Phuong trinh chua can thuc

Một số phép biến đổi tương đương thường sử dụng khi giải phương trình, bất phương trình chứa căn thức. 1.. Phương pháp đặt ẩn số phụ[r]

PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN

A Các phương pháp giải phương trình, bất phương trình chứa thức I Sử dụng phép biến đổi

Một số phép biến đổi tương đương thường sử dụng giải phương trình, bất phương trình chứa thức

1        

 

f x g x

f x g x

g x





  





2        

 

2

0

f x g x

f x g x

g x

   

  

  





3        

 

f x g x

f x g x

g x





  





4        

 

2

0

f x g x

f x g x

g x

   

  

  





   

0

f x g x





 



5    

   

   

2

0

f x g x

f x g x f x

g x

   



  

 



Khi sử dụng phép biến đổi phương trình mà xuất nghiệm ngoại lai, ta cần dùng phép thử trực tiếp để loại nghiệm khơng thích hợp

Cẩn thận với biến đổi mà thu hẹp tập xác định phương trình, bất phương trình (ví dụ: AB thành A B ) làm nghiệm

VD1 Giải phương trình: 2x 1 x 3

VD2 Giải phương trình: x x2 1 x x2 1 2x31 VD3 Giải phương trình:

2

2 1

5

x x

x

  



VD4 Giải phương trình: 3

3

x x

x

x x x x

   

   

VD5 Giải phương trình: x2  x x  3 x x2 1 VD6 Giải phương trình: 3 x 1 2x 1 33x1 VD7 Giải phương trình: 1 x x22x5 VD8 Giải phương trình: x x  1 VD9 Giải phương trình: x2  3x 2 2x1

VD12 Giải phương trình:

3

x

x x

x     VD13 Giải bất phương trình:  x2 6x 7 2x4 VD14 Giải bất phương trình: 33x2 1 32x21 VD15 Giải bất phương trình: x 2 x3 x8 VD16 Giải bất phương trình: x2 3 x22x1 VD17 Giải bất phương trình: 5x 1 x 1 2x4 VD18 Giải bất phương trình:  

2

2 16 7

3

3

x x

x

x x

 

  

 

VD19 Giải bất phương trình: 3x27x 3 x2   3x 4 x2 2 3x25x1 VD20 Giải bất phương trình: x24x 3 2x2   3x 1 x 1

VD21 Giải bất phương trình: 3x2 x 2

x

    

VD22 Giải bất phương trình: 12 12

11

x x x x

x x

    

 

VD23 Giải bất phương trình: 2

1

1

1 1

x

x  x 

 

VD24 Giải bất phương trình: 4x1 2  2x10 1  2 x2

VD25 Giải bất phương trình: 2 1 2x 3x5  x VD26 Giải bất phương trình: x3 x2 4 x2 9

VD27 Giải bất phương trình: x2  x 1 x2  x 1 2x26x2 VD28 Giải bất phương trình: 1 4x2

x

  

VD29 Giải bất phương trình: x23x 2x2  3x 2 0 VD30 Giải bất phương trình:  

2

2

1

x

x

x  

 

BÀI TẬP Giải phương trình, bất phương trình sau:

1 x 2 2x 3 3x5 x  9 2x4 x 5 x 3 2x4 1 x 1 6x

5 3x 4 2x 1 x3 x 1 4 x

7 3x 3 5 x 2x4

8

x1 2  x 7 3x1 x6  x1 7  x1

9 2 2

2 2

x x

x x

   

   

13 x  3 3x1

14 3

5

x

x  x  

15 3 x x2  2 x x2 1 16  x2 4x 2 2x

17 16x17 8 x23 18 x26x 6 2x1 19 2x26x  1 x 2

20 x3 10 x2 x2 x 12 21 6x 1 2x 1

22

2

2x 8x 6 x  1 2x2 23

2 7 4

4 x x x x    

24 x x  1 x x 2 2 x2 25 x  1 1 x x8 26 x343 x 3 1 27 2x 1 x3163 2x1 28 x 1 x 2 2x3 29 x 1 7 x 2 30 x3 2x 3 312x1 31 1 x 1 x x

32

3 2

x   x x

33 2x 1 2x3

34 7x 13 3x 9 5x27 35 3x 4 x 3 4x9 36 x 4 x 1 x3 37 x 1 x 1

38 2x 7 5 x 3x2

39 1

2

x x

    40 x  1 x4 41 x 2x 3 42 x  2 x

43 x 1 x  2 x 44 x12 x 3 2x1 45 4 x  4 x 4 46 5x 1 4x 1 x

47 7x 13 7x 11 14x1 48 3x 2 x 7

49 x 3 2x 8 7x

50 x x24x 1 51 x42x2  1 1 x 52  x2 6x  5 2x 53 x2   3x 2 x 3 54 x2  1 x 1 55 4 1 x 2x

