Phương pháp biến phân để xác định tính ổn định của soliton

1 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Sự tiên đốn sóng điện từ Maxwell năm 1864 mở thời kì khoa học vật lý ngày sóng điện từ lĩnh vực nhiều nhà khoa học quan tâm nghiên cứu Khơng có loại sóng lại có ứng dụng rộng rãi sóng điện từ: từ việc nghiên cứu thiên hà xa xôi, điều khiển tàu vũ trụ, truyền thanh, truyền hình, đến việc chữa bệnh, đun nấu lị vi sóng,…tất sử dụng sóng điện từ Trong ứng dụng nói truyền thơng sóng điện từ phát triển mạnh mẽ Sự truyền sóng điện từ mơi trường phi tuyến có ý nghĩa quan trọng mã hố tín hiệu thơng tin ứng dụng cơng nghệ cáp quang Tính ưu việt hệ thống thông tin quang so với hệ thống thơng tin khác tổn hao lượng thấp, dễ khuyếch đại tín hiệu q trình truyền dẫn tốc độ truyền thông tin lớn Đặc biệt truyền dẫn thơng tin quang tín hiệu truyền có tính ổn định cao không bị méo Để mô tả lan truyền sóng điện từ mơi trường phi tuyến dùng phương trình truyền sóng phi tuyến, phương trình có nhiều nghiệm.Tập hợp nghiệm mô tả xung lan truyền môi trường Trong có nghiệm đặc biệt gọi Soliton, chúng thể truyền xa mà không thay đổi hình dạng ( Solitary wave) Như dùng soliton để mã hố tín hiệu truyền tín hiệu xa mà đảm bảo tính ổn định thơng tin Vì việc nghiên cứu soliton quang học quan tâm Để giải phương trình truyền sóng phi tuyến xác định tính ổn định Soliton phương pháp hiệu phương pháp biến phân Với tầm quan trọng nêu trên, định chọn đề tài nghiên cứu là: “Phương pháp biến phân để xác định tính ổn định soliton” Đề tài tập trung vào dạng phi tuyến cụ thể nhà vật lý nước nghiên cứu nên có tính thời cao Mục đích nghiên cứu Sử dụng phương pháp biến phân Lagrange để giải phương trình vi phân đặc biệt có nhiều ứng dụng vật lý nói chung sợi quang nói riêng, tìm họ nghiệm soliton có xác định tính ổn định soliton Phƣơng pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp biến phân để giải phương trình truyền sóng phi tuyến, tìm nghiệm soliton Kết hợp với việc sử dụng phần mềm Mapble 13 để vẽ hình, qua kiểm tra lại kết tính tốn giải tích Dự kiến kết nghiên cứu Kết nghiên cứu góp phần tạo thêm soliton có tính ổn định cao để sử dụng công nghệ truyền thông cáp quang Nội dung đề tài Nội dung đề tài trình bày ba chương theo bố cục sau: Chương 1: Khảo sát trình lan truyền xung quang học sợi quang Trong chương dẫn phương trình lan truyền xung quang học sợi quang Bao gồm phương trình Schroedinger phi tuyến (NLSE) Hai hiệu ứng quan trọng định đến hình thành soliton quang học hiệu ứng tán sắc vận tốc nhóm (GVD) hiệu ứng tự biến điệu pha (SPM) khảo sát chi tiết Chương 2: Giới thiệu lịch sử đời soliton, soliton hình thành loại soliton Chương 3: Giới phương pháp biến phân Lagrange sử dụng phương pháp biến phân Lagrange để giải phương trình vi phân đặc biệt có nhiều úng dụng vật lý nói chung sợi quang nói riêng, tìm họ nghiệm soliton có xác định tính ổn định soliton Chƣơng SỰ LAN TRUYỀN SĨNG ĐIỆN TỪ TRONG MƠI TRƢỜNG PHI TUYẾN 1.1 Sóng điện từ 1.1.1 Khái niệm sóng điện từ Mối liên hệ điện từ phát lần vào năm 1820 nhà vật lí người Đan Mạch Hans Christian Oersted nhận thấy dòng