Luận văn thạc sĩ chéo hóa tương đẳng đồng thời xấp xỉ của hệ hai và ba ma trận hermit

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN MAI THỊ THU CHÉO HÓA TƯƠNG ĐẲNG ĐỒNG THỜI XẤP XỈ CỦA HỆ HAI VÀ BA MA TRẬN HERMIT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - Năm 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN MAI THỊ THU CHÉO HÓA TƯƠNG ĐẲNG ĐỒNG THỜI XẤP XỈ CỦA HỆ HAI VÀ BA MA TRẬN HERMIT Chuyên ngành: Đại số lí thuyết số Mã số: 8.46.01.04 Người hướng dẫn: TS LÊ THANH HIẾU i LỜI CAM ĐOAN Luận văn hoàn thành Trường Đại học Quy Nhơn Tôi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Đề tài “Chéo hóa tương đẳng đồng thời xấp xỉ hệ hai ba ma trận Hermit” kết nghiên cứu hướng dẫn TS Lê Thanh Hiếu chưa công bố cơng trình khoa học khác thời điểm Tôi xin cam đoan kết trình bày luận văn có tài liệu tham khảo trích dẫn rõ ràng, đảm bảo tính trung thực, xác Bịnh Định, ngày tháng năm 2022 Tác giả Mai Thị Thu ii Mục lục Lời cam đoan i Lời nói đầu 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Ma trận Hermit số tính chất 1.2 Chéo hóa tương đương tương đẳng đồng thời họ ma trận Hermit 12 1.2.1 Chéo hóa tương đương, chéo hóa tương đẳng đồng thời 12 1.2.2 Mối quan hệ hai khái niệm chéo hóa tương đương chéo hóa tương đẳng đồng thời 16 CHÉO HÓA TƯƠNG ĐẲNG ĐỒNG THỜI XẤP XỈ CỦA HỆ HAI VÀ BA MA TRẬN HERMIT 39 2.1 Một số định nghĩa tính chất tổng quát 39 2.2 Tính chất ASDC cặp ma trận Hermit 42 2.3 2.2.1 Dạng chuẩn tắc cho cặp ma trận Hermit 42 2.2.2 Trường hợp cặp ma trận Hermit không suy biến 43 2.2.3 Trường hợp cặp ma trận Hermit suy biến 49 Tính chất ASDC ba ma trận không suy biến 55 Kết luận 60 iii Tài liệu tham khảo 61 Lời nói đầu Chéo hóa ma trận công cụ chủ yếu để nghiên cứu nhiều tốn tính lũy thừa ma trận vng, xác định dãy truy hồi tuyến tính với hệ số khơng đổi, giải số phương trình ma trận, Bên cạnh sử dụng nhiều ngành ứng dụng Toán học Việc nghiên cứu lý thuyết ma trận khơng nhằm mục đích phát kỹ thuật đại số mà đáp ứng nhu cầu tính tốn lĩnh vực như: tính tốn lượng tử, khoa học tính tốn, tốn tối ưu, Một số toán kinh tế, kỹ thuật dẫn đến vấn đề chéo hóa (tương đương tương đẳng) ma trận lúc Tuy nhiên, lúc ta chéo hóa tương đẳng đồng thời ma trận Trong số trường hợp ta tìm số ma trận chéo hóa tương đẳng đồng thời mà xấp xỉ với ma trận ban đầu Người ta gọi chéo hóa tương đẳng đồng thời xấp xỉ Luận văn “Chéo hóa tương đẳng đồng thời xấp xỉ hệ hai ba ma trận Hermit” gồm hai chương Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số kiến thức chuẩn bị liên quan đến chéo hóa tương đương đồng thời chéo hóa tương đẳng đồng thời họ ma trận Hermit Chương Chéo hóa tương đẳng đồng thời xấp xỉ hệ hai ba ma trận Hermit Trong chương này, chúng