Phương trình chứa căn thức

Dạng 5: Đặt nhiều ẩn phụ đưa về tích  Xuất phát từ một số hệ “đại số “ đẹp chúng ta có thể tạo ra được những phương trình vô tỉ mà khi giải nó chúng ta lại đặt nhiều ẩn phụ và tìm mối q[r]

PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC PHƯƠNG PHÁP LUỸ THỪA Dạng : Phương trình Dạng 2: Phương trình  A  0( B  0) A B A  B B  Tổng quát: AB A  B 2k B  AB 2k A  B Dạng 3: Phương trình A   (chuyển dạng 2) ) A  B  C   B    A  B  AB  C +) A  B  C  A  B  3 A.B   A  B  C (1) và ta sử dụng phép : A  B  C ta phương trình : A  B  3 A.B.C  C (2) Dạng 4: A  B  A  B3 ; k 1 A  B  A  B k 1 Chú ý: - Phương trình (2) là phương trình hệ ph tr (1) - Phép bình phương vế phương trình mà không có điều kiện cho vế không âm là phép biến đổi hệ Sau tìm nghiệm ta phải thử lại Giải các phương trình sau: 1) x2  4x   x  2) x  2x    x 3) x  3 x   x  4) 3x  x   x  5) x  3x    x  6) 7) x  3 x   8)  1 x   x 9) x   x   x  11 x 1  x   x  13) x    x  x  11) 10) 3x  x   x  x   x   5x x 1  x   x   12) 14) x   3x   x   15) 17) 3x  x  16  x  x  x  x  x    x   2x 16) 18) y  14  12  y  x  3x   x  x   x  x  19) x 1  x   20) x2   x2   (20) x   x   x  x   Nhận xét : Nếu phương trình : f x   g x   h x   k x  Mà có : f x   h x   g x   k x  , thì ta biến đổi phương trình dạng f x   h x   k x   g x  sau đó bình phương ,giải phương trình hệ (21) x3   x   x2  x   x  x3  Nhận xét : Lop10.com Nếu phương trình : f x   g x   h x   k x  Mà có : f x .h x   k x .g x  thì f x   h x   k x   g x  sau đó bình phương ,giải phương trình hệ ta biến đổi PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Dạng 1: Các phương trình có dạng :   A.B   A.B    , đặt t  A.B  A.B  t   f ( x)   f ( x)    , đặt t  f ( x)  f ( x)  t   ( x  a)( x  b)   ( x  a) x b x b    đặt t  ( x  a )  ( x  a )( x  b)  t xa xa Chú ý:  Nếu không có điều kiện cho t, sau tìm x thì phải thử lại Bài Giải các phương trình sau: 1) ( x  1)( x  4)  x  x  28 7) x  10 x    x  x x  32  3x  22  2) x  3x  3) x( x  5)  23 x  x   x  4x   x  4x  4) 5)  (4  x)(2  x)  x  x  12 (4  x)(6  x)  x  x  12 Bài Tìm m để phương trình sau có nghiệm? a) (1  x)(3  x)  x  x   m 6) b)  x  x  3  x x  1  m  Bài Cho phương trình:  x  x  (3  x)( x  1)  m  a Giải phương trình m = 12 b Tìm m để phương trình có nghiệm? Bài Cho phương trình: (x  3)(x  1)  4(x  3) x   m (Đ3) x3 a Giải phương trình với m = -3 b Tìm m để phương trình có nghiệm? Dạng 2: Các phương trình có dạng: A B  A  B C  Bài Giải các phương trình sau: x  x2  x  1 x a) (QGHN-HVNH’00)  Đặt t  A B b) x   x   3x  2 x  x  - c) (AN’01) x   x   49 x  x  42  181  14 x x4  x4  x  x  16  e) x  h) x  2x  4 2x (Đ36) d) g) (TN- KA, B ‘01) x  z   z   ( z  1)( z  3)   z i) (KTQS‘01) x  2x  7 2x 3x   x   x   3x  x  Bài Cho phương trình:  x   x  1  x 8  x   a (ĐHKTQD - 1998) a Giải phương trình a = b Tìm a để phương trình đã cho có nghiệm.? Bài Cho phương trình:  x   x  3  x 6  x   m (Đ59) a Giải phương trình với m = b Tìm m để phương trình có nghiệm? Lop10.com Bài Cho phương trình: x    x  ( x  1)(3  x)  m (m-tham số) (ĐHSP Vinh 2000) a Giải phương trình