Lý thuyết jacobian xấp xỉ và ứng dụng trong liên tục

1 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Vào nửa sau kỉ XVII, đồng thời độc lập, nhà toán học người Đức Leibniz nhà toán học người Anh Newton phát minh phép tính vi phân, cơng cụ đắc lực để giải nhiều tốn vật lý, học, hóa học, kỹ thuật, ….Nhưng phép tính vi phân mà Leipniz Newton phát minh áp dụng cho lớp hàm có tính chất tốt Một vấn đề đặt hàm không khả vi, đạo hàm chúng khơng tồn nên thay khái niệm đạo hàm khái niệm khác không? Đây vấn đề nghiên cứu nhiều nhà toán học vào nửa cuối kỷ thứ XX Từ mơn giải tích khơng trơn đời Mơn học giải tốn lớp hàm khơng có đạo hàm theo nghĩa thông thường cách đưa khái niệm vi phân khác để thay khái niệm đạo hàm, điểm cho trước hàm xấp xỉ họ hàm tuyến tính Nhờ mà giải tích khơng trơn đem lại nhiều kết sâu sắc lý thuyết tối ưu, giải tích biến phân, phương trình vi phân, học lý thuyết điều khiển Trong năm gần nhiều nhà nghiên cứu giải tích khơng trơn cách tập trung phát triển vi phân suy rộng đảm bảo tính chất tốt điều kiện cần đủ tối ưu hàm không trơn như: F.H.Clarke, R.T.Rockafellar, B.D.Craven, D.Ralph B.M.Glover, V.F.Demyanov V.Jeyakumar, A.D.Loffe, B.S Morduchovich Y.Shao, J.P.Penot,…Đối với hàm lồi, có vi phân hàm lồi cơng cụ việc giải toán cực trị liên quan tới hàm lồi Việc nghiên cứu lớp hàm Lipschitz có tầm quan trọng đặc biệt lớp hàm gần với lớp hàm lồi hàm khả vi thông thường Rất gần đây, với hàm liên tục, V.Jeykumar D.T.Luc đưa khái niệm vi phân gọi Jacobian xấp xỉ Các khái niệm cho ta công cụ hữu ích để nghiên cứu tốn hàm liên tục có Jacobian xấp xỉ có phép tính tốt, tương ứng với phép tính đạo hàm thơng thường phép lấy tích, tổng hợp, định lý giá trị trung bình, …Đặc biệt, nhiều vi phân Jacobian xấp xỉ, ví vi phân hàm lồi, hàm Lipschitz dã nối nhiều vi phân khác Moduchovich, Michel – Penot, Treiman Vì kết thu sử dụng Jacobian xấp xỉ cho hàm có vi phân theo nghĩa nhiều tác giả đưa Hơn nửa, khác với vi phân đề cập đến, Jacobian xấp xỉ tập đóng khơng thiết bị chặn lồi Nhờ tính chất hàm liên tục tính Lipschitz địa phương, tính lồi, tính đơn điệu, ….Việc nghiên cứu Jacobian xấp xỉ mở rộng, thống làm sâu sắc nhiều kết giải tích khơng trơn tối ưu hóa Lý thuyết Jacobian xấp xỉ đề tài nhiều nhà toán học quan tâm, nghiên cứu Với mong muốn tìm hiểu kỹ lý thuyết Jacobian xấp xỉ, với giúp đỡ hướng dẫn tận tình GS TSKH Nguyễn Xn Tấn, tơi xin giới thiệu đề tài “LÝ THUYẾT JACOBIAN XẤP XỈ VÀ ỨNG DỤNG TRONG LIÊN TỤC” Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu đề tào tập trung trình bày có hệ thống số kết Jacobian xấp xỉ hàm liên tục không gian hữu hạn chiều, trước hết hàm vô hướng, sau dó hàm vectơ dựa sở kết mà V.Jeyakumar, D.T.Luc cộng nghiên cứu Lý