điện chạy qua dây dẫn tạo lệch hướng kim nam châm Cũng vào cuối năm đó, nhà khoa học người Pháp Andrie Ampère, chứng minh hai dây dẫn mang dịng điện hút đẩy lẫn theo kiểu giống tương tác cực từ Trong vài thập niên sau đó, nghiên cứu khác theo hướng không ngừng tạo chứng cho thấy điện từ có quan hệ gần gũi với Sau đó, phát minh lớn Faraday tượng cảm ứng điện từ Xuất phát từ quan điểm đắn liên quan chặt chẽ tượng tự nhiên, Faraday cho dịng điện gây nên tác dụng từ ngược lại, nam châm (hay dịng điện) gây nên dịng điện Sau nhiều thí nghiệm, Faraday chứng minh điều Ðồng thời Faraday nêu lên ý kiến vai trị mơi trường trung gian tượng điện Ơng khơng thừa nhận tương tác xa mà cho tương tác điện từ truyền qua mơi trường đó, mơi trường đóng vai trị trình điện từ Cuối cùng, vào năm 1865, nhà khoa học người Scotland, James Clerk Maxwell đưa hệ phương trình miêu tả định luật điện trường từ trường biết đến với tên gọi hệ phương trình Maxwell Đây hệ phương trình chứng minh điện trường từ trường thành phần trường thống - điện từ trường Ông chứng minh trường điện từ truyền khơng gian dạng sóng với tốc độ khơng đổi 300 000 km/s đưa giả thuyết ánh sáng sóng điện từ Sóng điện từ chân khơng di chuyển hay truyền theo hướng vng góc với hướng dao động vectơ điện trường (E) từ trường (B), mang lượng từ nguồn xạ đến đích xa vơ hạn Hai trường lượng dao động vng góc với dao động pha theo dạng sóng sin tốn học Các vectơ điện trường từ trường khơng vng góc với mà cịn vng góc với phương truyền sóng Để đơn giản hóa minh họa, người ta thường quy ước bỏ qua vectơ biểu diễn điện trường từ trường dao động, chúng tồn Dù tín hiệu truyền radio phát từ đài phát thanh, nhiệt phát từ lò lửa, tia X nha sĩ dùng để chụp hình răng, hay ánh sáng khả kiến cực tím phát từ Mặt Trời, dạng khác xạ điện từ có tính chất sóng đồng Mỗi loại xạ điện từ, kể ánh sáng khả kiến, dao động theo kiểu tuần hoàn với chỗ lồi lõm, biểu lộ biên độ, bước sóng tần số đặc trưng, với việc định rõ hướng truyền, lượng cường độ xạ Một số đo chuẩn xạ điện từ độ lớn bước sóng (trong chân khơng) Bước sóng định nghĩa khoảng cách hai đỉnh (hay hai lõm) sóng liên tiếp dạng sóng Tần số tương ứng sóng phát số chu kì sin (số dao động, hay số bước sóng) qua điểm cho trước giây, tỉ lệ với nghịch đảo bước sóng Như vậy, bước sóng dài ứng với xạ tần số thấp bước sóng ngắn ứng với xạ tần số cao Mối liên hệ lượng sóng điện từ tần số cho phương trình: E = hf=hc/λ Ánh sáng khả kiến biểu tính chất sóng kinh điển, đồng thời bộc lộ tính chất có xu hướng hạt, thể rõ ràng qua thực thể có lượng xung lượng (nhưng khơng có khối lượng nghỉ) gọi photon Trong đề tài tập trung nghiên cứu lan truyền loại sóng điện từ cụ thể laser dạng xung 1.1.2 Laser Ánh sáng tự nhiên ánh sáng nhân tạo thông thường phát thay đổi lượng mức nguyên tử phân tử xảy mà khơng cần có can thiệp từ bên ngồi Tuy nhiên, loại ánh sáng thứ hai tồn xảy nguyên tử hay phân tử giữ lượng dư thừa bị cưỡng phải phát lượng dạng ánh sáng Laser chế tạo để tạo khuếch đại dạng ánh sáng cưỡng thành chùm có cường độ mạnh tập trung Laser từ viết tắt Light Amplification by the Stimulated