Đề tài: Khai thác từ kết quả một bài toán hình học

SKKN: "Khai thác từ kết tốn hình học" PHẦN THỨ NHẤT MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Hiện nay, nghiệp giáo dục đào tạo đổi trước yêu cầu phát triển kinh tế - xã hội theo hướng cơng nghiệp hố đại hoá đất nước Hướng đổi giáo dục đào tạo đào tạo người động, sáng tạo, chủ động học tập, dễ thích ứng với sống lao động Bên cạnh việc dạy cho học sinh (HS) nắm vững nội dung kiến thức, giáo viên (GV) phải dạy cho HS biết suy nghĩ, tư sáng tạo, biết tạo cho HS có nhu cầu nhận thức trình học tập Từ nhu cầu nhận thức hình thành động thúc đẩy trình học tập tự giác, tích cực tự lực học tập để chiếm lĩnh tri thức Những thành đạt tạo niềm hứng thú, say mê học tập, nhờ mà kiến thức trở thành “tài sản riêng” em HS nắm vững, nhớ lâu mà biết vận dụng tốt tri thức đạt để giải vấn đề nảy sinh học tập, thực tế sống lao động mai sau Đồng thời, HS có phương pháp học lớp học phương pháp tự học để đáp ứng đổi thường xuyên khoa học cơng nghệ ngày Trong q trình dạy học tốn nói chung q trình dạy học giải tốn hình học nói riêng, người dạy người học cần phải tạo cho thói quen là: Sau tìm lời giải tốn, dù đơn giản hay phức tạp, cần tiếp tục suy nghĩ, lật lại vấn đề để tìm kết Tìm rồi, lại tiếp tục tìm tìm mối liên hệ vấn đề, tìm kết thú vị Đã giảng dạy toán dạy tốn lớp 8, tơi tích cực tự bồi dưỡng hướng dẫn em HS bồi dưỡng kiến thức nâng cao, quan tâm đến việc khai thác tốn Với lí trên, tơi xin trình bày đề tài “Khai thác từ kết tốn hình học” hi vọng góp phần vào giải vấn đề SKKN: "Khai thác từ kết tốn hình học" II ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU: Đối tượng nghiên cứu: HS lớp 8, lớp THCS Yên Bình Phạm vi nghiên cứu: Chương trình hình học lớp 8, lớp THCS PHẦN THỨ HAI NỘI DUNG I CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ Đặc điểm lứa tuổi HS THCS muốn vươn lên làm người lớn, muốn tự khám phá, tìm hiểu trình nhận thức Các em có khả điều chỉnh hoạt động học tập, sẵn sàng tham gia hoạt động học tập khác cần phải có hướng dẫn, điều hành cách khoa học nghệ thuật thầy, cô giáo Hình thành phát triển tư tích cực, độc lập, sáng tạo cho HS trình lâu dài *Tư tích cực, độc lập sáng tạo HS thể số mặt sau: - Biết tìm phương pháp nghiên cứu giải vấn đề, khắc phục tư tưởng rập khuôn, máy móc - Có kĩ phát kiến thức liên quan với nhau, nhìn nhận vấn đề nhiều khía cạnh - Có óc hồi nghi, ln đặt câu hỏi: Tại sao? Do đâu? Liệu có cách khác khơng? Các trường hợp khác kết luận cịn hay khơng? … - Tính độc lập cịn thể chỗ biết nhìn nhận vấn đề giải vấn đề - Có khả khai thác vấn đề từ vấn đề quen biết *Khai thác, phát triển kết tốn nói chung có nhiều hướng như: - Nhìn lại toàn bước giải Rút phương pháp giải loại tốn Rút kinh nghiệm giải tốn - Tìm thêm cách giải khác - Khai thác thêm kết có toán, đề xuất toán SKKN: "Khai thác từ kết toán hình