Chuyên đề tổ hợp xác suất nguyễn hoàng việt

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường MỤC LỤC §1 – §2 – §3 – §4 – §5 – TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Các quy tắc đếm A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN | Dạng 1.Các toán chọn người đồ vật | Dạng 2.Bài toán đếm số | Dạng 3.Nhóm Bài toán sử dụng quy tắc bù trừ toán khác 10 Hoán vị - chỉnh hợp - tổ hợp 22 A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ 22 B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 23 | Dạng 1.Các toán liên quan đến hoán vị 23 | Dạng 2.Các toán liên quan đến hoán vị, tổ hợp chỉnh hợp 32 | Dạng 3.Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình 46 Nhị thức Newton 61 A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ 61 B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 63 | Dạng 1.Tìm hệ số số hạng khai triển nhị thức Newton 63 | Dạng 2.Chứng minh tính tổng 82 | Dạng 3.Dạng tốn chẵn tồn lẻ 83 | Dạng 4.Nhóm tốn tính tổng chứng minh dựa vào tính chất biến đổi (nâng cao) 86 | Dạng 5.Tìm hệ số số hạng dạng có điều kiện (kết hợp dạng & 2) 99 | Dạng 6.Tìm hệ số lớn khai triển (a + bx)n 106 Biến cố xác suất biến cố 114 A Biến cố 114 B Xác suất 115 C BÀI TẬP 117 | Dạng 1.Xác suất liên quan đến hình học 139 CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT 146 A Quy tắc cộng xác suất 146 B Quy tắc nhân xác suất 147 p Th.S Nguyễn Hồng Việt i Ơ SĐT: 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Chương Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt MỤC LỤC p Th.S Nguyễn Hồng Việt ii Ơ SĐT: 0905.193.688 Chương TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT AA A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ Quy tắc cộng Một công việc hồn thành hai hành động, • Hành động có m cách thực hiện; • Hành động có n cách thực khơng trùng với cách hành động thứ cơng việc có m + n cách thực Quy tắc nhân Một cơng việc hồn thành hai hành động liên tiếp, • Hành động có m cách thực hiện; • Hành động có n cách thực (ứng với cách hành động 1) cơng việc có m · n cách thực AA B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN | Dạng Các tốn chọn người đồ vật c Ví dụ Một ca sĩ có 30 áo 20 quần, có 18 áo màu xanh 12 áo màu đỏ; 12 quần xanh quần đỏ Có cách chọn quần áo khác màu để người ca sĩ trình diễn? Ê Lời giải p Th.S Nguyễn Hoàng Việt Ơ SĐT: 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường BÀI CÁC QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN Các quy tắc đếm Gv Ths: Nguyễn Hồng Việt c Ví dụ Lớp 11A có 39 học sinh có học sinh tên Chiến, lớp 11B có 32 học sinh có học sinh tên Tranh Có cách chọn tổ gồm học sinh khác lớp mà mặt Chiến Tranh lúc Ê Lời giải c Ví dụ Trong lớp 11A có 32 học sinh, có học sinh tên Ưu Tiên Có cách chọn học sinh thi mà có mặt học sinh tên Ưu tên Tiên? Ê Lời giải p Th.S Nguyễn Hoàng Việt Ô SĐT: 0905.193.688 Chương TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Ê Lời giải | Dạng Bài toán đếm số ○ Khi giải tốn liên quan đến tìm số cho số số chẵn, số lẻ, số chia hết ta nên ưu tiên việc thực chọn chúng trước chứa số nên chia