Khoá luận tốt nghiệp sư phạm toán học một số chuyên đề bồi dưỡng học sinh khá giỏi số học 6

MỤC LỤC TRANG LỜI CẢM ƠN........................................................................................................1 PHẦN MỞ ĐẦU....................................................................................................4 CÁC KÍ HIỆU DÙNG TRONG KHÓA LUẬN...................................................6 PHẦN NỘI DUNG ................................................................................................7 CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN............................................................................7 1.1. PHÉP CHIA HẾT .................................................................................. 7 1.1.1. Định nghĩa phép chia ..................................................................... 7 1.1.2. Các tính chất .................................................................................. 7 1.1.3. Một số dấu hiệu chia hết................................................................ 8 1.2. ƯCLN, BCNN ....................................................................................... 9 1.2.1. Ước chung lớn nhất (ƯCLN)......................................................... 9 1.2.2. Bội chung nhỏ nhất (BCNN) ....................................................... 10 1.3. DẠNG TOÁN “ SUY LUẬN LOGIC ”............................................... 11 1.3.1. Vận dụng nguyên lý Dirchlet....................................................... 11 1.3.2. Phương pháp lập bảng................................................................. 11 1.3.3. Phương pháp giải ngược từ cuối. ................................................ 12 1.4. DẠNG TOÁN CHUYỂN ĐỘNG ........................................................ 12 CHƯƠNG 2: CÁC PHƯƠNG PHÁP.................................................................14 2.1. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CHIA HẾT ........................... 14 2.1.1. Phương pháp 1: Đựa vào định nghĩa phép chia hết ..................... 14 2.1.2. Phương pháp 2: Sử dụng dấu hiệu chia hết. ................................. 15 2.1.3.Phương pháp 3: Sử dụng tính chất chia hết................................... 17 2.1.4. Dùng định lí về chia có dư.............................................................. 20 2.1.5. Phương pháp 5: Sử dụng nguyên tắc Dirichlet............................. 21 2.2 Một số dạng toán về ƯCLN, BCNN........................................................ 22 2.2.1. Bài toán cơ bản liên quan đến ước và bội .................................... 23 2.2.2. Tìm số tự nhiên khi biết một số yếu tố trong đó có các dữ kiện về ƯCLN, BCNN...................................................................................... 26 2.2.3. Tìm ƯCLN của các biểu thức số.................................................... 30 2.3.4. Vận dụng thuật toán ƠClit tìm ƯCLN ........................................ 32 2.3. Một số dạng toán suy luận và phương pháp giải. .................................... 33 2.3.1. Nguyên lý Dirchlet với các bài toán đại số .................................... 33 2.3.2. Phương pháp lập bảng. .................................................................. 37 2.3.3.Phương pháp lựa chọn tình huống ................................................. 40 2.3.4. Phương pháp tính ngược từ cuối ................................................... 43 2.4. Một số dạng toán chuyển động và phương pháp giải. ............................. 46 2.4.1. Chuyển động cùng chiều ................................................................ 46 2.4.2. Chuyển đông ngược chiều:............................................................. 50 2.4.3. Chuyển động của vật có chiều dài đáng kể ................................... 52 2.4.4. Chuyển động có dòng nước............................................................ 53 2.4.5. Chuyển động có vận tốc thay đổi trên từng đoạn ......................... 