Đáp án đề thi vào lớp 10 mơn Tốn chun Đại Học Vinh Nghệ An năm 2023 NGUYỄN NHẤT HUY − VÕ TRỌNG KHẢI NGÀY 12 THÁNG NĂM 2023 LỜI GIẢI ĐỀ THI TOÁN VÀO LỚP 10 CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH Câu √ a) Giải phương trình x3 − 2x2 + x − 5(x − 1) x − = 5x + y = x2 y − 15 b) Giải hệ phương trình 2x + 3y = 3x2 y − 13xy − Lời giải √ a) Điều kiện xác định: x > Đặt t = (x − 1) x phương trình trở thành √ √ x3 − 2x2 + x − 5(x − 1) x − = ⇔ x(x − 1)2 − 5(x − 1) x − = ⇔ t2 − 5t − = ⇔ (t + 1)(t − 6) = √ Trường hợp t = −1 suy x < Đặt x = a(0 a < 1), ta có √ (x − 1) x = −1 ⇔ a3 − a + = (vô lý a3 + − a > 0) √ Trường hợp t = Đặt x = a(a > 0), ta có √ (x − 1) x = ⇔ a3 − a − =0 ⇔ (a − 2)(a + 2a + 3) = ⇔a=2 (vì a2 + 2a + = (a + 1)2 + > > 0) ⇔x=4 (thỏa mãn điều kiện) Vậy tất nghiệm thỏa mãn phương trình x = 5x + y = x2 y − 15 (1) b) Ta đặt phương trình sau 2x + 3y = 3x2 y − 13xy − (2) Trường hợp Nếu x = −15 = y = −2 vô lý nên trường hợp vô nghiệm Trường hợp Nếu x 6= 0, ta có biến đổi sau (1) · − (2) ⇔ 13x = 13xy − 39 ⇔ xy = x + 3 ⇔y =1+ x Thế y = + vào phương trình (1), ta có x 5x + + = (x + 3)2 − 15 ⇔ 5x2 + x + = x(x2 + 6x + 9) − 15x x ⇔ x3 + x2 − 7x − = ⇔ (x + 3)(x2 − 2x − 1) = √ √ ⇔ x ∈ {−3, + 2, − 2} • Nếu x = −3 y = + = x NGUYỄN NHẤT HUY − VÕ TRỌNG KHẢI √ y = + = −2 + x √ √ • Nếu x = − y = −2 − • Nếu x = + √ √ √ √ √ Vậy tất nghiệm (x, y) thỏa mãn (−3, 0), (1+ 2, −2+3 2), (1− 2, −2−3 2) ∇ LỜI GIẢI ĐỀ THI TOÁN VÀO LỚP 10 CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH Câu a) Tìm tất cặp số nguyên (x, y) thoả mãn x2 − y + 2(3x + y) = 23 b) Cho đa thức P (x) = x2 + bx + c có hai nghiệm nguyên Biết |c| 16 |P (9)| số nguyên tố Tìm hệ số b, c Lời giải a) Ta biến đổi phương trình sau x2 − y + 2(3x + y) = 23 ⇔ (x2 + 6x + 9) − (y − 2y + 1) = 31 ⇔ (x + 3)2 − (y − 1)2 = 31 ⇔ (x − y + 4)(x + y + 2) = 31 Từ đây, ta xét bảng sau x−y+4 x+y+2 x y 31 13 −14 31 13 16 −31 −1 −19 16 −1 −31 −19 −14 Vậy tất nghiệm (x, y) thỏa mãn (13, −14), (13, 16), (−19, 16), (−19, −14) b) Gọi hai nghiệm nguyên P (x) = x2 + bx + c u, v Theo định lý Viete ta u + v = −b, uv = c Vì |P (9)| số nguyên tố nên |(9 − u)(9 − v)| số nguyên tố dẫn đến |9 − u| = |9 − v| = Khơng tính tổng qt, ta giả sử |9 − u| = ⇔ u ∈ {8, 10} Trường hợp u = 10, |c| 16, nên |v| ∈ {0, 1} ⇔ v ∈ {−1, 0, 1} Mặt khác − = 8, − = 9, + = 10 không số nguyên tố nên trường hợp loại Trường hợp u = 8, |c| 16 nên |v| Mà v phải số chẵn nên từ suy v ∈ {2, −2} Thử lại hai giá trị thỏa mãn ta nhận giá trị b, c tương ứng −10, 16 −6, −16 Vậy tất cặp (b, c) thỏa mãn (b, c) ∈ {(−10, 16), (−6, −16)} ∇ NGUYỄN NHẤT HUY − VÕ TRỌNG KHẢI Câu Xét số