Chương I Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1 1 Phép thử và các loại biến cố 1 1 1 Phép thử a) Các thí dụ +) Muốn biết sản phẩm trong hộp là sản phẩm tốt hay xấu thì ta lấy ra từ hộp một sản phẩm và quan[.]
Chương I : Biến cố ngẫu nhiên xác suất 1.1.Phép thử loại biến cố 1.1.1.Phép thử a) Các thí dụ +) Muốn biết sản phẩm hộp sản phẩm tốt hay xấu ta lấy từ hộp sản phẩm quan sát xem sản phẩm tốt hay xấu v.v b) Khái niệm phép thử Việc thực nhóm điều kiện để quan sát tượng xảy hay không xảy gọi thực phép thử Chú ý : Ứng với phép thử gắn với hành động mục đích quan sát 1.1.2.Biến cố Khái niệm : Hiện tượng xảy hay khơng xảy kết phép thử gọi biến cố Thí dụ : Một hộp đựng 10 sản phẩm có sản phẩm tốt, sản phẩm xấu Lấy sản phẩm (tức ta thực phép thử), gọi A = (Lấy sản phẩm tốt) A biến cố 1.1.3.Phân loại biến cố +) Biến cố chắn (ký hiệu chữ U): Là biến cố định xảy thực phép thử +) Biến cố khơng thể có (ký hiệu chữ V): Là biến cố định không xảy thực phép thử +) Biến cố ngẫu nhiên (ký hiệu chữ A, B, C, ): Là biến cố xảy thực phép thử Thí dụ 1: Tung đồng xu có mặt Sấp(S) Ngửa(N) Gọi A = (Đồng xu xuất mặt sấp), ta có A biến cố ngẫu nhiên Thí dụ 2: Gieo xúc xắc (giải thích xúc xắc) Gọi U = (Con xúc xắc xuất mặt có số chấm 6), ta có U biến cố chắn V = (Con xúc xắc xuất mặt chấm), ta có V biến cố khơng thể có A1 = (Con xúc xắc xuất mặt chấm), ta có A biến cố ngẫu nhiên C = (Con xúc xắc xuất mặt có số chấm chẵn), ta có C biến cố ngẫu nhiên Chú ý : Việc đưa biến cố U, V vào để hoàn thiện mặt lý thuyết , thực tế ta quan tâm tới biến cố ngẫu nhiên, từ nói biến cố ta hiểu biến cố ngẫu nhiên 1.2.Xác suất biến cố, định nghĩa cổ điển xác suất 1.2.1.Khái niệm xác suất biến cố Cho A biến cố, xác suất biến cố A, ký hiệu P(A) (Probability of event A) số đặc trưng cho khả khách quan xuất biến cố A thực phép thử 1.2.2.Định nghĩa cổ điển xác suất biến cố a) Kết cục đồng khả xảy Thí dụ 1: Tung đồng xu cân đối đồng chất, giả sử khả đồng xu xuất mặt sấp hay mặt ngửa Khi ta có hai kết cục đồng khả xảy ra, là: {S; N} Thí dụ 2: Gieo xúc xắc cân đối đồng chất Gọi A i = (Con xúc xắc xuất mặt chấm); Khi ta có kết cục đồng khả xảy ra, {A1; A2; ;A6} Thí dụ 3: Một hộp đựng 10 sản phẩm loại, có phẩm phế phẩm, lấy sản phẩm từ hộp Khi ta có 10 kết cục đồng khả xảy b) Kết cục thuộn lợi cho biến cố Thí dụ 1: Trở lại thí dụ gọi C = (Con xúc xắc xuất mặt có số chấm chẵn), C xảy A2 xảy A4 xảy ra, A6 xảy Do kết cục {A2; A4; A6} gọi kết cục thuộn lợi cho biến cố C xảy ra, ta nói có kết cục thuộn lợi cho C Thí dụ 2: Một hộp đựng 10 sản phẩm loại, có phẩm phế phẩm, lấy sản phẩm từ hộp, gọi A = (Lấy phẩm) ta có kết cục thuộn lợi cho A Vậy kết cục xảy làm cho biến cố A xảy thực phép thử gọi kết cục thuộn lợi cho biến cố A c) Định nghĩa cổ điển xác suất Định nghĩa: Xét phép thử, gọi n số kết cục đồng khả xảy ra, gọi