học" II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ Qua trình cơng tác giảng dạy, tơi thấy: - Đa số HS, sau tìm lời giải cho tốn em hài lịng dừng lại, mà khơng tìm lời giải khác, khơng khai thác thêm tốn, khơng sáng tạo thêm nên khơng phát huy hết tính tích cực, độc lập, sáng tạo thân - HS học vẹt, làm việc rập khn, máy móc Từ dẫn đến làm tính tích cực, độc lập, sáng tạo thân - HS yếu tốn nói chung yếu hình học, đặc biệt yếu giải tốn quỹ tích hình học nói riêng chủ yếu kiến thức hổng, lại lười học, lười suy nghĩ, lười tư q trình học tập - Khơng HS thực chăm học chưa có phương pháp học tập phù hợp, chưa tích cực chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên hiệu học tập chưa cao - Học không đôi với hành, làm cho thân HS củng cố, khắc sâu kiến thức, rèn luyện kĩ để làm tảng tiếp thu kiến thức mới, lực cá nhân không phát huy hết - Một số GV chưa thực quan tâm đến việc khai thác, phát triển, sáng tạo tốn tiết dạy nói riêng cơng tác dạy học nói chung - Việc chuyên sâu vấn đề đó, liên hệ toán với nhau, phát triển toán giúp cho HS khắc sâu kiến thức Quan trọng nâng cao tư cho em HS, giúp HS có hứng thú học tốn Trước thực trạng địi hỏi phải có giải pháp phương pháp dạy học cho phù hợp III GIẢI PHÁP THỰC HIỆN: Qua tốn mà HS giải được, tơi định hướng cho em tư duy, tập trung nghiên cứu thêm lời giải, kết tốn Bằng hình thức như: SKKN: "Khai thác từ kết tốn hình học" - Kiểm tra kết Xem xét lại lập luận - Nghiên cứu, tìm tịi, với việc tập trung giải vấn đề như: Liệu tốn cịn có cách giải khác hay khơng? Có thể thay đổi kiện cho để đề xuất tốn khơng? Bài tốn cho có liên quan với tốn khác khơng? Trong đề tài này, xin minh hoạ cách khai thác, phát triển từ kết toán quen thuộc (bài toán quỹ tích hình học lớp 8) Nhằm giúp HS thấy hay, đẹp, thú vị học tốn nói chung học hình học nói riêng Từ đó, giúp HS tự tin, tích cực, sáng tạo học tốn; giúp HS thêm u thích, nâng cao chất lượng, kết học tập mơn tốn IV NỘI DUNG CỤ THỂ Từ kết tốn đơn giản ban đầu, chịu khó suy xét tiếp ta khai thác theo nhiều khía cạnh như: tìm lời giải khác, phát triển toán, tạo chuỗi toán hay thú vị khác Sau ví dụ minh hoạ: Bài toán gốc: Bài toán (Bài toán quỹ tích lớp 8) Cho ∆ABC, điểm M di chuyển cạnh BC Gọi I trung điểm AM, điểm I di chuyển đường nào? (Bài 126 - SBT Tốn - Trang 73) 1.1/ Phân tích tìm cách giải: A ∆ABC, M cạnh BC, GT P KL I di chuyển đường nào? B I Q M d C Hình Ở tốn này, ta dễ nhận thấy điểm M di chuyển cạnh BC cố định điểm I di chuyển theo ln trung điểm AM Để xác định quỹ tích điểm I, ta xét vị trí đặc biệt M: SKKN: "Khai thác từ kết tốn hình học" +Khi M B I P (P trung điểm AB, P cố định), +Khi M C I Q (Q trung điểm AC, Q cố định) Từ suy I PQ (PQ đường trung bình ∆ABC) 1.2/ Lời giải: (tóm tắt theo SBT) Qua I kẻ đường thẳng d // BC, d cắt AB, AC P Q (Hình 1) ∆AMB có AI = IM, IP // BM => P trung điểm AB