m = b Tìm để phương trình đã cho có nghiệm Bài Tìm a để PT sau có nghiệm:  x   x  2  x 2  x   a Tất bài tập 2, 3, 4, ta có thể sáng tạo thêm câu hỏi bài tập sau: a) Tìm a để phương trình đã cho có nghiệm nhất? (ĐK cần và đủ) b) Tìm a để phương trình đã cho vô nghiệm? Dạng 3: Đặt ẩn phụ còn ẩn ban đầu (Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn )  x   1  x   x  x   x  2  Từ phương trình tích  x 1  x   , Khai triển và rút gọn ta phương trình vô tỉ không tầm thường chút nào, độ khó phương trình dạng này phụ thuộc vào phương trình tích mà ta xuất phát Từ đó chúng ta tìm cách giải phương trình dạng này Phương pháp giải thể qua các   ví dụ sau Bài Giải phương trình : x   x  x   x  Giải: Đặt t  t  x  , ta có : t  2  x t   x    t  x  Bài Giải phương trình : x  1 x  x   x  Giải: Đặt : t  Khi đó phương trình trở thành : x  1t  x  x  x  3, t   x   x  1t  Bây ta thêm bớt , để phương trình bậc theo t có  chẵn : t  x  x   x  1t  x  1   t  x  1t  x  1    t  x  Từ phương trình đơn giản :  1 x  1 x   x     x  , khai triển ta pt sau Bài Giải phương trình sau : x    x   x   x Giải: Nhận xét : đặt t   x , pttt:  x  x  2t  t  x (1)     x  1 Ta rút x   t thay vào thì pt: 3t    x t  Nhưng không có may mắn để giải phương trình theo t     1 x   48   x   không có dạng bình phương Muốn đạt mục đích trên thì ta phải tách 3x theo  1 x  ,  1 x  2 Cụ thể sau : x   1  x   1  x  thay vào pt (1) ta được: Bài Giải phương trình: 2 x    x  x  16 Giải   Bình phương vế phương trình: 2 x    16  x  16 2  x   x  16 Lop10.com     4  x  9  2  x Ta đặt : t   x  Ta được: x  16t  32  x  Ta phải tách x 2  8 làm cho  t có dạng chính phương Nhận xét : Thông thường ta cần nhóm cho hết hệ số tự thì đạt mục đích Bài tập đề nghị: Giải các phương trình sau 1) 4 x  1 x   x  x  2) 21  x  x  x   x  x  3) x  x  12 x   36 4)  x  2x  4x   2x  1 x   x  1 x  1 x2 5) 6) sin x  sin x  sin x  cos x  7) 2x  x     x   8) x x x x y   43 x  x sin  cosx  y   13  cos x  y    12 12 (9) 12   x   x x x Một số dạng khác  1) 9x  1  3 x  1  x   2) x  x    x4  x2 1 3) x   x  3x   4) 10 x   x  x   5) x  x2 1  x  x2 1  6) 6x 12 x 12 x   24 0 x2 x2 x2 7) x  10) x x 1  35 12 8) 3x 1 x  x 3x     1 2 1 x 1 x 1 x 1 x x x 1 2  (Đ141) x 1 x 11) 1  4x  2x   2x  Dạng 4: Đặt ẩn phụ đưa phương trình bậc biến :  Chúng ta đã biết cách giải phương trình: u   uv   v  (1) cách u u Xét v  phương trình trở thành :          v v v  thử trực tiếp Các trường hợp sau đưa (1)  a A x   bB x   c A x .B x    u   v  mu  nv Chúng ta hãy thay các biểu thức A(x) , B(x) các biểu thức vô tỉ thì nhận phương trình vô tỉ theo dạng này a) Phương trình dạng : a A x   bB x   c A x .B x  Lop10.com Như phương trình Q x    P x  có thể giải phương pháp trên  P x   A x .B x   Q x   aA x   bB x  Xuất phát từ đẳng thức : x   x  1x  x  1 x  x   x  x  1 x  x  x  1x  x  1    x4   x2  2x  x2  2x  x   2 x  x  12 x  x  1 Hãy tạo phương trình vô tỉ dạng trên ví dụ như: x  2 x   x  Để có phương trình đẹp , chúng ta phải chọn hệ số a,b,c cho phương trình bậc hai at  bt  c  giải “ nghiệm đẹp”   Bài Giải phương trình : x   x  Giải: Đặt u  x  1, v  x  x  u  2v Phương trình trở thành : u  v  5uv   u  v  Bài Giải phương trình : x  x    x  x2  2 Tìm được: x   37 Bài 3: giải phương trình sau : x  x   x  Giải: Đk: x    x  1x  x  1 Nhận xt : Ta viết  x  1   x  x     Đồng thức ta được: x  1  x  x   x  1x  x  1 v  9u Đặt u  x   , v  x  x   , ta được: 3u  2v  uv   v  u  Ta : x   Bài Giải phương trình : x  x  x    6x  Giải: Nhận xét : Đặt y  x  ta hãy biến pt trên phương trình bậc x và y : x  y x  x  y  x   x  xy  y     x  2 y Pt có nghiệm : x  2, x  22 b).Phương trình dạng :  u   v  mu  nv Phương trình cho dạng này thường khó “phát “ dạng trên , nhưg ta bình phương hai vế thì đưa dạng trên Lop10.com Bài giải phương trình : x  x   Giải: x4  x2  u  x Ta đặt :  đó phương trình trở thành : u  3v  u  v 2 v  x  Bài 2.Giải phương trình sau : Giải Đk x  x x  x  x   3x  x  1 Bình phương vế ta có :  x 2 x  1  x   x  x 2 x  1  x  x  2 x  1  1 u v  u  x  x 2 Ta có thể đặt :  đó ta có hệ : uv  u  v   v  x   1  v u   1 1 Do u , v  u  v  x2  2x  2 x  1 2 x  14 x   x  x  20  x  Bài giải phương trình : Giải: Đk x  Chuyển vế bình phương ta được: x  x    x  x  20 x  1  Nhận xét : không tồn số  ,  để : x  x    x  x  20   x  1 ta không thể đặt u  x  x  20  v  x    x   x   x      Nhưng may mắn ta có : x  x  20 x  1  x  x  x  1  x   x  x  Ta viết lại phương trình: ( x  x  5)( x  4) Đến đây bài toán giải Dạng 5: Đặt nhiều ẩn phụ đưa tích  Xuất phát từ số hệ “đại số “ đẹp chúng ta có thể tạo phương trình vô tỉ mà giải nó chúng ta lại đặt nhiều ẩn phụ và tìm mối quan hệ các ẩn phụ để đưa hệ Xuất phát từ đẳng thức a  b  c   a  b3  c  a  b b  c c  a , Ta có a  b3  c  a  b  c   a  b a  c b  c   Từ nhận xét này ta có thể tạo phương trình vô tỉ có chứa bậc ba x   x2  x   x2  8x   3x    x  x   x   Bài Giải phương trình : x   x  x   x  x   x  x Lop10.com u  v u  w   2  u  uv  vw  wu   3  v  uv  vw  wu  u  v v  w   , giải hệ ta được: 5  w2  uv  vw  wu   v  w u  w   u   x  Giải : v   x , ta có :   w   x 30 239 u x 60 120 Bài Giải phương trình sau : x   a   b  Giải Ta đặt :  c   d  x  3x   x  x   x  x  2x2  x  3x  2x  2x  a  b  c  d , đó ta có :  2 2 a  b  c  d  x  2 x2  x  Bài Giải các phương trình sau x2  5x   x2  x   x  1) x  x 1  x   1  x    x  x  x 1  x  3 PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH  Sử dụng đẳng thức u  v   uv  u  1v  1  au  bv  ab  vu  u  b v  a   ax  b  cx  d  a - c  x  b - d  m A  B  ( A  B )( A  B )  a3b3  (ab)(a2+ab+b2)=0  a=b 2 Giải: pt    x 1 1 x   x    x  3x  x  x  1     x  1 Bài Giải phương trình :  Bi Giải phương trình : x   Giải: + x  , không phải là nghiệm + x  , ta chia hai vế cho x: Bài Giải phương trình: Giải: dk : x  1 3 x2  x  x2  x  x 1  x 1  x  1 x 1    1 x x   x   2x x   2x  x2  4x  x  x 1 1    x  4x Bài Giải phương trình : x   4 x x3 pt   x   2x   Giải: Đk: x  Lop10.com   x 1   x   4x 4x 4x  2  1  x  : 1    x 1 x3 x3 x3   Chia hai vế cho  Dùng đẳng thức Biến đổi phương trình dạng : Ak  B k  ( A  B )( AK 1  AK  B  AK 3 B   A.B K   B K 1 ) 3x  x 3x Bài Giải phương trình : Giải: Đk:  x  đó pt đ cho tương đương : x  x  x   3  