m số kết cục thuộn lợi cho biến cố A xảy ra, ( P(A) xác suất xảy biến cố A) Thí dụ 1: Gieo xúc xắc cân đối đồng chất, tính xác suất để xúc xắc xuất măt có số chấm chẵn Lời giải: Gọi C = (Con xúc xắc xuất mặt có số chấm chẵn), ta có n = 6, mC = đó: Thí dụ 2: Một hộp đựng 10 cầu giống hệt mặt hình thức, có màu đỏ, màu xanh Lấy ngẫu nhiên cầu từ hộp, tính xác suất lấy cầu màu đỏ Lời giải: Gọi A = (Lấy cầu màu đỏ), ta có n = 10, mA = d) Các tính chất xác suất +) Nếu A biến cố ngẫu nhiên < P(A) < +) Nếu B biến cố P(B) +) Nếu U biến cố chắn P(U) = +) Nếu V biến cố có P(V) = Chú ý : P(A) = chưa A biến cố chắn P(B) = chưa B biến cố khơng thể có Thí dụ : 1.3.Các phương pháp tính xác suất định nghĩa cổ điển 1.3.1.Phương pháp suy luận trực tiếp Thí dụ 1: Tính xác suất cách vẽ hình (biểu đồ Ven, hình cây) Tính xác suất cách liệt kê tất giá trị có thực phép thử, đếm kết cục thuộn lợi cho biến cố, sau áp dụng cơng thức tính xác suất định nghĩa cổ điển (xem thí dụ giáo trình) Thí dụ 2: Tung đồng xu giống đồng xu cân đối đồng chất, tính xác suất để có đồng xu xuất mặt ngửa Lời giải : Gọi A = (Có đồng xu xuất mặt ngửa) Những khả xảy tung đồng thời 3đồng xu {NNN, NNS, NSN, NSS, SNN, SSN, SNS, SSS} ta thấy n = 8, mA = 1.3.2.Phương pháp dùng cơng thức giải tích tổ hợp (Nhắc lại ý nghĩa phương pháp tính cơng thức n!, ) Thí dụ 1: Một hộp đựng 10 cầu có kích thước giống có màu xanh, màu đỏ Lấy ngẫu nhiên từ hộp cầu, tính xác suất để a) Lấy màu xanh b) Lấy màu đỏ Lời giải : Ta có số kết cục đồng khả xảy a) Gọi A = (Lấy màu xanh), ta có b) Gọi B = (Lấy màu đỏ), ta có Thí dụ 2: Một cơng ty cần tuyển người Có 20 người nộp đơn có nam 12 nữ Giả sử khả trúng tuyển 20 người nhau, tính xác suất để a) Có nam trúng tuyển b) Có nữ trúng tuyển Lời giải: Số khả xảy a) Gọi A = (có nam trúng tuyển); có ta có b) Gọi B = (có nữ trúng tuyển); có ta có 1.3.3.Ưu điểm hạn chế phương pháp cổ điển *) Ưu điểm : +) Không cần thực phép thử, phép thử tiến hành cách giả định +) Cho phép tìm cách xác giá trị xác suất *) Hạn chế : +) Số kết cục đồng khả phải hữu hạn thực tế có nhiều phép thử mà số kết cục vơ hạn +) Tính đối xứng hay tính đồng khả thực gặp thực tế 1.4.Định nghĩa xác suất tần suất 1.4.1.Tần suất xuất biến cố Ta biết với phép thử ta có biến cố A (mà ta quan tâm) xuất không xuất Giả sử ta thực n phép thử độc lập, n phép thử biến cố A xuất k lần tần suất xuất biến cố A ký hiệu xác định: Thí dụ : Kiểm tra ngẫu nhiên 100 sản phẩm máy sản xuất người ta phát phế phẩm Gọi A biến cố (lấy phế phẩm) 100 sản phẩm 1.4.2.Định nghĩa xác suất tần suất Khi số phép thử n tăng lên lớn (tùy thuộc tình thực tế) ta định nghĩa xác suất để biến cố A xảy 1.4.3.