Emission of Radiation (Khuếch đại ánh sáng phát xạ cưỡng bức) Tính chất đặc biệt ánh sáng laser khiến cho kĩ thuật laser trở thành công cụ thiết yếu mặt đời sống hàng ngày Mặc dù laser phát ánh sáng khả kiến phổ biến nhất, ngun lí áp dụng cho nhiều vùng phổ điện từ Sự phát xạ cưỡng thu vùng vi ba phổ điện từ, laser có mặt thị trường cịn phát ánh sáng cực tím, hồng ngoại tiến tới thực theo hướng tạo laser vùng phổ tia X Các laser thực tế sử dụng có cơng suất phát từ miliwatt nhiều kilowatt số tạo nghìn tỉ watt xung cực ngắn Các phịng thí nghiệm thuộc qn đội phịng thí nghiệm khác chế tạo thiết bị laser chiếm tòa nhà, laser phổ biến sử dụng dụng cụ bán dẫn kích thước hạt cát Laser sử dụng rộng rãi điều trị y khoa, phẫu thuật việc cắt, hàn giàn khung thép, cao su plastic Nhiệt từ laser dùng để hàn điểm kim loại Bên cạnh laser sử dụng thủ thuật y khoa xác cao khác dán lại võng mạc sau mổ tách kĩ thuật phẩu thuật mắt người, sửa chữa mạch máu hỏng, cắt đốt cháy mô Phần lớn mạng viễn thông giới truyền dẫn việc gửi tín hiệu laser dạng xung nhiều dặm đường sợi cáp quang Những đồ tạo tác mang ý nghĩa văn hóa tranh thời cổ đại, thường thẩm định rạn nứt, hỏng hóc phục hồi với hỗ trợ laser Cùng với máy tính điện tử, mạch tích hợp vệ tinh nhân tạo, cơng nghệ laser ngày đóng vai trị quan trọng phát triển xã hội 1.1.3 Hệ phương trình Maxwell điện từ trường Các phương trình Maxwell bao gồm định luật điện trường từ trường, phương trình bản, tổng quát điện từ trường môi trường đứng yên * Phương trình thứ phương trình định luật Gauss cho cảm ứng điện: D   (1.1) * Phương trình thứ hai phương trình định luật Gauss cho cảm ứng từ: đường sức từ khơng có điểm xuất phát kết thúc, chúng khép kín xa vơ tận B  (1.2) * Phương trình thứ ba cơng thức định luật Faraday cho từ trường, cho biết làm biến thiên từ trường sinh hiệu ứng điện:  E   B t (1.3) * Phương trình thứ tư định luật Ampere với bổ sung Maxwell, cho biết biến thiên điện trường sinh từ trường nào: D , (1.4)  H  j  t với D = εε0E = ε0 E+P (P vectơ phân cực môi trường), B = µ0H, P = PL+PNL (1.5) Trong PL PNL thành phần tuyến tính thành phần phi tuyến vectơ phân cực P Thuyết Maxwell giải thích tượng biết, mà cịn tiên đoán nhiều tượng quan trọng Giả thuyết hoàn toàn thuyết Maxwell giả thuyết trường dòng điện dịch Trên sở đó, Maxwell tiên đốn lý thuyết tồn sóng điện từ, tức từ trường biến thiên, truyền không gian với vận tốc xác định 1.2 Sự lan truyền sóng điện từ mơi trƣờng phi tuyến 1.2.1 Giới thiệu quang học phi tuyến Quang học phi tuyến nghiên cứu tượng xuất hệ biến đổi phi tuyến tính chất quang học hệ vật chất có diện ánh sáng Thông thường, chùm sáng laser cường độ đủ mạnh làm biến đổi tính chất quang học hệ vật chất Một cường độ ánh sáng đạt đến mức giới hạn đó, ta quan sát tương tác phi tuyến tính liên quan chủ yếu đến biến đổi phi tuyến vectơ phân cực P môi trường theo cường độ điện trường E ánh sáng Những tượng phi tuyến thường quan sát với công suất ánh sáng cực lớn cung cấp laser dạng xung Sự đời quang phi tuyến thường tính từ phát minh Franken tạo sóng hài bậc II vào năm 1961, thời gian ngắn sau Maiman phát minh