56 x2 x x

57 1

4  x x 58

2

1

4

x

x x

     59 1 x x2 1 0 60 1 x x2 1 x

61 x2  3x 2 x24x 3 2 x25x4 62

2 8 15 2 15 2 18 18

x   x x  x  x  x 63

4

x

x   64 2

6

x x x

  



65  

2 2

21

x

x

x  

 

66 12 1

4

x   x

67 21

x x x

   



68 x 12 x 12

x x x

   

69 2 1

2

x

x

x   

70 2 122 16 x x x x       71 4 1 x 2 x 72 1

2

x x

73

 

2

2 1

x

x

x  

 

74 2 1

x x

x

  



75 x 1 x

x x x

    

76 2x 1 36x 1 32x1

II Phương pháp đặt ẩn số phụ

VD1 Giải phương trình: 2

5

x   x  x  x

VD2 Giải phương trình: 3 2

3 2

x   x x  x

VD3 Giải phương trình:

2 15 4

x  x  x  x 

VD3 Giải phương trình: 2

2x 5x 2 2x 5x 6 VD4 Giải phương trình:  3  1 4 3

3

x

x x x

x



     

 VD5 Giải phương trình: 1 2

3 x x x x

    

VD6 Giải phương trình: 4 2

1

x x   x x  

VD7 Giải phương trình: 1 4 x 4x2 1 8x22x1 VD8 Giải phương trình:

2x   3x x 3x2 VD9 Giải phương trình: 3 x 1 7 x 2

VD10 Giải phương trình: 6 x x 2 1 46x x  2 VD11 Giải phương trình: x3 1 23 x1

VD12 Giải phương trình: 3 x 2 x 1 3

VD13 Giải phương trình: 2 33 x 2 5 x 8 0 VD14 Giải phương trình:

1

x  x 

VD15 Giải phương trình: 1 1x2 x1 1 x2

VD16 Giải phương trình: 2

x

x x  x x  

VD17 Giải bất phương trình: 2

2x  x 5x 6 10x15 VD18 Giải bất phương trình: 5

2

x x

x x

   

VD19 Giải bất phương trình:

x x

x x



 



VD20 Giải bất phương trình: 2 1235

x x

x

 



VD21 Giải bất phương trình: x 1 x 3 x1 x  3 2x

VD22 Giải bất phương trình: 415 x 42 x 1 VD23 Giải bất phương trình:  25

1 x2 x x2 x 13 7 x1 2  x  1 2x2x2

3 3x215x2 5 x x 2

4 x24x 8 x24x 4 2x28x12 2x25x 2 2x25x 9 1

6 497 x x15 4 2 x x 1 1

8 x 4x2  2 3x 4x2 x23x  1 x 3 x2 1

10 3x 2 x 1 4x 9 3x25x2 11 x2 7 x 2 x   1 x2 8x7 12 x 4 x 4 2x 12 2 x216 13 x 2 4 x x26x11

14 x 2 x 2 4x 15 4 x24 15 x 1 4 x x1 4  x 5 16 418 x x 1 3

17 x 3 x 1

18 32x2 37x2 32x 7x 3 19 7 7

28

x

x  x 

20 x2 x2 11 31 21 x 7 x 1 22 x33 33  x2 23 3 1

1 2

x

x   x 

24

3

3

7

6

7

x x

x

x x

       

25 x3 35x x3 335x3 30

26 2 2

2

x

x  x  x  x  

27 2 x24x   3 x2 4x5 28 x23x 5 x2   3x 7

29 5     x x 5x  x 3

32 7x 7 7x 6 49x27x42 181 14  x 33 2x24x3 2 x x 1

34 3

2

x x

x x

   

35

1

x x

x x

    

III Phương pháp hàm số, đánh giá hai vế

VD1 Giải bất phương trình: 2 x x  1 VD2 Giải bất phương trình: x 9 2x 4

VD3 Tìm giá trị lớn hàm số y x 2 4x áp dụng để giải phương trình:

2 11

x   x x  x

VD4 Giải bất phương trình: x   1 x 2x322x2 B Một số phương trình, bất phương trình chứa tham số

VD1 Giải biện luận phương trình:

2

x  mx  m

VD2 Giải biện luận phương trình: 1

2

x x  x m

VD3 Giải biện luận phương trình: 2

x  x m   x m

VD4 Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

2

x mx  x

VD5 Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt:

8

m x   x

VD6 Tìm k để phương trình sau có nghiệm nhất:

3

2

x

x kx

x   

VD7 Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x 4   x x2 4x m VD8 Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 9

6

x m

x x  x x  

VD9 Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x 1 3 x x1 3  x m

VD10 Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 3 x 1 m x 1 24 x21 VD11 Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 2x 2x2 64  x 2 6 x m VD12 Tìm m để m 1x2  1x2  2 1x4  1x2  1x2 có nghiệm VD13 Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x x x12m 5 x 4x

