��I HÅC TH�I NGUY�N TR×ÍNG ��I HÅC S× PH�M NGUY�N SONG H� X�P X� NGHI�M CHO B�T ��NG THÙC BI�N PH�N VÎI HÅ VÆ H�N C�C �NH X� KHÆNG GI�N Ng nh To¡n Gi£i t½ch M¢ sè 9460102 TÂM T�T LU�N �N TI�N S� TO�N[.]
I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM NGUYN SONG H XP X NGHIM CHO BT NG THÙC BIN PHN VẻI H Vặ HN CC NH X KHặNG GIN Ngnh: ToĂn GiÊi tẵch M số: 9460102 TM TT LUN N TIN S TON HÅC THI NGUYN - 2018 Cæng trẳnh ữủc hon thnh tÔi: Trữớng Ôi hồc Sữ phÔm - Ôi hồc ThĂi Nguyản Ngữới hữợng dăn khoa hồc: GS.TS Nguyạn Bữớng PhÊn biằn 1: Ph£n bi»n 2: Ph£n bi»n 3: Luên Ăn s ữủc bÊo vằ trữợc Hởi ỗng chĐm luên Ăn cĐp Trữớng hồp tÔi: Trữớng Ôi hồc Sữ phÔm - Ôi hồc ThĂi Nguyản Vo hỗi giớ ngy thĂng nôm 2018 Cõ th tẳm hiu luên Ăn tÔi thữ viằn: - Thữ viằn Quốc gia Viằt Nam - Trung tƠm hồc liằu Ôi hồc ThĂi Nguyản - Thữ viằn trữớng Ôi hồc Sữ phÔm - Ôi hồc ThĂi Nguyản M Ưu Bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn  ữủc à xuĐt vo nhỳng nôm Ưu cừa thêp niản 60 thá k XX, gưn liÃn vợi nhỳng nghiản cựu cừa Lions, Stampacchia v cëng sü (Lions v Stampacchia, 1965, 1967; Hartman v Stampacchia, 1966) Tứ õ án nay, bĐt ng thực bián phƠn luổn l mởt chừ à nghiản cựu mang tẵnh thới sỹ v thu hút ữủc sỹ quan tƠm cừa nhiÃu nh khoa hồc v ngoi nữợc NhiÃu bi toĂn nhữ: bi toĂn cỹc tr; bi toĂn im bĐt ởng; bi toĂn cƠn bơng; bi toĂn bũ; phữỡng trẳnh vợi toĂn tỷ ỡn iằu; bi toĂn biản cõ dÔng cừa phữỡng trẳnh Ôo hm riảng cõ th quy và mổ hẳnh bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn dữợi cĂc giÊ thiát thẵch hủp Vẳ thá bi toĂn ny l mởt cổng cử mÔnh v thống nhĐt nghiản cựu nhiÃu mổ hẳnh bi toĂn lẵ thuyát v ùng dưng thüc t¸ Ð Vi»t Nam, theo nhi·u ữớng tiáp cên khĂc nhau, cĂc nh khoa hồc câ nhúng âng gâp quan trång cho b i to¡n n y cõ th k án nhữ cĂc nhõm nghiản cựu cừa GS.TSKH PhÔm Ký Anh (P.K Anh v tg, 2015, 2017); GS.TSKH Phan Quèc Kh¡nh (P.Q Kh¡nh v tg, 2005, 2006); GS.TSKH inh Th¸ Lưc ( .T Lưc v tg, 2008, 2014); GS.TSKH Lả Dụng Mữu (L.D Mữu v tg, 2005, 2012); GS.TSKH PhÔm Hỳu SĂch (P.H SĂch v tg, 2004, 2008); GS.TSKH Nguyạn XuƠn TĐn (N.X TĐn v tg, 2012, 2013); GS.TSKH Nguyạn ổng Yản (N. Yản v tg, 2005, 2008); GS.TS Nguyạn Bữớng (N Bữớng v tg, 2011, 2013, 2015, 2016); PGS.TS PhÔm Ngồc Anh (P.N Anh v tg, 2004, 2005, 2010); PGS.TS Nguy¹n Quang Huy (N.Q Huy v tg, 2011) v PGS.TS Nguy¹n Thà Thu Thõy (N.T.T Thõy v tg, 2013, 2016) Bản cÔnh õ, bĐt ng thực bián phƠn v mởt số bi toĂn liản quan cụng  v ang l à ti nghiản cựu cừa nhiÃu tĂc giÊ l tián sắ v nghiản cựu sinh nữợc Mổ hẳnh bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn cờ in cõ dÔng: Tẳm x C cho: hF (x∗), x − x∗i ≥ 0, ∀x C, (0.1) õ C l têp lỗi âng kh¡c réng cõa khæng gian Hilbert H v F : H H l Ănh xÔ xĂc nh trản H Trong trữớng hủp têp C cừa bi toĂn (0.1) ữủc cho dữợi dÔng ân l têp im bĐt ởng chung cừa mởt hồ hỳu hÔn hay vổ hÔn cĂc Ănh xÔ khổng giÂn thẳ bi toĂn (0.1) cõ liản hằ vợi nhiÃu bi toĂn thỹc tiạn nhữ bi toĂn khổi phửc tẵn hiằu, bi toĂn phƠn phối thổng, kim soĂt nông lữủng cho hằ thống mÔng viạn thổng CDMA v kắ thuêt xỷ lẵ tẵn hiằu tƯn cõ th ựng dửng bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn vo thỹc tiạn, ỏi họi phÊi cõ nhúng ph÷ìng ph¡p gi£i sè hi»u qu£ cho b i to¡n ny Vẳ l õ, mởt nhỳng hữợng nghiản cựu quan trồng hiằn dnh ữủc sỹ quan tƠm cừa nhiÃu nh toĂn hồc v ngoi nữợc õ l viằc à xuĐt cĂc phữỡng phĂp mợi tẳm nghiằm cõa b i to¡n (0.1) ho°c c£i ti¸n hi»u qu£ cõa nhiÃu phữỡng phĂp  cõ Cho án ngữới ta  thiát lêp ữủc nhiÃu kắ thuêt giÊi bĐt ng thực bián phƠn dỹa trản phữỡng phĂp chiáu cừa Goldstein (1964), Polyak (1966, 1967, 1969), phữỡng phĂp im gƯn kà cừa Martinet (1970), Rokaffellar (1976), nguyản lỵ bi toĂn phử cừa Cohen (1980), phữỡng phĂp hiằu chnh dÔng Browder-Tikhonov (Browder, 1966; Tikhonov, 1963), phữỡng phĂp im gƯn kà hiằu chnh cõa Lehdili v Moudafi (1996), Ryazantseva (2002) v ph÷ìng ph¡p im gƯn kà quĂn tẵnh Alvarez v Attouch (2001) à xuĐt hoc dỹa trản mởt số kắ thuêt tẳm im bĐt ởng nhữ phữỡng phĂp lp Krasnosel'skii-Mann (Mann, 1953; Krasnosel'skii, 1955), ph÷ìng ph¡p l°p Halpern (1967) v ph÷ìng ph¡p xĐp x mÃm (Moudafi, 2000) Phữỡng phĂp lp in hẳnh giÊi bi toĂn (0.1) l phữỡng phĂp chiáu gradient (Goldstein, 1964; Zeidler, 1990) ÷đc mỉ t£ nh÷ sau: x ∈ C, xk+1 = PC (I − ρF )(xk ), k = 0, 1, 2, (0.2) õ PC l php chiáu mảtric tứ H lản C , I l Ănh xÔ ỡn v trản H v l mởt hơng số dữỡng cố nh Phữỡng phĂp (0.2) cõ cĐu trúc ỡn giÊn nản viằc vên dửng nhỳng tẳnh cử th khĂ thuên tiằn Phữỡng phĂp ny l sỹ kát hủp giỳa viằc sỷ dửng trỹc tiáp dÔng õng cừa php chiáu PC v phữỡng phĂp kiu ữớng dốc nhĐt Nhớ cõ nhỳng tián bở Ăng k lẵ thuyát im bĐt ởng cừa Ănh xÔ khổng giÂn thá k XX, phữỡng phĂp lai ghp ữớng dốc nhĐt ữủc Yamada v cởng sỹ (Yamada v tg, 1998, 1999) à xuĐt nhữ l mởt bián th cừa phữỡng phĂp ữớng dốc nhĐt tẳm cỹc tiu cừa mởt hm lỗi trản têp im bĐt ởng chung cừa cĂc Ănh xÔ khổng giÂn c im chẵnh cừa phữỡng phĂp ny l dũng dÔng õng cừa cĂc Ănh xÔ khổng giÂn bĐt kẳ m têp im bĐt ởng chung cừa nõ l têp rng buởc cõa b i to¡n M°t kh¡c, nhi·u b i to¡n thüc tá, chng hÔn bi toĂn xỷ lẵ tẵn hiằu (Iiduka, 2010), kim soĂt nông lữủng cho hằ thống mÔng viạn thổng CDMA (Iiduka, 2012) hoc phƠn phối thổng (Iiduka v Uchida, 2011) câ thº ÷a v· bi toĂn tẳm nghiằm cừa bĐt ng thực bián phƠn trản têp im bĐt ởng cừa mởt hoc mởt hồ cĂc Ănh xÔ khổng giÂn Hỡn nỳa, biát rơng, mồi têp lỗi õng Ãu cõ th biu diạn dữợi dÔng giao ám ữủc cừa cĂc nỷa khổng gian, õ l giao ám ữủc cừa têp im bĐt ởng cĂc Ănh xÔ khổng giÂn l cĂc toĂn tỷ chiáu lản nhỳng nỷa khổng gian ny Vẳ thá bi toĂn tẳm nghiằm cừa bĐt ng thực bián phƠn (0.1) trản mởt