10 10   x   x   3 3  Bài Giải phương trình sau : x   x  x  Giải: Đk: x  3 phương trình tương đương : 1  3 x  x   x    3x  9x     x  5  97  x    3 x  18 Bài Giải phương trình sau :  3 x x    x  3 x x   Giải : pttt   x   3x    x 1 ĐS: x=1 Bài tập đề nghị Giải các phương trình sau : x  10 x  21  x   x   1) 2) n 4) 8) x  x  15  x   x   x2  7x  x  12  3n x  12  2n x   (với n  N; n  2)  x (ĐHDL 5) x2 ĐĐ’01) x2  x   x    x  6) x  22 x  1  x    x  62 x  1  x  3) 7) x  x   x  1 x  x  x  (1) (HVKT QS - 2001) PHƯƠNG PHÁP GIẢN ƯỚC (ĐHSPHN2’00) x( x  1)  x( x  2)  x 2 x  3x   x  x   x  x  x  2002 x  2001  x  2003 x  2002  x  2004 x  2003 x( x   x( x  2)  x x( x  1)  x( x  2)  x( x  3) x  3x   x  x   x  x  x( x  1)  x( x  2)  x( x  3) 8) (Đ8) (BKHN- 2001) Lop10.com x  3x   x  x   x  x  PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI x  x   x  10 x  50  x   x 1  x   x 1  x  x 1  x  x 1  x3 x   2x   x   2x   2 x  x 1  x  x 1  x  2x    x (HVCNBC’01) (Đ24) x   x 1  x  4x   x  4x   x  15  x   x   x   PHƯƠNG PHÁP NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP 6.1 Nhân lượng liên hợp để xuất nhân tử chung a) Phương pháp Một số phương trình vô tỉ ta có thể nhẩm nghiệm x0 phương trình luôn đưa dạng tích x  x0  A x   ta có thể giải phương trình A x   chứng minh A x   vô nghiệm , chú ý điều kiện nghiệm phương trình để ta có thể đánh gía A x   vô nghiệm b) Ví dụ x  x   x   x  x  1  x  x  Bài Giải phương trình sau : Giải: Ta nhận thấy : x  x   x  x   2 x   v x   x  x   x      Ta có thể trục thức vế :   2 x  x  x   x  x  1     3x  x   x  3x  Dể dàng nhận thấy x=2 là nghiệm phương trình x  12   x  x  5 x  12  x   x    x  Bài Giải phương trình sau (OLYMPIC 30/4 đề nghị) : Giải: Để phương trình có nghiệm thì : Ta nhận thấy : x=2 là nghiệm phương trình , phương trình có thể phân tích dạng x   A x   , để thực điều đó ta phải nhóm , tách sau : x  12   x   x    x2  x  12   x    x2  x2     x2 x 1  x     3   x  2 x2     x  12  x2 x2 Dễ dàng chứng minh :    0, x  x  12  x2   Bài Giải phương trình : x   x  x3  Giải :Đk x  Nhận thấy x=3 là nghiệm phương trình , nên ta biến đổi phương trình Lop10.com   x    x   x    x  31   x3 Ta chứng minh :  x  1  x    1   x  3x  x    x3   x2     x    x3 x3  x   1  3 2 2 x  3x  x3   Vậy pt có nghiệm x=3 6.2 Đưa “hệ tạm “ a) Phương pháp  Nếu phương trình vô tỉ có dạng A  B  C , mà : A  B   C dây C có thể là hàng số ,có thể là biểu thức x Ta có thể giải sau :  A  B  C A B  A  C   C  A  B   , đĩ ta có hệ:  A B A  B    b) Ví dụ Bài Giải phương trình sau : x  x   x  x   x  Giải: Ta thấy : x  x   x  x   x      x  4 không phải là nghiệm Xét x  4 Trục thức ta có :  2x  2x  x   2x  x  2  x   2x2  x   2x2  x   x   x  x   x  x   2  2x  x   x    Vậy ta có hệ:  2 x   x  x   x  x   x   Thử lại thỏa; phương trình có nghiệm : x=0 v x= x  x   x  x   3x Ta thấy : 2 x  x  1 x  x  1 x  x , không thỏa mãn điều kiện trên Bài Giải phương trình : Ta có thể chia hai vế cho x và đặt t  thì bài toán trở nên đơn giản x Bài tập đề nghị Giải các phương trình sau : x  x   x  3 x   10  x  x  (HSG Toàn Quốc 2002) 2  x 5  x   