Đa thức đại số xấp xỉ tốt nhất

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————————————– TRƯƠNG THỊ NGA ĐA THỨC ĐẠI SỐ XẤP XỈ TỐT NHẤT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THANH HĨA, 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————– * ——————— TRƯƠNG THỊ NGA ĐA THỨC ĐẠI SỐ XẤP XỈ TỐT NHẤT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60.46.01.02 Người hướng dẫn khoa học: TS Mai Xuân Thảo THANH HÓA, 2017 Danh sách hội đồng chấm thi luận văn thạc sĩ theo Quyết định số 1279/QĐĐHHĐ, ngày 10 tháng 08 năm 2017 Hiệu trưởng Trường Đại học Hồng Đức: Học hàm, học vị, Họ tên Cơ quan công tác Chức danh hội đồng GS.TSKH Đinh Dũng Viện CNTT, ĐHQG Hà Nội Chủ tịch GS.TSKH Phạm Kỳ Anh ĐHKHTN, ĐHQG Hà Nội Phản biện GS.TS Đặng Quang Á Viện HL, KH CN VN Phản biện PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn TS Nguyễn Văn Lương Trường ĐH Giáo Dục, ĐHQG Hà Nội Trường ĐH Hồng Đức Xác nhận người hướng dẫn Học viên chỉnh sửa theo ý kiến hội đồng Ngày 28 tháng năm 2017 (ký ghi rõ họ tên) Mai Xuân Thảo Ủy viên Thư kí i LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan luận văn không trùng lặp với khóa luận, luận văn, luận án cơng trình nghiên cứu công bố Người cam đoan Trương Thị Nga ii LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành Khoa Tự Nhiên, Trường Đại học Hồng Đức - Thanh Hóa hướng dẫn Thầy TS Mai Xn Thảo Tơi xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới dạy Thầy Tôi xin cảm ơn tất thầy cô giảng dạy cảm ơn tất bạn bè giúp đỡ chân tình người Tơi xin gửi lời cảm ơn tới phòng Sau đại học, Trường Đại học Hồng Đức - Thanh Hóa giúp đỡ mặt thủ tục để hoàn thiện luận văn Thanh Hóa, tháng năm 2017 Trương Thị Nga iii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii MỞ ĐẦU Chương : CÁC ĐỊNH LÝ CHEBYSHEV 1.1 Một số khái niệm sở 1.1.1 Khái niệm độ lệch độ lệch nhỏ 1.1.2 Chuẩn đa thức đại số 1.2 Tiên đề chọn Bolzano - Weierstrass, định lý Borel 1.3 Định lý Chebyshev Chương : CÁC ĐA THỨC CHEBYSHEV 15 2.1 Các đa thức Chebyshev 15 2.1.1 Đa thức xấp xỉ tốt H0 H1 15 2.1.2 Các đa thức Chebyshev 16 2.2 Một số tính chất khác đa thức Chebyshev 19 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 31 Tài liệu tham khảo 32 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Bài toán thay số hàm số hàm số khác gần với chúng, theo nghĩa xác định, thường xuyên gặp toán học ứng dụng Ta thay hàm phức tạp hàm số đơn giản để việc tính tốn dễ dàng hay hàm số thuộc họ xác định điều kiện tốn Từ phép xử lý kết thí nghiệm, ta thu cơng thức thực nghiệm, xấp xỉ Xấp xỉ hàm số cơng cụ để khảo sát hàm số Để xấp xỉ hàm số ta thường dùng đa thức đại số với bậc cố định n: P (x) = a0 xn + a1 xn−1 + + an−1 x + an , phân số hữu tỷ: R (x) = Pn (x) /Qm (x), đa thức lượng n giác: Tn (x) = a2 + ∑ (ak cos kx + bk sin kx), hay nói chung đa thức có dạng n k=1 ϕ (x) = ∑ Cnk ϕk (x), ϕk (x) hàm cho trước k=1 Nhà toán học Đức Weierstrass chứng minh rằng: họ hàm xấp xỉ họ đa thức đại số đoạn [a; b] tùy ý, cách chọn số tham số họ đủ lớn, làm cho sai số phép xấp xỉ hàm số liên tục nhỏ tùy ý Do xuất vấn đề cần nghiên cứu là: đánh giá sai số việc xấp xỉ hàm đa thức có bậc cho trước Để giải tốn này, P.L.Chebyshev người nêu đưa khái