55 2.4.6.Vận tốc trung bình .......................................................................... 58 CHƯƠNG 3: MỘT SỐ BÀI TẬP.......................................................................61 PHẦN KẾT LUẬN..............................................................................................80 TÀI LIỆU THAM KHẢO...................................................................................81 PHẦN MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Môn toán là môn khoa học cơ bản trong hệ thống giáo dục phổ thông. Nó phát triển năng lực sáng tạo và khả năng tư duy logic cho học sinh, rèn luyện kĩ năng phân tích tổng hợp, rèn tính cẩn thận, kiên trì, tính chính xác, tính chủ động, vận dụng sáng tạo kiến thức vào thực tế, giúp ích rất nhiều cho cuộc sống. Song môn Toán là môn học khá khó với nhiều học sinh. Mặc dù vậy, những người học sẽ tìm thấy điều lý thú nếu có sự say mê, phương pháp học đúng, nghiên cứu môn học một cách nghiêm túc. Trong chương trình Toán bậc THCS, mỗi khối lớp đều có những nội dung, chuyên đề bồi dưỡng học sinh khá giỏi. Đây là một trong những nội dung quan trọng trong chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi THCS những vấn đề này cũng được đề cập thường xuyên đặc biệt đối với các học sinh tham gia kì thi học sinh giỏi thì đây là một trong những vấn đề quan trọng mà bắt buộc những học sinh này phải vượt qua. Với tất cả lý do trên, tôi quyết định chọn đề tài “Một số chuyên đề bồi dưỡng học sinh khá giỏi số học 6”. 2. Mục đích nghiên cứu Trên cơ sở các kiến thức được học ở trường Đại học Thủ đô Hà Nội, các tài liệu bồi dưỡng thường xuyên, sách giáo khoa, sách bài tập và thực tiễn học tập của học sinh, nghiên cứu đề tài nhằm tìm ra những phương pháp giải các chuyên đề, nội dung một cách hiệu quả nhất để góp phần giúp học sinh đào sâu và rèn luyện năng lực tư duy Toán học nói chung và bộ môn số học nói riêng. Xây dựng hệ thống bài tập về ứng dụng của nội dung này trong giảng dạy, bồi dưỡng học sinh khá giỏi lớp 6. 3. Đối tượng nghiên cứu Khóa luận tập chung nghiên cứu những phương pháp giải các dạng toán, chuyên đề nâng cao dành cho các học sinh khá giỏi số học 6 4. Phạm vi nghiên cứu Khóa luận tập trung nghiên cứu những chuyên đề chính của số học 6: Phép chia hết, ƯCLN, BCNN, Toán suy luận logic, Toán chuyển động.Đây đều là những chuyên đề chúng ta sẽ gặp trong các đề thi đòi hỏi học sinh phải nắng bắt và thành thạo trong việc giải các bài toán. 5. nhiệm vụ nghiên cứu Hệ thống những kiến thức cơ bản nhất về lý thuyết một số chuyên đề trong chương trình đại số lớp 6. Sưu tầm và phân loại các chuyên đề một cách cụ thể và phương pháp giải từng dạng. Đề xuất được hệ thống một số bài toán học sinh khá giỏi và các đề thi học sinh giỏi toán 6. 6. Phương pháp nghiên cứu Thực hiện đề tài này, tôi kết hợp sưu tầm tài liệu và sử dụng các phương pháp sau: Phương pháp nghiên cứu lý luận; Phương pháp phân tích; Phương pháp tổng hợp; Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.

      TRƯỜNG ĐH THỦ ĐÔ HÀ NỘI   KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN             LƯƠNG THỊ GIANG     MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH KHÁ, GIỎI SỐ HỌC LỚP       KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP   Chun ngành: Sư phạm Tốn học               Hà Nội, tháng năm 2019   TRƯỜNG ĐH THỦ ĐÔ HÀ NỘI KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN         LƯƠNG THỊ GIANG       MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH KHÁ, GIỎI SỐ HỌC LỚP       KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP  Chun ngành: Sư phạm Tốn học       GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN: T.S Phạm Xuân Hinh Hà Nội, tháng năm 2019 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại học  Thủ đơ Hà Nội và ban chủ nhiệm khoa Khoa học Tự nhiên đã tạo mọi điều  kiện thuận lợi để em hồn thành khóa luận tốt nghiệp này.    