tia laser vào năm 1960 Môi trường mà độ phân cực điện mơi tỉ lệ tuyến tính với cường độ trường điện tác động lên gọi mơi trường tuyến tính: P = χE (1.6) Ở hệ số tỉ lệ χ phụ thuộc vào điều kiện vật lí chất điện mơi gọi độ cảm điện môi Tuy nhiên, công thức trường hợp cường độ điện trường nhỏ Nếu cường độ điện trường tác động lên mơi trường vật chất lớn độ phân cực khơng cịn tỉ lệ tuyến tính với (E) [8] P = χ(1)E(t) + χ(2)E2(t) + χ(3)E3(t) +… (1.7) χ(1) gọi độ cảm tuyến tính, χ(2) χ(3) tương ứng độ cảm phi tuyến bậc II bậc III… Môi trường mà độ phân cực khơng tỉ lệ tuyến tính với cường độ trường điện tác động lên gọi mơi trường phi tuyến Chính mối quan hệ phi tuyến độ phân cực điện môi điện trường môi trường phi tuyến làm nảy sinh loạt tượng quang học khác thường tự hội tụ, chỉnh lưu quang học, tán xạ Brillouin v.v 1.2.2 Phương trình lan truyền sóng điện từ mơi trường phi tuyến Như ta biết cường độ ánh sáng đạt đến mức giới hạn đó, phản ứng môi trường trở thành phi tuyến, hệ số phản xạ hấp thụ phụ thuộc vào cường độ ánh sáng, ta quan sát biến đổi phi tuyến vectơ phân cực P môi trường theo cường độ điện trường E ánh sáng Vì sóng ánh sáng đơn sắc khác lan truyền trong môi trường bị ảnh hưởng lẫn dẫn đến xuất hàng loạt hiệu ứng phi tuyến hiệu ứng suy hao, hiệu ứng tự biến điệu pha (SPM), hiệu ứng tán sắc vận tốc nhóm (GVD) Dưới tác dụng hiệu ứng tín hiệu bị méo bị phá hủy làm ảnh hưởng đến chất lượng thông tin tốc độ truyền tin Tuy nhiên điều kiện định, ảnh hưởng hiệu ứng tán sắc vận tốc nhóm hiệu ứng tự biến điệu pha triệt tiêu lẫn Khi đó, xung lan truyền mà khơng thay đổi hình dạng, soliton Trong phạm vi nghiên cứu đề tài, để đơn giản hố tơi đưa vào số giả thiết sau: - Mơi trường khơng có điện tích tự (j = 0; ρ = 0), phép gần tốt cho sợi quang - Mơi trường khơng có từ tính (M = 0), sợi quang mơi trường - Bước sóng trường quang học lan truyền sợi quang xa miền cộng hưởng môi trường (0,5 – 2μm) - Phép xấp xỉ lưỡng cực hợp lệ, q trình thơng số bậc hai trộn ba sóng phát hồ âm bậc hai bỏ qua Trong thực nghiệm chúng xảy hiệu ứng tứ cực lưỡng cực từ, nhiên chúng nhỏ - Véctơ phân cực phi tuyến PNL xem nhiễu loạn nhỏ so với véctơ phân cực toàn phần P - Phần ảo hệ số điện môi  ( ) (biểu diễn hấp thụ lượng môi trường) nhỏ so với phần thực, nghĩa hao phí sợi quang nhỏ, điều phép xấp xỉ tốt bước sóng xung quang học xa miền bước sóng cộng hưởng sợi quang - Trường quang học phân cực phẳng (thẳng) giữ nguyên dọc theo chiều dài sợi quang Chẳng hạn véctơ cường độ điện trường E dao dộng theo phương xác định trục x (phương phân cực trường quang học) phương lan truyền trục z trùng với trục sợi quang Do ta đưa toán ba chiều toán chiều - Trường quang học thỏa mãn điều kiện chuẩn đơn sắc, nghĩa trường tập hợp sóng phẳng đơn sắc với tần số trung tâm 0 độ rộng phổ  thoả mãn  0  Điều cho phép áp dụng phép xấp xỉ hàm bao biến đổi chậm Ta biểu diễn xung dạng trường có đường bao biến đổi chậm sau: [8] E ( z, t )  A( z, t )ei ( k0 z 0t )  c.c (1.8) 10 A( z, t ) hàm bao phức biến thiên chậm theo thời gian (trong chu kì dao động sóng mang hàm bao biến thiên không đáng kể) c.c