II DẠNG BÀI TẬP VỀ HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ ĐỀ CƯƠNG CHI TIẾT HÀM SỐ BẬC NHẤT y=ax+b Dạng 1: Xác định hàm số y=ax+b thỏa mãn các điều kiện cho trước Loại 1: Đi qua hai điểm A, B. Nếu x_A≠x_B Loại 2: Đi qua A và song song với đưởng thẳng d’:y’=a’x+b’ Loại 3: Đi qua A và vuông góc với đường thẳng d’: y’’=a’’x+b’’ Dạng 2: Xét sự tương giao giữa các đồ thị hàm số bậc nhất Loại 1: Đường thẳng d:y=ax+b trùng với đường thẳng d’:y’=a’x+b’ Loại 2: Đường thẳng d:y=ax+b song song với đường thẳng d’:y’=a’x+b’ Loại 3: Đường thẳng d:y=ax+b vuông góc với đường thẳng d’:y’=a’x+b’ Loại 4: Đường thẳng d:y=ax+b cắt với đường thẳng d’:y’=a’x+b’ Dạng 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc nhất Dạng 4: : Đồ thị hàm số chứa dấu trị tuyệt đối và cho bởi nhiều công thức Loại 1: Cách vẽ đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối Loại 2: Đồ thị của hàm số cho bởi nhiểu công thức Dạng 5: Ứng dụng của hàm số bậc nhất trong chứng minh bất đẳng thức và tìm GTNN, GTLN HÀM SỐ BẬC HAI y=ax2+bx+c Dạng 1: Xác định hàm số bậc hai và sự tương giao của đồ thị Loại 1: Xác định hàm số bậc hai khi cho trước các điều kiện Loại 2: Xác định tọa độ đỉnh, giao điểm với trục tung, trục hoành Loại 3: Xác định tọa độ giao điểm của hai đồ thị Dạng 2: Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc hai Dạng 3: Đồ thị hàm số chứa dấu trị tuyệt đối và cho bởi nhiều công thức Loại 1: Cách vẽ đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối Loại 2: Đồ thị của hàm số cho bởi nhiểu công thức Dạng 4: Ứng dụng của hàm số bậc hai trong tìm GTNN, GTLN HÀM SỐ BẬC BA y=ax3+bx2+cx+d Dạng 1: Bài toán liên quan tới cực trị của hàm số bậc ba Loại 1: Tìm số điểm cực trị của hàm số bậc ba. Loại 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị Loại 3: Tìm tham số m đề hàm số có cực trị thỏa mãn 1 điều kiện cho trước Dạng 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc ba HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG y=ax4+bx2+c Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số trùng phương Loại 1: Tìm điều kiện của tham số m để hàm trùng phương đạt cực trị (cực đại, cực tiểu) Loại 2: Tìm tham số m để 3 điểm cực trị hàm trùng phương tạo thành 3 đỉnh của tam giác ABC thỏa các điều kiện Dạng 2: Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số trùng phương HÀM SỐ PHÂN THỨC HỮU TỈ Dạng 1: Tính tích phân các hàm phân thức hữu tỉ Dạng 2: Tính đạo hàm của hàm phân thức hữu tỉ Dạng 3 : Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm phân thức hữu tỉ Loại 1: Hàm số y=(ax+b)(cx+d) Loại 2: Hàm số y=(ax2+bx+c)(a x+b) HÀM SỐ CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI Dạng 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị Loại 1: Đồ thị hàm số y=|f(x)| Loại 2: Đồ thị hàm số y=f(|x|) Loại 1: Đồ thị hàm số y=|f(x)|.g(x) Dạng 2: Tính tích phân của hàm số chứa dấu trị tuyệt đối Dạng 3: Bài toán vận dụng cao về hàm số chứa dấu trị tuyệt đối (giới thiệu) Loại 1: Xét tính đơn điệu của hàm chứa dấu trị tuyệt đối Loại 2: Cực trị của hàm chứa dấu trị tuyệt đối Loại 3: Tìm GTNN, GTLN của hàm chứa dấu trị tuyệt đối Loại 5: Xét sự tương giao hàm chứa dấu trị tuyệt đối HÀM SỐ LŨY THỪA Dạng 1: Bài toán liên quan tới các yếu tố của hàm số lũy thừa Loại 1: Tìm tập xác định của hàm số lũy thừa Loại 2: Đạo hàm của hàm số lũy thừa Dạng 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số lũy thừa Dạng 3: Ứng dụng của hàm số lũy thừa Loại 1: Tìm GTNN, GTLN Loại 2: Viết phương trình tiếp tuyến HÀM SỐ MŨ Dạng 1: Bài toán liên quan tới các yếu tố của hàm số mũ Loại 1: Tìm tập xác định Loại 2: Đạo hàm của hàm số mũ Dạng 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số mũ Dạng 3: Ứng dụng của hàm số mũ Loại 1: Tìm GTNN, GTLN Loại 2: Viết phương trình tiếp tuyến HÀM SỐ LOGARIT Dạng 1: Bài toán liên quan tới các yếu tố của hàm số logarit Loại 1: Tìm tập xác định của hàm số logarit Loại 2: Đạo hàm của hàm số logarit Dạng 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số logarit Dạng 3: Ứng dụng của hàm số logarit Loại 1: Tìm GTNN, GTLN Loại 2: Viết phương trình tiếp tuyến NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÍ DỤ HÀM SỐ BẬC NHẤT y=ax+b Dạng 1: Xác định hàm số y=ax+b thỏa mãn các điều kiện cho trước Loại 1: Đi qua hai điểm A, B. Nếu x_A≠x_B Phương trình đường thẳng d có dạng y=ax+b (1) Thế tọa độ A, B vào (1) được hệ phương trình 2 ẩn a và b(2) Giải hệ phương trình (1) và (2) ta tìm được a, b Loại 2: Đi qua A và song song với đưởng thẳng d’:y’=a’x+b’ Phương trình đường thẳng d có dạng y=ax+b(1) Vì A∈d nên thế tọa độ điểm A vào (1) => phương trình () Vì d∥d=>a=a() Giải hệ () và () ta tìm được a,b Loại 3: Đi qua A và vuông góc với đưởng thẳng d’: y’’=a’’x+b’’ Phương trình đường thẳng d có dạng y=ax+b(1) Vì A∈d nên thế tọa độ điểm A vào (1) => phương trình () Vì d⊥d=>a.a=1() Giải hệ () và () ta tìm được a,b Hàm số có dạng y=ax+b a.Vì hàm số đi qua hai điểm (1;3) và (2;1), ta có hệ phương trình: Vậy y=4x+7 b. Dựa vào tính chất hai đường thẳng song song, ta biến đổi d’ về dạng: Do d song song d’, suy ra: lại có d đi qua (3;2), suy ra: , suy ra: Ta có thu được hàm số cần tìm. c. Đồ thị đi qua điểm (2;1) nên: 1=2a+b Lại có d vuông góc d’: Vậy ta thu được: Dạng 2: Xét sự tương giao giữa các đồ thị hàm số bậc nhất Loại 1: Đường thẳng d:y=ax+b trùng với đường thẳng d’:y’=a’x+b’ d≡d,a=a và b=b Loại 2: Đường thẳng d:y=ax+b song song với đường thẳng d’:y’=a’x+b’ d〖∥d〗,a=a và b≠b Loại 3: Đường thẳng d:y=ax+b vuông góc với đường thẳng d’:y’=a’x+b’ d〖⊥d〗,aa=1 Loại 4: Đường thẳng d:y=ax+b cắt với đường thẳng d’:y’=a’x+b’ 〖d cắt d〗,a≠a Với m = 1 ta có d: y = 1,d: y = 6 do đó hai đường thẳng này song song với nhau Với m = 1 ta có d: y = 2x 1,d: y = 6 suy