tơi trình bày số điều kiện cần đủ để chéo hóa tương đẳng đồng thời xấp xỉ hệ hai ma trận Hermit không suy biến, hệ hai ma trận Hermit suy biến hệ ba trận Hermit không suy biến Luận văn hồn thành nhờ hướng dẫn tận tình tâm huyết TS Lê Thanh Hiếu, Trường Đại học Quy Nhơn Thầy dành nhiều thời gian, công sức để giúp đỡ, bảo khắc phục sai sót tơi q trình thực luận văn Nhân dịp này, xin gửi lời cảm ơn chân thành tri ân sâu sắc đến Thầy Chúng gửi lời cảm ơn đến quý ban lãnh đạo Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo sau đại học, Khoa Tốn Thống kê q thầy giáo giảng dạy lớp cao học Đại số lí thuyết số khóa 23 tận tâm giảng dạy suốt khóa học, tạo điều kiện cho chúng tơi trình học tập trình thực luận văn Cuối xin chân thành cảm ơn gia đình bạn bè ln động viên, hỗ trợ tơi mặt tình thần để tơi hồn thành tốt khóa học luận văn Bản thân nỗ lực, cố gắng để hồn thành luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận dẫn, đóng góp q Thầy Cơ bạn đọc để luận văn hoàn thiện Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương chúng tơi trình bày số định nghĩa, tính chất ma trận Hermit tính chéo hóa tương đương, tương đẳng đồng thời họ ma trận Hermit làm kiến thức chuẩn bị cho chương sau Nội dung chương tham khảo từ tài liệu [1], [2] [3] 1.1 Ma trận Hermit số tính chất Các kiến thức mục dùng để chứng minh kết sau Đây kết Đại số tuyến tính tham khảo từ [1] Trong suốt luận văn này, F trường số thực R hay trường số phức C Định nghĩa 1.1 Ma trận phức vuông A gọi ma trận Hermit A = A∗ , A∗ ma trận chuyển vị liên hợp ma trận A Định nghĩa 1.2 Ma trận U ∈ Cn×n gọi unita U ∗ U = In Nếu U ∈ Rn×n U gọi trực giao unita, nghĩa U T U = In Định nghĩa 1.3 Một ma trận A ∈ Fn×n gọi khơng suy biến định thức khác Định nghĩa 1.4 Một họ ma trận Hermit A ⊆ Hn khơng suy biến có ma trận khơng suy biến A ∈ span {A} Ngược lại, suy biến Định nghĩa 1.5 Cho họ ma trận Hermit A ⊆ Hn , S ∈ A phần tử hạng cực đại span {A} rank (S) = maxA∈A rank (A) Mệnh đề 1.6 Cho A, B ∈ Fn×n Nếu AB = BA hai ma trận A B có chung vectơ riêng Chứng minh Gọi x vectơ riêng A ứng với giá trị riêng λ, tức ta có Ax = λx Đặt v := Bx Khi v ∈ Wλ , khơng gian riêng A ứng với giá trị riêng λ Thật vậy, AB = BA nên Av = ABx = BAx = λBx = λv Gọi {x1 , , xk } sở Wλ Đặt vi = Bxi , với i = 1, , k Suy vi ∈ Wλ ta viết vi dạng vi = c1i x1 + c2i x2 + · · · + cki xk , (1.1) với c1i , c2i , , cki hệ số Ta mở rộng sở {x1 , , xk } Wλ thành sở {x1 , , xk , xk+1 , , xn } Rn việc thêm vectơ xk+1 , , xn Khi từ (1.1) ta có  B  x1 · · · xk xk+1 · · · xn  =  Bx1 · · · Bxk Bxk+1 · · · Bxn  =  v1 · · · vk Bxk+1 · · · Bxn   =  x1 · · · xk Bxk+1 · · · Bxn  C D  , · O E (1.2) C = (cij ) ∈ Fk×k , O ma trận khơng cỡ (n − k) × k , D ∈ Fk×(n−k) E ∈ F(n−k)×(n−k)  Đặt P =  x1 · · · xk xk+1 · · · Vì cột P độc lập tuyến xn tính nên P khả nghịch Từ (1.2) ta có   C D   P −1 B P =  O E Suy det (B − tI) = det P −1 B P − tI = det P −1 [(λ1 α11 + + λm αm1 ) (λ1 α1n + + λm αmn )]
