ĐỀ ÔN LUYỆN THI HKII LỚP 11 SỐ 9 Câu 1 Cho hai dãy số ( )nu và ( )nv thỏa mãn lim 2nu = và lim 5nv = − Giá trị của ( )lim n nu v+ bằng A 7− B 7 C 10− D 3− Câu 2 Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau[.]
ĐỀ ÔN LUYỆN THI HKII LỚP 11 SỐ ( un ) ( ) thỏa mãn lim un = lim = −5 Giá trị lim ( un + ) Câu Cho hai dãy số C −10 Câu A −7 B Chọn mệnh đề mệnh đề sau: A lim un = + lim un = − B lim un = + lim un = + C Nếu lim un = lim lim un = D Nếu lim un = − a lim un = a Câu D −3 Cho hàm số y = f ( x) liên tục đoạn a; b Mệnh đề đúng? A Nếu f (a) f (b) phương trình f ( x) = khơng có nghiệm nằm ( a; b ) B Nếu f (a) f (b) phương trình f ( x) = có nghiệm nằm ( a; b ) C Nếu f (a) f (b) phương trình f ( x) = có nghiệm nằm ( a; b ) D Nếu phương trình f ( x) = có nghiệm nằm ( a; b ) f (a) f (b) Câu Cho hàm số f ( x ) = x Hàm số có đạo hàm f ( x ) bằng: A 2x Câu B x Cho hàm số f ( x ) xác định C D x f ( x ) = −2 x + 3x Hàm số có đạo hàm f ( x ) bằng: B −4 x + A −4x − x C x + D x − Câu Cho hàm số y = x3 − x + có đồ thị ( C ) Hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị ( C ) điểm có Câu hồnh độ −1 A B −1 C D Tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = x + 3x − điểm có hồnh độ –3 có phương trình là: B y = 30 x + 25 A y = x − 25 Câu Câu C y = x + 25 D y = 30 x − 25 Cho hình lập phương ABCD.A ' B ' C ' D ' Đường thẳng sau vng góc với đường thẳng BC ' ? A A ' D B AC C BB ' D AD ' 5x −1 lim có giá trị x →− − x A − B −5 C D 2 Câu 10 Tính lim x →1 x2 − 5x + x −1 A −3 Câu 11 Kết lim x →+ ( B ) C + D − C − D −7 x − x + − 3x A + B −1 Câu 12 Đạo hàm hàm số y = ( x + 2020 ) 100 là: A y = 100 ( x + 2020 ) B y = 200 ( x + 2020 ) C y = 200 x ( x + 2020 ) D y = 100 x ( x + 2020 ) 99 99 99 99 Câu 13 Cho hàm số y = x + 3x + ( P ) Phương trình phương trình tiếp tuyến ( P ) ? A y = x − B y = x + C y = x + D y = x + 15 Câu 14 Đạo hàm hàm số y = sin ( x + 1) 100 là: B y = 200cos ( x + 1) A y = 2cos ( x + 1) 99 C y = 200cos ( x + 1) 100 99 ( x + 1) 99 D y = 100cos ( x + 1) 100 ( x + 1) 99 Câu 15 Cho hàm số y = m sin x + sin ( mcos3 x ) Tìm m biết y ( ) = A B Câu 16 Cho hàm số y = C D 5− x có đồ thị ( C ) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C ) điểm có x +1 tung độ A y = x + 3 B y = − x + 3 C y = − x − 3 D y = x− 3 2x + ( C ) Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết biết tiếp tuyến song x −1 song với đường thẳng d : y = −4 x + Câu 17 Cho hàm số y = A y = −4 x − 2; y = −4 x + 14 B y = −4 x + 21; y = −4 x + 14 C y = −4 x + 2; y = −4 x + D y = −4 x + 12; y = −4 x + 14 Câu 18 Tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x3 − 3x − có hệ số góc k = −3 có phương trình A y = −3x + B y = −3 x − C y = −3x − D y = −3x + Câu 19 Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với đáy ( ABC ) H hình chiếu vng góc A lên BC Góc mặt bên ( SBC ) mặt đáy ( ABC ) A SAH B SBA C SHA D ASH Câu 20 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật SA ⊥ ( ABCD ) Mệnh đề sau sai? A BC ⊥ ( SAB ) B CD ⊥ ( SAD ) C BD ⊥ ( SAC ) D SA ⊥ BD Câu 21 Cho hình chóp S.ABCD có tất cạnh bên cạnh đáy ABCD hình vng Khẳng định sau : A SA ⊥ ( ABCD ) B AC ⊥ ( SBC ) D AC ⊥ ( SCD ) C AC ⊥ ( SBD ) 5n + 2021 + a + 4a = Tổng phần Câu 22 Gọi S tập hợp tham số nguyên a thỏa mãn lim 2020 − n tử S A B C −4 D ax + bx − 22 = 19 Mệnh đề sau ? x →2 x−2 B 3b + 4a = C a = − 2b D a − b = −1 Câu 23 Cho a, b số nguyên lim A 3a − 4b = Câu 24 Tính lim n A + ( 9n + − 27n3 + n ) B C − D 25 54 x2 − x