liên hợp phức A( z, t ) exp i0t  z  A( z, t ) A( z, t ) tương ứng độ lớn cường độ xung – đại lượng thực tế ta đo Từ hệ phương trình Maxwell ta thu [8]:     E   0 2 2 D      E 0 t t (1.9) Ta tìm phương trình sóng:  E  (.E )    c t E  (1.10) Kết hợp với (1.8), có tính đến yếu tố phi tuyến ta có phương trình mơ tả lan truyền hàm bao biến thiên chậm A( z, t ) xung quang học: [8] A   A i    A A, z t (1.11) đó:  dvg ( )   , v (  ) d  g   2      n0 (0 )n20 , 2 0 tần số góc trung tâm xung, n0 n2 chiết suất tuyến tính chiết suất phi tuyến môi trường ánh sáng Phương trình (1.11) gọi phương trình truyền sóng phi tuyến Hai thành phần vế phải tương ứng với hiệu ứng tán sắc hiệu ứng phi tuyến Tuỳ thuộc vào độ rộng ban đầu T0 biên độ xung tới A0 mà hiệu ứng tán sắc hay phi tuyến ảnh hưởng nhiều hay đến q trình lan truyền xung Để thuận tiện người ta đưa vào hai chiều dài 28 |u(ξ,τ)|2 Hình 2.7 Dạng black soliton khơng đổi trình lan truyền [6] 2.3 Kết luận chƣơng Xung lan truyền sợi quang chịu tác dụng đồng thời hai hiệu ứng GVD SPM dẫn tới dịch chuyển tần số theo hai hướng đối diện Điều tạo xung cho hai hiệu ứng tự biến điệu pha tán sắc vận tốc nhóm cân với Xét thành phần tần số cao hiệu ứng tán sắc vận tốc nhóm làm cho chúng lan truyền nhanh hiệu ứng tự biến điệu pha làm giảm tốc độ lan truyền chúng Như tổng hợp hai hiệu ứng cho xung khơng thay đổi q trình lan truyền Đó soliton Nếu xung quang học có dạng scant –hyperbol, với độ rộng xung T0 đỉnh công suất P0 chọn cho N=LD/LNL số nguyên khi:  N = 1, NLSE cho nghiệm soliton bản, dạng khơng thay đổi độ dài lan truyền tùy ý  N > 1, NLSE cho nghiệm soliton bậc cao, dạng có thay đổi tuần hồn theo chu kì Nếu xung lan truyền chế độ tán sắc thường sợi quang soliton tìm dark soliton (soliton đen) 29 Chƣơng SỬ DỤNG PHƢƠNG PHÁP BIẾN PHÂN ĐỂ TÌM NGHIỆM SOLITON VÀ XÁC ĐỊNH TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA SOLITON 3.1 Giới thiệu phƣơng pháp biến phân Cuối kỉ XVII, việc giải số tốn cổ điển địi hỏi phải có cơng cụ giải tích phù hợp Từ u cầu đó, phương pháp biến phân (phép tính biến phân) đời Khi phương pháp biến phân ứng dụng để giải số toán như: + Bài toán Dido: Tìm diện tích lớn với đường bao có chu vi cố định + Bài tốn Plateau: Tìm bề mặt có diện tích nhỏ với đường bao có điều kiện giới hạn Ứng dụng thực tế xác định hình dạng màng xà phịng khơng gian + Đường tối đoản thời Johnhann Bernoulli: Tìm đường điểm để vật, tác dụng trọng lực khơng có vận tốc đầu, chuyển động thời gian nhắn + Hình dạng dây treo: Xác định hình dạng dây treo điểm cố định khơng khí cách cực tiểu hố 3.2 Phiếm hàm biến phân cấp phiếm hàm Phiếm hàm đơn giản tích phân phụ thuộc vào việc lựa chọn số hàm y(x) thuộc dạng: x2 J   F  x, y ( x), y '( x) dx (3.1) x1 Bài toán phép tính biến phân tìm hàm y(x) làm cho phiếm hàm J đạt cực trị thoả mãn điều kiện biên : y( x1 )  y1 , y( x2 )  y2 (3.2) 30 Giả sử hàm y(x) nghiệm cần tìm tốn biến phân Ta tìm điều kiện cần mà hàm phải thoả mãn để phiếm hàm J đạt cực trị Muốn vậy, ta lập hàm y ( x) gần với hàm y(x) y ( x)  y( x)   ( x) (3.3) Trong  tham số bé y B y2  ( x) y ( x) y1 y(x) A O x1 x2 x Hình 