têp lỗi õng cõ th quy và viằc tẳm nghiằm bĐt ng thực bián phƠn trản têp im bĐt ởng chung cừa mởt hồ cĂc Ănh xÔ khổng giÂn Khi õ, mởt vĐn à t l xĂc nh phữỡng phĂp lp xĐp x nghiằm cho bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn (0.1) nhữ thá no náu cõ dÔng hiằn cừa cĂc Ănh xÔ khổng giÂn Ti? (i I vợi I l têp ch số no õ) XuĐt phĂt tứ ỵ tững ny, nôm 2001, Yamada  xƠy dỹng phữỡng phĂp lai ghp ữớng dốc nhĐt m phữỡng phĂp ny hởi tử mÔnh và mởt thnh phƯn nơm têp im bĐt ởng chung cừa hồ hỳu hÔn cĂc Ănh xÔ khổng giÂn ỗng thới thọa mÂn l nghiằm cừa bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn (0.1) Cử th, C := Fix(T ) l têp im bĐt ởng cừa mởt Ănh xÔ khổng giÂn, Yamada  thiát lêp ữủc nh lẵ hởi tử mÔnh sau nh lẵ 0.2 Cho F : H H l Ănh xÔ liản tửc L-Lipschitz v - ỡn iằu mÔnh trản H Cho T : H H l Ănh xÔ khổng giÂn trản H vợi Fix(T ) 6= GiÊ sỷ ∈ (0, 2η/L2 ) v d¢y λk ∈ (0, 1] thäa m¢n c¡c i·u ki»n: ∞ X (L1) lim λk = 0, (L2) λk = ∞, (L3) lim (λk − λk+1)λ−2 k+1 = k→∞ k=1 k→∞ Khi â, vỵi im ban Ưu tũy ỵ x0 H , dÂy l°p x¡c ành bði xk+1 = T (xk ) − λk+1 ρF (T (xk )), k = 0, 1, 2, (0.3) hởi tử mÔnh tợi nghiằm nhĐt x cừa bi toĂn (0.1) Trong trữớng hủp C l têp im bĐt ởng chung cừa mởt hồ hỳu hÔn cĂc Ănh xÔ khổng giÂn Ti : H H (i = 1, 2, 3, , N ), d¢y l°p xoay váng x§p x¿ nghi»m cho b i to¡n (0.1) ữủc Yamada xƠy dỹng cõ dÔng xk+1 = T[k+1] (xk ) − λk+1 ρF (T[k+1] (xk )), k = 0, 1, 2, (0.4) ð ¥y, [k] := k mod N l h m modulo l§y gi¡ trà tªp {1, 2, 3, , N } nh lẵ 0.3 Cho l Ănh xÔ liản tửc L-Lipschitz v - ỡn iằu mÔnh trản H Cho N \ Ti : H H l hồ hỳu hÔn cĂc Ănh xÔ khổng giÂn trản H vợi C := Fix(Ti) 6= ∅ v F : H → H i=1 C = Fix(T1 T2 TN ) = Fix(T2 T3 TN T1 ) = · · · = Fix(TN T1 TN −1 ) Gi£ sû ρ ∈ (0, 2η/L2) v d¢y λk ∈ (0, 1] thäa m¢n c¡c i·u ki»n: ∞ ∞ X X ∗ (L1) k→∞ lim λk = 0, (L2) λk = ∞, (L3) |λk − λk+N | < ∞ k=1 k=1 Khi õ, vợi im ban Ưu tũy ỵ x0 H , dÂy lp (0.4) hởi tử mÔnh tợi nghi»m nh§t x∗ cõa b i to¡n (0.1) Tø â án nay,  cõ nhiÃu cổng trẳnh nghiản cựu nhơm m rởng hoc cÊi tián phữỡng phĂp cừa Yamada theo nhiÃu hữợng khĂc Chng hÔn, theo hữợng lm giÊm nhà iÃu kiằn t lản cĂc dÂy tham số lp (Xu v tg, 2003; Zeng v tg, 2007) hay loÔi bọ giÊ thiát và tẵnh giao hoĂn trản têp im bĐt ởng cừa cĂc Ănh xÔ khổng giÂn Ti (Nguyạn B÷íng v tg, 2011) Ho°c, x²t b i to¡n (0.1) trữớng hủp tờng quĂt hỡn vợi C l têp im bĐt ởng chung cừa mởt hồ vổ hÔn ám ữủc cĂc Ănh xÔ khổng giÂn Theo hữợng ny, mởt số phữỡng phĂp lp ữủc thiát lêp xĐp x nghiằm cho bi toĂn (0.1) thổng qua viằc dũng Ănh xÔ Wk (Iemoto v tg 2008; Yao v tg, 2010; Wang, 2011) Tuy vêy, Ănh xÔ Wk cõ cĐu trúc phực tÔp Ngoi ra, cĂc kát quÊ nõi trản Ãu ữủc thiát lêp khổng gian Hilbert H v mội bữợc lp Ãu ữủc thỹc hiằn luƠn phiản xoay vỏng nản õ l cĂc phữỡng phĂp tuƯn tỹ Mởt hữợng kh¡c l nghi¶n cùu mð rëng tø khỉng gian Hilbert H tỵi c¡c lỵp khỉng gian Banach E (Ceng v tg, 2008; Chidume v tg, 2011; Nguyạn Bữớng v tg, 2013, 2015) Nời bêt õ l hai phữỡng phĂp lp dÔng hiằn xĐp x nghiằm cho mởt lợp bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn khổng gian Banach cừa Nguyạn Bữớng v cởng sỹ (2015) CĂc phữỡng phĂp ny sỷ dửng Ănh xÔ Sk cõ cĐu trúc ỡn giÊn v cõ th tẵnh toĂn song song ữủc Cõ th khng nh rơng, viằc xƠy dỹng cĂc phữỡng phĂp giÊi bĐt ng thực bián phƠn khổng gian Banach l mởt vĐn à ữủc nÊy sinh mởt cĂch tỹ nhiản v cƯn thiát lm phong phú v hon thiằn thảm cho lỵ thuyát và bi toĂn quan trồng ny Vẳ nhỳng lẵ  phƠn tẵch trản, chúng tổi lỹa chồn à ti nghiản cựu cho luên Ăn l "XĐp x nghiằm cho bĐt ng thực bián phƠn vợi hồ vổ hÔn cĂc Ănh xÔ khổng giÂn" Mửc ẵch chẵnh cừa luên Ăn ny l nghiản cựu à xuĐt cĂc phữỡng phĂp lp dÔng hiằn xĐp x nghiằm cho mởt lợp bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn Cử th, lợp bi toĂn õ l "Bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn trản têp im bĐt ởng chung cừa mởt hồ vổ hÔn ám ữủc cĂc Ănh xÔ khổng giÂn trản khổng gian Banach phÊn xÔ thỹc, lỗi cht v cõ chuân khÊ vi GƠteaux Ãu" Luên Ăn giÊi quyát cĂc vĐn à sau: XƠy dỹng cĂc phữỡng phĂp lp dÔng hiằn xĐp x nghiằm cho lợp bi toĂn nghiản cựu thổng qua viằc à xuĐt v sỷ dửng cĂc Ănh xÔ mợi Sk , Sk v S k ỗng thới, thiát lêp cĂc vẵ dử minh hồa cử th v tữỡng quan vợi mởt số phữỡng phĂp  cõ p dửng phữỡng phĂp mợi cho mởt lợp bi toĂn tẳm im bĐt ởng chung cừa mởt hồ vổ hÔn ám ữủc cĂc Ănh xÔ khổng giÂn p dửng phữỡng phĂp mợi cho mët lỵp b i to¡n x¡c ành khỉng iºm chung cõa mởt hồ vổ hÔn ám ữủc cĂc Ănh xÔ j - ỡn iằu cỹc Ôi Luên Ăn gỗm phƯn m Ưu, ba chữỡng, kát luên v ti liằu tham khÊo Chữỡng giợi thiằu sỡ lữủc và mởt số vĐn à liản quan án cĐu trúc hẳnh hồc cừa cĂc khổng gian Banach, lợp bi toĂn nghiản cựu, mởt số mằnh · v bê · c¦n sû dưng cho vi»c chùng minh cĂc kát quÊ nghiản cựu Ôt ữủc cĂc chữỡng sau cừa luên Ăn Chữỡng trẳnh by ba kát quÊ nghiản cựu mợi cừa chúng tổi và cĂc vĐn à nảu trản Chữỡng à cêp án mởt bi toĂn thỹc tá liản quan cĂc vẵ dử cư thº minh håa Ch÷ìng Mët sè kián thực chuân b 1.3 Mởt lợp bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn 1.3.1 Mổ hẳnh bi toĂn Cho E l khổng gian Banach phÊn xÔ thỹc, lỗi cht v cõ chuân khÊ vi GƠteaux Ãu Cho F : E E l Ănh xÔ j - ỡn iằu mÔnh vỵi h» sè η v γ -gi£ co ch°t vỵi∞η + γ > Gi£ \ sû {Ti} l hå vổ hÔn ám ữủc cĂc Ănh xÔ khổng giÂn trản E vỵi C := Fix(Ti) 6= ∅ i=1 ∗ Lỵp bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn, kẵ hiằu l VIP (F, C), ữủc phĂt biu nhữ sau: Tẳm x ∈ C cho: hF (x∗), j(x − x∗)i ≥ 0, ∀x ∈ C, (1.2) â j l ¡nh xÔ ối ngău chuân tưc cừa E im x C thọa mÂn (1.2) ữủc gồi l nghiằm cừa b i to¡n VIP∗(F, C) 1.3.2 Ph÷ìng ph¡p lai gh²p ÷íng dốc nhĐt Trong phƯn ny, chúng tổi s trẳnh