Phương trình chứa căn thức và một số phương pháp giải

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - - ĐỖ THỊ MAI PHƢƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC VÀ MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THANH HĨA, NĂM 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - - ĐỖ THỊ MAI PHƢƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC VÀ MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Phƣơng pháp tốn sơ cấp Mã số: 8460113 Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS Hoàng Nam THANH HÓA, NĂM 2019 Danh sách Hội đồng chấm luận văn Thạc sĩ khoa học Theo Quyết định số 1897/QĐ-ĐHHĐ ngày 21 tháng 11 năm 2019 Hiệu trưởng Trường Đại học Hồng Đức Học hàm, học vị, Họ tên Cơ quan Công tác Chức danh Hội đồng GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu ĐHQG Hà Nội PGS.TS Đinh Huy Hoàng Trường ĐH Vinh Phản biện PGS.TS Vũ Trọng Lưỡng Trường ĐH Tây Bắc Phản biện GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng Trường ĐH Hồng Đức Ủy viên TS Đỗ Văn Lợi Trường ĐH Hồng Đức Thư ký Học viên chỉnh sửa theo ý kiến Hội đồng Ngày tháng 12 năm 2019 Xác nhận Ngƣời hƣớng dẫn TS Hồng Nam * Có thể tham khảo luận văn Thư viện trường Bộ môn Chủ tịch i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn khơng trùng lặp với khố luận, luận văn, luận án cơng trình nghiên cứu cơng bố Ngƣời cam đoan Đỗ Thị Mai ii LỜI CẢM ƠN Tơi xin chân thành cảm ơn TS Hồng Nam, người thầy trực tiếp giảng dạy, hướng dẫn tạo điều kiện giúp tơi hồn thành luận văn Tơi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, Phịng Đào tạo sau Đại học, khoa Khoa học Tự nhiên trường Đại học Hồng Đức thầy giáo, cô giáo trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ suốt q trình học tập trường Tơi xin trân trọng cám ơn BGH đồng nghiệp thuộc tổ Tốn trường THPT Đặng Thai, xã Quảng Bình, huyện Quảng Xương, tỉnh Thanh Hóa tạo điều kiện thuận lợi để giúp tơi tham gia khóa học thạc sỹ Cuối tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến cha mẹ, người thân, bạn bè tất người giúp đỡ, động viên tơi suốt q trình học tập hồn thành luận văn Thanh Hóa, tháng 11 năm 2019 Tác giả luận văn Đỗ Thị Mai iii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii MỞ ĐẦU CHƢƠNG PHƢƠNG TRÌNH VÀ PHƢƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC 1.1 Khái niệm phương trình 1.2 Phương trình tương đương 1.3 Căn thức bậc n 1.4 Phương trình chứa thức CHƢƠNG MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC 2.1 Phương pháp nâng lên lũy thừa 2.1.1 Dạng phương trình 2.1.2 Cách giải 2.1.3 Một số điểm cần lưu ý giải phương trình 10 2.1.4 Một số ví dụ minh họa 10 2.1.5 Bài tập áp dụng 15 2.2 Sử dụng đẳng thức 16 2.2.1 Dạng phương trình 16 2.2.2 Cách giải 16 2.2.3 Một số điểm cần lưu ý giải phương trình 16 2.2.4 Một số ví dụ minh họa 16 2.2.5 Bài tập áp dụng 18 2.3 Đưa phương trình tích 19 2.3.1 Dạng phương