Tương tự , ta có: Q trung điểm AC Các điểm P, Q cố định Vậy I di chuyển đoạn thẳng PQ (PQ đường trung bình ∆ABC) Khai thác toán: 2.1/ Khai thác theo hướng tìm cách giải khác: *Từ phân tích trên, thơng qua dự đốn quỹ tích, ta dễ dàng tìm hướng chứng minh điểm I cách BC khoảng khơng đổi Từ có cách giải thứ 2: Cách 2: Kẻ AH, IK vng góc với BC (Hình 2) ∆AMH có IA = IM (GT), IK // AH (cùng BC) A P I Q K M => IK đường trung bình ∆AMH => Mà K khơng đổi (vì AH khơng đổi) B H BC cố định nên I nằm đường thẳng // BC, cách BC khoảng C Hình -Khi M B I trung điểm P AB (P cố định), -Khi M C I trung điểm Q AC (Q cố định) Vậy I di chuyển đường trung bình PQ ∆ABC (PQ//BC) *Từ việc xét vị trí đặc biệt M, với nhận xét đường trung bình PQ cố định I lại trung điểm AM giúp ta nghĩ đến chứng minh I, P, Q thẳng hàng ta có cách giải khác: SKKN: "Khai thác từ kết tốn hình học" Cách 3: Gọi P, Q trung điểm AB, AC Ta có P, Q cố định Áp dụng tính chất đường trung bình tam giác ta suy ra: PQ//BC PI//BC => I, P, Q thẳng hàng -Khi M B I trung điểm P AB (P cố định), -Khi M C I trung điểm Q AC (Q cố định) Vậy I di chuyển đường trung bình PQ ∆ABC (PQ//BC) *Tiểu kết: Việc tìm hiểu nhiều cách giải khau cho tốn có vai trị to lớn việc rèn luyện kĩ năng, củng cố kiến thức, phát triển trí thơng minh óc sáng tạo cho HS Sở dĩ cố gắng tìm cách giải khác tốn HS có dịp suy nghĩ đến nhiều khía cạnh khác tốn, hiểu sâu mối quan hệ cho phải tìm Đồng thời, việc tìm nhiều cách giải khác giúp HS có dịp so sánh cách giải đó, chọn cách hay tích luỹ nhiều kinh nghiệm để giải tốn Ngồi ra, với tốn khó chưa biết cách giải, HS biết dù khó tốn có nhiều cách giải khác em cố gắng tìm lời giải hơn; tức tính tị mị, ham hiểu biết khơi dậy HS Chẳng hạn, toán gốc, hiểu, nắm cách giải tốn từ HS (vốn sợ tốn quỹ tích hình học) thấy thú vị tốn Từ đó, thân bớt “sợ quỹ tích” hơn, khơi dậy tính tị mị muốn tự khám phá, ham tìm tịi để chiếm lĩnh kiến thức 2.2/ Khai thác theo hướng thay đổi giả thiết, tìm tốn mới: Có thể nói, Bài tốn tập quỹ tích Khai thác tốn gốc khơng phải theo hướng tìm lời giải khác, mà theo hướng thử sáng tạo: thay đổi kiện - tìm tốn mới, có thêm chuỗi toán với lời giải dễ dàng tìm SKKN: "Khai thác từ kết tốn hình học" *Khai thác 2.2.1: Nếu qua M, ta kẻ MD//AB ME//AC (D AC, E AB) ta dễ dàng chứng minh AEMD hình bình hành => I trung điểm DE Ta có tốn mới: Bài tốn Cho ∆ABC, từ điểm M cạnh BC kẻ đường thẳng song song với AB, AC cắt AB, AC E D Gọi I trung điểm DE Tìm quỹ tích điểm I M di chuyển cạnh BC A Gợi ý giải: Hình E Ta có ME // AD, MD // AE (GT) I => AEMD hình bình hành B D C M mà I trung điểm DE Hình => I trung điểm AM Đến đây, ta dễ dàng làm tiếp dựa vào kết tốn gốc có kết quả: Quỹ tích điểm I đường trung bình PQ ∆ABC (PQ//BC) *Khai thác 2.2.2: Từ toán 2, tiếp tục thay đổi giả thiết: “ME, MD song song với AC, AB” quan hệ vng góc thêm giả