Chuyên đề phương trình bất phương trìnhh

Trang 1

Tất cả vì học sinh thân u

PHƯƠNG TRÌNH

Phương trình căn thức

Dạng 1 Phương pháp nâng lũy thừa

Kiến thức cơ bản:  Phương trình      2 0g xf xg xf xg x    Phương trình       00f xf xg xg xf xg x    Ví dụ 1 Giải phương trình x 2x 5 4 x  

Lời giải Điều kiện: 5

2

x  Phương trình đã cho tương đương với:

2 224 0 42 5 42 5 8 162 5 44473 7 010 21 0xxptxxxxxxxxxxxxxx                                   

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x  7

Ví dụ 2 Giải phương trình 2 

2 4 2

x  x  xx 

Lời giải Điều kiện: x  Phương trình đã cho tương đương với: 2

222 2 122 4 2 3 2 0xxxptxxxxxx                        

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x    1; 2

Ví dụ 3 Giải phương trình



7 4 1 5 6 2 2 3

x  x  x  x x 

Lời giải Điều kiện: 3

2

Trang 2

Tất cả vì học sinh thân yêu 7 2 2 3 5 6 4 19 5 2 7 8 12 9 5 2 5 6 4 137 8 12 5 6 4 1 24 13 2 0ptxxxxxxxxxxxxxxxxx                           Suy ra 2; 134

x x Thử lại thấy thỏa mãn Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm kể trên

Ví dụ 4 Giải phương trình 3211 1 33xxxxxxx        

Lời giải Điều kiện: x   1

Chú ý hằng đẳng thức 3  2 

1 1 1

x   x x   , nên phương trình đã cho được viết lại thành: x

 2 21 11 1 33xxxxxxxx        2222211 1 1 3311 3 1 331 3 0113xxxxxxxxxxxxxxxxxxptvnxx                                 

Vậy phương trình đã cho vơ nghiệm

Dạng 2 Phương pháp đặt ẩn phụ hồn tồn hoặc khơng hoàn toàn

Kiến thức cơ bản:

 Đặt ẩn phụ hoàn toàn, đặt tA x  đưa về phương trình ẩn t

 Đặt ẩn phụ khơng hồn tồn, đặt tA x  phương trình sau khi biến đổi chứa hai ẩn ,t x và xét

đenta chính phương

Trang 3

Tất cả vì học sinh thân yêu       a A x b B x c A x B x dC x DA, Đặt ẩn phụ hồn tồn Ví dụ 1 Giải phương trình 22x 3 x 1 3x2 2x 5x 3 16 x 

Lời giải Điều kiện: x   1

Đặt t 2x 3 x  suy ra 1 0 22

3 4 2 2 5 3

t  x  x  x Khi đó phương trình đã cho trở thành: 22 04 16 20 0 55 4 0tttttttt             Do đó 22x 3 x  1 5 3x 4 2 2x 5x 3 2522221132 2 5 3 21 3 34 2 5 3 21 3xxxxxxxx             Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x  3

Ví dụ 2 Giải phương trình



2

7x 7 7x 6 2 49x 7x42181 14 xx 

Lời giải Điều kiện: x   1

Đặt t 7x 7 7x  suy ra 6 0 22

14 1 2 49 7 42

t  x  x  x Khi đó phương trình đã cho trở thành: 22 01 181 182 0 1313 14 0tttttttt             Do đó 27x 7 7x 6 1314x 1 2 49x 7x42169 2222612749 7 42 84 7 649 7 42 84 7xxxxxxxx             Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x  6

B, Đặt ẩn phụ khơng hồn tồn

Phương trình tổng qt dạng  22

11222333

a xba x b xc a x b x c

Trang 4

Tất cả vì học sinh thân yêu

Lời giải Điều kiện: x  

 Bước 1 Đặt t f x  đưa về phương trình bậc hai ẩn t  Bước 2 Tính  theo x và biểu diễn 2  

axbtg x

    

Đặt 2222

2 3 1 2 2 1 2 2

t x  x x   x x  t  x , khi đó phương trình đã cho trở thành:

 22  1 2 2 1 2 2 0x tt  x t  x t x   Có   2  2 21 4 2 2 6 9 3xxxxx          nên ta được:   2221 31 2 3 121 3 2 3 2222 1 0 1 2xxtxxxxxxxxtxxx                            Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x  1 2

Ví dụ 2 Giải phương trình 2  2 

4 3 1 1 0

x  x x x    xx 

Lời giải Điều kiện: 2

1 0

x    x

Đặt 22222

1 0 1 1

t x    xx   xt x t   x

Khi đó phương trình đã cho trở thành:

 221 4 3 1 0 3 3 0t   xx x t  t  x t x  Ta có   2  2 23 4 3 6 9 3 0xxxxx           nên ta được:   223 3 13 1 321 413 3 122xxxtxxxxxxxxtx                               