trình 19 2.3.2 Cách giải 19 iv 2.3.3 Một số điểm cần lưu ý giải phương trình 19 2.3.4 Một số ví dụ minh họa 19 2.3.5 Bài tập áp dụng 21 2.4 Phương pháp đặt ẩn phụ đưa phương trình ẩn 21 2.5.Phương pháp đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình 25 2.6 Phương pháp đặt ẩn phụ đưa phương trình hai ẩn 35 2.7 Phương pháp tam thức bậc hai 43 2.8 Phương pháp nhân liên hợp 45 2.9 Phương pháp đánh giá 52 2.10 Phương pháp hàm số 59 2.11 Phương pháp chia khoảng 69 2.12 Phương pháp lượng giác hóa 71 2.13 Phương pháp tọa độ, véc tơ 74 2.14 Phương pháp tham số hóa 79 2.15 Phương trình chứa thức bậc cao (  ) 82 KẾT LUẬN 84 TÀI LIỆU THAM KHẢO 85 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Phương trình chứa thức phần quan trọng chương trình tốn học THCS THPT Phương trình chứa thức thường sử dụng để đề thi kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT thi THPT quốc gia thi tuyển sinh đại học (trước đây) thi học sinh giỏi cấp Để giải phương trình chứa thức ngồi việc việc nắm vững chất phương trình chứa thức, phép biến đổi tương đương phương trình, cịn phải nắm vững phương pháp giải phương trình chứa thức Có nhiều phương pháp để giải phương trình chứa thức ta phải vào đặc thù toán, đối tượng người học mà sử dụng phương pháp cho phù hợp Trong thực tế giảng dạy trường THPT, học sinh gặp nhiều khó khăn giải tốn liên quan phương trình chứa thức Đặc biệt giải phương trình chứa thức đề thi tuyển sinh vào đại học (trước đây) thi học sinh giỏi cấp Học sinh thường lúng túng khơng biết tìm lời giải, nên sử dụng phương pháp để giải Trong đó, phần kiến thức phương trình chứa thức trình bày sách giáo khoa đưa khái niệm, tính chất số ví dụ đơn giản, học sinh chưa hình thành kỹ để xử lý tốn giải phương trình chứa thức nâng cao Đã có nhiều tác giả đề cập tới việc nghiên cứu, tìm tịi phương pháp giải phương trình chứa thức Tuy nhiên, phương pháp giải cịn tốn minh họa chưa thật đa dạng Vì vậy, với mong muốn cung cấp cho giáo viên dạy tốn học sinh THPT có cách nhìn tổng thể, bao quát dạng, phương pháp giải vận dụng linh hoạt phương pháp việc giải phương trình chứa thức, tơi chọn đề tài “Phương trình chứa thức số phương pháp giải ” Làm nội dung Luận văn thạc sỹ, với mục tiêu cung cấp thêm cho thầy dạy tốn chương trình THPT em học sinh, đặc biệt em học sinh giỏi phương pháp giải phương trình chứa thức để giải tốn giải phương trình chứa thức chương trình tốn học phổ thơng Mục đích đề tài Mục đích đề tài nghiên cứu, trình bày cách có hệ thống dạng phương pháp giải phương trình chứa thức chương trình tốn học phổ thông Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu phương trình chứa thức số phương pháp giải phương trình chứa thức Phạm vi nghiên cứu chương trình tốn học phổ thơng Phƣơng pháp nghiên cứu Phương pháp phân tích, tổng hợp từ việc nghiên cứu định lý, tính chất để đề xuất việc ứng dụng việc giải toán THPT Phương pháp