thuyết tối ưu vô hướng vectơ phát triển mạnh thập niên cuối kỷ 20 đầu kỷ 21 ứng dụng vào nhiều lĩnh vực quan trọng toán học, đặc biệt lĩnh vực kinh tế Trong năm gần đây, lý thuyết đề tài hấp dẫn nhiều nhà toán học ngồi nước cịn quan tâm nghiên cứu ứng dụng Người ta mở rộng kết thu cho trường hợp tổng quát trường hợp ánh xạ vectơ, ánh xạ đa trị không gian vô hạn chiều Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu lý thuyết Jacobian xấp xỉ ứng dụng - Sử dụng kết ý tưởng tác giả cơng bố tạp chí để hệ thống lại theo cách hiểu vận dụng trường hợp ứng dụng vào tốn khơng trơn thực tế - Ln ln gắn tốn vào lĩnh vực ứng dụng lý thuyết tối ưu, điều khiển tối ưu liên quan tới hàm khơng trơn, để tìm kết lĩnh vực … Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Trước hết tìm hiểu thật kỹ kiến thức thuộc lĩnh vực giải tích đại liên quan tới hàm vecto giải tích đa trị, đặc biệt tính chất hàm có Jacobian xấp xỉ - Sử dụng tính chát khác Jacobian xấp xỉ để tìm điều kiện cần đủ cho viêc tồn nghiệm tốn tối ưu liên quan tới hàm có Jacobian xấp xỉ đưa ứng dụng tốn thực tế … - Phân tích đặc thù riêng loại tốn để tìm phương pháp khác cho việc áp dụng lý thuyết Jacobian xấp xỉ vào số toán khác lý thuyết tối ưu toán điểm cân bằng, toán bất đẳng thức biến phân… Phương pháp nghiên cứu Dịch, đọc tài liệu, nghiên cứu lý luận, tài liệu chuyên khảo Phân tích, tổng hợp kiến thức để phục vụ cho mục đích nghiên cứu Những đóng góp đề tài - Hồn thành luận văn đề tài lý thuyết tối ưu Jacobian xấp xỉ ứng dụng, dày khoảng 80 trang - Tìm ứng dụng có ý nghĩa lý thuyết tối ưu liên quan tới hàm có Jacobian xấp xỉ - Làm rõ hệ thống kiến thức hàm khả vi, Jacobian xấp xỉ, ứng dụng Jacobian xấp xỉ Chương HÀM KHẢ VI Trong khoảng bốn thập kỷ vừa qua, lý thuyết tối ưu thay đổi phát triển nhanh chóng nhằm giải kịp thời tốn thường gặp f ( x) , D tập không gian  n thực tế quy dạng x D f hàm số xác định tập chứa D Một lớp hàm số quan trọng loại toán hàm khả vi 1.1 Hàm khả vi từ R Cho hàm f: ( a; b ) R R R Định nghĩa: 1.1.1 Hàm f gọi khả vi điểm c ( a; b ) tồn giới hạn lim h Số lim h f (c h) h f (c) f (c h) h f (c) , gọi đạo hàm hàm f c, kí hiệu f’(c) Định nghĩa 1.1.2 Nếu hàm f khả vi điểm x (a; b) ta nói f khả vi (a;b) 1.2 Hàm khả vi từ R n R 1.2.1 Các định nghĩa tính chất Cho U tập mở rộng R n , hàm f :U R, a (a1 , a2 , , an ) U Ta kí hiệu L(R n ,R) khơng gian hàm tuyến tính liên tục từ R n vào R Định nghĩa 1.2.1 Hàm f gọi khả vi điểm a tồn hàm tuyến tính liên tục L L(R n ,R) cho f (a h) f (a) L(h) Trong h (h , h , hn ) Rn , (h) (h) h h Hàm tuyến tính L gọi đạo hàm f a, kí hiệu f '(a) hay Df(a) Hàm f gọi khả vi U khả vi điểm x U Từ định nghĩa chứng minh định lí sau Định lí 1.2.1 Nếu f khả vi a đạo