Chéo hóa tương đẳng đồng thời hệ hai, ba ma trận trên trường số

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN ĐẶNG THỊ THU THAO CHÉO HÓA TƯƠNG ĐANG ĐỒNG THỜI HỆ HAI, BA MA TRẬN TRÊN TRƯỜNG số LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC ĐẶNG THỊ THU THAO CHÉO HĨA TƯƠNG ĐANG Bình Định - 2020 Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN ĐỒNG THỜI HỆ HAI, BA MA TRẬN TRÊN TRƯỜNG số Chuyên ngành: Đại số lí thuyết số Mã số: 8.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC Người hướng dẫn: TS LÊ THANH HlẾU Bình Định - 2020 Mục lục 1.1 1.1.1 Tính SDC tính giao hốn hệ hai ma trận Lời mở đầu Ta nói ma trận vuông A cấp n trường F chéo hóa tương đương tồn ma trận vng P cấp n khả nghịch cho P-1AP ma trận đường chéo; ma trận vuông A cấp n trường F chéo hóa tương đẳng tồn ma trận vuông P cấp n khả nghịch cho PHAP ma trận đường chéo Ta biết ma trận Hermit A E Cnxn chéo hóa tương đẳng Nghĩa là, tồn ma trận khả nghịch P G C nxn, PHP = In cho PHAP E Rnxn ma trận đường chéo Tuy nhiên vấn đề đặt là, với hệ ma trận Hermit A1, A2, , Am , có tồn hay không ma trận khả nghịch P E Cnxn làm chéo hóa đồng thời tất ma trận Ai, i = 1,m ? Nghĩa có tồn hay không ma trận không suy biến P cho PH AịP, Vi = ,m ma trận đường chéo Điều kiện cần đủ để tồn ma trận P làm chéo hóa đồng thời hệ gì? Trong luận văn này, chúng tơi tập trung giải vấn đề nêu hệ hai ba ma trận đối xứng thực, ma trận Hermit Luận văn "Chéo hóa tương đẳng đồng thời hệ hai, ba ma trận trường số" gồm ba chương Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số kiến thức chuẩn bị hên quan đến chéo hóa ma trận trường Số sử dụng luận văn Chương Chéo hóa tương đẳng đồng thời hệ hai ba ma trận đối xứng thực Chương trình bày số điều kiện cần đủ để chéo hóa tương đẳng đồng thời hệ hai ma trận đối xứng thực, hệ ba ma trận đối xứng thực, mối hên hệ chéo hóa tương đẳng đồng thời với chéo hóa tương đương đồng thời Chương Chéo hóa tương đẳng đồng thời hệ hai ba ma trận Hermit Chương trình bày vấn đề tương tự Chương cho họ ma trận Hermit Luận văn hoàn thành nhờ hướng dẫn giúp đỡ tận tình TS Lê Thanh Hiếu, Trường Đại học Quy Nhơn Nhân dịp này, xin bày tỏ kính trọng lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy tận tình giúp đỡ tơi suốt trình học tập thực luận văn Chúng xin gửi lời cảm ơn đến quý Ban lãnh đạo Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo sau đại học, Khoa Tốn q thầy giáo giảng dạy lớp cao học Đại số lí thuyết số khóa 21 dày cơng giảng dạy suốt khóa học, tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tơi q trình học tập thực đề tài Nhân đây, xin chân thành cảm ơn hỗ trợ mặt tinh thần gia đình, bạn bè ln tạo điều kiện giúp đỡ để chúng tơi hồn thành tốt khóa học luận văn Mặc dù luận văn thực với nỗ lực cố gắng thân, điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận góp ý q thầy giáo để luận văn hồn thiện Bình Định, ngày tháng năm 2020 Học viên thực đề tài Đặng Thị Thu Thảo Chương Một sô kiên thức chuân bị Trong suốt luận văn này, F trường số thực R hay trường số phức C Định nghĩa 1.1 Ma trận thực vuông A gọi ma trận đối xứng thực A T = A AT ma trận chuyển vị ma trận A Ma trận A E Cnxn gọi đối xứng phức AT = A Ma trận phức vuông A gọi ma trận Hermit A = AH, AH ma trận chuyển vị liên hợp ma trận A Định nghĩa 1.2 Ma trận A E Fnxn gọi chéo hóa tương đương tồn ma trận P E Fnxn khả nghịch cho P-1AP ma trận đường chéo Khi ta nói A DS (diagonalizable via similarity) F Ma trận A E Fnxn gọi chéo hóa tương đẳng tồn ma trận P E F nxn khả nghịch cho PHAP ma trận đường chéo Khi ta nói A DC (diagonalizable via congruence) F Định nghĩa 1.3 a) Một họ ma trận A 1, , Am E Fnxn gọi SDC F có ma trận khả nghịch P E Fnxn cho PHAiP ma trận đường chéo với i = 1, m b) Một họ ma trận A1, , Am G Fnxn gọi SDS F có ma trận khả nghịch P E Fnxn cho P-1AiP ma trận đường chéo với i = 1, m Nhận xét 1.1 Một họ ma trận A1, ,An có thể: +) Mỗi Ai,i = 1,m chéo hóa tương đẳng F khơng chéo hóa tương đẳng đồng thời trên~F +) Tương tự cho họ chéo hóa tương đương đồng thời 01 2X2 CC 11 Ai = Ví dụ 1.2 Xét Khi {A1,A2} khơng chéo hóa tương đẳng đồng thời R Ai,i =1, 2X2 GR chéo hóa tương đẳng R Thật vậy, ta có A1T = A1,A2T trực giao = A2 nên ma trận chéo hóa -1+y5 710-2^5 Ự10-2V5 1-v5 _ự10-2V5 ự10—2 Khi v5_ ,P2 = 1—V5 Ự10-2V5 Ự10-2V5 -1+V5 _ự10-2V5 Ự10-2 V5 P1 V5+1 , P2TA2P2 = V5+1 hai ma trận đường chéo P1T A1P = - V5+1 0 V5+1 Tuy nhiên A1 A2 khơng chéo hóa đồng thời Thật vậy, ta có det A1 = — = det A2 nên A1 khả nghịch, A1-1 -1 -1 -1 10 -1 M = A1-1A2 = -1 11 Ta có p M (A) = o PA1-1A2 ( ) = A -A -1 1-A o A (A - 1) + = ± ÍA/3 Do M có hai giá trị riêng phân biệt nên M chéo hóa Bây giờ, giả sử có ma trận P = nghịch Khi ẽi P A1P = Ể2 a2 _ T PT A2P = không suy biến cho a1D -1D = P-1A -1 A P = P-1MP Suy 2 = diag (ai, a2) := D1, a.2 @1 = diag (&,&) := D2 @2 Do det A1 = -1 = det A2 nên a1a2 = = ^1^2 Tức D1,D2 khả — — giá trị riêng M, tức a a + iV3 < {A±}= p+2 , Suy = A+ a1, -ý = A- a2 E C Do A± E C\R nên P E C2x2\R2x2 Cụ thể, ta xác định tất ma trận P làm chéo hóa M