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm là 1;1 412x         Ví dụ 3 Giải phương trình  2   2 3 2x   1 1 x 13x8 2x 1 x 

Lời giải Điều kiện: x  

Phương trình đã cho tương đương với: 2  2

Trang 5

Tất cả vì học sinh thân yêu

Đặt 222222

2 1 1 2 1 3 3 3 3

t x   t  x   t  x  x 

Khi đó phương trình đã cho trở thành: 2  2  3t  8x3 t3x  x 0 Ta có   2  2 2 28x 3 12 x 3x 100x 60x 9 10x 3 0           nên   223 8 10 33 2 16 3 03 8 10 3 2 1 1 31 36xxxtxxxxxxxtx                      

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x  0

Ví dụ 4 Giải phương trình  33 

4x1 x  1 2x 2x1 x 

Lời giải Điều kiện: x   1

Đặt 33232

1 0 1 1

t x   x  t x   t

Khi đó phương trình đã cho trở thành:

 2  2  2 t  1 4x1t2x  1 0 2t  4x1t2x 1 0 Ta có   2  2 24x 1 8 2x 1 16x 24x 9 4x 3 0           nên   3334 1 4 3 22 1 1 2 1434 1 4 3 1 2 1 144 2xxxtxxxxxxxt                             

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là 332;4x        

Dạng 1 Phương trình đưa về tổng các đại lượng không âm hoặc AnBn

Dấu hiệu: Hệ số trước căn thường là những số chẵn

1 Đưa về tổng các đại lượng không âm.

Trang 6

Tất cả vì học sinh thân yêu Đưa phương trình về dạng 2 1,nnABABnkn k          Hoặc về dạng 20,nnABABABnkABn k                Bài tập ví dụ Ví dụ 1 Giải phương trình 2 4x x 3 2 2x 1 4x 3x3 x 

Lời giải Điều kiện: 1

2

x  Phương trình đã cho tương đương với:

  22224 4 3 3 3 2 2 1 04 4 3 3 2 1 2 1 1 02 3 2 1 1 02 3 0 2 312 1 1 0 2 1 1ptxx xxxxx xxxxxxxxxxxxxx                                            

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x 1

Ví dụ 2 Giải phương trình 2 

4 6x104x 14x11 x 

Lời giải Điều kiện: 5

3

x  Phương trình đã cho tương đương với:

22 226 10 4 6 10 4 4 20 256 10 2 2 56 10 2 2 56 10 2 2 5 036 10 2 3 3 13246 10 2 7 0 6 10 2 3ptxxxxxxxxxxxxxxxxptvnxx                                        

Trang 7

Tất cả vì học sinh thân yêu

Lời giải Điều kiện: 9 1

5  Phương trình đã cho tương đương với: x 5

  2224 5 1 4 5 1 13 5 4 9 5 1 02 5 12 5 1 9 5 2 1 0 9 5 2 11 0xxxxxxxxxxxxxxxx                           

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x  1

Vận dụng 2 Giải phương trình 2 

6 3 1 9 0

x  x   xx 

Lời giải Điều kiện: 1

3

x  Phương trình đã cho tương đương với:

222229 6 3 1 2 1 9 6 3 1 3 11 3 3 11 3 3 11 3 1 323 1 2 7 3723 1 23 1 4ptxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx                                          

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là 7 372x  Vận dụng 3 Giải phương trình 323 1 2 6 4 2 6x  x  x x  x x  x 

Lời giải Điều kiện: x  2 Chú ý 3 2 3

Trang 8

Tất cả vì học sinh thân yêu

Dạng 2 Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình đối xứng hai ẩn

Ví dụ Giải phương trình 2 

2 2 2 1

x  x x x 

Lời giải Điều kiện: 1

2x  Đặt y 2x  , khi đó 1 0 22 1y  x Và phương trình đã cho trở thành 222 21 2 12 22 1 2 1 1xyxxyyxyx                

Với a  thì hệ phương trình trên x 1

22222 12 22 1ayayyaya        22 0 2 02 011 2 12 21 2 11 2 1 0ayay ayayay ayayxxxxxxxx                                  

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x  2 2

Bài toán tổng quát Giải phương trình

2 ax bc dxe xx  với ebcdac    Chọn 12; 1;210; ; 1; 12abcde          ta được 12 12 1 12 2x  x  Hoặc phương trình 1 2 axbxcxdxa      với 2 12 2a ccbad     Xét hàm số 1 2yxcxda   có đạo hàm ' 2 02acyxcxa      Khi đó bằng phép đặt 2ac

ax  by , ta sẽ đưa phương trình về được dạng hệ phương trình

đối xứng quen thuộc

Ví dụ 1 Giải phương trình 2 29 12 61 3

6 36

x

Trang 9

Tất cả vì học sinh thân yêu

Làm nháp   2 29   1

3 ' 6 1 0

6 6

f x  x  x f x  x     xLời giải Điều kiện: 12x 61 0

Đặt 12 61 136 6xy  suy ra 12 61 2 1 136 3 36xyy  2212x 61 36y 12y 1 3yyx 5         Mà theo cách đặt ta có 2 29 1 23 3 56 6x  x   yx    xyDo đó phương trình đã cho 22223 53 33 5xxyxyxyyxyyx            3 2 0 3 3 2 0 3 23xyxy xyxyxyxyxy                Với x ta được y 2 53 53x    xy vì 16y    Với 3 23xy   ta được 2 3 2 1 143 53 3xxx  x       