VD14 Biện luận theo m số nghiệm phương trình: m x2  3x 2 x VD15 Tìm m để bất phương trình sau với x2:

 

2 2

x m x m  m

VD16 Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: mx x  3 m

VD17 Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm:  3

3 1

x  x  m x x

VD18 Tìm m để bất phương trình sau với x  3;6:

2

3 18

VD19 Tìm giá trị âm tham số a để hệ BPT sau có nghiệm:

2

6

ax a x

a x

x x

  





 





VD20 Với giá trị a nghiệm BPT: x24x   3 x 1 Đều nghiệm phương trình: x a   x

BÀI TẬP

1 Giải biện luận phương trình: x x   1 a x Giải biện luận phương trình: 5  x x m Giải biện luận phương trình: x2  x a x

4 Giải biện luận phương trình: a x a2 2a x a x

   



5 Giải biện luận phương trình: a x a   a x

6 Giải biện luận phương trình: x22a2 x2 1 x

7 Giải biện luận phương trình: a2x a2x2  a x

8 Giải biện luận phương trình: x2ax16ax1

9 Giải biện luận phương trình: x 1 1 x a 10.Giải biện luận phương trình: 1

1

x a x

x

   



11.Giải biện luận phương trình: x 2ax a  x 2ax a  2a

12.Biện luận theo m số nghiệm phương trình: 4 3

x x  x  m 13.Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x2 2x2 1 m

14.Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x 1x2 m

15.Cho phương trình: x 1 m x 1 m1 x21

a) Giải phương trình m2

b) Giải biện luận phương trình

16.Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x m  2x2mx3

17.Tìm m để phương trình sau có nghiệm có nghiệm nhất: 1x2 2 13 x2 m

18.Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 2x22mx  1 2 x

19.Cho phương trình: x 1 x 2m x1 x 24 x1x m3

a) Giải phương trình m 1

b) Tìm m để phương trình có nghiệm

20.Tìm a để phương trình sau có nghiệm: 4x2 2x 1 4x22x 1 2a

21.Xét phương trình: 5 x x 1 6x 5 x2 m

a) Giải phương trình m2 1  2

b) Tìm m để phương trình có nghiệm

23.Biện luận số nghiệm phương trình theo m: x44x m 4 x44x m 2

24.Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 2 x 2 x 2x 2x m

25.Tìm m để phương trình:  2x m 2xm 2 hệ phương trình:

 

 

3

2 log

3 log

x x

  

26.Cho phương trình: x 9   x x2 9x m

a) Giải phương trình m =

b) Tìm m để phương trình có nghiệm

27.Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 7 x 2 x 7x 2x m 28.Tìm a để phương trình sau có nghiệm: 31 x 31 x a

29.Cho phương trình: x22x m   x 1 m

a) Giải phương trình m = b) Giải biện luận phương trình

30.Cho phương trình:

 

2

2

1

a a

x x x

x x

   

 

a) Giải phương trình a =1 b) Giải biện luận phương trình

31.Cho phương trình: x4 x  4 x 4 x 4 m

a) Giải phương trình m =

b) Tìm m để phương trình có nghiệm

32.Biện luận số nghiệm phương trình: 2

1

4

1

x x

a a

x     

33.Giải biện luận phương trình:2 a x  a x  a x  x a x  

34.Biện luận theo m số nghiệm phương trình:

x m m x  

35.Tìm m để phương trình có nghiệm: 2

1

x   x x   x m 36.Giải bất phương trình sau với giá trị a0: a x  a x a 

37.Biện luận số nghiệm phương trình: 2

2x sinx 2x cosx   a a

38.Cho bất phương trình: a 2x2  7 x a

a) Giải bất phương trình

a

b) Tìm a để bất phương trình với x

39.Giải biện luận theo a: 1

1

a

x  x  x

40.Tìm m để bất phương trình 1;3

x  

   

  :      

2

1 2 x 3x  m 2x 5x3

41.Tìm m để bất phương trình có nghiệm: mx x  3 m

42.Giải bất phương trình: 2x a2x2 0

44.Giải biện luận theo a > 0: n xn x a  n 2an a

45.Giải biện luận: x2 4 m x 2

46.Cho bất phương trình: x212 m x x2 1 4

a) Giải bất phương trình m =

b) Tìm m để bất phương trình thỏa mãn với  x  0;1

47.Giải biện luận: x m  x2m  x3m 48.Giải biện luận bất phương trình: m1 2 x

49.Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: x m x   1 m

50.Giải biện luận: a x a2 x 2a x a

   



51.Giải biện luận: a2x2  b2x2  a b

52.Giải biện luận: 2x a x

53.Giải biện luận: a x  a x 2

54.Cho bất phương trình: 4 4 x 2x x22x a 8

a) Giải bất phương trình với a =