hàm tương ứng xác định Định lí 1.2.2 Nếu f khả vi a f liên tục a Định lí 1.2.2 Ta nói f khả vi theo hướng v Rn a tồn giới hạn lim t f (a tv) t f (a ) Khi giới hạn gọi đạo hàm hàm f theo hướng v a, kí hiệu f '(a, v) Trong trường hợp đặc biệt v vectơ sở tắc e1 , e2 , , en khơng gian R n ta có khái niệm sau: Định nghĩa 1.2.3 Nếu f '(a, ei ) tồn gọi đạo hàm riêng thứ i hàm f a, hay đạo hàm riêng theo biến xi hàm f a kí hiệu f (a) xi hay Di f (a) f 'x (a) i Ta có mối quan hệ đạo hàm, đạo hàm riêng đạo hàm theo hướng sau Định lí 1.2.3 Nếu hàm f khả vi a f có đạo hàm riêng theo biến a f '(a)(h) n i f (a)hi h (h1, h2 , .hn ) Rn xi Từ định lí ta suy f '(a) hàm tuyến tính xác định ma trận f f f (a), (a), , (a) xem f '(a) vectơ x1 x2 xn không gian Rn gọi vectơ gradient f a, thường kí hiệu Định lí 1.2.4 Nếu hàm f có đạo hàm riêng f (a) f f f ( x), ( x), , ( x) x1 x2 xn lân cận điểm a chúng hàm số liên tục a hàm f khả vi a f (a)h1 , h (h1, h2 , , hn ) Rn x1 n f '(a)(h) i Định lí 1.2.5 Nếu hàm f khả vi a có đạo hàm theo hướng a f '(a, v) f (a), v (v1, v2 , , ) Rn f '(a)(v) Cho U tập mở Rn , hàm f :U R, a (a1, a2 , , an ) U Giả sử Di f ( x) tồn với x U Như ta có ánh xạ R, x  Di f ( x) Di f :U Định nghĩa 1.2.4 Nếu hàm Di f có đạo hàm riêng theo biến thứ j a đạo hàm gọi đạo hàm riêng cấp hai f a theo biến thứ i thứ j hay f (a) xi x j theo biến xi x j , kí hiệu Dij f (a) hay Định lí 1.2.6 ( Định lí Schwarz ) Cho U tập mở Rm , hàm f :U R, a (a1, a2 , , an ) U Nếu f xi x j f tồn U liên tục a ta có: x j xi 2 f ( a) xi x j f ( a) x j xi Bằng quy nạp ta định nghĩa đạo hàm riêng cấp theo biến Áp dụng liên tiếp định lí 1.2.6 ta suy f có đạo hàm riêng liên tục đến p f (a)( p k ) không phụ thuộc vào x1 x2 xip cấp k U đạo hàm riêng thứ tự biến lấy đạo hàm Chúng viết dạng tắc: x1 f (a) , với x2 xn ( 1, n 2 n , ., n ) n số nguyên không âm, p Giả sử f khả vi U Khi ta có ánh xạ f ':U L(Rn , R), x f '( x) Định lí 1.2.5 i) Hàm f gọi khả vi liên tục hay thuộc lớp C1 U, kí hiệu f C1 (U ) , f ' liên tục ii) Hàm f gọi khả vi cấp hai a f ' khả vi a, tức tồn ánh xạ tuyến tính B : R n L( R n , R) cho: f '(a h) f '(a) B(h) Trong h (h1, h2 , , hn ) Rn , (h) (h) h h Ánh xạ B tồn gọi đạo hàm f ' a hay đạo hàm cấp hai f a, kí hiệu f "(a) hay D2 f (a) iii) Hàm f gọi khả vi cấp hai U f khả vi cấp hai x U Khi ánh xạ f ": x f "( x) liên tục f gọi khả vi cấp hai liên tục hay thuộc lớp C U, kí hiệu f C (U ) Định lí 1.2.7 Giả sử f khả vi cấp hai a Khi f "(a) ánh xạ song tuyến tính đối xứng từ Rn R vào cho R Bằng quy nạp ta định nghĩa hàm khả vi cấp p, hàm cấp p f a, kí hiệu f ( p ) (a) hay D( p ) f (a) ; hàm khả vi liên tục cấp p hay thuộc lớp C p U Nếu f khả vi cấp p a f ( p ) (a) ánh xạ p – tuyến tính đối