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là 1 14; 5

3 3x        

Dạng 3 Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình đối xứng hai ẩn bằng phương pháp đồng nhất hệ số

Ví dụ Giải phương trình 2 

4x 4x 3 2x5 x 

Lời giải Điều kiện: 5

2x  Đặt 2 5 2 1; 12x  y y Khi đó 2 2 22x 5 2y1 4y 4y 1 2x 5 4y 4y 4 2x Nên phương trình đã cho trở thành

Trang 10

Tất cả vì học sinh thân yêu 4 6 0 4 4 6 0 2 32xyxy xyxyxyxyxy                Với x ta được y211 17242 2 0yxyyy           Với 2 32xy   ta được 2x  5 4 2x 022 9 3742 5 4 2xxxx        Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm là 9 37; 1 17

4 4x          

Phương pháp tổng quát Đặt 2x 5 Ay  với mục đích là đưa về hệ phương trình đối B 0xứng hai ẩn dạng   , 0, 0f x yg x y  Ta có 2 2 2 22x 5 Ay B 2x 5 AyB A y 2AByB 2x 5Và 2

4x 4x 3 Ay , khi đó ta được hệ phương trình: B

222222224 4 3 4 4 32 2 5 2 5 2xxAyBxxBAyA yAByBxA yAByBx                       

Để đưa về được hệ phương trình đối xứng hai ẩn, tức là hai giá trị ,x y có vai trị như nhau Nên

thế x vào hệ phương trình trên ta có được: y

22222244 4 3 4 2 212 5 2 3 52AxxBAxABABA xABxBxBBA                            Do đó ta có phép đặt 2 5 2 1; 12

x  y y và được lời giải như trên

Trang 11

Tất cả vì học sinh thân yêu

Vận dụng 1 Giải phương trình 2 

9x 5 3x 2x3 x 

Đáp số: phương trình vơ nghiệm

Vận dụng 2 Giải phương trình 2 2004 1 16032 1x  x  x x Đáp số: x 4009 Vận dụng 3 Giải phương trình 332 4 81 8 2 23x x  x  x x  Đáp số: 0;3 2 63x        

Dạng 4 Đặt ẩn phụ phương trình chứa căn bậc ba đưa về hệ đối xứng Phương pháp

 Đặt ẩn phụ bằng căn thức bậ ba.

 Biến đổi đưa về hệ phương trình đối xứng.

Bài tập ví dụ

Ví dụ 1 Giải phương trình 3332 2 32x  3xx 

Lời giải Điều kiện: 3 32x  Đặt 33 2 0y  x  suy ra 23323 2 2 3y   x  x y  Khi đó phương trình đã cho tương đương với:

32323233232322 3 2 32 32 3 2 32 3yxyxyxxyxyxy                          33222222322 2 0 2 002 0 12 3xyyxxy xxyyxy xyyxyxxyyxyxyyyy                             Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x 1

Ví dụ 2 Giải phương trình 332 

2x 9x  3x 13 x 

Lời giải Điều kiện: x  

Đặt 33

9

y x suy ra 33

9

x y 

Trang 12

Tất cả vì học sinh thân yêu 3333332 2 2 2299 94 132 3 132 3 13xyxyxyxxyyxyxxyx                             Đặt axybxy   

 nên hệ phương trình trên trở thành:

 2  3 3  22223 9 2 6 18 2 3 13 18 322 132 13 2 13a abaabaaaabbaabba                                    Từ đó suy ra 3      ; 2;1 , 1; 22xyx yxy     

Vậy phương trình đã cho nghiệm duy nhất là x  1,2

Ví dụ 3 Giải phương trình 33 33

25 25 30

x x x x  x 

Hướng dẫn Điều kiện: x  

Đặt 3 3

25

y x suy ra 33

25

x y 

Khi đó phương trình đã cho tương đương với:

 233 25 2 2530 30xyxyxyxyxy xyxy xy                      Ví dụ 4 Giải phương trình 3333 4 2 4x x  x xx 

Hướng dẫn Điều kiện: x  

Đặt y34x3 suy ra 33

4

x y 

Khi đó phương trình đã cho tương đương với:

 233 4 2 42 2xyxyxyxyxyxyxyxy                       

Dạng 5 Đặt ẩn phụ đưa về phương trình đẳng cấp bậc cao Phương pháp Đặt ẩn đưa phương trình vơ tỷ về dạng

