Xấp xỉ bài toán elliptic

1 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Phương trình vi phân đạo hàm riêng khơng xuất mơ hình tốn học nhiều tượng vật lý, hóa học sinh học; mà cịn phát sinh nhiều lĩnh vực chủ đề khác như: động lực học chất lỏng, tượng điện từ, khoa học vật liệu, vật lý học thiên thể, kinh tế, mơ hình tài chính, Thơng thường phương trình xét đến phức tạp nên việc tìm nghiệm chúng dạng đóng túy theo nghĩa giải tích (tức phương pháp biến đổi Laplace Fourier dạng chuỗi lũy thừa) khơng thể khó thực người ta phải tìm đến giải pháp xấp xi số nghiệm giải tích chưa biết Ở ta quan tâm đến lớp kỹ thuật số đặc biệt để xấp xỉ nghiệm phương trình đạo hàm riêng: phương pháp phần tử hữu hạn Phương pháp trình bày cơng trình tạo tảng cho phát triển sau Richard Courant (năm 1943); thật khơng may, tính xác thực báo không công nhận ý tưởng bị lãng quên Đầu năm 1950, phương pháp phần tử hữu hạn phát lại nhờ nhà kỹ thuật, nhiên việc giải thích sở tốn học xấp xỉ phần tử hữu hạn bắt đầu muộn (năm 1960); kết quan trọng thuộc Milos Zlámal (năm 1968) Từ phương pháp phần tử hữu hạn phát triển lớp phương pháp tổng quát hữu hiệu việc giải số phương trình vi phân hay phương trình đạo hàm riêng sử dụng rộng rãi thiết kế kỹ thuật giải tích Phương pháp phần tử hữu hạn phương pháp tìm nghiệm gần tốn phương trình vi phân hay phương trình đạo hàm riêng cách thay tốn khơng gian hàm V tốn khơng gian Vn hữu hạn chiều V để đưa việc giải toán Vn việc giải hệ phương trình đại số tuyến tính dễ giải có lời giải ổn định Đây tốn có ý nghĩa lý thuyết ứng dụng Vì tơi chọn đề tài: “ Xấp xỉ toán elliptic” làm luận văn tốt nghiệp thân Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu khơng gian phần tử hữu hạn; xấp xỉ đa thức không gian Sobolev; xấp xỉ phương trình đạo hàm riêng elliptic phương pháp phần tử hữu hạn Nội dung nghiên cứu - Tìm hiểu khái niệm: nghiệm yếu tốn elliptic; hàm sở tuyến tính khúc; tốn elliptic tự liên hợp; phép tính kết cấu ma trận độ cứng; - Tính trực giao Galerkin; bổ đề Céa; Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu chuyên khảo báo liên quan nhằm tổng hợp kiến thức sở phương pháp giải vấn đề, từ vận dụng phương pháp hay dùng lý thuyết xấp xỉ để đưa chứng minh kết toán nghiên cứu luận văn 2 Ý nghĩa khoa thực tiễn đề tài: Luận văn tài liệu tham khảo bổ ích cho giáo viên, học viên cao học người muốn tìm hiểu xấp xỉ tốn elliptic phương pháp phần tử hữu hạn Bố cục luận văn Ngoài phần mở đầu kết luận, luận văn gồm chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị 1.1 Khơng gian Sobolev 1.2 Nghiệm yếu tốn elliptic Chương 2: Xấp xỉ toán elliptic 2.1 Hàm sở tuyến tính khúc; 2.2 Bài tốn elliptic tự liên hợp; 2.3 Phép tính kết cấu ma trận độ cứng; 2.4 Tính trực giao Galerkin; bổ đề Céa Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian Sobolev 1.1.1 Đạo hàm yếu: Giả sử u hàm trơn, u  C k (Ω) , với Ω tập mở  n , v  C0 Ω ; cơng thức lấy tích phân phần sau:  D u ( x).v( x)dx  (1)  u( x).D   Ω  v( x) dx,   k , v  C0 (Ω) Ω Định nghĩa 1.1.1 Giả sử u hàm khả tích địa phương xác định Ω (nghĩa u  L1 ( ) , với tập mở bị chặn  ,   Ω ) Nếu tồn hàm  khả tích địa phương Ω cho      ( x).v( x)dx  (1)  u( x).D v( x)dx, v  C0 () Ω Ω ta nói  đạo hàm yếu cấp   1    n hàm u , ta viết   D u Ví dụ 1.1.2 Cho Ω   , giả sử ta muốn xác định đạo hàm yếu cấp hàm u ( x)  1  x  xác định Ω Rõ ràng u không khả vi điểm 1 Tuy nhiên, u khả tích địa phương Ω nên có đạo hàm yếu 1.1.2 Khơng gian Sobolev Định