có xA- yA+ -x - y Rõ ràng I x,y E C x E R xA- E C, x E C P E C 2x2 \ R2x2 Do P E C 2x2 \ R2x2 Điều chứng tỏ khơng có P E R2x2 khả nghịch mà PTA1P, PTA2P ma trận đường chéo, ma trận A1, A2 chéo hóa trực giao R2x2 Mệnh đề 1.1 Nếu A = diag (a1Ini, ,akInk) với = aj E F Vi = j; n1 + + nk = n AB = BA B = diag (B1, , Bk) với Bị E Fnx!, Vi = 1,k Hơn nữa, B ma trận đối xứng (tương ứng ma trận Hermit) thỉ Bi Mệnh đề 1.2 Mọi ma trận Hermit A chéo hóa trực giao được, nghĩa là, tồn ma trận unita U E Cnxn, UHU = In cho UHAU E Rnxn ma trận đường chéo Hơn nứa, A E Rnxn í/ù U chọn ma trận trực giao U E Rnxn, UTU = In Cho A1, ,Am E Fnxn, kí hiệu m L(A) = Y, Ai Ai, i=1 A = (A1, ,Am) E Rm, gọi chùm ma trận sinh A1, , Am Mệnh đề 1.3 Cho A1, ,Am E F1™™ Nếu tồn A E Rm cho det L(A) = 0, giả sử A1 = thỉ A1, , Am SDC F L(A), A2, , Am SDC F Do mệnh đề trên, luận văn xét hai trường hợp: (i) Họ A1, , Am có ma trận khả nghịch; (ii) Khơng có ma trận khả nghịch Định nghĩa 1.4 Một miền nguyên vành giao hốn có đơn vị khơng có ước Ví dụ 1.3 a) Z, Q, R, C miền nguyên b) Vành cấc ma trận vuông Rnxn, Cnxn không mền nguyên 10 01 01 — Chẳng hạn, 00 00 00 01 10 00 00 00 — 00 Mệnh đề 1.4 Nếu F miền nguyên thỉ F[x] = F [xi, ,xn] miền nguyên Chứng minh Giả sử F trường Xét F [x 1, , xn] với thứ tự đơn thức Khi đó, với f, g G F [x1, , xn], ta viết f, g theo thứ tự đơn thức sau: f (x) = faXa + , g(x) = g3+ , fa,g3 G F \ {0} hệ số cao f (x) g(x) ứng với thứ tự đơn thức Khi đó, f (x)g(x) = hệ số cao h(x) = f (x)g(x) G F [x1, , xn] fag3 = Do F miền nguyên nên fa = g3 = Điều mâu thuẫn với fa,g3 G F \ {0} Vậy F [xi, , xn] miền nguyên □ Định nghĩa 1.5 Ma trận U G C nxn gọi unita UHU = In Nếu U G Rnxn U gọi trực giao unita, nghĩa UT U = In Định nghĩa 1.6 i) Ma trận Hermit A E Hn gọi nửa xác định dương x HAx > 0, Vx G Cnx1 Ta viết A h 0ii) Ma trận đối xứng A E Rnxn gọi nửa xác định dương x TAx > 0, Vx G Rnxl Ta viết A > iii) Một ma trận nửa xác định dương gọi xác định dương khả nghịch Để A xác định dương ta viết A >- Mệnh đề 1.5 Cho A ma trận Hermit hay đối xứng thực Các mệnh đề sau tương đương: i) A > 0; ii) Mọi giá trị riêng A số thực không âm Mệnh đề 1.6 Cho A ma trận Hermit hay đối xứng thực Các mệnh đề sau tương uH CU = DC , X ma trận đường chéo Vậy hệ {In, B, C} SDC (ii) (^) Đặt Ằ = PHẰP, B = PHBP, C = PHCP Theo giả thiết, ta có A,B, đơi giao hốn Vì Ằ ma trận Hermit nên tồn ma trận unita U cho UHAU = DA = diagu\\, , On) Khơng tính tổng quát, giả sử DA = diag(a1In1, , akInk) với = aj G R, Vi = j n1 + + nk = n