đọc sách, tài liệu, nhằm tổng hợp cách giải dạng tập, để khái quát hóa thành phương pháp tổng quát giải dạng tốn Cấu trúc luận văn Ngồi phần Mở đầu, Kết luận Danh mục tài liệu tham khảo, nội dung luận văn gồm có chương: Chƣơng Kiến thức chuẩn bị Chương giới thiệu qua số kiến thức sở cho việc trình bày luận văn, gồm: Các khái niệm số định lý liên quan đến phương trình, phương trình chứa thức, phép biến đổi tương đương giải phương trình Chƣơng Giới thiệu số phương pháp giải phương trình chứa thức ví dụ minh họa, sai lầm mà học sinh hay mắc phải giải phương trình chứa thức CHƢƠNG PHƢƠNG TRÌNH VÀ PHƢƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC 1.1 Khái niệm phƣơng trình Định nghĩa 1.1 Phương trình mệnh đề có chứa biến có dạng f ( x1, x2 , , xn )  g ( x1, x2 , , xn ) (với n  1, n  N ) (1.1) f , g biểu thức , x1, x2 , , xn gọi biến số (ẩn số) phương trình bên phương trình gọi vế phương trình Chẳng hạn phương trình (1.1) có f ( x1, x2 , , xn ) vế trái, g ( x1, x2 , , xn ) vế phải Cho phương trình f ( x)  (1.2) đó, f ( x) biểu thức x , gọi phương trình ẩn Ta gọi f ( x) vế trái phương trình (1.2).[2] Ví dụ 1.1.1 a 3x   b x2  x   c x  3x   phương trình ẩn Định nghĩa 1.2 Nếu có số thực x0 cho f ( x0 )  x  x0 gọi nghiệm phương trình (1.2) Giải phương trình (1.2) tìm tất nghiệm phương trình.[2] Nếu phương trình khơng có nghiệm ta nói phương trình vơ nghiệm Định nghĩa 1.3 Phương trình nhiều ẩn phương trình có dạng f ( x1, x2 , , xn )  , với n  2, n  N Trong phương trình (một nhiều ẩn) ngồi chữ ẩn số cịn chứa chữ khác xem số gọi tham số Giải biện luận phương trình chứa tham số nghĩa xét xem phương 71 2.11.5 Bài tập áp dụng Giải phương trình sau  6 3 x 2 x 2 x4   4  x4  x   x   x   2x  2x   2x  2x x3`  3x2  8x  40  4 x   2.12 Phƣơng pháp lƣợng giác hóa 2.12.1 Dạng phƣơng trình Những phương trình chứa thức bậc hai mà có chứa thức x2  a2 , x  a a  x xa ax xa ta ax sử dụng phương pháp lượng giác hóa để phá thức 2.12.2 Cách giải - Nếu phương trình có có chứa a  x ta đặt x  a.sin t x  a.cos t a a x  sin t cos t - Nếu phương trình có chứa x  a ta đặt x  - Nếu phương trình có chứa x  a ta đặt x  a.tan t - Nếu phương trình có chứa xa ta đặt x  a.cos2t ax 2.12.3 Một số điểm cần lƣu ý giải phƣơng trình Sai lầm thường gặp học sinh - Không đặt điều kiện ẩn hàm lượng giác cho phù hợp, dễ làm 72 - Không biết giải phương trình lượng giác quan tâm đến việc tìm nghiệm phương trình lượng giác mà khơng trả lại việc tìm nghiệm phương trình chứa thức 2.12.4 Một số ví dụ minh họa Ví dụ 2.12.1 Giải phương trình   x  x(1   x ) Lời giải     Điều kiện :  x2   1  x  , ta đặt x = sint với t   ;   2 Khi phương trình cho có dạng   sin t  sin t (1   sin t )   cos t  sin t (1  2cos t ) t t 3t t  2cos  sin t  sin 2t  2cos  2sin cos 2 2 t    cos    t  x  t 3t   2cos (1  sin )       2  3t t   x  sin   Vậy, phương trình có nghiệm x  x  Ví dụ 2.12.2 Giải phương