ĐỀ ÔN LUYỆN THI HKII LỚP 11 SỐ 2 I TRẮC NGHIỆM Câu 1 Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn ( )nu được cho bởi công thức A ( ) ( )1 1 1 1 n u q S q q − = − B ( ) 1 1 1 nq S q u − = C ( ) 1 1 1 q S q u −[.]
ĐỀ ÔN LUYỆN THI HKII LỚP 11 SỐ I TRẮC NGHIỆM Câu Tổng cấp số nhân lùi vô hạn ( un ) cho công thức Câu A S = u1 (1 − q ) ( q 1) − qn B S = − qn ( q 1) u1 C S = 1− q ( q 1) u1 D S = u1 ( q 1) 1− q Trong khẳng định sau, khẳng định sai ? A Nếu lim un = L với n lim un = L B Nếu lim un = a lim = lim un =0 C Nếu lim un = + lim = a lim un = + D Nếu lim un = a , lim = với n lim Câu Điều kiện cần đủ để lim f ( x) = L là: x → x0 A lim+ f ( x) = lim− f ( x) = L B lim+ f ( x) = L C lim− f ( x) = L D lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) x → x0 x → x0 x → x0 x → x0 x → x0 Câu un = + x → x0 Biết lim f ( x ) = L lim f ( x ) = + Tính giới hạn lim f ( x ) g ( x ) x → x0 x → x0 x → x0 C − B + A L D − L x −1 Tìm khẳng định khẳng định sau x +1 A Hàm số liên tục ( −3;1) B Hàm số liên tục R Câu Cho hàm số f ( x) = Câu C Hàm số gián đoạn x = x +1 Giá trị lim− x→2 x − x A + B − D Hàm số gián đoạn x = −1 C D x −1 x Hàm số f ( x ) = x − liên tục điểm x0 = a bằng? a x = A B C D −1 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm x0 f ( x0 ) Khẳng định sau đúng? Câu Câu A f ( x0 ) = lim x →0 C f ( x0 ) = lim x → x0 Câu f ( x0 ) − f ( x − x0 ) x − x0 f ( x + x0 ) − f ( x0 ) x0 − x B f ( x0 ) = lim D f ( x0 ) = lim h →0 f ( x + h ) − f ( x0 ) h f ( x0 + h ) − f ( x0 ) h →0 x0 − h gt , g = 9,8 m / s gia tốc trọng trường Tìm vận tốc tức thời vật thời điểm t0 = 5s ? Một vật rơi tự theo phương trình S ( t ) = A 47 ( m / s ) B 46 ( m / s ) C 49 ( m / s ) Câu 10 Cho hàm số y = x n−1 , n , n , Đạo hàm hàm số là: A y = nx n −1 B y = ( n − 1) x n D 48 ( m / s ) D y = ( n − 1) x n−2 C y = nx n − Câu 11 Đạo hàm hàm số y = x : A y = B y = x , x0 C y = x Câu 12 Đạo hàm hàm số y = A y = , x0 x , x 0 D y = x 2020 2021 x : 2021 2020 2020 x 2021 B y = 2020 x 2020 D y = 2020.x 2021 C y = 2021x 2020 Câu 13 Cho hàm số f ( x) = x3 + x Tính f '( x) A f '( x) = 3x + B f '( x) = 3x C f '( x) = x + D f '( x) = 3x + x 2x +1 x −1 B y ' = − x −1 Câu 14 Tính đạo hàm hàm số y = A y ' = ( x − 1) C y ' = x −1 D y ' = − ( x − 1) Câu 15 Đạo hàm hàm số y = x4 + x x A y = x3 + B y = x + x x C y = x3 − D y = x3 + x Câu 16 Tính đạo hàm hàm số y = ( x + x ) A y = ( x7 + x ) ( x6 + 1) B y = ( x7 + x ) C y = ( x6 + 1) D y = ( x + x ) ( x + 1) Câu 17 Tính đạo hàm hàm số y = − x −2 x B y = − x2 Câu 18 Tìm đạo hàm hàm số y = sin x + cos x A y = cos x B y = 2sin x D y = A y = C y = − x2 x −x − x2 −x − x2 C y = sin x − cos x D y = cos x − sin x C y ' = − sin x D y ' = cos x C y ' = − sin x D y ' = cos x Câu 19 Đạo hàm hàm số y = cos x A y ' = −3sin x B y ' = −3cos x Câu 20 Hàm số y = sin x có đạo hàm là: B y ' = − cos x A y ' = cos x Câu 21 Đạo hàm hàm số y = cos3 + x là: A y ' = 3cos + x C y ' = −3 x 1+ x cos + x sin + x B y ' = −3cos + x sin + x D y ' = 3x 1+ x cos + x sin + x Câu 22 Cho hàm số f ( x ) = (sin 3x − 4)5 có đạo hàm f ( x) = k (sin 3x − 4) sin 3x cos 3x Hỏi k bao nhiêu? A k = −10 C k = 15 Câu 23 Đạo hàm hàm số f ( x ) = sin 3x là: B k = 30 D k = −15 A f ( x ) = 3cos 3x B f ( x ) = 5sin4 3x.cos3x C f ( x ) = 15.sin 3x.cos3x D f ( x ) = -15.sin4 3x.cos3x Câu 24 Cho hàm số y = sin x + cos x Phương trình y " = có nghiệm đoạn 0;3 A B C D Câu 25 Cho hàm số y = − 3cosx + sin x − x2 + 2021x + 2022 Số nghiệm phương trình y '' = đoạn 0; 4 A B C D Câu 26 Cho hình hộp ABCD.A ' B ' C ' D ' Trong mệnh đề sau, mệnh đề mệnh đề sai? B AB + AD + AA ' = AC ' A AB + AC = AD C AC ' + B ' A ' = D ' A D A ' C ' + A ' A − B ' C = AB ' Câu 27 Cho hình lập phương ABCD.ABCD Gọi M , N , P trung điểm cạnh AB , BC , CD Xác định góc hai đường thẳng MN AP A 450 B 30 C 60 D 90 Câu 28 Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC ASB = BSC = CSA Hãy xác định góc cặp vectơ SC AB ? A 120 B 45 C 60 D 90 Câu 29 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng, SA vng góc với mặt phẳng đáy Hình chiếu vng góc đường thẳng SB mặt phẳng ( ABCD ) đường thẳng A CB B AB C AC D SD S D A B C Câu 30 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cân A , cạnh bên SA vng góc với đáy, M trung điểm BC , J trung điểm BM Khẳng định sau đúng? A BC ⊥ ( SAB ) B BC ⊥ ( SAM ) C BC ⊥ ( SAC ) D BC ⊥ ( SAJ ) Câu 31 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có SA = SB = SC = SD = 3a đáy hình chữ nhật tâm O, cạnh AB = a, AD = 2a Gọi M, N trung điểm cạnh SA, BC , góc đường thẳng MN mặt phẳng (SBD ) Tính sin 39 B sin = C sin = 5 55 Câu 32 Cho hình lập phương ABCD ABC D hình vẽ A sin = D sin = Số đo góc hai mặt phẳng ( ABCD ) ( ABCD ) A 60 Câu 33 Cho lăng trụ B 30 ABC.ABC có đáy C 135 ABC tam giác D 45 vuông cân A, AB = a 2; AA = AB = AC = 2a Tính tang góc hai mặt phẳng ( ACC A ) ( ABC ) A B C D Câu 34 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B , SA vng góc với mặt phẳng ( ABC ) Gọi H K hình chiếu A lên SB SC Mệnh đề sau sai? A d ( S , ( ABC ) ) = SA B d ( A, ( SBC ) ) = AH C d ( A, ( SBC ) ) = AK D d ( C , ( SAB ) ) = BC Câu 35 Cho hình lập phương ABCD.ABCD cạnh a Khoảng cách hai mặt phẳng ( ABC ) ( ADC ) a a a a B C D 3 II TỰ ḶN Câu 36 Cho hình vng C1 có độ dài cạnh Người ta nối trung điểm cạnh hình vng C1 để A hình vng C2 Từ hình vng C2 lại làm tiếp để hình vng C3 ,… Tiếp tục q trình ta dãy hình vng C1 , C2 , C3 , , Cn , Tính tổng chu vi dãy hình vng Câu 37 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O , cạnh a , góc BAD = 600 , có SO vng góc mặt phẳng ( ABCD ) SO = a a) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng ( SBC ) b) Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng ( SBC ) Câu 38 Cho phương trình ax + ( b + c ) x + d +e = có nghiệm thuộc 1; + ) với a, b, c, d , e số thực a Chứng minh phương trình ax + bx3 + cx + dx + e = có nghiệm x+b Câu 39 Cho hàm số y = , ( ab −2 ) Biết a , b giá trị thỏa mãn tiếp tuyến đồ thị ax − hàm số điểm A (1; −2 ) song song với đường thẳng d : x + y − = Khi giá trị a − 3b 1D 11B 3C 31A Câu LỜI GIẢI 2A 3A 4C 5D 6B 7C 8B 9C 12B 13A 14D 15D 16D 17B 18D 1A 4B 5C 6C 7B 8C 9A 28D 29B 32D 33B 34C 35B [1D3-4.5-1] Tổng cấp số nhân lùi vô hạn ( un ) cho công thức A S = u1 (1 − q ) ( q 1) − qn B S = − qn ( q 1) u1 C S = 1− q ( q 1) u1 D S = u1 ( q 1) 1− q 10D 2A 30B Lời giải Tổng cấp số nhân lùi vô hạn ( un ) cho công thức S = Câu u1 ( q 1) 1− q [1D4-1.1-1] Trong khẳng định sau, khẳng định sai ? A Nếu lim un = L với n lim un = L B Nếu lim un = a lim = lim un =0 C Nếu lim un = + lim = a lim un = + D Nếu lim un = a , lim = với n lim un = + Lời giải Chọn A Theo định lý giới hạn hữu hạn ta có: Nếu lim un = L, un với n L lim un = L Câu [1D4-2.1-1] Điều kiện cần đủ để lim f ( x) = L là: x → x0 A lim+ f ( x) = lim− f ( x) = L B lim+ f ( x) = L C lim− f ( x) = L D lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) x → x0 x → x0 x → x0 x → x0 x → x0 x → x0 Lời giải Điều kiện cần đủ để lim f ( x) = L lim+ f ( x) = lim− f ( x) = L x → x0 Câu x → x0 x → x0 [1D4-2.6-1] Biết lim f ( x ) = L lim f ( x ) = + Tính giới hạn lim f ( x ) g ( x ) x → x0 x → x0 B + A L x → x0 C − D − L Lời giải lim f ( x ) = L lim f ( x ) = + nên giới hạn lim f ( x ) g ( x ) = − x → x0 Câu x → x0 [1D4-3.3-1] Cho hàm số f ( x) = A Hàm số liên tục ( −3;1) C Hàm số gián đoạn x = x → x0 x −1 Tìm khẳng định khẳng định sau x +1 