thiết  = 900, ta có tốn tương tự: Bài tốn Cho ∆ABC vng A, điểm M di động cạnh huyền Gọi E D hình chiếu M AB AC Trung điểm I ED di chuyển đường nào? Gợi ý giải: Hình A -Chứng minh AEMD hình chữ nhật E I D Mà I trung điểm ED => I trung điểm AM B Đến đây, làm tiếp dựa vào kết tốn gốc có kết quả: Các điểm I di chuyển đường trung bình PQ ∆ABC (PQ//BC) C M Hình SKKN: "Khai thác từ kết tốn hình học" Kính chào bạn Các bạn thử làm theo nhé! Lời cho phép gửi tới bạn lời chúc tốt đẹp Khi bạn đọc viết nghĩa bạn doanh có thiên hướng làm kinh Bản thân sinh viên Vậy làm cách để kiếm thêm cho 4, triệu tháng ngồi tiền lương Thực tế thấy thời gian bạn lướt web ngày tương đối nhiều Ngồi mục đích kiếm tìm thơng tin, bạn cịn sưu tầm, tìm hiểu thêm nhiều lĩnh vực khác Vậy không bỏ ngày đến 10 phút lướt web để kiếm cho 4, triệu tháng Điều có thể? Các bạn tin vào điều Tất nhiên thứ có giá Để bạn nhận 4, triệu tháng, cần đòi hỏi bạn kiên trì, chịu khó biết sử dụng máy tính chút Vậy thực chất việc việc làm nào? Và bạn đọc viết tơi, có hứng thú bắt tay vào cơng việc thơi Các bạn nghe nghiều đến việc kiếm tiền qua mạng Chắc chắn có Tuy nhiên internet có nhiều trang Web kiếm tiền khơng uy tín ( trang web nước ngồi, trang web trả thù lao cao ) Nếu web nước ngồi gặp nhiều khó khăn mặt ngôn ngữ, web trả thù lao cao khơng uy tín, nhận tương xứng với cơng lao chúng ta, thật Ở Việt Nam trang web thật uy tín : http://satavina.com Lúc đầu thân thấy không chắn cách kiếm tiền Nhưng tơi hồn tồn tin tưởng, đơn giản tơi nhận tiền từ cơng ty.( bạn tích lũy 50.000 thơi yêu cầu satavina toán cách nạp thẻ điện thoại tin ngay).Tất nhiên thời gian đầu số tiền kiếm chẳng bao nhiêu, sau số tiền kiếm tăng lên Có thể bạn nói: vớ vẩn, chẳng tự nhiên mang tiền cho Đúng chẳng cho khơng bạn tiền đâu, phải làm việc, phải mang lợi nhuận cho họ Khi đọc quảng cáo, xem video quảng cáo nghĩa mang doanh thu cho Satavina, đương nhiên họ ăn cơm phải có cháo mà ăn chứ, khơng dại mà làm việc cho họ Vậy làm bạn làm nhé: SKKN: "Khai thác từ kết tốn hình học" 1/ Satavina.com cơng ty nào: Đó cơng ty cổ phần hoạt động nhiều lĩnh vực, trụ sở tịa nhà Femixco, Tầng 6,  231-233 Lê Thánh Tơn, P.Bến Thành, Q.1, TP Hồ Chí Minh GPKD số 0310332710 - Sở Kế Hoạch Đầu Tư TP.HCM cấp Giấy phép ICP số 13/GP-STTTT Sở Thông Tin & Truyền Thông TP.HCM cấp.quận Thành Phố HCM Khi bạn thành viên công ty, bạn hưởng tiền hoa hồng từ việc đọc quảng cáo xem video quảng cáo( tiền trích từ tiền thuê quảng cáo công ty quảng cáo thuê satavina) 2/ Các bước đăng kí thành viên cách kiếm tiền: Để đăng kí làm thành viên satavina làm sau: Bước 1: Nhập địa web: http://satavina.com vào trình duyệt web( Dùng trình duyệt firefox, khơng nên dùng trình duyệt explorer) Giao diện sau: bạn điền thơng tin Tuy nhiên, chức đăng kí thành viên mở vài lần ngày Mục đích để thầy bạn tìm hiểu kĩ công ty trước giới