x  2  x 10  x  x   x 1  2x  x   3x3   3x  2 x  11x  21  3 x   (OLYMPIC 30/43 2007) x   x  3x   x  x   x  x  2 x  16 x  18  x   x  x  15  x   x  Lop10.com Giải các phương trình sau: 1) x( x  1)  x( x  2)  x( x  3) 2) x( x  1)  x( x  2)  x 3) 2x   2x   x 4) 21  x  21  x 21  x 21  x  21  x 5) 3 7 x 3 x 5  6 x 7 x 3 x 5 6) x  3x   x  x   x  x  7) x   x  3x   x  x   x  x  8) x  x   x   x  x   x  x  9) x  2003x  2002  x  2004 x  2003  x  2005 x  2004 PHƯƠNG PHÁP NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ Dùng đẳng thức : A   Từ đánh giá bình phương : A2  B  , phương trình dạng A2  B    B  Dùng bất đẳng thức A  m dấu ỏ (1) và B  m (2) cùng dạt x0 thì x0 là nghiệm phương trình A  B Ta có :  x   x  Dấu và x  và x    , dấu x 1 và x=0 Vậy ta có phương trình:  2008 x   2008 x   1 x x 1  A  f x   A  f x  Đôi số phương trình tạo từ ý tưởng :  đó : A  B    B  f ( x)  B  f x   Một số phương trình tạo từ dấu bất đẳng thức:   Nếu ta đoán trước nghiệm thì việc dùng bất đẳng thức dễ dàng hơn, có nhiều bài nghiệm là vô tỉ việc đoán nghiệm không được, ta dùng bất đẳng thức để đánh giá Bài Giải phương trình (OLYMPIC 30/4 -2007): Giải: Đk x  2   x      x9  x 1     x   x        1 x x 1  2  Ta có :   x  2   x 1   Dấu  2  x 1 2  x  x9 x 1   Bài Giải phương trình : 13 x  x  x  x  16 Giải: Đk: 1  x   Biến đổi pt ta có : x 13  x   x   256 Lop10.com Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:  13 13  x  3  x   13  27 13  13x   3x  40 16  10 x  2 2  16  Áp dụng bất đẳng thức Côsi: 10 x 16  10 x     64  2   x   x    x2   Dấu     10 x  16  10 x x     Bài giải phương trình: x 3`  x  x  40  4 x   2 Ta chứng minh : 4 x   x  13 và x  x  x  40   x  3 x  3  x  13 Bài tập đề nghị Bài 1: Giải các phương trình sau  2x  2x   2x  2x x  1 x  x  1 x   16 x   x  x x 3`  x  x  40  4 x    2x   2x   x  64  x  x  x  28 1   x2      x   x x  2x4   4  x4  x4  Bài 2: Giải các phương trình sau: 1) 3x  x   x  10 x  14   x  x 3) x  x  15  x  x  18 x  x  11 4) x  x  11  x  x  13  x  x    x  x  3,5  5) 2) x   2x  x  4x   x  x  12   x  12 x  13 x2  2x   x   6) 7) 2(  x  x )   x  x 8)  x   x   2x  2x   2x  2x 9) 10) x  x   x  x   x  x 11) x    x  x  x  11 (Đ11) x   10  x  x  12 x  52 PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ HỆ Dạng 1: Đưa hệ phương trình bình thường Hoặc hệ đối xứng loại  Đặt u   x , v   x  và tìm mối quan hệ  x  và  x  từ đó tìm hệ theo u,v   Bài Giải phương trình: x 25  x3 x  25  x3  30 Đặt y  35  x3  x3  y  35 Lop10.com  xy ( x  y )  30 , giải hệ này ta tìm 3  x  y  35 ( x; y )  (2;3)  (3; 2) Tức là nghiệm phương trình là x  {2;3} Bài Giải phương trình: 1 x  x  Điều kiện:  x      x  u Đặt  0u  1,0  v    x  v Khi đó phương trình chuyển hệ phương trình sau:   u  v   u  v   Ta đưa hệ phương trình sau:   u  v     v   v         Giải phương trình thứ 2: (v  1)   v    , từ đó tìm v thay vào tìm nghiệm 2  2 phương trình Bài Giải phương trình sau: x   Điều kiện: x  Đặt a  x 1  x  1, b   x  1(a  0, b  0) thì ta đưa hệ phương trình sau: a  b   (a  b)(a  b  1)   a  b    a  b   b  a  11  17 Vậy x     x   x    x  x   2x  2x Bài