Luận văn thạc sĩ độ lệch lớn cho dãy các biến ngẫu nhiên bernoulli và áp dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - TẠ THỊ THẮM ĐỘ LỆCH LỚN CHO DÃY CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN BERNOULLI VÀ ÁP DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2021 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - TẠ THỊ THẮM ĐỘ LỆCH LỚN CHO DÃY CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN BERNOULLI VÀ ÁP DỤNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Trần Xuân Quý TS Đỗ Thị Phương Quỳnh THÁI NGUYÊN - 2021 Mục lục Danh sách kí hiệu Mở đầu Chương Luật số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên có phân phối Bernoulli 1.1 Một số khái niệm kết liên quan 1.2 Entropi 11 1.3 Áp dụng Luật số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên có phân phối Bernoulli 15 Chương Các định lý giới hạn, độ lệch lớn toán đánh giá xác suất thành cơng cho dãy biến ngẫu nhiên có phân phối Bernoulli 17 2.1 Một số định lý quan trọng 18 2.1.1 Định lý giới hạn địa phương 18 2.1.2 Định lý khả tích De Moivre - Laplace 21 2.1.3 Định lý Poisson 26 2.2 Quan hệ định lý De Moivre với Luật số lớn 29 2.3 Độ lệch lớn cho dãy biến ngẫu nhiên có phân phối Bernoulli 32 2.4 Đánh giá xác suất thành cơng dãy biến ngẫu nhiên có phân phối Bernoulli 35 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 43 Danh sách kí hiệu N Tập hợp số tự nhiên R Tập hợp số thực R+ Tập hợp số thực dương n! đọc n giai thừa, ký hiệu cho tích 1.2 .n max Cực đại Cực tiểu sup Cận lớn (Ω, A, P) Không gian xác suất 2X P Họ tập hợp khác rỗng X a1 + a2 + + an P Độ đo xác suất ξi Biến ngẫu nhiên ξi {ξ > } Biến cố {ω ∈ Ω : ξ(ω) > } E(X) Kỳ vọng hay giá trị trung bình biến ngẫu nhiên X p-lim Giới hạn hội tụ theo xác suất h.c.c Hầu chắn exp(x) n ex k Số tổ hợp chập k n, hay n k = Cnk = n! k!(n−k)! Mở đầu Lý thuyết xác suất thống kê phận toán học, nghiên cứu tượng ngẫu nhiên ứng dụng chúng vào thực tế Là tượng ngẫu nhiên nên khơng thể nói trước xảy hay khơng xảy thực quan sát Tuy nhiên, tiến hành quan sát nhiều lần tượng ngẫu nhiên phép thử nhau, ta rút kết luận khoa học tượng Trong lý thuyết xác suất, độ lệch lớn liên quan tới dáng điệu đuôi dãy phân phối xác suất, cho phép đánh giá tốc độ hội tụ họ biến cố với xác suất lớn Luật số lớn phần Lý thuyết xác suất thống kê Trong thực tế, tượng ngẫu nhiên nhiều nguyên nhân ngẫu nhiên gây Việc tìm hiểu kiện để tượng xảy theo quy luật ý nghĩa nội dung “luật số lớn” Với khuôn khổ đề tài luận văn thạc sĩ, tác giả tập trung trình bày “Độ lệch lớn cho dãy biến ngẫu nhiên Bernoulli áp dụng” Mục đích đề tài luận văn trình bày ý nghĩa thực nghiệm luật số lớn, địnhlý giới hạn, độ lệch lớn cho dãy biến ngẫu nhiên Bernoulli đánh giá xác suất thành công dãy Bernoulli Ngoài phần Mở đầu, phần Kết luận, luận văn trình bày hai chương, gồm nội dung: Chương Luật số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên có phân phối Bernoulli Chương Các định lý giới hạn, độ lệch lớn, toán đánh giá xác