Chuyên đề đẳng thức tổ hợp

Chuyên đề Diễn đàn Toán học Chuyên đề ĐẲNG THỨC TỔ HỢP Vol.1 Chế Hoàng Xuân Thanh [hxthanh] Trần Quốc Nhật Hân [perfectstrong] Trần Trung Kiên [Ispectorgadget] Nguyễn Bảo Phúc [dark templar] c 2013 Diễn đàn Toán học Lời giới thiệu Bạn đọc thân mến! Đại Số Tổ Hợp ngày trở thành môn học thiếu chương trình trung học phổ thơng Khi nói tốn Tổ hợp, khơng thể khơng nhắc tới dạng tốn hay quen thuộc là: Đẳng thức tổ hợp Đẳng thức tổ hợp (ĐTTH) đẳng thức có chứa hệ số nhị thức thường phát biểu dạng tính tổng Có thể nói ĐTTH đề tài khó hấp dẫn Đại Số Tổ Hợp Việc ĐTTH xuất thường xuyên kỳ thi Đại Học, học sinh giỏi năm gần đây, dấu hiệu cho thấy quan tâm đầu tư cách tích cực vấn đề Nhân kiện đón xuân Quý Tỵ kỷ niệm trịn năm Diễn đàn Tốn học khai trương trang chủ (16/01/2012 - 16/01/2013), nhóm biên tập chúng tơi nhiều thành viên tích cực diễn đàn chung tay biên soạn chuyên đề gửi đến bạn đọc Với số phương pháp từ đến nâng cao Đại Số Tổ Hợp nói chung ĐTTH nói riêng, chúng tơi, người thực chuyên đề này, mong muốn đem đến cho bạn đọc chút mẻ toán ĐTTH, chẳng hạn phương pháp Sai Phân, Sai phân phần, v.v Bạn đọc tìm thấy chuyên đề số dạng tốn quen thuộc nhìn nhận tiếp cận theo phong cách hồn tồn mới, qua ví dụ tập điển hình i ii Chuyên đề tập hợp viết tác giả: Trần Quốc Nhật Hân (perfectstrong), Bùi Đức Lộc (supermember), Hoàng Xuân Thanh (hxthanh), Lê Kim Nhã (gogo123), Nguyễn Bảo Phúc (Dark Templar), Trần Trung Kiên (Ispectorgadget), Lưu Giang Nam (namheo1996), Hoàng Minh Quân (batigoal), Nguyễn Hiền Trang (tranghieu95) góp sức nhiều thành viên tích cực khác Diễn đàn Toán học thầy Châu Ngọc Hùng (hungchng), Lê Hữu Điền Khuê (Nesbit), Đinh Ngọc Thạch (T*genie*), HeilHittler, trungpbc, Chuyên đề gồm chương Chương tóm tắt Tổng quan hệ số nhị thức Phương pháp cân hệ số khai triển nhị thức quen thuộc nghiên cứu chương Tính tổng Sai Phân Sai Phân Từng Phần chiếm vị trí chương Chương viết Hàm Sinh ứng dụng mạnh mẽ chứng minh ĐTTH Chương Một số ứng dụng nhị thức toán Số Học Khép lại chuyên đề chương Phương pháp đếm hai cách Những phương pháp tập giới thiệu chuyên đề chưa phải hay nhất, chưa phải tổng quát Nhưng hy vọng bạn đọc tiếp tục nghiên cứu, sáng tạo Đó tinh thần học toán mà chuyên đề muốn mang tới Tài liệu thay cho lời chúc mừng năm Diễn đàn Toán học gửi đến quý bạn đọc! Do thời gian chuẩn bị gấp rút, số nội dung chưa đầu tư