Chéo hóa tương đẳng đồng thời xấp xỉ của hệ hai và ba ma trận hermit

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN MAI THỊ THU CHÉO HÓA TƯƠNG ĐẲNG ĐỒNG THỜI XẤP XỈ CỦA HỆ HAI VÀ BA MA TRẬN HERMIT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - Năm 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN MAI THỊ THU CHÉO HÓA TƯƠNG ĐẲNG ĐỒNG THỜI XẤP XỈ CỦA HỆ HAI VÀ BA MA TRẬN HERMIT Chuyên ngành: Đại số lí thuyết số Mã số: 8.46.01.04 Người hướng dẫn: TS LÊ THANH HIẾU i LỜI CAM ĐOAN Luận văn hoàn thành Trường Đại học Quy Nhơn Tôi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Đề tài “Chéo hóa tương đẳng đồng thời xấp xỉ hệ hai ba ma trận Hermit” kết nghiên cứu hướng dẫn TS Lê Thanh Hiếu chưa công bố cơng trình khoa học khác thời điểm Tôi xin cam đoan kết trình bày luận văn có tài liệu tham khảo trích dẫn rõ ràng, đảm bảo tính trung thực, xác Bịnh Định, ngày tháng năm 2022 Tác giả Mai Thị Thu ii Mục lục Lời cam đoan i Lời nói đầu 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Ma trận Hermit số tính chất 1.2 Chéo hóa tương đương tương đẳng đồng thời họ ma trận Hermit 12 1.2.1 Chéo hóa tương đương, chéo hóa tương đẳng đồng thời 12 1.2.2 Mối quan hệ hai khái niệm chéo hóa tương đương chéo hóa tương đẳng đồng thời 16 CHÉO HÓA TƯƠNG ĐẲNG ĐỒNG THỜI XẤP XỈ CỦA HỆ HAI VÀ BA MA TRẬN HERMIT 39 2.1 Một số định nghĩa tính chất tổng quát 39 2.2 Tính chất ASDC cặp ma trận Hermit 42 2.3 2.2.1 Dạng chuẩn tắc cho cặp ma trận Hermit 42 2.2.2 Trường hợp cặp ma trận Hermit không suy biến 43 2.2.3 Trường hợp cặp ma trận Hermit suy biến 49 Tính chất ASDC ba ma trận không suy biến 55 Kết luận 60 iii Tài liệu tham khảo 61 Lời nói đầu Chéo hóa ma trận công cụ chủ yếu để nghiên cứu nhiều tốn tính lũy thừa ma trận vng, xác định dãy truy hồi tuyến tính với hệ số khơng đổi, giải số phương trình ma trận, Bên cạnh sử dụng nhiều ngành ứng dụng Toán học Việc nghiên cứu lý thuyết ma trận khơng nhằm mục đích phát kỹ thuật đại số mà đáp ứng nhu cầu tính tốn lĩnh vực như: tính tốn lượng tử, khoa học tính tốn, tốn tối ưu, Một số toán kinh tế, kỹ thuật dẫn đến vấn đề chéo hóa (tương đương tương đẳng) ma trận lúc Tuy nhiên, lúc ta chéo hóa tương đẳng đồng thời ma trận Trong số trường hợp ta tìm số ma trận chéo hóa tương đẳng đồng thời mà xấp xỉ với ma trận ban đầu Người ta gọi chéo hóa tương đẳng đồng thời xấp xỉ Luận văn “Chéo hóa tương đẳng đồng thời xấp xỉ hệ hai ba ma trận Hermit” gồm hai