Ebook Chuyên đề: Ứng dụng phương pháp vectơ và tọa độ để giải một số bài toán sơ cấp - Tự luận và trắc nghiệm (Phần 1)

e ÔN THỊ ĐẠI HOC VA CAO BANG e ÔN THỊ OLYMPIC TOÁN TRONG NƯỚC VÀ QUỐC TẾ e MỞ RỘNG MỘT BẤT ĐẲNG THỨC TRONG KỲ THỊ OLYMPIC TOÁN QUỐC TẾ e GIỚI THIỆU ĐỀ THỊ TRẮC NGHIỆM MÔN TOÁN lzsai NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ThS VO GIANG GIẢI Chuyén dé UNG DUNG PHUONG PHAP VECTØ VÀ TỌA ĐỘ ĐỀ GIẢI MỘT SÔ BÀI TOÁN SƠ CẤP TỰ LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM On thi Dai hoc va Cao dang Ơn thi 0lympic Tốn nước Quốc tế Mở rộng bất đẳng thức Kì thi 0lympic Tốn Quốc tế Giới thiệu để thi trắc nghiệm mơn Tốn NHÀ XUẤT BẢN DẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI Chương I UNG DUNG PHUONG PHAP VECTO VA TOA DO DE GIAI CAC BAI TOAN BAT DANG THUC, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ VÀ LƯỢNG GIÁC evens) mỉ ° tee xẻ w Cho < wl Bai < Hãy tim gia tri nho nhat cua biéu thie P = cos(x? + y* + 27) tĐại học Xây dựng nam 2001+ Giai Trong hệ trục tọa dộ Oxyz, tập hợp điểm đả cho giao hinh lập phuong (x; y; z)/ Sox, y, z < 1] với mặt phang x+y+zZ=-— co phuong trinh Do dễ thấy tập hợp điểm cho lục giác ABCDEF, có dinh trung điểm cạnh hình lập phương (xem thi) Khi do: VM(x; OM y; 2) © luc gide déu ABCDEF, < OA () OM? = OX” 0 vx? ty» ` ‹ 3et mn Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét : kt tự ie sẻ ` v4 sk ‘ Mi(xi; yu), M(x, + X93 yn yz), - , Maer +X + 65'S Ye $= Hy Ed) | Lúc > đó: OM, = l VX} MƠNG M, M,M; = M, M, +yi | x2 +yi, = 2 Xạ † Yụ g + Í X \/ , (dN Suy ra: OM, es Bai5 + M,M Sứ + + M, To ,M,, OH = (DPCM) Cho x + 2y #3z = Ching minh V1+x2 = +2yl+y? rang : + 3v24 2? > 2/10 Giải Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét : A(C1: x), B(3; x + 2y), C(G:x + 2y + 3z) 22 Lúc : OA = V1+x”, OC = Hơn : BC = 3V1+z”, v6 + 2? - 2/10 OA + AB+BC>OC => vi +x? + ey ty Chimg minh rang: a (Bạn đọc tự vẽ hình) + 3V1+z2>2V/10 -a+1+ = (DPCM) Va? - V3a + > V2 Giái TTrong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét : Lael, B 2” Ss l -4) ca; 01 2 “Vv Luc : CB AB- = ja- eee a”~ đâna +1 J3_1Ì ,(X3,1Ì 2 _ Trong AABC, ta có : CA + CB> AB c© da? -a+l+ va? ~ 3a +1 > v2 = .