Trang 13

Tất cả vì học sinh thân yêu

Xét các trường hợp để chia cả hai vế của các phương trình trên cho A hoặc B rồi đưa về ẩn

At

B

 sau đó sử dụng lược đồ Hoocner

Bài tập ví dụ

Ví dụ 1 Giải phương trình 3 2 3 

3 2 6 18

x  x  x  xx 

Lời giải Điều kiện: x  Phương trình đã cho tương đương với: 6

3  33 6 2 6 0x  x x  x   Đặt 26 0 6a x    xa nên phương trình   trở thành: 3233 2 0x  xa  a 

Nhận xét x   không là nghiệm của phương trình đã cho Nên chia cả hai vế cho 6 3

a và đặt xta suy ra 33 2 0t  t  Sử dụng lược đồ Hoocner ta có Từ đó suy ra  2 33 2 0 1 2 0t  t   tt  1 6 32 2 2 6 0 2 2 7xtxaxxtxaxxx                          

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x 3; 22 7

Ví dụ 2 Giải phương trình 333 

1 2 2 3

x  x  x x 

Lời giải Điều kiện: x  

Đặt 333311 2 2 32axabxxxbx            

Khi đó phương trình đã cho trở thành:

Trang 14

Tất cả vì học sinh thân yêu

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là 1; 2;32x       Ví dụ 3 Giải phương trình 22 2 2 1 3 4 1x  x x  x  x x 

Lời giải Điều kiện: 1

2x  Đặt 2 22  2  2523 3 2 2 1 3 8 122 1 0axxabxxxxxbx                Khi đó phương trình đã cho trở thành:

2222222222223 3 3 212 2 0 0 2 2 1 21abababababaabbxaaba ababxxxx                          Vậy phương trình đã cho vơ nghiệm

Dạng 6 Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình đại số

Phương pháp Phương trình tổng quát dạng maf x  bncf x   dk

Đặt       mmmnnnaf xbuaf xbuacf xbccucf xdvacf xadavcf xdv                        mncubcavad

    Nên phương trình đã cho trở thành:

mnuvkcubcavad       giải bằng phương pháp thế Bài tập ví dụ Ví dụ 1 Giải phương trình 3 2 3x 2 3 65x8 x 

Lời giải Điều kiện: 6

Trang 15

Tất cả vì học sinh thân u

Khi đó phương trình đã cho trở thành:  3   2

2 3 85 2 3 6abab     23238 28 23 2348 25 3 8 5 3 83abaabbaaba                             Nên suy ra 33 2 226 5 4xxx        

 là nghiệm duy nhất của phương trình

Ví dụ 2 Giải phương trình 324 x 12 x 6 x  

Lời giải Điều kiện: x 12 Đặt 3332224 24361212 0axaxabbxbx                   

Khi đó phương trình đã cho trở thành:

23236636 6 36baababaa                     326; 0;6 , 3; 3 , 4;1012 0baa baaa        

 Với    a b ; 0;6 nên suy ra

324 02412 6xxx       

 Với    a b ; 3; 3 nên suy ra

324 3312 3xxx      

 Với   a b  ; 4;10 nên suy ra

324 48812 10xxx        

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x 3; 24; 88  

Ví dụ 3 Giải phương trình 45 x 412 x 3 x  

Trang 16

Tất cả vì học sinh thân yêu Đặt 4444445 5171212axaxabbxbx                   Khi đó phương trình đã cho trở thành:

4      44433; 1; 2 , 2;117 3 17baaba babaa                 

 Với    a b ; 1; 2 nên suy ra

445 1412 2xxx      

 Với    a b ; 2;1 nên suy ra 445 21112 1xxx       

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x   11; 4

Phương trình bậc cao – Kỹ thuật sử dụng lược đồ Hoocner

Lý thuyết Xét phương trình bậc bốn 432

12345 0

a x a x a x a xa   Nếu a1a2a3a4a5 , phương trình có một nghiệm là 0 x  1

 Nếu có tổng hệ số chẵn bằng tổng hệ số lẻ thì phương trình có một nghiệm là x   1

 Lược đồ Hoocner ( nhân ngang – cộng chéo )

1

aa2 a3 a4 a5

0

xa1A1 a x1 0a2A2 A x2 0a3A3 A x3 0a4A4 A x4 0a50

Khi đó x là một nghiệm của phương trình đã cho, và ta phân tích phương trình ban đầu được thành 0

 32 

01234 0

xxA x A x A xA  Phương trình bậc ba cịn lại có nghiệm '

0

x và tiếp tục sử dụng lược đồ

Ví dụ 1 Giải phương trình 432

2x 5x 3x 8x  4 0

Nhận xét: Tổng các hệ số của phương trình bằng 0 nên phương trình có một nghiệm là x  1