trường hợp (trường hợp có số trường hợp khơng có số 0) nhằm tránh trùng lặp với ○ Dấu hiệu chia hết: Gọi N = an an−1 a1 a0 số tự nhiên có n + chữ số (an 6= 0) Khi đó: Dấu hiệu chia hết cho 2, 5, 4, 25, 125 số tự nhiên N : — N ⇔ a0 ⇔ a0 ∈ {0; 2; 4; 6; 8} — N ⇔ a0 ⇔ a0 ∈ {0; 5} — N 4( hay 25) ⇔ a1 a0 4( hay 25) — N 8( hay 125) ⇔ a2 a1 a0 8( hay 125) — Dấu hiệu chia hết cho 3, N 3( hay 9) ⇔ (a0 + a1 + a2 + · · · + an ) 3( hay 9) c Ví dụ Cho tập hợp X = {1; 2; 4; 5; 7; 8} Có số tự nhiên gồm bốn chữ số lập từ X cho: a) Khác đôi b) Khác đơi số lẻ c) Khác đơi số chẵn Ê Lời giải p Th.S Nguyễn Hoàng Việt Ơ SĐT: 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường c Ví dụ Trong lớp 11C có 30 học sinh, có học sinh tên A B Có cách chọn học sinh thi mà có mặt học sinh tên A tên B? Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt Các quy tắc đếm c Ví dụ Cho tập hợp X = {1; 3; 4; 6; 7; 9} Có số tự nhiên gồm bốn chữ số lập từ X cho: a) Khác đôi b) Khác đôi số lẻ c) Khác đơi số chẵn Ê Lời giải p Th.S Nguyễn Hoàng Việt Ô SĐT: 0905.193.688 Chương TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT c Ví dụ Cho tập hợp X = {1; 3; 4; 5; 7; 8} Có số tự nhiên gồm ba chữ số lấy từ X cho a) Khác đôi b) Khác đơi số lẻ c) Khác đơi số chẵn d) Khác đôi chia hết cho Ê Lời giải p Th.S Nguyễn Hồng Việt Ơ SĐT: 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Các quy tắc đếm c Ví dụ Cho tập hợp X = {2; 3; 4; 5; 6; 8; 9} Có số tự nhiên gồm ba chữ số lấy từ X cho a) Khác đôi b) Khác đơi số lẻ c) Khác đôi chia hết cho Gv Ths: Nguyễn Hồng Việt d) Khác đơi chia hết cho Ê Lời giải p Th.S Nguyễn Hoàng Việt Ô SĐT: 0905.193.688 Chương TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT c Ví dụ Cho tập hợp A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} Có số tự nhiên gồm bốn chữ số lấy từ A cho a) Khác đôi b) Khác đơi số lẻ c) Khác đơi số chẵn d) Khác đôi chia hết cho p Th.S Nguyễn Hồng Việt Ơ SĐT: 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Ê Lời giải Chương TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Ê Lời giải Ê Lời giải c Bài 69 Có đoạn thẳng có độ dài cm, cm, cm, cm, cm Lấy ngẫu nhiên ba đoạn thẳng đoạn thẳng Tính xác suất để ba đoạn thẳng lấy lập thành tam giác Ê Lời giải c Bài 70 Cho đa giác 20 đỉnh Trong bốn tứ giác có đỉnh đỉnh đa giác, chọn ngẫu nhiên tứ giác Tính xác suất để tứ giác chọn hình chữ nhật Ê Lời giải c Bài 71 Cho đa giác 12 đỉnh A1 A2 A12 nội tiếp đường tròn tâm O Chọn ngẫu nhiên đỉnh đa giác Tính xác suất để bốn đỉnh chọn tạo thành hình chữ nhật Ê Lời giải p Th.S Nguyễn Hoàng Việt 141 Ơ SĐT: 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường c Bài 68 Có đoạn thẳng có độ dài cm, cm, cm, cm, 10 cm Lấy ngẫu nhiên ba đoạn thẳng đoạn thẳng Tính xác suất để ba đoạn thẳng lấy lập thành tam giác Biến cố xác suất biến cố c Bài 72 Cho đa giác gồm 2n đỉnh (n ≥ 2, n ∈ N) Chọn ngẫu nhiên ba đỉnh số 2n đỉnh đa giác, xác suất để ba đỉnh chọn tạo thành tam giác vng 0,2 Tìm giá trị n Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt Ê Lời giải c Bài 73 Cho đa giác gồm 2n đỉnh (n ≥ 2, n ∈ N) Chọn ngẫu nhiên bốn