Do ẰB = BA nên Ằ = uHAu B = uHBu giao hoán Thật vậy, AB = (ưHAu} (uHBu^ =uHẰBu =uHBẪU = (uHBu^ (uHẰu^ = B Ằ Tương tự ta có ẰC = CẰ nên Ằ = uHẰu C = uHCu giao hoán Theo Mệnh đề 1.1, suy raB = diag(B1, , Bk) C = diag(C1, , Ck) Bi = BiH G RniXni ,Ci = CiH G RniXni, Vi = ĩk Hơn nữa, BC = CB nên B C giao hốn Do Bi va Ci giao hoán Vi = 1,k Với i = 1, k, theo (i), hệ (Ini, Bi, Ci) chéo hóa tương đẳng đồng thời ma trận trực giao Qi G RniXni : QiHQi = Iniì Bi = QiAiQiH Ci = QiriQiH Ai, r ma trận đường chéo Đặt Q = diag (Qi, ,Qk) Khi đ ó QH Q = diag(QiH Q1, , QkH Qk) = In Suy QH Q = In, Q AQ diag (a ilní , , akInk ) , < QHBQ = diag (Ai, , Ak) QHCQ = diag (ri, , r) Suy H H H QHAQ = QHU AUQ = (QHU P ) A (PUQ) = VHAV, H H H H QHBQ = Q U BUQ = QUHPH) B (PUQ) = VHBV H Q CQ = Q U CUQ = QUHPH) C (PUQ) = VHCV ma trận đường chéo Vậy ba ma trận A, B, C chéo hóa tương đẳng đồng thời ma trận V = PUQ □ 3.2.2 Tính SDC tính SDS hệ ba ma trận Hermit Mệnh đề 3.5 Cho A,B,C G Cnxn ba ma trận Hermit thỏa mãn dim (ker A n ker B n ker C) = k Khỉ k < n Hơn nữa, (1) Với k = 0, có trường hợp (i) det L (A) = 0, VA G R3 thỉ A B, C khồng SDC (ii) tồn A G R3 cho det L (A) = 0; khơng tính tổng qt, giả sử det A = 0, {A, B, C} SDC A-1 B, A-1C tương đương với ma trận đường chéo thực, hệ IA 1B, A 1C} SDS Rnxn (2) Với k đố tồn ma trận unita P cho 0k 0k H 0A , P BP= 0k H 0B , P CP= 0C với A,B,C G C(n k)x(n kì Hermit dim (ker A n ker B n ker C^ = PH AP = Hơn nữa, A, B, C SDC Ã, B, C SDC Chứng minh Tương tự chứng minh Mệnh đề 2.6 ta có k < n (1) Giả sử k == (i) Giả sử thêm det L (A) = 0, VA G R A, B, C SDC Khi tồn ma trận khả nghịch P E Cnxn cho PHAP = DA P H BP = DB PHCP = De ma trận đường chéo, với DA = diag (ai, ,ak), < DB = diag (A, , Ak), De = diag (Yi, ,Yk) H H Chú ý DAH = (PHAP')H = PHAHP = PHAP = DA, tương tự DB = DB DC = De nèữ ai, 0i,7i E R, Vi = 1, n Suy det L(A) = det(A1A + A2B + A3C) = det [(P-1)H (AIDA + A2DB + A3 De) P-1 ] = I det (P-1) |2 det (AIDA + A2DB + A3DC) = |det (P [(A1a1 + A2^1 + A3Y1) (A1an + A2$n + A3Yn)] = I det (P 1)|2 n (Aiai + A2A + A3 Yi) i=i đa thức với hệ số thực Hơn nữa, theo giả thiết, det L (A) = 0, VA G R3 nên đa thức n f (xi, X2, X3) = ỊỊ (Aiai + A2A + A3Yi) i=i đa thức không Do R [xi, x2, X3] miền nguyên nên tồn i cho Ợi(xi, X2, X3) := aiXi + Ax2 + YiX3 đa thức không Hay (aCPCYi) = (0,0,0) Suy Pếi G (ker A n ker B n ker C), ei cột tọa độ vec tơ đơn vị thứ i Rn Điều mâu thuẫn với giả thiết = k = dim (ker A n ker B n ker C) Vậy A, B, C không SDC (ii) Giả sử det A = (^) Giả