nghĩa 1.1.3 Cho k số nguyên không âm giả sử p  1,   Ký hiệu D đạo hàm yếu cấp  Khi Wpk  Ω   u  L p  Ω  : Du  L p  Ω  ,   k  gọi không gian Sobolev cấp k, với chuẩn (Sobolev) u W pk ( Ω ) u  :   D  u   k  : W k ( Ω ) u Cho     L p (Ω )   Du W pk ( Ω ) với p  1,   , ta viết u W pk ( Ω )   D u  k  k :   u  j0 Tương tự, cho u W k (Ω ) :   p   p   L ( Ω ) k  :    p p   p j Wp (Ω ) D u k p L p (Ω )       p , p , L ( Ω ) ta có u Khi k  , W k p (Ω ) W k ( Ω ) k  : u W j (  ) j0 gọi nửa chuẩn Sobolev Wpk (Ω) Một trường hợp đặc biệt quan trọng ứng với p  , không gian W2k (Ω) không gian Hilbert với tích  u, v W (Ω) :   D u, D v  k  k Với lý này, ta viết H k (Ω) thay cho W2k (Ω) Trong luận văn này, ta thường xun nói đến khơng gian Sobolev - Hilbert H (Ω) H (Ω) Định nghĩa Wpk (Ω) chuẩn nửa chuẩn với p  2, k  sau:   u H (Ω )   u  L (Ω ) :  L2 (Ω ), j  1, , n  x j   u H (Ω ) u H1 (Ω ) Tương tự với p  k    u  L2 ( Ω )  n u     j 1  x j n  j 1 u x j 12    L2 ( Ω )   12    L2 ( Ω )   H ( Ω )  u  L ( Ω ) : u  L ( Ω ), j  1, , n ; x j  2u  L ( Ω ),  x i  x j u u H H 2 (Ω ) (Ω )     u  L2 ( Ω )  u x j n  j 1  n  2u     j   x i  x j i , j  1, , n  ,    L2 ( Ω )    L2 ( Ω ) n  i , j 1  2u  x i  x j    L2 (Ω )   2 Sau cùng, ta xác định không gian Sobolev đặc biệt H 01 (Ω) bao đóng C0 (Ω) theo chuẩn H (Ω) , nói cách khác H 01 (Ω) tập hợp u  H (Ω) cho u giới hạn H (Ω) dãy um m1 với um  C0 (Ω) Điều (giả thiết Ω đủ trơn) H 01 (Ω)  u  H (Ω) : u  Ω , nghĩa H 01 (Ω) tập hợp hàm u H (Ω) cho u=0 Ω ( biên tập hợp Ω ) Bổ đề 1.1.4 (Bất đẳng thức Poincaré – Friedrichs) Giả sử Ω tập mở bị chặn  n (với biên Ω đủ trơn) u  H 01 (Ω) , tồn số c* () độc lập với u thỏa mãn   u ( x) Ω n dx  c*   i 1 Ω u ( x ) dx  xi (1.1) Dễ thấy: Nếu Ω  (0,1)   c*  ; tương tự, Ω  (0,1)   c*  1.2 Nghiệm yếu toán elliptic Các phương trình elliptic điển hình cho phương trình Laplace: u  trường hợp không phương trình Poisson: u  f , ta sử dụng ký hiệu toán tử Laplace n 2  i 1 xi Tổng quát hơn, cho Ω tập mở bị chặn  n , xét phương trình đạo hàm riêng cấp hai tuyến tính n   u  n u  a ( x )  c( x)u  f ( x), x   (1.2)  ij    bi ( x) xi  i 1 xi i , j 1 x j  đây, hệ số aij , b j , c f thỏa mãn điều kiện      , aij  C1 Ω  , i, j  1, , n; bi  C Ω n  a ( x)  i , j 1 ij i      , i  1, , n; c  C Ω  , f C Ω n j ;  c  i2 ,   1 ,  n    n , x   (1.3) i 1  bao đóng  ; c số dương độc lập với x  Điều kiện (1.3)  thường liên quan đến tính elliptic (1.2) phương trình elliptic Ta bắt đầu việc xét toán giá trị biên Dirichlet   u  n u   c ( x)u  f ( x),  aij    bi ( x) xi  i 1 xi i , j 1 x j  n x Ω (1.4) u=0 Ω (1.5) Một hàm u  C  Ω  C  Ω  thỏa mãn (1.4) (1.5) gọi nghiệm cổ điển toán Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng (1.4), (1.5) có nghiệm cổ điển nhất, với điều kiện aij , bi , c, f Ω có đủ trơn Tuy nhiên, thực hành có phương trình tính trơn bị vi phạm tốn theo lý thuyết cổ điển khơng thích hợp Chẳng hạn, phương trình Poisson với điều kiện biên Dirichlet không Ω  (1,1) n  n 1  u  sgn   x  , 2  u  0,  x Ω   x  Ω    Bài toán khơng có nghiệm cổ điển u  C  Ω  C  Ω  ,  u không liên tục 1  Ω , sgn   x  không liên tục Ω 2  Ta xét tốn sau: Tìm u H 01 (Ω) cho n   aij i , j 1 Ω n u u u dx    bi ( x) vdx xi x j xi i 1 Ω   c( x)uvdx   f ( x )v( x)dx, Ω v  C01 (Ω) (1.6) Ω Định nghĩa 1.1.5 Cho aij  L (Ω), i, j  1, , n, bi  L (Ω), i  1, , n, c  L (Ω) f  L (Ω) Hàm u  H 01 (Ω) thỏa mãn n n u u u aij ( x) dx    bi ( x) vdx   xi x j xi i , j 1 Ω i 1 Ω   c( x)uvdx   f ( x)v( x)dx, Ω v  H 01 (Ω) (1.7) Ω gọi nghiệm yếu (1.4), (1.5) Mọi đạo hàm riêng (1.7) hiểu đạo hàm yếu Để đơn giản cách viết, ta dùng ký hiệu sau a( , v )  n   aij ( x) i , j 1 Ω n   v vdx   c( x )vdx dx    bi ( x) xi x j xi i 1 Ω Ω (1.8)  l (v )   f ( x)v( x)dx (1.9) Ω Với ký hiệu này, tốn (1.7) viết sau: Tìm u  H 01 (Ω) cho a(u, v)  l (v), v  H 01 (Ω) (1.10) Định lý 1.1.6 (Định lý Lax – Milgram) Giả sử V không gian Hilbert trang bị chuẩn V cho a(.,.) phiếm hàm song tuyến tính V x V cho (a) c0  0, v  V : a(v, v )  c0 v V (b) c1  0, v,   V : a ( , v)  c1  V v V , cho l (.) phiếm hàm tuyến tính V thỏa mãn (c) c2  0, v  V : l (v)  C2 v V Khi đó, tồn u  V cho a (u , v )  l (v ), v  V Định lý 1.1.7 Giả sử aij  L (Ω), i, j  1, , n, bi  W1 (Ω), i  1, , n, c  L (Ω), f  L2 (Ω) giả thiết (1.3) (1.13) thỏa mãn, tốn giá trị biên (1.4), (1.5) có nghiệm yếu u  H 01 (Ω) Hơn u H (Ω )  f L (Ω ) (1.17) c0 Chú thích 1.1.8 Xét tốn giá trị biên hỗn hợp Dirichlet – Neumann sau u  f Ω u 0 trª n 1 u g v trª n 2 1 tập mở tương đối, khác rỗng Ω 1    Ω Ta giả sử f  L2 () g  L2    Sau đây, lý luận tương tự trường hợp toán giá trị biên Dirichlet, ta xét không gian Sobolev đặc biệt H 0,1 1  Ω   v  H (Ω) : v  trª n 1 xác định cơng thức yếu toán hỗn hợp sau : Tìm u  H 0,1   Ω cho a (u , v)  l (v) với v H 0,1   Ω , ta đặt 1 n a (u , v )    Ω i 1 u v dx l (v )   f ( x)v( x) dx   g ( s)v( s )ds xi xi Ω  Áp dụng định lý Lax – Milgram với V  H  Ω  , tồn nghiệm yếu cho toán hỗn hợp dễ dàng sau Chú thích 1.1.9 Định lý 1.1.7 kéo theo cơng thức yếu tốn giá trị biên elliptic (1.4), (1.5) đặt ý nghĩa Hadamard, cụ thể là, với f  L2  Ω tồn nghiệm yếu u  H 01  Ω , thay đổi ‘‘nhỏ’’ f làm tăng thay đổi ‘‘nhỏ’’ nghiệm tương ứng u Tính chất thứ hai theo sau cách lưu ý u1 u2 nghiệm yếu H 01  Ω (1.4) , (1.5) tương ứng vế phải f1  f  L2  Ω Do theo (1.17) 0,  u1  u2 H (Ω )  f1  f c0 L2 ( Ω ) (1.18) địi hỏi phụ thuộc liên tục nghiệm toán giá trị biên vế phải Chú thích 1.1.10 Yêu cầu bi  W1  Ω  Định lý 1.1.7 giảm nhẹ giả thiết ban đầu bi  L Ω  , i  1, , n Để thấy điều này, ý yêu cầu tính trơn bi không liên quan đến việc xác minh điều kiện (c) định lý Lax – Milgram, điều kiện (b) với bi  L Ω  , i  1, , n nhiều cách Do đó, cịn phải xem điều kiện (a) xác minh theo giả thiết bi  L Ω  , i  1, , n Do (1.3) bất đẳng thức Cauchy – Schwarz 12  n  a  v, v   c v H (Ω )    bi L (Ω )  v H (Ω ) v L (Ω )   i 1  2 2     c( x) v( x) dx  c v H (Ω )    c( x)   bi L (Ω )  v( x) dx  c  Ω Ω Giả thiết c( x )  ta bất đẳng thức n  bi c i 1 L ( Ω ) 0 (1.19) n v a (v, v )  c   dx , i 1 Ω xi tương tự (1.14) Do đó, tiến hành theo cách tương tự trình chuyển đổi (1.14) đến (1.16) ta đến (1.16) với c0  c (2  2c ); điều xác minh điều kiện (a) định lý Lax – Milgram, giả thiết bi  L Ω  , i  1, , n (1.3), (1.19) thỏa mãn 8 Chương XẤP XỈ BÀI TOÁN ELLIPTIC Bước xây dựng phương pháp phần tử hữu hạn cho tốn elliptic giá trị biên (ví dụ (1.4); (1.5) chuyển đổi toán thành dạng yếu: Tìm u  V cho a  u, v   l  v  , v  V ,  P V không gian nghiệm (thí dụ H V  với tốn giá trị biên Dirichlet nhất), a(.,.) phiếm hàm song tuyến tính V  V , l (.) phiếm hàm tuyến tính V (thí dụ (1.8) (1.9)) Bước thứ hai phép dựng thay V (p) không gian Vh  V gồm hàm đa thức khúc liên tục có cấp liên kết cố định với phân chia nhỏ miền tính tốn, xét xấp xỉ sau (P): Tìm uh  Vh cho a  uh , vh  =l  vh  , vh  Vh ( Ph ) Giả sử, ví dụ dimV  N  h  V  span 1 , 2 , , N  h   h h hàm sở độc lập tuyến tính i , i  1, 2, , N  h  có