đỉnh số 2n đỉnh đa giác, xác suất để bốn đỉnh chọn bốn đỉnh hình chữ nhật Tìm giá 65 trị n Ê Lời giải c Bài 74 Cho đa giác gồm 48 đỉnh Chọn ngẫu nhiên ba đỉnh đa giác Tính xác suất để tam giác tạo thành từ ba đỉnh chọn tam giác nhọn Ê Lời giải p Th.S Nguyễn Hồng Việt 142 Ơ SĐT: 0905.193.688 Chương TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT c Bài 75 Cho đa giác 100 đỉnh Chọn ngẫu nhiên đỉnh đa giác Tính xác suất ba đỉnh chọn ba đỉnh tam giác tù c Bài 76 Chọn ngẫu nhiên ba đỉnh từ đỉnh đa giác có 12 cạnh A1 A2 A12 Tính xác suất để đỉnh chọn tạo thành tam giác cân Ê Lời giải c Bài 77 Cho đa giác 20 đỉnh Lấy ngẫu nhiên đỉnh Tính xác suất để đỉnh đỉnh tam giác vuông không cân Ê Lời giải p Th.S Nguyễn Hoàng Việt 143 Ơ SĐT: 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Ê Lời giải Biến cố xác suất biến cố Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt c Bài 78 Cho đa giác có 18 đỉnh nội tiếp đường trịn tâm O Gọi X tập hợp tam giác có đỉnh đỉnh đa giác Tính xác suất để chọn tam giác từ tập X tam giác cân tam giác Ê Lời giải c Bài 79 Chọn ngẫu nhiên ba đỉnh từ 4n + đỉnh đa giác 4n + đỉnh, n ∈ N∗ Xác suất ba đỉnh chọn ba đỉnh tam giác tù bao nhiêu? Ê Lời giải c Bài 80 Cho đa giác 36 đỉnh Chọn ngẫu nhiên đỉnh 36 đỉnh đa giác Tính xác suất để đỉnh chọn tạo thành hình vng Ê Lời giải c Bài 81 Cho hình vng ABCD Trên cạnh AB, BC, CD, DA lấy 1, 2, n điểm xuất phân biệt (n ≥ 3, n ∈ N) khác A, B, C, D Tìm n, biết số tam giác lấy từ n + điểm p Th.S Nguyễn Hồng Việt 144 Ơ SĐT: 0905.193.688 Chương TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Ê Lời giải c Bài 82 Trên mặt phẳng Oxy, ta xét hình chữ nhật ABCD với điểm A(−2; 0), B(−2; 2), C(4; 2) D(4; 0) Một châu chấu nhảy hình chữ nhật tính cạnh hình chữ nhật cho chân ln đáp xuống mặt phẳng điểm có tọa độ ngun (tức điểm có hồnh độ tung độ ngun) Tính xác suất để đáp xuống điểm M (x; y) mà x + y < y B A -2 C D O x Ê Lời giải c Bài 83 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật OM N P với M (0; 10), N (100; 10), P (100; 0) Gọi S tập hợp tất điểm A(x; y) với x, y ∈ Z nằm bên kể cạnh hình chữ nhật OM N P Lấy ngẫu nhiên điểm A(x; y) ∈ S Tính xác suất để x + y ≤ 90 Ê Lời giải p Th.S Nguyễn Hồng Việt 145 Ơ SĐT: 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường cho 439 CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT Gv Ths: Nguyễn Hồng Việt BÀI CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT AA A QUY TẮC CỘNG XÁC SUẤT a) Biến cố hợp ΩA ΩB Cho hai biến cố A B Biến cố “A B ”, kí hiệu A ∪ B, gọi hợp hai biến cố A B Khi ΩA ∪ ΩB ⊂ Ω c Ví dụ Chọn ngẫu nhiên bạn học sinh lớp 11 trường Gọi A biến cố: “Bạn học sinh giỏi tốn ” B biến cố: “Bạn học sinh giỏi Lý” Khi đó: A ∪ B biến cố: “ ” b) Biến cố xung khắc ΩA ΩB Cho hai biến cố A B Biến cố A biến cố B gọi xung khắc biến cố xảy biến cố khơng xảy Khi đó: ΩA ∩ ΩB = ∅ c Ví dụ Chọn ngẫu nhiên học sinh lớp 11 trường Gọi A biến cố: “Bạn học sinh lớp 11C1 ” gọi B biến cố: “Bạn học sinh lớp 11C2 ” Khi A B biến cố xung khắc p Th.S Nguyễn Hồng Việt 146 Ơ SĐT: 0905.193.688 Chương TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT c) Quy tắc cộng xác suất hai biến cố xung khắc ○ Nếu A B hai biến cố xung khắc xác suất biến cố A ∪ B P(A ∪ B) = P(A) + P(B) ○ Cho n biến cố A1 , A2 , , An đôi biến cố xung khắc với Khi đó: P (A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ ∪ An ) = P (A1 ) + P (A2 ) + P (A3 ) + · · · · · · + P (An ) Ê Lời giải d) Biến cố đối Ω n(Ω)\n(A) = n(A) n(A) Cho A biến cố Khi biến cố “khơng A”, kí hiệu A, gọi biến cố đối A Ta nói A A hai biến cố đối Khi đó: ΩA = Ω\ΩA ⇒ P(A) = − P(A) c Ví dụ Xạ thủ bắn vào bia viên đạn với xác suất Khi xác suất bắn trượt Ê Lời giải AA B QUY TẮC NHÂN XÁC SUẤT a) Biến cố giao ΩA ΩA ∩ Ω B ΩB Cho hai biến cố A B Biến cố “A B xảy ra”, kí hiệu A ∩ B (hay AB), gọi giao hai biến cố A B p Th.S Nguyễn Hồng Việt 147 Ơ SĐT: 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường c Ví dụ Một hộp đựng bi xanh bi đỏ Lấy ngẫu nhiên bi Tính xác suất để có bi xanh CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT c Ví dụ Chọn ngẫu nhiên học sinh lớp 11 trường Gọi A biến cố: “Bạn học sinh giỏi tốn” gọi B biến cố: “Bạn học sinh giỏi Lý ” Khi đó: A ∩ B biến cố: “ ” Ê Lời giải b) Hai biến cố độc lập c Ví dụ Gieo đồng xu liên tiếp lần Gọi A biến cố: “Lần gieo thứ xuất mặt sấp ” gọi B biến cố: “Lần gieo thứ hai xuất mặt ngửa” hai biến cố độc lập ○ Hai biến cố gọi độc lập với việc xảy hay không xảy biến cố không làm ảnh hưởng xác suất xảy biến cố Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt ○ Nếu hai biến cố A B độc lập với A B, A B, A B độc lập c) Quy tắc nhân xác suất hai biến cố độc lập ○ Nếu A B hai biến cố độc lập với ta ln có: P(AB) = P(A) · P(B) ○ Cho n biến cố A1 , A2 , A3 , A4 , , An độc lập với đơi Khi đó: Q Q P (A1 A2 A3 An ) = P (A1 ) · P (A2 ) · P (A3 ) P (An ) P ( n1 Ai ) = n1 P (Ai ) c Ví dụ Một cầu thủ sút bóng vào cầu môn hai lần Biết xác suất sút vào cầu mơn Tính xác suất để cầu thủ sút hai lần bóng vào cầu môn Ê Lời giải c Ví dụ Có hai xạ thủ bắn bia Xác suất xạ thủ thứ bắn trúng bia 0,8 Xác suất xạ thủ thứ hai bắn trúng bia 0,7 Tính xác suất để: a) Cả hai xạ thủ bắn trúng bia b) Cả hai xạ thủ khơng bắn trúng bia c) Có xạ thủ bắn trúng bia Ê Lời giải p Th.S Nguyễn Hoàng Việt 148 Ô SĐT: 0905.193.688 c Bài 86 Trong phòng làm việc có hai máy tính hoạt động độc lập với nhau, khả hoạt động tốt ngày hai máy tính tương ứng 78% 85% Tính xác suất để có máy hoạt động khơng tốt ngày Ê Lời giải c Bài 87 Hai người độc lập bắn người viên đạn vào bia Xác suất bắn trung 1 bia họ Tính xác suất để có người bắn trúng vào bia Ê Lời giải c Bài 88 Ba xạ thủ bắn vào bia, xác suất trung đích 0, 5; 0, 0, Tính xác suất để có hai người bắn trúng vào bia Ê Lời giải p Th.S Nguyễn Hoàng Việt 149 Ô SĐT: 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Chương TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt c Bài 89 Ba xạ thủ bắn vào bia, xác suất trúng đích 0,5; 0,6 0,7 Tính xác suất để có xạ thủ bắn trúng vào bia Ê Lời giải c Bài 90 Một máy bay có hai động I II hoạt động độc lập với Xác suất để động I động II hoạt động tốt 0,8; 0,7 Tính xác suất để: a) Cả hai động chạy tốt b) Cả hai động