B Hàm số liên tục R D Hàm số gián đoạn x = −1 Lời giải Chọn D TXĐ hàm số D = R \ −1 x = −1 D Câu Vậy hàm số gián đoạn x = -1 x +1 [1D4-2.5-2] Giá trị lim− x→2 x − x A + B − C D Lời giải Chọn B x +1 x +1 Ta có lim− = lim− x x →2 x − x x →2 x − lim− x→2 x +1 = x lim ( x − ) = x → 2− x → − tức x x − Nên lim− x→2 Câu x +1 = − x − 2x x2 −1 x [1D4-3.5-2] Hàm số f ( x ) = x − liên tục điểm x0 = a bằng? a x = A B C D −1 Lời giải Chọn C Tập xác định: D = lim f ( x ) = lim x →1 x →1 x2 −1 = lim ( x + 1) = ; f (1) = a x →1 x −1 Để hàm số liện tục x0 = lim f ( x ) = f (1) a = x →1 Câu [1D5-1.1-2] Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm x0 f ( x0 ) Khẳng định sau đúng? A f ( x0 ) = lim x →0 C f ( x0 ) = lim x → x0 f ( x0 ) − f ( x − x0 ) x − x0 f ( x + x0 ) − f ( x0 ) x0 − x B f ( x0 ) = lim D f ( x0 ) = lim h →0 h →0 f ( x + h ) − f ( x0 ) h f ( x0 + h ) − f ( x0 ) x0 − h Lời giải Chọn B Theo định nghĩa đạo hàm hàm số điểm Câu gt , g = 9,8 m / s gia tốc trọng trường Tìm vận tốc tức thời vật thời điểm t0 = 5s ? [1D5-2.6-2] Một vật rơi tự theo phương trình S ( t ) = A 47 ( m / s ) C 49 ( m / s ) B 46 ( m / s ) D 48 ( m / s ) Lời giải Chọn C 1 Ta có: v ( t ) = S ( t ) = gt = gt 2 v ( 5) = 9,8.5 = 49 ( m / s ) Câu 10 [1D5-2.2-1] Cho hàm số y = x n−1 , n , n , Đạo hàm hàm số là: A y = nx n −1 B y = ( n − 1) x n C y = nx n − D y = ( n − 1) x n−2 Lời giải Chọn D Lí thuyết Câu 11 [1H3-2.1-1] Đạo hàm hàm số y = x : A y = B y = , x0 x , x 0 D y = x x , x0 C y = x Lời giải Chọn B Lí thuyết Câu 12 [1H3-2.1-1] Đạo hàm hàm số y = A y = 2020 2021 x : 2021 2020 2020 x 2021 B y = 2020 x 2020 C y = 2021x 2020 D y = 2020.x 2021 Lời giải FB tác giả:Thiệu Hảo Chọn B Ta có 2020 2021 2020 2021 2020 y = x = ( x ) = 2021.x 2020 = 2020.x 2020 2021 2021 2021 Câu 13 [1D5-2.1-1] Cho hàm số f ( x) = x + x Tính f '( x) A f '( x) = 3x + B f '( x) = 3x C f '( x) = x + D f '( x) = 3x + x Lời giải Ta có f ( x) = x + x f '( x) = 3x + Câu 14 [1D5-2.1-1] Tính đạo hàm hàm số y = A y ' = ( x − 1) B y ' = − x −1 2x +1 x −1 C y ' = x −1 D y ' = − ( x − 1) Lời giải Chọn D Có y = ( x − 1) − ( x + 1) ( x − 1) =− ( x − 1) Câu 15 [1D5-2.1-1] Đạo hàm hàm số y = x4 + x 2 A y = x3 + B y = x + C y = x3 − x x x Lời giải 1 Ta có y = x + x = x3 + = x3 + x x ( D y = x3 + x ) Câu 16 [1D5-2.1-2] Tính đạo hàm hàm số y = ( x + x ) A y = ( x7 + x ) ( x6 + 1) B y = ( x7 + x ) C y = ( x6 + 1) D y = ( x + x ) ( x + 1) Lời giải Chọn D 3 Ta có y = ( x7 + x ) ( x7 + x ) = ( x + x ) ( x + 1) Câu 17 [1D5-2.1-2] Tính đạo hàm hàm số y = − x A y = C y = −2 x − x2 x − x2 B y = D y = −x − x2 −x − x2 Lời giải Chọn B − x ) ( y = y = 1− x = −x − x2 − x2 Câu 18 [1D5-2.1-1] Tìm đạo hàm hàm số y = sin x + cos x A y = cos x B y = 2sin x C y = sin x − cos x D y = cos x − sin x Lời giải Chọn D Ta có y = ( sin x + cos x ) = cos x − sin x Câu 19 [1D5-2.1-1] Đạo hàm hàm số y = cos x A y ' = −3sin x B y ' = −3cos x C y ' = − sin x D y ' = cos x D y ' = cos x Lời giải Chọn A Ta có y = cos 3x y = −3sin 3x Câu 20 [1D5-2.1-1] Hàm số y = sin x có đạo hàm là: A y ' = cos x B y ' = − cos x C y ' = − sin x Lời giải Chọn A Theo công thức đạo hàm lượng giác sgk Đại số 11: ( sin x ) ' = cos x Câu 21 [1D5-2.1-2] Đạo hàm hàm số y = cos3 + x là: B y ' = −3cos + x sin + x A y ' = 3cos + x −3 x C y ' = 1+ x 3x D y ' = cos + x sin + x 1+ x cos + x sin + x Lời giải Áp dụng cơng thức tính đạo hàm hàm hợp, ta có: ) ( ' y ' = 3cos + x cos + x = −3cos + x = −3 x ) cos + x sin + x 1+ x Câu 22 [1D5-2.1-2] ( ' + x sin + x Cho hàm số f ( x ) = (sin 3x − 4)5 có đạo hàm f ( x) = k (sin 3x − 4) sin 3x cos 3x Hỏi k bao nhiêu? A k = −10 C k = 15 B k = 30 D k = −15 Lời giải Chọn B Áp dụng cơng thức tính đạo hàm hàm hợp, ta có: f ( x) = 5(sin 3x − 4)4 (sin 3x − 4) f ( x) = 5(sin 3x − 4) 2sin 3x.(sin 3x) f ( x) = 10(sin 3x − 4) sin 3x.(3cos 3x) f ( x) = 30(sin 3x − 4) sin 3x cos 3x Vậy k = 30 Câu 23 [1D5-2.1-2] Đạo hàm hàm số f ( x ) = sin 3x là: A f ( x ) = 3cos 3x B f ( x ) = 5sin4 3x.cos3x C f ( x ) = 15.sin 3x.cos3x D f ( x ) = -15.sin4 3x.cos3x Lời giải Áp dụng công thức tính đạo hàm hàm hợp, ta có: f ( x ) = ( sin5 3x ) = 5.sin4 3x.( sin3x ) = 5.sin4 3x.cos3x.( 3x ) = 15sin4 3x.cos3x Câu 24 [1D5-2.1-2] Cho hàm số y = sin x + cos x Phương trình y " = có nghiệm đoạn 0;3 A B C Lời giải Chọn C Ta có: y ' = cos x − sin x ; y " = − sin x − cos x D y " = − sin x − cos x = − sin x + = 4 x + = k ( k ) − x= + k ( k ) − + k 3 (k ) 13 1 k 4 k 1; 2;3 k x 0;3 Vậy phương trình y ' = có ba nghiệm đoạn 0;3 Câu 25 [1D5-2.1-2] Cho hàm số y = − 3cosx + sin x − x2 + 2021x + 2022 Số nghiệm phương trình y '' = đoạn 0; 4 A B C D Lời giải Chọn B Ta có: y ' = sinx + cos x − x + 2021 y '' = cos x − sin x − y '' = cos x − sin x − = sin x − cos x = −2 sin x − cos x = −1 sin x − = −1 2 3 x− x=− =− + k 2 , k + k 2 , k Vì x 0; 4 − + k 2 4 25 k 12 12 Mà k k 1; 2 Câu 26 [1H3-1.3-2] Cho hình hộp ABCD.A ' B ' C ' D ' Trong mệnh đề sau, mệnh đề