ra hai đường thẳng này cắt nhau tại M((7)2; 6). Với m ≠ ±1 khi đó hai đường thẳng trên là đồ thị của hàm số bậc nhất nên song song với nhau khi và chỉ khi Đối chiếu với điều kiện m ≠ ±1 suy ra m = 0. Vậy m = 0 và m = 1 là giá trị cần tìm. Dạng 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc nhất Xét hàm số y=ax=b (a≠0): Tập xác định: D = R Khi a > 0, hàm số đồng biến. Ngược lại, khi a < 0, hàm số nghịch biến. Ta có bảng biến thiên hàm số: Tập xác định D = R a=3>0, vậy nên hàm số đồng biến trên R Bảng biến thiên được vẽ như sau: Vẽ đồ thị: để vẽ đồ thị, ta xác định các điểm đặc biệt mà đồ thị đi qua, cụ thể là hai điểm (2;0) và (1;3) Dạng 4 Đồ thị hàm số chứa dấu trị tuyệt đối và cho bởi nhiều công thức Loại 1: Cách vẽ đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối Vẽ đồ thị (C) của hàm số y = | ax + b | ta làm như sau Cách 1: Vẽ (C1 ) là đường thẳng y = ax + b với phần đồ thị sao cho hoành độ x thỏa mãn x ≥ (b)a , Vẽ (C2 ) là đường thẳng y = ax b lấy phần đồ thị sao cho x < (b)a. Khi đó (C) là hợp của hai đồ thị (C1 ) và (C2 ). Cách 2: Vẽ đường thẳng y = ax + b và y = ax b rồi xóa đi phần đường thẳng nằm dưới trục hoành. Phần đường thẳng nằm trên trục hoành chính là (C). Chú ý: + Biết trước đồ thị (C): y = f(x) khi đó đồ thị (C1 ): y = f(|x|) là gồm phần : Giữ nguyên đồ thị (C) ở bên phải trục tung; Lấy đối xứng đồ thị (C) ở bên phải trục tung qua trục tung. + Biết trước đồ thị (C): y = f(x) khi đó đồ thị (C2 ): y = |f(x)| là gồm phần: Giữ nguyên đồ thị (C) ở phía trên trục hoành Lấy đối xứng đồ thị (C) ở trên dưới trục hoành và lấy đối xứng qua trục hoành. Vẽ hai đường thẳng y = 3x + 3 và y = 3x 3 và lấy phần đường thẳng nằm trên trục hoành. Loại 2: Đồ thị của hàm số cho bởi nhiểu công thức Khi x ≥ 0, hàm số có dạng y=2x. Đồ thị là phần đường thẳng đi qua (0;0) và (1;2) (chú ý chỉ lấy phần bên phải của đường thẳng x=0) Khi x < 0, hàm số có dạng y=x. Đồ thị là phần đường thẳng đi qua (1;1) và (2;2) (chú ý lấy phần nằm bên trái đường thẳng x=0) Dạng 5: Ứng dụng của hàm số bậc nhất trong tìm GTNN, GTLN Cho hàm số f(x) = ax + b và đoạn α; β ⊂ R.Khi đó, đồ thị của hàm số y = f(x) trên α; β là một đoạn thẳng nên ta có một số tính chất: max_α; β f(x)=max{f(a),f(b)} 〖min〗_α; β f(x)=min{f(a),f(b)} 〖min〗_α; β |f(x)|=min{|f(a)|,|f(b)|} Dựa vào các nhận xét trên ta thấymax_1; 2 f(x)chỉ có thể đạt được tại x = 1 hoặc x = 2. Như vậy nếu đặt M=max_1; 2 f(x)=> {█(M≥f(1)=|2m|M≥f(2)=|4m| )┤ =>M≥(f(1)+f(2))2=(|2m|+|4m|)2≥|2m+4m|2=1 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: {█(|2m|=|4m|(2m)(m4)≥0)┤m=3 Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 1, đạt được chỉ khi m = 3. HÀM SỐ BẬC HAI y=ax2+bx+c Dạng 1: Xác định hàm số bậc hai và sự tương giao của đồ thị Loại 1: Xác định hàm số bậc hai khi cho trước các điều kiện Gọi hàm số cần tìm là y = ax2 + bx + c, a ≠ 0. Căn cứ theo giả