giá trị “nhỏ” Biểu thức nghiệm xấp xỉ uh hàm sở i , ta viết uh ( x )  N (h)  U  ( x) i 1 () i i U i , i  1, , N (h) xác định Vì ( Ph ) viết lại sau: Tìm U1 , U , ,U N ( h)    N ( h) cho N (h)  a  ,   U i i 1 j i  l  j  , j  1, 2, N (h ) ( Ph/ ) Đây hệ phương trình tuyến tính với U  U1 , ,U N ( h )  , ma trận hệ T A   a ( j , i )  có kích thước N ( h)  N ( h) Vì i có giá nhỏ, a  j , i   với nhiều cặp i j , ma trận A thưa (theo nghĩa nhiều thành phần 0; tính chất quan trọng từ nghiệm hiệu dụng trường hợp riêng, phương pháp lặp nhanh khả dụng với hệ tuyến tính thưa Một ( Phi ) giải với U  U1 , U N ( h )  , mở rộng (**) quy định cần xấp xỉ từ u 2.1 Các hàm sở tuyến tính khúc 2.1.1 Bài toán chiều Ta xét toán giá trị biên T   p ( x)u /   q ( x)u  f ( x), / u (0)  0, u (1)  0, x  (0,1), (2.1) (2.2) p  C0,1 , q  C0,1 , f  L2 (0,1) với p( x)  c  q( x)  với x thuộc  0,1 Công thức yếu tốn là: Tìm u  H 01 (0,1) cho 1  p( x)u ( x)v ( x)dx   q( x)u ( x)v( x)dx   f ( x)v( x)dx, /  v  H 01 (0,1) / ( P) Trong trình tự xây dựng xấp xỉ phần tử hữu hạn toán này, ta chia Ω   0,1 thành N đoạn  xi , xi 1  , i  0,1, , N  điểm xi  ih, i  0,1, , N , h  N , N  (Hình 2.1)  Hình 2.1: Sự phân chia Ω   0,1 Ta ý rằng, tổng quát điểm chia xi không cần cách nhau, ta chọn cách để đơn giản việc giải thích Các khoảng (xi; xi+1) miêu tả miền phần tử hay phần tử (do có tên phương pháp phần tử hữu hạn) Trong ví dụ này, nghiệm yếu u  H 01 (0,1) toán ( P) xấp xỉ hàm liên tục tuyến tính khúc chia nhỏ, miêu tả Hình 2.1 Hình 2.2: Hàm tuyến tính khúc hữu hạn phần tử i ( x) Điều thuận tiện cho việc biểu thị xấp xỉ tổ hợp tuyến tính hàm sở phần tử hữu hạn  i ( x)  1  x  x1   , i  1, , N  1, h   Hình 2.2 Rõ ràng i  H  0,1 supp i   xi 1 , xi 1  , i  1, 2, , N  hàm i , i  1, 2, , N  độc lập tuyến tính, Vh : span 1 , 2 , , N 1 không gian ( N  1) chiều H 01 (0,1) Xấp xỉ phần tử hữu hạn ( P) là: 10 Tìm uh  Vh cho  1 0 p ( x )uh/ ( x )vh/ ( x ) dx   g ( x )uh ( x )vh ( x ) dx   f ( x )vh ( x ) dx, vh  Vh ( Ph ) Từ uh  Vh  span 1 , 2 , N 1 viết lại tổ hợp tuyến tính hàm sở N 1 uh ( x)    i.i ( x) i 1 Thay triển khai vào  Ph  ta nhận toán tương đương  Ph  : Tìm   (1 , ,  N 1 )T   N 1 cho   U i   p( x) ( x) ( x)  q( x)i ( x) j ( x)  dx      f ( x) j ( x) dx    víi j =1, ,N-1 / i / j P  / h Đặt a ji :   p ( x)i/ ( x) j/ ( x)  q ( x)i ( x) j ( x), i, j  1, , N  1; F j :  f ( x)  j ( x)dx, j  1, , N   P  viết lại hệ phương trình tuyến tính AU  F , T A   a  , F   F , , F  Ma trận A đối xứng (nghĩa A =A) xác định dương / h T ji N 1 (nghĩa xT Ax  0, x  ) Vì supp i  supp  j có phần rỗng i  j  nên ma trận A tam giác chéo (cụ thể a ji 0, trừ i  j  ) Để có nghiệm hệ phương trình tuyến tính AU  F , ta thay giá trị U1 , , U N 1 khai triển N 1 uh ( x)   U i i ( x) i 1 nhận uh 2.1.2 Bài toán hai chiều Giả sử  miền bị chặn  với biên đa giác Ω , Ω bị phủ số hữu hạn tam giác Giả thiết cặp tam giác phép tam giác phân Ω giao dọc theo cạnh, đỉnh không điểm nào, Hình 2.3 Ta ký hiệu hk đường kính (cạnh dài nhất) tam giác K h  max h k k Với đỉnh (ghi dấu  hình) ta liên kết hàm sở  đỉnh đỉnh khác; giả định  hàm liên tục Ω tuyến tính tam giác, Hình 2.4 11 Hình 2.3 Một phân chia nhỏ Ω Ta ký hiệu đỉnh 1,2,…,N(h) ; giả sử 1 ( x, y ), N ( h ) ( x, y ) hàm sở tương ứng Các hàm 1 , N ( h ) độc lập tuyến tính bao tuyến tính chúng khơng gian tuyến tính N(h) – chiều Vk H 01  Ω Ta xét toán elliptic giá trị biên u  f Ω u  Ω Để xây dựng xấp xỉ hữu hạn phần tử toán, ta xét dạng yếu