Lời giải Do có một nghiệm x  nên tách theo lược đồ Hoocner ta có: 1

2 5  3  8 4

1 2 7 4  4 0

2

 2 3  2 0 0

Khi đó phương trình đã cho trở thành   2 

1 2 2 3 2 0

Trang 17

Tất cả vì học sinh thân yêu

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là 2; ;112x       Ví dụ 2 Giải phương trình 54324x 4x 21x 19x 20x12 0

Nhận xét: Tổng các hệ số chẵn của phương trình bằng tổng các hệ số lẻ nên phương trình có một nghiệm

là x   1

Lời giải Do có một nghiệm x   nên tách theo lược đồ Hoocner ta có: 14  4  21 19 20 121 4  8 13 32 12 0 2 4 0 13 6 0 0 124 2 12 0 0 0

Khi đó phương trình đã cho trở thành:

21 2 2 1 2 6 01 2 2 1 2 2 3 0xxxxxxxxxx           

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là 2; 2; ; 1;1 3

2 2x         Ví dụ 3 Giải phương trình 429 2 15 0x  x  x  Nhận xét: Đưa phương trình về dạng 2  2 0fx g x 

Giả sử, tồn tại số thực m thỏa mãn

2222222222 9 2 15 02 9 2 15 0ptxmmxmxxxmmxxm              Xét đa thức bậc hai    222 9 2 15f x  m x  x m , ta muốn đưa f x về dạng hằng đẳng thức bậc  hai, thì trước hết ' 0f x  Ta có '   21 2 9 15 0 4f xmmm        Do đó phương trình đã cho trở thành  2 2 2  2  2 4 1 0 5 3 0x   x   x  xx  x 

Trang 18

Tất cả vì học sinh thân yêu  2 2422222222228 16 2 1 0 4 1 04 1 0 5 3 05 0 1 13 1 21;2 23 0xxxxxxxxxxxxxxxxx                                      

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm kể trên

Ví dụ 4 Giải phương trình 2221 364 2 1 02xxxxx          Nhận xét: Đưa về phương trình  2xa xb xc xd Ax

Lời giải Điều kiện: 0

2xx  

 Phương trình đã cho tương đương với:

  2223222324 2 1 2 36 04 2 3 2 36 02 24 3 36 0ptxxxxxxxxxxxxxx                          Đặt tx 2x  , phương trình   trở thành:  24 3 36 0t t  

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm kể trên

Ví dụ 5 Giải phương trình  2 3 3  3  2 1 6 1 1 6 17 5x  x  x  x  x  xNhận xét: Đưa về phương trình đẳng cấp bậc  Đẳng cấp bậc hai dạng 22 0a A b ABc B   Đẳng cấp bậc ba dạng 2223 0a A b A Bc AB d B 

Lời giải Giả sử tồn tại hai số ,m n thỏa mãn:

22 6 66 17 5 1 117 1mmxxm xxn xnmn                     Và hằng đẳng thức 3  2 1 1 1x   x x   xĐặt 2 11AxBxx     

Trang 19

Tất cả vì học sinh thân yêu 3332236 6 11 6 11 6 02 3 0 23ptABAB ABAA BABBABAB AB ABABAB                 Với A , ta được B 2 01 12xxxxx         Với A2B, ta được 2  3 131 2 12xxxx        Với A3B, ta được 2 1 3 1 2 6x   xx   x .

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là 0; 2; 2 6;3 132x         

Ví dụ 1: Giải phương trình sau 3 4 43xxxx  Lời giải Điều kiện: x 0

Phương trình đã cho tương đương

x34x4 x x 3 x32 x2 0 x32 xx 3 4x x1

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S  1

Ví dụ 2: Giải phương trình sau x24x24 2x1

Lời giải

Điều kiện: 1

2

x 

Trang 20

Tất cả vì học sinh thân yêu 2 2 2224 2 2 1 4 2 1 4 2 1 4 2 1 2 1 2 1 2 1 2 *x  x  x   x  x  x  x  x   x  x 

Phương trình  * tương đương 2 1 2 1 2 1 3

2 1 2 1 2 1 1xxxxxxxx                  Với 2 23 32 1 3 4 68 10 02 1 3xxxxxxxxx              Với 2x    1 x 1 2x 1 x 1 0 vn

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S 4 6

Ví dụ 3: Giải phương trình sau 1 7 4 12xxx   Lời giải Điều kiện: x 1

Phương trình đã cho tương đương

22222228 7 2 1 2 1 1 9 6 1 11 3 1 1 2 13 1 11 1 3 1 1 4xxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxx                                     Với x 1 2x 1 x 1 2x12 4x25x20 vnVới x  1 1 4x x 1 4x 1 0 vn

Vậy phương trình đã cho vơ nghiệm

Trang 21

Tất cả vì học sinh thân yêu

Điều kiện: x 0

Phương trình đã cho tương đương

22222222222222 2 2 13 7 2 2 2 9 12 42 3 2 2 4 22 3 22 2 3 2 2 2x xxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx                                           Với 22 221 122 4 2 2 115 17 2 02 4 2xxxxxxxxxxx                  Với 22 221 0 9 572 2 263 9 2 02 2 2xxxxxxxxxxx                