thiết bài toán để thiết lập và giải hệ phương trình với ẩn a, b, c từ đó suy ra hàm số cần tìm. Đồ thị hàm số đi qua A(0;1) và B(4;0) nên ta có: {█(c=132+4b+c=0)=> {█(c=1b=314)┤┤ Vậy parapol cần tìm là y=2x2314 x1 Loại 2: Xác định tọa độ đỉnh, giao điểm với trục tung, trục hoành Ta có y = x2 – 3x + 2 có a = 1 ; b = –3 ; c = 2 => Δ = b2 – 4ac = (–3)2 – 4.2.1 = 1. + Đỉnh của Parabol là I(32;14) + Khi x = 0 thì y = 2. Vậy giao điểm với trục tung là A(0 ; 2). + Khi y = 0 thì x2 – 3x + 2 = 0. Phương trình có hai nghiệm x = 2 hoặc x = 1. Vậy giao điểm với trục hoành là B(2 ; 0) và C(1 ; 0). Loại 3: Xác định tọa độ giao điểm của hai đồ thị Muốn tìm giao điểm của hai đồ thị f(x) và g(x). Ta xét phương trình hoành độ gioa điểm f(x)=g(x) (1). Nếu phương trình (1) có n nghiệm thì hai đồ thị có n điểm chung. Để tìm tung độ giao điểm ta thay nghiệm x vào y=f(x) hoặc y=g(x) để tính y. Xét phương trình tọa độ giao điểm của (d) và (P):x1=x22x1↔x23x=0↔x=0 hoặc x=3 x=0 →y=1 x=3 →y=2 Vậy tạo độ giao điểm của (d) và (P) là (0;1) và (3;2). Dạng 2: Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc hai Để vẽ đường parabol y = ax2 + bx + c ta thực hiện các bước như sau: – Xác định toạ độ đỉnh I=(b2a;∆4a) – Xác định trục đối xứng x = (b)(2a) và hướng bề lõm của parabol. – Xác định một số điểm cụ thể của parabol (chẳng hạn, giao điểm của parabol với các trục toạ độ và các điểm đối xứng với chúng qua trục trục đối xứng). – Căn cứ vào tính đối xứng, bề lõm và hình dáng parabol để vẽ parabol. Vì a > 0 nên đồ thị hàm số có bờ lõm quay lên trên Ta có BBT Hàm số đồng biến trên (2;+∞) và nghịch biến trên (∞;2) Ta có: Đỉnh I(2;1) Trục đối xứng x = 2 Giao điểm với Oy là A(0;1) Giao điểm với Ox là B(1;0); C(13;0) Vẽ parabol Dạng 3: Đồ thị hàm số chứa dấu trị tuyệt đối và cho bởi nhiều công thức Loại 1: Cách vẽ đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối Vẽ parabol (P) của đồ thị hàm số y = x2 x 2 có đỉnh I(12;(5)4), trục đối xứng x =12, đi qua các điểm A(1;0),B (2;0),C (0; 2). Khi đó đồ thị hàm số y = |x2 x 2| gồm: phần parabol (P) nằm phía trên trục hoành và phần đối xứng của (P) nằm dưới trục hoành qua trục hoành. Loại 2: Đồ thị của hàm số cho bởi nhiểu công thức Đồ thị hàm số gồm: + Đường thẳng y = x – 2 đi qua A(2; 0),B(0; 2) và lấy phần nằm bên phải của đường thẳng x = 2. + Parabol y = x2 + 2x có đỉnh I(1; 2), trục đối xứng x = 1, đi qua các điểm O(0;0),C(2;0) và lấy phần đồ thị nằm bên trái của đường thẳng x = 2. Dạng 4: Ứng dụng của hàm số bậc hai tìm GTNN, GTLN Dựa vào đồ thị (bảng biến thiên) của hàm số y = ax2 + bx + c, a ≠ 0 ta thấy nó đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên α; β tại điểm x = α hoặc x = β hoặc x = b(2a). Cụ thể: TH 1: a > 0 TH 2: a < 0 Ta có Δ = (m + 3)2 (m2 3) = 6m + 12 Phương trình có nghiệm ⇔ Δ ≥ 0 ⇔ 6m + 12 ≥ 0 ⇔ m ≥ 2 Theo định lý Viét ta có:{█(x_1+x_2=2(m+3)x_1.x_2=m23)┤ P = 5(x1 + x2) 2x1x2 = 10(m + 3) 2(m2 3) = 2m2 10m 24. Xét hàm số f(m) = 2m2 10m 24 với m ∈ 2; +∞) Bảng biến thiên Suy ra 〖max〗_(2;+∞))=12 khi và chỉ khi m = 2 Vậy m = 2 là giá trị cần tìm. Đặt t=∛(x2+1 ),t≥1=>t2=∛(x4+2x2+1) Khi đó hàm số trở thành y = t2 3t + 1 với t ≥ 1. Ta có Bảng biến thiên Suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số y = t2 3t + 1 là t=5(4 ) khi và chỉ khi t =32 hay ∛(x2+1)=32 ↔x=±√(198) Vậy GTNN của hàm số là 54 khi x=±√(198) HÀM SỐ BẬC BA y=ax3+bx2+cx+d Dạng 1: Bài toán liên quan tới cực trị của hàm số bậc ba Loại 1: Tìm số điểm cực trị của hàm số bậc ba. Lập bảng biến thiên và xác định điểm cực trị của hàm số. Hàm số có tập xác định D= R. Ta có y’= 3x² – 6x nên y’= 0 ⇔ x=0 hoặc x= 2. Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực trị x = 0 và đạt cực tiểu tại x = 2. Loại 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị Hàm số y= ax³ + bx² + cx + d g(x) là phần dư của phép chia y cho y’ Hàm số y =u(x)v(x) g(x) bằng đạo hàm tử : đạo hàm mẫu Cách 1: Ta có y = x³ + 9x² + 15x – 1 có y’= 3x² – 18x + 15 = 0. x= 1 ⇒ y = 6 x= 5 ⇒ y = 26 Hàm số có 2 điểm cực trị A(1;6),B(5;26). Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị AB có vectơ chỉ phương AB = (4;32), vectơ pháp tuyến n ⃗ = (8;1). Vậy phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là 8(x1) + 1(y6) = 0 ⇔ 8x +y14 = 0 Cách 2: Hàm số có a = 1,b= 9,c = 15,d=1 Theo công thức giải nhanh ta có phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số là y = g(x)= (2c3(2b2)9a)x + dbc9a ⇔ y = 2.153 2.(9)29.1 x – 1 (9).159.1 ⇔ y = 8x +14 ⇔ 8x +y14= 0 Loại 3: Tìm tham số m đề hàm số có cực trị thỏa mãn 1 điều kiện cho trước Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số y’ = 3ax2 + 2bx + c, Cho y’ = 0 ⇔ 3ax2 +2bx + c = 0 (1). Để hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu ⇔ y’ = 0 phải có hai nghiệm phân biệt ⇔ (1) phải có hai nghiệm phân biệt Ta có a ≠ 0 và ∆ (∆’) ≠ 0 ⇔ Giá trị tham số cần tìm thuộc 1 miền D nào đó () Bước 2: Từ điều kiện bài toán cho trước ta có 1 phương trình hoặc 1 bất phương trình theo tham số cần tìm Giải phương trình này ta sẽ tìm được tham số rồi sau đó đối chiếu với điều kiện () của tham số và kết luận. Tập xác định D=R Ta có y’ = 3x2 – 2(m + 1)x + (m2 – 3m + 2) Để hàm số có điểm cực đại, cực tiểu nằm về hai phía của trục tung thì phương trình y’ = 0 phải có 1 nghiệm phân biệt Dạng 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc ba Tập xác định: D=R. Chiều biến thiên: Ta có: y=–3x2+6x =–3x(x–2). y=0 ⇔–3x(x–2)=0 ⇔x=0 hoặc x=2. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (–∞;0) và (2;+∞), đồng biến trên khoảng (0;2). Hàm số đạt cực đại tại điểm x=2, giá trị cực đại của hàm số là y(2)=0. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x=0, giá trị cực tiểu của hàm số là y(0)=−4. Giới hạn của hàm số tại vô cực: lim┬(x→∞)〖y=+∞〗, lim┬(x→+∞)〖y=∞〗, Bảng biến thiên: Đồ thị: Cho x=–1⇒y=0, x=3⇒y=4. HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG y=ax4+bx2+c Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số trùng phương Loại 1: Tìm điều kiện của tham số m để hàm trùng phương đạt cực trị (cực đại, cực tiểu) + Hàm số có một cực trị ab>=0 + Hàm số có ba cực trị ab0b≥0)┤ + Hàm số có đúng một cực trị và cực trị là cực đại {█(a{█(m>0m≥2 hoặc m≤2)=>m≥2┤┤ Loại 2: Tìm tham số m để 3 điểm cực trị hàm trùng phương tạo thành 3 đỉnh của tam giác ABC thỏa các điều kiện . Ta có: a = 1 và b = m 2016. Hàm số có ba cực trị là ab < 0 ⟺(m2016)2016 () Tam giác ABC vuông cân tại A khi và chỉ khi b3=8a⟺(m2016)3=8⟺m2016=2⟺m=2018. Dạng 2: Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số trùng phương +Tập xác định D=R +Xét chiều biến thiên Đạo hàm y=4ax3+2bx y=0⇔2x(2ax2+b)=0 x=0 hoặc x=±√((b)2a) + Tìm cực trị: Hàm số có 1 điểm cực trị tại x=0⇔ab≥0 Hàm số có 3 điểm cực trị tại x=0;x=x=±√((b)2a) ⇔ab0 lim┬(x→∞)〖f(x)〗=lim┬(x→+∞)〖f(x)〗=∞⇔a0: Hàm số tăng trên từng khoảng xác định. T0. ad–bcx=x_i( chỉ lấy những x_i∈(a;b)) Khi đó I=∫_a(x_i)▒|f(x)|dx+∫_(x_i)b▒|f(x)|dx Xét dấu f(x) trên các khoảng (a;x_i ),(x_i;b) Tính tích phân I=∫_(2)2▒|x1|dx HÀM SỐ LŨY THỪA Dạng 1: Bài toán liên quan tới các yếu tố của hàm số lũy thừa Loại 1: Tìm tập xác định của hàm số lũy thừa Cho hàm số lũy thừa y = f(x)α : + Nếu α nguyên dương thì hàm số xác định với mọi x ∈ R. + Nếu α nguyên âm hoặc α = 0 thì hàm số xác định với mọi x ≠ 0. + Nếu α không nguyên thì hàm số xác định với mọi x > 0 Hàm số với α nguyên dương, xác định với ∀x ∈ R . Do đó hàm số y = (x2 3x + 2)100 xác định với ∀x ∈ R . Hàm số y = xα với α nguyên âm, xác định với ∀x ≠ 0 . Hàm số y = (x3 8)100 xác định x3 8 ≠ 0 ⇔ x ≠ 2. Loại 2: Đạo hàm của hàm số lũy thừa a. Hàm số lũy thừa y = xα có (α ∈ R) đạo hàm tại mọi điểm x > 0 và (xα) = αxα − 1 b. Nếu hàm số u = u(x) nhận giá trị dương và có đạo hàm trên J thì y = uα(x) cũng có đạo hàm trên J và (uα(x)) = α . uα − 1(x) . u(x) Ta có: y=14 (x24x+10)(141) (2x4) =12 (x2) (x24x+10)(34) =(x2)(2(x24x+10)(34) ) Dạng 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số lũy thừa Tập xác định D = R {0}. Đạo hàm : y=3x4=3x4 y (1)=π2 Với x0 = 1 thì y0= 1 Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là:y=π2 xπ2+1 HÀM SỐ MŨ Dạng 1: Bài toán liên quan tới các yếu tố của hàm số mũ Loại 1: Tìm tập xác định Đối với hàm số mũ y=ax,(a>0,a≠1) có tập xác định trên R. Nên khi bài toán yêu cầu tìm tập xác định của hàm số mũ y=af(x) ,(a>0,a≠1) ta chỉ cần tìm điều kiện để f(x) có nghĩa ( xác định) Điều kiện xác định của hàm số 2x2+8≥0 ↔x∈(∞,4∪4,+∞) Vậy tập xác định của hàm số: D=R\(4,4) Loại 2: Giới hạn, đạo hàm Áp dụng các công thức tính giới hạn, đạo hàm lim┬(x→0)〖(e2e(3x+2))x〗=lim┬(x→0)〖(3e2 (e3x1))3x〗=3e2 Ta có: y=2ex+2xex+6cos2x=2ex (1+x+3cos2x) Dạng 