sử A, B, C SDC Khi tồn ma trận khả nghịch P G C nxn cho PHAP = DA P H BP = DB PHCP = DC ma trận đường chéo Chú ý DA, DB DC ma trận thực Suy P-iA-iBP = (P-iA-iP-H) (PHBP) = DA-iDB P-iA-iCP = (P-iA-iP-H) (PHCP) = DA-iDC ma trận đường chéo Do A -iB, A-iC SDS tương đương với ma trận đường chéo thực DA-iDB, DA-ỴDC Hơn nữa, hệ (A-iB, A-iC} SDS Rnxn (^) Giả sử tồn ma trận khả nghịch Q cho Q-iA-iBQ = Di G Rnxn Q-iA-iCQ = D2 G Rnxn đường chéo Khơng tính tổng quát, giả sử D1 = diag (a1Ini , ,ak Ink) với = aj G R, Vi = j n1 + + nk = n Khi H D1 = Q-1 A-1 BQ = Q-1 A-1 Q-HQHBQ = (Q AQ)-1 (Q BQ) H Suy (QH ) D1 = QH BQ AQ H = (Q BQ )H H = ■ (Q AQ) D1]H H = D1H (Q AQ)H H = D1 (Q AQ) Theo Mệnh đề 1.1, ta có H Q AQ = diag (A1, , Ak) với Ak G CniXni Hermit, Vi = 1, k Mặt khác, D2 = Q-1 A-1CQ = Q-1A-1Q- H H Q CQ H Suy (QH ) D2 = QH AQ CQ = (QH CQ)T H = ' (Q H = D2 AQ) D2 (QH H = D2 (Q H = (Q AQ)-1 (Q ]H )H AQ AQ ) CQ) Do theo Mệnh đề 1.1 ta có D2 = diag (P1Ini, , pkInk) với pi = , Vi = n1 + + nk = n Suy a I ni H Q BQ Ai = a k Ink = diag (aiAi, ,ak Ak), Ak I— 1—1 1—1 1 = diag (piAi, ,pk Ak) H = Do Ai = A; 11('11 tồii Qi G CniXni cho Q CQ H I QiHQi = Ini I Ai = QiHAịQi, Ai đường chéo, với i = 1, k Khi Q1H A1Q1 QH AQ = QkH Ak Qk Q1H A1 QkH Q Ak Q k Ai Ak QI H QkH Tương tự, Ai H Q BQ = Q ®k Ak fiiAi H Q CQ =Q Suy (Q Q AQ(Q = diag (Ai, , Ak), (Q H (Q H H QHBQÔty = diag (aiAi, , (ạ,-Ak), H H Q CQQ^ = diag (fiiAi, , ->k Ak) Vậy A, B C SDC bới ma trận P = QQ (2) Giả sử (ker A n ker B n ker C) = k > Do Rn không gian vectơ Euclid nên ta lấy {ui, , uk, uk+i, , un} sở trực chuẩn (ker A n ker B n ker C) Đặt U = ([ui]e , , [un]e) = (ui, ,un) ma trận đổi sở từ (e) sang (u) Khi UHU = In Hơn nữa, UH UH H U AU UH , uHAuj ', j = 1,n UH 0k 0A uH BU ,v ^ j = 1,n j 0k 0B UH UH H U CU uH uH Cuj H U AUx = H U BUx = ,v j ^ =1,n k 0 A k 0 B x = x = H U CUx = k 0 C 0k 0C với A,B,C G C(n-kN(n-k) Hermit Nếu dim (ker A n ker B n ker ở) > tồn = xc G (ker A n ker B n ker C Cn-k Suy = x = 0k G Cnx1 Khi x Suy = y = Ux G ker A, = y = Ux G ker B, = y = Ux G ker C x = Do y E (ker A n ker B n ker C) Ho'n nữa, Vj = 1, k, ta co uj Ux = uj y uj U1, ,Uj Uk ,UHUk+1, Uj un 0, , 0,1,,0, ,0 = Suy y ± (ker A n ker B n ker C) Từ suy y = 0, mâu thuẫn Do dim (ker A n ker B n ker c) = Hơn nữa, A, B, C SDC A, B, C SDC Thật vây, A 1B, A 1C SI)S Rnxn p-1B, A-1c} SDS Rnxn SDS SDS A,B,C SDC = í I hệ ( H P AP) (PHBP) , (PHAP) (PHCP) SDS hệ {(/’HAP)-1 (PHBP) , (PHAP)-1 (PHCPQ làSDS P-1A-1BP, P-1A-1CP SDS hệ {P-1A-1BP, P-1A-1CP} SDS moi