x Câu 25 Tìm m để hàm số f ( x) = x − liên tục x = m − x = A m = B m = C m = −1 D m = 1− x − 1+ x x Câu 26 Tìm tất giá trị m để hàm số f ( x ) = m + − x 1+ x A m = −1 B m = C m = −2 x liên tục x = x D m = Câu 27 Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) , đáy ABCD hình thoi cạnh a Bˆ = 60 Biết SA = 2a Tính khoảng cách từ A đến SC 3a 5a 4a 2a B C D Câu 28 Cho hình chóp S.ABC SA , AB , BC vng góc với đơi Biết SA = 3a , A AB = a , BC = a Khoảng cách từ B đến SC A a B 2a C 2a D a Câu 29 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Đường thẳng SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA = a Gọi M trung điểm CD Khoảng cách từ D đến mặt phẳng ( SAB ) nhận giá trị sau đây? A a B a D 2a C a Câu 30 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cạnh a Gọi O giao điểm AC BD Tính khoảng cách từ O tới mp ( SCD ) a a a a B C D Câu 31 Cho hai tam giác ABC ABD cạnh a nằm hai mặt phẳng vuông góc với Khi khoảng cách hai đường thẳng AB CD A A a Câu 32 Cho B hàm x f x ' số f' x a y f x f' x C a có D liên tục, đạo f x x Đạo hàm hàm số y a hàm f x x0 thuộc khoảng sau đây, biết đạo hàm cấp hai x0 khác ? A 0;2 B 2; 2 D ; 2 C ( −1;0 ) Câu 33 Cho hàm số f ( x ) = x3 + mx + x + Gọi k hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số M có hồnh độ x = Tìm tập hợp tất giá trị thực tham số m để thỏa mãn k f ( −1) A m B m −2 C −2 m D m Câu 34 Biết qua điểm A (1;0 ) có hai tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x − 3x + tiếp tuyến có hệ số góc k1 , k2 Khi tích k1.k bằng: A Câu 35 Cho hàm số y = B C −3 D x−2 có đồ thị ( C ) Tìm tất giá trị tham số m để từ điểm A (1; m ) kẻ x +1 hai tiếp tuyến đến ( C ) A m − m − B m −2 C m − m − D m Câu 36 Cho hàm số y = x3 − x + có đồ thị ( C ) điểm A (1;5) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C ) biết tiếp tuyến qua điểm A A y = −5 x + 10 B y = x − C y = − x + D y = x + Câu 37 Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a BC = a Khi góc hai đường thẳng AB SC A 30 B 450 C 60 D 90 Câu 38 Cho hình lập phương ABCD.ABCD Tính góc AC ' BD A 90 B 30 C 60 D 45 Câu 39 Cho hai tam giác ACD BCD nằm hai mặt phẳng vuông góc AC = AD = BC = BD = a , CD = 2x Với giá trị x hai mặt phẳng ( ABC ) ( ABD ) vng góc a a a a B C D 2 Câu 40 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA ⊥ ( ABCD) , SA = 2a A Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SBD ) là: A 3a B 2a C a D 10a Câu 41 Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành, AD = 2a, AB = a , góc BCD 60 , SB vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) , SB = a Tính cos góc tạo SD mặt phẳng ( SAC ) A B C 15 D f ( x ) + f ( x ) + 19 − f ( x) − = Tính T = lim x →5 x →5 x −5 x − 17 x + 35 13 13 11 11 A T = B T = C T = D T = 18 18 36 36 f ( x) − = Tìm m để hàm số Câu 43 Cho hàm số f ( x ) liên tục thỏa mãn lim x →1 x −1 Câu 42 Cho f ( x ) đa thức thỏa mãn lim f ( x) − f ( x) − 15 x liên tục x = ? g ( x) = x −1 mx + x = A m = 24 B m = 25 C m = 26 D, m = 27 Câu 44 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vng cạnh a; SA = a; SA ⊥ ( ABCD ) Khoảng cách hai đường thẳng chéo SC ; BD bằng: A a B a C a D a Câu 45 Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC có AB = , AC = , AA = BAC = 120 Gọi M , N điểm cạnh BB , CC cho BM = 3BM ; CN = 2CN Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( ABN ) A 138 184 B 138 46 C 16 46 D 138 46 Biết tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x ) Câu 46 Cho