(ĐPCM ¬ | Bai6 AB = 2+ y°, a’ Choa, b,c, d thoa man : Bài Chumg minh rang: + bo le +d> = a+b (1) = -(e +d) (2) (a-c)’ + (b-d) (a-cJ'+(b-d-8 iF bán kính v2 - 5): ban kinh (Bạn đọc tự chứng mình) < 2V2 -› (DPCM) Chitng minh rang : Via - >2 ca +tb”, va b,c Giai Trong 2% c = N(c; d) thuộc đường tròn tâm Jj T5 “> Bài 8, = tai ` => mat phang toa Oxy xét : Ata +e: -b), Bee — ay bd RB loa = Na +c) bỉ lOB - đa -c” bˆ Ta có : | | AB = 2va? +b? > Bài (Bát thức tạm giác) ylatcP+b sla +b eaves bh? = ) |OA+ OB > AB © (DPCM Chứng minh : va? + + va) - 3ã +b? +14 Vb? -6b+1025, Wabe R Giúi Xét mặt phẳng Dib; 2) AC = Ta có : CD ì tọa độ Oxy diểmi : A(8; -1), B(3; 3), Ca; ‘ va? +4 = Vịt - bir +1 = Va? nita: - Qab+ b? +1 DB | yib- 3+ 1- vb? - 6b » (AB- V? 4? Hon AC +CD+ 10 ) DB AB Nên: - va? : ca? -2b-b 1- vò “2 Bài 10 1), 6b 10 25 Chứng ràng : Vx: 2px + 2p yx: Bux + 2q° > vip ~ q)ˆ + (dp! el@b? tBộ Đẻ tuyến sinh) Giúi Nột mặt phẳng tòa dọ Oxy điểm : Atx — p:| pl), Box = q: —lq 1) xử OA = ix -p? +p?= yx? ~ 2p OB = Vix “greg Taco: = yx? ~ 2qx + 2q” AB = yp - q)? + lp|+|ql OA + OB AB Vậy : {x? - 9px + 2p? + yx? - 2qx + 2q” vip - q” +(pl+lq)? _ Bai 11 a? +b? Cho + 2a+2b+1=0 c? +d? +17 = 6c +d) Chứng minh : "1V 4:2 < (iP- 0)? +(b-d)? < 4v2 +2 Giải nA j TẠI VI ẬU ý -1 7 cos) > : => + AC” + BC”) = (DPCM) Bài 12 Cho hai tam giác ABC A'BC hai tam giác ABC va A'B'C’ Chung minh rang : GG : 5AB? AA’ + BB’ Gọi G va G dan lượt trợng trần CC Giải Ta có: + GG'=GA+ AA's A'G’ GG’ = GB + BB’ + BG’ GG’ = GC+CC'+ CG’ => at a rt ae 8GG’'=GA+GB-GC+ AA’ BB's CC'+ AGE BG: CO 0 \A'- BH ÓC l > ]J3GG'| -lAA': BB'+CC'| 16R.r Cho \ABC có BC = a, CA = b, AB = c R bán kinh dường tròn ngoại tiếp VABC Chiing minh rang: a + bo + ¢7 < OR? Dau “=” xav naw ? 44 Cho tu gic loi ABCD co AB = a BC = b CD = « DA =d, AC = m, BD = n Chứng rang d? Vath +te> ba +c?ô+d +b — >zm +n Cho VABC từ điểm P trén canh BC ke PN // AB va PN cat AC tai N, tuong tu ke PM // AC va PM cat AB tai M Xác định P BC cho MN ngắn Cho vÁXDC Chứng ràng : cosA + 2008(cosB + cosC? - 2016033 ‘x >0 Cho \ABC va iy > Chứng rang iz >0 XV WZ ZX —— - “ye x.cus:\ + V.ẴeosB + ZcosC - 2z 2x 3V x0 Cho \ABC \y > Chung minh rang : \z>0 Í —XVZl — Cho điểm +— Lx? M | oA B Cc ~ — 'X.Sin— - v.sin— + zsin— v ndm mat phang cua \ABC (AB = BC = CA = Khoang cieh tit M dén cac canh tam giác x, v, £ đến đính tam giíc đụ dị; dc Thứng mịnh : d\ - dị -d - LX +v +”) Jho VABC có 3A — € < + va góc D dược chía thành góc bàng i đường