trình x x x 1 2 Lời giải  x 1 Điều kiện x      x  1 Nhận xét vế phải số dương, nên vế trái phải số dương, x  , suy 73 x  Đặt x    , t   0,  Khi phương trình có dạng cos t  2 1 cos t  2 2  cos t sin t 1 cos t  cos t  sin t  cos t  2 sin t.cos t u2 1 Đặt sint + cost = u  u  , ta có sin t cos t    Khi phương trình cho có dạng u   2u  u     u  1  u  2(u  1) 2 u  , ta có   sin t  cos t   sin(t  )   sin(t  )  4 t     2k  t   Kết hợp điều kiện ta có t   2k   x Vậy, nghiệm phương trình x  Ví dụ 2.12.3 Giải phương trình x  ( x  1)2 x 1   2x x( x  1) Lời giải  x0 Điều kiện:   x  1 Đặt x  tan  điều kiện 74         2    0       Khi phương trình trở thành 1    2sin  cos 2  cos 2  cos sin 2 sin 2 cos 2  sin  (2sin   sin   1)   sin   1( L)  2sin   sin    ( Vì sin   )   sin    (TM )  2 Với sin    ta x  tan    2 Vậy, phương trình có nghiệm x   2.12.5 Bài tập áp dụng Giải phương trình sau 1   x  1  x    2  x   x  x2  2x  2x   2x  2x x   x  1 1   2x x 1  x   x2  1  x      3 2 2.13 Phƣơng pháp tọa độ, véc tơ 2.13.1 Dạng phƣơng trình - Là phương trình vơ tỷ chứa thức bậc chẵn (có 02 03 biểu thức chứa trở lên) thức phải viết dạng tổng hai 75 bình phương - Hoặc đưa dạng A2  B2  C  D2  AC  B.D ( A  C )2  ( B  D)2  A2  B  C  D2 2.13.2 Cách giải Bước 1: Đưa biểu thức bậc hai dạng tổng hai bình phương; Bước 2: Sau viết dạng tọa độ điểm tọa độ véc tơ mặt phẳng Oxy: M (x,a), N(f(x),b) u   x1; y1  , v   x2 ; y2  Bước 3: Sử dụng tính chất sau mặt phẳng tọa độ véc tơ: - Cho điểm A, B, C mặt phẳng, ta ln có AB  BC  AC , dấu “=” xảy B nằm A C chúng nằm đường thẳng - Nếu tam giác ABC tam giác , với điểm M mặt phẳng tam giác, ta có MA  MB  MC  OA  OB  OC với O tâm đường tròn, dấu “=” xảy M  O - uv  u  v   x1  x2    y1  y2  2  x12  y12  x22  y22 , dấu “=” xảy hai véc tơ u, v hướng  x1 y1   k  0, x2 y2 ý tỉ số phải dương - u.v  u v cos  u v , dấu “=” xảy cos   u  v - uv  u  v   x1  x2    y1  y2  2  x12  y12  x22  y22 , xẩy hai véc tơ u, v ngược hướng v  - Cụ thể, phương trình dạng dấu 76 A2  B2  C  D2  AC  B.D Thì ta đặt u   A; B  , v   C; D  để đưa phương trình u.v  u v - Đối với phương trình dạng ( A  C )2  ( B  D)2  A2  B  C  D2 ta đặt u   A; B  , v   C; D  đưa phương trình u  v  u  v 2.13.3 Một số điểm cần lƣu ý giải phƣơng trình - Học sinh chưa biết lấy tọa độ để đưa phương trình - Học sinh dấu xảy - Học sinh thương lấy tọa độ điểm thích hợp - Học sinh khơng biết chuyển từ phương trình chứa thức tóan tọa độ, hình học véc tơ 2.13.4 Một số ví dụ minh họa Ví dụ 2.13.1 Giải phương trình x  x   x  10 x  50  Lời giải Phương trình viết dạng x  x   x  10 x  50   ( x  2)2  12  ( x  5)2  52  Trên mặt phẳng tọa độ, ta xét điểm A(2;1), B(5;5), M( x;0) Khi đó, phương trình trở thành MA  MB  AB Với ba điểm M , A, B mặt phẳng, ta ln có bất đẳng thức MA  MB  AB , dấu xảy  A, B, M thẳng hàng M nằm AB  M giao 77 điểm đường thẳng AB với trục hồnh Ta có, phương trình