thiệu bạn bè Để nhanh chóng bạn coppy đường linh sau: http://satavina.com/Register.aspx? hrYmail=oxford1890@gmail.com&hrID=84668 SKKN: "Khai thác từ kết tốn hình học" Bước 2: Click chuột vào mục Đăng kí, góc bên phải( khơng có giao diện bước thời gian đăng kí không liên tục ngày, bạn phải thật kiên trì) Bước 3: Nếu có giao diện khai báo thông tin: 10 SKKN: "Khai thác từ kết tốn hình học" khai báo cụ thể mục sau: + Mail người giới thiệu( mail tơi, tơi thành viên thức): oxford1890@gmail.com + Mã số người giới thiệu( Nhập xác) :00084668 + Địa mail: địa mail bạn Khai báo địa thật để cịn vào kích hoạt tài khoản sai bạn khơng thể thành viên thức + Nhập lại địa mail: + Mật đăng nhập: nhập mật đăng nhập trang web satavina.com + Các thông tin mục: Thông tin chủ tài khoản: bạn phải nhập xác tuyệt đối, thơng tin nhập lần nhất, không sửa Thông tin liên quan đến việc giao dịch sau Sai không giao dịch + Nhập mã xác nhận: nhập chữ, số có bên cạnh vào ô trống + Click vào mục: đọc kĩ hướng dẫn + Click vào: ĐĂNG KÍ Sau đăng kí web thơng báo thành cơng hay khơng Nếu thành cơng bạn vào hịm thư khai báo để kích hoạt tài khoản Khi thành cơng bạn vào web có đầy đủ thơng tin công ty satavina cách thức kiếm tiền Hãy tin vào lợi nhuận mà satavina mang lại Hãy bắt tay vào việc đăng kí, khơng gì, chút thời gian ngày mà thơi Kính chúc bạn thành cơng 2/ Cách thức satavina tính điểm quy tiền cho bạn: + Điểm bạn tích lũy nhờ vào đọc quảng cáo xem video quảng cáo Nếu tích lũy điểm từ bạn tháng khoảng 1tr.Nhưng để tăng điểm cần phát triển mạng lưới bạn bè bạn 3/ Cách thức phát triển mạng lưới: - Xem quảng cáo video: 10 điểm/giây (có 10 video quảng cáo, video trung bình phút) - Đọc tin quảng cáo: 10 điểm/giây (hơn tin quảng cáo) _Trả lời phiếu khảo sát.:100,000 điểm / _Viết Trong ngày bạn cần dành phút xem quảng cáo, bạn kiếm được: 10x60x5= 3000 điểm, bạn kiếm 300đồng - Bạn giới thiệu 10 người bạn xem quảng cáo (gọi Mức bạn), 10 người dành phút xem quảng cáo ngày, công ty chi trả cho bạn 300đồng/người.ngày - Cũng tương tự 10 Mức bạn giới thiệu người 10 người bạn 11 SKKN: "Khai thác từ kết tốn hình học" có 100 người (gọi mức bạn), công ty chi trả cho bạn 300đồng/người.ngày - Tương tự vậy, công ty chi trả đến Mức bạn theo sơ đồ sau : - Nếu bạn xây dựng đến Mức 1, bạn 3.000đồng/ngày → 90.000 đồng/tháng - Nếu bạn xây dựng đến Mức 2, bạn 30.000đồng/ngày → 900.000 đồng/tháng - Nếu bạn xây dựng đến Mức 3, bạn 300.000đồng/ngày → 9.000.000 đồng/tháng - Nếu bạn xây dựng đến Mức 4, bạn 3.000.000đồng/ngày → 90.000.000 đồng/tháng - Nếu bạn xây dựng đến Mức 5, bạn 30.000.000đồng/ngày → 900.000.000 đồng/tháng Tuy nhiên bạn không nên mơ đạt đến mức Chỉ cần cố gắng để 1tháng 1=>10 triệu ổn Như bạn thấy satavina không cho không bạn tiền không Vậy đăng kí giới thiệu mạng lưới Lưu ý: Chỉ bạn thành viên thức bạn phép giới thiệu người khác Hãy