Ưu điểm hạn chế phương pháp tần suất *) Ưu điểm : Khơng địi hỏi điều kiện áp dụng định nghĩa cổ điển *) Hạn chế : Phải thực phép thử với số lần lớn dẫn đến tốn nhiều thời gian 1.5.Nguyên lý xác suất lớn nguyên lý xác suất nhỏ *) Nguyên lý xác suất lớn : Biến cố A coi xảy phép thử thực tế , với xác suất nhỏ tùy thuộc vào tình thực tế Thí dụ : *) Ngun lý xác suất nhỏ : Biến cố B coi khơng xảy phép thử thực tế , với xác suất nhỏ tùy thuộc vào tình thực tế Thí dụ : 1.6.Mối quan hệ biến cố 1.6.1 Tổng biến cố a) Tổng hai biến cố : Biến cố C gọi tổng hai biến cố A B, ký hiệu C = A + B, biến cố C xảy có hai biến cố A B xảy Thí dụ : Hai người bắn vào bia viên đạn, gọi A = (Người thứ bắn trúng bia), gọi B = (Người thứ hai bắn trúng bia), C = (Bia bị trúng đạn) Khi C=A+B +) Mở rộng : Cho biến cố, đặt biến cố , biến cố A xảy có biến cố xảy b) Hai biến cố xung khắc : Hai biến cố A B gọi xung khắc với chúng không xảy phép thử Trong trường hợp chúng xảy phép thử gọi hai biến cố khơng xung khắc Thí dụ : Gieo xúc xắc, gọi A1 = (Con xúc xắc xuất mặt chấm); A2 = (Con xúc xắc xuất mặt hai chấm), A 1, A2 hai biến cố xung khắc Thí dụ : Hai người bắn viên đạn vào bia, gọi B = (Người thứ bắn trúng bia); B2 = (Người thứ hai bắn trúng bia), B1, B2 hai biến cố khơng xung khắc +) Mở rộng : Nhóm biến cố gọi xung khắc với đôi hai biến cố nhóm xung khắc với c) Nhóm đầy đủ biến cố : Các biến cố H1; H2; ; Hn gọi nhóm đầy đủ biến cố kết phép thử xảy biến cố Hay nói khác biến cố H 1; H2; ; Hn tạo thành nhóm đầy đủ biến cố chúng đơi xung khắc Thí dụ : Gieo xúc xắc cân đối đồng chất, gọi A i = ( Con xúc xắc xuất mặt i chấm ), biến cố A1; A2; ; A6 tạo thành nhóm đầy đủ biến cố Nếu gọi HC = (Con xúc xắc xuất mặt có số chấm chẵn); H L = (Con xúc xắc xuất mặt có số chấm lẻ) biến cố H C, HL tạo thành nhóm đầy đủ biến cố Chú ý: Với phép thử có nhiều nhóm đầy đủ d) Hai biến cố đối lập : Hai biến cố gọi đối lập với chúng tạo thành nhóm đầy đủ biến cố Thí dụ : Bắn viên đạn vào bia, gọi = (Viên đạn trúng bia) = (Viên đạn không trúng bia) hai biến cố đối lập Thí dụ : Một hộp đựng 10 sản phẩm có phẩm phế phẩm Lấy sản phẩm, gọi = (Lấy phẩm) = (Lấy phế phẩm) hai biến cố đối lập 1.6.2.Tích biến cố a) Tích hai biến cố : Biến cố C gọi tích hai biến cố A B, ký hiệu C = A.B, biến cố C xảy đồng thời hai biến cố A B xảy Thí dụ : Hai người bắn vào bia viên đạn, gọi A = (Người thứ bắn trúng bia), B = (Người thứ hai bắn trúng bia), gọi C = (Bia bị trúng viên đạn) C = A.B +) Mở rộng : Cho biến cố, đặt biến cố , biến cố A xảy tất biến cố xảy b) Hai biến cố độc lập : Hai biến cố A B gọi độc lập với việc xảy hay không xảy biến cố A không làm thay đổi xác suất xảy biến cố B ngược lại Trong trường hợp biến cố A xảy hay khơng xảy có làm thay đổi xác suất xảy biến cố B A B hai biến cố phụ thuộc Thí dụ : Một hộp đựng 10 sản phẩm có phẩm phế phẩm, người ta lấy sản phẩm theo hai phương thức, thứ có hồn lại thứ hai khơng hồn lại Gọi A = (Lấy phẩm lần thứ nhất), B = (Lấy phẩm lần thứ hai) Hỏi lấy theo phương thức hai biến cố A B độc lập Lời giải : Lấy theo phương thức thứ +) Mở rộng : -) Các biến cố gọi độc lập đôi với hai biến cố n biến cố độc lập với -) Các biến cố gọi độc lập toàn phần với biến cố n biến cố độc lập với tổ hợp biến cố cịn lại Thí dụ : Tung đồng xu lần, gọi Ai = (Đồng xu xuất mặt ngửa lần tung thứ i), biến cố A1; A2; A3 độc lập với đôi 1.7.Các định lý công thức xác suất 1.7.1 Định lý cộng xác suất +) Nếu A B hai biến cố xung khắc P(A + B) = P(A) + P(B) +) Nếu A B hai biến cố khơng xung khắc P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) +) Nếu biến cố xung khắc với đơi +) Nếu biến cố tạo thành nhóm đầy đủ biến cố +) Nếu hai biến cố đối lập +) Nếu A1, A2, A3 ba biến cố khơng xung khắc P(A1+A2+A3) = P(A1) + P(A2) + P(A3) - P(A1A2)-P(A2A3)-P(A3A1) + P(A1A2A3) +) Nếu biến cố không xung khắc độc lập tồn phần với 1.7.2.Xác suất có điều kiện, định lý nhân xác suất a) Xác suất có điều kiện Xác suất biến cố A tính với điều kiện biến cố B xảy gọi xác suất có điều kiện A, ký hiệu P(A/B) Thí dụ : Một hộp đựng 10 sản phẩm có phẩm phế phẩm, lấy hai sản phẩm Tính xác suất để lần thứ hai lấy phẩm biết lần thứ lấy phế phẩm Lời giải : Gọi A = (Lấy phẩm lần thứ hai), B = (Lấy phế phẩm lần thứ nhất) Theo đầu ta có biến cố B xảy với P(B) = 0,4 P(A / B) = b) Tính chất Nếu A B hai biến cố độc lập P(A/B) = P(A) P(B/A) = P(B) c) Định lý nhân xác suất +) Nếu A B hai biến cố độc lập điều kiện cần đủ P(A.B) = P(A).P(B) +) Nếu biến cố độc lập tồn phần +) Cho A B hai biến cố ta có P(A.B) = P(B).P(A/B) = P(A).P(B/A) P(A/B) = với P(B) > P(B/A) = với P(A) > +) Nếu A1, A2, , An n biến cố phụ thuộc ta có cơng thức P(A1.A2 An) = P(A1).P(A2/A1).P(A3/A1A2) P(An/A1A2 An-1) 1.7.3.Cơng thức Bernoulli a) Công thức Bernoulli : Giả sử ta thực n phép thử độc lập, với phép thử có trường hợp biến cố A xảy với P(A) = p biến cố xảy với P( ) = 1- p Gọi B = (Trong n phép thử độc lập nói biến cố A xuất k lần), k n Khi ta có (cơng thức Bernoulli) b) Thí dụ : Một xạ thủ có xác suất bắn trúng vịng mười 0,8 cho lần bắn Anh ta phát viên đạn để bắn vào bia, gọi B = (Anh ta bắn trúng vòng mười viên đạn viên phát) Tính P(B) = ? Lời giải : Áp dụng công thức Bernoulli với p = 0,8 n = k = ta có 1.7.4.Công thức xác suất đầy đủ, công thức Bayes a) Công thức xác suất đầy đủ Giả sử biến cố H1, H2, ,Hn tạo thành nhóm đầy đủ biến cố, biến cố A xảy đồng thời với biến cố H 1, H2, ,Hn ta có cơng thức (Cơng thức xác suất đầy đủ) Thí dụ : Một nhà máy có hai dây chuyền sản xuất A B, dây chuyền A sản xuất 60% số sản phẩm nhà máy, dây chuyền B sản xuất 40% số sản phẩm nhà máy Biết tỉ lệ phế phẩm dây chuyền A sản xuất 1,5% tỉ lệ phế phẩm dây chuyền B sản xuất 2% Lấy ngẫu nhiên sản phẩm từ nhà máy, tính xác suất lấy phẩm Lời giải : Gọi H1 = (Lấy sản phẩm dây chuyền A sản xuất) H2 = (Lấy sản phẩm dây chuyền B sản xuất A =(Lấy phẩm nhà máy)=> = (Lấy