đường thẳng AB 4x  y   Do đó, tọa độ điểm M nghiệm hệ phương trình  4 x  y    x    y    y  Vậy, phương trình có nghiệm x  Ví dụ 2.13.2 Giải phương trình x2  x   x2  (  1) x   x2  (  1) x   [5; tr 280] Lời giải Phương trình viết dạng x  ( x  1)2  ( x  3 )  ( x  )2  ( x  )  ( x  )2  2 2 Trên mặt phẳng Oxy xét điểm A(0;1), B( 3 ;  ), C(  ;  ) điểm 2 2 M ( x; x) , phương trình trở thành MA  MB  MC  Dễ thấy tam giác ABC tam giác ta ln có MA  MB  MC  OA  OB  OC , với O tâm tam giác đều, dấu “=” xảy OA  OB  OC   M  O  x  Vậy, phương trình có nghiệm x  Ví dụ 2.13.3 Giải phương trình x x    x  x  [6; tr 279-280] 78 Lời giải Đặt u  ( x;1), v  ( x  1;  x ) Ta có u.v  x x    x Lại có u v  x  ( x  1)  (3  x)  x  Phương trình cho trở thành u.v  u v  cos(u, v)   u, v hai vec tơ hướng 0 x3  0 x3  x x 1    3x  x  x (3  x)  x   x  x  x    0 x3   x 1  x     x 1  x    x     Vậy, phương trình có hai nghiệm x  1, x   Ví dụ 2.13.4 Giải phương trình x2  x   x  x  10  29 Lời giải Phương trình cho viết dạng x  x   x  x  10  29  ( x  1)2  22  ( x  1)2  32  29 Đặt u  (1  x;2), v  ( x  1;3) , ta có u  v  ( x  1)2  22  ( x  1)  32 u  v  29 79 Phương trình đưa dạng u.v  u v , dấu xảy  u, v hai vec tơ hướng  1 x 1 x  x Vậy, nghiệm phương trình x  2.13.5 Bài tập áp dụng Giải phương trình sau 2  x  x9 x 1 x  x   x  3x   10  3x  x  18  x  x  77 x   x   2( x  3)2  x  x  x   x  18 x  85  10 2.14 Phƣơng pháp tham số hóa 2.13.1 Dạng phƣơng trình Thường phương trình chứa thức gồm có khoảng hai biểu thức có chức thức 2.13.2 Cách giải Bước 1: Ta đưa phương trình dạng kiểu “phương trình bậc hai ẩn” a A b B c Bước 2: Đặt ẩn phụ X  A,Y  B biến đổi phương trình phương trình đường thẳng mặt phẳng 80 ax  by  c  Bước 3: Đưa phương trình dạng phương trình tham số Bước 4: Từ phương trình tham số ta sử dụng phép để qui phương trình ẩn giải phương trình 2.14.3 Một số điểm cần lƣu ý giải phƣơng trình - Học sinh chưa hiểu chất, mục đích đưa phương trình đường thẳng chuyển đổi sang phương trình tham số để làm - Chưa quen biết việc giải hệ 2.14.4 Một số ví dụ minh họa Ví dụ 2.14.1 Giải phương trình x3   12  x3  10 [7] Lời giải Điều kiện: 2  x  12 x3   X , 12  x3  Y (điều kiện X ,Y  ) ta đưa phương trình Đặt dạng X  3Y  10 Ta viết phương trình dạng phương trình tham số  X   3t   Y   t Do X ,Y  nên ta suy điều kiện 1 t 3 Thật vậy,   x3    6t  9t  X   3t  x    3t    3 Y   t  12  x   6t  t   12  x   t Cộng vế với vế hai phương trình ta có 81  t 1 20  10t  10  10t  10  t    t  1( L) Với t=1  x3   16  x3   x  Vậy, nghiệm phương trình x  Ví dụ 2.14.2 Giải phương trình x   x   Lời giải Điều kiện x  3 Đặt x   X , x   Y (điều kiện X  ) ta đưa phương trình dạng X  Y 1 Viết phương trình dạng phương trình tham số, ta có X 1 t   Y  t Do điều kiện X  , nên t  1 Khi   x    2t  t X 1 t  x  1 t    3 x    t  Y  t   x  t   Trừ vế với vế hai phương trình ta có  t  t  2t   t  t  2t   t (t  t  2)  