Giải phương trình:   5 x 5 x Giải Điều kiện: 5  x    Đặt u   x , v   y  u , v  10 (u  v)  10  2uv u  v  10   Khi đó ta hệ phương trình:  4 2 8     2(u  z )  (u  v) 1     u v  uv   Bài tập đề nghị : Giải các phương trình sau 1) 2) 3) 4) 5) 6)  x  1 x 1 (ĐHTCKTHN - 2001)  x  x2   x  x2  x  x   x  x  (ĐHDL HP’01)  x  x 1  x  3x   x  3x   3 x  34  x   (Đ12) 7) 8) 9) 3 x  97  x  14  x  12  x  ( x  8)  ( x  8)  x  64  10) x  17  x  x 17  x  1 11)  2 x 2 x Lop10.com 22) x  x    x  x   x   12)  x   x  x2   x2  14) 1 x 3 x 1 2 15) 23) sin x  cos x  24) sin x   sin x  sin x  sin x  25)  cos 2x   cos 2x  65 1 13) 26) 27) 28) 29)  tgx   tgx  16) 24  x  12  x  3 17) 34  x  x   x  1 34  x  30 3 34  x  x   1  x    10  sin x  cos x   17  x  17  x  (DL Hùng vương- 2001) x     x (CĐ mẫu giáo TW1- 2001) x  x   x  8x   30) x  x   x  x   (Đ142) 19)  x  x   x  x  3 3 31) x 35  x x  35  x  30 20) 3 x  12  3 x  12  x   32) 3x  5x   3x  5x   2 21) 2  x   7  x   2  x 7  x   33) x  5x   2 x  5x   34) 47  2x  35  2x  Dạng 2: Đưa phương trình đã cho hệ đối xứng loại hai  Ta hãy tìm nguồn gốc bài toán giải phương trình cách đưa hệ đối xứng loại II 18)   x2 1  x 3  x2   x  12  y  (1)  Ta xét hệ phương trình đối xứng loại II sau :  việc giải hệ này thì đơn giản y   x  (2)   Bây giời ta biến hệ thành phương trình cách đặt y  f x  cho (2) luôn đúng , y  x   , đó ta có phương trình : x  1  ( x   1)   x  x  x2 Vậy để giải phương trình : x  x  x  ta đặt lại trên và đưa hệ  x   2  ay  b Bằng cách tương tự xét hệ tổng quát dạng bậc :  , ta xây dựng phương trình  y     ax  b a  ax  b  b  dạng sau : đặt  y    ax  b , đó ta có phương trình :  x     Tương tự cho bậc cao :  x     n a  n ax  b  b      Tóm lại phương trình thường cho dạng khai triển ta phải viết dạng :  x     p n a ' x  b '   v n đặt  y    n ax  b để đưa hệ , chú ý dấu  ??? Việc chọn  ;  thông thường chúng ta cần viết dạng :  x     p n a ' x  b '   là chọn n Bài Điều kiện: x  Giải phương trình: x  x  2 x  1 Ta có phương trình viết lại là: ( x  1)   2 x   x  x  2( y  1) Đặt y   x  thì ta đưa hệ sau:   y  y  2( x  1) Trừ hai vế phương trình ta ( x  y )( x  y )  Giải ta tìm nghiệm phương trình là: x   Kết luận: Nghiệm phương trình là {1  2;  3} Lop10.com Bài Giải phương trình: x  x   x  Giải Điều kiện x   Ta biến đổi phương trình sau: x  12 x   x   (2 x  3)  x   11 (2 x  3)  y  Đặt y   x  ta hệ phương trình sau:   ( x  y )( x  y  1)  (2 y  3)  x   Với x  y  x   x   x   Với x  y    y   x  x   Bài tập đề nghị : Giải các phương trình sau 1) x   23 x  2) x   33 3x  3) (x2 + 3x - 4)2 + 3(x2 + 3x - 4) = x + 6) x   x  5)  x    x x 1 4x  8) 7x  7x  , x  (ĐHAN-D) 28 4) x   11) x   x  9) 4 4 x  x 12) x  33 3x   5 5 x  x 7) 10) x   x  3  13) x   x  14)   x  x PHƯƠNG PHÁP ĐẠO HÀM Các bước:  Tìm tập xác định phương trình  Biến đổi phương trình (nếu cần) để đặt f(x) biểu thức nào đó  Tính đạo hàm f(x), dựa vào tính đồng biến(nbiến) hàm số để kết luận nghiệm phương trình Ví dụ Giải phương trình sau: x   x   x   (1) Giải: Tập xác định: D = R Đặt f(x) = x   x   x  Ta có: f ' ( x)  (2 x  1)  (2 x  2)  2 