3.1 Mơ tả tốn biến phân Đường cong y=y(x) biểu diễn nghiệm cần tìm Đường y ( x) gần với đường y(x) có chung điểm mút A , B  ( x1 )   ( x2 )  (3.4) Thay (3.3) vào (3.1) ta có hàm  x2 J ( )   F  x, y ( x)   ( x), y '( x)   '( x)  dx (3.5) x1 Do tốn tìm cực trị phiếm hàm (3.1) đưa xét cực trị hàm biến J ( ) Như biết, muốn cần phải tìm giá trị đạo hàm dJ   Ta có: d 31  F  dJ F     ( x)   '( x)  dx d x1  y y '  x (3.6) Tích phân thứ hai (3.6) áp dụng phương pháp tích phân phần ý điều kiện biên (3.4) Do (3.6) viết lại sau :  F d F  dJ    ( )   ( x)dx d x1  y dx ' y '  x Từ ta có : x2  F d  F    dJ      ( x)dx       d  0 x1  y dx  y '   (3.7) (   y ( x)  y( x) ) Mà  ( x) hàm tuỳ ý nên từ (3.7) ta dẫn đến phương trình sau đây: d  F  F 0   dx  y '  y (3.8) (3.8) gọi phương trình Euler – Lagranger Đây phương trình vi phân thường cấp hai Nghiệm chứa hai số tuỳ ý Những số xác định từ điều kiện biên (3.2) Vậy là, hàm y(x) phải tìm - nghiệm toán biến phân nêu phải thoả mãn phương trình Euler – Lagranger (3.8) Có thể phát biểu kết thu dạng khác, đưa vào khái niệm biến phân cấp phiêm hàm J Biến phân cấp một phiếm hàm (3.1) đại lượng xác định biểu thức : 32  dJ  J     d  0 (3.9) Do (1.8) viết lại sau : x2  F J   x1  y  d  F       ydx  dx  y '   (3.10) Trong  y định nghĩa sau:  y  y ( x)  y( x) (3.11) Đẳng thức (3.10) chứng tỏ hàm y(x) nghiệm toán biến phân triệt tiêu biến phân cấp phiếm hàm J 3.3 Sử dụng phƣơng pháp biến phân để tìm nghiệm soliton phƣơng trình Schroedinger phi tuyến bậc ba Xét phương trình Schroedinger phi tuyến : i  ( y, t )    yy ( y, t )  g1D  ( y, t )  ( y, t ) t (3.12) Trong đó: y    , t  y t  yy   2 y Phương trình (3.12) suy từ hàm mật độ Lagrange: J  i( t *  t* )  y y  g1D *2  (3.13) Thật vậy, áp dụng phương trình Euler-Lagrange cho J ta có:  J  J J ( ) ( )  t  t y  y  Với J (3.13) (3.14) 33 J   J    i  ( ) i  t t  t t J  J    y  ( )    yy  y y y J    2    t  g1D     g1D     2 t (     ) Thay vào (3.14) ta : i      yy  g1D     t (3.15) Lấy liên hợp phức chuyển vế (3.15) ta phương trình (3.12) i     yy  g1D   t Để giải phương trình ta sử dụng hàm mật độ Lagrange (3.13) đưa vào Ansatz dạng Gaussian: y2  ( y, t )  A(t )exp{  [  ib(t )]  i (t )} V (t ) (3.16) y 2V y2  t  A[ (  ib)  i  ]exp[ (  ib)  i ] V V (3.17) y2   A exp[ (  ib)  i ] V (3.18) y 2V y2   A[ (  ib)  i ]exp[ (  ib)  i  ] V V (3.19) y 2V y2  t  A [  (  ib)  i ]exp( ) V (3.20) Ta có:   t Suy ra:   t  A2 [  Lại có: y 2V y2 (  ib)  i ]exp( ) V (3.21) 34 y2  y   Ay(  ib)exp[ (  ib)  i ] V V y (3.22) y2   y  A y (  b ) exp( ) V V  y 2 (3.23) y2    ( )  A exp( ) V 2  (3.24) Thay (3.20), (3.21),(3.23) (3.24) vào (3.13) ta hàm mật độ y2 y2 y2    1 J  [A2 ( y 2b  2 )e V  A2 y (  b )e V  g1D A4e V ] V Lagrangian hiệu dụng: L  (3.25)   Jdy    y2 y2  y2    1 L   A2 (b   b2 )  y 2e V dy  A2  e V dy  g1D A4  e V dy (3.26) V    Áp dụng tích phân Poatxong ta có:  I1   e  y2 V2 dy  V    I2    e y2 V2 dy  V   Và tích phân phần ta tìm được:  I3  ye   y2 V2 V2 dy   e   y2 V2 V3  dy  Thay I1, I2, I3 vào (3.26) ta A2V  A4V  2 L (b   b )  A V   g1D V 2 bV b2V A2V  A  (V     g1D ) 4V 2 Sử dụng phương