hàm số y = f ( x ) , xác định, có đạo hàm y = g ( x ) = x f ( x − 1) điểm có hồnh độ x = vng góc với nhau.Tìm biểu thức đúng? B f ( x ) A f (1) Câu 47 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục C f ( x ) D f ( x ) , thỏa mãn f ( x2 ) + f (1 − x ) = x − Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x ) điểm có hồnh độ B y = − x + A y = x + C y = − x D y = −1 Câu 48 Cho hàm số y = f ( x ) = x + x + x + ( C ) Tồn hai tiếp tuyến ( C ) phân biệt có hệ số góc k , đồng thời đường thẳng qua tiếp điểm hai tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy tương ứng A B cho OA = 2017.OB Hỏi có giá trị k thỏa mãn yêu cầu toán? A C D Câu 49 Cho hàm số y = x − 3x + có đồ thị (C) Gọi A, B thuộc đồ thị (C) có hoành độ a, b cho B tiếp tuyến (C) A B song song với độ dài đoạn AB = Khi tích a b có giá trị bằng: A −2 B −3 C D Câu 50 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A , mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng ( ABC ) , gọi M điểm thuộc cạnh SC cho MC = 2MS Biết AB = 3, BC = 3 , tính khoảng cách hai đường thẳng AC BM A 21 B 21 C 21 D 21 1D 11C 21C 31A 41C Câu 2C 12C 22C 32A 42B 3B 13A 23A 33C 43A 4B 14C 24D 34B 44A 5B 15D 25B 35D 45A Lời giải 6D 16B 26C 36D 46C ( un ) ( ) [1D4-1.1-1] Cho hai dãy số 7C 17A 27C 37C 47D 8A 18B 28B 38A 48B 9B 19C 29B 39A 49B 10A 20C 30A 40B 50A thỏa mãn lim un = lim = −5 Giá trị lim ( un + ) A −7 C −10 B D −3 Lời giải Theo định lí giới hạn hữu hạn dãy số, ta có lim ( un + ) = lim un + lim = − = −3 Câu [1D4-1.1-1] Chọn mệnh đề mệnh đề sau: A lim un = + lim un = − B lim un = + lim un = + C Nếu lim un = lim lim un = D Nếu lim un = − a lim un = a Lời giải lim u = + Mệnh đề (A) sai thiếu trường hợp n Mệnh đề (B) sai thiếu trường hợp lim un = − Câu Mệnh đề (D) sai a [1D4-3.1-1] Cho hàm số y = f ( x) liên tục đoạn a; b Mệnh đề đúng? A Nếu f (a) f (b) phương trình f ( x) = khơng có nghiệm nằm ( a; b ) B Nếu f (a) f (b) phương trình f ( x) = có nghiệm nằm ( a; b ) C Nếu f (a) f (b) phương trình f ( x) = có nghiệm nằm ( a; b ) D Nếu phương trình f ( x) = có nghiệm nằm ( a; b ) f (a) f (b) Lời giải Câu Chọn B [1D5-2.1-1] Cho hàm số f ( x ) = x Hàm số có đạo hàm f ( x ) bằng: A 2x B x C x D x Lời giải Câu Chọn B [1D5-2.1-1] Cho hàm số f ( x ) xác định f ( x ) = −2 x + 3x Hàm số có đạo hàm f ( x ) bằng: A −4x − B −4 x + C x + D x − Lời giải Chọn B Sử dụng công thức đạo hàm: x = 1; ( k u ) = k u ; x n = n.x n−1 ; ( u + v ) = u + v ( ) f ( x ) = ( −2 x + 3x ) = −2 ( x ) + 3x ' = −4 x + Câu [1D5-2.2-1] Cho hàm số y = x3 − x + có đồ thị ( C ) Hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị ( C ) điểm có hoành độ −1 A B −1 C D Lời giải Ta có: y = 3x − x Hệ số góc tiếp tuyến với ( C ) điểm có hồnh độ −1 bằng: k = y ( −1) = Câu [1D5-2.2-1] Tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = x3 + 3x − điểm có hồnh độ –3 có phương trình là: A y = x − 25 B y = 30 x + 25 D y = 30 x − 25 C y = x + 25 Lời giải Chọn C Ta có y = 3x + x ; y ( −3) = ; y ( −3) = −2 Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = ( x + 3) − y = x + 25 Câu [1H3-2.1-1] Cho hình lập phương ABCD.A ' B ' C ' D ' Đường thẳng sau vng góc với đường thẳng BC ' ? A A ' D B AC C BB ' D AD ' Lời giải Chọn A A B C D B' C' A' D' Ta có ABCD.A ' B ' C ' D ' hình lập phương nên suy Câu AD ' ⊥ AB A ' D ⊥ ( ABC ' D ' ) AD ' ⊥ BC ' AD ' ⊥ A ' D 5x −1 [1D4-2.7-2] lim có giá trị x →− − x A − B −5 C 2 Lời giải 5x −1 x = − = −5 (Vì lim = 0; lim = ) = lim Ta có: lim x →− x x →− x x →− − x x →− −1 −1 x 5− D Câu 10 [1D4-2.3-2] Tính lim x →1 A −3 x2 − 5x + x −1 B C + D − Lời giải Ta có: lim x →1 ( x − 1)( x − ) = lim x − = −3 x2 − 5x + = lim ( ) x →1 x →1 x −1 x −1 Câu 11 [1D4-2.4-2] Kết lim x →+ A + ) ( x − x + − 3x C − B −1 D −7 Lời giải Chọn C Ta có : lim x →+ ( ) 3 x − x + − 3x = lim x − + − 3x = lim x − + − x→+ x →+ x x x x = − (vì lim x = + lim − + − = −1 ) x →+ x →+ x x Câu 12 [1D5-2.1-2] Đạo hàm hàm số y = ( x + 2020 ) 100 là: A y = 100 ( x + 2020 ) B y = 200 ( x + 2020 ) C y = 200 x ( x + 2020 ) D y = 100 x ( x + 2020 ) 99 99 99 99 Lời giải Chọn C Ta có: 100 99 99 y = ( x + 2020 ) = 100 ( x + 2020 ) ( x + 2020 ) = 200 x ( x + 2020 ) Câu 13 [1D5-2.2-2] Cho hàm số y = x + 3x + ( P ) Phương trình phương trình tiếp tuyến ( P ) ? A y = x − C y = x + B y = x + Lời giải Chọn A Với x số gia đối số x0 , ta có y = 2( x0 + x)2 + 3( x0 + x) + − ( x02 + 3x0 + 1) = 2x02 + 4x0x + 2x2 + 3x0 + 3x + − 2x02 − 3x0 − = x0 x + 2x2 + 3x; y x0 x + 2x + 3x = = x0 + 2x + 3; x x lim x →0 y = lim ( x0 + 2x + 3) = x0 + x x →0 D y = x + 15 Vậy y ( x0 ) = x0 + Dựa vào phương án đưa ta thấy có hệ số góc k = 7; y ( x0 ) = x0 + = x0 = 1; y0 = 2.12 + 3.1 + = 6; Phương trình tiếp tuyến ( P ) (1;6 ) là: y − = ( x − 1) hay y = x − Câu 14 [1D5-2.1-2] Đạo hàm hàm số y = sin ( x + 1) 100 B y = 200cos ( x + 1) A y = 2cos ( x + 1) 99 C y = 200cos ( x + 1) 100 là: 99 ( x + 1) 99 D y = 100cos ( x + 1) 100 ( x + 1) 99 Lời giải Chọn C Ta có: y = 200cos ( x + 1) 100 ( x + 1) 99 Câu 15 [1D5-2.1-2] Cho hàm số y = m sin x + sin ( mcos3 x ) Tìm m biết y ( ) = A B C D Lời giải Chọn D Ta có y = mcosx − 3mcos2 x.sin x.cos ( mcos3 x ) , y ( ) = −mcos ( ) − 3mcos2 ( ) sin ( ) cos ( mcos2 ( ) ) = m y ( ) = m = Câu 16 [1D5-2.2-2] Cho hàm số y = 5− x có đồ thị ( C ) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C ) x +1 điểm có tung độ 2 7 A y = x + B y = − x + 3 3 C y = − x − 3 D y = x− 3 Lời giải Chọn B Ta có y0 = = y = − x0 x0 = x0 + ( − x ) ( x + 1) − ( − x )( x + 1) = −6 y x = y = −2 ( 0) ( ) 2 ( x + 1) ( x + 1) Vậy phương trình tiếp tuyến là: y = y ( x0 ) ( x − x0 ) + y0 = − 2 ( x − 2) + y = − x + 3 2x + ( C ) Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết biết tiếp x −1 tuyến song song với đường thẳng d : y = −4 x + Câu 17 [1D5-2.3-2] Cho hàm số y = A y = −4 x − 2; y = −4 x + 14 B y = −4 x + 21; y = −4 x + 14 C y = −4 x + 2; y = −4 x + D y = −4 x + 12; y = −4 x + 14 Lời giải Chọn A Tập xác định: D = y = \ 1 −4 ( x − 1) Gọi M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm y ( x0 ) = −4 −4 = x0 = ( x0 − 1) x0 = −4 Phương trình tiếp tuyến M ( 0; − ) : y = −4 ( x − ) − y = −4 x − Phương trình tiếp tuyến M ( 2;6 ) : y = −4 ( x − ) + y = −4 x + 14 Câu 18 [1D5-2.3-2] Tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x3 − 3x − có hệ số góc k = −3 có phương trình A y = −3x + C y = −3x − B y = −3 x − D y = −3x + Lời giải Chọn B Đạo hàm y = 3x − x Theo đề ta có phương trình 3x − x = −3 x − x + = x = y = −4 Phương trình tiếp tuyến: y = −3 ( x − 1) − y = −3x − Câu 19 [1H3-4.3-2] Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với đáy ( ABC ) H hình chiếu vng góc A lên BC Góc mặt bên ( SBC ) mặt đáy ( ABC ) A SAH C SHA B SBA D ASH Lời giải Chọn C S C A H B Ta có BC = ( SBC ) ( ABC ) BC ⊥ SA BC ⊥ ( SAH ) BC ⊥ SH Vì BC ⊥ AH Vậy góc hai mặt phẳng ( SBC ) ( ABC ) góc SHA Câu 20 [1H3-3.2-2] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật SA ⊥ ( ABCD ) Mệnh đề