); view(2) % -figure(33) P3 u=5*pi;ww=0.6; lambda=@(ky,e)((e+u*(1-ww)).^2-ky.^2).^(1/2); gamma=@(ky,e)((e-u*ww).^2-ky.^2).^(1/2); G=@(ky,e)((e+u*(1-ww)).*(e-u*ww)-ky.^2)./(lambda(ky,e).*gamma(ky,e)); fimplicit3(@(kx,ky,e) cos(kx)-cos(lambda(ky,e)*ww).*cos(gamma(ky,e)*(1ww))+G(ky,e).*sin(lambda(ky,e)*ww).*sin(gamma(ky,e)*(1-ww)),[-pi pi 3*pi -3 0]); xlabel('k_x');ylabel('k_y');zlabel('\epsilon'); view(2) % -P3 Chương trình vẽ phụ thuộc lượng theo k y k x  với độ cao khác hàng rào u  4 , 6 , 8 , 12 phụ thuộc lượng theo k y k x  u  9 với độ rộng khác hàng rào Wb  0.5, 0.6, 0.7 % clc;clear all;close all; % figure(41) u=6.5*pi; www=[0.5 0.4 0.3]; for i=1:3 ww=www(i); lambda=@(ky,e)((e+u*(1-ww)).^2-ky.^2).^(1/2); gamma=@(ky,e)((e-u*ww).^2-ky.^2).^(1/2); G=@(ky,e)((e+u*(1-ww)).*(e-u*ww)ky.^2)./(lambda(ky,e).*gamma(ky,e)); P4 fimplicit(@(ky,e)cos(lambda(ky,e)*ww).*cos(gamma(ky,e)*(1-ww))G(ky,e).*sin(lambda(ky,e)*ww).*sin(gamma(ky,e)*(1-ww))-1,[-3*pi 3*pi -3 1.5]); hold on; end % -figure(42) uu=[4*pi 6*pi 8*pi 12*pi]; for i=1:4 u=uu(i); lambda=@(ky,e)((e+u/2).^2-ky.^2).^(1/2); gamma=@(ky,e)((e-u/2).^2-ky.^2).^(1/2); G=@(ky,e)((e+u/2).*(e-u/2)-ky.^2)./(lambda(ky,e).*gamma(ky,e)); %[e,ky] = meshgrid(-1.5:0.05:1.5,-6:0.2:6); fimplicit(@(ky,e)cos(lambda(ky,e)/2).*cos(gamma(ky,e)/2)G(ky,e).*sin(lambda(ky,e)/2).*sin(gamma(ky,e)/2)-1,[0 6*pi -1.5 1.5]); hold on; end xlabel('k_y');ylabel('\epsilon') legend('4\pi','6\pi','8\pi','12\pi') % P4 Chương trình vẽĐường cong tán sắc gần theo phương trình (3.6) đường cong tán sắc từ phương trình (3.1) với k x  u  9 ; chương trình vẽ đường cong tán sắc với u  4 u  8 , Ww  Wb  1/ % clc;clear all;close all; % figure(51) P5 u=9*pi; lambda=@(ky,e)((e+u/2).^2-ky.^2).^(1/2); gamma=@(ky,e)((e-u/2).^2-ky.^2).^(1/2); G=@(ky,e)((e+u/2).*(e-u/2)-ky.^2)./(lambda(ky,e).*gamma(ky,e)); fimplicit(@(ky,e)cos(lambda(ky,e)/2).*cos(gamma(ky,e)/2)G(ky,e).*sin(lambda(ky,e)/2).*sin(gamma(ky,e)/2)-1,[0 3*pi 1]); hold on; % kx=0; ky=0:0.01:3*pi; a=(u^2/4-ky.^2).^(1/2); ee1=4*(a.^4).*(ky.^2.*(sin(a/2).^2)+a.^2.*(sin(kx/2).^2)); ee2=(ky.^4).*a.*sin(a)+(a.^2.*u^4)/16-2*ky.^2.*u^2.*(sin(a/2).^2); ee=sqrt(ee1./ee2); plot(ky,ee,' '); xlabel('k_y');ylabel('\epsilon'); legend('Ham chinh xac','Ham gan dung') % -figure(52) uu=[4*pi 8*pi]; for i=1:2 u=uu(i); lambda=@(ky,e)((e+u/2).^2-ky.^2).^(1/2); gamma=@(ky,e)((e-u/2).^2-ky.^2).^(1/2); G=@(ky,e)((e+u/2).*(e-u/2)-ky.^2)./(lambda(ky,e).*gamma(ky,e)); fimplicit(@(ky,e)cos(lambda(ky,e)/2).*cos(gamma(ky,e)/2)G(ky,e).*sin(lambda(ky,e)/2).*sin(gamma(ky,e)/2)-1,[0 2*pi 2],' '); hold on; % kx=0; ky=0:0.01:2*pi; P6 a=(u^2/4-ky.^2).^(1/2); ee1=4*(a.^4).*(ky.^2.*(sin(a/2).^2)+a.^2.*(sin(kx/2).^2)); ee2=(ky.^4).*a.*sin(a)+(a.^2.*u^4)/16-2*ky.^2.*u^2.*(sin(a/2).^2); ee=sqrt(ee1./ee2); plot(ky,ee) end; xlim([0 5]);ylim([0 1.2]) xlabel('k_y');ylabel('\epsilon'); legend('Ham chinh xac','Ham gan dung') % P5 Chương trình vẽ đồ thị phụ thuộc độ cao hàng rào vận tốc vx v y điểm Dirac theo phương x y Giá trị j  tương ứng với điểm Dirac nguyên thủy, j  1, 2, tương ứng với điểm Dirac % clc;clear all;close all; % u1=0.01:0.01:20; u=u1*pi/4; vy=abs(sin(u)./u) uu=linspace(0,15*pi,100); vyy=ones(length(uu)); % figure(64) plot(uu,vyy,' b');hold on; plot(u1,vy,'-r'); % - P7 for j=1:3 u=4*j:0.01:20; vx=16*j^2./(u.^2); vy=1-16*j^2./(u.^2); plot(u,vy,'-r') plot(u,vx,'-b') end % xlim([0 20]); ylim([0 1.05]); xlabel('u/\pi');ylabel('v_{jx},v_{jy} (v_F)') % -