cách tỉ mỉ khơng thể tránh khỏi sai sót, chúng tơi mong bạn đọc thơng cảm Mọi ủng hộ, đóng góp, phê bình độc giả nguồn động viên tinh thần to lớn cho ban biên tập tác giả để phiên cập nhật sau chuyên đề tốt Mọi trao đổi góp ý xin gửi địa email : contact@diendantoanhoc.net Trân trọng! Nhóm biên tập Chuyên đề Đẳng Thức Tổ Hợp Diễn đàn Toán học N Chuyên đề Đẳng Thức Tổ Hợp Mục lục i Lời giới thiệu Chương Tổng quan hệ số nhị thức 1.1 1.2 Một số khái niệm Các tính chất Chương Phương pháp cân hệ số chứng minh đẳng thức tổ hợp 11 2.1 2.2 Khai triển số thực 12 Ứng dụng số phức 22 Chương Tính tổng, chứng minh ĐTTH phương pháp Sai phân phần 41 3.1 Sai Phân (Difference) 42 iii iv Mục lục 3.2 3.3 3.4 Sai Phân Từng Phần 43 Một số tốn Ví dụ minh hoạ 44 Bài tập tự luyện 68 Chương Sử dụng hàm sinh chứng minh đẳng thức tổ hợp 71 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 Thay lời mở đầu 72   n 74 k Những dạng khai triển hàm sinh cần biết 75 Những định lý tính tổng dùng hàm sinh 76 Bài tập minh họa 81 Các tốn khơng mẫu mực 108 Bài tập tự luyện 121 Những biến đổi đại số thường gặp với Chương Ứng dụng đẳng thức tổ hợp vào Số học 125 5.1 5.2 5.3 5.4 Định lý 125 Một số hệ thức Các toán 127 Bài tập 148 126 Chương Kỹ thuật đếm hai cách chứng minh đẳng thức tổ hợp 151 6.1 6.2 Diễn đàn Tốn học Ngun lí đếm hai cách 152 Ứng dụng chứng minh đẳng thức tổ hợp 153 N Chuyên đề Đẳng Thức Tổ Hợp Mục lục v 6.3 6.4 6.5 171 Ứng dụng phương pháp đếm giải toán đồ thị 165 Ứng dụng đếm hai cách giải toán rời rạc 167 Bài tập 169 Tài liệu tham khảo Chuyên đề Đẳng Thức Tổ Hợp N Diễn đàn Toán học m−1 (−1)k A = (−1) · k−1 (2k − 1)!!(2n − 2k − 1)!! k=0    m  X (−1)k+1 (2n) k m−1 − (−1) · k (2k + 1)!!(2n − 2k − 1)!! k=0   m−1 m−1 X k = (2n) (2k + 1)!!(2n − 2k − 1)!! k−1 k=0 = (2n)A1 Diễn đàn Toán học N Chuyên đề Đẳng Thức Tổ Hợp 3.3 Một số toán Ví dụ minh hoạ 63 Tương tự        (−1)k m − = ∆ (−1)k−1 m −    k k−1           (−1)k  = ∆ (2k + 1)!!(2n − 2k − 1)!!    (−1)k+1 (−1)k   = −   (2k + 3)!!(2n − 2k − 3)!! (2k + 1)!!(2n − 2k − 1)!!     (−1)k+1 (2n + 2)   =  (2k + 3)!!(2n − 2k − 1)!! Áp dụng SPTP 3.2 cho A1 , ta được: m   m−2 (−1)k A1 = (−1) · (2k + 1)!!(2n − 2k − 1)!! k=0 k−1    m−1 X (−1)k+1 (2n + 2) k m−2 − (−1) · (2k + 3)!!(2n − 2k − 1)!! k k=0   m−2 m−2 X k = (2n + 2) (2k + 3)!!(2n − 2k − 1)!! k−1 k=0 = (2n + 2)A2 Tiếp tục trình khi, ta được:   m−m m−m X k Am = = (2k + 2m − 1)!!