sau sai? A BC ⊥ ( SAB ) B CD ⊥ ( SAD ) C BD ⊥ ( SAC ) Lời giải D SA ⊥ BD Chọn B x2 − x Ta có lim f ( x) = lim = lim x = x →1 x →1 x − x →1 Và f (1) = m − Hàm số liên tục x = m −1 = m = 1− x − 1+ x x x Câu 26 [1D4-3.5-3] Tìm tất giá trị m để hàm số f ( x ) = liên m + − x x 1+ x tục x = A m = −1 B m = C m = −2 D m = Lời giải Chọn C Ta có 1− x lim+ f ( x ) = lim+ m + = m +1 x →0 x →0 1+ x 1− x − 1+ x lim− f ( x ) = lim− = xlim − x →0 x →0 x →0 x −2 x ( 1− x + 1+ x ) = lim− x →0 ( −2 1− x + 1+ x ) = −1 f ( 0) = m + Để hàm liên tục x = lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = f ( ) m +1 = −1 m = −2 x →0 x →0 Câu 27 [1H3-5.2-3] Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) , đáy ABCD hình thoi cạnh a Bˆ = 60 Biết SA = 2a Tính khoảng cách từ A đến SC A 3a B 4a C 2a Lời giải Chọn C Kẻ AH ⊥ SC , d ( A; SC ) = AH ABCD hình thoi cạnh a Bˆ = 60 ABC nên AC = a Trong tam giác vng SAC ta có: D 5a 1 = 2+ AH SA AC 2 5a SA2 + AC 4a + a Câu 28 [1H3-5.2-3] Cho hình chóp S.ABC SA , AB , BC vng góc với đơi AH = SA AC = 2a.a = Biết SA = 3a , AB = a , BC = a Khoảng cách từ B đến SC A a B 2a C 2a D a Lời giải Chọn B Vì SA , AB , BC vng góc với đơi nên CB ⊥ SB Kẻ BH ⊥ SC , d ( B; SC ) = BH Ta có: SB = SA2 + AB = 9a + 3a = 3a Trong tam giác vuông SBC ta có: 1 SB.BC = 2+ BH = = 2a 2 BH SB BC SB + BC Câu 29 [1H3-5.3-3] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Đường thẳng SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA = a Gọi M trung điểm CD Khoảng cách từ D đến mặt phẳng ( SAB ) nhận giá trị sau đây? A a B a C a Lời giải Chọn A D 2a AD ⊥ AB AD ⊥ ( SAB ) AD ⊥ SA Mặt khác ( ) Do d D, ( SAB ) = AD = a Câu 30 [1H3-5.3-3] Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cạnh a Gọi O giao điểm AC BD Tính khoảng cách từ O tới mp ( SCD ) A a B a C a D a Lời giải Chọn A Tính khoảng cách từ O tới mp ( SCD ) : Gọi M trung điểm CD Theo giả thiết SO ⊥ ( ABCD ) CD CD ⊥ SO ( SOM ) CD ⊥ OM ( SOM ) CD ⊥ ( SOM ) mà CD ( SCD ) ( SCD ) ⊥ ( SOM ) OM SO = O Gọi H hình chiếu vng góc O lên SM OH ⊥ SM = ( SCD ) ( SOM ) , suy OH ⊥ ( SCD ) nên d ( O, ( SCD ) ) = OH a 2 a Ta có SO = SC − OC = a − = Trong SOM vng O , ta có: 1 1 a a = + = + = OH = d ( O, ( SCD ) ) = OH = 2 2 OH OM OS a 6 a a 2 2 2 Câu 31 [1H3-5.4-3] Cho hai tam giác ABC ABD cạnh a nằm hai mặt phẳng vng góc với Khi khoảng cách hai đường thẳng AB CD A a B a C Lời giải Chọn A a D a Gọi I , J trung điểm AB, CD ( ABC ) ⊥ ( ABD ) hai tam giác ABC ABD nên AB ⊥ ( CDI ) CI = DI suy IJ đoạn vng góc chung hai đường thẳng AB, CD Vì tam giác CDI vng I J trung điểm CD a 3 2 CD 2CI a = = = Nên IJ = 2 f x Câu 32 [1D5-2.1-3] Cho hàm số y liên x f x ' f' x 2 f' x tục, có đạo hàm x Đạo hàm hàm số y f x f x x0 thuộc khoảng sau đây, biết đạo hàm cấp hai x0 khác ? B 2; 2 A 0;2 C ( −1;0 ) Lời giải Chọn A Ta có: x f x ' f x x f ' x f' x f' x x f ' x 2 f' x f' x f' x x 2 f' x f' x f' x x x 2 f' x f' x f x x x 2x f x 2x D ; 2 * Vì đạo hàm cấp hai hàm số y 2 Vậy f '' f x khác nên f ' x x Câu 33 [1D5-2.2-3] Cho hàm số f ( x ) = x3 + mx + x + Gọi k hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số M có hồnh độ x = Tìm tập hợp tất giá trị thực tham số m để thỏa mãn k f ( −1) B m −2 A m C −2 m D m Lời giải Chọn C Ta có: f ( x ) = 3x + 2mx + k = f (1) = + 2m k f ( −1) = ( + 2m )( m − 1) Khi đó: k f ( −1) ( + 2m )( m − 1) −2 m Câu 34 [1D5-2.4-3] Biết qua điểm A (1;0 ) có hai tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x3 − 3x + tiếp