by chi tiát mởt số nghiản cựu m rởng hoc cÊi biản phữỡng phĂp lai ghp ữớng dốc nhĐt xĐp x nghiằm cho bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn cõ dÔng (0.1) hoc (1.2) Khi C l têp im bĐt ởng chung cừa mởt hồ hỳu hÔn cĂc Ănh xÔ khổng giÂn khổng gian Hilbert thỹc, nôm 2003, Xu v Kim  chựng minh ữủc kát quÊ tữỡng tỹ nh lẵ 0.2 v nh lẵ 0.3 thay thá (L3) v (L3)∗ t÷ìng ùng bði c¡c i·u ki»n (L4) k→∞ lim λk /λk+1 = v (L4)∗ lim λk /k+N = k Cõ th thĐy rơng, iÃu kiằn (L4) y¸u hìn thüc sü (L3), hìn núa i·u ki»n (L4) cho php ta cõ th lỹa chồn vợi dÂy tham sè ch½nh tc {1/k} â (L3) khỉng thọa mÂn Mt khĂc, khổng khõ khôn ch rơng iÃu kiằn (L3) suy iÃu kiằn (L4) náu giợi hÔn lim k /k+N tỗn tÔi Nôm 2007, Zeng v cởng sỹ  à xuĐt phữỡng phĂp lp xoay váng k→∞ (1.3) vỵi tham sè ρk+1 khỉng ph£i l hơng số cố nh nhữ (0.4) v iÃu kiằn t lản cĂc dÂy tham số lp cụng ữủc cÊi bi¶n º £m b£o sü hëi tư xk+1 = T[k+1] (xk ) − λk+1 ρk+1 F (T[k+1] (xk )), k = 0, 1, 2, ành l½ 1.3 Cho l Ănh xÔ liản tửc L-Lipschitz v - ỡn iằu mÔnh trản H Cho N T Ti : H → H l hồ hỳu hÔn cĂc Ănh xÔ khổng giÂn trản H vỵi C := Fix(Ti) 6= ∅ v F : H → H i=1 C = Fix(T1 T2 TN ) = Fix(T2 T3 TN T1 ) = · · · = Fix(TN T1 TN −1 ) Gi£ sû ρk ∈ (0, 2η/L2) vỵi måi k ∈ N v c¡c i·u ki»n sau b£o £m: i) λk ∈ (0, 1) thäa m¢n i·u ki»n (L2), p ii) |ρk − η/L2| aL2/L2 vợi ẵt nhĐt mởt a (0, η2/L2), iii) k→∞ lim (ρk+N − (λk /λk+N )ρk ) = Khi õ, vợi im ban Ưu tũy þ x0 ∈ H , n¸u lim suphT[k+N ] T[k+1] (xk ) − xk+N , T[k+N ] T[k+1] (xk ) − xk i ≤ k thẳ dÂy lp (1.3) hởi tử mÔnh tợi nghi»m nh§t x∗ cõa b i to¡n (0.1) Rã r ng, náu k = vợi mồi k v (0, 2/L2) thẳ ta cõ ii) Náu thảm giÊ thiát (L4) thọa mÂn thẳ iÃu kiằn iii) nh lẵ trản ữủc bÊo Êm Hỡn nỳa, Zeng v cởng sỹ cụng  ch rơng cĂc iÃu kiằn (L1), (L2) v (L4)∗ l i·u ki»n õ º {xk } b chn ỗng thới, iÃu kiằn dữợi Ơy ữủc thäa m¢n: lim suphT[k+N ] T[k+1] (xk ) − xk+N , T[k+N ] T[k+1] (xk ) xk i k Vẳ thá, nh lẵ 1.3 l sỹ cÊi biản v hủp nhĐt cĂc iÃu kiằn t lản cĂc dÂy tham số lp so vợi kát quÊ m Yamada, Xu v Kim  nhên ữủc Nôm 2010, Liu v Cui (Liu v tg, 2010)  chựng minh rơng náu C 6= thẳ C := N \ Fix(Ti) = Fix(T1T2 TN ) (1.4) i=1 l i·u ki»n õ º thäa mÂn tẵnh chĐt giao hoĂn trản têp im bĐt ởng cừa cĂc Ănh xÔ khổng giÂn Ti Nhơm loÔi bọ cĂc iÃu kiằn (L3), (L3) v giÊ thiát (1.4), nôm 2011, Nguyạn Bữớng v LƠm Thũy Dữỡng xƠy dỹng dÂy l°p (1.5) xk+1 = (1 − βk0 )xk + βk0 (I − λk ρF )V˜k (xk ), k = 0, 1, 2, â, V˜k = TNk TNk −1 · · · T1k v Tik = (1 − βki )I + βki Ti vỵi i = 1, 2, , N C¡c t¡c gi£ ¢ chùng minh ữủc kát quÊ sau nh lẵ 1.4 Cho l Ănh xÔ liản tửc L-Lipschitz v - ỡn iằu mÔnh trản H Cho N T Ti : H → H l hồ hỳu hÔn cĂc Ănh xÔ khổng giÂn trản H vỵi C := Fix(Ti) 6= ∅ Gi£ sû i=1 (0, 2/L2 ) l hơng số dữỡng cố ành v d¢y λk ∈ (0, 1) thäa m¢n c¡c iÃu kiằn (L1) v (L2) ỗng thới, giÊ thiát rơng βki ∈ (α, β) vỵi i = 0, 1, 2, , N , â α, β ∈ (0, 1) v i lim |βk+1 − βki | = vỵi i = 1, 2, 3, , N Khi õ, vợi im ban Ưu tũy þ x0 ∈ H , d¢y k→∞ l°p (1.5) hëi tử mÔnh tợi nghiằm nhĐt x cừa bi toĂn (0.1) F : H → H Câ thº th§y mët nhúng i·u ki»n t÷ìng tü £m b£o sü hëi tư cõa c¡c ph÷ìng ph¡p (0.3), (0.4), (1.3) v (1.5) l gi£ thi¸t tham sè ρ phư thc v o hằ số ỡn iằu mÔnh v hơng số Lipschitz L Trản thỹc tá, ta biát rơng viằc xĂc nh η ho°c L khỉng ph£i l mët cỉng vi»c d¹ dng ỗng thới, ta nhên thĐy rơng (0.4), (1.3) v (1.5) ữủc thỹc hiằn luƠn phiản xoay vỏng nản cĂc phữỡng phĂp ny l tuƯn tỹ Nghiản cựu m rởng cho trữớng hủp C l têp im bĐt ởng chung cừa mởt hồ vổ hÔn ám ữủc cĂc Ănh xÔ khổng giÂn Ti : H H , bơng viằc sỷ dửng Ănh xÔ Wk , nôm 2008, Iemoto v Takahashi  xƠy dỹng dÂy lp hiằn cõ dÔng xk+1 = (I − λk ρF )Wk (xk ), k = 1, 2, 3, (1.7) ð ¥y x1 l im tũy ỵ thuởc H , k (0, 1] v ρ > l c¡c tham sè l°p ành l½ 1.5 Cho F : H → H l Ănh xÔ liản tửc L-Lipschitz v - ỡn iằu mÔnh trản H Cho {Ti} \ l hồ vổ hÔn cĂc Ănh xÔ khổng giÂn trản H vợi C := Fix(Ti) 6= ∅ Gi£ sû {αk } l d¢y i=1 c¡c sè thüc thäa m¢n < a ≤ αk ≤ b < 1, k = 1, 2, 3, vợi a, b (0, 1) Khi õ, náu c¡c i·u ki»n sau b£o £m i) ρ ∈ (0, 2η/L2), ii) λk thäa m¢n c¡c i·u ki»n (L1) v (L2), thẳ dÂy lp (1.7) hởi tử mÔnh tợi nghiằm nhĐt x cừa bi toĂn (0.1) Phữỡng phĂp (1.7) sỷ dửng Ănh xÔ Wk kát hủp vợi phữỡng phĂp kiu ữớng dốc nhĐt  m rởng kát quÊ cừa Yamada cho hồ vổ hÔn ám ữủc cĂc Ănh xÔ khỉng gi¢n khỉng gian Hilbert thüc C¡c t¡c gi£  loÔi bọ cĂc iÃu kiằn (L3) hoc (L3) Tuy vêy, ngoi khõ khôn xĂc nh , Ănh xÔ Wk cõ cĐu trúc phực tÔp v phữỡng phĂp (1.7) cụng l tuƯn tỹ Nôm 2010, kát hủp phữỡng phĂp kiu ữớng dốc nhĐt, phữỡng phĂp lp Mann v sỷ dửng Ănh xÔ Wk , vợi x1 tũy ỵ thuởc H , Yao v cĂc cởng sỹ  thiát lêp mởt lữủc ỗ lp nhữ sau y = (I − λ F )(x ), k k k xk+1 = (1 − γk )yk + γk Wk (yk ), k = 1, 2, 3, (1.8) â γk ∈ [0, 1] v λk ≥ l c¡c tham sè l°p ành l½ 1.6 Cho F : H H l Ănh xÔ liản tửc L-Lipschitz v- ỡn iằu mÔnh trản H Cho {Ti} l \ hồ vổ hÔn cĂc Ănh xÔ khổng giÂn trản H vợi C := Fix(Ti) 6= ∅ Gi£ sû {αk } l d¢y c¡c i=1 sè thüc thäa m¢n < αk ≤ b < 1, k = 1, 2, 3, Khi â, n¸u c¡c i·u ki»n sau b£o £m i) γk ∈ [γ, 1/2] vỵi γ > 0, ii) λk thäa m¢n c¡c i·u ki»n (L1) v (L2), thẳ dÂy lp (1.8) hởi tử mÔnh tợi nghiằm nhĐt x cừa bi toĂn (0.1) Giống nhữ phữỡng phĂp (1.7), ta thĐy rơng phữỡng phĂp (1.8) cụng cõ cĐu trúc phực tÔp v õ l phữỡng phĂp tuƯn tỹ Mởt nôm sau, Wang (2011) cụng  nhên ữủc kát quÊ tữỡng tỹ nhữ cừa Yao v cởng sỹ dữợi cĂc giÊ thiát mợi t lản cĂc dÂy tham số l°p K¸t qu£ cõa Wang thay th¸ (L1) bði i·u ki»n < λk ≤ η/L2 − ε, ∀k ≥ k0, vợi ẵt nhĐt mởt số nguyản k0 > l nhµ hìn thüc sü i·u ki»n (L1) Ngo i ra, iÃu kiằn t lản cho k ch ỏi họi tẵnh giợi nởi cừa dÂy tham số ny (0,1) Tuy nhiản iÃu kiằn k văn