3  0; x   ,1, 2 (2 x  3) Suy hàm số f(x) đồng biến trên tập M=   ,     ,1    1,     ,   2    2   Ta thấy f(-1)=0  x=-1 là nghiệm (1) Ta có: f (  )  3; f (  )  3 Ta có bảng biến thiên hàm số f(x): x -∞  -1   f’(x)  +∞  F(x) +∞ -∞ -3 Từ bảng biến thiên ta thấy f(x) =  x = -1 Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = -1 Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau: Lop10.com 1)  Từ bài 2, ta có bài tập  3) 2 x  1 2000    2) 2 x  1  2 x  12    3x  x   x   x 1  2x2 1  2x2 2 x  12  1999  x2000    x  1999  4) x   x  19  y   y  19 5) (ĐH.B’02) Xác định m để phương trình sau có nghiệm:   m 1 x2  1 x2   1 x4  1 x2  1 x2 6) (ĐH.A’08) Tìm các giá trị m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt: x  x  24  x   x  m 10 PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HOÁ Ví dụ Giải phương trình sau: x  1  x   x  x (1) Giải: Tập xác định: D = [-1; 1] (2) Do (2) nên đặt x = cost (*), với  t   (A) Khi đó phương trình (1) trở thành: cos t  1  cos t 3  cos t 2(1  cos t ) (3) Với t  (A), ta có: (3)  cos t  sin t  cos t sin t  cos t  sin t 1  sin t cos t   cos t sin t (4) Đặt X = cost + sint (5), X  (B) X2 X 1 = + 2sint.cost  sint.cost = Phương trình (4) trở thành phương trình ẩn X:  X 1 X 1   X 1   X  X  X 1  X  X  3X   2       X    X   X  X  2X 1      X   1   X  2 X    X       Ta thấy có nghiệm X = + Với X = và X = - + là thoả mãn điều kiện (B) , thay vào (5) ta được:        sin t  cos t   sin  t     sin  t     t    k 2  t   k 2 , k  Z 4  4  4 Vì t  (A) nên ta có t =  Thay vào (*) ta được: x = cos  = (thoả mãn tập xác định D) 4 + Với X = - + 1, thay vào (5) ta được:       1 sin t  cos t    (**)  sin  t       sin  t    4 4   Khi đó, ta có: Lop10.com 2    1     3 2 2 1       1 cos t      sin  t         4 2         cos t cos   sin t.sin   2 1   cos t      4 2 1 cos t  sin t    2   cos t  sin t   2  1(6)  2 Từ (**) và (6) suy cost =    2  Thay vào (5), ta x =    2  2 Nhưng có nghiệm x =    2  thoả mãn tập xác định D Vậy, phương trình đã cho có hai nghiệm x = Bài tập tương tự và x =    2  2  2x  x   2x 2 3) 2) 25  x  x  9) 3)  2x  x  x  10) 4) x 1  x2 1 6) x  2x    x  1  x  1  x  3 3x   x   x   3x   x   11  x  x   17) 1 x4  x2  x 1 11)  x    16  x 18)  x   13  x 13) x   x  14  x  20) 12  x   x  21) x   x   2x  9) x  ( x  1)(2  x)   x 2) ( x  5)(2  x)  x  x 10) 3) x  x  x   x  11) (4 x  1) x   2( x  x)  4) ( x  1)( x  4)  x  x   12) x  x   ( x  3) x  x    x   ( x  3)(6  x) x  x   x  x   x  x  13 13) 2( x  1) x   x  x  6)  x  x  3( x   x ) x   x   16  x  2 x  x  7) Giải các phương trình sau: (ẩn phụ  hệ)  x2  x   x2  x  3) 14) x  3x   x  3x   15) x   x  x  x   x  x  19 1) x 3  x 3 x   10  x  Giải các phương trình sau (Đánh giá) 4) x  x  15  x  x   1) x  x   x   3) x    x  x  x  18 2)  x  23  x  Tìm m để phương trình có nghiệm 1) x    x  ( x  1)(3  x)  m 2) x    x  a Tìm m để phương trình có nghiệm 1) 3)  x2 16) 1) x   x  x  12  x 5)   15)  x   x    x 7) x  x   x  14)  x  x   x   x Giải các phương trình sau: 2) 4)   x Một số bài tập tham khảo: Giải các phương trình sau: x2  x4 1)  x   x  8) 2x  