tuyến có hệ số góc k1 , k2 Khi tích k1.k bằng: B A C −3 D Lời giải Chọn B Ta có y ' = 3x − Gọi x0 hồnh độ tiếp điểm Phương trình tiếp tuyến đồ thị điểm có hồnh độ x0 có dạng: y = ( 3x02 − 3) ( x − x0 ) + x03 − 3x0 + Tiếp tuyến qua A (1;0 ) ( 3x02 − 3) (1 − x0 ) + x03 − 3x0 + = −2 x03 + 3x02 −1 = x0 = x0 = − Với x0 = phương trình tiếp tuyến đường thẳng y = , có hệ số góc k1 = Với x0 = − 9 phương trình tiếp tuyến đường thẳng y = − x + có hệ số góc k = − 4 Vậy k1.k2 = x−2 có đồ thị ( C ) Tìm tất giá trị tham số m để từ điểm x +1 A (1; m ) kẻ hai tiếp tuyến đến ( C ) Câu 35 [1D5-2.4-3] Cho hàm số y = m − B m −2 A m − C m − m − D m Lời giải Chọn D TXĐ: D = −1 , y = ( x + 1) Đường thẳng d qua A có dạng y = k ( x − 1) + m x−2 x + = k ( x − 1) + m có nghiệm d tiếp tuyến ( C ) hệ k = ( x + 1) Từ hệ suy ra: x−2 = ( x − 1) + m x + ( x + 1)2 ( x − )( x + 1) = ( x − 1) + m ( x + 1) x − x − = 3x − + mx + 2mx + m (1 − m ) x − ( + m ) x + − m = (1) Đặt f ( x ) = (1 − m ) x − ( + m ) x + − m Từ A kẻ hai tiếp tuyến đến ( C ) phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác −1 m 1 − m m 2 m − ( + m ) − (1 − m ) 6 m + f −1 6 m ( ) Câu 36 [1D5-2.4-3] Cho hàm số y = x3 − x + có đồ thị ( C ) điểm A (1;5) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C ) biết tiếp tuyến qua điểm A A y = −5 x + 10 B y = x − C y = − x + D y = x + Lời giải Chọn D Gọi M ( x0 ; y0 ) ( C ) tiếp điểm, với y0 = x03 − x0 + Ta có y = 3x − ; y ( x0 ) = 3x02 − Phương trình tiếp tuyến điểm M y = ( 3x02 − ) ( x − x0 ) + x03 − x0 + (1) Vì tiếp tuyến qua điểm A nên thay tọa độ điểm A vào phương trình (1) ta = ( 3x02 − ) (1 − x0 ) + x03 − x0 + x03 − x02 + = x0 = −1 Với x0 = −1 y0 = 3, y ' ( −1) = Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm y = x + Câu 37 [1H3-2.3-3] Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a BC = a Khi góc hai đường thẳng AB SC A 30 D 90 C 60 B 450 Lời giải Chọn C S B ( C A ) Ta có: AB.SC = AB SA + AC = AB.SA + AB AC = − AB AS + AB AC =− AB + SA2 − SB AB + AC − BC a2 + =− 2 a2 AB.SC = = ( AB, SC ) = 600 Mà cos ( AB, SC ) = cos AB, SC = AB.SC a.a ( ) Câu 38 [1H3-2.3-3] Cho hình lập phương ABCD.ABCD Tính góc AC ' BD A 90 B 30 C 60 D 45 Lời giải Chọn A C B A D C' B' D' A' Vì ABCD hình vng nên BD ⊥ AC Mặt khác AA ⊥ ( ABCD ) BD ⊥ AA BD ⊥ AC BD ⊥ ( ACC ' A ') BD ⊥ AC ' Ta có BD ⊥ AA ' Do góc AC ' BD 90 Câu 39 [1H3-3.2-3] Cho hai tam giác ACD BCD nằm hai mặt phẳng vng góc AC = AD = BC = BD = a , CD = 2x Với giá trị x hai mặt phẳng ( ABC ) ( ABD ) vng góc A a B a C a D a Lời giải Chọn A A M C D B Gọi M trung điểm AB suy CM ⊥ AB , DM ⊥ AB AB ⊥ ( CDM ) ( CMD ) ( ABC ) = CM Mà CMD ABD = DM ( ) ( ) (( ABC ) ; ( ABD )) = (CM ; DM ) = CMD = 90 a 3 Câu 40 [1H3-5.3-3] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA ⊥ ( ABCD) , Suy CMD vuông cân M Suy CD = CM 2x = x + a x = SA = 2a Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SBD ) là: A 3a B 2a C a D 10a Lời giải Chọn B S A K D O B C Gọi O = AC BD Kẻ AK ⊥ SO (K SO) (1) Ta có: SA ⊥ ( ABCD) SA ⊥ BD (*) AC ⊥ BD (gt) (**) Từ (*) (**) suy ra: BD ⊥ ( SAC ) BC ⊥ AK (2) Từ (1) (2) ta có: AK ⊥ ( SBD) hay d ( A, ( SBD)) = AK + Xét tam giác SAO vng A , có: Vậy: d ( A, ( SBD )) = 2a 1 2a = + = AK = 2 AK AO SA 4a Câu 41 [1H3-3.3-3] Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành, AD = 2a, AB = a , góc BCD 60 , SB vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) , SB = a Tính cos góc tạo SD mặt phẳng ( SAC ) A B C 15 D Lời giải Chọn