xứng từ n p p R n R n x R    vào R Khi f khả vi cấp p a, ta viết D f (a)(h ) thay p h, h , ., h) cho việc viết D p f (a)(   p Định lí 1.2.8 Giả sử f khả vi cấp hai a Khi f có tất đạo hàm riêng a f "(a)(h, k ) n i, j f (a)hi hj xi x j Như f "(a) xác định ma trận vuông cấp n: 2 f f ( a ), , (a ) x1 x1 xn , 2 f f (a), ., (a) x1 xn xn ma trận gọi ma trận Hessian f a Tổng quát ta có: Định lí 1.2.9 Giả sử f khả vi cấp p a Khi f có tất đạo hàm riêng cấp p a f ( p ) (a)(h p ) p f (a)hn n , với h (h1 , h2 , , hn ) Rn n x1 xn 1.2.2 Các phép tính đạo hàm Các phép tính đạo hàm hàm khả vi cho phép ta tính đạo hàm hàm phức tạp thông qua đạo hàm hàm đơn giản tính gần giá trị đạo hàm Phép nhân vơ hướng Định lí 1.2.10 Giả sử f :U R khả vi a, R Khi hàm f khả vi a f '(a) f '(a) Phép cộng Định lí 1.2.11 Giả sử hàm f , g :U R khả vi a Khi hàm f + g khả vi a (f g )'(a) f '(a) g '(a) Định lí giá trị trung bình Ta gọi đoạn Rn với hai đầu mút a, b R tập hợp a, b : ta (1 t )b,0 t Định lí 1.2.12 Giả sử U tập mở Rn , a, b đoạn chứa U f :U R hàm khả vi U Khi tồn c a, b cho: 10 f '(c)(b a) f (b) f (a) Đạo hàm hàm hợp Định lí 1.2.13 Cho U tập mở Rn , hàm f :U Rm với ( f1, f , f n ) Giả sử với i = 1,2,…,m hàm fi khả vi a U ,V tập f mở chứa f(a) Rm , hàm g : V h g0 f :U khả vi f(a) Khi hàm R R khả vi a h '(a) g '( f (a)) f1 '(a), f '(a), , f m' (a) (1.2.1) (Vế phải (1.2.1) D1 g f (a) f1' (a) D2 g ( f (a) f 2' (a) Dm g f (a)) f m' (a) Cơng thức Taylor Định lí 1.2.14 Cho U tập mở Rm , f : U R1 a (a1 , a2 , , an ) U Giả sử f khả vi cấp k – U khả vi cấp k a Khi với h Rn với h nhỏ ta có f (a h) f (a ) k 1 k Df (a)(h) D f (a)(h2 ) D f (a)(hk ) h 1! 2! k! 1.3 Hàm khả vi từ Rn đến Rm Trong mục ta trình bày khái niệm kết mở rộng từ hàm vô hướng khả vi cho hàm vectơ khả vi 1.3.1 Các định nghĩa tính chất Cho f U tập mở Rn , f :U Rm hàm vectơ, ( f1 , f , f n ), a U Ta kí hiệu L(Rn , Rm ) khơng gian ánh xạ tuyến tính liên tục từ Rn vào Rm Định nghĩa 1.3.1 Hàm f gọi khả vi điểm a tồn ánh xạ tuyến tính liên tục L L(Rn , Rm ) cho: f (a h) f (a) L(h) o h 62 m Df x0 k i Dgi x0 k j i j Dh j x0 j Từ đó, ta có (3.1) (3.2), với 0, j I , j Dh j x0 j 1 j j j Ngược lại, K D, x0 = S x0 , nên m Df x0 k i Dg i x0 i j Dh j x0 0, v j với v K X , x0 Do Df x0 v , v S x0 , v , ta có , với v K X , x0 , v Df x0 v Theo định lí 3.3.1, ta có x0 điểm cực tiểu địa phương chặt f D: Định lí chứng minh Chú thích: Các điều kiện (3.1), (3.2) gọi điều kiện Kuhn-Tucker Cặp , gọi nhân tử Lagrange Bây ta xét hàm m L x f x k i gi x i j hj x j Hàm gọi hàm Lagrange Kí hiệu S0 x0 Dgi x0 v 0, i v I , X Dh j x0 v 0, j 1, , k , , Dgi x0 v j 0, i I , j ta nhận điều kiện tối ưu cấp hai qua định lí sau Định lí 3.4.2 ( Điều kiện tối ưu cấp hai ) Nếu