nó: Tìm u  H 01  Ω cho  u v u v    dxdy   fvdxdy , v  H () x y y  Ω Ω   x Xấp xỉ phần tử hữu hạn tốn là: Tìm uh  Vh cho  uh vh uh vh   dxdy   fvh dxdy , vh  Vh x y y  Ω Ω   x Với uh ( x, y )  N (h)    ( x, y ) i 1 i i phương pháp phần tử hữu hạn trình bày sau: T Tìm U  U1 , ,U N ( h )    N ( h ) cho N (h)   i  j i  j    dxdy   f  j dxdy x y y  Ω Ω  U    x  i 1 i 12 với j  1, 2, , N (h) Hình 2.4 Một hàm sở hữu hạn phần tử điển hình  Giả sử: A   aij  , F   F1 , , FN ( h )  , T    j i  j  aij  a ji    i   dxdy x x y y  Ω F j   f  j dxdy Ω Xấp xỉ phần tử hữu hạn viết hệ phương trình tuyến tính AU  F Giải hệ này, ta nhận U  U1 , ,U N ( h )  , nghiệm xấp xỉ T uh ( x, y )  N (h)  U  ( x, y ) i 1 i i Ma trận A gọi ma trận độ cứng Để đơn giản, ta giả sử Ω  (0,1)  (0,1) xét phép tam giác phân Ω Hình 2.5 Phép tam giác tổng quát xét sau Giả sử ij ký hiệu hàm sở liên kết với điểm  xi , y j  : 13 y  yi  x  xi  , 1  h h   y  yi 1  , h   x x 1  i , h   x x y y ij  x, y   1  i  i , h h  y y  , 1  i h   x  xi , 1  h  0,    ( x, y ) 1 ( x, y )  ( x, y )  ( x, y )  ( x, y )  ( x, y )  trường hợp lại õy 1,2, ký hiệu tam giác vây quanh nút  xi , y j  (xem Hình 2.6)  1 h ,  0,   h, ij    h, x  0,  1 h ,  0,  ( x, y )  ( x, y )  ( x, y )  ( x, y )  ( x, y )  ( x, y )  trường hợp lại v h ,   1 h ,  ij  0,   h , y  h,   0,  0,  ( x, y) 1 ( x, y)  ( x, y )  ( x, y )  ( x, y ) ( x, y) trường hợp lại 14 Hỡnh 2.5: Phộp tam giỏc phõn   0,1   0,1 Từ  ij kl ij kl  U ij     dxdy y y  i 1 j 1  x x  4U kl  U k 1,l  U k 1,l  U k ,l 1  U k ,l 1 , k , l  1, , N  1, N 1 N 1  Xấp xỉ phần tử hữu hạn tương đương   U k 1,l  2U k ,l  U k 1,l h h2  suppk ,l f ( x, y )  U k ,l  Ω U k ,l 1  2U k ,l  U k ,l 1 k ,l h2 ( x, y ), k , l  1, , N  1, 15 Hình 2.6: Các tam giác vây quanh nút Như vậy, phép tam giác phân đặc biệt Ω , xấp xỉ phần tử hữu hạn tạo sơ đồ sai phân hữu hạn 5- điểm thông thường với hàm lực f trung bình theo phương pháp đặc biệt 2.2 Bài toán elliptic tự liên hợp Trong chương I, ta xét toán elliptic giá trị biên:  x j n  ij 1  u  n u a ( x )  c( x)u  f ( x, ) x  Ω  ij    bi ( x) xi  i 1 xi  u  Ω (2.3) (2.4) Ω tập mở bị chặn  n , aij  L  Ω , i, j  1, , n; bi  W1  Ω  , i  1, , n; c  L  Ω  , f  L2  Ω  giả thiết tồn số dương c cho n  a ( x)  i , j 1 ij i n j  c  i2 ,   1 ,  n    n , x  Ω (2.5) i 1 Ta biết công thức yếu (2.3), (2.4) là: Tìm u  H 01    cho a  u, v   l (u ), u  H 01 () (2.6) phiếm hàm song tuyến tính a(.,.) phiếm hàm tuyến tính l (.) xác định a (u , v)  n   aij i , j 1 Ω n u u u dx    bi ( x) vdx   c( x)uvdx, xi x j x1 i 1  Ω l  v    f ( x) v( x)dx Ω Ta chứng tỏ c( x)  n bi   0, i 1 xi x  Ω, (2.6) có nghiệm u H 01  Ω nghiệm yếu (2.3), (2.4) Trong trường hợp đặc biệt, toán giá trị biên tự liên hợp, tức 16 aij ( x)  a ji ( x), i, j  1, , n, x Ω bi ( x)  0, i  1, , n, x Ω Phiếm hàm song tuyến tính a(.,.) đối xứng, nghĩa a (v, u )  a (u , v), v, u  H 01 (Ω) ; phần cịn lại mục này, ta ln giả định trường hợp Như ta xét  u  (2.7)  aij ( x)   c( x)u  f ( x), x  Ω  x  i  u  Ω với aij ( x) thỏa mãn điều kiện tính elliptic (2.5); aij ( x)  a ji ( x), c( x)  0, x Ω  i , j 1 x j n  Thật (2.7) phát biểu tốn cực tiểu hóa Chính xác hơn, ta xác định phiếm hàm bậc hai J : H 01 (Ω)   J (v )  a (v, v)  l (v), v  H 01 (Ω) Bổ đề 2.1.1 Cho u nghiệm yếu (duy nhất) (2.6) H 01  Ω giả sử a (.,.) phiếm hàm song tuyến tính đối xứng H 01  Ω ; u cực tiểu hóa J (.) H 01  Ω Từ dễ dàng J (.) lồi (xuống) nghĩa J  (1   )v     (1   ) J (v)   J ( ),    0,1 , v,   H 01 (Ω) Điều rút từ đồng thức 1    J (v)   J ( )  J  (1   )v      1    a  v  , v    a(v   , v   )  Hơn nữa, u cực tiểu hóa J (.) J (.) có điểm dùng u J (u )v : lim J (u   v)  J (u )   0 với v  H 01  Ω  Từ J (u   v)  J (u )  0  a (u , v)  l (v)   a (v , v ) ta suy ra: Nếu u cực tiểu hóa J (.)    