suất thành cơng cho dãy biến ngẫu nhiên có phân phối Bernoulli Trong trình học tập nghiên cứu trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, em nhận quan tâm giúp đỡ động viên thầy Ban Giám hiệu, Phịng Đào tạo Khoa Toán -Tin Qua đây, em gửi lời tri ân tới tập thể thầy cô giảng viên trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Ngun nói chung Khoa Tốn - Tin nói riêng, truyền thụ cho em nhiều kiến thức khoa học quý báu thời gian em học viên trường Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường THPT Nam Khoái Châu, Hưng Yên, toàn thể anh chị em đồng nghiệp tạo điều kiện tốt cho tác giả thời gian học Cao học; cảm ơn anh chị em học viên lớp Cao học Toán K13 bạn bè đồng nghiệp trao đổi, động viên khích lệ tác giả trình học tập làm luận văn trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới giáo viên hướng dẫn - TS Trần Xuân Quý TS Đỗ Thị Phương Quỳnh quan tâm ân cần bảo, động viên khích lệ, giúp đỡ tận tình góp ý sâu sắc cho em suốt trình học tập thực đề tài Chặng đường vừa qua kỉ niệm đáng nhớ đầy ý nghĩa anh chị em học viên lớp K13 nói chung với thân em nói riêng Dấu ấn hiển nhiên thiếu hỗ trợ, sẻ chia đầy yêu thương tất người thân gia đình Xin chân thành cảm ơn tất người thân yêu giúp đỡ, đồng hành em chặng đường vừa qua Một lần nữa, em xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 25 tháng 01 năm 2021 Học viên Tạ Thị Thắm Chương Luật số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên có phân phối Bernoulli 1.1 Một số khái niệm kết liên quan Trong mục giới thiệu vế dãy biến ngẫu nhiên có phân phối Bernoulli, bất đẳng thức Chebysev sử dụng cho đánh giá chương sau Cho ba (Ω, A, P) với Ω = {ω : ω = (a1 , , an )}; A = {A : A ⊂ Ω}; p(ω) = p P · qn− P ; gọi sơ đồ Bernoulli Trong phần phần ta nghiên cứu số tính chất giới hạn sơ đồ Bernoulli Xét dãy biến ngẫu nhiên {ξ1 ; ; ξn } xác định sau: ξi (ω) := ; i := 1; ; n; ω = (a1 , , an ) Các biến ngẫu nhiên Bernoulli ξi (ω)i độc lập với có phân phối xác suất: P{ξi = 1} := p; P{ξi = 0} := q; i = 1, , n Khi đó, biến ngẫu nhiên ξi coi kết phép thử thứ i (hoặc lần thứ i) Ta đặt S := 0; S k (ω) := ξ1 + · · · + ξk ; với k = 1, , n Từ suy ES n = E(ξ1 + · · · + ξn ) = E(ξ1 ) + · · · + E(ξn ); ⇒E Sn = p n Mặt khác, giá trị trung bình số lần thử thành công (nghĩa (1.1) Sn ) n trùng với xác suất thành công p Trước hết, lưu ý, ta cho rằng: với ε > đủ nhỏ với n đủ lớn độ lệch Sn n với p bé ε, ∀ω Nghĩa > ε n Với mục đích đó, ta phải sử dụng bất đẳng thức sau: Mệnh đề 1.1.1 (Bất đẳng thức Chebysev) Cho (Ω, A, P) không gian xác suất ξ = ξ(ω) biến ngẫu nhiên khơng âm P{ξ > ε} Eξ , ∀ε > ε (1.3) Chứng minh Ta có ξ = ξ · I{ξ > ε} + ξ · I{ξ < ε} > ξ · I{ξ > ε} > ξ · I{ξ > ε}, I(A) hàm tiêu A Lấy kỳ vọng toán hai vế: Eξ > ε · P{ξ > ε}  Hệ 1.1.2 Nếu ξ biến ngẫu nhiên bất kỳ, với ε, ta có P{|ξ| > ε} E|ξ| ε P{|ξ| > ε} = P{|ξ|2 > ε2 } P{|ξ − Eξ| > ε} E|ξ|2 ε2 (1.4) Dξ ε2 Trong bất đẳng thức cuối (1.4) thay ξ = Sn , n ta
n S n o D Snn pq P − p > ε = 2 n ε nε Do n S n o pq