x0 nghiệm tối ưu quy tốn (CP), tồn , R m R k , với 0, , , cho , với v S0 x0 D2 L x0 v, v Ngược lại, X không gian hữu hạn chiều, x0 chấp nhận thỏa mãn điều kiện: i) Tồn , thỏa mãn điều kiện Kuhn-Tucker (3.1), (3.2) 63 , với v S0 x0 , Df x0 v ii) D L x0 v, v , v , x0 nghiệm tối ưu chặt f D Chứng minh: Theo định lí 3.4.1, tồn , , với 0, , thỏa mãn , điểu kiện Kuhn-Tucker Đặt D0 x 0, D gi x i 0, gi x , Khi x0 cực tiểu hàm L x D0 , nên DL x0 i Định lí 3.3.2 khẳng định , với v K D0 , x0 = S0 x0 D L x0 v, v Giả sử ngược lại, x0 không nghiệm tối ưu chặt f D Ta suy tồn xn D , xn x , f xn f x0 Ta có lim n xn xn x0 x0 v X, vậy, v K D, x0 Theo bổ đề 3.4.1 DL x0 Df x0 v , ta khẳng định Sử dụng định lí giá trị trung bình để ý f xn chứng tỏ Df x0 v f x0 , ta có Df x0 v Và từ suy D2 L x0 v, v Điều Điều mâu thuẫn với giả thiết Định lí chứng minh 3.5 Điều kiện tối ưu cấp hai toán tối ưu vectơ Trong mục ta sử dụng khái niệm Jacobian xấp xỉ Hessian xấp xỉ có ánh xạ để xây dựng số điều kiện cần, điều kiện đủ cấp tồn nghiệm hữu hiệu ( hữu hiệu yếu ) toán tối ưu liên quan tới hàm khả vi liên tục không gian hữu hạn chiều Trước hết ta nhắc lại số khái niệm kí hiệu cần thiết sau: Cho A Rn tập rỗng Nón lùi xa tập A, kí hiệu A , tập hợp tất ti , với A , ti dãy số dương tiến dần tới không Từ định giới hạn lim i 64 nghĩa, ta thấy tập hợp giới nội nón lùi xa gồm phần tử Các phần tử nón lùi xa Hessian xấp xỉ gọi ma trận f x Hessian lùi xa Cho D Rn tập khác rỗng x0 D Nón tiếp tuyến cấp 1, kí hiệu T1 D, x0 , nón tiếp tuyến cấp 2, kí hiệu T2 D, x0 D x0 định nghĩa sau: T1 D, x0 T2 D, x0 R n : ti 0, xi x0 tiu o ti R n R n : ti 0, xi x0 tiu u u, v D , ti v o ti2 D Đặt C/ : với C ' nón cực nón C Rm D x0 t x x0 : t 1, 0, 0, x D, x x0 Ta xét tốn tối ưu khơng ràng buộc f x , (P) s.t x D với f : Rn R m hàm liên tục, D Rn tập hợp rỗng R m thứ tự nón lồi đóng, nhọn C có int C Ta nói rằng, x0 nghiệm hữu hiệu ( hữu hiệu yếu ) toán (P), f D f x0 ( tương ứng f D C f x0 f x0 int C , ) Ta có điều kiện cần cấp hai cho tốn (P) sau: Định lí 3.5.1 Giả thiết rằng, f hàm khả vi liên tục, x0 D nghiệm hữu hiệu yếu địa phương (P) Khi đó, với u, v i) Tồn cho f ánh xạ Hessian xấp xỉ f, nửa liên tục T2 D, x0 , ta khẳng định: 65 , f x0 u ii) Nếu f x0 u , tồn ' ' với M thuộc co cho , f x0 u f x0 M u, u 0, , ' với M thuộc co f x0 , M u, u 0, Hơn nữa, nón C nón đa diện (i) bất đẳng thức (ii) đúng, với Chứng minh: Lấy u, v xi ' , f x0 u 0, T2 D, x0 , ta có x0 tiu ti v o ti2 (3.3) D, ti dãy số dương tiến tới Vì x0 nghiệm hữu hiệu yếu địa phương, nên tồn i0 cho f xi c int C , i i0 f x0 (3.4) Do f khả vi liên tục, ta viết f xi f x0 f x0 x x0 o xi x0 Kết hợp với (3.4) ta suy f x0 u Điều chứng tỏ tồn cho , f x0 u Giả sử f x0 u