Về phổ của toán tử laplace

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————————————– TRẦN THỊ THÁI VỀ PHỔ CỦA TỐN TỬ LAPLACE KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP THANH HÓA, 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————– * ——————— TRẦN THỊ THÁI VỀ PHỔ CỦA TỐN TỬ LAPLACE KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Người hướng dẫn khóa luận : LÊ ANH MINH THANH HĨA, 2018 LỜI CẢM ƠN Khóa luận hoàn thành Khoa Tự Nhiên, Trường Đại học Hồng Đức - Thanh Hóa hướng dẫn thầy Nguyễn Xuân Thuần Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới dạy Thầy Tôi xin cảm ơn tất thầy cô giảng dạy cảm ơn tất bạn bè giúp đỡ chân tình người Tôi xin gửi lời cảm ơn tới khoa khoa học tự nhiên, Trường Đại học Hồng Đức - Thanh Hóa giúp đỡ mặt thủ tục để hồn thiện khóa luận Thanh Hóa, tháng 05 năm 2018 Trần Thị Thái ii LỜI CẢM ƠN i MỤC LỤC ii MỘT SỐ KÝ HIỆU DÙNG TRONG KHÓA LUẬN iii MỞ ĐẦU Chương : LÝ THUYẾT PHỔ Chương : ĐỊNH LÝ PHỔ CHO CÁC TOÁN TỬ BỊ CHẶN 10 Chương : TOÁN TỬ KHÔNG BỊ CHẶN TRÊN KHÔNG GIAN HILBERT 23 Chương : PHỔ CỦA TOÁN TỬ LAPLACE 39 KẾT LUẬN 53 TÀI LIỆU THAM KHẢO 54 iii MỘT SỐ KÝ HIỆU DÙNG TRONG KHĨA LUẬN • R: tập hợp số thực; • H: Khơng gian Hilbert; • µ: Tích phân Lebesgueb; • Tk : Tốn tử compact ; • T ∗ : khơng gian liên hợp T ; Mở Đầu Toán học môn học làm tảng cho ngành khoa học khác, thành phần thiếu văn hóa phổ thơng Mơn tốn có tiềm to lớn việc khai thác phát triển lực trí tuệ chung, rèn luyện thao tác phẩm chất tư người Giải tích hàm lĩnh vực tốn học đóng vai trị quan trọng việc nghiên cứu cấu trúc toán học Trong q trình phát triển giải tích hàm tích lũy số nội dung phong phú Những phương pháp kết mẫu mực, tổng quát giải tích hàm xâm nhập vào tất ngành tốn học có liên quan sử dụng cơng cụ giải tích khơng gian vector Chính điều mở phạm vi nghiên cứu lớn cho ngành toán học Với mong muốn nghiên cứu tìm hiểu sâu sắc mơn bước đầu tiếp cận với việc nghiên cứu khoa học em chọn đề tài " Về phổ tốn tử Laplace" để thực khóa luận tốt nghiệp Một hướng nghiên cứu phổ toán tử Laplace nghiên cứu khái niệm, định lý thuyết phổ,tốn tử khơng bị chặn khơng gian Hilbert, lý thuyết phổ cho tốn tử khơng bị chặn đặc biệt nghiên cứu phổ tốn tử Laplace Nội dung khóa luận chia làm chương Chương 1: Lý thuyết phổ Trong chương giới thiệu lý thuyết phổ sau có ví dụ minh họa Chương 2: Định lý phổ cho toán tử bị chặn Trong chương , giới thiệu định nghĩa, định lý, bổ đề liên quan đến phép toán liên tục cho toán tử tự liên hợp, độ đo phổ đặc biệt định lý phổ cho toán tử bị chặn Chương 3: Toán tử không bị chặn không gian Hilbert Ở chương tơi có nêu mục là: Định nghĩa cho tốn tử khơng bị chặn không gian Hilbert đưa định nghĩa, bổ đề, ví dụ đồ thị đóng tốn tử đóng toán tử tự liên hợp; Lý thuyết phổ cho toán