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm 1;9 576

S    

 

 

Ví dụ 5: Giải phương trình sau 2 2 2 

32 1xxxx Lời giải Điều kiện: 12x 

Phương trình đã cho tương đương

Trang 22

Tất cả vì học sinh thân yêu Với 22 221 133 3 1 3 18 6 2 03 3 1xxxxxxxxx                     

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S 1; 1 

Ví dụ 6: Giải phương trình sau 2  2

2 1 2 1 2 1

x  x  xx  x

Lời giải

Điều kiện: x2 2x 1 0 Phương trình đã cho tương đương

22222222222222 1 2 1 2 1 0 2 1 2 1 2 1 2 1 2 11 2 1 1 2 1 21 2 1 11 2 1 1 2 1 2xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx                                                   Với 222 2 1 2 2 1 4 2 5 0 1 6; 1 6x  x  x  x  x  x   x    Với 2  2220 02 1 22 1 4 3 2 1 0xxxxxvnxxxxx             

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S    1 6; 1  6

Ví dụ 7: Giải phương trình sau x2 1xx3 x3

Lời giải

Điều kiện:  3 x1

Trang 23

Tất cả vì học sinh thân yêu 2222 2 2 22 2 3 3 2 2 2 3 2 62 2 2 2 3 2 3 1 2 2 3 1xxxxxxxxxxxxxxxxx                              22222 2 3 1 2 3 12 2 3 1 2 3 3xxxxxxxxxxxx                            Với 22 221 12 3 1 1 22 1 02 3 1xxxxxxxxxxx                     Với 22 223 32 3 3 14 3 02 3 3xxxxxxxxxxx                    

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S    1 2; 1 

Ví dụ 8: Giải phương trình sau 4 2x 1 2 x 1 x3

Lời giải

Điều kiện: x 1

Phương trình đã cho tương đương

Trang 24

Tất cả vì học sinh thân yêu Với  21 1 2 2 1 1 2 1 1 3 2 2 1 2 1 1 2 2 3 1 3 3x    x  x  x   x  x x   x  x   x 2  2 21 114 2 3 1 9 1 17 12 5 0xxxxxxxx            

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S 276 17;1

Ví dụ 9: Giải phương trình sau 1 1 1 2 24

xxx

    

Lời giải

Điều kiện:  1 x1

Phương trình đã cho tương đương

2224222222221 1 11 1 2 2 2 1 4 1 2 1 1 04 16 161 1 1 01 1 0 016 0xxxxxxxxxxxxxx                           

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S  0

Ví dụ 10: Giải phương trình sau 1x2x2  4x2  1 2x1

Lời giải

Điều kiện: 1

2

x 

Trang 25

Tất cả vì học sinh thân yêu  2  2  2 2 22224 1 2 4 1 1 2 1 2 2 1 1 4 1 1 2 1 1124 1 2 1 4 1 2 1 4 2 2 0 111;2xxxxxxxxxxxxxxx                                  

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S  1

Ví dụ 11: Giải phương trình sau 2x2 x72x 2x 1 4 x3

Lời giải

Điều kiện: 1

2

x 

Phương trình đã cho tương đương

  222222 2 2 1 3 4 3 4 0 2 1 2 2 1 1 3 4 3 4 02 1 1 0 2 1 12 1 1 3 2 0 13 43 2 0xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx                                      

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S  1

Ví dụ 12: Giải phương trình sau 2 

13 28 4 4 3 2 2 1x  x  x x  xLời giải Điều kiện: 12x 

Trang 26

Tất cả vì học sinh thân yêu   222224 7 4 4 3 2 1 2 2 1 1 0 4 7 4 3 2 1 1 04 3 2 0 3 24 3 2 2 1 1 0 12 1 12 1 1 0xxxxxxxxxxxxxxxxxxx                                          

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S  1

Ví dụ 13: Giải phương trình sau 2x1 3x22 2 x1 2x x2 9x4

Lời giải

Điều kiện: 3 22 x

Phương trình đã cho tương đương

 22221 3 2 2 1 3 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 01 3 2 2 3 2 1 2 1 2 2 2 1 01 3 2 1 0 3 2 11 3 2 1 2 1 2 1 0 12 12 1 2 1 0xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx                                                    

Trang 27

Tất cả vì học sinh thân yêu

TUYỂN CHỌN 2016

Bài 1: Giải phương trình: 2x 1 4x224x29 0  1

Bài giải: Điều kiện: 12x    Đặt 22 1, 0 2 1t x t  xt  Ta được phương trình: tt21212t21290t414t2 t 42 02231 292 3 7 021 292ttloaitttttloait            Với 2 32t xVới 1 29 13 292 4t  x 