yảu cƯu phử thuởc vo hằ số ỡn iằu mÔnh v hơng số Lipschitz L M°t kh¡c, i·u ki»n bê sung λk F (xk ) → k → ∞ £m b£o sü hëi tö phö thuëc v o gi¡ trà F (xk ) tÔi mội bữợc lp Vẳ thá, viằc chồn tiản nghiằm {k } thọa mÂn iÃu kiằn ny s khõ khôn Nôm 2008, Ceng v cởng sỹ  nghiản cựu cho trữớng hủp C l têp im bĐt ởng cừa mởt Ănh xÔ khổng giÂn trản khổng gian Banach phÊn xÔ thüc Mët i·u ki»n quan trång £m b£o sü hëi tử ối vợi phữỡng phĂp mợi cừa cĂc tĂc giÊ l giÊ thiát và tẵnh liản tửc yáu theo dÂy cừa Ănh xÔ ối ngău chuân tưc Tuy nhiản, iÃu õ  lm giợi hÔn phÔm vi ựng dửng cừa phữỡng phĂp ối vợi nhiÃu bi toĂn ữủc thiát lêp c¡c khæng gian Banach quan trång m khæng câ tẵnh chĐt ny, chng hÔn khổng gian Lp[a, b] (1 < p < ∞) N«m 2011, Chidume v cëng sü  m rởng kát quÊ cừa Xu v Kim tợi lợp khổng gian Banach q-trỡn Ãu vợi hơng số dq , q > Ph÷ìng ph¡p n y câ thº ¡p dưng tr¶n c¡c khỉng gian Lp[a, b], (1 < p < ) Tuy nhiản, giÊ thiát t lản k l tữỡng tỹ cừa Xu v Kim ỗng thới tham số văn ỏi họi phử thuởc vo hằ số , L v hơng số dq Thảm vo õ, cĂc tĂc giÊ văn cƯn sỷ dửng giÊ thiát và tẵnh giao hoĂn trản têp im bĐt ởng cừa cĂc Ănh xÔ khổng giÂn Ti Khi C l têp im bĐt ởng chung cừa mởt hồ vổ hÔn ám ữủc cĂc Ănh xÔ khổng giÂn khổng gian Banach thỹc E , thay cho viằc sỷ dửng Ănh xÔ phực tÔp Wk , ta cõ th sỷ dửng Ănh xÔ Vk ìn gi£n hìn ÷đc x¡c ành bði (1.11) Vk = Vk1 , Vki = T i T i+1 T k , T i = (1 − αi )I + αi Ti , i = 1, , k ∞ X â αi ∈ (0, 1) v i < Nguyạn Bữớng v cĂc cởng sỹ (2013)  à xuĐt v i=1 chựng minh hai phữỡng phĂp lp ân mợi hởi tử mÔnh tợi nghiằm nh§t x∗ cõa b i to¡n (1.2) l xk = Vk (I − λk F )(xk ), (1.13) 11 2.1.3 Mët sè h» qu£ N«m 2008, Ceng v cëng sü cÊi biản phữỡng phĂp lai ghp ữớng dốc nhĐt cừa Yamada thiát lêp dÂy lp hiằn xk+1 = (I − λk F )(αk xk + (1 − αk )JrA (xk )), k ≥ 0, (2.15) x¡c ành khæng iºm x cừa Ănh xÔ A v ỗng thới x l nghi»m cõa b i to¡n (1.2) vỵi x0 ∈ E tịy ỵ v iÃu kiằn t lản cĂc dÂy tham số l°p λk , αk ∈ (0, 1) v rk > l ∞ ∞ X X i) k→∞ lim λk = 0, λk = ∞ v | λk+1 − λk |< ∞, k k=1 ii) rk ≥ ε vỵi måi k ∈ N v k=0 ∞ X | rk+1 − rk |< ∞, k=0 iii) < a ≤ αk ≤ b < vỵi måi k ∈ N v ∞ X | αk+1 − αk |< ∞ k=0 B¬ng cĂch thay thá cĂc Ănh xÔ khổng giÂn Ti bi c¡c to¡n tû gi£i J A := (I + Ai)−1 (2.1) thẳ chúng tổi nhên ữủc kát quÊ xt cho lợp bi toĂn tờng quĂt hỡn sau Ơy Mằnh · 2.1 Cho E , F , αi, λk v si ữủc giÊ thiát tữỡng tỹ nh lẵ 2.1 Cho {Ai} l \ hồ vổ hÔn cĂc Ănh xÔ j- ỡn iằu cỹc Ôi trản E vợi C := Zer(Ai) 6= Khi Đy, vợi i=1 im ban Ưu tũy ỵ x1 ∈ E , d¢y {xk } x¡c ành bði i xk+1 k X si Ai (xk ), (1 − αi )I + αi J = (I − λk F ) s ˜ k i=1 k ≥ 1, (2.16) hởi tử mÔnh tợi khổng im chung x C v x∗ l nghi»m nh§t cõa b i to¡n (1.2) k Nhên xt 2.4 Phữỡng phĂp (2.15) v ph÷ìng ph¡p (2.16) ·u sû dưng ba tham số lp Ró rng, iÃu kiằn t lản cĂc dÂy tham sè {λk } v {αk } £m b£o sü hởi tử cừa phữỡng phĂp (2.16) l nhà hỡn so vợi cĂc giÊ thiát i) v iii) Tuy nhiản, cĂc tham sè rk v si t÷ìng ùng (2.15) v (2.16) l kh¡c bi»t, âng vai trá kh¡c v khổng so sĂnh ữủc Vẳ thá, (2.15) v (2.16) cho ta cĂc quy tưc tẳm khổng im khĂc Nhên x²t 2.5 Ta °t f := aI vỵi a ∈ (0, 1) l sè thüc cè ành Khi â, F := I f l Ănh xÔ j - ỡn iằu mÔnh vợi hằ số v -giÊ co cht trản E thọa mÂn + > Vẳ thá, vợi x1 tũy ỵ thuởc E , náu thay F bði I − f cỉng thùc (2.1) th¼ ta cõ lữủc ỗ lp X k xk+1 = − λk i=1 (1 − αi )ξik I + k X αi ξik Ti (xk ), k 1, (2.18) i=1 tẳm im bĐt ởng chung cừa mởt hồ vổ hÔn ám ữủc cĂc Ănh xÔ khổng giÂn trản E , õ 0k := (1 − a)λk v ξik := si/˜sk M»nh · sau l hằ quÊ trỹc tiáp cừa nh lẵ 2.1 12 M»nh · 2.2 Cho E , {Ti}, αi, λk v si ữủc giÊ thiát tữỡng tỹ nh lẵ 2.1 Gi£ sû a l sè thüc cè ành thuëc (0, 1) Khi Đy, vợi im ban Ưu tũy ỵ x1 ∈ E , d¢y {xk } x¡c ành bði (2.18) hởi tử mÔnh tợi im bĐt ởng chung p C k → ∞ v thäa m¢n hp∗ , j(p∗ − p)i ≤ ∀p ∈ C (2.19) Tø Chú ỵ 1.6 v Mằnh à 2.2, ta nhên ữủc kát quÊ dữợi Ơy Mằnh à 2.3 Cho E , {Ai}, i, k v si ữủc giÊ thiát tữỡng tỹ M»nh · 2.1 Gi£ sû a l sè thüc cè nh thuởc (0, 1) Khi Đy, vợi im ban Ưu tũy ỵ x1 E , dÂy {xk } xĂc ành bði xk+1 = − λ0k k k X X k k Ai (1 − αi )ξi I + αi ξi J (xk ), i=1 k 1, (2.20) i=1 hởi tử mÔnh tợi khổng im chung p∗ ∈ C k → ∞ v p∗ thọa mÂn (2.19) Nôm 2007, Qin v Su  xƠy dỹng phữỡng phĂp lp kiu Halpern tẳm khổng im cừa mởt Ănh xÔ j - ỡn iằu cỹc Ôi A trản khổng gian Banach trỡn Ãu E cõ dÔng (2.21) xk+1 = λk u + (1 − λk )(αk xk + (1 − αk )JrA (xk )), k ≥ 1, õ x1 E tũy ỵ, u E l ph¦n tû cè ành, αk , λk v rk l c¡c tham sè l°p i·u ki»n £m b£o sü hëi tư cõa ph÷ìng ph¡p (2.21) l t÷ìng tü ph÷ìng ph¡p (2.15) v ch¿ x²t cho b i to¡n x¡c ành khæng im cừa mởt Ănh xÔ j - ỡn iằu cỹc Ôi m khổng giÊi ữủc bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn no Do õ, náu ch xt riảng theo khẵa cÔnh ny thẳ giÊ thiát t lản tham số k v k l nhỳng yảu cƯu cht ch hỡn so vợi kát quÊ cừa chúng tổi nảu Mằnh à 2.1 Tuy nhiản, cụng phÊi lữu ỵ rơng cĐu trúc cừa cĂc phữỡng phĂp (2.15) hoc (2.16) so vợi (2.21) l thüc sü kh¡c bi»t Nhªn x²t 2.6 Ta °t f := aI + (1 − a)u vỵi a ∈ (0, 1) l sè thüc cè ành v u l phƯn tỷ cố nh thuởc E Khi õ, thĐy rơng F := I f cụng l Ănh xÔ j - ỡn iằu mÔnh vợi hằ số v γ -gi£ co ch°t thäa m¢n η + γ > Do õ, vợi x1 tũy ỵ thuởc E , thay F bði I − f (2.1), ta câ ph÷ìng ph¡p l°p kiºu Halpern k xk+1 X k k X = λ0k u + − λ0k (1 − αi )ξik I + αi ξik Ti (xk ), i=1 k ≥ 1, (2.22) k ≥ (2.23) i=1 v náu thay Ti bi J A thẳ nhên ÷đc i xk+1 = λ0k u + 1− λ0k k X i=1 (1 − αi )ξik I + k X αi ξik J Ai (xk ), i=1 â λ0k := (1 − a)λk v ξik := si/sk Trong trữớng hủp ny, ta cụng nhên ữủc cĂc hằ quÊ trỹc tiáp dữợi dƠy cừa nh lẵ 2.1 13 M»nh · 2.4 Cho E , {Ti}, i, a, k v si ữủc giÊ thiát tữỡng tỹ Mằnh à 