2) x  1  x   x 21  x  1) x  x   x (HVQHQT- 2001) 4) x  x 4 2 x  2 x  4) ( x  2)(4  x)  x  x  m 4) x   x  m 2) x   x  m 5)  x  23  x  m 4 x  x2  m 6) x  x   x   x  m x 1  x 1   x   x  m Lop10.com Giải phương trình, hệ phương trình: a)  x  x   x  12 x  38 b)  x  x   x  12 x  14  x   y   x   y  2x 1   2 d)  e)  f) 1 x 2x  x  y   x  y   c) x  x  2004  2004 11 XÂY DỰNG BÀI TOÁN TỪ TÍNH CHẤT CỰC TRỊ HÌNH HỌC 11.1 Dùng tọa độ véc tơ    Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, Cho các véc tơ: u  x1 ; y1 , v  x2 ; y2  đó ta có     uv  u  v   x1  x2    y1  y2  2   x12  y12  x22  y22  x1 y1   k  , chú ý tỉ số phải dương x2 y2       u.v  u v cos   u v , dấu xẩy và cos    u  v Dấu xẩy và hai véc tơ u , v cùng hướng   11.2 Sử dụng tính chất đặc biệt tam giác  Nếu tam giác ABC là tam giác , thì với điểm M trên mặt phẳng tam giác, ta luôn có MA  MB  MC  OA  OB  OC với O là tâm đường tròn Dấu xẩy và M  O  Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và điểm M tùy ý mặt mặt phẳng Thì MA+MB+MC nhỏ điểm M nhìn các cạnh AB,BC,AC cùng góc 1200 Bài tập: giải phương trình, hệ phương trình sau:   1x   2x2    1x   1) 2x2  2x   2x2  2) x  x   x  10 x  50  3) 5( x  yz )  6( y  xz )  5( z  xy )  4( x  y  z ) 4) x  y  x  y  x   6( x  1)    x1   x2   x3    x100  100  100  5)    x   x   x    x  100  1 100  100 MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC: I/ Dạng 1: Giải phương trình 1/ (Dự bị khối D 2006) : x   x  x   x2  8x   , x  R 2/ (Dự bị khối B 2006) : 3x   x   4x   3x2  5x  , x  R 3/ (Dự bị khối B 2005) : 3x    x  2x  4/ ( ĐH KD-2005) x   x   x   ; 5/ ( ĐH KD-2006) : 2x   x  3x   , x  R 6/   x  1  x  2x  5 x ; 8/ 10x   x   ; 10/ 2x   x   2x  ; 7/ 2x2  3x   2x2  3x   3x 9/ 3x   x   11/ Lop10.com 1  x 1 x2    x  1 2  x 1 12/  2x  x2  2x2  II/ Dạng 2: Giải bất phương trình 1/ (Dự bị khối B 2005) : 8x2  6x   4x   ; 2/ (Dự bị khối D 2005) : 2x    x  3x  ;  3/ ( ĐH KD - 02) x  3x  2x2  3x   ; 4/ ( ĐH KA-05) 5x   x   2x  ; 5/ ( ĐH KA-04) 6/ ( ĐH KA-2010):  x  16 x 3  x 3  x x  2(x  x  1) 7x ; x 3 1 III/ Dạng 3: Tìm điều kiện để phương trình, bất phương trình có nghiệm Thông thường dạng này ta sử dụng các phương pháp sau: * PP1: Sử dụng tính chất đồng biến ,nghịch biến hàm số * PP2: Sử dụng tương giao các đồ thị hàm số 1/ (Dự bị khối B 2007) : Tìm m để phương trình: x2   x  m có nghiệm 2/ (Dự bị khối A 2007) :Tìm m để bất phương trình : m  x2  2x   1  x(2  x)    có nghiệm x   0;1   3/ ( ĐH KA-2007) Tìm m để phương trình x   m x   x  có nghiệm thực 4/ ( ĐH KB-2007) CMR với giá trị m, phương trình x  2x   m(x  2) có nghiệm thực phân biệt 5/ ( ĐH KA-2007) Tìm m để phương trình 2x  2x  24  x   x  m , m  R  có đúng hai nghiệm thực phân biệt 6/ (Khối D-2004): CMR: phương trình sau có đúng nghiệm : x5  x2  2x   7/ ( ĐH KB-2004): Xác định m để phương trình sau có nghiệm :   m  1 x2  1 x2    1 x4  1 x2  1 x2   8/ ( ĐH KB-2006): Tìm m để pt: x  mx   2x  có nghiệm thực phân biệt 9/ (Khối B-2010) Giải phương trình x    x  x  14 x   (x  R) 10/ (Khối D-2010) Giải phương trình 42 x  x2  x  42 Lop10.com x2  2x  x4 (x  A )