lim  a (u , v)  l (v)  a (v, v)   a (u, v)  l (v)  0, v  H 01  Ω  ,  0   điêu chứng minh kết sau: Bổ đề 2.1.2 Giả sử u  H 01  Ω cực tiểu hóa J (.) H 01  Ω u nghiệm toán (2.6) Bài toán (2.6) gọi phương trình Euler – Lagrange tốn cực tiểu hóa Bổ đề mệnh đề đảo bổ đề trước, hai kết khác biểu thị tương đương công thức yếu: 17 Hình 2.7: Phiếm hàm bậc hai J (.) Tìm u  H 01  Ω , cho a(u, v)  l (v), v  H 01 Ω  (W) toán elliptic giá trị biên tự liên hợp (2.7) đến tốn cực tiểu hóa liên kết: Tìm u  H 01  Ω cho J (u )  J (v), v  H 01  Ω  (M) Bây giờ, ta sử dụng tương đương cho đặc trưng biến phân xấp xỉ phân tử hữu hạn uh trường hợp tự liên hợp Xác định Vh không gian hữu hạn chiều biết H 01  Ω bao gồm đa thức liên tục khúc có bậc cố định, xấp xỉ hữu hạn phần tử (W) là: Tìm uh  Vh cho a(uk vh )  l (vh ), vh  Vh (Wh ) Ta lập lại chứng minh (hoặc đơn giản thay H 01  Ω Vh ) để tương đương  Wh  với tốn cực tiểu hóa sau: Tìm uh  Vh cho J  uh   J (vh ), vh  Vh (Wh ) (M h ) Do uh đặc trưng cực tiểu hóa phiếm hàm a  vh , vh   l (vh ) vh biến thiên không gian phần tử hữu hạn Vh Nghĩa là, nghiệm phần tử hữu hạn U h kế J ( vh )  thừa tính chất cực tiểu hóa lượng có nghiệm yếu u  H 01  Ω theo nghĩa 18 J (uh )  J  vh  vh Vh Tất nhiên, nói chung hầu hết J (u )  J (uh ) 2.3 Sự tính tốn kết cấu ma trận độ cứng Ta xét tập hợp hàm liên tục tuyến tính khúc vh xác định phép tam giác phân với tính chất vh  Ω ; ký hiệu Vh khơng gian tuyến tính chứa hàm vh Do uh đặc trung cực tiểu hóa phiến hàm J  vh   vh ( x, y ) dxdy   f ( x, y )vh ( x, y )dxdy  2Ω Ω N vh biến thiên Vh Tương đương viết vh ( x, y )   Vii ( x, y ) i 1 Vi giá trị vh ( x, y ) đỉnh ( xi , yi ), i hàm sở liên tục tuyến tính khúc liên kết với đỉnh này, N số đỉnh Ω , ta viết tốn cực tiểu hóa dạng ma trận sau: Tìm V   N cho V T AV  V T F cực tiểu (2.11) V  (V1 , , VN )T , A ma trận độ cứng (địa phương) cấp N  N với  i, j  đưa vào a i ,  j    i ,  j    i ( x, y ). j ( x, y )dxdy Ω F   F1 , , FN  vec tơ tải trọng (địa phương) với T Fi   f , i    f ( x, y )i ( x, y ) dxdy Ω Xét tam giác K phép tam giác phân Ω đưa vào vị trí đỉnh r i  ( xi , yi ), i  1, 2,3 ba đỉnh theo chiều ngược kim đồng hồ Hơn ta xét hệ tọa độ địa phương vẽ tam giác tắc Hình 2.8 Tọa độ r  ( x, y ) điểm tam giác K viết tổ hợp lồi tọa độ ba đỉnh r  (1     ) r   r   r (2.12)  r 1  ,   r 2  ,   r 3  ,  Hình 2.8: Tam giác tắc tọa độ địa phương 19 Tập hợp  , ,  gọi sở đỉnh (hoặc sở địa phương) tập hợp đa thức tuyến tính biểu thị qua tọa độ địa phương Xét phép biến đổi  ,   r  ( x, y) xác định qua (2.12) từ tam giác tắc đến hệ tọa độ ”tồn cục” (x,y) Ma trận Jacabi J phép biến đổi xác định bởi: J  ( x, y )  x2  x1   ( , )  x3  x1 y2  y1  y3  y1  Từ đó, ta có định thức Jacobian  x1 y1  y2  y1   det  x2 y2 1  y3  y1   x3 y3 1 J  A123  x2  x1 J  det   x3  x1 (2.13) Do A123 diện tích tam giác K  (r , r , r ) Tương tự, với hàm h  Vh h ( x, y )  h  r ( , )   V1  ,   V2  ,   V3  ,  (2.14) Vi giá h nút tam giác K với vị trí vec tơ r i , i  1, 2,3 Để xác định nhập vào ma trận độ cứng, ta cần gradient h hệ tọa độ toàn cục; nhiên từ (2.12) dạng ma trận Jacobi J ta có  h   h          J  x  ,  h   h      y      