chương Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số kiến thức chuẩn bị liên quan đến chéo hóa tương đương đồng thời chéo hóa tương đẳng đồng thời họ ma trận Hermit Chương Chéo hóa tương đẳng đồng thời xấp xỉ hệ hai ba ma trận Hermit Trong chương này, chúng tơi trình bày số điều kiện cần đủ để chéo hóa tương đẳng đồng thời xấp xỉ hệ hai ma trận Hermit không suy biến, hệ hai ma trận Hermit suy biến hệ ba trận Hermit không suy biến Luận văn hồn thành nhờ hướng dẫn tận tình tâm huyết TS Lê Thanh Hiếu, Trường Đại học Quy Nhơn Thầy dành nhiều thời gian, công sức để giúp đỡ, bảo khắc phục sai sót tơi q trình thực luận văn Nhân dịp này, xin gửi lời cảm ơn chân thành tri ân sâu sắc đến Thầy Chúng gửi lời cảm ơn đến quý ban lãnh đạo Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo sau đại học, Khoa Tốn Thống kê q thầy giáo giảng dạy lớp cao học Đại số lí thuyết số khóa 23 tận tâm giảng dạy suốt khóa học, tạo điều kiện cho chúng tơi trình học tập trình thực luận văn Cuối xin chân thành cảm ơn gia đình bạn bè ln động viên, hỗ trợ tơi mặt tình thần để tơi hồn thành tốt khóa học luận văn Bản thân nỗ lực, cố gắng để hồn thành luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận dẫn, đóng góp q Thầy Cơ bạn đọc để luận văn hoàn thiện Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương chúng tơi trình bày số định nghĩa, tính chất ma trận Hermit tính chéo hóa tương đương, tương đẳng đồng thời họ ma trận Hermit làm kiến thức chuẩn bị cho chương sau Nội dung chương tham khảo từ tài liệu [1], [2] [3] 1.1 Ma trận Hermit số tính chất Các kiến thức mục dùng để chứng minh kết sau Đây kết Đại số tuyến tính tham khảo từ [1] Trong suốt luận văn này, F trường số thực R hay trường số phức C Định nghĩa 1.1 Ma trận phức vuông A gọi ma trận Hermit A = A∗ , A∗ ma trận chuyển vị liên hợp ma trận A Định nghĩa 1.2 Ma trận U ∈ Cn×n gọi unita U ∗ U = In Nếu U ∈ Rn×n U gọi trực giao unita, nghĩa U T U = In Định nghĩa 1.3 Một ma trận A ∈ Fn×n gọi khơng suy biến định thức khác Định nghĩa 1.4 Một họ ma trận Hermit A ⊆ Hn khơng suy biến có ma trận khơng suy biến A ∈ span {A} Ngược lại, suy biến Định nghĩa 1.5 Cho họ ma trận Hermit A ⊆ Hn , S ∈ A phần tử hạng cực đại span {A} rank (S) = maxA∈A rank (A) Mệnh đề 1.6 Cho A, B ∈ Fn×n Nếu AB = BA hai ma trận A B có chung vectơ riêng Chứng minh Gọi x vectơ riêng A ứng với giá trị riêng λ, tức ta có Ax = λx Đặt v := Bx Khi v ∈ Wλ , khơng gian riêng A ứng với