giới thiệu đến người khác bạn bè bạn giới thiệu quan tâm đến người mà bạn giới thiệu chăm sóc họ( thành viên bạn có mã số riêng).Khi giới thiệu bạn bè thay nội dung mục thông tin người giới thiệu thông tin bạn Chúc bạn thành cơng kiếm khoản tiền cho riêng Satavina có lừa đảo? Bạn nghe tơi giải thích nha! Kiếm tiền online có thật Việt Nam Bạn khơng tin? Bạn cho lừa đảo? Bạn nghĩ giống bán hàng đa cấp? Xin giải thích số điểm sau: Thứ nhất: Satavina có trụ sở đàng hồng, có đăng ký kinh doanh, có mã số thuế nói chung có tư cách pháp nhân đàng hồng nên khơng thể lừa đảo cịn có pháp luật 12 SKKN: "Khai thác từ kết tốn hình học" Thứ hai: Bạn khơng phải trả khoản phí để làm thành viên Bạn kiếm tiền cách đọc quảng cáo xem video giới thiệu bạn bè Thứ ba: Satavina khác hẳn với bán hàng đa cấp bạn phải mua sản phẩm để bán cho người khác giới thiệu người khác mua sản phẩm Satavina khơng bắt bạn mua cả.  Thứ 4: Bạn trực tiếp lĩnh tiền từ ATM thẻ thành viên Satavina, có hợp tác đối tác hàng đầu Việt Nam ngân hàng Vietinbank 5. Satavina Công ty kinh doanh nhà quảng cáo lớn Công ty làm Quảng cáo mà cịn bn bán gỗ nhập khẩu, nhà nhập gỗ lớn từ Châu Âu Những điều đủ chứng minh đảm bảo cho công việc kiếm tiền bạn làm với Satavina Và đảm bảo Satavina có đủ khả để chi trả cho bạn để bạn thành viên bạn xem đọc quảng cáo Vậy Satavina lấy tiền đâu để chi trả cho bạn? Đơn giản Satavina nhà quảng cáo Các doanh nghiệp, tổ chức, công ty thuê Satavina làm quảng cáo Thay quảng cáo phương tiện thơng tin đại chúng Satavina chia sẻ việc xem đến thành viên chia lợi nhuận cho họ Như bạn xem quảng cáo Satavina trả tiền cho bạn Vậy bạn giới thiệu bạn bạn xem quảng cáo tất nhiên Satavina trả tiền cho hai bạn Vậy giới thiệu nhiều có nghĩa bạn bạn bạn bạn bạn bạn kiếm nhiều Đó chế kiếm tiền trả tiền Satavina theo tơi biết Vì tơi biết đến mơ hình nhiều nước giới Chỉ có điều lạ Việt Nam nên người cịn hồi nghi Vậy bạn không thử? Bạn trả khoản chi phí 13 SKKN: "Khai thác từ kết tốn hình học" Hãy tin tơi HÃY KIÊN NHẪN BẠN SẼ THÀNH CÔNG Chúc bạn thành công! 14 SKKN: "Khai thác từ kết tốn hình học" *Khai thác 2.2.3: Tiếp tục khai thác, với ý điểm quan trọng điều kiện giả thiết hai toán toán ME // CD, MD // BE BE cắt CD A cố định Bằng cách linh hoạt thay đổi giả thiết đảm bảo điều kiện đó, ta có tốn lạ sau: Bài toán Cho đoạn thẳng BC cố định, lấy điểm M tuỳ ý nằm B C Vẽ phía BC tam giác BME CMD Tìm quỹ tích trung điểm I DE M di chuyển đoạn BC Gợi ý giải: Hình A + Gọi A giao điểm BE CD=> ∆ABC cố định + Chứng minh AEMD hình bình hành E I D -> làm tiếp dễ dàng Kết quả: Quỹ tích điểm I B đường trung bình PQ ∆ABC (PQ//BC) M C Hình Bài toán Cho đoạn thẳng BC = a, lấy điểm M nằm B C Vẽ phía BC tam giác BME CMD vuông cân E D Khi M di chuyển đoạn BC I di chuyển đường nào? Gợi ý giải: + Gọi A giao điểm BE CD => ∆ABC vuông cân A cố định + Chứng minh