tử khơng bị chặn Chương 4: Phổ tốn tử Laplace Ở chương cuối đưa định nghĩa, hệ quả, mệnh đề phổ toán tử Laplace; dạng toán tử đặc biệt đưa hai ví dụ áp dụng Chương 1.1 LÝ THUYẾT PHỔ Các khái niệm Ta nghĩ cách khác để phân loại tốn tử tuyến tính Khơng gian đại số tuyến tính hữu hạn chiều cho ta biến đổi tuyến tính T1 , T2 : H1 → H2 xác định công thức: T2 ◦U1 = U2 ◦ T1 , (1.1) Đối với số toán tử khả nghịch Ui : Hi → Hi , có số tính chất tương tự.Trong trường hợp hữu hạn chiều khơng ảnh hưởng đến tính giới nội tốn tử, cách chứng minh khơng khơng gian hữu hạn chiều(trong lý thuyết sở tồn tại)nhưng định nghĩa biểu diễn tất toán tử H1 → H2 Tương tự số trường hợp H1 = H2 = H, khơng gian riêng xét tốn tử T1 , T2 : H → H thuộc lớp khả nghịch U : H → H cho: T2 ◦U = U ◦ T1 T2 = UT1U −1 (1.2) Sau chứng minh U sở khơng có sẵn đại số tuyến tính việc phân loại toán học lý thuyết giá trị riêng, đa thức đặc trưng dẫn đến sở chuẩn tắc, cho tốn tử tuyến tính Cn → Cn với n≥1 Ta khộng nhận tổng quát lý thuyết cho H với chiều vô hạn chiều tốn tử phụ thuộc vào tính chất nó, trường hợp hữu hạn chiều để đảm bảo đơn giản thông qua lớp đặc biệt toán tử xác định khơng gian Hilbert qua ánh xạ liên hợp,tốn tử T → T ∗ : sở toán tử, toán tử tự liên hợp, toán tử dương, toán tử unitary Với lớp, dimH = n, luôn có sở trực chuẩn (e1 , , en ) vectơ riêng T với giá trị riêng λi ta viết: T (∑ αi ei ) = ∑ αi λi ei i i (1.3) (tương ứng với ma trận đường chéo) Xét ánh xạ tuyến tính:  H e U i → Cn → (0, , 0, 1, 0, , 0), Ánh xạ song ánh đắng cự theo định nghĩa sở trực chuẩn Cn có tích vơ hướng ta xác định: T1  Cn → Cn (α ) → (α λ ) i i i (1.3) trở thành T1 ◦U = U ◦ T (1.4) Ta chứng minh: Cho khơng gian Hilbert H hữu hạn, tốn tử chuẩn tắc T ta tìm thấy khơng gian toán tử (Cn , T1 ) cho:(H, T ) ⇔ (Cn , T ) Xét L2 (X, µ) số khơng gian đo (X, µ) ( trường hợp Cn ứng với X = {1, , n} đếm )và tích tốn tử: Tg : f → g f 1.2 ánh xạ g : X → C Các ví dụ Ví dụ 1.2.1 Cho (X, µ) khơng gian đo hữu hạn (µ(X) < +∞) g ∈ L∞ (X, µ) hàm bị chặn Khi ta có hệ tuyến tính liên tục:  L2 (X, µ) → L2 (X, µ) Mg : f → gf Thật ta có: Z X |g(x) f (x)|2 dµ(x) ≤ kgk2∞ k f k2 , Với Mg xác định liên tục với chuẩn kMg k ≤ kgk Khi đó: hMg ( f1 , ( f2 )i = Z X g(x) f1 (x) f2 (x)dµ (x) = h f1 , Mg ( f2 )i, với f1 , f2 ∈ L2 (X, µ) Mg liên hợp xác định: Mg∗ = Mg Khi Mg tự liên hợp g giá trị thực, Với g1 , g2 ∈ L2 (X, µ), suy Mg1 (Mg2 ( f )) = g1 (g2 f ) = g2 (g1 f ) = Mg2 (Mg1 ( f ) Vì tất tốn tử Mg g ∈ L∞ (X, µ) Nếu X ⊂ C bị chặn đo cho tích phân Lebesgueb µ, trường hợp g(x) = x đặc biệt quan trọng Các bổ đề sau kham khảo người ta không xây dựng cách tổng qt tốn tử bị chặn Ví dụ 1.2.2 Cho (X, µ) khơng gian đo hữu hạn chọn g hàm đo X → C Nếu ϕ → gϕ từ L2 (X, µ) khơng liên tục với g ∈ L∞ (X) Thực T : ϕ → gϕ liên tục, định lý biểu đồ đóng: Thực vậy, (ϕn , gϕn ) dãy hội tụ biểu đồ T cho ϕn → ϕ, gϕn → Ψ L2 (X, µ) trích dãy µ hội tụ hầu khắp nơi Nhưng gϕn hội tụ hầu khắp nơi đến gϕ đến Ψ cho gϕ = Ψ ∈ L2 (X, µ) nghĩa (ϕ, Ψ) nằm biểu đồ T Biết T bị chặn ta biểu diễn C ≥ cho: kgϕk2 ≤ Ckϕk2 Cho ϕ ∈ L2 (X, µ) xét ϕ để hàm đặc trưng tập hợp XA = {x||g(x)| ≥ A} A µ(XA ) ≤ Nếu chọnA cho g ∈ L∞ (X, µ) Z X A2 2 |g(x)| |ϕ(x)| dµ(x) ≤ C A>0 Z X ta |ϕ(x)|2 dµ = Cµ(XA ) > 0, bao hàm µ(XA ) = nghĩa g hầu khắp nơi ≤ A Ví dụ 1.2.3 Một số ví dụ mẫu tính cách lấy tốn tử compact Hilbert - Schmidt, khơng gian có độ đo (X, µ) cho hàm k : X × X → C cho k ∈ L2 (X × X, µ × µ) ta có tốn tử bị chặn:  L2 (X, µ) → L2 (X, µ)  f → Tk ( f ) 40 với ϕ ∈ D tốn tử dương Khi 5ϕ định nghĩa toán tử D với giá trị H n 5ϕ = (∂x j ϕ) j Hệ 4.1.2 Giả sử U ⊂ Rd tập hợp mở tốn tử Laplace thừa nhận tự liên hợp mở rộng Hệ (4.1.2) chưa củng cố hết tự liên hợp mở rộng trường hợp tiết diện cạnh ta chứng minh xây dựng mở rộng tự liên hợp gọi mở rộng Friedrichs 4.2 Toán tử dương mở rộng Friedrichs Hệ (4.1.2) với toán tử dương không gian Hilbert Định lý 4.2.1 Cho H không gian Hilbert, (D(T ), T ) ∈ DD∗ (H) toán tử đối xứng dương cho hT (υ), υi ≥ 0, với ∀υ ∈ D(T ) T thừa nhận tốn tử tự liên hợp mở rộng, gọi Friedrichs mở rộng, cho : hS(υ), υi ≥ với υ ∈ D(S) Ta ý trường hợp tự liên hợp mở rộng toán tử đối xứng dương Bổ đề 4.2.2 Cho H1 , H2 không gian Hilbert giả sử J : H1 → H2 L(H1 , H2 ), toàn ánh với Im(J) trù mật H2 ánh xạ JJ ∗ : H2 → H2 tồn ánh, ảnh trù mật H2 (D(S), S) = (Im(JJ ∗ ), (JJ ∗ )−1 ) tự liên hợp DD∗ (H2 ) Chứng minh Từ Im(J) trù mật H2 , Ker(J ∗ ) = Im(J)⊥ = J ∗ toàn ánh Tuy nhiên JJ ∗ ∈ L(H2 ) tự liên hợp Im(JJ ∗ )⊥ = Ker(JJ ∗ ) = với JJ ∗ có ảnh trù mật Nghĩa (D(S), S) xác định DD(H2 ) tốn tử bj chặn ngược có đồ thị đóng kh S ∈ DD∗ (H2 ) đóng Ta xác định S đối xứng, hJJ ∗ υ, ωiH2 = hυ, JJ ∗ ωiH2 41 với υ, ω ∈ H2 υ1 = JJ ∗ υ treen D(S), đó: hυ1 , ωiH2 = hSυ1 , JJ ∗ ωiH2 cho υ1 ∈ D(S), ω ∈ H2 Nếu ω1 = JJ ∗ ω ∈ D(S), ta được: hυ1 , Sω1 iH2 = hSυ1 , ω1 iH2 với υ1 , ω1 ∈ D(S) Để kết luận S tự liên hợp ta giả sử ω ∈ H thì: Sυ + iυ = ω với υ ∈ D(S) = Im(JJ ∗ ) ⇒ υ + iJJ ∗ υ = ω1 , dó ω1 = JJ ∗ ω ∈ D(S) ⇒ JJ ∗ tự liên hợp ( −i ∈ / σ (JJ ∗ ) ⇒ JJ ∗ ∈ L(H2 ) bị chặn) υ ∈H ⇒ υ = ω1 − iJJ ∗ υ = JJ ∗ (ω − iυ) ∈ D(S), Nhân S vào hai vế phương trình suy Sυ +iυ = ω với υ ∈ D(S), ⇒ Im(S−i) = H ⇒ S tự liên hợp Chứng minh định lý (4.2.1) Xét toán tử (D, T ) = (D(T ), T + Id) đối xứng thỏa mãn hT υ, υi = hT υ, υi + kυk2 ≥ kυk2 (4.14) Ta thấy T mở rộng tự liên hợp (D(S), S), (D(S), S − Id tự liên hợp, mở rộng T Ngồi ta có hS(υ), υi ≥ kυk2 (4.15) cho υ ∈ D(S), dương S − Id Để xây dựng tự liên hợp mở rộng, thứ ta xây dựng không gian Hilbert mới:ánh xạ  D(T ) × D(T ) → C (υ, ω) → hT