C ( ) Gọi SD, ( SAC ) = Ta có: BD = BC + CD2 − 2BC.CD.cos 600 = a SD = SB + BD2 = a AC = AB + BC − AB.BC.cos1200 = a d ( D, ( SAC ) ) = d ( B, ( SAC ) ) Gọi H , K hình chiếu vng góc B lên AC , SH AC ⊥ ( SBH ) BK ⊥ ( SAC ) d ( B, ( SAC ) ) = BK Ta có: BH AC = BA.BC.sin1200 BH = ) ( sin SD, ( SAC ) = Câu 42 [1D4-2.3-4] BK 15 = cos = SD 4 Cho f ( x) đa thức thỏa mãn lim x →5 f ( x) − = x −5 f ( x ) + f ( x ) + 19 − T = lim x − 17 x + 35 x →5 A T = a 21 a BK = 11 36 B T = 11 18 C T = 13 36 Lời giải Chọn B Ta có: lim x →5 f ( x) − = Do f ( 5) − = f ( 5) = x −5 D T = 13 18 Tính f ( x ) + f ( x ) + 19 − T = lim x − 17 x + 35 x →5 ( ) ( f ( x ) + f ( x ) + 19 − 3 f ( x ) + − = lim + x →5 x − 5)( x − ) ( ( x − 5)( x − ) ) f ( x ) + ( f ( x ) + 19 − 27 ) 3( f ( x ) + − 9) = lim + x →5 ( x − )( x − ) ( f ( x ) + 19 )2 + 3 f ( x ) + 19 + ( x − )( x − ) f ( x ) + 19 + ( ( f ( x ) − 8) ( f ( x ) − 8) f ( x ) + ( x − 5) ( x − 5) = lim + x →5 3 ( x − ) ( f ( x ) + 19 ) + 3 f ( x ) + 19 + ( x − ) f ( x ) + 19 + ( = ) ) 11 3.3 3.3 = + ( + + ) ( + 3) 18 Câu 43 [1D4-3.3-4] Cho hàm số f ( x ) liên tục thỏa mãn lim x →1 f ( x) − = Tìm m để hàm số x −1 f ( x) − f ( x) − 15 x liên tục x = ? g ( x) = x −1 mx + x = A m = 24 B m = 25 C m = 26 D, m = 27 Lời giải Chọn A Vì lim x →1 f ( x) − = lim[ f ( x) − 5] = lim f ( x) = x →1 x →1 x −1 Ta có: +) g (1) = m + 2 f ( x) − f ( x) − 15 [2 f ( x) + 3][ f ( x) − 5] +) lim g ( x ) = lim = lim x →1 x →1 x → x −1 x −1 = lim x →1 f ( x) − lim[2 f ( x) + 3] = 2(2.5 + 3) = 26 x − x →1 Hàm số g ( x ) liên tục x = khi: lim g ( x ) = g (1) x →1 m + = 26 m = 24 Câu 44 [1H3-5.4-4] Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vng cạnh a; SA = a; SA ⊥ ( ABCD ) Khoảng cách hai đường thẳng chéo SC ; BD bằng: A a B a C a Lời giải Chọn A D a Dựng Cx BD , ( ) = ( SC , Cx ) BD ( ) d ( BD, SC ) = d ( BD, ( ) ) d ( BD, ( ) ) = d ( O, ( ) ) = d ( A, ( ) ) Dựng AK ⊥ SC Dễ thấy AK ⊥ ( ) d ( A; ( ) ) = AK 1 a = + AK = 2 AK SA AC Vậy d ( O; ( ) ) = a 6 Câu 45 [1H3-5.3-4] Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC có AB = , AC = , AA = BAC = 120 Gọi M , N điểm cạnh BB , CC cho BM = 3BM ; CN = 2CN Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( ABN ) A 138 184 B 138 46 16 46 C D 138 46 Lời giải Chọn A A' E C' B' H N M A C B Ta có BC = AB + AC − AB AC cos BAC = 12 + 22 − 2.1.2.cos120 = Suy BC = 2 AB + BC − AC 12 + − 22 Ta có cos ABC = , suy cos ABC ' = = = AB.BC 2.1 7 Gọi D = BN BC , suy DC C N 3 = = , nên DB = BC = 2 DB BB Từ đó, ta có 3 43 AD = AB + BD − AB.BD.cos ABD = + − 2.1 = Hay AD = 2 43 Kẻ BE ⊥ AD BH ⊥ BE , suy BH ⊥ ( ABN ) , d ( B; ( ABN ) ) = BH sin ABC ' = 7 Từ cos ABC ' = 1 3 = Do S ABD = AB.BD.sin ABD = 2 2S BE = ABD = AD 3 =3 43 43 1 27 1 46 = + BH = = + = 2 2 BH BE BB 27 46 3 3 43 Từ BM = 3BM suy 3 27 138 d ( M ; ( ABN ) ) = d ( B; ( ABN ) ) = BH = = 4 46 184 Câu 46 [1D5-2.3-4] Cho hàm số y = f ( x ) , xác định, có đạo hàm Biết tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x ) y = g ( x ) = x f ( x − 1) điểm có hồnh độ x = vng góc với nhau.Tìm biểu thức đúng? A f (1) B f ( x ) C f ( x ) D f ( x ) Lời giải Chọn C Có phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x ) điểm có hồnh độ x = là: y = f (1)( x − 1) + f (1) có phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = g ( x ) = x f ( x − 1) điểm có hồnh độ x = là: y = f (1) + f (1) ( x − 1) + f (1) ( Do y ' = g ' ( x ) = f ( x − 1) + xf ' ( x − 1) y ' (1) = g ' (1) = f (1) + f ' (1) ) Theo giả thiết có hai tiếp tuyến vng góc nên tích hệ số góc −1 là, tức f (1) f (1) + f (1) = −1 f (1) + f (1) f (1) + = f (1) − = f (1) + f (1) 2 f (1) − f (1) 8 Câu 47 [1D5-2.3-4] Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục , thỏa mãn f ( x2 ) + f (1 − x ) = x − Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x ) điểm có hồnh độ A y = x + B y = − x + C y = − x D y = −1 Lời giải Chọn D Từ f ( x2 ) + f (1 − x ) = x − (*), cho x = x = ta có hệ phương trình f (1) + f ( ) = −1 f (1) = −1 f + f = − ( ) ( ) Lấy đạo hàm hai vế (*) ta xf ( x ) − f (1 − x ) = x3 , cho x = ta −2 f (1) = f (1) = Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x ) điểm x = y = f (1)( x − 1) + f (1) y = ( x − 1) − y = −1 Câu 48 [1D5-2.5-4] Cho hàm số y = f ( x ) = x3 + x + x + ( C ) Tồn hai tiếp tuyến ( C ) phân biệt có hệ số góc k , đồng thời đường thẳng qua tiếp điểm hai tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy tương ứng A B cho OA = 2017.OB Hỏi có giá trị k thỏa mãn yêu cầu toán? A B C D Lời giải Chọn B Gọi M1 ( x1; f ( x1 ) ) , M ( x2 ; f ( x2 ) ) hai tiếp điểm mà tiếp tuyến ( C ) có hệ số góc k Ta có y = 3x + 12 x + Khi k = 3x12 + 12x1 + = 3x22 + 12x2 + ( x1 − x2 )( x1 + x2 + ) = x1 − x2 = ( loaïi x1 x2 ) (1) x + x = − = S Hệ số góc đường thẳng M 1M k = f ( x2 ) − f ( x1 ) OB = = OA 2017 x2 − x1 2016 x1 x2 = =P 2017 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 + ( x1 + x2 ) + ( 2) 2017 x x = 2018 = P 2017 x1 + x2 = −4 = S Với , S P nên tồn hai cặp x1 , x2 tồn giá trị k 2016 x1 x2 = =P 2017 x1 + x2 = −4 = S Với , S P nên tồn hai cặp x1 , x2 tồn giá trị k 2018 x1 x2 = =P 2017 Vậy có giá trị k thỏa mãn yêu cầu toán Câu 49 [1D5-2.5-4] Cho hàm số y = x3 − 3x + có đồ thị (C) Gọi A, B thuộc đồ thị (C) có hồnh độ a, b cho tiếp tuyến (C) A B song song với độ dài đoạn AB = Khi tích a b có giá trị bằng: A −2 B −3 C D Lời giải Chọn B Giả sử A(a; a3 − 3a + 1), B(b; b3 − 3b + 1) thuộc (C), với a b Vì tiếp tuyến (C) A B song song với nên: y (a ) = y (b) 3a − 6a = 3b − 6b a − b − 2(a − b) = (a − b)(a + b − 2) = a + b − = b = − a Vì a b nên a − a a Ta có: AB = (b − a)2 + (b3 − 3b2 + − a3 + 3a − 1)2 = (b − a)2 + (b3 − a3 − 3(b2 − a ))2 = (b − a) + (b − a)3 + 3ab(b − a) − 3(b − a)(b + a) = (b − a ) + (b − a ) (b − a ) + 3ab − 3.2 2 = (b − a) + (b − a) (b + a) − ab − = (b − a)2 + (b − a)2 (−2 − ab)2 AB = (b − a)2 1 + (−2 − ab) = (2 − 2a) 1 + (a − 2a − 2) = 4(a − 1) 1 + ( a − 1) − 3 = 4( a − 1) ( a − 1) − 6( a − 1) + 10 = 4(a − 1)6 − 24(a − 1) + 40(a − 1) Mà AB = nên 4(a − 1)6 − 24(a − 1)4 + 40(a − 1)2 = 32 (a − 1)6 − 6(a − 1) + 10(a − 1) − = (*) Đặt t = (a − 1)2 , t Khi (*) trở thành: t − 6t + 10t − = (t − 4)(t − 2t + 2) = t = a = b = −1 (a − 1) = a = −1 b = Vậy a b = −3 Câu 50 [1H3-5.4-4] Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A , mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng ( ABC ) , gọi M điểm thuộc cạnh SC cho MC = 2MS Biết AB = 3, BC = 3 , tính khoảng cách hai đường thẳng AC BM A 21 B 21 C Lời giải Chọn A Từ M kẻ đường thẳng song song với AC cắt SA 21 D 21 N AC / / MN AC / / ( BMN ) AC ⊥ AB, AC ⊥ SH AC ⊥ ( SAB ) AC / / MN MN ⊥ ( SAB ) MN ⊥ ( SAB ) ( BMN ) ⊥ ( SAB ) theo giao tuyến BN Ta có: AC / / ( BMN ) d ( AC , BM ) = d ( AC , ( BMN ) ) = d ( A, ( BMN ) ) = AK (với K hình chiếu A lên BN ) NA MC 2 32 3 = = S ABN = S SAB = = (đvdt) AN = SA = SA SC 3 BN = AN + AB − AN AB.cos 600 = AK = Vậy d ( AC , BM ) = 21 (đvđd) S ABN = BN 3 = 21 7