xuất ph:ít từ D cát AC lan lượt K, LL M theo thứ tự kế u A) Ching minh ` rang | ML < a C tĐè thị Olympic Toán Quốc tế) “Sho \ABC có cạnh lì cà, b, e bán kính đường trịn ngoại tiếp R, xắn kính đường trịn nội tiếp la r Goi G la tam tam giác, liểm A¡, Bị, C¡ hình chiếu G cạnh BC, CA, AB sòn M điểm tùy ý Tam giác ABC có tính chất biết : 45 ta? MAI x bổ, MBI + cềMC:¿? = (SR? + i GME (De thi De nghi Olympic 380 - lin 3, 11 Cho AABC co tam G, BC = a CA = b, AB = ec Goi UD) la cuony tron ngi ti¢p \ABC Chimy ràng, nêu G nằm (Ú) mania", b?, 7} < 4minibe, ca, abl (Tap chi "“Tuản học tà THÔI trẻ”) 12 a) Cho VVBC có max, B C| < 190”, Hãy tìm:M cho : ALA + Mi + MC đạt gi trị nhỏ nhất, nam VABC túi toán TorecellHi) b) Cho VABC có maxI.\, B, C| x 120”, Hãy tìm M năm VVDC giáo "cho : MA + MB + MC dạt gi trị lớn (Bat toan 13 Toreeillti Cho \ABC Chiiag minh rang : đ , cos’A + cos’B + cos Co = —(cus3A + cos3b + cosdO) (Dai hoc Au ninh nam 14 Cho AABC Tin gia tri nhat cua: M = 3eusA + 2cosB + cos) (Dai-hoe Luat Ha Nor nam 15 [997) Cho AABC Chứng ràng: 1998) -1 < GeosA + GcosB + 2cosC < (Tap chi “Toản học từ Tuổi tre’, nam 2007) CAC BAI TOAN HINH HOC KHONG GIAN Bail Tien| Cho tứ diện ABCD (với dộ dài cạnh a, b, c, x, y, 2) nội tiếp hình cầu bán kính HH Gọi G trọng tâm tứ điện Chứng nĩnh : GA + GB + GC + GD:: arb way ices » tyr az AR (Tap chi "Todn hee va Tuo tre”) Giai Dat : AB=a, AC = b, AD =c, BC =x, Vì G trọng tâm tứ diện, nén ta co : 46 BD=y, CD =z |GA+GB+GC+GD | Ga? + GB +GC? ¿G2 0=) be” xế+ y.+z Gọi O tâm hình cầu ngoại tiếp tứ dién ABCD Khi : GA.R > GA.OA = GA\OG~ GA) => GAR2GA?+GA.0G Dau"=" = GATTOA Chứng tương tự : => Dau "=" GC2+ GC.0G Dau’=" = GC ttoc GD.R>GD? + GD.OG Dấu'=' © GDTT OD (GA+GB+GC+GD'R - i GB.R = GB? + GB.OG GA‘ + GB’ + GC +GD/+ + (GA + GB+ GC+ GD).OG” ` ke x > => GA+GB+GC+GD Dau "=" Bài => O2G es ¿SẺ # +b° tổ, +07 số, +x°>về +y* sv3 +27) a? +b? +x" +02 + y? +2? 4R ABCD tứ diện Cho hai tứ diện ABCD tâm hai tứ diện ABUJD GG qie < ABŒD ABCD' AA‘ + BB’ — Gọi G GŒ' lượt trọng Chứng ràng: + DD’ 47 Giai Taco: GG’ = GA+ AA’ + AG: GG = GB + BB+ BG’ GG’ = GC + cc’ + CG’ = GD + GG' => DD’ + D'G’ 4GGŒ =(GA+GB+GC+GD) : AA'+ BB'+ CC! + DD’ \@Œ A' + G1% + GC’ + GD) AA’ + BB’ + CC’ + DD’ =_ laGỞ! = |AA'+ BB'+ OỞ + ĐỜI < |AA“I+lBB'|+lCŒ'Ì+ÌDp'! => Bai3 4GG < AA’ +BB'+CC + DD Cho tứ diện SABC tích khơng đơi = V, day ABC cé dink Tin vị trí định S sạo cho tứ diện có điện tích tồn phần nhỏ Gà a Ke SH : (ABC) Gọi x v z lận lượt khoáng cách từ H dén BC, CA, AB Với quy ước : x >0 A, H phía với BC x0 A, H phía với BC x=0 H c BC x< A, H hai phia với BC Quy ước áp dụng cho y z Theo kết (của mục này) : 25,,> OR = Vtax + by + cz +(a+b+e7h? Dau "=" © H tâm đường tròn nội tiếp \ABC (Vdi So, = Swan + Syne + Sper? Hơn nữa, ta dễ thấy ràng : “Trong VABC có BC (a+b4c)* > 12V3S = a, CA = b AB Dau "=" xay rakhi = ¢ va S la diện tích : \VABC déu" Qua vay : Theo bất đăng thức Cauchy công thức Hêerông : p(p- aXp -b)(p > (a+b+c)?> -e) < Pi (p-a+p-b+p-cŸY \ | 128¥3 Dau "=" \ABC déu Do đó: 28,, = +925 sige VOR" => (S\pap => S,.65 wan > Sy(Soan t-Ssnie \ Sự, => + Sve + Sun + Syne air + SWCA Saw +35 ane “ Sune) bh? v3 34938 Saar Ah? + Sypen — SunI2S ane = 54V” V3 (Swap \DAL Scone ( + Sane ADC \ Svan Al » + 28 AARC »Vlịạ 51/2A £9gt / S) > 21643" Đoan Dấu "="” xảy => the + 3aneA = 38 une HW tam đường tròn nội tiếp \ABC \ABC déu >> ABCD La tut dien déu a Bai7 int image cece capresso Goi/ va R lan luct fa tong dai tat ca ete canh va bin kiiuh cầu ngoại tiếp tử diện tici sé cde td dién, tu dién mio dat gui gia tri nhat cua ti so ä ? Và tính ghí trị lớn tỉ só + Tụp chí “Tuán học từ Tuổi trẻ”) Giai A Gọi G O lan Jugt ba tam mat ngoai tieép tu dien ABCD Theo bat dang thite Bunluscopski = IA Fo Mật 52 (BC+ CA4 AG GBC? + CAP + AB khác ta lại có : DA+ : DA cau : AT D Cc el) DB + DECC +DB + DC?) (1) OS BC” + CA“ + AHˆ + DA + DBV + DC”= (OC - OB} + (OA - ÓC)” + (OB- OA)! + (OA - OD)? + (OB- OD , +(OC- OD)? HH 1GR? ~ (OA+ OB» OC + OD)? = 16R° - 160G* ~ 16R° (2) Tư (1) (2) ta dược : Dau "=" 1° < 6.16R° = O=G => |BC = CA = AB = DA : < 4.6 - DB - DC ABCD la tu dién déu Vay : max | R | = 4⁄6, ABCD Ñ / Cho tu dién ABCD Sáu cạnh tứ diện Chứng minh rang : > Goi ú¡, us, Gs, Uy, Us, Us 1a góc nhị diện cosu, OA + OB + OC + OD (Dé thi de nghi Olympic 30 — lan Tap chi “Tốn học tà Tuối trẻ”) Cho hình hộp ABCD.ABC'D' AC + AB + AD Chứng : sel 4 A TÔ GA, i=l (Dé thi dé nghị Olympic 30 - lan 6) 10 Cho tứ diện ABCD ABCD điểm nội tiếp mặt cầu - (O, R) Gọi G trọng tâm Các đường thẳng GA, GB, GC, GD - thứ hai Chứng minh Ai, Bị, lượt cắt mặt cầu Ci, Dị : VẠnco < Va,,c,0, Dấu "=" xảy ? (Tap chí "Tốn học uà Tuổi trẻ”)