giá trị riêng λ Thật vậy, AB = BA nên Av = ABx = BAx = λBx = λv Gọi {x1 , , xk } sở Wλ Đặt vi = Bxi , với i = 1, , k Suy vi ∈ Wλ ta viết vi dạng vi = c1i x1 + c2i x2 + · · · + cki xk , (1.1) với c1i , c2i , , cki hệ số Ta mở rộng sở {x1 , , xk } Wλ thành sở {x1 , , xk , xk+1 , , xn } Rn việc thêm vectơ xk+1 , , xn Khi từ (1.1) ta có B x1 · · · = Bx1 · · · = v1 · · · xk xk+1 · · · Bxk vk xn Bxk+1 · · · Bxk+1 · · · Bxn Bxn  = x1 · · · xk Bxk+1 · · · Bxn  C D  , · O E (1.2) C = (cij ) ∈ Fk×k , O ma trận khơng cỡ (n − k) × k , D ∈ Fk×(n−k) E ∈ F(n−k)×(n−k) Đặt P = x1 · · · xk xk+1 · · · Vì cột P độc lập tuyến xn tính nên P khả nghịch Từ (1.2) ta có   C D   P −1 B P =  O E Suy det (B − tI) = det P −1 B P − tI C − tI D O E − tI = = det (C − tI) · det (E − tI) Gọi µ giá trị riêng a = vectơ riêng tương ứng C Vì det (C − µI) = nên det (B − µI) = Suy µ giá trị riêng B Giả sử       a=     a1  a2 ak         lấy y = a1 x1 + · · · + ak xk ∈ Wλ Vì y = (do a = 0) y tổ hợp tuyến tính vectơ sở Wλ nên y vectơ  riêngtrong Wλ C D  Nhân hai vế phương trình BP = P   vectơ O E 47 Chứng minh Giả sử {A, B} ASDC Khi với > 0, tồn A, B ∈ Hn×n cho A − A ≤ , B − B ≤ A, B SDC Vì A khả nghịch nên A khả nghịch Từ Mệnh đề 1.24 suy A−1 B có giá trị riêng thực Do theo Bổ đề 2.12, A−1 B có giá trị riêng thực Ngược lại, {A, B} ⊆ Hn A khả nghịch nên theo Bổ đề 2.12, với A−1 B ma trận chéo hóa > 0, tồn B ∈ Hn cho B − B ≤ có giá trị riêng thực (do A−1 B có giá trị riêng thực) Do từ Mệnh đề 1.24 suy A, B SDC Vậy {A, B} ASDC Ví dụ 2.14 Cho hai ma trận Hermit sau      i 0  −i       B =   A= −i −1         0 i −1 Ta có |A| = i −i −1 0 =1· −1 0 +i· i 0 = −1 + i2 = −2 = Suy A khả nghịch Khi phần bù đại số Aij 48 −1 0 −i −1 = 0, A23 = − A13 = = 0, = 0, 1 i i = −2 = 0, A33 = −i −1 0 −i 0 1 −1 = 1, A32 = − = i, A22 = i = − i, A31 = 1 −i A12 = − i = −1, A21 = − A11 = Suy    A11 A21 A31  A −1 = ·  A12 A22 A32 |A|        =     A13 A23 A33 i −i −1 0       Xét ma trận    −1 A B=     i     −i  −i −1 0      =       ·   i −1 i −i −1 −1 i Ta có A−1 B − λI = ⇔ i −i −i −1 − λ −1 i 1−λ −λ =0 ⇔ −λ3 + 12 λ2 + 2λ = √ ⇔ −λ · λ + 33−1   λ=0  √ − 33+1 ⇔ λ =   √ λ= 33+1 · λ− √ 33+1 −i 2 =0       49 Vì ma trận A−1 B có giá trị riêng thực nên theo Định lí 2.13 suy {A, B} ASDC 2.2.3 Trường hợp cặp ma trận Hermit suy biến Trong phần lại mục này, ta nghiên cứu tính chất ASDC {A, B} suy biến, nghĩa tất ma trận span {A, B} suy biến Ta chứng minh cặp ma trận