MỤC LỤC PHẦN I. HÀM SỐ 4 1. SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 4 1.1. Định nghĩa 4 1.2. Quy tắc và công thức tính đạo hàm 4 1.3. Bảng công thức tính đạo hàm 5 1.4 . Công thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức 5 1.5. Đạo hàm cấp 2 5 2. CỰC TRỊ HÀM SỐ 7 2.1. Định nghĩa 7 2.2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị 8 2.3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị 8 2.4. Quy tắc tìm cực trị 8 3. MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ 9 3.1. Cực trị của hàm đa thức bậc ba 9 3.2. Cực trị của hàm bậc 4 trùng phương 12 4. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 14 4.1. Định nghĩa. 14 4.2. Phương pháp tìm GTLN,GTNN 14 5. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 15 5.1. Đường tiệm cận ngang 15 5.2. Đường tiệm cận đứng 15 6. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 15 6.1. Khảo sát một số hàm đa thức và hàm phân thức 15 6.2. Một số phép biến đổi đồ thị 17 7. TIẾP TUYẾN 19 7.1. Tiếp tuyến 19 7.2. Điều kiện tiếp xúc 19 8. TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ 19 9. ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG 20 9.1. Bài toán tìm điểm cố định của họ đường cong 20 9.2. Bài toán tìm điểm có tọa độ nguyên 20 9.3. Bài toán tìm điểm có tính chất đối xứng 20 9.4. Bài toán tìm điểm đặc biệt, khoảng cách 21 PHẦN II. MŨ VÀ LOGARIT 23 1. LŨY THỪA VÀ HÀM SỐ LŨY THỪA 23 1.1. Khái niệm lũy thừa 23 1.2. Phương trình 23 1.3. Một số tính chất của căn bậc 24 1.4. Hàm số lũy thừa 24 1.5. Khảo sát hàm số mũ . 25 2. LOGARIT 26 2.1. Khái niệm Logarit 26 2.2. Bảng tóm tắt công thức Mũlogarit thường gặp 26 3. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT. 27 3.1. Bất phương trình mũ cơ bản 27 3.2. Bất phương trình logarit cơ bản 27 4. BÀI TOÁN LÃI SUẤT NGÂN HÀNG 28 4.1. Lãi đơn 28 4.2. Lãi kép 28 4.3. Tiền gửi hàng tháng 29 4.4. Gửi ngân hàng và rút tiền gửi hàng tháng 29 4.5. Vay vốn trả góp 29 4.6. Bài toán tăng lương 30 4.7. Bài toán tăng trưởng dân số 30 4.8. Lãi kép liên tục 30 PHẦN III. NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 31 1. NGUYÊN HÀM 31 1.1. Định nghĩa 31 1.2. Tính chất của nguyên hàm 31 1.3. Sự tồn tại của nguyên hàm 31 1.4. Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp 31 1.5. Bảng nguyên hàm mở rộng 32 2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM 32 2.1. Phương pháp đổi biến 32 2.2. Phương pháp nguyên hàm từng phần 34 3. TÍCH PHÂN 35 3.1. Công thức tính tích phân 35 3.2. Tính chất của tích phân 35 4. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 36 4.1. Phương pháp đổi biến 36 4.2. Phương pháp tích phân từng phần 36 5. TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN 37 5.1. Tích phân hàm hữu tỉ 37 5.2. Tích phân hàm vô tỉ 39 5.3. Tích phân hàm lượng giác 41 6. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 44 6.1. Diện tích hình phẳng 44 6.2. Thể tích vật thể và thể tích khối tròn xoay 45 PHẦN IV. SỐ PHỨC 47 1. SỐ PHỨC 47 1.1. Khái niệm số phức 47 1.2. Hai số phức bằng nhau 47 1.3. Biểu diễn hình học số phức 47 1.4. Số phức liên hợp 47 1.5. Môđun của số phức 47 2. PHÉP CỘNG TRỪ NHÂN CHIA SỐ PHỨC 48 2.1. Phép cộng và phép trừ số phức 48 2.2. Phép nhân số phức 48 2.3. Chia hai số phức 48 3. TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC 48 4. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC 49 4.1. Căn bậc hai của số thực âm 49 4.2. Phương trình bậc hai với hệ số thực 49 5. BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN MAX – MIN MÔ ĐUN SỐ PHỨC 49