2.2 Khi Đy, vợi mồi u E cè ành, d¢y {xk } x¡c ành bði (2.22) hëi tử mÔnh tợi im bĐt ởng chung p C k → ∞ v thäa m¢n hp∗ − u, j(p∗ − p)i ≤ ∀p ∈ C (2.24) M»nh · 2.5 Cho E , {Ai}, αi, a, λk v si ữủc giÊ thiát tữỡng tỹ Mằnh à 2.3 Khi Đy, vợi mồi u E cố nh, dÂy {xk } xĂc nh bi (2.23) hởi tử mÔnh tợi khổng iºm chung p∗ ∈ C k → ∞ v p thọa mÂn (2.24) 2.2 Phữỡng phĂp lai ghp ữớng dốc nhĐt dũng Ănh xÔ Sk 2.2.1 Nởi dung phữỡng phĂp Phữỡng phĂp thự hai ữủc thiát lêp dỹa trản viằc sỷ dửng Ănh xÔ Sk XuĐt phĂt tứ im x1 tũy ỵ thuởc E , chúng tổi xƠy dỹng dÂy lp hiằn {xk } nhữ sau: xk+1 = (I − λk F )Sˆk (xk ), k = 1, 2, 3, (2.25) Ơy Ănh xÔ Sˆk x¡c ành bði k X (si−1 − si )T i Sˆk = s0 − sk i=1 (2.26) â T i ÷đc x¡c ành bði (2.3), λk ∈ (0, 1) thäa m¢n c¡c i·u ki»n (L1), (L2) v {si } l d¢y c¡c sè thüc gi£m ng°t, hëi tö v· i → ∞ 2.2.2 Sü hëi tử mÔnh cừa phữỡng phĂp nh lẵ 2.4 (2) Cho E l khổng gian Banach phÊn xÔ thỹc, lỗi cht cõ chuân khÊ vi GƠteaux Ãu Cho F : E E l Ănh xÔ j - ỡn iằu mÔnh vỵi h» sè η v γ -gi£ co ch°t vỵi η + γ > ∞ \ Cho {Ti} l hồ vổ hÔn cĂc Ănh xÔ khổng giÂn trản E vỵi C := Fix(Ti) 6= ∅ Gi£ sû λk ∈ (0, 1) thäa m¢n c¡c i·u hëi tư v· Khi Đy, dÂy {xk } cừa bi toĂn (1.2) k → ∞ i=1 ki»n (L1), (L2) v {si} l dÂy số thỹc dữỡng giÊm ngt, xĂc nh bi (2.25) hởi tử mÔnh tợi nghiằm nhĐt x Nhên xt 2.8 Phữỡng phĂp (2.25) khĂc vợi phữỡng phĂp (2.1) cỡ b£n l ð d¢y tham sè {si} v vi»c sû dửng nõ thiát ká cĂc Ănh xÔ Sk v Sˆk N¸u chån si = 1/(i + 1) (i = 0, 1, 2, ) th¼ nâ thọa mÂn giÊ thiát cừa phữỡng phĂp (2.25) giÊ thiát cừa phữỡng X phĂp (2.1) thẳ khổng ữủc bÊo Êm vẳ chuội si phƠn kẳ Tuy nhiản, chồn si = 1/(i+1)3 i=0 Buong, Ng., Ha, Ng S., Thuy Ng T T (2016), "Hybrid steepest-descent method with a countably infinite family of nonexpansive mappings on Banach spaces", Nonlinear Funct Anal Appl , 21, pp 273-287 14 n¸u i chđn v si = 1/(i + 1)2 náu i l´ (i = 0, 1, 2, ) thẳ giÊ thiát cừa phữỡng phĂp (2.1) ữủc bÊo Êm giÊ thiát cừa phữỡng phĂp (2.25) lÔi khổng vẳ nõ khổng phÊi l dÂy số giÊm ngt Vẳ thá, ngoi viằc Ôt ữủc nhỳng mửc tiảu v kát luên tữỡng tỹ phữỡng phĂp (2.1)  nảu Mửc 2.1.2 v Mửc 2.1.3 thẳ phữỡng phĂp (2.25) gõp phƯn a dÔng v hon thiằn thảm cĂc phữỡng phĂp xĐp x nghiằm cho lợp bi toĂn nghiản cựu 2.2.3 Mởt số h» qu£ M»nh · 2.6 Cho E , F , i, k v si ữủc giÊ thiát tữỡng tỹ nh lẵ 2.4 Cho {Ai} l hồ vổ hÔn cĂc Ănh xÔ j- ỡn iằu cỹc Ôi trản E vợi C xk+1 = (I − λk F ) i=1 s0 − sk Khi Đy, vợi i=1 im ban Ưu tũy ỵ x1 ∈ E , d¢y {xk } x¡c ành bði k X si−1 − si Zer(Ai ) 6= ∅ \ := (1 − αi )I + αi J Ai k 1, (xk ), hởi tử mÔnh tợi khổng iºm chung x∗ ∈ C v x∗ l nghi»m nhĐt cừa bi toĂn (1.2) k Tiáp theo, °t βik := (si−1 − si)/(s0 − sk ), sỷ dửng lÔi cĂc kẵ hiằu v lêp luên tữỡng tü Nhªn x²t 2.5 v Nhªn x²t 2.6, ta nhªn ữủc cĂc hằ quÊ trỹc tiáp dữợi Ơy cừa nh l½ 2.4 M»nh · 2.7 Cho E , {Ti}, αi, k v si ữủc giÊ thiát tữỡng tỹ nh lẵ 2.4 Gi£ sû a l sè thüc cè ành thuëc (0, 1) Khi Đy, vợi im ban Ưu tũy ỵ x1 ∈ E , d¢y {xk } x¡c ành bði xk+1 = − λ0k k X (1 − αi )βik I + k X i=1 αi βik Ti (xk ), k ≥ 1, i=1 hëi tö mÔnh tợi im bĐt ởng chung p C k → ∞ v p∗ thäa m¢n (2.19) M»nh · 2.8 Cho E , {Ai}, αi, λk v si ÷đc giÊ thiát tữỡng tỹ Mằnh à 2.6 GiÊ sỷ a l sè thüc cè ành thuëc (0, 1) Khi §y, vợi im ban Ưu tũy ỵ x1 E , d¢y {xk } x¡c ành bði xk+1 = − λ0k k k X X k (1 − αi )βi I + αi βik J Ai (xk ), k 1, i=1 i=1 hởi tử mÔnh tợi khæng iºm chung p∗ ∈ C k → ∞ v p∗ thäa m¢n (2.19) M»nh · 2.9 Cho E , {Ti}, i, a, k v si ữủc giÊ thiát tữỡng tỹ Mằnh à 2.7 Khi Đy, vợi mồi u E cố nh v vợi im ban Ưu tũy þ x1 ∈ E , d¢y {xk } x¡c ành bði xk+1 = λ0k u + 1− λ0k k X i=1 (1 − αi )βik I + k X αi βik Ti (xk ), k ≥ 1, i=1 hởi tử mÔnh tợi im bĐt ởng chung p ∈ C k → ∞ v p∗ thäa m¢n (2.24) 15 M»nh · 2.10 Cho E , {Ai}, i, a, k v si ữủc giÊ thiát tữỡng tỹ Mằnh à 2.8 Khi Đy, vợi mồi u E cố nh v vợi im ban Ưu tũy ỵ x1 ∈ E , d¢y {xk } x¡c ành bði xk+1 = λ0k u + 1− λ0k k k X X k k Ai (1 − αi )βi I + αi βi J (xk ), i=1 k ≥ 1, i=1 hởi tử mÔnh tợi khổng im chung p ∈ C k → ∞ v p∗ thäa m¢n (2.24) 2.3 Phữỡng phĂp lai ghp ữớng dốc nhĐt dũng Ănh xÔ S k 2.3.1 Nởi dung phữỡng phĂp XuĐt phĂt tứ im x1 tũy ỵ thuởc E , dÂy lp hiằn {xk } ữủc thiát ká nhữ sau: xk+1 = (I − λk F )S k (xk ), â S k = αI + (1 − α)T k vỵi T k := Sk = k X k = 1, 2, 3, (si /˜ sk )Ti (2.31) v α ∈ (0, 1) l mët sè thüc cè i=1 ành, si ÷đc x¡c ành bði (2.4), s˜k = k X si v λk thäa m¢n c¡c i·u kiằn (L1) v (L2) 2.3.2 Sỹ hởi tử mÔnh cừa phữỡng phĂp nh lẵ 2.5 (3) i=1 Cho E l khổng gian Banach phÊn xÔ thỹc, lỗi cht cõ chuân khÊ vi GƠteaux Ãu Cho F : E E l Ănh xÔ j - ỡn iằu mÔnh vợi hằ sè η v γ -gi£ co ch°t vỵi η + γ > Cho ∞ \ {Ti } l hå vổ hÔn cĂc Ănh xÔ khổng giÂn trản E vợi C := Fix(Ti ) 6= ∅ L§y mët gi¡ trà i=1 cè ành α ∈ (0, 1) Gi£ sû λk v si tữỡng ựng thọa mÂn cĂc iÃu kiằn (L1), (L2) v (2.4) Khi Đy, dÂy {xk } xĂc nh bi (2.31) hởi tử mÔnh tợi nghiằm nhĐt x cõa b i to¡n (1.2) k → ∞ 2.3.3 Mët sè h» qu£ M»nh · 2.11 Cho E , α, k v si ữủc giÊ thiát tữỡng tỹ nh lẵ 2.5 Cho {Ai} l hồ vổ hÔn cĂc Ănh xÔ j- ỡn iằu cỹc Ôi trản E vợi C := Zer(Ai ) 6= Khi Đy, vợi im i=1 ban Ưu tũy ỵ x1 E , dÂy {xk } xĂc ành bði xk+1 \ k X Ai = (I − λk F ) (1 − α)I + α (si /˜ sk )J (xk ), k ≥ 1, i=1 hởi tử mÔnh tợi khổng im chung x C v x∗ l nghi»m nh§t cõa b i to¡n (1.2) k → ∞ Ha, Ng S., Buong, Ng., Thuy Ng T T (2018), "A new simple parallel iteration method for a class of variational inequalities", , 43, pp 239-255 Vietnam Acta Math 16 Nôm 2007, tẳm im bĐt ởng chung cho mởt hồ vổ hÔn cĂc Ănh xÔ khổng giÂn {Ti} trản mởt têp lỗi õng Q cừa E , Suzuki  xƠy dỹng lữủc ỗ lp nhữ sau: xk+1 = k u + (1 − λk ) (1 − α)I + α â, ∞ (si /˜ s)Ti (xk ), k ≥ 1, (2.38) i=1 tũy ỵ, {si} l dÂy cĂc số thỹc dữỡng thọa mÂn X si = s < v λk ∈ [0, 1] thäa m¢n i·u ki»n (L1) v (L2) i=1 Nôm 2009, tẳm khổng im chung cừa mởt hồ cĂc Ănh xÔ j - ỡn iằu cỹc Ôi Ai : E → E , Ofoedu v Shehu ¢ à xuĐt thuêt toĂn: u Q cố nh, X x1 ∈ Q xk+1 = λk u + ∞ X σi,k (1 − δ)I + δJ Ai (xk ), k ≥ 1, (2.39) i=1 ∞ X ð ¥y, σi,k = − λk v < γ1 ≤ δ ≤ γ2 < C¡c d¢y tham sè l°p k v i,k tữỡng i=1 ựng thọa mÂn cĂc iÃu ki»n (L1), (L2) v lim k→∞ ∞ X |σi,k+1 − σi,k | = 0, lim k→∞ i=1 ∞ hX i σi,k (1 − δ)xk + δJ Ai xk − xk /k = i=1 Nhên xt 2.13 Ró rng, náu nhẳn dữợi quan im tẵnh toĂn, thẳ tÔi mội vỏng l°p, chuéi c¡c to¡n tû c¡c thuªt to¡n (2.38), (2.39) cho thĐy náu khổng cõ cĂc thổng tin tiản nghiằm và tờng cĂc chuội ny thẳ thiát ká cừa cĂc phữỡng phĂp õ khổng th Ăp dửng Vẳ thá, cĂc kát quÊ trản l khõ nhên biát v khõ cõ th lêp trẳnh tẵnh toĂn trản mĂy tẵnh Nhữ vêy, mởt vĐn à tỹ nhiản t l li»u chóng ta câ thº thay th¸ c¡c tờng vổ hÔn cĂc phữỡng phĂp (2.38) v (2.39) bi cĂc tờng riảng tữỡng ựng hay khổng? Nhỳng nởi dung trẳnh by tiáp theo, ngoi viằc khưc phửc nhỳng khõ khôn  phƠn tẵch l trÊ lới cho cƠu họi nảu trản Nhên xt 2.14 Bơng viằc sỷ dửng cĂc kẵ hiằu v lêp luên tữỡng tỹ nhữ Nhên xt 2.5 v Nhên xt 2.6, vợi x1 tũy ỵ thuởc E , ta cụng nhên ữủc cĂc dÂy lp hiằn dữợi Ơy xk+1 = 0k αI + (1 − α)T k (xk ), k ≥ 1, (2.40) v xk+1 = − λ0k αI + (1 − α) k X i=1 ξik J Ai (xk ), k ≥ (2.41) â λ0k = (1 − a)λk Hai m»nh · sau l hằ quÊ trỹc tiáp cừa nh lẵ 2.5 Mằnh à 2.12 Cho E , {Ti}, α, λk v si ÷đc giÊ thiát tữỡng tỹ nh lẵ 2.5 GiÊ sỷ a l sè thüc cè ành thuëc (0, 1) Khi §y, dÂy {xk } xĂc nh bi (2.40) hởi tử mÔnh tợi im bĐt ởng chung p C k → ∞ v p∗ thäa m¢n (2.19) 17 M»nh · 2.13 Cho E , {Ai}, α, λk v si ữủc giÊ thiát tữỡng tỹ Mằnh à 2.11 GiÊ sỷ l sè thüc cè ành thuëc (0, 1) Khi §y, dÂy {xk } xĂc nh bi (2.41) hởi tử mÔnh tỵi khỉng iºm chung p∗ ∈ C k → v p thọa mÂn (2.19) Nhên xt 2.15 Phữỡng ph¡p (2.31) v c¡c h» qu£ trüc ti¸p cõa nâ th hiằn ữủc mởt số im vữủt trởi i) CĐu tróc ph÷ìng ph¡p (2.31) l ìn gi£n hìn (2.1) v (2.25) Bản cÔnh õ, phữỡng phĂp ny  lm giÊm số thnh phƯn phÊi tẵnh mội bữợc lp v vẳ thá nõ cƯn ẵt thới gian tẵnh toĂn hỡn trản mĂy tẵnh (xem thảm Vẵ dử 3.4 Mửc 3.2 cừa Chữỡng 3) ii) CĂc thuêt toĂn (2.40) v (2.41) sỷ dửng dÂy cĂc tờng riảng cừa chuội hm l ỡn giÊn hỡn, nhên biát hỡn v cõ th tẵnh toĂn trản mĂy tẵnh Trong õ, ối vợi cĂc kát quÊ cừa Ofoedu v Suzuki l khổng thỹc hiằn ữủc Nhên xt 2.16 Trong trữớng hủp, náu Ti l Ănh xÔ khổng giÂn trản mởt têp lỗi õng Q cừa E thẳ Ti : Q Q l Ănh xÔ liản tửc 1-Lipschitz Náu Q chựa phƯn tỷ gốc cừa E thẳ xk+1 Q Do õ Mằnh à 2.12 văn úng trữớng hủp ny Tiáp theo, náu Q khổng chựa phƯn tỷ gốc cừa E th¼ ta x²t f := aI + (1 − a)u vợi u Q l phƯn tỷ cố nh Khi õ, thay vẳ (2.40) ta nhên ữủc phữỡng phĂp c£i bi¶n kiºu Halpern: a x ∈ E, xk+1 = λ0 u + − λ0 αI + (1 − α)T k (xk ), k k k ≥ (2.42) Ta câ k¸t qu£ têng qu¡t hỡn cừa Suzuki (2007) dữợi Ơy Mằnh à 2.14 Cho E , , a, k v si ữủc giÊ thiát t÷ìng tü M»nh · 2.12 ∞Cho {Ti} l hå \ vổ hÔn cĂc Ănh xÔ khổng giÂn trản mởt têp lỗi õng Q cừa E vợi C := Fix(Ti) 6= ∅, i=1 â Fix(Ti) := {x ∈ Q : x = Ti(x)} Khi Đy, dÂy {xk } xĂc nh bi (2.42) hởi tử mÔnh tợi im bĐt ởng chung p∗ ∈ C k → ∞ v p∗ thọa mÂn (2.24) Vợi lêp luên tữỡng tỹ nhữ nhên xt trản, chúng tổi cụng nhên ữủc phữỡng phĂp lp mợi, mởt cÊi biản cừa phữỡng phĂp lp Halpern t¼m khỉng iºm chung cõa mët hå c¡c ¡nh xÔ j - ỡn iằu cỹc Ôi Mằnh à 2.15 Cho E , , a, k v si ữủc giÊ thiát t÷ìng tü M»nh · 2.12 Cho Ai : Q → E l hồ vổ hÔn cĂc Ănh xÔ j - ỡn iằu cỹc Ôi trản mởt têp lỗi õng Q cõa ∞ \ E vỵi C := Zer(Ai ) 6= Khi Đy, vợi mồi u Q cố nh v x1 tũy ỵ thuởc E , dÂy {xk } i=1 x¡c ành bði xk+1 = λ0k u + 1− λ0k k X si A i J (xk ), k ≥ 1, αI + (1 − α) s k i=1 hởi tử mÔnh tợi khổng im chung p∗ ∈ C k → ∞ v p∗ thọa mÂn (2.24) (2.43) Chữỡng Mởt bi toĂn thỹc tá v kát quÊ tẵnh toĂn số 18 3.1 Bi toĂn phƠn phối thổng Xt mởt mÔng (Iiduka v Uchida, 2011) gỗm S = {1, 2, , S} l têp cĂc nguỗn v = {1, 2, , L} l têp cĂc liản kát mÔng Vợi mội liản kát l L cõ dung lữủng l L cl > GiÊ thiát rơng mội mởt nguỗn cõ th dũng nhiÃu ữớng dăn Kẵ hiằu Ps l têp cĂc ữớng dăn ữủc sỷ dửng bi nguỗn s, L (p) s L l têp cĂc liản X kát m thổng(p)qua nõ ữớng dăn p Ps i qua v ns l sè c¡c ph¦n tû cõa Ps, N = ns Gi£ sû xs l tèc s∈S ë truyÃn tÊi cừa nguỗn s m ữớng X dăn p ∈ Ps i qua Khi â, tèc ë truy·n t£i cừa nguỗn s ữủc biu diạn bi xs = x(p) s pPs Têp rng buởc và dung lữủng kẵ hi»u l C , câ r ng bc v· dung l÷đng ối vợi mội liản kát cho tờng tốc ở truyÃn tÊi cừa cĂc nguỗn m dũng chung mởt liản \ kát õ l nhọ hỡn hoc bơng dung lữủng cừa liản kát Têp C ữủc xĂc nh bi C := Cl 6= ∅ vỵi ˜ l∈L n (p) Cl := (xs )p∈Ps s∈S˜ ∈ RN + X : (p) x(p) s Is,l o ≤ cl , ˜ s∈S,p∈P s náu l L (p) s , Ơy cĂc trữớng hủp khĂc GiÊ sỷ nguỗn s cõ mởt yảu cƯu và tốc ở truyÃn tÊi \ cho tèc ë tèi thiºu ph£i l rs > Kẵ hiằu têp rng buởc iÃu chnh l D := Ds, õ Ds l têp bao gỗm (p) Is,l = sS cĂc yảu cƯu và tốc ở nhữ vêy ối vợi nguỗn s v n (p) Ds := (xs )p∈Ps s∈S˜ ∈ RN + : X x(p) s o ≥ rs p∈Ps B i toĂn phƠn phối thổng cõ th quy và bi toĂn cỹc Ôi trản têp im bĐt ởng cừa mởt Ănh xÔ khổng giÂn sau Ơy: Tẳm x Fix(T ) cho : U (x∗) = Fix max U (x), (3.3) (T ) â U : RN → R l hm tiằn ẵch ữủc giÊ thiát l khÊ vi li¶n tưc v T : RN → RN x¡c ành bði T (x) := (1/2)(x + Tˆ(x)) vỵi Tˆ(x) := PRN+ ∩Cl0 h X ˜ =l0 l∈L,l6 vl P Cl + X s∈S˜ i us PDs (x) 19 Ta câ thº sû dưng ba ph÷ìng ph¡p (2.1), (2.25) v (2.31) tẳm nghiằm xĐp x cừa bi toĂn (3.3) Cö thº, cho E := RN , F := −∇U v chån Ti := T vỵi måi i ∈ N Ba m»nh · sau t÷ìng ùng l h» qu£ trỹc tiáp cừa cĂc nh lẵ 2.1, nh lẵ 2.4 v ành l½ 2.5 M»nh · 3.1 Cho U : RN → R l h m kh£ vi li¶n tưc câ U : RN RN l Ănh xÔ - ỡn iằu mÔnh v -giÊ co cht vợi + γ > Cho T : RN → RN l Ănh xÔ khổng giÂn vợi Fix(T ) 6= Cho αi ∈ (0, 1) Gi£ sû λk ∈ (0, 1) v si tữỡng ựng thọa mÂn cĂc iÃu kiằn (L1), (L2) v (2.4) Khi õ, vợi im ban Ưu tũy þ x1 ∈ RN , d¢y {xk } x¡c ành bði xk+1 = (I + λk ∇U ) X k (1 − αi )ξik I + i=1 k X αi ξik T (xk ), k ≥ 1, (3.6) i=1 hởi tử tợi nghiằm nhĐt cừa bi toĂn (3.3), â ξik := si/˜sk M»nh · 3.2 Cho U , T v i ữủc giÊ thiát tữỡng tỹ M»nh · 3.1 Gi£ sû λk ∈ (0, 1) thäa m¢n c¡c i·u ki»n (L1), (L2) v {si} l d¢y sè thüc d÷ìng gi£m ng°t, hëi tư v· Khi õ, vợi im ban Ưu tũy ỵ x1 RN , d¢y {xk } x¡c ành bði xk+1 X k k X = (I + λk ∇U ) (1 − αi )βik I + αi βik T (xk ), i=1 k ≥ 1, (3.7) i=1 hëi tư tỵi nghi»m nh§t cõa b i to¡n (3.3), â βik := (si−1 − si)/(s0 − sk ) M»nh · 3.3 Cho U v T ữủc giÊ thiát tữỡng tỹ Mằnh à 3.1 Gi£ sû α l mët sè thüc cè ành thuëc (0, 1) v λk ∈ (0, 1) thäa m¢n c¡c i·u ki»n (L1) v (L2) Khi â, vỵi iºm ban Ưu tũy ỵ x1 RN , dÂy {xk } x¡c ành bði xk+1 = (I + λk ∇U )((1 − α)I + αT )(xk ), k ≥ 1, (3.8) hởi tử tợi nghiằm nhĐt cừa bi toĂn (3.3) Nhên xt 3.1 Náu i := (0, 1) cố nh thẳ (3.6) v (3.7) s cõ dÔng (3.8) Mt khĂc, ta lÔi cõ Fix(T ) = Fix(T) nản vợi = 1/2 ta cõ th chồn Ti := T vợi mồi i N Trong trữớng hủp n y, d¢y {xk } trð th nh xk+1 = (I + λk ∇U )T (xk ), k ≥ 1, (3.9) v dÂy lp (3.9) hởi tử tợi nghiằm nhĐt cừa bi toĂn (3.3) vợi cĂc giÊ thiát tữỡng tỹ Mằnh à 3.3 3.2 Vẵ dử số minh hồa CĂc phữỡng phĂp lp dÔng hiằn mợi cừa chúng tổi cõ th ¡p dưng º t¼m nghi»m cõa b i to¡n cüc trà: T¼m x∗ ∈ C cho : ϕ(x∗ ) = ϕ(x), x∈C C := ∞ \ i=1 Ci , (3.10) 20 õ l phiám hm lỗi cõ Ôo hm 0(x) liản tửc Lipschitz, ỡn iằu mÔnh trản khổng gian Rn v Ci l cĂc têp lỗi âng cõa Rn ÷đc cho bði Ci = {x ∈ Rn : ai1 u1 + ai2 u2 + · · · + ain un ≤ bi }, (3.11) ho°c n Ci = {x ∈ R : n X (uj − aij )2 ≤ ri2 }, (3.12) ri > 0, j=1 ð ¥y aij , bi, ri ∈ R (1 ≤ j ≤ n) V½ dư 3.1 X²t b i to¡n (3.10)-(3.11) trữớng hủp n = Hm mửc tiảu : R2 R cõ dÔng (x) := kxk2 = u21 + u22 vỵi x = (u1 , u2 ) CĂc têp Ci ữủc cho bi Ci = {x R2 : ai1u1 + ai2u2 ≤ bi} vỵi ai1 = 1/i, ai2 = −1 v bi = vỵi måi i Trong trữớng hủp ny, thĐy x = (0; 0) l nghi»m nh§t cõa b i to¡n p dửng phữỡng phĂp (2.1) cho vẵ dử ny vợi F (x) = ∇ϕ(x) v Ti = PC Chån im ban Ưu x1 = (2.0; 3.0) v cĂc dÂy tham sè thäa m¢n i·u ki»n hëi tư cõa ành l½ 2.1 l λk = 1/(k + 2) v si = i = 1/i(i + 1) Sau 100 bữợc lp ta nhên ữủc kát quÊ tẵnh toĂn x100 = (0.000100272; 0.000040995) Tiáp theo, chúng tổi Ăp dửng phữỡng phĂp (1.7) cõa Iemoto v tg cho cịng b i to¡n tr¶n Ta chån c¡c tham sè thäa m¢n i·u ki»n hëi tư cõa ành l½ 1.5 l λk = 1/(k+2), αk = 1/100+1/k(k+1) v = 1/20 Kát quÊ tẵnh toĂn ối vợi phữỡng phĂp (1.7) vợi im ban Ưu v số bữợc lp l x100 = (0.335041279; 0.149090066) Náu ta chồn = 1/3 thẳ kát quÊ nhên ữủc nhữ sau x100 = (0.037590156; 0.016727249) BƠy giớ, sỷ dửng phữỡng ph¡p (1.8) cõa Yao v tg C¡c tham sè ÷đc chồn thọa mÂn nh lẵ 1.6 l k = 1/(k + 2), αk = 1/100 + 1/k(k + 1) v k = 1/100 Kát quÊ tẵnh toĂn cho phữỡng phĂp (1.8) vợi im ban Ưu v số bữợc lp nhên ữủc l x100 = (0.000210945; 0.000385873) Náu ta chồn k = 1/1000 thẳ kát quÊ nhên ữủc trữớng hủp ny l x100 = (0.000373078; 0.000568259) Dữợi Ơy l bÊng tữỡng quan và sai số tẵnh toĂn so vợi nghiằm chẵnh xĂc cừa cĂc phữỡng phĂp (1.7), (1.8) v (2.1) Ph÷ìng ph¡p k kxk − x∗ k Thíi gian (giƠy) (1.7) (vợi = 1/3) 100 4.1143 ì 102 0.0630 (1.7) (vợi = 1/20) 100 3.6671 ì 101 0.0460 (1.8) (vợi k = 1/100) 100 4.3976 ì 104 0.0620 (1.8) (vợi k = 1/1000) 100 6.7978 ì 104 0.0480 (2.1) 100 1.0833 ì 104 0.0310 i 21 Nhên xt 3.2 Cõ th thĐy rơng, mội phữỡng phĂp (1.7), (1.8) v ph÷ìng ph¡p (2.1) cõa chóng tỉi ·u câ d¢y c¡c tham sè l°p Tham sè thù nhĐt, k cĂc phữỡng phĂp thọa mÂn cĂc iÃu ki»n (L1) v (L2) nh÷ v ÷đc chån gièng l λk = 1/(k +2) Tham sè thù hai αi thäa m¢n c¡c i·u ki»n kh¡c £m b£o sü hëi tư, ð â nâ ÷đc chån cho cĂc bián th cừa nõ nhỳng thuêt toĂn ny l nh÷ Tham sè ρ (1.7), γk (1.8) v si ph÷ìng ph¡p (2.1) cõa chóng tỉi âng vai trá kh¡c nhau, nâ cho ph²p thüc hi»n cĂc quy tưc riảng biằt thiát ká cừa mội thuêt toĂn Ró rng, vẵ dử trản, phữỡng phĂp (2.1) cõa chóng tỉi · xu§t câ tèc ë hëi tử nhanh hỡn v cƯn ẵt thới gian tẵnh toĂn hỡn cĂc phữỡng phĂp (1.7), (1.8) Vẵ dử 3.2 Xt b i to¡n (3.10)-(3.12) tr÷íng hđp n = H m mửc tiảu : R2 R ữủc xĂc nh bði ϕ(x) = (u1 − 1)2 + (u2 − 2)2 vợi x = (u1 , u2 ) CĂc têp Ci ÷đc cho bði Ci = {x ∈ R2 : (u1 − ai1 )2 + (u2 − ai2 )2 ≤ ri2 } √ vỵi ri = 1, ai1 = + 1/i v ai2 = vỵi måi i ≥ Trong tr÷íng hđp n y x∗ = (1.5; 0.75) l nghi»m nhĐt cừa bi toĂn p dửng phữỡng phĂp (2.1) vỵi F (x) = ∇ϕ(x) v Ti = PC Chån iºm ban ¦u l x1 = (3.0; 3.0) v dÂy cĂc tham số tữỡng tỹ nhữ Vẵ dử 3.1 Khi õ, kát quÊ tẵnh toĂn bữợc lp 46000 ta nhên ữủc nghiằm xĐp x l (1.54118986; 0.88877202) Trong õ, bữợc lp nhữ trản, náu Ăp dửng phữỡng phĂp (1.7) vợi = 1/3 thẳ nghiằm xĐp x l (1.552771131; 0.894458825), náu sỷ dửng phữỡng phĂp (1.8) vợi k = 1/100 thẳ ta nhên ữủc nghiằm xĐp x l (1.548117716; 0.903764265) BÊng tữỡng quan và sai số tẵnh toĂn so vợi nghiằm chẵnh xĂc cừa cĂc phữỡng phĂp (1.7), (1.8) v (2.1) vẵ dử ny l : Ph÷ìng ph¡p k kxk − x∗ k Thíi gian (giƠy) (1.7) (vợi = 1/3) 46000 5994 ì 102 3756.7200 (1.8) (vợi k = 1/100) 46000 6.1152 ì 102 4017.8200 (2.1) 46000 4.7053 ì 102 882.7740 Nhên xt 3.3 Trong vẵ dử ny, cụng thĐy phữỡng phĂp (2.1) câ tèc ë hëi tư nhanh hìn v c¦n ½t thíi gian t½nh to¡n hìn c¡c ph÷ìng ph¡p (1.7) v phữỡng phĂp (1.8) i Vẵ dử 3.3 Ta xt b i to¡n (3.10)-(3.11) tr÷íng hđp n = v hm mửc tiảu : R2 R ữủc xĂc ành bði ϕ(x) = xT Ax + bT x + c vỵi x = (u1 , u2 ), 22 â ! A= ,b = ! v c = 13 CĂc têp Ci ữủc cho bði Ci = {x ∈ R2 : ai1u1 + ai2u2 ≥ bi} vỵi ai1 = 1, ai2 = i v bi = vỵi måi i ≥ Trong tr÷íng hđp n y x∗ = (2.0; 3.0) l nghi»m nhĐt cừa bi toĂn p dửng phữỡng phĂp (2.25) cho vẵ dử ny vợi F (x) = (x) v Ti = PC Chån iºm ban ¦u x1 = (−3.0; −3.0) v c¡c tham sè thäa m¢n i·u ki»n hëi tư cõa ành l½ 2.4 l λk = 1/k + 2, si = 1/(i + 1)(i + 2) vỵi i ≥ 0, αi = 1/i(i + 1) vỵi i ≥ Sau 1000 váng l°p, ta câ x1000 = (1.999975551; 2.999969617) Náu sỷ dửng phữỡng phĂp (1.7) vợi im xuĐt phĂt v chồn cĂc tham số lp thọa mÂn i·u ki»n hëi tư cõa ành l½ 1.5 l λk = 1/(k + 2), αk = 1/100 + 1/k(k + 1) v = 1/20 thẳ kát quÊ tẵnh toĂn ối vợi phữỡng phĂp ny bữợc lp thự 1000 l x1000 = (−0.003777417; 0.004757678) Nghi»m n y cán sai sè rĐt lợn so vợi nghiằm chẵnh xĂc cừa bi toĂn Náu sỷ dửng (1.8) vợi im xuĐt phĂt v chån c¡c tham sè l°p thäa m¢n i·u ki»n hëi tư cõa ành l½ 1.6 l λk = 1/(k + 2), αk = 1/100 + 1/k(k + 1) v γk = 1/2 thẳ kát quÊ số bữợc lp l x1000 = (1.999988011; 2.999986013) Náu sỷ dửng phữỡng phĂp (2.1) vợi im xuĐt phĂt v cĂc tham số lp ữủc chồn tữỡng tỹ nhữ phữỡng phĂp (2.25) thẳ ta nhên ữủc x1000 = (1.999993006; 2.999991008) BÊng tữỡng quan và sai số tẵnh toĂn so vợi nghiằm chẵnh xĂc cõa c¡c ph÷ìng ph¡p (1.7), (1.8), (2.1) v (2.25) vẵ dử ny l: Phữỡng phĂp k kxk x k Thíi gian (gi¥y) (1.7) 1000 3.603692620 1.9410 (1.8) 1000 1.8420 × 10−5 1.7510 (2.1) 1000 1.1390 × 10−5 0.794 (2.25) 1000 3.8998 ì 105 0.833 Nhên xt 3.4 Trong vẵ dử ny, ta thĐy tốc ở hởi tử v thới gian tẵnh toĂn cừa phữỡng phĂp (2.1) l nhanh nhĐt số bốn phữỡng phĂp Tốc ở hởi tử cõa ph÷ìng ph¡p (2.25) l nhanh hìn ph÷ìng ph¡p (1.7) lÔi chêm hỡn so vợi phữỡng phĂp (1.8) Tuy nhiản, phữỡng phĂp (2.25) lÔi cõ thới gian tẵnh toĂn nhanh gĐp hai lƯn so vợi phữỡng phĂp (1.8) trữớng hủp ny i Vẵ dử 3.4 Sỷ dửng phữỡng ph¡p (2.31) cõa chóng tỉi cho b i to¡n (3.10)-(3.11) vỵi cĂc giÊ thiát tữỡng tỹ nhữ Vẵ dử 3.1 Vợi im ban Ưu x1 = (2.0; 3.0), chồn α = 0.5 v gi¡ trà cõa c¡c tham sè l°p kh¡c ÷đc chån gièng nh÷ ph÷ìng ph¡p (2.1) ð V½ dư 3.1 l λk = 1/(k + 2) v si = 1/i(i + 1) thẳ sau 100 bữợc lp chúng tổi nhên ữủc x100 = (0.000078416; 0.000004588) 23 BƠy giớ, sỷ dửng cĂc phữỡng phĂp (1.17), (1.18) cừa Nguyạn Bữớng v tg Chồn cĂc tham số k , si nhữ trản v k = 0.5 Khi õ, vợi im ban Ưu, ta cõ nghiằm xĐp x số bữợc lp tữỡng ựng vợi hai phữỡng phĂp l x100 = (−0.00539367; −0.00032443) v x100 = (−0.01002674; −0.00057259) BÊng tữỡng quan và sai số tẵnh toĂn so vợi nghiằm chẵnh xĂc cừa cĂc phữỡng phĂp (1.17), (1.18), (2.1) v (2.31) vẵ dử ny l: Phữỡng phĂp k kxk xk Thới gian (giƠy) (1.17) 100 5.4034 ì 10−3 0.0470 (1.18) 100 1.0004 × 10−2 0.0320 (2.1) 100 1.0833 × 10−5 0.0310 (2.31) 100 1.5868 × 10−6 0.0160 Tiáp theo, sỷ dửng phữỡng phĂp (2.31) ối vợi bi toĂn (3.10)-(3.12) vợi cĂc giÊ thiát tữỡng tỹ nhữ Vẵ dử 3.2 Khi õ, vợi im ban Ưu x1 = (3.0; 3.0), chån α = 0.5 v gi¡ trà cõa c¡c tham sè l°p kh¡c ÷đc chån gièng nhữ trản thẳ tÔi bữợc lp 45000 nghiằm xĐp x¿ cõa b i to¡n l (1.5034141156; 0.8682249753) Sû dưng ph÷ìng phĂp (1.17) v (1.18) vợi k = 1/50 náu k chđn cỏn k = 1/100 náu k l thẳ ta cõ nghiằm xĐp x tữỡng ựng l x46000 = (1.709749782; 0.707411290) v x46000 = (1.578254678; 0.816731616) Trong tr÷íng hđp n y ta câ b£ng t÷ìng quan: Ph÷ìng ph¡p k kxk − x∗ k Thíi gian (gi¥y) (1.17) 46000 0.262970355 904.9680 (1.18) 46000 9.2486 × 10−2 903.1570 (2.1) 46000 4.7053 × 10−2 882.7740 (2.31) 45000 4.0613 ì 103 864.9910 Nhên xt 3.5 Trong vẵ dử ny, cõ th thĐy phữỡng ph¡p (2.31) câ tèc ë hëi tư nhanh hìn v tốn ẵt thới gian tẵnh toĂn hỡn cĂc phữỡng phĂp (1.17), (1.18) v (2.1) Bản cÔnh õ, nõ th hiằn tẵnh vữủt trởi hỡn cĂc phữỡng phĂp cĂc vẵ dử  trẳnh by trản 24 KT LUN V KIN NGH Trong luên Ăn, chúng tổi  à xuĐt ba phữỡng phĂp lai ghp ữớng dốc nhĐt xĐp x nghiằm cho mởt lợp bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn trản têp im bĐt ởng chung cừa mởt hồ vổ hÔn ám ữủc cĂc Ănh xÔ khổng giÂn trản khổng gian Banach phÊn xÔ thỹc, lỗi cht v cõ chuân khÊ vi GƠteaux Ãu Luên Ăn  Ôt ữủc cĂc kát quÊ sau: - à xuĐt ữủc ba phữỡng phĂp lp dÔng hiằn mợi l phữỡng phĂp (2.1), phữỡng phĂp (2.25) v phữỡng phĂp (2.31) xĐp x nghiằm cho lợp bi toĂn nghiản cựu Nởi dung v sỹ hởi tử mÔnh cừa cĂc phữỡng phĂp ( nh lẵ 2.1, nh lẵ 2.4 v nh lẵ 2.5) ữủc trẳnh by chi tiát - CĂc phữỡng phĂp mợi cõ th Ăp dửng cho bi toĂn tẳm im bĐt ởng chung cừa hồ vổ hÔn ám ữủc cĂc Ănh xÔ khổng giÂn hoc tẳm khổng im chung cừa mởt hồ vổ hÔn ám ữủc cĂc Ănh xÔ j - ỡn iằu cỹc Ôi - XƠy dỹng ữủc bốn vẵ dử số cử th minh hồa cho cĂc thuêt toĂn mợi à xuĐt v tữỡng quan vợi mởt số phữỡng phĂp (Vẵ dử 3.1-Vẵ dử 3.4) Mởt số hữợng nghiản cựu tiáp theo cho kát quÊ cừa luên Ăn nhữ sau: (I) Nghiản cựu tẵnh ờn nh cừa cĂc phữỡng phĂp lp (II) Nghiản cựu cĂc tiảu chuân dứng cừa cĂc phữỡng phĂp lp  à xuĐt tứ õ cõ thảm cỡ s º so s¡nh tèc ë hëi tư cõa c¡c ph÷ìng phĂp lp  à xuĐt so vợi cĂc kát quÊ cõa mët sè t¡c gi£ kh¡c (III) Nghi¶n cùu gi£i bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn tĂch (bĐt ng thực bián phƠn nhiÃu cĐp) DANH MệC CC CặNG TRNH CỈNG BÈ LIN QUAN N LUN N (1) Buong Ng., Ha Ng S., Thuy Ng T T (2016), "A new explicit iteration method for a class of variational inequalities", Numer Algorithms, 72, pp 467-481 (2) Buong Ng., Ha Ng S., Thuy Ng T T (2016), "Hybrid steepest-descent method with a countably infinite family of nonexpansive mappings on Banach spaces", Nonlinear Funct Anal Appl., 21, pp 273-287 (3) Ha Ng S., Buong Ng., Thuy Ng T T (2018), "A new simple parallel iteration method for a class of variational inequalities", Acta Math Vietnam., 43, pp 239-255