Hermit suy biến ASDC Định lí 2.15 Cho {A, B} ⊆ Hn Nếu {A, B} suy biến ASDC Chứng minh Khơng tính tổng qt, giả sử A phần tử có hạng cực đại span ({A, B}) Vì A suy biến nên theo Mệnh đề 2.9 ta có m3 + m4 ≥ (khơng xét m1 , m2 khối m1 , m2 khả nghịch) Từ xảy ba trường hợp sau: m ≥ m4 = 1; m ≥ 2, m3 ≥ m4 = 0; m = Theo Mệnh đề 2.9 tồn P khả nghịch cho    A P ∗ AP =  A  ∗ B  , P BP =   B  , A, B khối ma trận chứa khối m1 , m2 A, B khối ma trận chứa khối m3 , m4 Đặt A = P ∗ AP, B = P ∗ BP Trong trường hợp 1, m4 = nên A = B = 01×1 Trong trường hợp 2, m ≥ 2, m3 ≥ 1, m4 = nên   Fnm    A=   Fnm   , B = G2nm +1   50 −1 Hơn A chứa khối m1 , m2 nên A khơng suy biến Do A B có −1 giá trị riêng đơn (theo Bổ đề 2.12) A B có giá trị riêng khơng thực (ta xét ma trận A B tương ứng với giá trị riêng phức −1 A B ) Theo Mệnh đề 2.9 ta có         A=                   λ1    λ∗    B=       λk λ∗k             Ta xét trường hợp sau Trường hợp Xét ma trận          Aε =          1                 51  λ1         B =        α1   √  λ∗1 √ λk √ α1∗ √ ··· αk∗ αk √ λ∗k √  √ √ z α ∈ Ck , z ∈ R, > Khi giá trị riêng   λ1       −1  A B =        ∗ √ λ1 √ λ∗k λk √1 ··· α1 α1 √  √ ∗ αk∗ √ √1 √              αk z                 nghiệm đa thức (theo biến ξ ) k k (λi − ξ) (λ∗i (z − ξ) (2Re (αi λ∗i ) − 2Re (αi ) ξ) − ξ) − i=1 i=1 (λj − ξ) λ∗j − ξ j=i (2.1) khơng phụ thuộc vào Đặt αi = yi −i xi +Re(λi )yi 2Im(λi ) với xi , yi ∈ R, đa thức đặc trưng trở thành k k (λi − ξ) (λ∗i (z − ξ) i=1 − ξ) − (λj − ξ) λ∗j − ξ (xi + yi ξ) i=1 j=i Xét đa thức sau (λj − ξ) λ∗j − ξ , gi (ξ) := ξfi (ξ) , ∀i ∈ [k] , fi (ξ) := j=i (2.2) 52 k (λi − ξ) (λ∗i − ξ) h (ξ) := i=1 Vì λ1 , λ∗1 , , λk , λ∗k giá trị phân biệt C\R nên {f1 , g1 , , fk , gk , h} sở đa thức bậc 2k theo biến ξ Nếu ξ1 , , ξ2k+1 ∈ R nghiệm (2.2)         x1      f1 (ξ1 ) ··· h (ξ1 )            f1 (ξ2k+1 ) · · · h (ξ2k+1 )     y1 xk yk z      ξ1 h (ξ1 )       =     ξ2k+1 h (ξ2k+1 )           (2.3) Suy   x1           =      z −1   ··· f1 (ξ1 ) h (ξ1 ) ξ1 h (ξ1 )      f1 (ξ2k+1 ) · · ·       h (ξ2k+1 )      ξ2k+1 h (ξ2k+1 ) Vì {f1 , g1 , , h} độc lập tuyến tính ξ1 giá trị thực phân biệt nên        f1 (ξ1 ) ··· h (ξ1 ) f1 (ξ2k+1 ) · · · h (ξ2k+1 ) ma trận thực, khả nghịch Hơn ,   ξ1 h (ξ1 )      ξ2k+1 h (ξ2k+1 ),           53 thực nên xi , yi ∈ R, z ∈ R Ngược lại, ta có đẳng thức (2.3) ta suy {ξ1 , , ξ2k+1 } ∈ R chúng nghiệm (2.2) Như vậy, ∃x, y ∈ Rn z ∈ R cho giá trị riêng A dụng Định