mệnh đề sai? A AB + AC = AD B AB + AD + AA ' = AC ' C AC ' + B ' A ' = D ' A D A ' C ' + A ' A − B ' C = AB ' Lời giải Chọn C Ta có: AC ' + B ' A ' = AC ' + C ' D ' = AD ' Câu 27 [1H3-2.3-2] Cho hình lập phương ABCD.ABCD Gọi M , N , P trung điểm cạnh AB , BC , CD Xác định góc hai đường thẳng MN AP A 450 B 30 C 60 D 90 Lời giải Chọn A ( ) ( ) Giả sử hình lập phương có cạnh a MN //AC nên: MN , AP = AC, AP Ta tính góc PAC a a Vì ADP vng D nên AP = AD2 + DP = a + = 2 a 5 3a AAP vuông A nên AP = AA + AP = a + = 2 CCP vuông C nên CP = CC 2 + C P = a + a2 a = Ta có AC đường chéo hình vng ABCD nên AC = a Áp dụng định lý cosin tam giác ACP ta có: CP = AC + AP − AC AP.cos CAP cos CAP = cos CAP = 45 90 ( ) ( ) Nên AC ; AP = CAP = 45 hay MN; AP = 45 Câu 28 Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC ASB = BSC = CSA Hãy xác định góc cặp vectơ SC AB ? A 120 B 45 C 60 D 90 Lời giải Chọn D ( ) Ta có: SC AB = SC SB − SA = SC SB − SC SA = SA.SB cos BSC − SC.SA.cos ASC = (Vì SA = SB = SC BSC = ASC ) ( ) Do đó: SC , AB = 900 Câu 29 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng, SA vng góc với mặt phẳng đáy Hình chiếu vng góc đường thẳng SB mặt phẳng ( ABCD ) đường thẳng A CB B AB C AC D SD S D A B C Lời giải Chọn B Vì SA ⊥ ( ABCD ) nên hình chiếu vng góc S ( ABCD ) A ; hình chiếu vng góc B ( ABCD ) B nên hình chiếu vng góc đường thẳng SB mặt phẳng ( ABCD ) đường thẳng AB Câu 30 [1H3-3.2-2] Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cân A , cạnh bên SA vng góc với đáy, M trung điểm BC , J trung điểm BM Khẳng định sau đúng? A BC ⊥ ( SAB ) B BC ⊥ ( SAM ) C BC ⊥ ( SAC ) D BC ⊥ ( SAJ ) Lời giải Chọn B S C A M J B Vì SA ⊥ ( ABC ) BC ⊥ SA Theo giải thiết tam giác ABC tam giác cân A M trung điểm BC BC ⊥ AM BC ⊥ SA Ta có BC ⊥ ( SAM ) BC ⊥ AM Câu 31 [1H3-3.3-2] Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có SA = SB = SC = SD = 3a đáy hình chữ nhật tâm O, cạnh AB = a, AD = 2a Gọi M, N trung điểm cạnh SA, BC , góc đường thẳng MN mặt phẳng (SBD ) Tính sin A sin = 55 B sin = 39 C sin = D sin = Lời giải Chọn A Từ giả thiết ta có, tam giác SAC , SBD cân S nên SO ⊥ BD, SO ⊥ AC Suy SO ⊥ ( ABCD ) Gọi P trung điểm SD ta có MP đường trung bình tam giác SAD nên: MP //AD, MP = AD suy tứ giác MNCP hình bình hành Do đó, MN //CP góc MN mặt phẳng (SBD) góc CP mặt phẳng (SBD ) Trong mặt phẳng ( ABCD ) kẻ CI ⊥ BD Vì SO ⊥ ( ABCD) nên SO ⊥ CI Ta có CI ⊥ BD CI ⊥ ( SBD ) CI ⊥ SO Từ ta I hình chiếu C lên mặt phẳng (SBD) Tức = IPC Tam giác BCD vng C có CI đường cao nên : 1 1 2a = + = + = CI = 2 CI CB CD 4a a 4a Tam giác SCD có CP đường trung tuyến nên : CP = SC + CD SD 9a + a 9a 11a a 11 − = − = CP = 4 CI = CP 55 Câu 32 [1H3-4.3-2] Cho hình lập phương ABCD ABC D hình vẽ Tam giác CIP vng I nên: sin = Số đo góc hai mặt phẳng ( ABCD ) ( ABCD ) A 60 B 30 C 135 D 45 Lời giải Chọn D ( ABCD ) ( ABC D ) = AD Ta có AD ⊥ CD ( ABCD ) AD ⊥ C D ( ABC D ) Suy góc ( ABCD ) ( ABCD ) góc ( CD, CD ) = CDC = 45 Câu 33 [1H3-4.3-2] Cho lăng trụ ABC.ABC có đáy ABC tam giác vng cân A , AB = a 2; AA = AB = AC = 2a Tính tang góc hai mặt phẳng ( ACC A ) ( ABC ) A B C Lời giải Chọn B D A' C' B' M A C I B Tam giác ABC vuông cân A nên BC = AB + AC = Vì ( ABC ) / / ( A ' B ' C ') nên (a ) + (a ) 2 = 2a ( ( ACC ' A ') , ( AB ' C ) ) = ( ( ACC ' A ') , ( ABC ) ) Vì AA ' = A ' B = A ' C = 2a nên A ' I ⊥ ( ABC ) với I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Do tam giác ABC vuông cân A nên I trung điểm BC , AI = 1 BC = 2a = a 2 Gọi M trung điểm AC ta có IM / / AB IM ⊥ AC IM = a AB = 2 Ta có: A ' I ⊥ AC AC ⊥ ( A ' IM ) IM , A ' I ( A ' IM ) IM ⊥ AC Lại có: AC ( ABC ) nên ( ABC ) ⊥ ( A ' IM ) AC ( ACC ' A ') nên ( ACC ' A ') ⊥ ( A ' IM ) ( A ' IM ) ⊥ ( ABC ) ; ( A ' IM ) ⊥ ( ACC ' A ') Khi đó: ( A ' IM ) ( ABC ) = IM ( ( ABC ) , ( ACC ' A ) ) = ( MI , A ' M ) ( A ' IM ) ( ACC ' A ') = A ' M Vì tam giác A ' MI vuông I nên IMA ' 900 ( MI , A ' M ) = A ' MI AI = A ' A2 − AI = ( 2a ) − a2 = a A' I a = = MI a 2 Câu 34 [1H3-5.3-2] Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B , SA vng góc với mặt phẳng ( ABC ) Gọi H K hình chiếu A lên SB SC Mệnh đề sau Xét tam giác AMI vng I có tan AMI = sai? A d ( S , ( ABC ) ) = SA B d ( A, ( SBC ) ) = AH C d ( A, ( SBC ) ) = AK D d ( C , ( SAB ) ) = BC Lời giải Chọn C BC ⊥ AB Ta có: BC ⊥ ( SAB ) d ( C , ( SAB ) ) = BC BC ⊥ SA BC ⊥ AH Lại có: AH ⊥ ( SBC ) d ( A, ( SBC ) ) = AH AH ⊥ SB Mặt khác SA ⊥ ( ABC ) d ( S , ( ABC ) ) = SA Câu 35 [1H3-5.3-2] Cho hình lập phương ABCD.ABCD cạnh a Khoảng cách hai mặt phẳng ( ABC ) ( ADC ) A a B a C a Lời giải Chọn B Ta có: d ( ( ABC ) , ( ADC ) ) = d ( B, ( ADC ) ) = d ( D, ( ADC ) ) D a Gọi O tâm hình vng ABCD Gọi I hình chiếu vng góc D lên DO d ( ( ABC ) , ( ADC ) ) = d ( B, ( ADC ) ) = d ( D, ( ADC ) ) = DI Ta có DI = DO DD DO + DD 2 = a a = a a 2 +a Câu 36 [1D4-1.5-3] Cho hình vng C1 có độ dài cạnh Người ta nối trung điểm cạnh hình vng C1 để hình vng C2 Từ hình vng