AEMD hình chữ nhật -> làm tiếp tương tự toán Kết quả: I di chuyển đường trung bình PQ ∆ABC (PQ//BC) *Khai thác 2.2.4: Ở toán trên, tiếp tục suy nghĩ, ta thấy từ điều kiện ME//CD MD//BC => B = CMD BME = C, mà BE cắt CD A nên muốn A cố định ta cần thêm giả thiết B = CMD = α BME = C = β ta có tốn tổng quát hay khó: 15 SKKN: "Khai thác từ kết tốn hình học" Bài tốn Cho đoạn thẳng BC = a điểm M nằm B C Vẽ phía BC tam giác BME MCD cho B = CMD = α BME = C = β (α, β cho trước) Gọi I trung điểm DE Khi M di chuyển đường thẳng BC I di chuyển đường nào? A Gợi ý giải: Hình +Gọi A giao điểm BE CD, I B = α C = β không đổi BC cố định D E nên A cố định +Từ giả thiết, dễ dàng chứng minh B M AEMD hình bình hành C Hình -> làm tiếp toán 5, kết quả: Khi điểm M di chuyển đường thẳng BC điểm I di chuyển đường thẳng PQ (P,Q trung điểm AB AC) Đến đây, thấy có nhiều thú vị từ tốn gốc khơng đến có lẽ chấp nhận dừng lại thoả mãn với khai thác! Nhưng chưa hết thú vị đâu, tiếp tục suy xét, chịu khó suy nghĩ tìm tịi, khai thác tiếp cịn tốn thú vị hay *Khai thác 2.2.5: Ở tốn trên, tốn tìm hiểu có điểm M di động đoạn BC cố định Câu hỏi đặt ra: liệu thay đổi giả thiết từ toán gốc để xét với điểm di động đoạn thẳng cố định hay khơng? Thật bất ngờ hồn tồn được!: Nhờ dựa vào tính chất hình bình hành cách giải tốn trên, có tốn hay khó sau đây: Bài tốn Cho ∆ABC cân A Hai điểm E D thứ tự di chuyển cạnh AB, AC cho AE = CD Tìm tập hợp trung điểm I DE 16 SKKN: "Khai thác từ kết tốn hình học" Gợi ý giải: Hình +Kẻ DM // AB (M A BC), E => ∆DMC cân D D I => DM = DC = AE => AEMD hình bình hành B M +Đến làm tiếp tương tự tốn trên, C Hình ta có kết quả : điểm I di chuyển đường trung bình PQ ∆ABC (PQ//BC) Bài tốn (bài toán trường hợp riêng toán 8): Cho ∆ABC Hai điểm E D di chuyển cạnh AB, AC cho Tìm quỹ tích trung điểm I ED Gợi ý giải: + Vẽ DM // AB (M BC) (hình 8) => (talet) mà (GT) => => EM // AD (talet đảo) A E D I => ADME hình bình hành => trung điểm I DE trung điểm AM B -> làm tiếp tương tự tốn M C Hình Kết quả: Quỹ tích điểm I đường trung bình PQ ∆ABC (PQ//BC) *Khai thác 2.2.6: Từ toán 8, lại khéo léo thay đổi giả thiết, ta có hai tốn hay chắn khó ta chưa biết đến tốn trên: Bài tốn Cho góc xAy cố định Hai điểm E, D di chuyển hai cạnh Ax, Ay cho AE + AD = a khơng đổi Tìm quỹ tích trung điểm I ED 17 SKKN: "Khai thác từ kết tốn hình học" Gợi ý giải: Hình x +Lấy B, C tia Ex, Dy E cho BE = AD, CD = AE B P => AB = AE + EB = AE + AD = a I tương tự AC = a A D Vậy ∆ABC cân A cố định Q C -> Đến đây, ta thấy tốn y Hình -> dễ dàng làm tiếp cho kết quả: Quỹ tích điểm I đường trung bình PQ ∆ABC (PQ//BC) Bài toán 10 Cho ∆ABC cố định Hai điểm E, D di chuyển cạnh AB, AC cho BE + CD = a khơng đổi Tìm tập hợp trung điểm M DE Gợi ý giải: Hình 10 A +Lấy G, H thứ tự tia EA DA G H cho EG = CD, DH = BE Từ giả thiết, chứng minh D BG = CH = a không đổi => G, H