h   h      x      J 1    h   h      y    (2.15) Do h       y3  y1  h   y2  y1  h  x J     (2.16) h         x3  x1  h   x2  x1  h  y J     Do J h 2 2          r  r1  h   r  r1  h  2  r  r1   r  r1  h h         từ (2.14) (2.12), ta có h h  V2  V1 ,  V3  V1   (2.17) (2.18) Bởi h ( x, y ) tuyến tính tam giác K phép tam giác phân, h số K nên mức đóng góp    ( x, y ) h Ω từ tam giác K dxdy    h ( x, y ) dxdy K K 20    ( x, y ) h 2 dxdy  A123 J h  K J  h A123 Phép (2.17) (2.18) vào công thức thu dạng toàn phương giá trị nút V1 , V2 ,V3 ; sau số biến đổi đại số, ta tìm hệ số V12 r  r  r  r   r  r . r  r   r  r 2 2 hệ số V1 V2 2 r  r   r  r   r  r    r  r   r  r  với biểu thức tương tự với hệ số V22 , V23 V2 ,V3 ,V3V1 , nhận hốn vị vịng quanh biểu thức tương ứng Do ta suy  K V1  h ( x, y ) dxdy  V1 V2 V3  Ak V2  , V3  k  1, , M  số tam giác K số toàn cục Ak ma trận độ cứng đối xứng 3x3 phần tử: Ak  A123  r  r  r  r . r  r  3  2  r3  r1    ®èi xøng r r  r . r  r      r   r  r   2 r1  r   Kết cấu (tập hợp) ma trận độ cứng toàn cục cần thiết liên quan số địa phương nút đến hệ số toàn cục Ta ký hiệu N điểm Ω , N uh ( x, y )   U ii ( x, y), i 1 N số ẩn U1 , ,U N 2.4 Tính trực giao Galerkin; Bổ đề Céa Ta xét toán giá trị biên elliptic  u n u aij ( x)   bi ( x)  c( x)  f ( x), x    xi i 1 xi i , j 1 x j (2.20) u  Ω (2.21) n  Ω tập mở bị chặn  , n aij  L (Ω) i, j  1, , n; bi  W1 (Ω), i  1, n, c  L (Ω), f  L2 (Ω) giả thiết tồn số dương c cho n n i , j 1 i 1  aij ( x)i j  c  i2 ,   1 , , n    n , x  Ω (2.22) Công thức dạng yếu (2.20); (2.21) là: Tìm u  H 01  Ω cho a(u, v)  l (v), v  H 01 (Ω) (2.23) phiếm hàm song tuyến tính a(.,.) phiếm hàm tuyến tính l (.) xác định 21 a (u , v)  n   aij i , j 1 Ω n u v u dx    bi ( x) vdx   c( x)uvdxi xi x j xi i 1 Ω Ω l (v)   f ( x)v( x)dx Ω Ta c( x)  n bi   0, i 1 xi x Ω (2.23) có nghiệm u H 01  Ω , nghiệm yếu (2.20); (2.21) Hơn u H (Ω)  f c0 L2 (Ω )' c0 xác định (1.17) Bây giả sử Vh không gian hữu hạn chiều H 01  Ω , không xa giả thiết xác cách tự nhiên Vh (kỹ lưỡng hơn, ta ẩn giả thiết Vh bao gồm đa thức liên tục khúc, xác định phân chia “ độ mịn” h miền tính tốn Ω ) Xấp xỉ phần tử hữu hạn (2.23) là: Tìm uh Vh cho a  uh ,h   l (h ) , với h  Vh (2.24) Như vậy, giả thiết Vh bị chứa H  Ω , điều rút từ định lý Lax – Milgram (2.24) có nghiệm uh Vh Hơn nữa, (2.23) thỏa mãn với   h  Vh , a (u ,h )  l (h ) với h  Vh Trừ (2.24) từ đồng thức ta kết luận rằng: a (u  uh , h )  với h  Vh (2.25) Tính chất (2.25) mơ tả tính trực giao Galerkin có vai trị quan trọng việc phân tích sai số phương pháp phần tử hữu hạn Từ (1.16) với v  u  uh  H 01 () , ta có u  u h H ()  a(u  u h , u  u h ) c0 Từ (2.25) rút u u h H1 ()  c0 a(u  u h , u  v h ) Hơn nữa, (1.12) a (u  u h , u  v h )  c1 u  u h H1 () u vh H1 () Tổ hợp hai bất đẳng thức sau, ta suy u uh H ()  c1 u vh c0 H () với vh  Vh Bổ đề 2.1.3 (Bổ đề Céa) Xấp xỉ phần tử hữu hạn uh u  H 01 () , nghiệm yếu toán (2.20), (2.21) phù hợp gần u theo chuẩn H (  ) ; nghĩa 22 u uh c1 u  v h c0 vh Vh  H () H1 () Chú thích 2.1.4 Với khơng gian hữu hạn phần tử Vh , u  vh vh Vh H1 ()  C (u )h s C (u ) số dương, phụ thuộc tính trơn u, h tham số kích thước mắt lưới (đường kính lớn phần tử phép chia nhỏ miền tính tốn) s số thực dương, phụ thuộc vào tính trơn u bậc đa thức khúc, hình thành khơng gian Vh Từ đó, với thêm vào bổ đề Céa ta kết luận  C1  s  C ( u ) (2.26)  h H (Ω )  C0  biên sai số toàn cục eh  u  uh xét theo tham số kích thước mặt lưới (độ u  