trình Euler-Lagrange cho b(t): (3.27) 35  L L ( ) 0 t b b (3.28) L V3  L  A2  ( )  ( )   A2  V 2V t b b (3.29) L  A  V 3b b (3.30) Với: Thay (3.29) (3.30) vào (3.28) ta có: 3V  A2  V 2V  A2  bV   b  2V (3.31) Nghiệm soliton tương ứng với b   V  b  Thay vào (3.16) ta được: L  A2  (V  1  g1D A2V ) 4V 2 (3.32) Phương trình Euler-Lagrange cho V(t):  L L ( )  t V V Do V   (3.33) L  nên từ (3.33) ta có: V L  V (3.34) Với L xác định (3.32) (3.34) tương đương với:   1 1  g1D A2       g1D A2 4V 4V 2 2    Sử dụng điều kiện chuẩn hoá:   dy  N     dy  N   Với  (3.16) điều kiện (3.36) viết thành:  A2 e   y2 V2 dy  N  A2  V  N (3.35) (3.36) 36 N  A V  (3.37) Thay A tìm vào (3.35) ta được:   1 g1D N  4V 2 V Sử dụng phương trình Euler-Lagrange: Vì (3.38)    ( )  t V V   0  kết hợp với (3.38) ta có: V V g N 2  1D   V  2V g1D N 2 V (3.39) Thay V (3.39) vào (3.38) g12D N g12D N g12D N     8 4 8   g12D N t 8 (3.40) Thay V (3.39) vào (3.37) ta tìm được: A N g1D 2 (3.41) Thay b=0 A,φ tìm từ (3.40) (3.41) vào (3.16) ta tìm nghiệm soliton phương trình Schroedinger phi tuyến:  ( y, t )  N g12D g12D N exp( y  it ) 4 8 2 N g1D Để xác định nghiệm tìm (3.42) có phải nghiệm soliton phương trình Schroedinger phi tuyến: i  ( y, t )    yy ( y, t )  g1D  ( y, t )  ( y, t ) t Ta tìm Hamiltonian:  H     H dy  (3.42) 37 Với H  i   (  yy  g1D   ) t    H  (    yy dy  g1D   dy )   (3.43) y2  ( y, t )  A exp{   i1D t} 2V Ta có ansatz: Trong A xác định từ điều kiện chuẩn hố: A  (3.44) N V  ’ y2 A2 y V    yy   (1  )e V V (3.45) y2   A exp( ) V (3.46) Thay (3.45), (3.46) vào (3.43) sử dụng tích phân Poatxong ta tìm được: N g1D A2  N 4V  H (  g1D A ) (  ) 4V 4V 2 2 V (3.47) N g1D H N  (  ) V 2V 2 V H 0 V V  N g1D N   0 2V 2 V 2 g1D N N g1D  H 3N   V 2V 2 V Thay V tìm vào (3.47) ta có: N g14D 2 H  0 V 8 (3.48) 38 Vậy lượng hệ đạt giá trị cực tiểu V  2 g1D N Hình 3.1 Đồ thị lượng cuả hệ theo V Ta tính được:  1D       yy dy  g1D   dy     dy g1D N g12D N H     N 4V 2 2 V 8  Thay A,V µ1D tìm vào (3.44) ta có nghiệm soliton:  ( y, t )  N g12D g12D N exp( y  it ) 4 8 2 N g1D (3.49) Kết tìm (3.49) (3.42) Điều chứng tỏ hàm ψ(y,t) nghiệm soliton phương trình Schroedinger phi tuyến 39 |ψ|2 Hình 3.2 Soliton tìm chọn g=1, N=100 ∆t=10 3.4 Kết luận chƣơng Bài toán phép tính biến phân tìm hàm y(x) làm cho phiếm hàm J đạt cực trị thoả mãn điều kiện biên x2 Với J   F  x, y ( x), y '( x) dx x1 Trong phương pháp biến phân sử dụng cơng cụ quan trọng, phương trình Euler-Lagrange: d  F  F    dx  y '  y Với việc chọn hàm mật độ Lagrange J ansatz ψ(y,t) phù hợp, sử dụng phương trình Euler-Lagrange ta tìm nghiệm thoả mãn điều kiện cực tiểu lượng, tức lời giải ổn định soliton cần tìm phương trình Schroedinger phi tuyến 40 KẾT LUẬN Xung quang học lan truyền sợi quang chịu ảnh hưởng hiệu ứng tán sắc vận tốc nhóm (GVD) hiệu ứng tự biến điệu pha (SPM) Trong điều kiện định ảnh hưởng hai hiệu ứng triệt tiêu Khi xung lan truyền mà khơng thay đổi hình dạng Các xung soliton Sự đời hệ thống Soliton chìa khóa để giải tốn truyền dẫn tốc độ cao đường dài, khẳng định công nghệ tương lai với ưu điểm trội là: *Các Soliton hình