C2 lại làm tiếp để hình vng C3 ,… Tiếp tục q trình ta dãy hình vng C1 , C2 , C3 , , Cn , Tính tổng chu vi dãy hình vng Lời giải Hình vng thứ có cạnh 1, suy ra: Chu vi p1 = 4.1 Hình vng thứ hai có cạnh Hình vng thứ ba có cạnh Hình vng thứ n có cạnh 1 , suy ra: Chu vi p2 = 2 1 , suy ra: Chu vi p3 = 2 ( ) n−1 , suy ra: Chu vi pn = Vậy tổng chu vi: T = + ( ) n −1 1 + + + 2 ( ) n −1 + = 1− = ( ) = 2+ −1 Câu 37 [1H3-5.3-3] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O , cạnh a , góc BAD = 600 , có SO vng góc mặt phẳng ( ABCD ) SO = a a) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng ( SBC ) b) Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng ( SBC ) Lời giải S F H A D B K E O B C D a) Hạ OK ⊥ BC BC ⊥ ( SOK ) Trong ( SOK ) kẻ OH ⊥ SK OH ⊥ ( SBC ) d ( O, ( SBC ) ) = OH Ta có ABD BD = a BO = a ; AC = a Trong tam giác vng OBC có: 1 13 a 39 = + = OK = 2 OK OB OC 3a 13 Trong tam giác vng SOK có: 1 16 a = + = OH = 2 OH OS OK 3a Vậy d ( O, ( SBC ) ) = OH = a b) Ta có AD / / BC AD / / ( SBC ) d ( AD, ( SBC ) ) = d ( E, ( SBC ) ) Kẻ EF / /OH ( F SK ) Do OH ⊥ ( SBC ) EF ⊥ ( SBC ) d ( AD, ( SBC ) ) = d ( E , ( SBC ) ) = EF = 2OH = a Câu 38 [1D4-3.6-4] Cho phương trình ax + ( b + c ) x + d +e = có nghiệm thuộc 1; + ) với a, b, c, d , e số thực a Chứng minh phương trình ax + bx3 + cx + dx + e = có nghiệm Lời giải Gọi x0 [1; +) nghiệm phương trình ax + ( b + c ) x + d +e = Suy ra: ax0 + ( b + c ) x0 + d + e = ax0 + cx0 + e = − (bx + d ) Xét hàm số f ( x) = ax + bx3 + cx + dx + e , f ( x ) xác định liên tục ( −; + ) Ta có: f ( x0 ) = (ax0 + cx0 + e) + x0 (bx0 + d ) f (− x0 ) = (ax0 + cx0 + e) − x0 (bx0 + d ) Suy ra: f ( x0 ) f (− x0 ) = (ax0 + cx0 + e) − x0 (bx0 + d ) = (bx0 + d ) − x0 (bx0 + d ) = (bx0 + d )2 (1 − x0 ) Do phương trình f ( x) = có nghiệm thuộc đoạn [− x0 ; x0 ] Vậy phương trình ax + bx3 + cx + dx + e = có nghiệm x+b Câu 39 [1D5-2.5-4] Cho hàm số y = , ( ab −2 ) Biết a , b giá trị thỏa mãn tiếp tuyến ax − đồ thị hàm số điểm A (1; −2 ) song song với đường thẳng d : x + y − = Khi giá trị a − 3b Lời giải Có y = −ab − ( ax − ) Do A (1; −2 ) thuộc đồ thị hàm số nên 1+ b = −2 b = − 2a a−2 Do tiếp tuyến A (1; −2 ) song song với d : x + y − = nên y (1) = −3 −ab − ( a − 2) = −3 Thay b = − 2a ta phương trình −a ( − 2a ) − = −3 ( a − ) 5a − 15a + 10 = a = a = Với a = b = −1 (loại, ab −2 ) Với a = b = Phương trình tiếp tuyến A ( −1; ) y = −3 ( x + 1) + song song với d Vậy a = , b = 1, suy a − 3b = −2