 Vậy phương trình có nghiệm 3 13; 29

2 4

x   

 

 

Bài 2: Giải phương trình: 2 

Trang 28

Tất cả vì học sinh thân yêu  21 0 1( )4 6 1 2 1 2xxTMxxxx          Kết hợp (1) và (2) ta được 212 72 1 2 1 224 8 3 0xxxxxx          ( Thỏa mãn )

 Vậy phương trình có nghiệm 1;2 7 2

x   

 

 

Bài 3: Giải phương trình: 3 5x3 5x4 2x 7  1

Bài giải: Điều kiện: 5 54x  3 5 7 3 5x 4 0 x x   x  22 3 4 54 5x03 5 7 5 4          xxxxxxx2 1 34 5 03 5 7 5 4              xxxxxx25 4 0xx     ( Do   ) 1x

  ( Không thỏa mãn) hoặc x 4 ( Thỏa mãn )  Vậy phương trình có nghiêm x 4.

Bài 4: Giải phương trình: 3x28x 3 4x x 1  1

Bài giải:

Điều kiện: x  1  

2 2

2 1 2 1

Trang 29

Tất cả vì học sinh thân yêu 2216 3 0 3 2 32 1 11 5 2 132 1 1 33 99 10 3 0                       xxxxxxxxxxxx ( Thỏa mãn )

 Vậy phương trình có nghiệm 5 2 13;3 2 3 9

x   

 

 

Bài 5: Giải phương trình 8x2 10x11 14x1811  1

Bài giải: ĐK: 1110x    2  1  4 2x  x 1  10x11 2 x3  14x182x4  0222 2 2 1 2 2 14 2 1 010 11 2 3 14 18 2 4xxxxxxxxxx             2 1)2 1 0 12xxxx         (tmđk)   1 1) 2 010 11 2 3 14 18 2 4f xxxxx         Ta có: '  0 1110fx    x  f(x) đồng biến trên 11;10   Từ đó   11 010f x  f  

nên trường hợp này vô nghiệm

 Vậy phương trình có nghiệm 1;1 2

x  

Trang 30

Tất cả vì học sinh thân yêu

Bài 6: Giải phương trình: 63 x 1 2x x2 2x2 x 8  1

Bài giải:

Điều kiện: x  2  

Xét  2 x 1 63 x 1 2x x22 372x2  nên (1) khơng có nghiệm trên x 8

;1Xét x1, khi đó 23 4 2 10 46 1 2 2 2 1 1 12 2           x  xxxx xxxMà 22210 4 32 8 2 02 2      xx

xxx Do đó (3) xảy ra khi và chỉ khi x = 2  Vậy phương trình có nghiệm x 2.

Bài 7: Giải phương trình: 3x 1x2 6x6x 1

Trang 31

Tất cả vì học sinh thân yêu 1554xxx  

Đối chiếu điều kiện ta được

554xx 

 Vậy phương trình có nghiệm 5;5 4

x  

 

Bài 8 : Giải phương trình;  2  2

1 2 2 6 11 2x  x  x  x x x  1Bài giải: Điều kiện: x  2    2  321  x 6x12 x2 2x x 2x

Với x = 0 => phương trình vơ nghiệm

Trang 32

Tất cả vì học sinh thân u

 Vậy phương trình có nghiệm 9 377.8

x 

Bài 9: Giải phương trình: 2x 1 5 x 2x27x 7 0  1

Bài giải: Điều kiện: 1 52 x    +) Phương trình  2x   1 3 1 5 x 2x27x  4 0  2 8 4 ( 4)(2 1) 02 1 3 1 5xxxxxx         4 02 1(2 1) 02 1 3 1 5xxxx           Dễ thấy 2 1 (2 1) 02x 1 31 5 x x     nên x = 4

 Vậy phương trình có nghiệm x 4.

Bài 10: Giải phương trình: 4y22y 3 y 1 2y  1

Trang 33

Tất cả vì học sinh thân yêu Từ  1 y0 kết hợp điều kiện   1 134y   24y 2y 3 2y 1 y 1 1 0         22 2 201 14 2 3 2 1yyyyyy       2 2 2 1 01 14 2 3 2 1yyyyy             2y  ( vì 22 101 14y 2y 3 2y1 y   với  1 134y  )

 Vậy phương trình đã cho có nghiệm y 2.