thành từ cân GVD SPM có khả trì độ rộng xung qua khoảng cách lan truyền lớn *Soliton có xung đầu vào bị dịch pha trình lan truyền sợi quang biên độ khơng đổi làm cho trở nên lý tưởng với truyền thơng quang *Có khả ổn định chống lại nhiễu loạn Chúng sử dụng phương pháp biến phân để giải toán Schrodinger phi tuyến tìm nghiệm soliton, lời giải ổn định phương pháp Kết tìm phù hợp với yêu cầu toán Với kết đạt được, đề tài giải vấn đề đặt ra, đồng thời mô tả phương pháp hữu hiệu dùng cho phương trình vi phân đạo hàm riêng với bậc phi tuyến cao hơn, hướng nghiên cứu phát triển mạnh với số lượng cơng trình khổng lồ, khơng lĩnh vực truyền dẫn tín hiệu sợi quang mà cho hệ phi tuyến khác hệ đậm đặc Bose-Einstein 41 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt Nguyễn Chính Cương (chủ biên), Nguyễn Trọng Dũng (2010), Tin học ứng dụng- phương pháp tính số dùng vật lí lí thuyết, NXB ĐH Sư phạm, tr.114-206 Nguyễn Việt Hưng (2005), Lan truyền xung ánh sáng môi trường phi tuyến tán sắc, Luận văn thạc sĩ vật lí, ĐH Vinh Hồ Quang Q, Vị Ngäc S¸u (1997), Laser quang học phi tuyến, Vinh Ngô Quốc Quýnh, Lê Thanh Hoạch (1991), Quang học, ĐH Tổng hợp Hà Nội Đỗ Đình Thanh (chủ biên), Vũ Văn Hùng (2009), Phương pháp tốn lí, NXB GD Thái Đình Thịnh (2009), Khảo sát lan truyền tương tác hai soliton sợi quang, Luận văn thạc sĩ vật lí, ĐH Vinh Trần Tuấn (2002), Quang phi tuyến, Giáo trình Cao học, NXB ĐHQG TpHCM Cao Long Vân (2008), Vật lý đại cương, tập 2, NXB GD, tr 3-28, 173-187 Cao Long Vân, Đinh Xuân Khoa, Marek Trippenbach (2010), Nhập môn quang học phi tuyến, NXBGD Tiếng Anh 10 Agrawal G P (2003), Nonlinear Fiber Optics, Academic, San Diego 11 Anjan Biswas (2009), “Optical solitons with time-dependent dispersion, nonlinearity and attenuation in a power-law media,” Commun Nonlinear Sci Numer Simulat 14, pp 1078– 1081 12 Cao Long Van, Marek Trippenbach, Dinh Xuan Khoa, Nguyen Viet Hung and Phan Xuan Anh (2003), New solitary wave solutions of the higher order nonlinear Schroedinger equation for the propagation of short pulses in an optical Fiber, Proceedings of National Conference on Theoretical Physics 42 13 Cao Long Van, Piotr Goldstein (2009), A concise course on nonlinear diferential equations, Zielona Góra University Press 14 He Guang S., Liu Song H (1999), Physics of Nonlinear Optics, World Scientific 15 Hong Woo-Pyo (2003), New Solitary-wave Solutions for the Higher Order Nonlinear Schroedinger Equation with Both Real and Imaginary Raman Terms, Z Naturforsch 16 Shivani (2014), Performance Analysis of Super Gaussian Optical Solitons in Cubic-Quintic Medium with Perturbation, master’s thesis, Thapar University, India 17 Zegadlo Krzysztof B., Tomasz Wasak, Malomed Boris A., Karpierz Miroslaw A and Marek Trippenbach (2014), “Stabilization of solitons under competing nonlinearities by external potentials”, ul Koszykowa, 75, Warszawa, Poland 18 Zhang Zai-yun, Liu Zhen-hai, Miao Xiu-jin and Chen Yue-zhong (2010), “New exact solutions to the perturbed nonlinear Schroedinger’s equation with Kerr law nonlinearity,” Applied Mathematics and Computation, 216, pp 3064–3072