lí 2.13 cho A , B suy A , B −1 B thực Áp ASDC Do ∀ > 0, ∃A, B cho A − A < , B − B < Suy ∀ > 0, ∃A, B cho A − A < , B − B < A, B {A, B} ASDC Trường hợp Xét ma trận              A =                                   1 Fnm Fnm A, B SDC SDC Vậy 54  λ1    λ∗         B =         √ √  α1∗   √ α1 √ √ λk αk √ λ∗k Gnm ··· √ αk∗ √ z Gnm Khi giá trị riêng  ∗  λ1   λ1         −1 A B =         ∗ α1  √ √1    e1  √ √ α1 √ λ∗k √ λk Fnm Gnm ··· e∗1                        αk∗ √ √1 αk enm e∗1 z Fnm Gnm                        nghiệm (theo biến ξ ) đa thức  k (λi − ξ) (λ∗i − ξ) − ξ 2nm (z − ξ)  k i=1 (2Re (αi λ∗i ) − 2Re (αi ) ξ) i=1 (λj − ξ) λ∗j − ξ  j=i khơng phụ thuộc vào Tương tự trường hợp 1, ta chọn α ∈ Ck z ∈ R cho A −1 suy ∀ > 0, A , B B có giá trị riêng thực Khi áp dụng Định lí 2.13 ASDC Do {A, B} ASDC 55 Trường hợp Trong trường hợp ta có m = m3 + m4 = Nếu m4 = A = B = Suy {A, B} ASDC Ngược lại, m3 = ta có   Fnm   A=      , B = G2nm +1   Fnm Khi ∀ = 0, xét tập   Fnm        A =   Fnm Ta có A −1 B ma trận tam giác với đường chéo nên áp dụng Định lí 2.13 suy ∀ = 0, A , B 2.3 ASDC Vậy {A, B} ASDC Tính chất ASDC ba ma trận không suy biến Trong mục này, kiểm tra tính chất ASDC cho ba ma trận khơng suy biến Định lí 2.16 Cho {A, B, C} ⊆ Hn giả sử A khả nghịch Khi {A, B, C} ⊆ Hn ASDC A−1 B, A−1 C giao hoán với giá trị riêng thực Chứng minh (⇒) Giả sử {A, B, C} ASDC Khi với ma trận B, C cho B − B < , Mệnh đề 1.24 ta có A−1 B, A−1 C C −C < A, B, C > tồn SDC Theo giao hoán với giá trị riêng thực Theo Bổ đề 2.12 suy A−1 B, A−1 C giao hoán với giá trị riêng thực (⇐) Ta chứng minh chiều ngược lại phương pháp quy nạp 56 Giả sử n ≥ Ta chia chứng minh thành bốn trường hợp: Đầu tiên, ta xét A−1 B A−1 C có giá trị riêng bội Nếu không xảy trường hợp này, ta xét sở {A, B + λB A, C + λC A} (với λB λC thích hợp) span {A, B, C}, A−1 B A−1 C lũy linh Ba trường hợp lại xét theo cấu trúc khối Jordan A−1 B : kích thuớc khối bội, khối bội kích thước giống khối đơn Khơng tính tổng quát, ta làm việc sở Mệnh đề 2.9 để A−1 B có dạng Jordan chuẩn tắc Giả sử khối A−1 B xếp theo thứ tự tăng dần theo giá trị riêng kích thước khối Trường hợp Giả sử A−1 B có l giá trị riêng phân biệt Khi ta viết C dạng l × l ma trận khối theo phân hoạch cảm sinh giá trị riêng A−1 B Vì A−1 C giao hoán với A−1 B nên A−1 C khối chéo Do đó, theo cấu trúc khối cảm sinh giá trị riêng A−1 B , ma trận A, B , C chéo khối, với khối chéo thỏa mãn điều kiện giả