Do c int C f nửa liên tục x0 nên với , tồn cho f x f x0 B , với x mà x x0 B hình cầu đơn vị đóng khơng gian L R n , L R n , R m Do đó, tồn i1 i0 cho 66 co f x0 , xi co B , với i f x0 Tiếp theo, áp dụng khai triển Taylor ta tìm M i co f xi f x0 M i xi f x0 x x0 x0 , xi i1 B cho f x0 x0 , i i1 Thay (3.3) vào đẳng thức trên, ta suy f xi ti f x0 f x0 v M i u, v i , với i 1 M i ti2v o ti2 , tiu ti v o ti2 2 f x0 o ti2 Kết hợp với (3.4),ta f x0 v c int C , i i i M i u, v t i1 (3.5) Xét dãy M i Nếu dãy M i giới nội, ta giả thiết rằng, M i tiến tới M với Mi co f x0 B Vì i i i t f x0 v Do (3.4), ta suy c int C M u, v bất kì, ta khẳng định tồn M co f x0 cho f x0 v c int C M u, u Điều tương đương với việc tồn ', f x0 u ' cho M u, u Nếu dãy M i không giới nội, tức lim M i i lim i Mi Mi M , ta giả thiết co f x0 Bằng cách chia (3.5) cho M i qua giới hạn i M u, u Điều chứng tỏ tồn ' cho 0, c int C , ta 67 ', M u, u 0, Bây giả sử C nón đa diện từ (3.4) suy tồn , f xi 0, i f x0 cho i0 Bằng cách lấy dãy con, ta giả thiết điều với i =1,2…… Vì f khả vi liên tục nên , f x0 u Khi Mi , f x0 u co 0, cách 0, lí luận trên, ta tìm B cho f x0 , f xi , ti2 f x0 f x0 v Hai bất đẳng thức (ii) thay ' M i u, v i Các định lí sau cho ta điều kiện cần đủ cấp hai Định lí 3.5.2 Cho f hàm khả vi liên tục f , Hessian xấp xỉ f, ánh xạ nửa x0 D Một điều kiện sau điều kiện đủ để x0 nghiệm hữu hiệu địa phương (P): i) Với u T1 D, x0 , tồn cho , f x0 u ii) Tồn cho, với v D x0 , u T1 D, x0 , ta có , với , f x0 u , M u, u thuộc , với , , M co f x0 co f x0 Chứng minh: Giả sử ngược lại, x0 không nghiệm hữu hiệu địa phương (P) Khi đó, tồn xi D , xi f xi Ta giả thiết f x0 C x0 , cho (3.6) 68 xi xi x0 x0 u T1 D, x0 , i Bằng cách chia (3.6) cho xi x0 chuyển qua giới hạn, ta suy C f x0 u Điều mâu thuẫn với i) Điều kiện đủ thứ chứng minh Xét điều kiện đủ thứ hai Với M i co f x0 f xi cho trước, áp dụng khai triển Taylor, ta tìm B cho f x0 f x0 M i xi x x0 x0 , xi x0 (3.7) Từ bất đẳng thức thứ ii), ta có f x0 xi Với i tồn i i , f x0 int C , với i đủ lớn c x0 cho xi x0 (3.8) Từ (3.6) ta suy i , f xi f x0 Kết hợp (3.7) (3.8), ta i Hơn nữa, , M i xi x0 , xi x0 , với i đủ lớn compact, ta giả thiết i Xét trường hợp M i ỏ Định lí 3.5.1, ta suy i với M thuộc co f x0 , M u, u co f x0 0, Điều mâu thuẫn với giả thiết ii) Định lí chứng minh Định lí 3.5.3 Cho f hàm khả vi liên tục với cho, với v D f , Hessian xấp xỉ f Nếu tồn x0 , , f x0 v , với 69 Và , f x0 v với , M f x , với xi x0 ,thì x0 nghiệm hữu hiệu yếu địa phương (P) Chứng minh: Giả sử x0 không nghiệm hữu hiệu yếu địa phương (P) Khi đó, tồn x D , với x x0 f x , cho f x0 (3.9) int C Lấy v x x0 , ta suy ra, v D x0 Từ bất đẳng thức ta khẳng định f x0 v M ( int C )c , C , với M v, v f x , với xi x0 Vì C nón lồi, đóng, nên từ bao hàm thức ta kết luận co f x C Và khai triển Taylor cho ta f x f x0 co f x0 v int C f x0 , x v, v c c int C C Điều trái với (3.9) Định lí chứng minh Xét tốn tối ưu có ràng buộc f x , (CP) x D với D tập ràng buộc D g : R n R k , h : Rn x Rn g x 0, h x Rl ánh xạ cho trước Với C/ , Rk , Rl hàm Lagrange xác định: L x, , , ,f x ,g x ,h x Đặt D0 Với R n : gi x x , , L , , , 0, , 0; h x cho trước, ta viết L x thay cho L x, , , i 0, gi x i theo biến x Ta có điều kiện cần cấp hai sau L gradient 70 Định lí 3.5.4 Giả sử f, g, h hàm khả vi liên tục, C nón đa diện lồi L, Hessian xấp xủ L nửa liên tục x0 Nếu x0 nghiệm hữu hiệu yếu địa phương (CP), tồn vecto khác khơng L x0 , , , với u, v T2 D, x0 , tồn cho u , ta có u L x0 , , , với M thuộc co L x0 , , , co L x0 , , , C / R k Rl cho , , L x0 , , , Trong trường hợp L x0 , , , v 0, M u, u , M u,u , với M thuộc Chứng minh: Ta dễ dàng thấy rằng, với nón lồi đóng, có phần khác rỗng C x0 nghiệm hữu hiệu yếu toán (CP), tồn , , để L x0 , , , Lấy u, v T2 D, x0 xi với ti , i x0 tiu ti v o ti2 D0 , Vì x0 nghiệm hữu hiệu yếu địa phương toán (CP), nên tồn i0 cho f xi int C , với i i0 c f x0 Hơn nữa, C đa diện, nên tồn , f xi f x0 cho (3.10) với i đủ lớn Ta giả thiết điều với i i0 Vì tục x0 , với L nửa liên tùy ý cho trước, áp dụng khai triển Taylor cho L ta tìm 71 Mi co L x0 B Sao cho L xi L x0 L x0 xi x0 M i xi x0 , xi x0 , với i đủ lớn Thay biểu thức xi x0 ti v o ti2 tiu vào đẳng thức sử dụng bất đẳng thức (3.10), ta ti L x0 u ti2 L x0 v M i u, u i , i 1 M i ti2v o ti2 , ti u ti v o ti2 2 1 M i ti u, ti2v o ti2 2 Chia bất đẳng thức cho ti lấy giới hạn ti L x0 u Khi L x0 u L x0 o ti2 , ta 0 , từ bất đẳng thức trên, ta có L x0 v M i u, u i ti2 Bằng cách lập luận tương tự Định lí 3.5.1, ta chứng minh bất đẳng thức lại Định lí chứng minh Ta có điều kiện đủ sau cho tốn có ràng buộc Định lí 3.5.5 Giả sử f, g, h hàm khả vi liên tục và, với u T1 D, x0 , tồn , , R k Rl cho L x0 , , , M u, u , với M co L x0 0, , g x0 co L x0 0, , L , Hessian xấp xỉ L, nửa liên tục x0 Khi đó, x0 nghiệm hữu hiệu địa phương (CP) 72 Chứng minh: Nếu x0 không nghiệm hữu hiệu địa phương (CP), tồn xi D , xi x0 , cho f xi C f x0 Ta giả thiết xi xi x0 x0 u T1 D, x0 Từ suy L xi , với i L x0 Sử dụng khai triển Taylor cho L tính nửa liên tục L xi L x0 L xi xi co x0 co L x0 xi L x0 , xi xi x0 B xi x0 , xi L , ta x0 , xi x0 x0 , với i đủ lớn Hệ thức chứng tỏ M i xi x0 , xi x0 co L x0 xi 0, với Mi x0 B i đủ lớn Bằng cách lập luận tương tự chứng minh định lí 3.5.1, ta suy tồn ma trận Mi co L x0 co L x0 cho M u, u Điều trái với giả thiết Ta có định lí chứng minh Định lí 3.5.6 Giả sử f, g, h khả vi liên tục tồn v D x0 , tồn vectơ , , R k Rl Hessian xấp xỉ để L x0 , , , cho với 0, , g x0 0, L , , , L 73 M u, u , với M L x, , , , xi x0 Khi ấy, x0 nghiệm hữu hiệu yếu địa phương (CP) Định lí chứng minh tương tự định lí 3.5.2 Trong phần cuối mục ta đưa ví dụ minh họa cho Định lí 3.5.4 điều kiện cần tốn tối ưu có ràng buộc Các định lí khác điều kiện đủ xây dựng tương tự Xét toán tối ưu hai mục tiêu sau: s t x x, x y y4 Không gian R2 thứ tự phần nón R Ta thấy ( 0, ) nghiệm hữu hiệu địa phương toán Lấy 0,1 , hàm Lagrange toán L x, y , , x y x y x x2 Từ suy 0, L 0, , , Và tập D0 xác định: D0 Lấy u R2 : x2 2, Hiển nhiên u, v 0,1 v 3.5.4, tồn x, y , R , với y4 T2 D0 0,0 Như vậy, theo định lí , cho L 0, , , u Bằng tính tốn ta có L 0,0 , , ,0 L 0, , , u 74 Như vậy, kết luận Hơn nữa, bất đẳng thức xảy dấu bằng, nên tồn M co L 0,0 , M lí 3.5.4 Với thỏa mãn kết luận lại định co L x0 trên, ta chọn định nghĩa 2 2x L x, y 0 12 y , voix L 0, y 2 12 1 y2 , vói Khi ánh xạ đa trị x, y L x, y ánh xạ Hessian xấp xỉ L nửa liên tục ( 0, ) Hơn nữa, với M co L 0,0 , ta có: L 0,0 v M u, u Như từ bất đẳng thức thứ điều kiện cấp hai định lí khơng Do L 0, y 2 12 y2 , vói , nên nón lùi xa L 0, xác định bởi: L 0,0 0 , 0 Lấy M* ta có M * u, u 0 co L 0,0 , Như vậy, điều kiện cịn lại định lí 75 KẾT LUẬN Luận văn trình bày lý thuyết Jacobian xấp xỉ hàm liên tục không gian hữu hạn chiều Sử dụng Jacobian xấp xỉ ta xây dựng số kiện cần đủ cấp hai cho toán tối ưu hàm vecto khả vi liên tục không gian hữu hạn chiều Có thể nói Jacobian xấp xỉ công cụ hữu hiệu ứng dụng toán tối ưu Việc nghiên cứu Jacobian xấp xỉ mở rộng, thống làm sâu sắc nhiều kết giải tích khơng trơn tối ưu hóa Tuy nhiên, ngồi vấn đề đề cập luận văn, Jacobian xấp xỉ dùng số khía cạnh khác, dùng Jacobian xấp xỉ đặc trưng cho tính tựa lồi, tính lồi, tính đơn điệu hàm liên tục Và cịn nhiều câu hỏi đặt Jacobian xấp xỉ, chẳng hạn mở rộng khái niệm kết có khơng gian vơ hạn chiều khơng? Đó vấn đề cần tiếp tục nghiên cứu 76 Tài liệu tham khảo D.V.Luu (1999), Lý thuyết điều kiện tối ưu, NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà nội L.D.Muu (1998), Nhập môn phương pháp tối ưu, NXB Khoa học Kỹ thuật Hà nội F.H.Clarke (1983), Optimization and Nonsmooth Analysis, Wiley, NewYork R.T.Rockafellar (1970), Conevex Analysis, Printon University Press, Princeton, NewYork V.Jeyakumar and D.T.Luc (1998) “Approximate Jacobian Matrices for Nonsmooth Continous Maps and C1 -Optimization”, SIAM J.control Optimization, 36, 1815-1832 V.Jeyakumar and D.T.Luc (1999), “Nonsmooth Calculus, Minimality and Monotonicity of Convexificators”, J.Optimization Theory Appl, 101, 599-621 V.Jeyakumar and D.T.Luc ( 2010) Nonsmooth vector fuctios and continuous, Springer, NewYork