thực không âm a, b, c thoả mãn a2 + b2 + c2 = 1 1 Tìm giá trị lớn biểu thức P = √ +√ +√ a+1 c+2 b+1 Lời giải Ta có nhận xét sau 1 √ +√ a+1 b+1 2 a+b+2 + +p = +√ a+1 b+1 ab + a + b + ab + a + b + (1 + a)(1 + b) 2 a+b+2 +√ = 1+ √ a+b+1 a+b+1 a+b+1 = Do ta √ 1 61+ √ +√ a+1 b+1 a+b+1 Mặt khác, ta có (a + b + c)2 > a2 + b2 + c2 = suy a + b > − c Từ kết hợp với c 1(vì c > c2 1), ta suy s s 2 1 1 √ +√ =1+ +√ =1+ + +√ P 61+ √ 2−c 2+c 2−c 2−c c+2 c+2 − c2 s s 4 =1+ +√ 61+ +√ =2+ √ 4−c 4−1 4−1 − c2 Dấu bẳng xảy chẳng hạn a = b = 0, c = Vậy giá trị lớn P + √ ∇ LỜI GIẢI ĐỀ THI TOÁN VÀO LỚP 10 CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH Câu Cho đường tròn (O) đường kính AB Đường thẳng tiếp xúc với (O) A, I điểm cố định đoạn AB CD dây cung thay đổi (O) qua I Các đường thẳng BC, BD cắt ∆ M, N a) Chứng minh CDN M tứ giác nội tiếp b) Gọi K giao điểm thứ hai đường tròn ngoại tiếp tam giác BM N với đường thẳng AB Chứng minh KM CI tứ giác nội tiếp tích AM · AN không đổi c) Gọi T tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác CDN M Tìm vị trí CD cho độ dài đoạn thẳng BT nhỏ Lời giải M C R T K H A I O B D N a) Áp dụng hệ thức lượng cho hai tam giác BAM BAN với hai đường cao tương ứng AC, AD ta có BA2 = BC · BM = BD · BN Vì tứ giác CDN M nội tiếp \ \ \ Vì tứ giác CIKM nội tiếp b) Ta có biến đổi góc M KB = M N B = DCB, Do BC · BM = BI · BK = BA , từ suy K điểm cố định Từ ta suy AM · AN = AK · AB cố định c) Gọi r bán kính (T ) r2 − T A2 = AM · AN = a không đổi Ta có ID · IC khơng đổi, đặt b = ID · IC = r2 − T I suy T I − T A2 = a − b Gọi H hình chiếu K lên AB theo định lý Pythagore ta có (AI + 2AH) · AI = HI − HA2 = T I − T H − T A2 − T H = T I − T A2 = a − b Từ kết hợp với AI không đổi(A I cố định) suy H cố định BH khơng đổi Khi đó, theo định lý Pythagore ta có BT = T H + BH > BH Dấu xảy T trùng H tức BA trung trực CD suy CD vuông góc AB I Vậy CD vng góc AB I độ dài đoạn thẳng BT nhỏ ∇ NGUYỄN NHẤT HUY − VÕ TRỌNG KHẢI Câu Gọi M tập hợp tất số tự nhiên gồm chữ số khác Tìm số nguyên dương k lớn để tồn tập hợp A có k phần tử tập hợp M cho tích số thuộc tập hợp A chia hết cho Lời giải Trước hết, ta đếm số phần tử thuộc M mà chia hết cho Ứng với số có chữ số hàng chục 1, 4, có số thỏa mãn Ứng với số có chữ số hàng chục 2, 5, có số thỏa mãn Ứng với số có chữ số hàng chục 3, 6, có số thỏa mãn Vì số phần tử chia hết cho thuộc M 27 , ta chứng minh |A|max = 30, Trước hết, A chứa phần tử không chia hết cho tích chúng khơng chia hết cho Do đó, |A| 30 Xây dựng dấu Xét A tập hợp số có chữ số khác chia hết cho phần tử thuộc số lại Vậy số nguyên dương k lớn thỏa mãn yêu cầu đề 30 ∇