TÓM TẮT LÝ THUYẾT ĐẠI SỐ 12 MỤC LỤC PHẦN I HÀM SỐ SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 1.1 Định nghĩa 1.2 Quy tắc cơng thức tính đạo hàm 1.3 Bảng cơng thức tính đạo hàm 1.4 Cơng thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức 1.5 Đạo hàm cấp CỰC TRỊ HÀM SỐ 2.1 Định nghĩa 2.2 Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị 2.3 Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị 2.4 Quy tắc tìm cực trị MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ 3.1 Cực trị hàm đa thức bậc ba y = ax + bx + cx + d 3.2 Cực trị hàm bậc trùng phương y = ax + bx + c, (a 0) 12 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 14 4.1 Định nghĩa 14 4.2 Phương pháp tìm GTLN,GTNN 14 ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 15 5.1 Đường tiệm cận ngang 15 5.2 Đường tiệm cận đứng 15 KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 15 6.1 Khảo sát số hàm đa thức hàm phân thức 15 6.2 Một số phép biến đổi đồ thị 17 TIẾP TUYẾN 19 7.1 Tiếp tuyến 19 7.2 Điều kiện tiếp xúc 19 TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ 19 ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG 20 9.1 Bài tốn tìm điểm cố định họ đường cong 20 9.2 Bài tốn tìm điểm có tọa độ ngun 20 9.3 Bài toán tìm điểm có tính chất đối xứng 20 9.4 Bài tốn tìm điểm đặc biệt, khoảng cách 21 PHẦN II MŨ VÀ LOGARIT 23 LŨY THỪA VÀ HÀM SỐ LŨY THỪA 23 1.1 Khái niệm lũy thừa 23 1.2 Phương trình x = b 23 1.3 Một số tính chất bậc n 24 1.4 Hàm số lũy thừa 24 n Sưu tầm biên tập: Đỗ Thế Long – GV Luyện Thi THCS- THPT – 0343687480 Page TÓM TẮT LÝ THUYẾT ĐẠI SỐ 12 1.5 Khảo sát hàm số mũ y = a , x ( a 0, a 1) 25 2 LOGARIT 26 2.1 Khái niệm Logarit 26 2.2 Bảng tóm tắt cơng thức Mũ-logarit thường gặp 26 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT 27 3.1 Bất phương trình mũ 27 3.2 Bất phương trình logarit 27 BÀI TOÁN LÃI SUẤT NGÂN HÀNG 28 4.1 Lãi đơn 28 4.2 Lãi kép 28 4.3 Tiền gửi hàng tháng 29 4.4 Gửi ngân hàng rút tiền gửi hàng tháng 29 4.5 Vay vốn trả góp 29 4.6 Bài toán tăng lương 30 4.7 Bài toán tăng trưởng dân số 30 4.8 Lãi kép liên tục 30 PHẦN III NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 31 NGUYÊN HÀM 31 1.1 Định nghĩa 31 1.2 Tính chất nguyên hàm 31 1.3 Sự tồn nguyên hàm 31 1.4 Bảng nguyên hàm hàm số thường gặp 31 1.5 Bảng nguyên hàm mở rộng 32 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM 32 2.1 Phương pháp đổi biến 32 2.2 Phương pháp nguyên hàm phần 34 TÍCH PHÂN 35 3.1 Cơng thức tính tích phân 35 3.2 Tính chất tích phân 35 PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 36 4.1 Phương pháp đổi biến 36 4.2 Phương pháp tích phân phần 36 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN 37 5.1 Tích phân hàm hữu tỉ 37 5.2 Tích phân hàm vô tỉ 39 5.3 Tích phân hàm lượng giác 41 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 44 6.1 Diện tích hình phẳng 44 6.2 Thể tích vật thể thể tích khối tròn xoay 45 PHẦN IV SỐ PHỨC 47 Sưu tầm biên tập: Đỗ Thế Long – GV Luyện Thi THCS- THPT – 0343687480 Page TÓM TẮT LÝ THUYẾT ĐẠI SỐ 12 SỐ PHỨC 47 1.1 Khái niệm số phức 47 1.2 Hai số phức 47 1.3 Biểu diễn hình học số phức 47 1.4 Số phức liên hợp 47 1.5 Môđun số phức 47 PHÉP CỘNG TRỪ NHÂN CHIA SỐ PHỨC 48 2.1 Phép cộng phép trừ số phức 48 2.2 Phép nhân số phức 48 2.3 Chia hai số phức 48 TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC 48 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC 49 4.1 Căn bậc hai số thực âm 49 4.2 Phương trình bậc hai với hệ số thực 49 BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN MAX – MIN MƠ ĐUN SỐ PHỨC 49 Sưu tầm biên tập: Đỗ Thế Long – GV Luyện Thi THCS- THPT – 0343687480 Page TÓM TẮT LÝ THUYẾT ĐẠI SỐ 12 PHẦN I HÀM SỐ SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 1.1 Định nghĩa Kí hiệu K khoảng đoạn nửa khoảng Giả sử hàm số y = f (x ) xác định K ta có: • Hàm số y = f (x ) gọi đồng biến (tăng) K nếu: ( ) ( ) x 1, x K , x x f x f x • Hàm số y = f (x ) gọi nghịch biến (giảm) K nếu: ( ) ( ) x 1, x K , x x f x f x Hàm số đồng biến nghịch biến K gọi chung đơn điệu K * Nhận xét: • Hàm số f ( x ) đồng biến K ( ) K , x x Khi đồ ( ) 0 x , x K , x x Khi đồ x − x1 thị hàm số lên từ trái sang phải • Hàm số f ( x ) nghịch biến K ( ) 0 x , x f x − f x1 ( ) f x − f x1 x − x1 thị hàm số xuống từ trái sang phải • Nếu f (x ) 0, x (a;b ) hàm số f ( x ) đồng biến khoảng (a;b ) • Nếu f ( x ) 0, x ( a; b ) hàm số f ( x ) nghịch biến khoảng (a;b ) Nếu f (x ) = 0, x (a;b ) hàm số f ( x ) khơng đởi khoảng (a;b ) • • Nếu f ( x ) đồng biến khoảng (a;b ) f (x ) 0, x (a;b ) • Nếu f ( x ) nghịch biến khoảng (a;b ) f (x ) 0, x (a;b ) • Nếu thay đổi khoảng (a;b ) đoạn nửa khoảng phải bổ sung thêm giả thiết “hàm số f ( x ) liên tục đoạn nửa khoảng đó” 1.2 Quy tắc cơng thức tính đạo hàm Quy tắc tính đạo hàm: Cho u = u (x ) ; v = v (x ) ; C : số • Tổng, hiệu: (u v ) = u v • Tích: (u.v ) = u .v + v .u (C u ) = C u u • Thương: = v C u .v − v .u , v0 v u ( ) C u =− u Sưu tầm biên tập: Đỗ Thế Long – GV Luyện Thi THCS- THPT – 0343687480 Page TÓM TẮT LÝ THUYẾT ĐẠI SỐ 12 • Đạo hàm hàm hợp: Nếu y = f (u ) , u = u (x ) y x = y u u x 1.3 Bảng công thức tính đạo hàm Đạo hàm hàm sơ cấp (C ) = Đạo hàm hàm hợp (x ) = .x (C số) (x ) = .x −1 (u ) = u −1 −1 u = − (x 0) x x u =− u u u ( x ) = 1x (x 0) ( u ) = 2u u (u 0) ( sin x ) = cos x ( sin u ) = u cos u ( cos x ) = − sin x ( cos u ) = −u sin u ( t an x ) = cos1 x ( t an u ) = cosu ( cot x ) = − sin1 x ( cot u ) = − sinu (e ) =e (a ) = a ln a (e ) = u .e (a ) = u .a ln a ( ln x ) = x1 ( ln u ) = uu ( log x ) = x ln1 a ( log u ) = u.uln a ( 2 x u x x a u u u u x ) u a 1.4 Công thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức ax + b ad − bc • = cx + d (cx + d ) ax + bx + c • = dx + ex + f a b a c b c x +2 x+ d e d f e f ( dx + ex + f ) 1.5 Đạo hàm cấp 1.5.1 Định nghĩa f ( x ) = f ( x ) 1.5.2 Ý nghĩa học Gia tốc tức thời chuyển động s = f (t ) thời điểm t là: a (t ) = f (t ) Sưu tầm biên tập: Đỗ Thế Long – GV Luyện Thi THCS- THPT – 0343687480 Page TÓM TẮT LÝ THUYẾT ĐẠI SỐ 12 1.5.3 Đạo hàm cấp cao f (n ) (x ) = f ( ) (x ) , (n n −1 ) ,n 2 * Một số ý: • Nếu hàm số f ( x ) g ( x ) đồng biến (nghịch biến) K hàm số () () f x + g x đồng biến (nghịch biến) K Tính chất khơng hiệu f (x ) − g (x ) • Nếu hàm số f ( x ) g ( x ) hàm số dương đồng biến (nghịch biến) K hàm số f (x ) g (x ) đồng biến (nghịch biến) K Tính chất khơng hàm số f (x ) , g (x ) khơng hàm số dương K • Cho hàm số u = u (x ) , xác định với x (a;b ) u (x ) (c;d ) Hàm số f u ( x ) xác định với x (a;b ) Ta có nhận xét sau: • Giả sử hàm số u = u (x ) đồng biến với x (a;b ) Khi đó, hàm số f u ( x ) đồng biến với x (a;b ) f (u ) đồng biến với u ( c; d ) • Giả sử hàm số u = u (x ) nghịch biến với x ( a; b ) Khi đó, hàm số f u (x ) nghịch biến với x ( a; b ) f ( u ) nghịch biến với u (c;d ) Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số Giả sử hàm số f có đạo hàm K • Nếu f ' (x ) với x K f ' (x ) = số hữu hạn điểm x K hàm số f đồng biến K • Nếu f ' (x ) với x K f ' (x ) = số hữu hạn điểm x K hàm số f nghịch biến K Chú ý: * Đối với hàm phân thức hữu tỉ y = ax + b d x − dấu " = " xét dấu đạo cx + d c hàm y không xảy Giả sử y = f (x ) = ax + bx + cx + d f (x ) = 3ax + 2bx + c Hàm số đồng biến R ( ) f x 0; x a a = b = c Hàm số nghịch biến R ( ) f x 0; x a a = b = c Sưu tầm biên tập: Đỗ Thế Long – GV Luyện Thi THCS- THPT – 0343687480 Page TÓM TẮT LÝ THUYẾT ĐẠI SỐ 12 Trường hợp hệ số c khác a = b = c = f (x ) = d (Đường thẳng song song trùng với trục Ox khơng đơn điệu) * Với dạng tốn tìm tham số m để hàm số bậc ba đơn điệu chiều khoảng có độ dài l ta giải sau: Bước 1: Tính y = f (x ; m ) = ax + bx + c Bước 2: Hàm số đơn điệu (x 1; x ) y = có nghiệm phân biệt a (* ) Bước 3: Hàm số đơn điệu khoảng có độ dài l ) − 4x x = l S − 4P = l (* *) Giải ( * ) giao với ( * * ) để suy giá trị m cần tìm ( x1 − x = l x1 + x Bước 4: 2 2 2 CỰC TRỊ HÀM SỐ 2.1 Định nghĩa Giả sử hàm số f xác định tập K x K Ta nói: • x điểm cực tiểu hàm số f tồn khoảng ( a; b ) chứa x cho ( a; b ) K f (x ) f (x ) , x (a;b ) \ x Khi f ( x ) gọi giá trị cực 0 tiểu hàm số f • x điểm cực đại hàm số f tồn khoảng (a;b ) chứa x cho ( a; b ) K f (x ) f (x ) , x (a;b ) \ x Khi f (x ) gọi giá trị cực đại hàm số f • Điểm cực đại điểm cực tiểu gọi chung điểm cực trị • Giá trị cực đại giá trị cực tiểu gọi chung cực trị • Điểm cực đại điểm cực tiểu gọi chung điểm cực trị hàm số điểm cực trị phải điểm tập hợp K • Giá trị cực đại giá trị cực tiểu gọi chung giá trị cực trị (hay cực trị) hàm số • Nếu x điểm cực trị hàm số điểm (x ; f (x ) ) gọi điểm cực trị đồ thị hàm số f * Nhận xét: • Giá trị cực đại (cực tiểu) f ( x ) nói chung khơng phải giá trị lớn (nhỏ nhất) hàm số f tập D; f ( x ) giá trị lớn (nhỏ nhất) hàm số f khoảng (a;b ) chứa x hay nói cách khác x điểm cực đại ( cực tiểu) Sưu tầm biên tập: Đỗ Thế Long – GV Luyện Thi THCS- THPT – 0343687480 Page TÓM TẮT LÝ THUYẾT ĐẠI SỐ 12 tồn khoảng (a;b) chứa x cho f ( x ) giá trị lớn (nhỏ nhất) hàm số f khoảng (a;b ) • Hàm số f đạt cực đại cực tiểu nhiều điểm tập K Hàm số khơng có cực trị tập cho trước 2.2 Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị Định lí 1: Giả sử hàm số y = f (x ) đạt cực trị điểm x Khi đó, y = f (x ) có đạo hàm điểm x f (x ) = Chú ý: • Đạo hàm f ( x ) điểm x hàm số f không đạt cực trị điểm x • Hàm số đạt cực trị điểm mà hàm số khơng có đạo hàm • Hàm số đạt cực trị điểm mà đạo hàm hàm số hàm số khơng có đạo hàm 2.3 Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị Định lí 2: Giả sử hàm số f đạt cực trị điểm x Khi đó, hàm số f có đạo hàm điểm x f ' ( x0 ) = • Nếu f ( x ) khoảng (x − h; x ) f ( x ) khoảng (x ; x + h ) x điểm cực đại hàm số f (x ) • Nếu f ( x ) khoảng (x − h; x ) f ( x ) khoảng ( x0 ; x0 + h ) x điểm cực tiểu hàm số f (x ) 2.4 Quy tắc tìm cực trị Quy tắc 1: • Bước 1: Tìm tập xác định Tìm f (x ) • Bước 2: Tìm điểm x i (i = 1;2; ) mà đạo hàm hàm số hàm số liên tục khơng có đạo hàm • Bước 3: Lập bảng biến thiên bảng xét dấu f ( x ) Nếu f ( x ) đổi dấu qua x i hàm số đạt cực trị x i Định lí 3: Giả sử y = f (x ) có đạo hàm cấp khoảng (x − h; x + h ) với h Khi đó: • Nếu f (x ) = 0, f ( x ) hàm số f đạt cực đại x Sưu tầm biên tập: Đỗ Thế Long – GV Luyện Thi THCS- THPT – 0343687480 Page TÓM TẮT LÝ THUYẾT ĐẠI SỐ 12 • Nếu f ( x0 ) = 0, f ( x ) hàm số f đạt cực tiểu x Từ định lí trên, ta có quy tắc khác để tìm cực trị hàm số Quy tắc 2: • Bước 1: Tìm tập xác định Tìm f (x ) • Bước 2: Tìm nghiệm x i (i = 1;2; ) phương trình f (x ) = • Bước 3: Tính f ( x ) tính f ( x i ) Nếu f (x i ) hàm số f đạt cực đại điểm x i Nếu f (x i ) hàm số f đạt cực tiểu điểm xi MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ 3.1 Cực trị hàm đa thức bậc ba y = ax + bx + cx + d 3.1.1 Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn hoành độ cho trước Bài toán tổng quát: Cho hàm số y = f (x ; m ) = ax + bx + cx + d Tìm tham số m để hàm số có cực đại, cực tiểu x 1, x thỏa mãn điều kiện K cho trước? Phương pháp: • Bước 1: Tập xác định: D = Đạo hàm: y = 3ax + 2bx + c = A x + Bx + C • Bước 2: Hàm số có cực trị (hay có hai cực trị, hai cực trị phân biệt hay có cực đại cực tiểu) y = có hai nghiệm phân biệt y đổi dấu qua nghiệm phương trình y = có hai nghiệm phân biệt A = 3a a m D1 2 = B − 4A C = 4b − 12ac b − 3ac y • Bước 3: Gọi x 1, x hai nghiệm phương trình y = B 2b x + x = − = − A 3a Khi đó: C c x x = = A 3a • Bước 4: Biến đổi điều kiện K dạng tổng S tích P Từ giải tìm m D2 • Bước 5: Kết luận giá trị m thỏa mãn: m = D1 D2 Sưu tầm biên tập: Đỗ Thế Long – GV Luyện Thi THCS- THPT – 0343687480 Page TÓM TẮT LÝ THUYẾT ĐẠI SỐ 12 * Chú ý: Hàm số bậc ba: y = ax + bx + cx + d (a ) 10 Ta có: y ' = 3ax + 2bx + c Điều kiện Kết luận Hàm số khơng có cực trị b − 3ac Hàm số có hai điểm cực trị b − 3ac ➢ Điều kiện để hàm số có cực trị dấu, trái dấu ▪ Hàm số có cực trị trái dấu phương trình y = có hai nghiệm phân biệt trái dấu A.C = 3ac ac ▪ Hàm số có hai cực trị dấu phương trình y = có hai nghiệm phân biệt dấu y C 0 P = x 1.x = A ▪ Hàm số có hai cực trị dấu dương phương trình y = có hai nghiệm dương phân biệt y B S = x + x = − A C P = x x = 0 A ▪ Hàm số có hai cực trị dấu âm phương trình y = có hai nghiệm âm phân biệt y ' B S = x + x = − A C P = x x = 0 A ➢ Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị x 1, x thỏa mãn: x1 x x1 x x1 x ▪ Hai cực trị x 1, x thỏa mãn x x ( )( ) ( ) x − x − x 1.x − x + x + ▪ Hai cực trị x 1, x thỏa mãn x x ( )( ) x − x − x + x ( ) x x − x + x + 2 x + x Sưu tầm biên tập: Đỗ Thế Long – GV Luyện Thi THCS- THPT – 0343687480 Page 10 TÓM TẮT LÝ THUYẾT ĐẠI SỐ 12 36 PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 4.1 Phương pháp đổi biến 4.1.1 Phương pháp đổi biến số dạng 4.1.1.1 Định lí Nếu 1) Hàm x = u (t ) có đạo hàm liên tục ; 