n m X
Y −1 = det P αij λi j=1 i=1 ! 30 đa thức với hệ số thực Mặt khác theo giả thiết ta có det L (λ) = 0, ∀λ ∈ Rm nên đa thức f (x1 , , xm ) = m n X Y j=1 ! αij xi ≡ i=1 Vì R [x1 , , xm ] miền nguyên nên tồn j ∈ {1, , n} cho qj (x1 , , xm ) = m X αij xi ≡ i=1 Suy (α1j , , αmj ) = Lấy vectơ x thỏa mãn P −1 x = ej , với ej vectơ đơn vị thứ j Fn Ta có Ai x = (P ∗ )−1 Di P −1 x = (P ∗ )−1 Di ej = 0, ∀i = 1, , m Suy 6= x ∈ Tm i=1 kerAi , điều mâu thuẫn với giả thiết dim Tm
i=1 kerAi = k = Vậy A1 , , Am không SDC b) Giả sử cho det L (λ) 6= (⇒) Vì A1 , , Am SDC nên tồn ma trận không suy biến P ∈ Fn×n cho P ∗ Ai P ∈ Fn×n ma trận đường chéo thực Do P ∗ L (λ) P = [P ∗ L (λ) P ]∗ (vì λ ∈ Rm ) Suy P −1 L (λ)−1 Ai P = [P ∗ L (λ) P ]−1 (P ∗ Ai P ) chéo hóa thực với i = 1, , m Khi P −1 L (λ)−1 A1 P, , P −1 L (λ)−1 Am P đôi giao hoán Do L (λ)−1 A1 , , L (λ)−1 Am tập ma trận đơi giao hốn chéo hóa với giá trị riêng thực Theo Định lí 1.19 suy L (λ)−1 A1 , , L (λ)−1 Am SDS (⇐) Cho P ∈ Fn×n ma trận không suy biến cho P −1 L (λ)−1 A1 P =: D1 ∈ Rn×n 31 ma trận đường chéo Giả sử D1 = diag (α1 In1 , , αk Ink ) , n1 + + nk = n, αi 6= αj , ∀i 6= j Vì D1 P −1 L (λ)−1 Ai P , với i = 2, , m, giao hoán nên theo Bổ đề 1.11 (ii) suy P −1 L (λ)−1 Ai P = diag (Ai1 , , Aik ) , Ait ∈ Fnt ×nt , ∀t = 1, , k Với t = 1, , k , ma trận A2t , , Amt SDS ma trận không suy biến Qt Thật vậy, P −1 L (λ)−1 Ai P chéo hóa tương đương nên Ait ∈ F nt ×nt với t = 1, , k chéo hóa tương đương (theo Bổ đề 1.17) Hơn nữa, L (λ)−1 A2 , , L (λ)−1 Am đơi giao hốn nên P −1 L (λ)−1 A2 P, , P −1 L (λ)−1 Am P đơi giao hốn Do theo Định lí 1.19 ta có A2t , , Amt SDS ma trận không suy biến Qt , với t = 1, , k , tức −1 Q−1 t A2t Qt =: D2t , , Qt Amt Qt =: Dmt ma trận đường chéo Tồn ma trận không suy biến U cho U ∗ A1 U, , U ∗ Am U đơi giao hốn Thật vậy, cho U = P · diag (Q1 , , Qk ) , với Q1 , , Qk ma trận khơng suy biến Ta có U −1 L(λ)−1 A1 U = diag Q1−1 , , Q−1 P −1 L(λ)−1 A1 P diag (Q1 , , Qk ) k
= diag (α In1 , , α k Ink ) = D1 , U −1 L(λ)−1 Ai U = diag Q1−1 , , Q−1 P −1 L(λ)−1 A1 P diag (Q1 , , Qk ) k
= diag (A i1 , , A ik ) = Di , i = 2, , m , 32 Dit ma trận đường chéo thực với i = 2, , m, với t = 1, , k Vì Ci ma trận Hermit nên (U ∗ L (λ) U ) Di = U ∗ Ai U = (U ∗ Ai U )∗ = Di (U ∗ L (λ) U ) , ∀i = 1, , m Khi (U ∗ Ai U ) (U ∗ Aj U ) = [U ∗ L (λ) U (Di Dj ) U ∗ SU ] = [U ∗ L (λ) U (Dj Di ) U ∗ L (λ) U ] = (U ∗ Aj U ) (U ∗ Ai U ) , ∀i 6= j Theo Định lí 1.21 ma trận A1 , , Am SDC Mệnh đề 1.24 [4] Cho A ⊆ Hn giả sử S ∈ span (A) khơng suy biến Khi A SDC S −1 A tập ma trận giao hốn chéo hóa với giá trị riêng thực Chứng minh (⇒) Giả sử A SDC tồn ma trận khả nghịch P ∈ Cn×n cho P ∗ A P ma trận đường chéo, với A ∈ A Lấy A ∈ A tùy ý, ta có P −1 S −1 A P = (P ∗ S P )−1 (P ∗ A P ) Vì P ∗ S P P ∗ AP ma trận đường chéo thực nên P −1 S −1 A P ma trận đường chéo thực Suy ma trận S −1 A chéo hóa với giá trị riêng thực Hơn nữa, với A, B ∈ A ta có P −1 S −1 A P
P −1 S −1 B P = P −1 S −1 B P
⇔ P −1 S −1 A S −1 B P = P −1 S −1 B S −1 A P ⇔ S −1 A S −1 B = S −1 B S −1 A ⇔ S −1 A
S −1 B = S −1 B

S −1 A

P −1 S −1 A P
33 Suy S −1 A tập ma trận giao hốn (⇐) Vì S −1 A tập ma trận đơi giao hốn nên theo tồn Định lí 1.19 ma trận khả nghịch P ∈ Cn×n cho P −1 S −1 A P ma trận đường chéo, với A ∈ A Hơn nữa, theo giả thiết S −1 A có giá trị riêng thực nên P −1 S −1 A P chéo hóa thực Với A ∈ A, ta đặt A : = P ∗ A P, DA : = P −1 S −1 A P Khi P −1 S −1 AP = (P ∗ S P )−1 (P ∗ A P ) ⇔ DA = S −1 A ⇔ S DA = A, ∀A ∈ A Với i, j ∈ [n] ta có S i,j (DA )j,j = Ai,j = Aj,i
∗ = S j,i (DA )i,i
∗ = S i,j (DA )i,i Nếu có ma trận A ∈ A cho (DA )i,i 6= (DA )j,j S i,j = Ai,j = Hơn S DB = B nên B i,j = với B ∈ A Ngược lại, (DA )i,i = (DA )j,j i ∼ j Khi ta viết S dạng ma trận khối sau   (1) S  S=   0 S (k)      Hơn nữa, với A ∈ A, tồn λ1 , , λk ∈ R cho    λ1  DA = P −1 S −1 A P =    0      λk 34 Khi    A = S DA =      S (1) S (k)   λ1       S (1) λk  λ1   =     Mệnh đề 1.25 [2] Cho A ∈ Cm×n Khi i) Im (A)⊥ = ker (A∗ ) Im (A∗ ) = ker (A)⊥ ii) ker (A∗ A) = ker (A) i) Ta có z ∈ Im(A)⊥ ⇔ z ∗ y = 0, ∀y ∈ Im (A) ⇔ z ∗ Ax = 0, ∀x ∈ Cn ⇔ z∗A = ⇔ A∗ z = ⇔ z ∈ ker (A∗ ) Từ kết ta có Im(A∗ )⊥ = ker (A) ⇔ Im (A∗ ) = ker (A)⊥ ii) Rõ ràng ker (A) ⊆ ker (A∗ A) Hơn → − u ∈ ker (A∗ A) − ⇔A∗ A → u =0 − ⇔A → u =0 − ⇔→ u ∈ ker (A) ma trận đường chéo Vậy A SDC Chứng minh  λk S (k)      35 Suy ker (A∗ A) ⊆ ker (A) Định lí 1.26 [2] Nếu V1 ∈ Cn×r có cột trực chuẩn tồn ma trận V2 ∈ Cn×(n−r) cho  V =  V1 V2 ma trận trực giao Ngồi cịn có Im (V1 )⊥ = Im (V2 ) Chứng minh Ta xem Cn không gian véctơ Euclide n chiều Khi r cột V1 hệ véctơ trực chuẩn nên bổ sung n − r véctơ để sở trực chuẩn Cn Định lí 1.27 [2] Cho A ma trận phức cỡ m × n Khi tồn hai ma     trận unita U = u1 · · · um ∈ Cm×m V = v1 · · · ∈ Cn×n cho U ∗ AV = diag (σ1 , , σp ) ∈m×n , p = {m, n} , σ1 ≥ σ2 ≥ ≥ σp ≥ Chứng minh Vì ma trận A∗ A đối xứng nên chéo hóa trực giao được, tức tồn ma trận trực giao V cấp n ma trận đường chéo Λ = diag (λ1 , , λr , 0, , 0), r = rank (A), cho A∗ A = V Λ V ∗ Ta viết T Λ = Σ Σ, Σ = diag p λ 1, , p  λr , 0, , ∈ Rm×n Bây ta cần xác định ma trận trực giao U cấp m cho A = U ΣV ∗ Do ker (A∗ A) = ker (A) theo Mệnh đề 1.25 véctơ cột vj V sở