(2n − 2k − 1)!! (2m − 1)!!(2n − 1)!! k=0 Từ đẳng thức suy ra: A = (2n)(2n + 2) (2n + 2m − 2).Am = Chuyên đề Đẳng Thức Tổ Hợp N 2m n(n + 1) (n + m − 1) (2m − 1)!!(2n − 1)!! Diễn đàn Toán học 64 3.3 Một số tốn Ví dụ minh hoạ Vậy ta có: (2n)! (2n)!2m n(n + 1) (n + m − 1) · A = 2n m!(n − m)! 2n m!(n − m)!(2m − 1)!!(2n − 1)!! 22m n(n + m − 1)! = (2m)!(n − m)! S=  Bài toán 3.4 Chứng minh đẳng thức:  2 n n X 24n (n!)4 k  = 2n (2n)!(2n + 1)! k=0 (2k + 1) 2k Nhận xét Đây toán khó! Tưởng ngồi cách giải hàm sinh kiến thức chuỗi hàm luỹ thừa, khơng có phương pháp sơ cấp tiếp cận này! Tác giả “may mắn” tìm lời giải SPTP 3.2 sau đây: Lời giải Trước hết ta đưa tổng cần tính dạng:  2   n n n!(2k)!(2n − 2k)! n n X X k k  = 2n k!(n − k)!(2n)!(2k + 1) k=0 (2k + 1) k=0 2k   n n!2k k!(2k–1)!!2n−k (n–k)!(2n–2k–1)!! n X k = k!(n–k)!(2n)!(2k + 1) k=0   n (2k − 1)!!(2n − 2k − 1)!! n n X n! k = (2n)! 2k + k=0 Diễn đàn Toán học N Chuyên đề Đẳng Thức Tổ Hợp 3.3 Một số tốn Ví dụ minh hoạ 65 Như đẳng thức cần chứng minh tương đương với:   n (2k − 1)!!(2n − 2k − 1)!! n X 23n (n!)3 k S= = 2k + (2n + 1)! k=0 Ta có:    n−1 (2k − 3)!!(2n − 2k + 1)!! = k−1     n−1 n−1 = (2k − 1)!!(2n − 2k − 1)!! − (2k − 3)!!(2n − 2k + 1)!! k k−1   n =− (2k − 3)!!(2n − 2k − 1)!! k ∆   2k − Như thừa số cịn “sót” lại − 2k + với:   2k + 2k − 2k − =− + =− ∆ − 2k + 2k + 2k + (2k + 1)(2k + 3) Áp dụng SPTP 3.2, ta được:   n (2k − 1)!!(2n − 2k − 1)!! n X k S= 2k + k=0  n+1    n−1 2k − = (2k − 3)!!(2n − 2k + 1)!! − k−1 2k + k=0   n−1 (2k − 1)!!(2n − 2k − 1)!!(−4) n X k − (2k + 1)(2k + 3) k=0   n−1 (2k − 1)!!(2n − 2k − 1)!! n−1 X4 k = (2k + 1)(2k + 3) k=0 Chuyên đề Đẳng Thức Tổ Hợp N Diễn đàn Tốn học 66 3.3 Một số tốn Ví dụ minh hoạ Quan sát thay đổi tổng thu được, sau lần áp dụng SPTP, ta nhận thấy dạng tổng quát tổng cần tính là: S(p,n)   n−p (2k − 1)!!(2n − 2k − 1)!! n−p X [(2p)!!] k = p Q k=0 (2p − 1)!! (2k + + 2j) j=0 Thật vậy:    n−p−1 ∆ (2k − − 2p)!!(2n − 2k + 1)!! = k−1   n−p−1 = (2k − − 2p)!!(2n − 2k − 1)!! k   n−p−1 (2k − − 2p)!!(2n − 2k + 1)!! − k−1   n−p−1 = (2k − − 2p)!!(2n − 2k − 1)!! (2k − − 2p) k    n−p−1 − (2n − 2k + 1) k−1   n−p = −(2p + 1) (2k − − 2p)!!(2n − 2k − 1)!! k Còn lại:   p p p Y 2k − − 2j  Y 2k + − 2j Y 2k − − 2j ∆ = − 2k + + 2j 2k + + 2j j=0 2k + + 2j j=0 j=0 (2p + 2)2 = p−1 Q (2k − − 2j) j=0 p+1 Q (2k + + 2j) j=0 Diễn đàn Toán học N Chuyên đề Đẳng Thức Tổ Hợp