t 0   t  t   0(VN ) Với t=0  x    x  2 Vậy, phương trình có nghiệm x  2 2.14.5 Bài tập áp dụng Giải phương trình sau x3   10  x3  82 2 x   x   2.15 Phƣơng trình chứa thức bậc cao (  ) 2.15.1 Dạng phƣơng trình Phương trình chứa thức bậc cao phương trình chứa ẩn dấu bậc n với n  3, n  N 2.15.2 Cách giải Ta sử dụng phương pháp nâng lên lũy thừa để phá dấu  g ( x)  f ( x)  g ( x)   2n  f ( x)  g ( x)  2n  n1 f ( x)  g ( x)  f ( x)  g 2n1 ( x)  n1 f ( x)  n1 g ( x)  f ( x)  g ( x) đặt ẩn phụ để đưa phương trình, hệ phương trình biết cách giải giải phương pháp đánh giá 2.15.3 Một số điểm cần lƣu ý giải phƣơng trình dạng Học sinh gặp dạng thường ngại giải học sinh khơng định hướng cách giải sao.Học sinh thường cách làm dấu phương pháp nâng lên lũy thừa bậc cao 2.15.4 Một số ví dụ minh họa Ví dụ 2.15.1 Giải phương trình sau  2x  x  Lời giải Phương trình bđã cho tương đương với  x  x    x  ( x  2)5  ( x  2)5  x   Xét hàm số y  ( x  2)5  x   y '  5( x  2)4   83 Hàm số đồng biến R nên phương trình có tối đa nghiệm mà ta có x  nghiệm phương trình Vậy phương trình có nghiệm x  Ví dụ 2.15.2 Giải phương trình sau x    x  x  Lời giải Phương trình bđã cho tương đương với Điều kiện: x  x    x  x  1 x    x  x  1 Vì vế trái hàm số đồng biến Vế phải hàm số nghịch biến với x  Nên phương trình có tối đa nghiệm Ta thấy x  nghiệm phương trình Vậy phương trình có nghiệm x  2.15.5 Bài tập áp dụng Giải phương trình sau: 3x    x3  4 x    x2  x  84 KẾT LUẬN Sau thời gian đọc tài liệu, tìm tịi, nghiên cứu, tổng hợp, xếp khái quát hóa lên thành phương phương pháp giải dạng, với giúp đỡ tận tình TS Hồng Nam, tơi hoàn thành Luận văn thạc sĩ theo kế hoạch đề Nội dung Luận văn gồm: Trình bày kiến thức phương trình, phương trình chứa thức, phép biến đổi giải phương trình chứa thức Phân chia thành phương pháp giải cho dạng phương trình chứa thức, dạng giải phương trình chứa thức khó thường gặp chương trình tốn nâng cao kỳ thi chọn học sinh giỏi Bên cạnh đó, Luận văn đề cập đến sai lầm mà học sinh thường hay mắc phải giải dạng phương trình đưa ví dụ minh họa để giải dạng phương trình đó, có phân tích cụ thể lại để giúp người đọc dễ dàng tiếp cận phương pháp nêu Trong số phương pháp giải, Luận văn nêu số hướng khai thác mở rộng, tổng quát hướng tư tìm lời giải phương trình chứa thức khó 85 TÀI LIỆU THAM KHẢO Ban tổ chức kỳ thi (2009) Tuyển tập đề thi Olympic 30 tháng 4, NXB Đại Học Sư Phạm, tr 47 Bộ giáo dục đào tạo, Đại số 10, NXB Giáo dục,tr 53-56 Bộ giáo dục đào tạo, Tạp chí toán học tuổi trẻ, NXB Giáo dục Lê Hồng Đức (2007) Giải toán Đại số 10, NXB Hà Nội, tr 284 Ngô Viết Diễn (2003), Hướng dẫn giải toán đại số , NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội Phan Huy Khải (1999) Toán nâng cao cho học sinh Đại Số 10, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội, tr 279-281 Tài liệu Internet - http:// ToanMath.com - http://dethithpt.com