υ, ωi tích xác định dương D(T ) D(T ) khơng đầy đủ với tích ta có định nghĩa bổ sung, giả sử H1 cho D(T ) ⊂ H1 D(T ) trù mật H1 đó: hυ, ωi1 = hT υ, ωi = hT υ, ωi + hυ, ωi, 42 υ, ω ∈ D(T ) Từ (4.14) ta có ánh xạ: J  D(T ) → H υ 7→ υ L(D(T ), H) với chuẩn ≤ Vì có liên tục mở rộng L(H1 , H) thỏa mãn: kJυk2 ≤ kυk1 (4.16) với υ ∈ H1 , Ker(J) ⊂ D(T )⊥1 = Theo bổ đề (4.2.2) định nghĩa tốn tử trù mật : (D(S), S) = (Im(JJ ∗ ), (JJ ∗ )−1 ) tự liên hợp DD∗ (H) ⇒ Toán tử tự liên hợp mở rộng T Khi đó: hυ, ωi1 = hT υ, Jωi = hJ ∗ T υ, ωi1 với υ ∈ D(T ), ω ∈ H1 nên υ = J ∗ T υ với υ ∈ D(T ) ⊂ H1 Vậy J đồng thức D(T ) ⊂ H1 dẫn đến: υ = Jυ = JJ ∗ T υ ∈ Im(JJ ∗ ) = D(S) cho D(T ) ⊂ D(S) T υ = Sυ với υ ∈ D(T )S mở rộng T T ∗ Cuối để kiểm tra (4.15) giả sử υ D(S) định nghĩa hSυ, υi = hω, JJ ∗ ωi,trong ω = (JJ ∗ )−1 υ Ta được: hSυ, υi = kJ ∗ ωk21 ≥ kJJ ∗ k2 = kωk2 áp dụng (4.16) đến J ∗ ω ⇒ (Đpcm) 4.3 Phổ toán tử Laplace số trường hợp đặc biệt Ta tìm hiểu số trường hợp tốn tử Laplace khơng gian Rn hình lập phương Và ta thảo luận tính chất phổ phép biểu diễn tự liên hợp mở rộng ∆ toán tử phép nhân : (1) Trên Rn ∆ tự liên hợp ( bao đóng tự liên hợp tự liên hợp mở rộng ∆ )và phổ hoàn toàn liên tục (∆ cho dương ),σ (M) = [0, +∞] với ảnh ∆ Rn 43 (2) [0, 1]n ,M tự liên hợp ta thảo luận tiêu chuẩn Dirichlet Neumann mở rộng phân biệt điều kiện biên cụ thể, tập compact, ∆ có phổ điểm đơn Ví dụ 4.3.1 Giả sử U = Rn Phép biểu diễn (∆, D(∆)) U biểu diễn mệnh đề Mệnh đề 4.3.2 Tốn tử Laplace đóng Rn unitarily tương đương với toán tử phép nhân (D, T ) L2 (Rn ) đó: D = {ϕ ∈ L2 (Rn )|(x 7→ kxk2 ϕ(x)) ∈ L2 (Rn )} T ϕ(x) = (2π)2 kxk2 ϕ(x), kxk chuẩn Euclidean (x12 + · · · + xn2 ) Rn Đặc biệt ∆ tự liên hợp Rn phổ [0, +∞] phổ liên tục hoàn toàn Chứng minh Áp dụng biến đổi Fourier Rn ta có tốn tử U : L2 (Rn ) → L2 (Rn ) cho: Uϕ(x) = Rn ϕ(t)e−2iπhx,ti dt (4.17) với f ∈ L2 (Rn ) ∩ L1 (Rn ), hx,ti chuẩn Euclidean tích Rn Thực U(∂ , ϕ)(x) = 2iπx jUϕ(x) cho j, ≤ j ≤ n ϕ ∈ D(∆) Thực phép lấy tích phân phần,tương tự (3.9); ta có U(∆ϕ)(x) = (2π)2 kxk2U(ϕ)(x) với ϕ ∈ D(M) Đầu tiên ta chứng minh M tự liên hợp giả sử z = i z = −i ta thấy Im(M +z) trù mật L2 (Rn ) ⇒ phần bù trực giao Giả sử ϕ ∈ L2 (Rn ) cho hϕ, (∆ + z)ψi = với ψ ∈ D(∆) = Cc∞ (Rn ) Dùng unitarity biến đổi Fourier, ta suy = hϕ, (∆ + z)ψi = (Uϕ,U((∆ + z)ψ)i = hUϕ, (4π kxk2 + z)Uψi, với ∀ψ ∈ D(∆) Tuy nhiên D(∆) trù mật L2 (Rn ) UD(∆) ta suy ra: (4π kxk2 + z)Uϕ = Uϕ = ϕ = ⇒ (D(∆), ∆) unitarily tương đương với toán tử phép nhân: M4π k.k2 : ϕ 7→ 4π kxk2 ϕ 44 định nghĩa vềUD(∆) ⇒ tự liên hợp Ta định nghĩa toán tử phép nhân D = {ϕ ∈ L2 (Rn )|kxk2 ϕ ∈ L2 (Rn )} (D, M4π kxk2 ) tự liên hợp đóng (UD(∆), M4π kxk2 ) Dùng biến đổi Fourier ngược lại ∆ đóng tương đương với (D, M4π kxk2 ) Cuối khoảng biến thiên giao độ phép nhân