niệm xấp xỉ tốt nhất: Giả sử f (x) hàm liên tục, ϕ1 (x) ,ϕ2 (x), ,ϕn (x) hệ thống cố định hàm số liên tục đoạn [a; b] Khi đó, cực đại biểu thức | f (x) − a1 ϕ1 (x) − a2 ϕ2 (x) − − an ϕn (x)| [a; b] gọi độ lệch hàm f (x) P (x) = a1 ϕ1 (x) + a2 ϕ2 (x) + + an ϕn (x) Cực tiểu độ lệch đó, với tập hợp hệ số a1 , a2 , , an có, gọi xấp xỉ tốt hàm số f (x) hệ thống ϕ1 (x), ϕ2 (x), ,ϕn (x) Đây tốn có ý nghĩa lý thuyết ứng dụng Vì tơi chọn đề tài: “ Đa thức đại số xấp xỉ tốt nhất” làm luận văn tốt nghiệp thân Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu định lý Chebyshev tồn đa thức với độ lệch nhỏ hàm liên tục; đa thức Chebyshev số tính chất đa thức Chebyshev Nhiệm vụ đề tài Tìm hiểu khái niệm xấp xỉ tốt nhất, định lý Chebyshev Nghiên cứu đa thức Chebyshev, xây dựng ví dụ chứng minh số tính chất đa thức Chebyshev Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu đa thức Chebyshev số tính chất Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Luận văn tài liệu tham khảo bổ ích cho học viên cao học người bắt đầu tiếp cận, nghiên cứu đa thức đại số xấp xỉ tốt Cấu trúc luận văn Ngoài lời cảm ơn, mở đầu, phần kết luận tài liệu tham khảo, luận văn chia thành hai chương: Chương 1: Các định lý Chebyshev Trong chương luận văn trình bày số khái niệm sở: độ lệch, xấp xỉ tốt nhất, số định lí tồn đa thức xấp xỉ tốt định lý Bolzano - Weierstrass, định lý Borel, định lý Chebyshev Chương 2: Các đa thức Chebyshev.Trong chương luận văn trình bày số phương pháp tìm đa thức Chebyshev, tính chất đa thức Chebyshev Chương 1.1 1.1.1 CÁC ĐỊNH LÝ CHEBYSHEV Một số khái niệm sở Khái niệm độ lệch độ lệch nhỏ Chúng ta kí hiệu Hn tập hợp đa thức đại số có bậc khơng vượt q n, bao gồm đa thức có dạng P(x) = c0 + c1 x + c2 x2 + + cn xn , với hệ số c0 , c1 , c2 , , cn số thực tùy ý, hệ số cn Khi H0 ⊂ H1 ⊂ H2 (1.1) Định nghĩa 1.1.1 [2] Cho f (x) hàm số thuộc lớp C[a; b] P(x) đa thức tùy ý Ta đặt ∆(P) độ lệch đa thức P(x) so với hàm f (x), xác định sau ∆(P) = max |P(x) − f (x)| (1.2) a≤x≤b Với đa thức P(x) thuộc tập Hn tập giá trị ∆(P) khơng âm tương ứng tập hợp số có cận En = En ( f ) = inf {∆(P)} P∈Hn (1.3) En gọi độ lệch nhỏ đa thức thuộc Hn so với f (x) Tuy nhiên công thức chưa xác định đa thức P∗ (x) thuộc Hn thỏa mãn ∆(P∗ ) = En (1.4) En giá trị độ lệch nhỏ Sau chứng minh tồn đa thức P∗ (x) thỏa mãn (1.4) Hiển nhiên En ≥ Từ dãy hệ thức (1.1), ta thấy n tăng tập hợp ∆(P) tăng, cận khơng tăng, E0 ≥ E1 ≥ E2 ≥ Kết hợp với định lí Weierstrass ta có lim En = n→∞ Thật vậy, với số ε > cho trước, ta tìm thấy đa thức P(x) thỏa mãn điều kiện ∆(P) < ε Nếu bậc P(x) n0 En0 < ε, với n > n0 ta có En < ε 1.1.2 Chuẩn tựa chuẩn đa thức đại số n Định nghĩa 1.1.2 [3] Cho P(x) = ∑ ck xk đa thức bất kì, ta đặt k=0 n M(P) = max |P(x)| , L(P) = a≤x≤b ∑ |ck | (1.5) k=0 gọi M(P), L(P) chuẩn đa thức P(x) Ta thấy chuẩn M(P) đa thức phụ thuộc vào đa thức mà phụ thuộc vào đoạn [a; b], nhiên chuẩn L(P) khơng phụ thuộc vào đoạn [a; b] Định lý 1.1.3 [1] Cho đoạn [a; b] số nguyên n ≥ Tồn hai số dương A B cho đa thức P(x) thuộc Hn thỏa mãn M(P) ≤ AL(P), (1.6) L(P) ≤ BM(P) (1.7) Chứng minh Chứng minh tồn A Với hữu hạn hàm liên tục 1, x, x2 , , xn bị chặn đoạn [a; b] Do ta chọn A cho x x2 xn y y2 yn D =