Ứng dụng c ủa quan hệ thứ tự trong giải tích

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC: ỨNG DỤNG CỦA QUAN HỆ THỨ TỰ TRONG GIẢI TÍCH LUẬN VĂN THẠC SĨ Năm: BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC Chuyên ngành: : Mã số: : LUẬN VĂN THẠC SĨ Người hướng dẫn TS 1 PHẦN MỞ ĐẦU Mục tiêu đề tài Dựa vào kĩ thuật Poletsky để mở rộng nguyên lý cực tiểu cho lớp không gian lồi địa phương đầy theo dãy Phương pháp nghiên cứu Luận văn nghiên cứu dựa phương pháp: - Nghiên cứu tài liệu liên quan đến đề tài, bao gồm tài liệu kinh điển báo mới, tổng hợp trình bày báo cáo tổng quan - Tham khảo, trao đổi với cán hướng dẫn - Tham khảo số báo đăng tạp chí khoa học Ý nghĩa khoa học thực tế đề tài Đề tài có giá trị mặt lý thuyết Có thể sử dụng luận văn tài liệu tham khảo cho sinh viên ngành toán đối tượng quan tâm đến kiến thức hàm đa điều hòa 337 2 Độ giao hốn tương đối nhóm Ta bắt đầu định nghĩa độ giao hốn nhóm Định nghĩa Cho G nhóm H nhóm G Ký hiệu C = {(h, g) ∈ H × G | hg = gh} Độ giao hốn tương đối nhóm H G, ký hiệu Pr(H, G), định nghĩa sau Pr(H, G) = |C| |H||G| Từ Định nghĩa 33 ta thấy Pr(G, G) = Pr(G), Pr(G) độ giao hốn nhóm G định nghĩa Định nghĩa 11 Sau số ví dụ độ giao hốn tương đối số nhóm Ví dụ Xét nhóm nhị diện D3 cho phần tử sinh hệ thức xác định sau D3 = ⟨r, s | r3 = s2 = 1, s−1 rs = r−1 ⟩ Khi D3 = {1, r, r2 , s, rs, r2 s} phép nhân phần tử D3 cho bảng sau • 1 r r2 s rs r2 s r r2 s rs r2 s r r r2 r2 r2 r rs r2 s s r s s rs s s rs r2 s r r2 r2 s r2 s s rs r r2 r rs rs r2 s s r2 Bằng cách đếm trực tiếp theo Định nghĩa 33 ta có bảng sau Các nhóm H = {1} H = ⟨r⟩ H = ⟨s⟩ H = ⟨rs⟩ H = ⟨r2 s⟩ H = D3 |C| 12 8 18 Pr(H, D3 ) 3 3 Ví dụ Xét nhóm nhị diện D4 cho phần tử sinh hệ thức xác định sau D4 = ⟨r, s | r4 = s2 = 1, s−1 rs = r−1 ⟩ Khi D4 = {1, r, r2 , r3 , s, rs, r2 s, r3 s} phép nhân phần tử D4 cho bảng sau • 1 r r2 r3 s rs r2 s r3 s r r2 r3 s rs r2 s r3 s r r r2 r3 r2 r2 r3 r3 r3 1 r r2 s r3 s s rs r r2 rs r2 s r3 s s r s s rs r2 s s s rs r2 s r3 s rs rs r2 s r3 s s r3 r r2 r3 r r2 r2 s r2 s r3 s s rs r2 r3 r3 s r3 s s rs r2 s r r2 r3 r Bằng cách đếm trực tiếp theo Định nghĩa 33 ta có bảng sau Các nhóm H = {1} H = ⟨r⟩ H = ⟨r2 , s⟩ H = ⟨r2 , rs⟩ H = ⟨s⟩ |C| 24 24 24 12 Pr(H, D4 ) 4 4 Các nhóm H = ⟨rs⟩ H = ⟨r2 s⟩ H = ⟨r3 s⟩ H = ⟨r2 ⟩ H = D4 |C| 12 12 12 16 40 Pr(H, D4 ) 4 Ví dụ Xét nhóm quaternion Q8 cho phần tử sinh hệ thức xác định sau Q8 = ⟨r, s | r4 = 1, s2 = r2 , s−1 rs = r−1 ⟩ Khi Q8 = {1, r, r2 , r3 , s, rs, r2 s, r3 s} phép nhân phần tử Q8 cho bảng sau • 1 r r2 r3 s rs r2 s r3 s r r2 r3 s rs s2 s r3 s r r r2 r3 r2 r2 r3 r3 r3 1 r r2 s r3 s s rs r r2 rs r2 s r3 s s r s s rs r2 s s s rs r2 s r3 s r2 r3 rs rs r2 s r3 s s r r2 r3 r r2 s r2 s r3 s s rs r r2 r3 r3 s r3 s s rs r2 s r3 r r2 Bằng cách đếm trực tiếp theo Định nghĩa 33 ta có bảng sau Các nhóm H = {1} H = ⟨r⟩ H = ⟨r2 ⟩ H = ⟨s⟩ H = ⟨rs⟩ H = Q8 |C| 24 16 24 24 40 Pr(H, Q8 ) 4 Từ định nghĩa độ giao hoán tương đối ta có kết sau Mệnh đề Cho G nhóm H nhóm G Khi X X Pr(H, G) = |H||G| |CG (x)| = x∈H |H||G| |CH (y)| y∈G Chứng minh Ký hiệu C = {(x, y) ∈ H × G | xy = yx} Với x ∈ H số cặp phần tử (x, y) ∈ C |CG (x)| CG (x) tâm hóa x G Với y ∈ G số cặp phần tử (x, y) ∈ C |CH (y)| CH (y) tâm hóa y H Cho nên ta có X X |C| = |CG (x)| = x∈H |CH (y)| y∈G Từ suy công thức cần chứng minh Kết sau cho ta cơng thức tính độ giao hốn tương đối nhóm chuẩn tắc nhóm nhờ số lớp liên hợp Mệnh đề Cho G nhóm H nhóm chuẩn tắc G Khi Pr(H, G) = k |H| k số lớp liên hợp G nằm H Chứng minh Với x ∈ G bất kỳ, ký hiệu lớp liên hợp x G O(x) Khi ta có |O(x)| = |G : CG (x)| Gọi x1 , x2 , , xk phần tử đại diện lớp liên hợp G nằm H Vì H ◁ G với x ∈ H ta có O(x) ⊂ H Do đó, theo Mệnh đề 34, ta có k X X |CG (x)| = |O(xi )||CG (xi )| Pr(H, G) = |H||G| |H||G| = |H||G| x∈H k X i=1 i=1 k X k |G : CG (xi )||CG (xi )| = |G| = |H||G| |H| i=1 Vậy ta có điều phải chứng minh Ta cần bổ đề sau phép chứng minh kết so sánh độ giao hoán tương đối nhóm nhóm với độ giao hốn nhóm nhóm Bổ đề Cho H nhóm G Khi với phần tử x ∈ G |H : CH (x)| ⩽ |G : CG (x)| Hơn nữa, dấu đẳng thức xảy G = HCG (x) Chứng minh Lấy x ∈ G Khi đó, theo Mệnh đề 17, ta có |H||CG (x)| = |HCG (x)| ⩽ |G| |H ∩ CG (x)| Do |H| |G| ⩽ |H ∩ CG (x)| |CG (x)| Mà H ∩ CG (x) = {a ∈ H | a ∈ CG (x)} = CH (x), từ suy |H| |G| ⩽ |CG (x)| |CH (x)| Do đó, theo Định lý Lagrange ta có |H : CH (x)| ⩽ |G : CG (x)| Từ lập luận ta thấy dấu đẳng thức xảy G = HCG (x) Vậy ta có điều phải chứng minh Mệnh đề sau cho ta đánh giá độ giao hoán tương đối nhóm nhóm nhờ độ giao hốn nhóm nhóm Mệnh đề Cho H nhóm nhóm G Khi Pr(G) ⩽ Pr(H, G) ⩽ Pr(H) Chứng minh Theo Mệnh đề 34 ta có X Pr(H, G) = |H||G| |CG (x)| = x∈H X |CG (x)| |H| |G| x∈H Theo Bổ đề 14 ta có |CG (x)| |C (x)| ⩽ H với x ∈ H |G| |H| Từ suy Pr(H, G) ⩽ X |CH (x)| X = |CH (x)| = Pr(H) |H| |H| |H| x∈H x∈H Theo Mệnh đề 34 ta có Pr(H, G) = X X |CH (y)| |CH (y)| = |H||G| |G| |H| y∈G y∈G Theo Bổ đề 14 ta có |CH (y)| |C (y)| ⩾ G với y ∈ G |H| |G| Từ suy Pr(H, G) ⩾ X |CG (y)| X = |CG (y)| = Pr(G) |G| |G| |G| y∈G y∈G Vậy ta có điều phải chứng minh Mệnh đề sau cho ta điều kiện cần đủ để xảy đẳng thức Mệnh đề Cho H nhóm nhóm G Khi (i) Pr(H, G) = Pr(H) G = HCG (x) với x ∈ H (ii) Pr(H, G) = Pr(G) G = HCG (x) với x ∈ G Chứng minh (i) Từ phép chứng minh Mệnh đề 36 ta thấy Pr(H, G) = Pr(H) |CG (x)| |CH (x)| = với x ∈ H |H| |G| Theo Bổ đề 14, điều xảy G = HCG (x) với x ∈ H Vậy ta có điều phải chứng minh (ii) Lập luận hoàn toàn tương tự ta có điều phải chứng minh Từ Mệnh đề 37 ta có hệ sau Hệ Cho H nhóm nhóm G Nếu Pr(H, G) = Pr(G) Pr(H) = Pr(G) Mệnh đề sau cho ta điều kiện đủ để không xảy đẳng thức Mệnh đề 36 Mệnh đề Cho H nhóm nhóm G Nếu H khơng chuẩn tắc G Pr(G) < Pr(H, G) < Pr(H) Chứng minh Giả sử H không chuẩn tắc G Trước tiên ta chứng minh tồn x ∈ H cho G ̸= HCG (x) Thật vậy, giả sử trái lại G = HCG (x) với x ∈ H Lấy g ∈ G x ∈ H Khi g −1 ∈ G = HCG (x) Giả sử g −1 = với h ∈ H, a ∈ CG (x) Khi ta có g −1 xg = (ha)x(ha)−1 = haxa−1 h−1 = hxaa−1 h−1 = hxh−1 ∈ H Điều chứng tỏ H ◁ G, trái với giả thiết Vậy ta có điều phải chứng minh Do đó, theo Bổ đề 37 ta có Pr(H, G) ̸= Pr(H) Pr(H, G) ̸= Pr(G) Kết hợp điều với Mệnh đề 14 ta có bất đẳng thức cần chứng minh Nhóm giả nhị diện Mệnh đề Cho nhóm giả nhị diện n SD2n = ⟨r, s | r2 = s2 = 1, s−1 rs = r2 n−1 −1 ⟩ với n ⩾ 3, H nhóm SD2n Khi (i) Nếu H = Rk với k | 2n , ⩽ k ⩽ 2n ( Pr(H, SD2n ) = k = 2n , k + n k ̸= 2n 2 (ii) Nếu H = Tl với ⩽ l ⩽ 2n − l chẵn, ⩽ l ⩽ 2n−1 − l lẻ Pr(Tl , SD2n ) = 1 + n 2 (iii) Nếu H = Ui,j với i|2n , ⩽ i ⩽ 2n − 1, ⩽ j ⩽ i −  1   + n i = 2n−1 , 2 Pr(H, SD2n ) =   + i + i ̸= 2n−1 2n+1 Chứng minh (i) Giả sử H = Rk với k|2n , ⩽ k ⩽ 2n Ta xét hai trường hợp k 69 • 1 r r2 r3 s rs r2 s r3 s r r2 r3 s rs s2 s r3 s r r r2 r3 r2 r2 r3 r3 r3 1 r r2 s r3 s s rs r r2 rs r2 s r3 s s r s s rs r2 s s s rs r2 s r3 s r2 r3 rs rs r2 s r3 s s r r2 r3 r r2 s r2 s r3 s s rs r r2 r3 r3 s r3 s s rs r2 s r3 r r2 Bằng cách đếm trực tiếp theo Định nghĩa 33 ta có bảng sau Các nhóm H = {1} H = ⟨r⟩ H = ⟨r2 ⟩ H = ⟨s⟩ H = ⟨rs⟩ H = Q8 |C| 24 16 24 24 40 Pr(H, Q8 ) 4 Từ định nghĩa độ giao hốn tương đối ta có kết sau Mệnh đề 27 Cho G nhóm H nhóm G Khi X X Pr(H, G) = |H||G| |CG (x)| = x∈H |H||G| |CH (y)| y∈G Chứng minh Ký hiệu C = {(x, y) ∈ H × G | xy = yx} Với x ∈ H số cặp phần tử (x, y) ∈ C |CG (x)| CG (x) tâm hóa x G Với y ∈ G số cặp phần tử (x, y) ∈ C |CH (y)| CH (y) tâm hóa y H Cho nên ta có X X |C| = |CG (x)| = x∈H |CH (y)| y∈G Từ suy công thức cần chứng minh 70 Kết sau cho ta cơng thức tính độ giao hốn tương đối nhóm chuẩn tắc nhóm nhờ số lớp liên hợp Mệnh đề 28 Cho G nhóm H nhóm chuẩn tắc G Khi Pr(H, G) = k |H| k số lớp liên hợp G nằm H Chứng minh Với x ∈ G bất kỳ, ký hiệu lớp liên hợp x G O(x) Khi ta có |O(x)| = |G : CG (x)| Gọi x1 , x2 , , xk phần tử đại diện lớp liên hợp G nằm H Vì H ◁ G với x ∈ H ta có O(x) ⊂ H Do đó, theo Mệnh đề 34, ta có k X X |O(xi )||CG (xi )| Pr(H, G) = |CG (x)| = |H||G| |H||G| = |H||G| x∈H k X i=1 i=1 k X k |G : CG (xi )||CG (xi )| = |G| = |H||G| |H| i=1 Vậy ta có điều phải chứng minh Ta cần bổ đề sau phép chứng minh kết so sánh độ giao hốn tương đối nhóm nhóm với độ giao hốn nhóm nhóm Bổ đề 14 Cho H nhóm G Khi với phần tử x∈G |H : CH (x)| ⩽ |G : CG (x)| Hơn nữa, dấu đẳng thức xảy G = HCG (x) Chứng minh Lấy x ∈ G Khi đó, theo Mệnh đề 17, ta có |H||CG (x)| = |HCG (x)| ⩽ |G| |H ∩ CG (x)| 71 Do |H| |G| ⩽ |H ∩ CG (x)| |CG (x)| Mà H ∩ CG (x) = {a ∈ H | a ∈ CG (x)} = CH (x), từ suy |H| |G| ⩽ |CG (x)| |CH (x)| Do đó, theo Định lý Lagrange ta có |H : CH (x)| ⩽ |G : CG (x)| Từ lập luận ta thấy dấu đẳng thức xảy G = HCG (x) Vậy ta có điều phải chứng minh Mệnh đề sau cho ta đánh giá độ giao hoán tương đối nhóm nhóm nhờ độ giao hốn nhóm nhóm Mệnh đề 29 Cho H nhóm nhóm G Khi Pr(G) ⩽ Pr(H, G) ⩽ Pr(H) Chứng minh Theo Mệnh đề 34 ta có X Pr(H, G) = |H||G| |CG (x)| = x∈H X |CG (x)| |H| |G| x∈H Theo Bổ đề 14 ta có |CG (x)| |C (x)| ⩽ H với x ∈ H |G| |H| Từ suy Pr(H, G) ⩽ X |CH (x)| X = |CH (x)| = Pr(H) |H| |H| |H| x∈H x∈H 72 Theo Mệnh đề 34 ta có Pr(H, G) = X |CH (y)| X |CH (y)| = |H||G| |G| |H| y∈G y∈G Theo Bổ đề 14 ta có |CH (y)| |C (y)| ⩾ G với y ∈ G |H| |G| Từ suy Pr(H, G) ⩾ X |CG (y)| X |CG (y)| = Pr(G) = |G| |G| |G|2 y∈G y∈G Vậy ta có điều phải chứng minh Mệnh đề sau cho ta điều kiện cần đủ để xảy đẳng thức Mệnh đề 30 Cho H nhóm nhóm G Khi (i) Pr(H, G) = Pr(H) G = HCG (x) với x ∈ H (ii) Pr(H, G) = Pr(G) G = HCG (x) với x ∈ G Chứng minh (i) Từ phép chứng minh Mệnh đề 36 ta thấy Pr(H, G) = Pr(H) |CH (x)| |CG (x)| = với x ∈ H |H| |G| Theo Bổ đề 14, điều xảy G = HCG (x) với x ∈ H Vậy ta có điều phải chứng minh (ii) Lập luận hồn tồn tương tự ta có điều phải chứng minh Từ Mệnh đề 37 ta có hệ sau Hệ 39 Cho H nhóm nhóm G Nếu Pr(H, G) = Pr(G) Pr(H) = Pr(G) Mệnh đề sau cho ta điều kiện đủ để không xảy đẳng thức Mệnh đề 36 73 Mệnh đề 31 Cho H nhóm nhóm G Nếu H khơng chuẩn tắc G Pr(G) < Pr(H, G) < Pr(H) Chứng minh Giả sử H không chuẩn tắc G Trước tiên ta chứng minh tồn x ∈ H cho G ̸= HCG (x) Thật vậy, giả sử trái lại G = HCG (x) với x ∈ H Lấy g ∈ G x ∈ H Khi g −1 ∈ G = HCG (x) Giả sử g −1 = với h ∈ H, a ∈ CG (x) Khi ta có g −1 xg = (ha)x(ha)−1 = haxa−1 h−1 = hxaa−1 h−1 = hxh−1 ∈ H Điều chứng tỏ H ◁ G, trái với giả thiết Vậy ta có điều phải chứng minh Do đó, theo Bổ đề 37 ta có Pr(H, G) ̸= Pr(H) Pr(H, G) ̸= Pr(G) Kết hợp điều với Mệnh đề 14 ta có bất đẳng thức cần chứng minh 23 ĐỊNH LÝ LAGRANGE Định lý 32 (Định lý Lagrange) Giả sử hàm số f liên tục đoạn [a, b], khả vi khoảng (a, b) Khi tồn c ∈ (a, b) cho: f ′ (c) = f (b) − f (a) b−a Chứng minh Xét hàm số   f (b) − f (a) g(x) = f (x) − (x − a) + f (a) b−a Do hàm số f (x) x − a liên tục đoạn [a, b], khả vi khoảng (a, b) nên hàm số g(x) liên tục đoạn [a, b] khả vi khoảng (a, b) Mặt khác g(a) = g(b) = Theo định lý Rolle, tồn c ∈ (a, b) cho g ′ (c) = Nhưng ta có g ′ (x) = f ′ (x) − f (b) − f (a) b−a Suy f ′ (c) = f (b) − f (a) b−a 74 Ta có điều phải chứng minh Ý nghĩa hình học định lý Lagrange Cho C đường cong trơn với hai đầu mút A, B Khi C tồn điểm mà tiếp tuyến C điểm song song với AB Nhận xét Thơng qua cách chứng minh định lý Lagrange hệ định lý Rolle Tuy nhiên định lý Rolle lại trường hợp riêng định lý Lagrange giá trị hai đầu mút (tức f (a) = f (b)) Sau ta trình bày cơng thức Lagrange dạng khác Giả sử ξ ∈ (a, b) Đặt θ = ξ−a Khi đó: b−a ξ = a + θ(b − a) 0 h Do đó, theo định lý ?? (i), (ii), gh ∈ C∞ h > h |gh (x)| ≤ ∥g∥L∞ (Rn ) = 1, ∀x ∈ Rn , ∀h ∈ N (36) c Từ (∗) ta Z f gh dx = 0, ∀h ≤ h Ω Mặt khác, từ định lý 13 (iv) (??), ta giả sử, dãy tăng, gh → g hầu khắp nơi Rn Do đó, Z Z Z f gh dx → = 0= Ω |f |dx f g dx = Ω K Định lý 36 (Xấp xỉ theo hàm C∞ Lp ) Cho Ω ⊂ Rn tập p mở Khi C∞ c (Ω) trù mật L (Ω), ∥.∥Lp , biết ≤ p < ∞ Chứng minh Cho f ∈ Lp (Ω), định nghĩa fe : Rn → R ( f (x) x ∈ Ω fe(x) := x ∈ Rn \ Ω Chú ý fe ∈ Lp (Rn ) Cho (Ωh )h dãy tăng tập mở bị chặn cho Ω = ∪∞ h=1 Ωh , Ωh ⊂ Ωh ⊂ Ωh+1 , ∀h, định nghĩa gh (x) := χΩh (x)fe(x) fh,r (x) := (ϱr ∗ gh )(x) x ∈ Rn , h, r ∈ N Theo định lý 13 (iii) suy spt(fh,r ) ⊂ B(0, 1/r) + Ωh ⊂ Ω (37) Hơn nữa, cho h ∈ N, tồn rh = r(h) ∈ N cho rh ≥ h B(0, 1/rh ) + Ωh ⊂ Ω Định nghĩa fh (x) := (ϱrh ∗ gh )(x), x ∈ Rn , h ∈ N, (38)