Bài 11: Giải phương trình: 4x2  x 6 2x 1 5 x1  1

Bài giải:

Điều kiện: x  1  

Với điều kiện   thì :

Trang 34

Tất cả vì học sinh thân yêu Từ    1 , 2 212 72 1 2 1 224 8 3 0xxxxxx         ( Thỏa mãn )

 Vậy phương trình đã cho có nghiệm: 1;2 7 2

x   

 

 

Bài 12: Giải phương trình: 3 x 6 2 4x x 8

Bài giải: ĐK: 6 0 6 44 0xxx      (1) x 6 3 x6  2 2 4 x 02( 6) 9( 6) 4 4(4 )06 3 6 2 2 4xxxxxx          ( 3)( 6) 4( 3)06 3 6 2 2 4xxxxxx        6 4( 3) 06 3 6 2 2 4xxxxx          3x  (nhận) 6 4 0 [ 6; 4]6 3 6 2 2 4xDoxxxx           

 Vậy phương trình có nghiệm : x 3

Bài 13: Giải phương trình: 3 5 x 3 5x42x7

Trang 35

Tất cả vì học sinh thân yêu 2 1 34 5 03 5 7 5 4              ( x x )x ( x) x x  x25x 4 0 ( Do (*) ) 14xx   ( Thỏa mãn )  Vậy phương trình đã cho có nghiệm x  1; 4

Bài 14: Giải phương trình: x2 3x x3x24x1

Trang 36

Tất cả vì học sinh thân yêu

 Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x   1; 2 

Bài 15: Giải phương trình:

22 1 22 1 3 2 4 2 3 4 4 4 4 3 2 14x   x   x x  x  x xBài giải: ĐK: 1 32 x 2   Phương trình:  2222 2 1 2 12 1 3 2 2 1 3 22 2xxxxxx                (*) Xét hàm số f t t2 trên t 0; có f t 2t 1 0  t 0;nên hàm số f(t) đồng biến trên 0;

Do đó Phương trình   tương đương với:

Trang 37

Tất cả vì học sinh thân yêu Từ (1) 8a b 16 4 a b222a b 4a b22 22  22444 ab 2ab 16 8a ba b      (***) Đặt ab = t 0 t 2thì pt (***) trở thành 16 8 t16 8 t2t4 t t 2t22t4 00t

  ( Thỏa mãn )  t  2 ( Loại )  t  1 5 ( Loại )

Vậy t = 0 2 1 3 2 22 1 3 2 0xxxx       1232tt   

Chú ý: HS có thể giải theo cách khác như sau

Đặt a 2x 1 3 2 x Phương trình đã cho trở thành

 2  42 

2 2 4 8 8 8 0

a a a  a a  a  a 

Bài 16: Giải phương trình:  2  2 

3x 2 9x 3  4x2 1 xx 1 0

Bài giải:

Phương trình đã cho tương đương với:

Trang 38

Tất cả vì học sinh thân yêu

 Vậy phương trình đã cho có nghiệm: 1.5

x  

Bài 17: Giải phương trình: 2

1 (2 3) (2 2) 2     x xxxx Bài giải: TXĐ D = 1;Phương trình (x1) x 1 (x1) x 1 (2x3)3(2x3)22x3 (1) Xét hàm số f t( )t3t2 tf' t( )3t22t 1 f' t( )0,  t suy ra hàm số f(t) đồng biến trên 

Phương trình (1) có dạng f( x1) f(2x3) Từ hai điều trên phương trình (1)

2221 2 33 / 2 3 / 21 4 12 9 4 13 10 0              xxxxx =xxxxx

 Vậy phương trình đã cho có nghiệm x  2

Bài 18: Giải phương trình:  2  32

5x 5x10 x73  2x6 x22 x 2x 5x10

 1

Bài giải:

Điều kiện: x  2  

Với điều kiện   thì   5 2 5 10 2 6  2 

Trang 39

Tất cả vì học sinh thân yêu 225 5 10 2 62 5 07 3 2 2xxxxxxx              222 05 5 10 2 65 07 3 2 2xxxxxxx            ) x  2 0 x2 ( Thỏa mãn ) ) 22225 5 10 2 6 5 5 10 2 65 0 57 3 2 2 7 3 2 2xxxxxxxxxxxx                   225 5 10 2 6 5 5 10 2 65 27 3 2 2xxxxxxxx            2  1 1  1 15 5 10 2 6 05 27 3 2 2xxxxx                  

Với điều kiện   thì

1 1057 32 6 01 1022 2xxx         và 5x25x10 0  xR

 Phương trình vơ nghiệm

 Vậy phương trình đã cho có nghiệm x  2

Bài 19: Giải phương trình:

222 1 1 1 13 17 7 7yyyyyyyy                  1Bài giải: Điều kiện: y 7  

Trang 40

Tất cả vì học sinh thân yêu

Bài 20: Giải phương trình: x2 3x x3x24x1  1

Bài giải:

Điều kiện:   2 x 3  

Với điều kiện   thì:

 3222222 2 3 21 2 3 3 4 4 1 42 3 32 2 3 42 ( 2)2 3 3 2 3 22( 2)2 2 02 3 3 2 3 2xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx                                             )2(002323322222xvixxxxxxx12022xxxx ( Thỏa mãn )

 Vậy phương trình đã cho có nghiệm x   1; 2 

 1 22 2 21 1 7 13 1 7yyy yyyy         y4y35y233y360  2 1 3 5 12 0yyyy      13yy   ( Thỏa mãn )