2) Hàm hợp f (u (t )) xác định ; , 3) u( ) = a, u( ) = b b a Khi đó: I = f (x )dx = f (u (t ))u ' (t )dt 4.1.1.2 Phương pháp chung • Bước 1: Đặt x = u (t ) • Bước 2: Tính vi phân hai vế : Đổi cận: x = u (t ) dx = u '(t )dt x =b t = x =a t = • Bước 3: Chuyển tích phân cho sang tích phân theo biến t b a Vậy: I = f (x )dx = f u (t ) u '(t )dt = g(t )dt = G (t ) = G ( ) − G ( ) 4.1.2 Phương pháp đổi biến dạng 4.1.2.1 Định lí Nếu hàm số u = u (x ) đơn điệu có đạo hàm liên tục đoạn a ;b cho ( ) b u (b ) a u (a ) f (x )dx = g u (x ) u '(x )dx = g(u )du thì: I = f (x )dx = g(u )du 4.1.2.2 Phương pháp chung • Bước 1: Đặt u = u (x ) du = u ' (x )dx • Bước 2: Đổi cận : x =b u = u (b) x =a u = u (a ) • Bước 3: Chuyển tích phân cho sang tích phân theo u b b u (b ) a a u (a ) Vậy: I = f (x )dx = g u (x ) .u '(x )dx = g(u )du 4.2 Phương pháp tích phân phần 4.2.1 Định lí Nếu u (x) v (x) hàm số có đạo hàm liên tục a ;b thì: b ( ' u(x )v (x )dx = u(x )v(x ) a ) b b − v(x )u ' (x )dx a a b Hay udv = uv a b b − vdu a a 4.2.2 Phương pháp chung Sưu tầm biên tập: Đỗ Thế Long – GV Luyện Thi THCS- THPT – 0343687480 Page 36 TÓM TẮT LÝ THUYẾT ĐẠI SỐ 12 37 • Bước 1: Viết f (x)dx dạng udv = uv 'dx cách chọn phần thích hợp f (x) làm u (x) phần lại dv = v '(x )dx • Bước 2: Tính du = u ' dx v = dv = v '(x )dx b • Bước 3: Tính vu '(x )dx uv a b a * Cách đặt u dv phương pháp tích phân phần b b b Đặt u theo thứ tự ưu b x x P P P ( ( x ( x x ) ) cos ) ln e xdx xdx dx a a a e cos xdx a tiên: Lốc-đa-mũ-lượng u P(x) lnx P(x) ex dv P(x)dx cosxdx cosxdx e x dx Chú ý: Nên chọn u phần f (x) mà lấy đạo hàm đơn giản, chọn dv = v 'dx phần f (x)dx vi phân hàm số biết có nguyên hàm dễ tìm TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN 5.1 Tích phân hàm hữu tỉ 5.1.1 Dạng dx adx I= = = ln ax + b a ax + b a ax + b (với a≠0) dx 1 = (ax + b) −k adx = (ax + b) −k +1 Chú ý: Nếu I = k a a (1 − k ) (ax + b) 5.1.2 Dạng I = ax (a 0) dx + bx + c ( ax + bx + c với x ; ) Xét = b2 − 4ac • Nếu x = −b + −b − ;x2 = 2a 2a 1 1 = = − : ax + bx + c a(x − x )(x − x ) a (x − x ) x − x x − x 1 ln x − x − ln x − x I = − dx = a (x − x ) x − x x − x a (x − x ) x − x1 = ln a (x − x ) x − x • Nếu = 1 = ax + bx + c a(x − x )2 −b x0 = 2a dx dx = =− I = 2 a (x − x ) a (x − x ) ax + bx + c Sưu tầm biên tập: Đỗ Thế Long – GV Luyện Thi THCS- THPT – 0343687480 Page 37 TÓM TẮT LÝ THUYẾT ĐẠI SỐ 12 38 dx dx = 2 ax + bx + c − b a x + + 2a 4a • Nếu I = b = 2a Đặt x + − − t an t dx = + t an t dt 2 a 4a ( ) 5.1.3 Dạng I = ax (trong f (x ) = mx + n dx , + bx + c (a 0) mx + n liên tục đoạn ; ) ax + bx + c • Bằng phương pháp đồng hệ số, ta tìm A B cho: A (2ax + b) B mx + n A(ax + bx + c) ' B = + = + 2 ax + bx + c ax + bx + c ax + bx + c ax + bx + c ax + bx + c • Ta có I= Tích phân ax dx + bx + c A (2ax + b) B dx + dx 2 ax + bx + c ax + bx + c A (2ax + b) dx = A ln ax + bx + c ax + bx + c Tích phân mx + n dx = ax + bx + c thuộc dạng 5.1.4 Dạng b I = P (x ) Q (x ) dx với P (x) Q (x) đa thức x a • Nếu bậc P (x) lớn bậc Q (x) dùng phép chia đa thức • Nếu bậc P (x) nhỏ bậc Q (x) xét trường hợp: • Khi Q (x) có nghiệm đơn 1, 2, , n đặt A1 A2 An P (x ) = + + + Q (x ) x − x − x − n • Khi Q (x)có nghiệm đơn vơ nghiệm ( )( ) Q (x ) = x − x + px + q , = p − 4q đặt P (x ) A Bx + C = + Q (x ) x − x + px + q • Khi Q (x)có nghiệm bội Q (x ) = (x − )(x − )2 với đặt A P (x ) B C = + + Q (x ) x − x − x − ( ) Sưu tầm biên tập: Đỗ Thế Long – GV Luyện Thi THCS- THPT – 0343687480 Page 38 TÓM TẮT LÝ THUYẾT ĐẠI SỐ 12 Q (x ) = (x − ) (x − ) 39 với đặt P (x ) A B C D E = + + + + 3 (x − ) ( x − ) x − (x − ) (x − ) (x − ) (x − ) 5.2 Tích phân hàm vơ tỉ b R (x , f (x ))dx Trong R (x, f (x)) có dạng: a • R x, a −x Đặt x = acos 2t , t 0; a + x 2 ) ( • R x , a − x Đặt x = a sin t x = a cos t • R x, n ax + b ax + b Đặt t = n cx + d cx + d • R (x , f (x ) ) = Với ( x + x + ) ' = k (ax + b ) (ax + b) x + x + Đặt t = x + x + , Đặt t = ( ) ( R( ) ax + b • R x , a + x Đặt x = a t an t , t − ; 2 • R x , x − a Đặt x = • n1 n n a cos x 2 , t [0; ]\ ) x ; x ; ; i x Gọi k = BSCNN (n1; n2 ; ; ni ) Đặt x = t k 5.2.1 Dạng I = ax + bx + c dx (a 0) b x+ =u b 2 a du = dx Từ : f(x)=ax + bx + c = a x + − 2a 4a =K 2a Khi ta có : • Nếu 0, a f (x ) = a (u + k ) f (x ) = a u + k (1) a b • Nếu : = f (x ) = a x + (2) b 2a f (x ) = a x + 2a = a u • Nếu : ▪ Với a > : f (x ) = a (x − x )(x − x ) f (x ) = a (x − x )(x − x ) (3) ▪ Với a < : f (x ) = −a (x − x )(x − x ) f (x ) = −a (x − x )(x − x ) (4) Sưu tầm biên tập: Đỗ Thế Long – GV Luyện Thi THCS- THPT – 0343687480 Page 39 TÓM TẮT LÝ THUYẾT ĐẠI SỐ 12 40 Căn vào phân tích , ta có số cách giải sau : Phương pháp : * Trường hợp : 0, a f (x ) = a (u + k ) f (x ) = a u + k Khi đặt : ax + bx + c = t − a x t2 −c x = ; dx = tdt bx + c = t − ax b+2 a b+2 a x = → t = t , x = → t = t t2 −c t − a x = t − a b+2 a ) ( a b * Trường hợp : = f (x ) = a x + b 2a f (x ) = a x + 2a = a u Khi : I = b a x+ 2a dx = a b b ln x + 0 :x + 2a 2a a dx = b − ln x + b : x + b x+ 2a a 2a 2a ( ) (x − x ) t ( x − x ) t a (x − x )(x − x ) = (x − x ) t x −x t * Trường hợp : 0, a Đặt : ax + bx + c = a (x − x )(x − x ) = * Trường hợp : 0, a Đặt : ax + bx + c = 1 2 5.2.2 Dạng I = mx + n ax + bx + c Phương pháp : • Bước 1: Phân tích f (x ) = mx + n ax + bx + c = A d ( ax dx (a 0) + bx + c ax + bx + c )+ B ax + bx + c (1) • Bước 2: Quy đồng mẫu số , sau đồng hệ số hai tử số để suy hệ hai ẩn số A, B • Bước 3: Giải hệ tìm A, B thay vào (1) • Bước : Tính I = 2A Trong ( ax + bx + c ax + bx + c ) +B dx (2) ax + bx + c dx (a 0) biết cách tính 5.2.3 Dạng Sưu tầm biên tập: Đỗ Thế Long – GV Luyện Thi THCS- THPT – 0343687480 Page 40 TÓM TẮT LÝ THUYẾT ĐẠI SỐ 12 I = ( mx + n ) ax + bx + c dx 41 (a 0) Phương pháp : • Bước 1: Phân tích : (mx + n ) ax + bx + c = n m x + ax + bx + c m (1) • Bước 2: n y = t = x +t m n Đặt : = x + y m x = − t ax y dx → dy = − x +t 1 1 + bx + c = a − t + b − t + c y y • Bước 3: ' Thay tất vào (1) I có dạng : I = ' dy Ly + My + N Tích phân biết cách tính 5.2.4 Dạng x + dx I = R x ; y dx = R x ; m x + ( ) ( Trong : R (x; y) hàm số hữu tỷ hai biến số x,y , , , số biết ) Phương pháp : • Bước 1: Đặt : t = m x + (1) x + • Bước 2: Tính x theo t : Bằng cách nâng lũy thừa bậc m hai vế (1) ta có dạng x = (t ) • Bước 3: Tính vi phân hai vế : dx = ' (t ) dt đổi cận • Bước 4: ' x + dx = R t ; t ' t dt Tính : R x ; m x + ' ( () ) () 5.3 Tích phân hàm lượng giác 5.3.1 Một số cơng thức lượng giác 5.3.1.1 Công thức cộng cos(a b) = cos a cos b sin a sin b Sưu tầm biên tập: Đỗ Thế Long – GV Luyện Thi THCS- THPT – 0343687480 Page 41 TÓM TẮT LÝ THUYẾT ĐẠI SỐ 12 42 sin (a b) = sin a cos b sin b cos a t an (a b) = t an a t an b t an a t an b 5.3.1.2 Công thức nhân đôi cos 2a = cos2 a – sin a = cos2 a – = – sin a = sin 2a = sin a cos a = t an a + t an a cos 3 = cos3 − cos − t an a + t an a t an a − t an a ; t an 2a = ; sin 3 = sin − sin 5.3.1.3 Công thức hạ bậc sin a = − cos 2a + cos 2a − cos 2a ; cos2 a = ; t an a = 2 + cos 2a sin = sin − sin 3 cos3 = ; cos 3 + cos 5.3.1.4 Cơng thức tính theo t Với t = t an a Thì sin a = 2t 2t −t2 ; ; t an a = cos a = 2 1+t − t2 1+t 5.3.1.5 Cơng thức biến đởi tích thành tổng cos( + ) + cos( − ) 2 sin sin = cos( − ) − cos( + ) sin cos = sin( + ) + sin( − ) cos cos = 5.3.1.6 Công thức biến đổi tởng thành tích cos + cos = cos + cos − cos = −2 sin sin + sin = sin cos + − sin + − − cos 2 + − sin − sin = cos sin 2 sin( + ) t an + t an = cos cos sin( − ) t an − t an = cos cos Công thức thường dùng: + cos 4 + cos 4 6 cos + sin = cos4 + sin = Hệ quả: Sưu tầm biên tập: Đỗ Thế Long – GV Luyện Thi THCS- THPT – 0343687480 Page 42 TÓM TẮT LÝ THUYẾT ĐẠI SỐ 12 43 cos + sin = cos − = sin + 4 4 cos − sin = cos + = − sin − 4 4 5.3.2 Một số dạng tích phân lượng giác • Nếu gặp b I = f ( sin x ) cos xdx ta đặt t = sin x a • Nếu gặp dạng b I = f ( cos x ) sin xdx ta đặt t = cos x a • Nếu gặp dạng b I = f ( tan x ) a • Nếu gặp dạng b I = f ( cot x ) a dx cos x ta đặt t = tan x dx sin x ta đặt t = cot x 5.3.2.1 Dạng I = ( sinx ) dx ; I ( cosx ) dx n n * Phương pháp • Nếu n chẵn sử dụng cơng thức hạ bậc • Nếu n = sử dụng cơng thức hạ bậc biến đổi • Nếu 3n lẻ (n = p + 1) thực biến đổi: I = ( sinx ) dx = ( sinx ) n 2p+1 dx = ( sin x ) sin xdx = − (1 − cos2 x ) d ( cos x ) p 2p k p k p = − C p0 − C p1 cos2 x + + ( −1) C pk ( cos2 x ) + + ( −1) C pp ( cos2 x ) d ( cos x ) ( −1)k k ( −1)p p 2k +1 p +1 1 ( ) = − C p cos x − C p cos x + + C p cos x + + C p ( cos x ) + c 2k + 2p + I = ( cosx ) dx = ( cosx ) n 2p+1 dx = ( cos x ) cos xdx = 2p (1 − sin x ) p d ( sin x ) k p k p = C p0 − C p1 sin x + + ( −1) C pk ( sin x ) + + ( −1) C pp ( sin x ) d ( sin x ) k p ( −1) k ( −1) p 2k +1 p +1 1 ( ) ( ) +c = C p sin x − C p sin x + + C sin x + + C sin x 2k + p 2p + p 5.3.2.2 Dạng I= ò sin m x cos n xdx (m, n ẻ N ) * Phng phỏp ã Trường hợp 1: m, n số nguyên a Nếu m chẵn, n chẵn sử dụng cơng thức hạ bậc, biến đổi tích thành tổng b Nếu m chẵn, n lẻ (n = p + 1) biến đổi: Sưu tầm biên tập: Đỗ Thế Long – GV Luyện Thi THCS- THPT – 0343687480 Page 43 TÓM TẮT LÝ THUYẾT ĐẠI SỐ 12 I = ( sinx ) ( cosx ) m 2p+1 dx = ( sin x ) ( cos x ) cos xdx = ( sin x ) m 2p m 44 (1 − sin x ) d ( sin x ) p k p m k p = ( sin x ) C p0 − C p1 sin x + + ( −1) C pk ( sin x ) + + ( −1) C pp ( sin x ) d ( sin x ) = m +3 2k +1+m p +1+m c ( sin x )m +1 ( ) ( sin x ) ( sin x ) k p sin x k p C p +c −Cp + + ( −1) C p + + ( −1) C p m +1 m +3 2k + + m 2p + + m Nếu m lẻ (m = p + 1), n chẳn biến đổi: I = ( sinx ) 2p+1 ( cosx )n dx = ( cos x )n ( sin x )2p sin xdx = − ( cos x )n (1 − cos2 x ) d ( cos x ) p k p n k p = − ( cos x ) C p0 − C p1 cos2 x + + ( −1) C pk ( cos2 x ) + + ( −1) C pp ( cos2 x ) d ( cos x ) = n +3 2k +1+n p +1+n ( cos x )n +1 ( ) ( cos x ) ( cos x ) k p cos x k p +c − C p −Cp + + ( −1) C p + + ( −1) C p n +1 n +3 2k + + n 2p + + n d Nếu m lẻ, n lẻ sử dụng biến đổi 1.2 1.3 cho số mũ lẻ bé • Nếu m, n số hữu tỉ biến đổi đặt u = sinx B = sin m x cosn xdx = ( sin x ) m ( cos2 x ) Tích phân (*) tính số n −1 cos xdx = u m (1 − u ) n −1 du (*) m +1 n −1 m +k ; ; số nguyên 2 5.3.2.3 Dạng I = ( tan x ) dx ; I = ( cot x ) dx (n Ỵ N ) n n • dx (1 + t an x ) dx = cos x = d ( t an x ) = t an x + c • dx (1 + cot x ) dx = sin x • t an xdx = cos x dx = − • cot xdx = sin x dx = 2 2 sin x cos x = − d ( cot x ) = − cot x + C d ( cos x ) = − ln cos x + C cos x d ( sin x ) = ln sin x + C sin x ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 6.1 Diện tích hình phẳng 6.1.1 Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong trục hoành Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f (x ) liên tục đoạn a ;b , trục b hoành hai đường thẳng x = a , x = b xác định: S = f (x ) dx a y y = f ( x) O a c1 c2 c3 b x y = f ( x) y = (H ) x = a x = b b S = f (x ) dx a Sưu tầm biên tập: Đỗ Thế Long – GV Luyện Thi THCS- THPT – 0343687480 Page 44 TÓM TẮT LÝ THUYẾT ĐẠI SỐ 12 45 6.1.2 Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f (x ) , y = g(x ) liên tục đoạn a ;b hai đường thẳng x = a , x = b xác định: S = b f (x ) − g(x ) dx a y (C1 ) : y = f1 ( x) (C ) : y = f2 ( x) (H ) x = a x = b (C1 ) (C2 ) b O c2 a c1 b x S = f (x ) − f (x ) dx a b - Nếu đoạn [a;b] , hàm số f (x ) không đổi dấu thì: b f (x ) dx = a f (x )dx a - Nắm vững cách tính tích phân hàm số có chứa giá trị tuyệt đối - Diện tích hình phẳng giới hạn đường x = g(y ) , x = h (y ) hai đường thẳng y =c, y =d d xác định: S = g(y ) − h(y ) dy c 6.2 Thể tích vật thể thể tích khối trịn xoay 6.2.1 Thể tích vật thể Gọi B phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm a b; S (x ) diện tích thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm x , (a x b) Giả sử S (x ) hàm số liên tục đoạn [a;b] (V ) O b x a b x V = S (x )dx a S(x) 6.2.2 Thể tích khối trịn xoay - Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường y = f (x ) , trục hoành hai đường thẳng x = a , x = b quanh trục Ox: y y = f ( x) O a b x (C) : y = f ( x) b (Ox) : y = V x = f ( x ) dx x = a a x = b - Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường x = g(y ) , trục hoành hai đường thẳng y = c , y = d quanh trục Oy: Sưu tầm biên tập: Đỗ Thế Long – GV Luyện Thi THCS- THPT – 0343687480 Page 45 TÓM TẮT LÝ THUYẾT ĐẠI SỐ 12 46 y (C) : x = g( y) (Oy) : x = y = c y = d d c O d V y = g ( y ) dy c x - Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường y = f (x ) , y = g(x ) hai đường thẳng x = a , x = b quanh trục Ox: b V = f (x ) − g (x ) dx a Sưu tầm biên tập: Đỗ Thế Long – GV Luyện Thi THCS- THPT – 0343687480 Page 46 TÓM TẮT LÝ THUYẾT ĐẠI SỐ 12 47 PHẦN IV SỐ PHỨC SỐ PHỨC 1.1 Khái niệm số phức • Số phức (dạng đại số) : z = a + bi; (a, b ) Trong : a phần thực, b phần ảo, i đơn vị ảo, i = −1 • Tập hợp số phức kí hiệu: • z số thực phần ảo z (b = ) • z số ảo (hay gọi ảo) phần thực (a = ) • Số vừa số thực vừa số ảo 1.2 Hai số phức • Hai số phức z = a + bi (a, b ) z = c + di (c, d ) phần thực phần ảo chúng tương đương a = c b = d • Khi ta viết z = z a + bi = c + di 1.3 Biểu diễn hình học số phức Số phức z = a + bi (a, b ) biểu diễn điểm ( ) ( ) M a;b hay u = a ;b mặt phẳng phức với hệ tọa độ y M (a;b) O x 1.4 Số phức liên hợp Oxy Số phức liên hợp z = a + bi (a, b • z =z ; ) z = a − bi z z z z ' = z z '; = ; z z 2 z z' =z z'; z z = a + b2 • z số thực z = z ; z số ảo z = −z 1.5 Môđun số phức Độ dài vectơ OM gọi môđun số phức z kí hiệu z Vậy z = OM hay z = a + bi = OM = a + b2 Một số tính chất: • z = a + b2 = zz = OM ; z = z • z 0, z ; z = z = • z 1.z = z z ; z1 z2 = z1 z2 ; z1 z2 = z1z z2 • z1 − z z1 z z1 + z Sưu tầm biên tập: Đỗ Thế Long – GV Luyện Thi THCS- THPT – 0343687480 Page 47 TÓM TẮT LÝ THUYẾT ĐẠI SỐ 12 PHÉP CỘNG TRỪ NHÂN CHIA SỐ PHỨC 2.1 Phép cộng phép trừ số phức Cho hai số phức z = a + bi (a, b ) z = c + di (c, d ( ) ( 48 ) Khi đó: ) z1 z = a + c b + d i • Số đối số phức z = a + bi −z = −a − bi • Tổng số phức với số phức liên hợp hai lần phần thực số thực đó: z = a + bi, z + z = 2a 2.2 Phép nhân số phức • Cho hai số phức z = a + bi (a, b ( ) • Với số thực k số phức z = a + bi (a, b ) , ta có ) z = c + di c, d Khi đó: z 1z = (a + bi )(c + di ) = (ac – bd ) + (ad + bc ) i ( ) k z = k a + bi = ka + kbi Đặc biệt: 0.z = với số phức z • Lũy thừa i : i = 1, i = i, i = −1, i = i i = −i i 4n = 1, i 4n +1 = i, i 4n +2 = −1, i 4n +3 = −i, n 2.3 Chia hai số phức Số phức nghịch đảo z khác số z −1 = z Phép chia hai số phức z ' z z z' z '.z z '.z = z ' z −1 = = z z z z TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC Một số tập hợp điểm biểu diễn số phức z thường gặp: • ax + by + c = tập hợp điểm đường thẳng • x = tập hợp điểm trục tung Oy • y = tập hợp điểm trục hoành Ox • (x − a ) + (y − b ) R tập hợp điểm hình trịn tâm I (a;b ) , bán kính R ( 2 ) ( ) x −a + y −b = R2 tập hợp điểm đường trịn có tâm I a;b , bán kính • 2 x + y − 2ax − 2by + c = ( ) R = a + b2 − c • x0 tập hơp điểm miền bên phải trục tung • y tập hợp điểm miền phía trục hồnh Sưu tầm biên tập: Đỗ Thế Long – GV Luyện Thi THCS- THPT – 0343687480 Page 48 TÓM TẮT LÝ THUYẾT ĐẠI SỐ 12 49 • x tập hợp điểm miền bên trái trục tung • y tập hợp điểm phía trục hồnh • y = ax + bx + c tập hợp điểm đường Parabol • x2 y2 + = tập hợp điểm đường Elip a b2 • x2 y2 − = tập hợp điểm đường Hyperbol a b2 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC 4.1 Căn bậc hai số thực âm • Cho số z , có số phức z cho z 12 = z ta nói z bậc hai z • Mọi số phức z có hai bậc hai • Căn bậc hai số thực z âm i z Tổng quát, bậc hai số thực a âm i a 4.2 Phương trình bậc hai với hệ số thực Cho phương trình bậc hai ax + bx + c = 0, a, b, c , a Xét biệt số = b2 − 4ac phương trình Ta thấy: b • Khi = , phương trình có nghiệm thực x = − 2a • Khi , phương trình có hai nghiệm thực phân biệt x 1,2 = • Khi , phương trình có hai nghiệm phức x 1,2 = −b i 2a −b 2a BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN MAX – MIN MƠ ĐUN SỐ PHỨC • Cho số phức z thỏa mãn z1 z + z2 = r , ( r ) z r max z = + z1 z1 min z = z − r z1 z1 • Cho số phức z thỏa mãn z1 z − z2 = r1 , ( r1 ) Sưu tầm biên tập: Đỗ Thế Long – GV Luyện Thi THCS- THPT – 0343687480 Page 49 TÓM TẮT LÝ THUYẾT ĐẠI SỐ 12 max P = z2 z1 − z3 + r1 z1 P = z2 z1 − z3 − 50 r1 z1 • Cho số phức z thỏa mãn z 1.z + z + z 1.z − z = k, (k ) k max z = z = z1 k − z2 2 z1 Sưu tầm biên tập: Đỗ Thế Long – GV Luyện Thi THCS- THPT – 0343687480 Page 50