A-1B, A-1C SDS Rnxn hệ {A-1B, A-1C} SDS Rnxn ,B,ClàSDC □ Mệnh đề 3.6 Hệ ba ma trận Hermit A, B,C E Hn tò SDC tồn ma trận xác định dương X thỏa mãn X 0, AXB = BXA, BXC = CXB, CXA = AXC Chứng minh Theo Mệnh đề 3.2, {A, B, C} SDC tồn P E Cnxn khả nghịch cho PHAP, PHBP PHCP (**) đơi giao hốn Gọi P = QU, UHU = I, QH = Q >- 0, phân tích Polar P Khi PHAP = UHQHAQU = UH (QAQ) U, tương tự cho ma trận PHBP, PHCP Từ hệ ( ** ) đơi giao hốn QAQ, QBQ, QCQ đơi giao liốn Đặt X = Q2 = QHQ Khi AXB = BXA, (QAQ)(QBQ) = (QBQ)(QAQ), AXC = CXA, < (QAQ)(QCQ) = (QCQ)(QAQ), _(QBQ)(QCQ) = (QCQ)(QCQ) < BXC = CXB, Rnxn X □ Kết luận Trong luận văn đạt số kết sau: (1) Trình bày số điều kiện cần đủ để hệ hai ba ma trận đối xứng thực chéo hóa tương đẳng đồng thời Cụ thể: a) Điều kiện cần đủ để hệ hai ma trận đối xứng chéo hóa tương đẳng đồng thời thơng qua điều kiện chéo hóa tương đương (đồng dạng) đồng thời (xem Mệnh đề 2.1 2.2) b) Điều kiện cần đủ để hệ hai ma trận đối xứng chéo hóa tương đẳng đồng thời thông qua thủ tục nửa xác định (xem Mệnh đề 2.3) c) Điều kiện cần đủ để hệ ba ma trận đối xứng chéo hóa tương đẳng đồng thời thơng qua điều kiện chéo hóa tương đương (đồng dạng) đồng thời (xem Mệnh đề 2.4 2.6) d) Điều kiện cần đủ để hệ ba ma trận đối xứng chéo hóa tương đẳng đồng thời thơng qua thủ tục nửa xác định (xem Mệnh đề 2.5) (2) Trình bày kết tương tự cho hệ hai (xem Mệnh đề 3.1, 3.2 3.3) ba (xem Mệnh đề 3.4, 3.5 3.6) ma trận Hermit 61 Tài liệu tham khảo [1] R.A Horn and C.R Johnson, Matrix analysts, Cambridge University Press, 1985 [2] R Jiang and D Li, Simultaneous diagonalization of matrices and its applications in quadratically constrained quadratic programming SIAM Journal on Optimization 26(3): 1649 - 1668, 2016 [3] T.H.Le and T.N.Nguyen, Equivalent conditions for simultaneous diagonalization via *-congruence of Hermitian matrice, preprint, 2020 Available at: http://arxiv.org/abs/2007.14034 ... trận đối xứng thực, hệ ba ma trận đối xứng thực, mối hên hệ chéo hóa tương đẳng đồng thời với chéo hóa tương đương đồng thời Chương Chéo hóa tương đẳng đồng thời hệ hai ba ma trận Hermit Chương... hóa ma trận trường Số sử dụng luận văn Chương Chéo hóa tương đẳng đồng thời hệ hai ba ma trận đối xứng thực Chương trình bày số điều kiện cần đủ để chéo hóa tương đẳng đồng thời hệ hai ma trận. .. VTCV ma trận đường chéo Vậy ba ma trận A, B, Clà chéo hóa tương đẳng đồng thời ma trận V = PUQ □ Tương tự trường hợp hệ hai ma trận, dùng phân tích Polar cho ma trận khơng suy biến làm chéo hóa tương