thiết quy nạp Ta suy {A, B, C} ASDC Trường hợp Giả sử A−1 B A−1 C lũy linh A−1 B có khối kích thước phân biệt Cụ thể, ta giả sử A−1 B có k khối kích thước η = n1 = · · · = nk < nk+1 ≤ · · · ≤ nm Theo Mệnh đề 2.9 ta có A = diag σ1 Fη , , σk Fη , Fnk+1 , , Fnm với σi ∈ {±1} Đặt C = C + · diag σ1 Fη , , σk Fη , 0nk+1 , , 0nm 57 Ta có A−1 C A−1 B = A−1 C + diag σ1 Fη , , σk Fη , 0nk+1 , , 0nm A−1 B = A−1 C + A−1 diag σ1 Fη , , σk Fη , 0nk+1 , , 0nm = A−1 C A−1 B A−1 B + A−1 diag σ1 Fη , , σk Fη , 0nk+1 , , 0nm = A−1 B A−1 C + A−1 B A−1 diag σ1 Fη , , σk Fη , 0nk+1 , , 0nm = A−1 B A−1 C + diag σ1 Fη , , σk Fη , 0nk+1 , , 0nm = A−1 B A−1 C Suy A−1 C giao hoán với A−1 B Theo Bổ đề 2.5, A−1 C ∈ Hn Do C ∈ Hn Ký hiệu ánh xạ tuyến tính thiết lập Bổ đề 2.8 Vì ni = nj với i ≤ k j ≥ k + 1, nên khối chéo A−1 C viết dạng ma trận  A−1 C −1  A C =  1,1 A−1 C   2,2 với khối có kích thước ηk × ηk (n − ηk) × (n − ηk) tương ứng Vì tồn giá trị nên A−1 C =  A−1 C 1,1 A−1 C + A−1 C =    = A−1 C lũy linh Khi diag σ1 Fη , , σk Fη , 0nk+1 , , 0nm     Iηk +    1,1 A−1 C A−1 C 2,2 2,2  1,1 + Iηk A−1 C   2,2 0(n−ηk) bảo A−1 B 58 Suy A−1 C có giá trị riêng {0, } Theo trường hợp ta có A, B, C ASDC Do {A, B, C} ASDC Trường hợp Giả sử A−1 B A−1 C lũy linh A−1 B có khối Jordan kích thước Cụ thể, ta giả sử A−1 B có k ≥ khối Jordan kích thước η Theo Mệnh đề 2.9 ta có A = diag (σ1 , , σk ) ⊗ Fη B = diag (σ1 , , σk ) ⊗ Gη , σi ∈ {±} Ma trận C viết dạng k × k khối ma trận với khối Ci,j ∈ Cη×η Theo Bổ đề 2.5, A−1 C ∈ T ta viết η Ci,j = Fη (l) γi,j (Fη Gη )l−1 (1) γi,j Iη + l=2 Ký hiệu ánh xạ tuyến tính thiết lập Bổ đề 2.8 Cho A = diag (σ1 , , σk ) (1) C = γi,j ∗ (1) = γ (1) Do A, C ∈ Hk Hơn nữa, Vì C ∈ Hn nên γi,j i,j −1 riêng A C = −1 A−1 C , ta suy A bảo tồn giá trị C có giá trị riêng thực Khi áp dụng Bổ đề 2.12, tồn C ∈ Hk cho C − C < A −1 C có k giá trị riêng thực phân biệt Xét ma trận C = C + C − C ⊗ Fη Khi theo Bổ đề 2.5 suy A−1 B A−1 C giao hoán Hơn A−1 C có khối tam giác Toeplitz nên có giá trị riêng giống với giá trị riêng A−1 C =A −1 C Từ trường hợp ta suy A, B, C ASDC Vậy {A, B, C} ASDC Trường hợp Giả sử A−1 B A−1 C lũy linh A−1 B khối Jordan Khi theo Mệnh đề 2.9 ta có 59 A = σFn B = σGn với σ ∈ {±1} Hơn theo Bổ đề 2.5 theo giả thiết A−1 C lũy linh ta viết n ci (Fn Gn )i−1 C = σFn i=2 với c2 , , cn ∈ R Cho > xét tập B = B + σ (e1 e∗n + en e∗1 ) C = C + σ (en γ ∗ + γe∗n ) γ ∈ R cho γn = γn−1 = γi = ε (ci+1 + γi+1 ), với i ∈ [n − 2] Ta có A−1 B A−1 C = A−1 B + A−1 σ (e1 e∗n + en e∗1 ) = A−1 B A−1 C + A−1 B A−1 C + A−1 σ (en γ ∗ + γe∗n ) A−1 σ (en γ ∗ + γe∗n ) + A−1 σ (e1 e∗n + en e∗1 ) A−1 C + A−1 σ (e1 e∗n + en e∗1 ) A−1 σ (en γ ∗ + γe∗n ) = A−1 C + A−1 C A−1 B + A−1 σ (en γ ∗ + γe∗n ) A−1 σ (e1 e∗n + en e∗1 ) + A−1 σ (en γ ∗ + γe∗n ) A−1 σ (e1 e∗n + en e∗1 ) = A−1 C + A−1 σ (en γ ∗ + γe∗n ) = A−1 C A−1 B A−1 B + A−1 σ (e1 e∗n + en e∗1 ) A−1 B Suy A−1 B A−1 C giao hốn có giá trị riêng thực Đặc biệt, A−1 B có giá trị riêng phân biệt {0, } nên theo trường hợp ta suy ASDC Vậy {A, B, C} ASDC A, B, C 60 Kết luận Trong luận văn đạt số kết sau: (1) Tìm hiểu trình bày số điều kiện cần/đủ để họ ma trận vng cấp chéo hóa tương đương đồng thời (xem Định lí 1.19) (2) Tìm hiểu trình bày số điều kiện cần/đủ để họ ma trận Hermit chéo hóa tương đẳng đồng thời (xem Mệnh đề 1.24 ) (3) Trình bày điều kiện cần đủ để hệ hai ma trận Hermit khơng suy biến chéo hóa tương đẳng đồng thời xấp xỉ (xem Định lí 2.13) (4) Trình bày điều kiện đủ để hệ hai ma trận Hermit suy biến chéo hóa tương đẳng đồng thời xấp xỉ (xem Định lí 2.15) (5) Trình bày điều kiện cần đủ để hệ ba ma trận Hermit không suy biến chéo hóa tương đẳng đồng thời xấp xỉ (xem Định lí 2.16) 61 Tài liệu tham khảo [1] R A Horn and C R Johnson, Matrix analysis, 2nd Revised edition, Cambridge University Press, 2013 [2] T H Le, Bài giảng Tính tốn ma trận, Khoa Tốn Thống kê, Trường Đại học Quy Nhơn, 2018 [3] T H Le and T N Nguyen, Simultaneous diagonalization via congruence of Hermitian matrices: some equivalent conditions and a numerical solution, SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications 43 (2), 882-911, 2022 [4] A L Wang and R Jiang, New notions of simultaneous diagonalizability of quadratic forms with application to QCQPs, arXiv:2101.12141, 2021 ... thức chuẩn bị liên quan đến chéo hóa tương đương đồng thời chéo hóa tương đẳng đồng thời họ ma trận Hermit Chương Chéo hóa tương đẳng đồng thời xấp xỉ hệ hai ba ma trận Hermit Trong chương này,... đồng thời mà xấp xỉ với ma trận ban đầu Người ta gọi chéo hóa tương đẳng đồng thời xấp xỉ Luận văn ? ?Chéo hóa tương đẳng đồng thời xấp xỉ hệ hai ba ma trận Hermit? ?? gồm hai chương Chương Kiến thức... đề chéo hóa (tương đương tương đẳng) ma trận lúc Tuy nhiên, khơng phải lúc ta chéo hóa tương đẳng đồng thời ma trận Trong số trường hợp ta tìm số ma trận chéo hóa tương đẳng đồng thời mà xấp xỉ