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số mũ +Tập xác định D = R +Đạo hàm y=(32)x ln(32)>0,∀x∈R +Giới hạn và đường tiệm cận: lim┬(x→∞)〖(32)x=0 →y=0〗 là phương trình đường tiệm cận ngang. lim┬(x→+∞)〖(32)x=+∞〗 Đồ thị hàm số không có đường tiệm cận đứng và xiên. +Bảng biến thiên: Điểm đặc biệt: x = 0; y = 1 x = 1; y = x = 1; y = +Đồ thị: Dạng 3: Ứng dụng của hàm số mũ Loại 1: Tìm GTNN, GTLN + Nếu hàm số đơn điệu trên một đoạn thì GTLN, GTNN đạt được tại các đầu mút của đoạn. + Nếu hàm số không đơn điệu thì tiến hành việc tìm GTLN, GTNN theo quy tắc. 1. Tìm các điểm x1,x2,…,xn trên các khoảng (a;b), tại đó f’(x) bằng 0 hoặc f’(x) không xác định 2. Tính f(a),f(x_1),f(x_2),…,f(x_n),f(b). 3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có Đạo hàm y=e(x22x+3).(2x2)=0 ↔x=1 Hàm số đã cho liên tục và xác định trên đoạn 0 ; 2 Mặt khác y(0)= e3; y(1)= e2; y(2)=e3. Do đó min_0; 2 f(x)=e2; max_0; 2 f(x)=e3 →T=e2+e3 Loại 2: Viết phương trình tiếp tuyến Ta có: y (x)=3x2.3x+x3.3x.ln3=x2 3x (3+xln3) Suy ra y(1) =3 ; y’(1)=3(3+ln3)=9+3ln3 Phương trình tiếp tuyến cùa hàm số đã cho tại x=1 là Y=(9+3ln3)(x1)+3 HÀM SỐ LOGARIT Dạng 1: Bài toán liên quan tới các yếu tố của hàm số logarit Loại 1: Tìm tập xác định +Hàm số logarit y=log_ax (a>0;a≠1) có tập xác định D=(0;+∞) + Hàm số logarit y=log_a〖f(x)〗 (a>0;a≠1) có tập xác định là {█(f(x)>0∃f(x))┤ Hàm số xác định khi và chỉ khi: (x3)(x+1)>0 ↔x3 Loại 2: Giới hạn, đạo hàm Áp dụng công thức tính giới hạn và đạo hàm lim┬(x→0)〖ln(2x+1)x〗=lim┬(x→0)〖2ln(2x+1)2x=2.1=2〗 Áp dụng công thức (log_a〖u)=u(u.lna)〗 . Khi đó y=((x2x+1))(x2x+1)ln2=(2x1)(x2x+1)ln2 Dạng 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số logarit Tập xác định D = (0 ; +∞ ),y = logax nhận mọi giá trị trong R Hàm số đồng biến trên R khi a > 1 và nghịch biến trên R khi 0 < a ≠ 1. Đồ thị qua điểm (1 ; 0), nằm bên phải trục tung và nhận trục tung làm tiệm cận đứng. Tập xác định D = (0 ; +∞ ), hàm số nhận mọi giá trị trong R Hàm số đồng biến trên R (2>0) Đồ thị qua điểm (1 ; 0), nằm bên phải trục tung và nhận trục tung làm tiệm cận đứng. Dạng 3: Ứng dụng của hàm số logarit Loại 1: Tìm GTNN, GTLN + Nếu hàm số đơn điệu trên một đoạn thì GTLN, GTNN đạt được tại các đầu mút của đoạn. + Nếu hàm số không đơn điệu thì tiến hành việc tìm GTLN, GTNN theo quy tắc. 1. Tìm các điểm x1,x2,…,xn trên các khoảng (a;b), tại đó f’(x) bằng 0 hoặc f’(x) không xác định 2. Tính f(a),f(x_1),f(x_2),…,f(x_n),f(b). 3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có Ta có: y=ln√(2x33x2+2)=12 ln(2x33x2+2) Đạo hàm: y=12.(6x26x)(2x33x2+2)≥0 ( ∀x∈1 ;3) Do đó hàm số đã cho đồng biến trên 1 ; 3. Do đó 〖min〗_1;3 f(x)=f(1)=0 Loại 2: Viết phương trình tiếp tuyến Ta có: f (x)=((x+√(x2+1)))(x+√(x2+1))=(1+x√(x2+1))(x+√(x2+1))=1√(x2+1) Nên y’ (0) = 1 ; y(0) =0. Phương trình tiếp tuyến của hàm số đã cho tại x =0 là : y=1.(x0)+0 hay y= x