uh nhỏ) Vi dụ 2.1.5 Trong ví dụ này, ta làm rõ mối liên hệ sai số tiên nghiệm biên (2.25) với toán elliptic tỷ số C1 C0 lớn kích thước mặt lưới h đạt mức nhỏ trước rút gọn kích thước sai số tồn cục quan sát Giả sử Ω tập mở bị chặn  n Xét toán giá trị biên sau đây:  u  b.u  f Ω u  Ω T   0, b   b2 , , bn  với bi  W1 (Ω), i  1, , n Để tính đơn giản, ta giả thiết div b  hầu khắp nơi Ω Như tốn xuất mơ hình tốn học tượng khuếch tán bình lưu Khi khuếch tán bình lưu trội (ưu thế) gọi số Péclet  n   bi Pe   i 1 12   L ( Ω )   , lớn (bậc 106 đến 108 )  n  i 1 Một tính tốn đơn giản toán c1      bi Và c0   1  c  12 * Bởi u  uh  L ( Ω )   12 12 c1  1  c*2  1  Pe  (2.25) xác định c0  1  c*2  12 H (Ω ) 12 1  Pe  12 C (u )h* (2.27) Do vậy,   , số vế phải sai số cận làm lớn qua diện số peclet, thật vậy, tình xấu hơn: số C (u ) phụ thuộc vào  qua u (điển hình C (u )    ) Với mục đích đặt ví dụ vào phối cảnh, ta thảo luận trường hợp cực biên (đầu nút) b  Ω ; c1  c0   , bổ đề Céa kéo theo 23 u  uh H (Ω)  u  vh vh Vh H (Ω) Thực vậy, vế trái bất đẳng thức không chặt chẽ so với phải (điều thấy chọn vh  uh vế phải) Từ rút u  uh H (Ω )  u  vh vh Vh H (Ω ) Do uh xấp xỉ tốt u từ Vh theo chuẩn H (Ω) Ta kết loại thỏa mãn cách nhỏ cách xếp tổng qt, tốn tự liên hợp aij ( x)  a ji ( x) với i, j  1, , n, b1 ( x)  với i,  1, n Ta xác định  v,  a : a (v,  ), v,   H 01  Ω  Vì a(.,.) phiếm hàm song tuyến tính đối xứng H 01 (Ω) x H 01 (Ω) a (v, v)  c0 v H (Ω ) , v  H 01 (Ω) điều dễ dàng thấy (.,.) a thỏa mãn tiên đề tích Ký hiệu a chuẩn lượng liên hợp xác định v a :  a(v, v)  12 Do Vh  H 01 (Ω) lấy v  vh  Vh mệnh đề (W), ta suy a (u , vh )  l (vh ), vh  Vh , (2.28) vh  Vh (2.29) (Wh ) a (uh , vh )  l (vh ), Hình 2.9: Sai số u  uh trực giao với Vn Trừ (2.29) vào (2.28) sử dụng tính chất a(.,.) phiếm hàm song tuyến tính, ta suy tính chất trực giao Galerkin a (u  u , vh )  ,  vh  Vh , nghĩa (u  vh , vh )a  0,  vh Vh (2.30) Như trường hợp tự liên hợp, sai số u  uh nghiệm xác u xấp xỉ phần tử hữu hạn uh trực giao với Vh tích (.,.) a (xem Hình 2.9) 24 Bổ đề 2.1.6 Xấp xỉ phần tử hữu hạn uh  Vh u  H 01 (Ω) thích hợp với u từ Vh theo chuẩn lượng a , nghĩa u  uh a  u  vh a v V h h Bổ đề Céa lời giải đáp phân tích sai số phương pháp phần tử hữu hạn cho toán giá trị biên elliptic Kết luận Luận văn với đề tài: Xấp xỉ hàm elliptic, trình bày việc vận dụng phương pháp phần tử hữu hạn việc xấp xỉ tốn elliptic, kết luận văn bao gồm: Trình bày kiến thức chuẩn bị cho tốn xấp xỉ hàm elliptic: Khơng gian Sobolev (Mục 1.1) nghiệm yếu toán elliptic ( Mục 1.2) Trình bày vấn đề hàm sở tuyến tính khúc: Trong mục ta mơ tả xây dựng phương pháp phần tử hữu hạn qua hai ví dụ đơn giản: Bài tốn chiều toán hai chiều (Mục 2.1) Bài toán elliptic tự liên hợp (Mục 2.2): Xác định Vh không gian hữu hạn chiều biết H 01  Ω bao gồm đa thức liên tục khúc có bậc cố định, xấp xỉ hữu hạn phần tử (W) là: Tìm uh  Vh cho a(uk vh )  l (vh ), vh  Vh (Wh ) Ta thay H  Ω Vh để tương đương  Wh  với toán cực tiểu hóa sau: Tìm uh  Vh cho J  uh   J (vh ), vh  Vh (Wh ) (M h ) Phép tính kết cấu ma trận độ cứng (Mục 2.3): Trình bày phép dựng xấp xỉ phần tử hữu hạn phương trình Poisson: u  f Ω , với điều kiện biên Dirichlet u  Ω , trường hợp tam giác phân tổng quát Tính trực giao Galekin; bổ đề Céa (Mục 2.4): Trình bày chứng minh làm mịn bổ đề Céa trường hợp tự liên hợp: Xấp xỉ phần tử hữu hạn uh  Vh u  H 01 (Ω) thích hợp với u từ Vh theo chuẩn lượng a , nghĩa u  uh a  u  vh a v V h h