LỚP TỐN THẦY CHÍ ĐỀ SỞ HÀ NỘI (VỊNG 1), 2022-2023 HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH SỞ HÀ NỘI VÒNG √ √ x+2 x−3 3− x Bài (2,0 điểm) Cho hai biểu thức A = √ B = √ với x > + x−1 x x−1 0, x ̸= 1 Tính giá trị biểu thức A x = √ x Chứng minh B = √ x+1 Tìm tất giá trị x để A.B = Lời giải: x+2 9+2 11 Thay x = (tmđk) vào A, ta có A = √ = √ = x √ √ √ √ √ √ x−3 3− x (2 x − 3)( x + 1) + − x 2x − x √ √ √ + = = √ Ta có B = √ x −√1 ( x − 1)( x + 1) ( x − 1)( x + 1) √ √ x−1 x( x − 1) x √ = √ =√ □ ( x − 1)( x + 1) x+1 √ √ √ x+2 x Ta có = A.B = √ · √ ⇔ x + = 2( x + 1) ⇔ x = x ⇔ x = (do x x+1 x > 0, x ̸= 1) Vậy x = Bài (2,0 điểm) Giải toán sau cách lập phương trình hệ phương trình: Theo kế hoạch, phân xưởng phải làm xong 900 sản phẩm số ngày quy định Thực tế, ngày phân xưởng làm nhiều 15 sản phẩm so với số sản phẩm phải làm ngày theo kế hoạch Vì ngày trước hết thời hạn, phân xưởng làm xong 900 sản phẩm Hỏi, theo kế hoạch, ngày phân xưởng phải làm sản phẩm? (Giả định rẳng số sản phẩm mà phân xưởng làm ngày nhau.) Một khối gỗ dạng hình trụ có bán kính đáy 30cm chiều cao 120cm Tính thể tích khối gỗ (lấy π ≈ 3, 14) Lời giải: Gọi số sản phẩm ngày phân xưởng phải làm theo kế hoạch x (sản phẩm) (x ∈ N∗ ) 900 ⇒ số ngày làm theo kế hoạch (ngày) x 900 Theo đề bài, ta có phương trình (x + 15) − = 900 ⇔ 3x2 + 45x − 13500 = x ⇔ (x − 60)(x + 75) = ⇔ x = 60 (tmđk) Vậy phân xưởng dự kiến ngày làm 60 sản phẩm 038.3070.253 LỚP TỐN THẦY CHÍ ĐỀ SỞ HÀ NỘI (VỊNG 1), 2022-2023 Thể tích khối gỗ V = π.r2 h ≈ 3, 14.302 120 = 339120cm3 Bài (2,5 điểm) − 3y = x−3 Giải hệ phương trình + 2y = x−3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P ) : y = x2 đường thẳng (d) : y = (m + 2)x − m (a) Chứng minh (d) cắt (P ) hai điểm phân biệt (b) Gọi x1 , x2 hoành độ giao điểm (d) (P ) Tìm tất giá trị m để 1 + = x1 x2 x1 + x2 − Lời giải: Điều kiện xác định: x ̸= − 3y = x − Ta có ⇒ −3 − 3y + + 2y = = −3 + 16 x−3 x−3 + 2y = x−3 ⇔ 13y = 13 ⇔ y = ⇒ = + 3y = ⇔ x = (tmđk) x−3 Vậy x = y = 2 Xét pthđgđ x2 = (m + 2)x − m ⇔ x2 − (m + 2)x + m = (1) (a) Ta có ∆ = (m + 2)2 − 4m = m2 + > ∀m ⇔ Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ∀m ⇔ (d) cắt (P ) hai điểm phân biệt □ x1 + x2 = m + (b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có x1 x2 = m 1 x1 x2 ̸= Điều kiện xác định ⇔ m ̸= Theo đề bài, ta có + = x1 + x2 − ̸= x1 x2 x1 + x2 ⇔ = x + x2 − x1 x2 x1 + x2 − m+2 ⇔ = ⇔ m = −1 (tmđk) m m Vậy m = −1 038.3070.253 LỚP TOÁN THẦY CHÍ ĐỀ SỞ HÀ NỘI (VỊNG 1), 2022-2023 Bài (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC), nội tiếp đường tròn (O) Tiếp tuyến điểm A đường tròn (O) cắt đường thẳng BC điểm S Gọi I chân đường vng góc kẻ từ điểm O đến đường thẳng BC Chứng minh tứ giác SAOI nội tiếp Gọi H, D chân đường vng góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng \ = IAD [ SO, BC Chứng minh OAH Vẽ đường cao CE tam giác ABC Gọi Q trung điểm đoạn thẳng BE Đường thẳng QD cắt đường thẳng AH điểm K Chứng minh BQ.BA = BD.BI đường thẳng CK song song với đường thẳng SO Lời giải: A E O H Q S B D I C K d = 90◦ + 90◦ = 180◦ ⇒ Tgnt SAOI □ [ + SIO Ta có SAO d [ = 90◦ − AIS △IAD vuông D ⇒ IAD \ = 90◦ − AOS [ △OAH vuông D ⇒ OAH d = AOS [ ⇒ IAD [ = OAH \ □ Lại có tgnt SAOI ⇒ AIS [ = 90◦ = ADI [ ⇒ Tgnt Ta có Q, I trung điểm BE, BC ⇒ QI ∥ CE ⇒ AQI AQDI ⇒ BQ.BA = BD.BI □ [ \ = 90◦ − ABC [ = 90◦ − AOC = OAC [ Ta có BAD [ = OAH \ ⇒ BAI [ = KAC \ mà IAD \ = BDQ \ = BAI [ = KAC \ ⇒ Tgnt ADKC Lại có tgnt AQDI ⇒ DKC ◦ \ = AKC \ = 90 ⇒ ADC mà AH ⊥ SO ⇒ CK ∥ SO □ 038.3070.253 LỚP TỐN THẦY CHÍ ĐỀ SỞ HÀ NỘI (VÒNG 1), 2022-2023 Bài (0,5 điểm) Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a + b ≤ Chứng minh a2 b2 + ≤ a2 + b b2 + a b2 a b a2 + =2− − 2 a +b b +a b +a a +b Áp dụng bđt Cauchy cộng mẫu, ta có a b a2 (a + b)2 (a + b)2 b2 + = ≥ ≥ =1 + b + a a2 + b a2 + ab2 b2 + a2 b a2 + b2 + ab(a + b) a2 + b2 + 2ab a2 b2 ⇒ + ≤ □ a + b b2 + a Dấu "=" xảy ⇔ a = b = Lời giải: Ta có 038.3070.253