chạy khơng tốt c) Có động chạy tốt Ê Lời giải p Th.S Nguyễn Hoàng Việt 150 Ô SĐT: 0905.193.688 Chương TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT c Bài 91 Xác suất câu cá người thứ 0, 5; xác suất câu cá người thứ hai 0, 4; xác suất câu cá người thứ ba 0, Tính xác suất để: a) Có người câu cá b) Người thứ ba ln câu cá c) Có người câu cá p Th.S Nguyễn Hoàng Việt 151 Ơ SĐT: 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Ê Lời giải CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT c Ví dụ Một máy bay có động gồm động bên cánh trái động bên cánh phải Mỗi động bên cánh phải có xác suất bị hỏng 0,09, động bên cánh trái có xác suất bị hỏng 0,04 Các động hoạt động độc lập với Máy bay thực chuyến bay an tồn động làm việc Tìm xác suất để máy bay thực chuyến bay an toàn Gv Ths: Nguyễn Hoàng Việt Ê Lời giải c Ví dụ 10 Một người bắn súng lần vào bia, xác suất trúng vào hồng tâm Tính xác suất bắn trúng hồng tâm lần người bắn súng Ê Lời giải c Ví dụ 11 Xác suất câu cá người thứ 0,5; xác suất câu cá người thứ hai 0,4; xác suất câu cá người thứ ba 0,2 Tính xác suất để có người câu cá Ê Lời giải p Th.S Nguyễn Hoàng Việt 152 Ô SĐT: 0905.193.688 Chương TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT c Ví dụ 12 Một mạch điện gồm linh kiện hình vẽ, xác suất hỏng linh kiện khoảng thời gian t tương ứng 0,2; 0,1; 0,05 0,02 Biết linh kiện làm việc độc lập với dây ln tốt Tính xác suất để mạng điện hoạt động tốt khoảng thời gian t ○ ○ ○ ○ Ê Lời giải c Ví dụ 13 Một đề thi trắc nghiệm gồm 50 câu, câu có phương án trả lời có phương án đúng, câu trả lời 0,2 điểm Một thí sinh làm cách chọn ngẫu nhiên phương án câu Tính xác suất để thí sinh điểm Ê Lời giải p Th.S Nguyễn Hồng Việt 153 Ơ SĐT: 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT Gv Ths: Nguyễn Hồng Việt c Ví dụ 14 Trong kì thi thử THPT Quốc Gia, An làm để thi trắc nghiệm mơn Tốn Đề thi gồm 50 câu hỏi, câu có phương án trả lời, có phương án đúng; trả lời câu 0,2 điểm An trả lời hết câu hỏi chắn 45 câu, câu cịn lại An chọn ngẫu nhiên Tính xác suất để điểm thi An không 9, điểm Ê Lời giải c Ví dụ 15 Trong kì thi THPT Quốc Gia, bạn X dự thi hai mơn trắc nghiệm mơn Hóa Lí Đề thi câu gồm 50 câu hỏi, câu hỏi có phương án lựa chọn, có phương án đúng, làm câu 0,2 điểm Mỗi môn thi bạn X làm hết câu hỏi chắn 45 câu, câu lại X chọn ngẫu nhiên Tính xác suất để tổng hai môn thi X không đưới 19 điểm Ê Lời giải c Ví dụ 16 Một trắc nghiệm có 10 câu hỏi, câu hỏi có phương án lựa chọn có đáp án Giả sử câu trả lời điểm câu trả lời sai trừ điểm Một học sinh không học nên đánh hú họa câu trả lời Tìm xác suất để học sinh nhận điểm Ê Lời giải p Th.S Nguyễn Hồng Việt 154 Ơ SĐT: 0905.193.688 Chương TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT c Ví dụ 17 Ba cầu thủ sút phạt luân lưu 11 mét, người đá lần với xác suất làm bàn tương ứng x, y 0,6 (với x > y) Biết xác suất để ba cầu thủ ghi bàn 0,976 xác suất để ba cầu thủ ghi bàn là0,336 Tính xác suất để có hai cầu thủ ghi bàn? Ê Lời giải p Th.S Nguyễn Hoàng Việt 155 Ơ SĐT: 0905.193.688 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường