MỤC LỤC Vấn đề 1. QUI TẮC ĐẾM 3 I. LÝ THUYẾT 3 II. DẠNG BÀI TẬP 4 Dạng 1. Sử dụng các qui tắc để thực hiện bài toán đếm số phương án 4 Dạng 2. Sử dụng các qui tắc để thực hiện bài toán đếm số các hình thành từ tập A 5 Vấn đề 2. HOÁN VỊ CHỈNH HỢP TỔ HỢP 7 I. LÝ THUYẾT 7 II. DẠNG BÀI TẬP 8 Dạng 1. Thực hiện bài toán đếm theo hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp 8 Dạng 2. Rút gọn và tính các giá trị của biểu thức chứa các toán tử hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp 9 Dạng 3. Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức chứa các toán tử hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp 10 Dạng 4. Giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình chứa các toán tử hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp 10 Vấn đề 3. NHỊ THỨC NIUTƠN 13 I. LÝ THUYẾT 13 II. DẠNG BÀI TẬP 13 Dạng 1. Khai triển nhị thức Niutơn 14 Dạng 2. Tìm hệ số hoặc số hạng thỏa mãn điều kiện cho trước 14 Dạng 3. Tính tổng 16 Dạng 4. Chứng minh 16 Dạng 5. Giải phương trình, bất phương trình 17 Vấn đề 4. BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 17 I. LÝ THUYẾT 17 II. DẠNG BÀI TẬP 18 Dạng 1. Mô tả không gian mẫu. Tìm số phần tử của không gian mẫu 18 Dạng 2. Xác định tập hợp các kết quả thuận lợi cho một biến cố. Tính số phần tử của tập hợp này 18 Dạng 3. Tính xác suất của một biến cố 19 Vấn đề 5. CÁC QUI TẮC TÍNH XÁC SUẤT 20 I. LÝ THUYẾT 20 II. DẠNG BÀI TẬP 22 Dạng 1. Xác định xem các biến cố cho trước có xung khắc không ? Độc lập với nhau không ? 22 Dạng 2. Mô tả biến cố theo các phép toán hoặc phiên dịch thành lời một biến cố cho trước 22 Dạng 3. Tìm xác suất của một biến cố bằng cách sử dụng công thức xác suất của hai biến cố đối 23 Dạng 4. Tìm xác suất của biến cố là hợp của các biến cố xung khắc 23 Dạng 5. Tìm xác suất của biến cố là giao các biến cố độc lập 24 Vấn đề 6. NC BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC 24 I. LÝ THUYẾT 24 II. DẠNG BÀI TẬP 25 Dạng 1. Xác định tập giá trị của một biến ngẫu nhiên rời rạc 25 Dạng 2. Lập bảng phân phối bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc 25 Dạng 3. Cho bảng phân phối bố xác suất của biến ngẫu nhiên. Tính xác suất của 1 biến cố thỏa mãn điều kiện cho trước 26 Dạng 4. Tính kì vọng, phương sai, độ lệch chuẩn của một biến ngẫu nhiên rời rạc 26 TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Vấn đề 1. QUI TẮC ĐẾM I. LÝ THUYẾT 1. Qui tắc cộng Giả sử một công việc có thể tiến hành theo một trong k phương án . Nếu: Phương án có thể làm bằng cách. Phương án có thể làm bằng cách. … Phương án có thể làm bằng cách. Khi đó, cả công việc có thể thực hiện theo cách. 2. Qui tắc nhân Giả sử một công việc có thể tiến hành theo k công đoạn . Nếu: Công đoạn có thể làm bằng cách. Công đoạn có thể làm bằng cách. … Công đoạn có thể làm bằng cách. Khi đó, cả công việc có thể thực hiện theo cách. 3. Nguyên lý bù trừ Đối tượng cần đếm được chứa trong một đối tượng gồm và đối lập nhau. Nếu có cách chọn, có cách chọn. Vậy có cách chọn. Về mặt thực hành, đề cho đếm những đối tượng thỏa và . Ta cần làm: Bài toán 1: Đếm những đối tượng thỏa a. Bài toán 2: Đếm những đối tượng thỏa a, không thỏa b. Do đó, kết quả bài toán = kết quả bài toán 1 − kết quả bài toán 2 II. DẠNG BÀI TẬP Dạng 1. Sử dụng các qui tắc để thực hiện bài toán đếm số phương án Loại 1: Sử dụng quy tắc cộng trong bài toán đếm Phương pháp giải Bài tập minh họa Giải Bước 1. Phân tích các phương án thành k nhóm độc lập với nhau: Bước 2. Nếu: • có cách chọn khác nhau • có cách chọn khác nhau • …. • có cách chọn khác nhau Bước 3. Khi đó, ta có tất cả phương án. VÍ DỤ 1. Trong một cuộc thi tìm hiểu về đất nước Việt Nam, ban tổ chức công bố danh sách các đề tài bao gồm: 3 đề tài về lịch sử, 7 đề tài về thiên nhiên, 10 đề tài về con người và 6 đề tài về văn hóa. Hỏi mỗi thí sinh có bao nhiêu cách chọn đề tài? Mỗi thí sinh có các 4 phương án chọn đề tài: Chọn đề tài về lịch sử có 3 cách chọn. Chọn đề tài về thiên nhiên có 7 cách chọn. Chọn đề tài về con người có 10 cách chọn. Chọn đề tài về văn hóa có 6 cách chọn. Theo quy tắc cộng, có 3 + 7 + 10 + 6 = 26 cách chọn đề tài. VÍ DỤ 2. Giả sử từ tỉnh A đến tỉnh B có thể đi bằng các phương tiện: ô tô, tàu hỏa hoặc máy bay. Mỗi ngày có 10 chuyến ô tô, 5 chuyến tàu hỏa và 3 chuyến máy bay. Hỏi có bao nhiêu cách lựa chọn chuyến đi từ tỉnh A đến tỉnh B? Để đi từ A đến B có 3 phương án lựa chọn: Đi bằng ô tô có 10 cách chọn. Đi bằng tàu hỏa có 5 cách chọn. Đi bằng máy bay có 3 cách chọn. Theo quy tắc cộng, có 10 + 5 + 3 = 18 cách chọn. Loại 2: Sử dụng quy tắc nhân trong bài toán đếm Phương pháp giải Bài tập minh họa Giải Bước 1. Phân tích một hành động H thành k công việc nhỏ liên tiếp: Bước 2. Nếu: • có cách thực hiện khác nhau • có cách thực hiện khác nhau • … • có cách thực hiện khác nhau Bước 3. Khi đó, ta có tất cả cách. VÍ DỤ 1. An đến nhà Bình để cùng Bình đến chơi nhà Cường. Từ nhà An đến nhà Bình có 4 con đường đi, từ nhà Bình đến nhà Cường có 6 con đường đi. Hỏi An có bao nhiêu cách chọn đường đi từ nhà mình đến nhà Cường? Để đi từ nhà An đến nhà Cường cần thực hiện 2 giai đoạn: Đi từ nhà An đến nhà Bình có 4 cách. Đi từ nhà Bình đến nhà Cường có 6 cách. Theo quy tắc nhân, có 4.6=24 cách chọn đường đi. VÍ DỤ 2. Lớp 11A có 30 học sinh. Tập thể lớp muốn bầu ra một lớp trưởng, một lớp phó và một thủ quỹ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một ban cán sự lớp như trên, biết rằng một bạn chỉ có thế làm tối đa một vai trò? Để bầu ra một ban cán sự lớp cần thực hiện 3 giai đoạn: Bầu lớp trưởng có 30 cách Bầu phó có 29 cách Bầu thủ quỹ có 28 cách Theo quy tắc nhân, có 30.29.28=24360 cách chọn Loại 3: Sử dụng nguyên tắc bù trừ Phương pháp giải Bài tập minh họa Giải Trong trường hợp hành động chia nhiều trường hợp thì ta đi đếm phần bù của bài toán như sau: Đếm số phương án thực hiện hành động (không cần quan tâm đến có thỏa tính chất hay không) ta được phương án. Đếm số phương án thực hiện hành động không thỏa tính chất ta được phương án. =>Khi đó số phương án thỏa yêu cầu bài toán là: . Trong một hộp có 6 bi đỏ, 5 bi trắng và 4 bi vàng. Có bao nhiêu cách lấy 3 viên bi từ hộp này sao cho chúng không đủ ba màu? Số cách lấy 3 bi bất kỳ từ 15 bi là Số cách lấy 3 bi từ 15 bi mà đủ ba màu là Theo quy tắc bù trừ, số cách lấy 3 viên bi không đủ ba màu là Dạng 2. Sử dụng các qui tắc để thực hiện bài toán đếm số các hình thành từ tập A Loại 1: Sử dụng quy tắc nhân để thực hiện bài toán đếm số các số gồm k chữ số hình thành từ tập A Phương pháp giải Bài tập minh họa Giải Bước 1. Số cần tìm có dạng: , với Bước 2. Đếm số cách chọn (không nhất thiết phải theo thứ tự) giả sử có cách. Bước 3. Khi đó, ta có tất cả số. Cho tập hợp A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số được lấy từ tập A, sao cho các chữ số này: a) Tùy ý Gọi là số cần tìm. a có 9 cách chọn. b có 10 cách chọn. c có 10 cách chọn. d có 10 cách chọn. e có 10 cách chọn. Vậy có số thỏa yêu cầu. b) Khác nhau từng đôi một Gọi là số cần tìm. a có 9 cách chọn. b có 9 cách chọn. c có 8 cách chọn. d có 7 cách chọn. e có 6 cách chọn. Vậy có số thỏa mãn yêu cầu. c) Khác nhau từng đôi một và năm chữ số này tạo thành một số lẻ. Gọi là số cần tìm. e có 5 cách chọn. a có 8 cách chọn. b có 8 cách chọn. c có 7 cách chọn. d có 6 cách chọn. Vậy có số thỏa mãn yêu cầu. Loại 2: Sử dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân để thực hiện bài toán đếm số các số gồm k chữ số hình thành từ tập A Phương pháp giải Bài tập minh họa Giải Bước 1. Chia các số cần đếm thành các tập con độc lập với nhau Bước 2. . Sử dụng qui tắc nhân để đếm số phần tử của các tập giả sử bằng Bước 3. Khi đó, ta có tất cả số. Lưu ý: Dấu hiệu chia hết: Gọi là số tự nhiên có chữ số Khi đó: Cho tập hợp A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số được lấy từ tập A, sao cho các chữ số này: a) Khác nhau từng đôi một và năm chữ số này tạo thành một số chia hết cho 5. Gọi là số cần tìm. Có 2 TH: TH1: e = 0 có 1 cách chọn. a có 9 cách chọn. b có 8 cách chọn. c có 7 cách chọn. d có 6 cách chọn. Vậy có 9.8.7.6.1 = 3024 số trong TH này. TH2: e = 5 có 1 cách chọn. a có 8 cách chọn. b có 8 cách chọn. c có 7 cách chọn. d có 6 cách chọn. Vậy có 8.8.7.6.1 = 2688 số trong TH này. Vậy có tất cả: 3024 + 2688 = 5712 số thỏa mãn b) Khác nhau từng đôi một và năm chữ số này tạo thành một số chia hết cho 2 Gọi là số cần tìm. Có 2 TH: Trường hợp 1: e = 0 có 1 cách chọn. a có 9 cách chọn. b có 8 cách chọn. c có 7 cách chọn. d có 6 cách chọn. Vậy có 9.8.7.6.1 = 3024 số trong TH này. Trường hợp 2: e ∈ {2; 4; 6; 8} có 4 cách chọn. a có 8 cách chọn. b có 8 cách chọn. c có 7 cách chọn. d có 6 cách chọn. Vậy có 8.8.7.6.4 = 10752 số trong TH này. Vậy có tất cả 3024+10752 =13776 số thỏa mãn Loại 3: Sử dụng nguyên tắc bù trừ Phương pháp giải Bài tập minh họa Giải Trong trường hợp hành động chia nhiều trường hợp thì ta đi đếm phần bù của bài toán như sau: Đếm số phương án thực hiện hành động (không cần quan tâm đến có thỏa tính chất hay không) ta được phương án. Đếm số phương án thực hiện hành động không thỏa tính chất ta được phương án. Khi đó số phương án thỏa yêu cầu bài toán là: . Có bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau mà không bắt đầu bởi 12? Gọi là số cần lập. Để lập được số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau, ta thực hiện các bước lần lượt: Chọn a có 9 cách. Chọn b có 9 cách. Chọn c có 8 cách. Chọn d có 7 cách. Chọn e có 6 cách. Do đó có 9.9.8.7.6 = 27216 số có năm chữ số khác nhau. Để lập được số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau bắt đầu bằng 12, ta thực hiện các bước lần lượt: Chọn ab có 1 cách. Chọn c có 8 cách. Chọn d có 7 cách. Chọn e có 6 cách. Do đó có 1.8.7.6 = 336 số có năm chữ số khác nhau. Theo quy tắc bù trừ, có 27216−336 = 26880 số có năm chữ số khác nhau không bắt đầu bởi 12. Vấn đề 2. HOÁN VỊ CHỈNH HỢP TỔ HỢP I. LÝ THUYẾT 1. Hoán vị Cho tập hợp gồm phần tử . Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp được gọi là một hoán vị của phần tử. Kí hiệu : . Chú ý : Bấm máy tính cầm tay: VD: =>3 2. Chỉnh hợp Cho tập gồm phần tử . Kết quả của việc lấy phần tử khác nhau từ phần tử của tập hợp và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập của phần tử đã cho. Kí hiệu : Nhận xét: • Khi thì • Qui ước: thì Bấm máy tính cầm tay: VD: 3. Tổ hợp Giả sử tập có n phần tử . Mỗi tập con gồm phần tử của được gọi là một tổ hợp chập của phần tử đã cho. Kí hiệu . Nhận xét: • Khi thì • Qui ước: thì Tính chất của : • với • với Bấm máy tính cầm tay: VD: II. DẠNG BÀI TẬP Dạng 1. Thực hiện bài toán đếm theo hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp Loại 1: Thực hiện bài toán đếm theo hoán vị Phương pháp giải Bài tập minh họa Giải Để nhận dạng một bài toán đếm có sử dụng hoán vị của n phần tử, chúng ta thường dựa trên các dấu hiệu sau: • Tất cả n phần tử đều có mặt • Mỗi phần tử chỉ xuất hiện một lần. • Có phân biệt thứ tự giữa các phần tử. VÍ DỤ 1. Giả sử muốn xếp 3 bạn A, B, C ngồi vào bàn dài có 3 ghế. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho mỗi bạn ngồi một ghế? Mỗi cách xếp chỗ cho 3 bạn trên được gọi là một hoán vị vị trí của 3 bạn. Như vậy ta có số cách xếp chỗ là cách. VÍ DỤ 2. Có 5 quyển sách Toán, 4 quyển sách Lý và 3 quyển sách Hóa. Hỏi có bao nhiêu cách xếp số sách đó lên một kệ dài trong mỗi trường hợp sau: a. Các quyển sách được xếp tùy ý? b. Các quyển sách cùng môn được xếp cạnh nhau? a) Số cách xếp các quyển sách tùy ý là một hoán vị của 12 phần tử, nên ta có cách xếp. b) Vì các quyển sách cùng môn được xếp cạnh nhau nên ta coi các môn là một phần tử, như vậy ta có cách xếp. Ngoài ra trong từng môn, ta cũng có hoán vị của từng cuốn sách, do đó ta có cách xếp. Vậy ta có cách xếp sách thỏa mãn yêu cầu đề bài. Loại 2: Thực hiện bài toán đếm theo chỉnh hợp Phương pháp giải Bài tập minh họa Giải Để nhận dạng một bài toán đếm có sử dụng chỉnh hợp chập của phần tử, chúng ta thường dựa trên các dấu hiệu sau: • Phải chọn phần tử từ phần tử cho trước. • Có phân biệt thứ tự giữa phần tử được chọn. VÍ DỤ 1. Giả sử muốn chọn 3 bạn trong 5 bạn A, B, C, D, E và sắp 3 bạn này vào một bàn dài. Hỏi có bao nhiêu cách? Mỗi cách xếp 3 bạn trong 5 bạn vào một bàn dài là một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử, nên ta có cách. VÍ DỤ 2. Cho tập X = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số, sao cho: a) Đôi một khác nhau? b) Số tự nhiên lẻ và đôi một khác nhau? a) Mỗi cách chọn 4 số khác nhau từ 7 số là một chỉnh hợp chập 4 của 7 phần tử. Do đó ta có số được tạo thành. b) Để số cần lập là số tự nhiên lẻ thì chữ số tận cùng là số lẻ, khi đó ta có 4 cách chọn chữ số tận cùng. Mỗi cách chọn 3 chữ số còn lại là một chỉnh hợp chập 3 của 6 phần tử nên ta có cách. Vậy có số được tạo thành. Loại 3: Thực hiện bài toán đếm theo tổ hợp Phương pháp giải Bài tập minh họa Giải Để nhận dạng một bài toán đếm có sử dụng tổ hợp chập của phần tử, chúng ta thường dựa trên các dấu hiệu sau: • Phải chọn phần tử từ phần tử cho trước. • Không phân biệt thứ tự giữa phần tử được chọn. VÍ DỤ 1. Có bao nhiêu cách lập một ban chấp hành gồm 3 người trong một chi đoàn có 14 đoàn viên? Mỗi cách lập một ban chấp hành gồm 3 người là một tổ hợp chập 3 của 14 nên ta có cách. VÍ DỤ 2. Một lớp học có 30 học sinh, cần lập ra một tổ công tác gồm 5 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách? Mỗi cách lập ra tổ công tác là một tổ hợp chập 5 của 30 nên ta có cách. VÍ DỤ 3. Trong không gian, cho tập hợp gồm 10 điểm, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi: a)Có bao nhiêu đường thẳng được tạo thành? b)Có bao nhiêu tam giác được tạo thành? a)Để tạo thành đường thẳng, ta chọn 2 điểm trong 10 điểm nên số đường thẳng được tạo thành là . b) Để tạo thành tam giác, ta chọn 3 điểm trong 10 điểm nên số tam giác được tạo thành là . Dạng 2. Rút gọn và tính các giá trị của biểu thức chứa các toán tử hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp Phương pháp giải Bài tập minh họa Giải Để thực hiên việc rút gọn các biểu thức chứa hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp chúng ta thường sử dụng công thức phân tích, ngoài ra trong nhiều trường hợp cần vận dụng kỹ năng đơn giản dần. • Sử dụng thành thạo các công thức . • Nắm được các tính chất của chẳng hạn: VÍ DỤ 1. Thu gọn biểu thức VÍ DỤ 2. Thu gọn biểu thức VÍ DỤ 3: Rút gọn và tính giá trị của biểu thức: Ta có: Khi đó: Dạng 3. Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức chứa các toán tử hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp Phương pháp giải Bài tập minh họa Giải Sử dụng các tính chất của số đó là: với với Ta thường sử dụng một trong các cách sau: • Cách 1. Sử dụng các phép biến đổi. • Cách 2. Sử dụng các đánh giá về bất đẳng thức. • Cách 3. Sử dụng phương pháp chứng minh qui nạp • Cách 4. Sử dụng phương pháp đếm. VÍ DỤ 1: Chứng minh rằng: Với các số nguyên không âm, , ta có: Ta có: VÍ DỤ 2: Chứng minh rằng: Cách 1: Sử dụng PP đánh giá Ta có nhận xét Suy ra Cách 2: Sử dụng phương pháp chứng minh qui nạp Với n=3 ta có: (luôn đúng) Gs BĐT đúng với n=k, tức là ta có: Ta đi chứng minh BĐT đúng với n=k+1, tức là: Thật vậy: (đpcm) Dạng 4. Giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình chứa các toán tử hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp Loại 1: Giải phương trình Phương pháp giải Bài tập minh họa Giải Bước 1. Tìm điều kiện. Ta có các điều kiện thường gặp sau: Bước 2. Thu gọn dựa vào những công thức trên và đưa về phương trình đại số. Giải phương trình đại số này tìm được biến. Bước 3. So với điều kiện để nhận những giá trị cần tìm. VÍ DỤ 1: Giải pt Điều kiện: VÍ DỤ 2: Giải pt VÍ DỤ 3: Tìm nghiệm của pt VÍ DỤ 4: Giải pt (vì ) VÍ DỤ 5: Giải pt Loại 2: Giải bất phương trình Phương pháp giải Bài tập minh họa Giải • Điều kiện để phương trình xác định. • Biến đổi từng phương trình một rồi dùng phương pháp thế, cộng đại số… VÍ DỤ 1: Giải bpt VÍ DỤ 2: Giải bpt Loại 3: Giải hệ phương trình: Phương pháp giải Bài tập minh họa Giải • Điều kiện để phương trình xác định. • Biến đổi từng phương trình một rồi dùng phương pháp thế, cộng đại số… • Phương pháp đặt ẩn phụ. VÍ DỤ 1: Giải hpt VÍ DỤ 2: Giải hpt Vấn đề 3. NHỊ THỨC NIUTƠN I. LÝ THUYẾT 1. Công thức nhị thức Niutơn • Số hạng tổng quát: • Số hạng tổng quát: Chú ý: Trong khai triển có n + 1 số hạng và các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối thì bằng nhau. Tức là . Số hạng tổng quát là và số hạng thứ N thì k = N − 1. Số mũ của a giảm dần, số mũ của b tăng dần nhưng tổng số mũ của a và b bằng n. 2. Tam giác Pascal II. DẠNG BÀI TẬP Dạng 1. Khai triển nhị thức Niutơn Phương pháp giải Bài tập minh họa Giải Sử dụng công thức: Chú ý: Đặc điểm của nhị thức Niutơn: Số mũ của a giảm dần từ đến , trong khi số mũ của ngược lại tăng từ đến Tổng số mũ của và trong mỗi số hạng luôn bằng Trong công thức thay thì ta được công thức Số các số hạng là VÍ DỤ 1. Khai triển các nhị thức sau Dạng 2. Tìm hệ số hoặc số hạng thỏa mãn điều kiện cho trước Loại 1: Tìm hệ số của số hạng Chú ý: Phải phân biệt được yêu cầu đề hỏi là số hạng hay hệ số mà trả lời cho chính xác. Phương pháp giải Bài tập minh họa Giải Bước 1. Viết số hạng tổng quát. Bước 2. Dùng công thức lũy thừa rút gọn số hạng tổng quát. Bước 3. Dựa vào đề bài, giải phương trình hai số mũ bằng nhau. Các công thức lũy thừa cần nhớ: VÍ DỤ 1: Tìm hệ số của số hạng trong khai triển chứa Số hạng tổng quát của khai triển Số hạng chứa ứng với: 9k=4k=5 Hệ số cần tìm là: VÍ DỤ 2: Hệ số của trong khai triển là Số hạng tổng quát của khai triển Số hạng chứa ứng với: 203k=2k=6 Hệ số cần tìm là: Loại 2: Xác định số hạng Phương pháp giải Bài tập minh họa Giải B1: Sử dụng số hạng tổng quát của khai triển là . B2: Từ giả thiết tìm ra được giá trị k. Số hạng thứ k 1 là : VÍ DỤ 1: Tìm số hạng thứ 6 trong khai triển Ta có số hạng tổng quát: Để có số hạng thứ 6 thì: Vậy số hạng thứ 6 trong khai triển là: Số hạng đứng giữa: giả sử trong khai triển có số hạng. + Nếu L là số lẻ thì có 1 số hạng đứng giữa và số hạng thứ . + Nếu L là số chẵn thì có 2 số hạng đứng giữa và số hạng thứ và . VÍ DỤ 2:Tìm số hạng đứng giữa trong khai triển Khai triển mũ 21 ta có 22 số hạng. Vì n=21 => số hạng đứng giữa là Ta có số hạng tổng quát: Vậy số hạng thứ 11, 12 là: Số hạng không chứa tức là số hạng chứa . VÍ DỤ 3: Tìm số hạng không chứa x (độc lập với x) trong khai triển của nhị thức Số hạng tổng quát trong khai triển là: Để số hạng không chứa x thì Vậy số hạng không chứa x là Dạng 3. Tính tổng Phương pháp giải Bài tập minh họa Giải Sử dụng nhị thức Niutơn, kết hợp với việc: Lựa chọn giá trị thực phù hợp. Các phép biến đổi đại số. VÍ DỤ 1: Cho n là số nguyên dương. Khi đó tổng là VÍ DỤ 2: Cho Tính S Khai triển nhị thức: Thay x=1 ta được: Dạng 4. Chứng minh Phương pháp giải Bài tập minh họa Giải Sử dụng nhị thức Niutơn, kết hợp với việc: Lựa chọn giá trị thực phù hợp. Các phép biến đổi đại số. VÍ DỤ 1: Chứng minh: Xét nhị thức Thay x=1 ta được: Vậy: VÍ DỤ 2: Chứng minh: Ta có: (luôn đúng) Dạng 5. Giải phương trình, bất phương trình Phương pháp giải Bài tập minh họa Giải Sử dụng nhị thức Niutơn, kết hợp với việc: Lựa chọn giá trị thực phù hợp. Các phép biến đổi đại số. Chú ý: Khi , ta được: Khi , ta được: VÍ DỤ: Tìm n thỏa: Xét khai triển Đạo hàm hai vế ta được: Thay x 1 ở hai vế ta được: Do đó Xét hàm số trên ta có: Do đó hàm số đồng biến trên ta có: Vấn đề 4. BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ I. LÝ THUYẾT 1. Không gian xác suất a. Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) là một thí nghiệm hay một hành động mà: Có thể lặp đi lặp lại nhiều lần trong các điều kiện giống nhau. Kết quả của nó không dự đoán trước được. Có thể xác định tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thứ đó. b. Không gian mẫu: là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử. Kí hiệu: Ω (ômêga) 2. Biến cố Một biến cố liên quan tới phép thử được thử đó. Biến cố xảy ra khi và chỉ khi kết quả thuộc tập . Mỗi phần tử của được gọi là một kết quả thuận lợi cho . Biến cố chắc chắn là biến cố luôn xảy ra khi thực hiện phép thử . Biến cố chắc chắn mô tả bởi tập và được kí hiệu là . Biến cố không thể là biến cố không bao giờ xảy ra khi phép thử được thực hiện. Biến cố không được mô tả bởi tập và được kí hiệu là . 3. Xác suất của biến cố a. Định nghĩa cổ điển của xác suất: Giả sử phép thử có không gian mẫu là tập hữu hạn và các kết quả của là đồng khả năng. Nếu một biến cố liên quan tới phép thử và là tập hợp các kết quả thuận lợi cho thì xác suất của là một số. Kí hiệu: và Trong đó hoặc hoặc lần lượt là số phần tử của tập và Chú ý: Từ định nghĩa trên ta suy ra: và b. Định nghĩa thống kê của xác suất: Xét phép thử và biến cố liên quan tới phép thử đó. Ta tiến hành lặp đi lặp lại phép thử và thống kê xem biến cố xuất hiện bao nhiêu lần. • Số lần xuất hiện biến cố được gọi là tần số của trong lần thực hiện phép thử . • Tỉ số giữa tần số của với N được gọi là tần suất của trong lần thực hiện phép thử . Khi số lần thử N càng lớn thì tần suất của càng gần với một số xác định, số đó được gọi là xác xuất của theo nghĩa thông kê. II. DẠNG BÀI TẬP Dạng 1. Mô tả không gian mẫu. Tìm số phần tử của không gian mẫu Phương pháp giải Bài tập minh họa Giải Mô tả tập hợp này bằng phương pháp liệt kê. • Dựa vào định nghĩa về không gian mẫu. • Nắm chắc các kiến thức về hoán vị – chỉnh hợp – tổ hợp để áp dụng tính số phần tử của không gian mẫu VÍ DỤ 1. Phép thử “Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất”. Tìm không gian mẫu của phép thử và số phần tử của KGM Không gian mẫu của phép thử là Số phần tử của KGM VÍ DỤ 2. Xét phép thử “Gieo hai đồng xu phân biệt”. Nếu ký hiệu S là mặt sấp, N là mặt ngửa. Tìm không gian mẫu của phép thử. Không gian mẫu VÍ DỤ 3. Xét phép thử T “Gieo 3 đồng xu phân biệt”. Tính số phần tử của không gian mẫu. Mỗi đồng xu có hai khả năng xuất hiện mặt S hay N ⇒ không gian mẫu của phép thử là: Do vậy số phần tử của không gian mẫu là VÍ DỤ 4:Một hộp chứa bốn cái thẻ được đánh số 1, 2, 3, 4. Lấy ngẫu nhiên hai thẻ : Mô tả không gian mẫu Phép thử T được xét là: Từ hộp đã cho, lấy ngẫu nhiên hai thẻ. Đồng nhất mỗi thẻ với chữ số ghi trên thẻ đó, ta có: Mỗi một kết quả có thể có các phép thử là một tổ hợp chập 2 của 4 chữ số 1, 2, 3, 4. Do đó, số phần tử của không gian mẫu là C24 = 6, và không gian mẫu gồm các phần tử sau: Ω = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}. Dạng 2. Xác định tập hợp các kết quả thuận lợi cho một biến cố. Tính số phần tử của tập hợp này Biến cố A liên quan đến phép thử T là biến cố mà việc xảy ra hay không xảy ra của A tùy thuộc vào kết quả của T. Mỗi kết quả của phép thử T làm cho A xảy ra gọi là một kết quả thuận lợi của A. Biến cố A có ngoài cách cho bằng mô tả, có thể cho A dưới dạng liệt kê tất cả các kết quả thuận lợi của A Phương pháp giải Bài tập minh họa Giải • Nắm được khái niệm về biến cố liên quan đến phép thử . • Sử dụng định nghĩa một kết quả thuận lợi cho biến cố . Tập hợp tất cả các kết quả thuận lợi của . • Vận dụng kiến thức về đại số tổ hợp để tính số phần tử của không gian mẫu . VÍ DỤ 1 . Xét phép thử T “Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất”. Gọi A là biến cố “Số chấm trên mặt xuất hiện là số chấm chẵn”. Liệt kê tất cả các kết quả thuận lợi của biến cố A. Ta thấy rằng việc xảy ra hay không xảy ra sự kiện tùy thuộc vào kết quả của phép thử. Sự kiện xảy ra khi và chỉ khi kết quả của phép thử là 2, hoặc 4, hoặc 6. Các kết quả này được gọi là các kết quả thuận lợi cho . Gọi là tập hợp tất cả các kết quả thuận lợi cho , khi đó đó là một tập con của . Mỗi biến cố được đồng nhất với tập hợp tất cả các kết quả thuận lợi cho là . Do đó ta có thể viết A = {2; 4; 6}. VÍ DỤ 2. Một hộp chứa bốn cái thẻ được đánh số 1, 2, 3, 4. Lấy ngẫu nhiên hai thẻ : Xác định các biến cố A: tổng các số trên hai thẻ là số chẵn B : Tích các số trên hai thẻ là số chẵn Phép thử T được xét là: Từ hộp đã cho, lấy ngẫu nhiên hai thẻ. A = {(1, 3), (2, 4)}. B = {(1, 2), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)} Dạng 3. Tính xác suất của một biến cố Phương pháp giải Bài tập minh họa Giải • Xác định được và • Vận dụng công thức VÍ DỤ 1. Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất của các biến cố 1 A: “Mặt có số chấm lẻ xuất hiện”. B: “Mặt xuất hiện có số chấm chia hết cho 3” C: “Mặt xuất hiện có số chấm lớn hơn 2” A: “Mặt có số chấm lẻ xuất hiện”. Số phần tử của không gian mẫu là Biến cố Xác suất của A là B: “Mặt xuất hiện có số chấm chia hết cho 3” . Biến cố Xác suất của B là C: “Mặt xuất hiện có số chấm lớn hơn 2” Biến cố Xác suất của C là VÍ DỤ 2. Xét phép thử T: “Gieo đồng thời hai con súc sắc cân đối và đồng chất”. Tập các kết quả là tập hợp gồm tất cả các cặp số cho bởi bảng sau VÍ DỤ 3.Từ một hộp chứa 4 quả cầu trắng, 3 quả cầu đỏ và 2 quả cầu xanh. Lấy ngẫu nhiên một quả cầu từ hộp. Tính xác suất để: (1) Lấy được quả màu trắng. (2) Lấy được quả cầu xanh. Vấn đề 5. CÁC QUI TẮC TÍNH XÁC SUẤT I. LÝ THUYẾT 1. Các định nghĩa a. Biến cố hợp: Cho hai biến cố và cùng liên quan đến một phép thử . Biến cố “ hoặc xảy ra”, kí hiệu là được gọi là hợp của hai biến cố và . Nếu gọi: o là tập hợp mô tả các kết quả thuận lợi cho o là tập hợp mô tả các kết quả thuận lợi cho thì tập các kết quả thuận lợi cho là Một cách tổng quát: Cho biến cố cùng liên quan đến một phép thử . Biến cố “Có ít nhất một trong các biến cố xảy ra”, kí hiệu là , được gọi là hợp của biến cố đó b. Biến cố xung khắc: Cho hai biến cố và cùng liên quan đến một phép thử . Hai biến cố và được gọi là xung khắc nếu biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra. Hai biến cố và được gọi là xung khắc c. Biến cố đối: Cho biến cố , khi đó biến cố “không xảy ra ”, kí hiệu là được gọi là biến cố đối của . Chú ý: Hai biến cố đối nhau thì xung khắc, ngược lại không đúng . Định lí: d. Biến cố giao: Cho hai biến cố và cùng liên quan đến một phép thử . Biến cố “cả và cùng xảy ra”, kí hiệu là , được gọi là giao của hai biến cố và . Nếu gọi: là tập hợp mô tả các kết quả thuận lợi cho là tập hợp mô tả các kết quả thuận lợi cho thì tập các kết quả thuận lợi cho là Một cách tổng quát: Cho biến cố cùng liên quan đến một phép thử Biến cố “tất cả biến cố xảy ra”, kí hiệu là , được gọi là giao của biến cố đó. e. Biến cố độc lập: Cho hai biến cố và cùng liên quan đến một phép thử . Hai biến cố A và được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng tới việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố kia. Một cách tổng quát: Cho biến cố cùng liên quan đến một phép thử . biến cố này được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của mỗi biến cố không làm ảnh hưởng tới việc xảy ra hay không xảy ra của các biến cố còn lại. Nhận xét: Nếu , độc lập với nhau thì và , và , và cũng độc lập với nhau. 2. Hai qui tắc tính xác suất a. Qui tắc cộng xác suất: Nếu hai biến cố và xung khắc thì xác suất để hoặc xảy ra là: Cho k biến cố đôi một xung khắc với nhau thì xác suất để ít nhất một trong các biến cố xảy ra là: . b. Qui tắc nhân xác suất: Nếu hai biến cố và độc lập với nhau thì xác suất để và xảy ra là: Cho k biến cố độc lập với nhau thì xác suất để ít nhất một trong các biến cố xảy ra là: . II. DẠNG BÀI TẬP Dạng 1. Xác định xem các biến cố cho trước có xung khắc không ? Độc lập với nhau không ? Phương pháp giải Bài tập minh họa Giải • Sử dụng định nghĩa về 2 biến cố xung khắc, các biến cố độc lập. • xung khắc, ta có: • Nếu thì không độc lập. Cho hai biến cố A và B với và Hỏi 2 biến cố A và B có: a) Xung khắc không ? b) Độc lập không ? a)Vì nên hai biến cố A, B không xung khắc. b) Vì nên hai biến cố A và B không độc lập với nhau. Dạng 2. Mô tả biến cố theo các phép toán hoặc phiên dịch thành lời một biến cố cho trước Phương pháp giải Bài tập minh họa Giải • Sử dụng định nghĩa về biến cố hợp, biến cố giao. • Sử dụng định nghĩa về biến cố xung khắc, biến cố đối Có 3 xạ thủ, mỗi người độc lập bắn một viên đạn vào mục tiêu. Gọi là biến cố xạ thủ thứ i bắn trúng mục tiêu. a Hãy mô tả các biến cố sau: b Xét các biến cố sau: A: “Có ít nhất hai xạ thủ bắn trúng” B: “Có nhiều nhất một xạ thủ bắn trúng” C: “Chỉ có một xạ thủ bắn trúng” a : Cả ba xạ thủ bắn trúng mục tiêu : Có ít nhất một xạ thủ bắn trúng mục tiêu b A: B: C: Dạng 3. Tìm xác suất của một biến cố bằng cách sử dụng công thức xác suất của hai biến cố đối Phương pháp giải Bài tập minh họa Giải • Sử dụng định nghĩa 2 biến cố đối nhau. • Sử dụng công thức: Gieo 2 đồng xu cân đối một cách độc lập. Tính xác suất để có ít nhất một đồng xu sấp. Gọi các biến cố: A: “Có ít nhất một đồng xu sấp” A1: “Đồng xu thứ nhất xuất hiện mặt sấp” A2: “Đồng xu thứ hai xuất hiện mặt sấp” Cách 1: Ta có: và đôi một xung khắc. Do đó: Cách 2: Ta có: : “Cả hai đồng xu đều xuất hiện mặt ngửa”= . Do đó: Có hai hộp đựng thẻ, mỗi hộp đựng 12 thẻ đánh số từ 1 đến 12. Từ mỗi hộp rút ngẫu nhiên một thẻ. Tính xác suất để trong hai hộp rút ra: “Có ít nhất một thẻ đánh số 12.” Gọi các biến cố: A : “Thẻ rút ra từ hộp thứ nhất không đánh số 12”. B : “Thẻ rút ra từ hộp thứ hai không đánh số 12”. Ta có: . H: “Trong hai thẻ rút ra từ hai hộp có ít nhất một thẻ đánh số 12”. Khi đó biến cố đối của biến cố H là : “Cả hai thẻ rút ra từ hai hộp đều không đánh số 12”. Vậy . Theo quy tắc nhân xác suất , ta có: Vậy Dạng 4. Tìm xác suất của biến cố là hợp của các biến cố xung khắc Phương pháp giải Bài tập minh họa Giải • Sử dụng định nghĩa 2 biến cố xung khắc, các biến cố từng đôi một xung khắc nhau. • Sử dụng định lí: Nếu xung khắc thì Một hộp bóng đèn có 12 bóng, trong đó có 8 bóng tốt các bóng còn lại là bóng xấu (kém chất lượng). Lấy ngẫu nhiên 3 bóng đèn. Tính xác xuất để lấy được ít nhất 2 bóng tốt. Không gian mẫu: lấy ngẫu nhiên 3 bóng thì số cách lấy là: Ta có các biến cố: • A: “ Lấy được 3 bóng đều tốt” • B: “Lấy được 2 bóng tốt, 1 bóng xấu” Biến cố : “lấy được ít nhất 2 bóng tốt” là Dạng 5. Tìm xác suất của biến cố là giao các biến cố độc lập Phương pháp giải Bài tập minh họa Giải • Sử dụng khái niệm sự độc lập của các biến cố • Sử dụng định lí: Nếu độc lập thì: Có hai hộp chứa các viên bi chỉ khác nhau về màu. • Hộp I: 3 bi xanh, 2 bi vàng, 1 bi đỏ. • Hộp II: 2 bi xanh, 1 bi vàng, 3 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp 1 viên bi. Tính xác suất để lấy được 2 bi xanh. • A là biến cố lấy được bi xanh ở hộp I: • B là biến cố lấy được bi xanh ở hộp II: Vì A và B là hai biến cố độc lập nên ta có: Vấn đề 6. NC BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC I. LÝ THUYẾT 1. Khái niệm biến ngẫu nhiên rời rạc Định nghĩa: Đại lượng được gọi là một biến ngẫu nhiên rời rạc nếu nó nhận giá trị bằng số thuộc một tập hữu hạn nào đó, và giá trị ấy là ngẫu nhiên, không dự đoán trước được. 2. Phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc Giả sử là một biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị . Khi đó bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rồi rạc có dạng: Trong đó: (với ) Chú ý: Ta luôn có 3. Kì vọng Định nghĩa: Cho là một biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị Kì vọng của , kí hiệu là là một số được tính: Trong đó (với ) Ý nghĩa: là một con số cho ta một ý niệm về độ lớn trung bình của . Vì vậy kì vọng còn được gọi là giá trị trung bình của . 4. Phương sai và độ lệch chuẩn Định nghĩa: Cho là một biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị . Phương sai của , kí hiệu là là một số được tính: Trong đó: (với ) và Căn bậc hai của phương sai: kí hiệu là , được gọi là độ lệch chuẩn của . Ta có: Ý nghĩa: là một số không âm, nó cho ta một ý niệm về mức độ phân tần các giá trị của xung quanh giá trị trung bình. Phương sai càng lớn thì độ phân tán này càng lớn. II. DẠNG BÀI TẬP Dạng 1. Xác định tập giá trị của một biến ngẫu nhiên rời rạc Phương pháp giải Bài tập minh họa Giải • Sử dụng định nghĩa biến ngẫu nhiên rời rạc Chọn ngẫu nhiên 3 đứa trẻ từ một nhóm trẻ gồm 6 trai và 4 gái. Gọi X là số bé gái trong số 3 đứa trẻ được chọn. Hãy tìm tập giá trị của X . Biến cố X rời rạc thuộc tập giá trị . Dạng 2. Lập bảng phân phối bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc Phương pháp giải Bài tập minh họa Giải • Xác định tập giá trị của biến ngẫu nhiên . • Lần lượt xác định • Điền kết quả vào bảng phân bố xác suất Chọn ngẫu nhiên 3 đứa trẻ từ một nhóm trẻ gồm 6 trai và 4 gái. Gọi X là số bé gái trong số 3 đứa trẻ được chọn. Hãy lập bảng phân bố xác suất của X . Ta có: X có thể nhận giá trị 0;1;2;3 với: Vậy ta lập bảng phân bố xác suất của X là: Dạng 3. Cho bảng phân phối bố xác suất của biến ngẫu nhiên. Tính xác suất của 1 biến cố thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp giải Bài tập minh họa Giải • Dựa vào bảng phân bố xác suất • Sử dụng định lí về xác suất của biến cố hợp các biến cố đôi một xung khắc. Số ca cấp cứu ở một bệnh viện vào tối thứ 7 là một biến ngẫu nhiên rời rạc và có bảng phân bố xác suất như sau: Biết rằng, nếu có hơn 2 ca cấp cứu thì phải tăng cường thêm bác sĩ trực. a) Tính xác suất để phải tăng cường thêm bác sĩ trực vào tối thứ 7. b) Tính xác suất để xảy ra ít nhất một ca cấp cứu vào tối thứ 7. a) Gọi A là biến cố Phải tăng bác sĩ trực, Từ điều kiện của bài ra, ta có : b) Dạng 4. Tính kì vọng, phương sai, độ lệch chuẩn của một biến ngẫu nhiên rời rạc Phương pháp giải Bài tập minh họa Giải Sử dụng các công thức: với Số ca cấp cứu ở một bệnh viện vào tối thứ 7 là một biến ngẫu nhiên rời rạc và có bảng phân bố xác suất như sau: Biết rằng, nếu có hơn 2 ca cấp cứu thì phải tăng cường thêm bác sĩ trực. Tính kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên rời rạc X Ta có X = {0, 1, 2, 3, 4, 5} Bảng phân bố xác suất của X là : • Kỳ vọng của X là : • Phương sai : Độ • Lệch chuẩn của X là