phế phẩm nhà máy) Theo giả thiết : P(H1) = 0,6 P(H2) = 0,4 P( /H1) = 0,015; P( /H2) = 0,02 => P(A/H1) = 0,985; P(A/H2) = 0,98 Áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta có P(A) = P(H1).P(A/H1) + P(H2).P(A/H2) = 0,6.0,985 + 0,4.0,98 = 0,983 Thí dụ : Có hai hộp sản phẩm giống nhau, hộp thứ đựng 10 sản phẩm có phẩm phế phẩm, hộp thứ hai đựng 10 sản phẩm có phẩm phế phẩm Người ta chuyển sản phẩm từ hộp thứ sang hộp thứ hai sau lấy từ hộp hai sản phẩm, tính xác suất lấy phẩm phế phẩm từ hộp thứ hai Lời giải : Gọi H1 = (Chuyển phẩm từ hộp sang hộp 2); H2 = (Chuyển phế phẩm từ hộp sang hộp 2) A = (Lấy phẩm phế phẩm từ hộp 2) Ta có : P(H1) = 0,8 P(H2) = 0,2 P(A/H1) = P(A) = P(H1).P(A/H1) + P(H2).P(A/H2) = ; P(A/H2) = b) Công thức Bayes Giả sử biến cố H1, H2, ,Hn tạo thành nhóm đầy đủ biến cố, biến cố A xảy đồng thời với biến cố H 1, H2, ,Hn ta có cơng thức hay Thí dụ : Có hai hộp sản phẩm giống hệt nhau, hộp I đựng 20 sản phẩm có 16 phẩm phế phẩm, hộp II đựng 20 sản phẩm có 18 phẩm phế phẩm Người ta lấy ngẫu nhiên hộp từ hộp người ta lấy ngẫu nhiên sản phẩm thấy phẩm, tính xác suất để sản phẩm lấy hộp I Lời giải : Gọi H1 = (Lấy hộp I); H2 = (Lấy hộp II); A = (Lấy phẩm) Ta có P(H1) = P(H2) = 0,5 P(A/H 1) = 0,8 P(A/H2) = 0,9 Áp dụng cơng thức xác suất đầy đủ ta có P(A) = P(H1).P(A/H1) + P(H2).P(A/H2) = 0,5(0,8 + 0,9) = 0,85 Áp dụng cơng thức Bayes ta có P(H1/A) = = 0,47058824 Chú ý : +) Các xác suất P(H 1), P(H2), , P(Hn) gọi xác suất tiên nghiệm xác suất P(H1/A), P(H2/A), , P(Hn/A) gọi xác suất hậu nghiệm +) Nhóm biến cố (H 1/A), (H2/A), , (Hn/A) tạo thành nhóm đầy đủ biến cố Thí dụ : ( Bài tập 1.64 sách tập xác suất thống kê tốn, có lời giải) Chương II : Biến ngẫu nhiên quy luật phân phối xác suất 2.1 Biến ngẫu nhiên 2.1.1 Định nghĩa biến ngẫu nhiên : Một biến số gọi ngẫu nhiên kết phép thử nhận giá trị có tùy thuộc vào tác động nhân tố ngẫu nhiên +) Biến ngẫu nhiên thường ký hiệu chữ in hoa X, Y, Z, +) Các giá trị có biến ngẫu nhiên thường ký hiệu chữ thường x, y, z, +) Biến ngẫu nhiên X nhận giá trị x ký hiệu (X = x) thực chất biến cố ngẫu nhiên Thí dụ : Gieo xúc xắc, gọi A1 = ( Con xúc xắc xuất mặt chấm) A1 biến cố ngẫu nhiên, gọi X = (Số chấm xuất hiện) X biến ngẫu nhiên (X = 1) ≡ A1 2.1.2.Phân loại biến ngẫu nhiên a) Biến ngẫu nhiên rời rạc : biến ngẫu nhiên mà giá trị có lập nên tập hợp hữu hạn đếm phần tử Hay nói cách khác : Biến ngẫu nhiên rời rạc ta liệt kê tất giá trị có Thí dụ : +) Gieo xúc xắc, gọi X = (Số chấm xuất hiện) X biến ngẫu nhiên rời rạc giá trị có X {1,2, ,6} +) Một hộp đựng 10 viên bi có bi đỏ bi trắng, lấy ngẫu nhiên từ hộp viên bi Gọi Y = (Số bi đỏ lấy được) Y biến ngẫu nhiên rời rạc giá trị có Y {0,1,2,3} +) Một xạ thủ có xác suất bắn trúng bia cho lần bắn 0,8 phát viên đạn để bắn vào bia bắn trúng bia dừng Gọi Z = (Số viên đạn xạ thủ nhận) Z