cố định K M I +Gọi I, K, O, N trung điểm CG, BH, BC CE => I, K, O cố định E O, N, I thẳng hàng (vì ON//BE, OI//BG) +Áp dụng tính chất đường trung bình B tam giác, ta có: N O C Hình 10 2OK = CH = a, 2OI = BG = a => OK = OI Chứng minh tương tự => NI = NM +Các tam giác cân KOI MNI có góc đỉnh (do OK // NM // AC) nên góc đáy tương ứng => OIK = NIM => I, M, K thẳng hàng => M di chuyển đường thẳng IK 18 SKKN: "Khai thác từ kết tốn hình học" -Khi D C E G, M I, -Khi E B D H, M K => Kết quả: Tập hợp điểm M đoạn thẳng IK *Tiểu kết: Q trình sâu khai thác, phát triển tốn có ý nghĩa vơ tích cực cho việc dạy học tốn Q trình rèn luyện trí thơng minh, óc sáng tạo cho HS Sau giải xong tốn tìm nhiều cách giải khác, nên tiếp tục sáng tạo: dựa vào tốn mà tự nghĩ toán Việc làm này, giúp nắm vững mối quan hệ đại lượng quan hệ chất tốn Từ mà HS hiểu nhiều 2.3/ Khai thác theo hướng diễn đạt toán hình thức khác: Từ tốn gốc, mối liên hệ mật thiết “quỹ tích” với “điểm cố định”, “các điểm thẳng hàng”, “các đường thẳng đồng quy”, “bài tốn dựng hình” nên ta tạo nhiều tốn hay khó, thú vị khơng tốn Chẳng hạn: Từ tốn (bài tốn gốc), ta có toán sau: Bài toán 11: Cho tam giác ABC, điểm M BC Gọi P, Q, R trung điểm AB, AC AM Chứng minh rằng: P, Q, R thẳng hàng Hoặc từ tốn 4, ta có tốn thú vị: Bài toán 12: Cho đoạn thẳng BC cố định, điểm M di chuyển đoạn thẳng Vẽ phía BC tam giác BME CMD Gọi trung điểm DE I Chứng minh rằng: BE, CD MI đồng quy điểm cố định Bằng cách thay đổi cách phát biểu cách linh hoạt khoa học, tương tự ta có nhiều tốn nữa: Bài tốn 13: Cho ∆ABC cân A Hai điểm E D thứ tự di chuyển cạnh AB, AC cho AE = CD Gọi trung điểm DE I Tìm quỹ tích điểm M đối xứng với A qua I 19 SKKN: "Khai thác từ kết tốn hình học" Bài tốn 14: Cho tam giác ABC vuông cân Điểm M di chuyển cạnh huyền BC, đường thẳng qua M vng góc với BC cắt đường thẳng AB, AC D E Gọi I, K thứ tự trung điểm CE BD Tìm quỹ tích trung điểm đoạn thẳng IK Bài toán 15: Cho đoạn thẳng AB Điểm M di chuyển, nằm A B Vẽ phía AB hình vng AMND BMLK có tâm C D Gọi I trung điểm đoạn CD a) Điểm I di chuyển đường nào? b) Chứng minh PK ln qua điểm cố định Bài tốn 16 Cho góc xAy 600 Hai điểm E, D di chuyển hai cạnh Ax, Ay cho AE + AD = 10 cm Dựng đường thẳng d cắt cạnh góc xAy P Q cho APQ tam giác có cạnh cm Chứng minh d qua trung điểm DE Lời giải toán dễ dàng tìm dựa vào tốn trước Phần giải chi tiết toán xin dành cho bạn đọc, coi tập vận dụng *Tiểu kết: Như bạn thấy, chịu khó suy nghĩ tìm tịi sau tốn có chứa nhiều điều thú vị, bổ ích khác Khai thác, phát triển tốn nhiều khía cạnh, tìm cách giải khác, phát triển, đề xuất thêm toán hay thú vị Điều bổ ích cho việc dạy học tốn, đặc biệt cho người học tốn đấy! Cuối cùng, tơi xin đưa số tập: Bài Cho góc xOy 300 Trên cạnh Ox lấy điểm A cho OA = 2cm Điểm B di động cạnh Oy Gọi G trọng tâm tam giác AOB Hỏi điểm G di động đường nào? 20