x 7→ 4π kxk2 [0, +∞] nên σ (∆) = [0, +∞] phổ hồn tồn liên tục khơng có giá trị riêng tốn tử phép nhân Tổng qt hóa sở trực chuẩn et (x) = e2πihx,ti với t ∈ Rn từ ∆ tốn tử vi phân ta có: ∆et = 4π ktk2 et Tuy nhiên et ∈ / L2 (Rn ) không hàm riêng ∆ Công thức nghịch đảo Fourier xác định Z f (x) = Rn U f (t)et (x)dx (4.18) Ta có sở trực chuẩn biểu diễn tham số t với hệ số Z U f (t) = Rn f (x)et (x)dx” = ”h f , et i Ví dụ 4.3.3 Với U = [0, 1]n , biến đổi Fourier thay khai triển Fourier, tương tự mở rộng hàm ϕ ∈ L2 (Rn ) sở trực chuẩn L2 (U) cụ thể dạng số mũ ek : x 7→ e2iπhx,ki với k = (k1 , , kn ) ∈ Zn sở trực chuẩn không gian L2 (U) chẳng hạn n = bao đóng họ không gian hàm x 7→ ϕ1 (x1 ) · · · ϕn (x) trù mật L2 (U) ví dụ định lý Stone - Weierstrass từ hàm liên tục trù mật C(U) trù mật L2 (U) = L2 (U) Chú ý em ∈ C∞ (U);, ∆ toán tử vi phân dùng phương pháp tách biến ek (x1 , , xn ) = e2πik1 x1 e2iπk2 x2 e2iπkn xn , y” = α y với y(x) = eαx ta thấy ∆ek = (2π)2 kkk2 ek 45 Lưu ý ek khơng có giá compact U, nên hàm riêng L2 không thuộc miền tốn tử Laplace ta định nghĩa nó.Khi ta xác định hàm riêng toán tử Laplace : cho α = (α1 , , αn ) ∈ Cn ta có: ∆ fα = (α12 + + αn2 ) fα với fα (x) = eα1 x1 + +αn xn ⇒ (D(∆), ∆) không tự liên hợp Cụ thể cho vector α với α12 + · · · + αn2 = ±i ( vd α = (eiπ/4 , 0, , 0) ), hàm fα hàm riêng ∆ với giá trị riêng ±i Ta kiểm tra hàm thuộc miền D(∆∗ ) liên hợp (D(∆), ∆), thỏa mãn: ∆∗ fα = ±i fα , Tuy nhiên ta có h∆ϕ, fα i = Z ∆ϕ(x)ehα,xi dx U với ϕ ∈ D(∆)và phép lấy tích phân phần cho thấy ∆ đối xứng D(∆) cho thấy hϕ, ∆ fα i ϕ có giá compact đủ để đản bảo điều kiện biên bị triệt tiêu Thực tế cơng thức cho ta tính chất fα (D(∆), ∆) không tự liên hợp Ta xét trường hợp n = −y” = ±iy [0, 1] hai chiều trường hợp chiều thứ nguyên vô hạn cho n ≥ Thì mở rộng mơ tả đến toàn n Cho n = ta định nghĩa không gian L2 ([0, 1]), chứa D(∆) = Cc∞ ([0, 1]) e để không gian gàm ϕ ∈ C∞ ([0, 1]) sau: thứ định nghĩa D theo đạo hàm ϕ ( j), j ≥ mở rộng hàm liên tục [0, 1] ta gọi ϕ ( j)(0) ϕ ( j)(1) tương ứng với giá trị điểm biên ta có: 0 e D1 = {ϕ ∈ D|ϕ(0) = ϕ(1), ϕ (0) = ϕ (1), }, e D2 = {ϕ ∈ D|ϕ(0) = ϕ(1) = 0}, 0 e (0) = ϕ (1) = D3 = {ϕ ∈ D|ϕ Nó khơng gian hàm liên tục R/Z,ϕ ∈ D1 định nghĩa hàm x e = ϕ(x − n) nếun ≤ x < n + 1, với n ∈ Z, ϕ(x) 46 C∞ (R) Vì giá trị đạo hàm 1không nhau, D2 không gian D1 nên ba không gian hồn tồn khác ta có tốn tử Laplace tương ứng (Di , ∆) không thuộc (D(∆), ∆) ( hàm sở ek (x) = e2iπkx với k ∈ D D1 không thuộc D2 , D3 ek −1 ∈ D2 Phép lấy tính chất phần chứng minh phép đối xứng ∆ D(∆) để thấy mở rộng (D(∆), ∆) đối xứng:ta có h∆ϕ, ψi = [−ϕ ψ]10 + Z 0 ϕ ψ dt 0 = ϕ (0)ψ(0) − ϕ (1)ψ(1) + Z 0 ϕ ψ dt Z = 0 ϕ ψ dt, Số hạng biên triệt tiêu ba trường hợp ϕ, ψ ∈ D j Đây biểu thức đối xứng ϕ ψ ⇒ ∆ j đối xứng ⇒ D1 tốn tử Laplace với điều kiện biên tuần hồn, D2 với điều kiện biên Dirichlet ,D3 với với điều kiện biên Neumann Mệnh đề 4.3.4 toán tử (D j , ∆), ≤ j ≤ tự liên hợp toán tử Laplace xác định D(∆) Hơn σ (∆ j ) = σ p (∆ j ) phổ điểm giá trị riêng tính bằng: σ (D1 ) = {0, 4π , 16π , , 4π k2 , }, σ (D2 ) = {π , 4π , , k2 π , }, σ (D3 ) = {0, π , 4π , , k2 π , } khơng gian riêng có chiều cho D2 D3 Cho D1 ta có dimKer(D1 ) = 1, dimKer(D1 − (2πk)2 ) = 2, với k ≥ Chứng minh Ta kiểm tra điều kiện biên, với giá trị riêng i ta có hàm ϕ(x) = aeαx + be−αx với ϕ (x) = α(aeαx − be−αx ), α = i Giả sử ta xét D3  aα − bα = aαeα − bαe−α = cho ϕ D3 Khi a = b = ⇒ hai trường hợp lại đồng dạng Hàm riêng giá trị riêng đồng dạng: cho α ∈ C hàm viết hàm vi phân toán tử Laplace với trị riêng α ∈ C tính tốn tương tự ta 47 dễ dàng xác định α, a b điều kiện biên D j thỏa mãn Xét D2 hệ trở thành:  a + b = aeα + be−α = mà có nghiệm không e2α = 1, α = ikπ với k ∈ Z Nghiệm cho bằng: ϕ(x) = 2iasin(kπx), dẫn đến không gian chiều với giá trị riêng π k2 ≥ 0cho k ≥ Từ hàm riêng ∈ D2 cho phần tử thuộc phổ điểm (D1 , D3 đồng dạng với hàm với hàm : ϕ(x) = ae2iπkx + be−2iπkx , ϕ(x) = acos(kπx) với k ∈ Z k ≥ giá trị riêng 4π k2 π k2 ) Trong D1 ta tìm sở trực chuẩn L2 (U) cụ thể x 7→ e2iπkx với k ∈ Z từ khơng khó để kiểm tra trường hợp khác √ Cho D2 D3 ta chọn hàm sk : x 7→ 2sin(kπx), k ≥ 1, c0 = 1, ck : x 7→ √ 2cos(kπx), k ≥ 1, sở trực chuẩn L2 (U) Chú ý hàm  [−1, 1] → C fk : x 7→ eiπkx với k ∈ Z tạo thành sở trực chuẩn H1 = L2 ([−1, 1]) hϕ, ψi1 = ϕ ∈ H1 ta có tổng trực giao Z −1 ϕ(t)ψ(t)dt H1 = H1+ ⊕⊥ H1−1 , với H1± = {ϕ ∈ H1 |ϕ(−x) = ±ϕ(x) với với phép chiếu trực giao:  H1 → H ± 1 ϕ 7→ (ϕ(x) ± ϕ(−x)) ⇒ phép đẳng cấu unitrary:  H ± → L2 ([0, 1]) ϕ 7→ ϕ ∈ [0, 1] ∀x 48 Nếu ϕ ∈ L2 ([0, 1]) mở rộng đến hàm ϕe [−1, 1] ta viết: ϕe = e fk i1 fk , ∑ hϕ, (4.19) k∈Z với e fk i1 = hϕ, Z −1 e ϕ(t)e −ikπt dt = Z ϕ(t)e −ikπt dt + Z ϕ(t)eikπt dt  hϕ, √1 ck i, k 6= 0,  hϕ, c0 i, k = Vì cơng thức (4.19) [0, 1] cho ϕ(x) = e √ h ϕ, f i f = hϕ, c i + k k ∑ ∑ hϕ, ck ick k≥1 k∈Z mà (ck ) ⊂ L2 (U) Hilbert đồng dạng với sk Bổ đề 4.3.5 Cho H không gian tách (D(T ), T ) tốn tử khơng bị chặn dương H Ta có sở trực chuẩn (e j ) H cho e j ∈ D(T ) với j hàm riêng T nghĩa Te j = λ j e j với λ j ≥ với j ≥ T tự liên hợp bao đóng unitary tương đương với toán tử phép nhân (D, M) l2 (N) cho D = {(x j ) ∈ l (N)| ∑ λ j2 |x j |2 < +∞}, M((x j )) = (λ j x j ) j≥1 Nói riêng phổ (D(T ), T ) đóng tập giá trị riêng {λ j } Chứng minh Ta biết toán tử phép nhân tự liên hợp có phổ nên bao đóng (D(T )), T ) unitarily tương đương với (D, M) phép đẳng cấu unitary tính cách lấy sở(e j ) : U(x j ) = ∑ x je j ∈ H j≥1 Để T = UMU −1 với (υ, ω) ∈ Γ(T ) Cho j phép đối xứng toán tử D(T ) ⊂ D(T ∗ )) cho hω, e j i = hT υ, e j i = hυ, Te j i = λ j hυ, e j i, (e j ) sở trực chuẩn ta có: ω = ∑hω, e j ie j = ∑ λ j hυ, e j ie j j j 49 nói riêng ∑ λ j2|hυ, e j i|2 = kωk2 < +∞, j ⇒ U −1 D(T ) ⊂ D(M), UMU −1 = ω = T υ với υ ∈ D(T ), T ⊂ UMU −1 Để kết luận ta cần chứng minh Γ(T ) trù mật Γ(UMU −1 ) Thật giả sử (υ, ω) ∈ Γ(UMU −1 ) trường hợp (e j ) ta có : υ = ∑hυ, e j ie j , j ω = ∑ λ j hυ, e j ie j j ta định nghĩa: υn = ∑ hυ, e j ie j , ωn = T υn = ∑ hυ, e j ie j 1≤ j≤n 1≤ j≤n e j ∈ D(T ), tổng hữu hạn T tuyến tính Trong chuẩn H × H, ta có k(υ, ω) − (υn , ωn )k2 = kυ − υn k2 + kω − ωn k2 n → +∞ Hệ 4.3.6 Giả sử U = [0, 1]n với n ≥ Xét toán tử ∆ p = (D p , ∆) ∆d = (Dd , ∆) mở rộng (D(∆), ∆) với miền cho D p không gian hàm C∞ R , Dd không gian hàm ϕ ∈ C∞ (U) theo đạo hàm riêng ∂αϕ mở rộng đến hàm liên tục U cho ϕ(x) = với x ∈ ∂U, ta kí hiệu ϕ hàm mở rộng đến U Khi ∆ p ∆d tự liên hợp Bao đóng chúng có phổ điểm số thực có dạng λ = 4π (k12 + · · · + kn2 ) với điều kiện ki ≥ cho Dd (k1 , k2 , , kn ) ∈ Zn λ = 4π (k12 + · · · + kn2 ) với ∆ p , 2−n lần ∆d Chú ý 4.3.7 Tập [0, 1]n mở • Nếu n = số thực λ = 4π m, m ≥ 1, xuất phổ ∆ p nghĩa m = k12 + k22 với k1 , k2 ≥ nếu: m = pν11 pνs s ⇒ pi 6= p j i 6= jvà ν j ≥ 1, tất số mũ tương ứng với số nguyên tố pi cho pi ≡ 3(mod4) theo Fermat Euler Trong trường hợp k1 k2 2t với t số nguyên tố pi pi ≡ 1(mod4).Ví dụ 4π 17 = 4π (12 + 42 ) = 4π (42 + 12 ) 50 hàm riêng tương ứng : e2iπx1 +4iπx2 , e8iπx1 +2iπx2 Số N(X) λ ≤ X giá trị riêng , khơng đếm tính bội, tiệm cận đồ thị X N(X) ∼ c √ logX với số c > • Với n = số thực λ = 4π m, m ≥ phổ ∆ ,nếu m không dạng m = 4a (8b ± 7) với a ≥ 0, b ≥ • Với n ≥ với số thực λ = 4π m, m ≥ trị riêng ∆ p Chứng minh hình vng số ngun dương nhiều hình vng kết Lagrange Tính bội phải ước lượng, chẳng hạn Jacobi chứng minh số phép biểu diễn m = k12 + · · · + k42 tính cách tổng số dương số chia m Mặt khác tất trường hợp, ta đạt tiệm cận cho tổng số giá trị riêng, đếm với tính bội: Mệnh đề 4.3.8 Cho n ≥ số nguyên giả sử M(X) = ∑ λ ≤ Xdim(λ − ∆ p ) hàm đếm cho số giá trị riêng tốn tử Laplace,đếm với tính bội ta có X n/2 M(X) ∼ cn (2π)n X → +∞ cn khối hình trịn n chiều bán kính Rn cụ thể π n/2 cn = n Γ(1 + ) Γ(z) hàm Gamma Hàm Gamma định nghĩa Z +∞ Γ(z) = e−t t z−1 dt cho z > thỏa mãn tính chất sau: Γ(z + 1) = zΓ(z) với z > 51 với n ≥ Γ(n + 1) = n! cho thấy Γ(1 + n/2) chứng minh phép quy nạp, luôn số hữu √ tỷ n chẵn n hữu tỷ n lẻ Chứng minh Theo hệ ta M(X) = ∑ k1 , ,kn ∈Zn ,4π (k12 +···+kn2 )≤X √ , k ∈ Zn Sr hình trịn bán kính r = (2π)−1 X Rn Mặt khác với k ∈ Zn xét hình lập phương Ck = {k + x|x ∈ [0, 1]n } ⊂ Rn , lưu ý Ck ∩Cl = k l Zn cột Ck tích l tích phân Lebesgue Rn Như ta có M(X) = ∑n k∈Z ∩Sr 1= ∑n Vol(Ck ) = Vol( k∈Z ∩Sr [ Ck ) k∈Zn ∩Sr Ngược lại với điểm y ∈ Sr có k ∈ Z theo y ∈ Ck Nếu kyk ≤ √ √ r − n, với kkk ≤ r từ k = y − x với kxk ≤ n Do hợp Ck với √ k ∈ Zn ∩ Sr thuộc hình trịn bán kính r − n biên Ck có độ đo ta cận M(X) ≥ Vol(Sr−√n ) √ √ ⇒ cn (r − n)n = Vol(Sr−√n ) ≤ M(X) ≤ Vol(Sr+√n ) = cn (r + n)n từ √ √ n n n n cn (r ± n) = cn r (1 ± ) ∼ cn r n , r √ Nhớ lại r = (2π)−1 X ⇒(đpcm) khiX → +∞, Mệnh đề 4.3.9 Giả sử n ≥ U = [0, 1]n Ta có Friedrichs mở rộng (D(∆), ∆) U toán tử Laplace với biên Dirichlet nghĩa (Dd , ∆d ) đóng Chứng minh Ta chứng minh với n = 1,thật Friedrichs mở rộng tu từ định nghĩa khơng gian hàm C1 nói riêng D(∆) kϕk21 = h∆ϕ, ϕi + kϕk2 = kϕ k2 + kϕk2 ⇒ D(∆) đóng khơng gian hàm liên tục, điều kiện biên ϕ(0) = ϕ(1) = ϕ ∈ D(∆) 52 Khi giả sử (DF , ∆F ) Friedrichs mở rộng ∆ ⇒ ∆d ⊂ ∆F , ∆∗F = ∆F ⊂ ∆∗d = Deltad ∆F = ∆d đóng Ta nhớ lại cách chứng minh định lý (4.2.1) miền DF lấy DF = JJ ∗ (H1 ) (H1 , k.k1 ) ⊂ D(∆) với chuẩn kϕk21 = h∆ϕ, ϕi+hϕ, ϕi = kϕ k2 +kϕk2 , J : H1 → L2 (U) liên tục mở rộng D(T ) → H Chú ý Im(JJ ∗ ) = Im(J) J ∗ song ánh, J tồn ánh nên Im(JJ ∗ )⊥ = Ker(J) = Xét ϕ ∈ Dd ta có dãy (ϕn ) ∈ D(∆) cho: kϕn − ϕk → (4.20) ⇒ J(ϕn ) ∈ H1 hội tụ với ϕe ∈ H1 ⇒ ϕn hội tụ đến ϕ L2 (U) ( kϕn −ϕk ≤ kϕn − ϕk1 ) Bằng tính ta có e ∈ DF , ϕ = J(ϕ) ⇒ Dd ⊂ DF Để kiểm tra: xét dãy ψn D(∆) cho: 1 ≤ ψn ≤ 1, ψn (x) = với ≤ x ≤ 1− , n n với kψn k∞ ≤ Cn cho hàm C > ϕn (x) = ϕ(x)ψn (x), từ công thức (4.20) (ϕ ∈ Dd )cho ta lim n n→+∞ Z 1/n |ϕ(x)|2 dx = 0 Áp dụng khai triển Taylor ϕ(x) = ϖ (0)x + O(x2 ) với x → Cho ∆F mở rộng ∆d Dd ta có hàm riêng c(x) = sinkπx, k≥1 ∆d ∆F c, xác định từ Dd ⊂ DF ∆F c = π k2 c.Từ theo bổ đề (4.3.5) ⇒ ∆F hàm mở rộng ∆d Để kiểm tra, giả sử ψ ∈ D(∆) tùy ý, ta có: h∆F c, ψi = hc, ∆F ψi = hc, ∆ψi = hc, ∆d ψi = h∆d c, ψi ⇒ ∆F ∆d đối xứng ⇒ D(∆) trù mật H, ta có: ∆F c = ∆d c = k π c ⇒ (đpcm) 53 KẾT LUẬN Bài khóa luận " Về phổ tốn tử Laplace" thu kết sau: Trình bày lại số kiến thức lý thuyết phổ, ví dụ minh họa Trình bày, chứng minh định lý bổ đề định lý phổ cho tốn tử bị chặn Trình bày tốn tử không bị chặn không gian Hilbert đưa định nghĩa , bổ đề, ví dụ đồ thị đóng, tốn tử đóng tốn tử liên hợp đồng thời nêu lý thuyết phổ cho toán tử khơng bị chặn Trình bày phổ tốn tử Laplace: nêu định nghĩa, hệ quả, mệnh đề; dạng toán tử đặc biệt đưa hai ví dụ quan trọng phổ tốn tử Laplace 54 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Kim Đính,Phép biến đổi Laplace, NXB Đại học QG-TPHCM [2] Nguyễn Hoàng, Lê Văn Hạp , Giải tích hàm , NXB Đại hoc sư phạm Huế,2014 [3] J.Conway, S.Kochen, The strong free will theorem, Notices of the A.M.S.56 (2009),226-232 [4] M Jammer, The philosophy of Quantum Mechanics, Wiley,1974 [5] S.Kochen and E.P Specker, The problem of hidden variables in quantum mechanics J of Math and Mech 17( 1967), 59-87 [6] D Werner, Funktionalanalysis,6 Auflage, Springer 2007