Có được sự hồn thành của khóa luận, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc  đến Tiến sĩ Phạm Xn Hinh – người thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ,  truyền thụ cho em những kiến thức bổ ích, những kinh nghiệm q báu trong  suốt q trình thực hiện đề tài.    Do thời gian và trình độ có hạn nên khóa luận cịn nhiều hạn chế. Vì  vậy, em rất mong nhận được sự đóng góp chỉ bảo của các thầy cơ giáo và các  bạn sinh viên để em có thể hồn thiện hơn về đề tài của mình.    Em xin chân thành cảm ơn!                Hà Nội, tháng 5 năm 2019                                                             Lương Thị Giang          Sinh viên  MỤC LỤC TRANG LỜI CẢM ƠN PHẦN MỞ ĐẦU CÁC KÍ HIỆU DÙNG TRONG KHĨA LUẬN PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN 1.1 PHÉP CHIA HẾT   7 1.1.1 Định nghĩa phép chia   7 1.1.2 Các tính chất   7 1.1.3 Một số dấu hiệu chia hết   8 1.2 ƯCLN, BCNN  . 9 1.2.1 Ước chung lớn (ƯCLN)  . 9 1.2.2 Bội chung nhỏ (BCNN)  . 10 1.3 DẠNG TOÁN “ SUY LUẬN LOGIC ”  . 11 1.3.1 Vận dụng nguyên lý Dirchlet  . 11 1.3.2 Phương pháp lập bảng.   11 1.3.3 Phương pháp giải ngược từ cuối.   12 1.4 DẠNG TOÁN CHUYỂN ĐỘNG   12 CHƯƠNG 2: CÁC PHƯƠNG PHÁP 14 2.1. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CHIA HẾT   14 2.1.1 Phương pháp 1: Đựa vào định nghĩa phép chia hết   14 2.1.2 Phương pháp 2: Sử dụng dấu hiệu chia hết.  . 15 2.1.3.Phương pháp 3: Sử dụng tính chất chia hết   17 2.1.4 Dùng định lí chia có dư   20 2.1.5 Phương pháp 5: Sử dụng nguyên tắc Dirichlet.   21 2.2 Một số dạng toán về ƯCLN, BCNN   22 2.2.1 Bài toán liên quan đến ước bội   23 2.2.2 Tìm số tự nhiên biết số yếu tố có kiện ƯCLN, BCNN   26 2.2.3 Tìm ƯCLN biểu thức số   30 2.3.4 Vận dụng thuật tốn Ơ-Clit tìm ƯCLN   32 2.3. Một số dạng toán suy luận và phương pháp giải.   33 2.3.1 Nguyên lý Dirchlet với toán đại số   33 2.3.2 Phương pháp lập bảng.   37 2.3.3.Phương pháp lựa chọn tình huống  . 40 2.3.4 Phương pháp tính ngược từ cuối   43 2.4. Một số dạng toán chuyển động và phương pháp giải.   46 2.4.1 Chuyển động chiều   46 2.4.2 Chuyển đông ngược chiều:  50 2.4.3 Chuyển động vật có chiều dài đáng kể   52 2.4.4 Chuyển động có dịng nước   53 2.4.5 Chuyển động có vận tốc thay đổi đoạn  . 55 2.4.6.Vận tốc trung bình   58 CHƯƠNG 3: MỘT SỐ BÀI TẬP 61 PHẦN KẾT LUẬN 80 TÀI LIỆU THAM KHẢO 81 PHẦN MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Mơn tốn là mơn khoa học cơ bản trong hệ thống giáo dục phổ thơng.  Nó phát triển năng lực sáng tạo và khả năng tư duy logic cho học sinh, rèn  luyện kĩ năng phân tích tổng hợp, rèn tính cẩn thận, kiên trì, tính chính xác,  tính chủ động, vận dụng sáng tạo kiến thức vào thực tế, giúp ích rất nhiều cho  cuộc sống. Song mơn Tốn là mơn học khá khó với nhiều học sinh. Mặc dù  vậy, những người học sẽ tìm thấy điều lý thú nếu có sự say mê, phương pháp  học đúng, nghiên cứu mơn học một cách nghiêm túc.    Trong chương trình Tốn bậc THCS, mỗi khối lớp đều có những nội  dung, chun đề bồi dưỡng học sinh khá giỏi. Đây là một trong những nội  dung quan trọng trong chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi THCS những vấn  đề này cũng được đề cập thường xun đặc biệt đối với các học sinh tham gia  kì thi học sinh giỏi thì đây là một trong những vấn đề quan trọng mà bắt buộc  những học sinh này phải vượt qua.    Với tất cả lý do trên, tơi quyết định chọn đề tài “Một số chun đề bồi  dưỡng học sinh khá giỏi số học 6”.  Mục đích nghiên cứu           Trên cơ sở các kiến thức được học ở trường Đại học Thủ đơ Hà Nội,  các tài liệu bồi dưỡng thường xun, sách giáo khoa, sách bài tập và thực tiễn  học tập của học sinh, nghiên cứu đề tài nhằm tìm ra những phương pháp giải  các chun đề, nội dung một cách hiệu quả nhất để góp phần giúp học sinh  đào sâu và rèn luyện năng lực tư duy Tốn học nói chung và bộ mơn số học  nói riêng.            Xây dựng hệ thống bài tập về ứng dụng của nội dung này trong giảng  dạy, bồi dưỡng học sinh khá giỏi lớp 6.  Đối tượng nghiên cứu           Khóa luận tập chung nghiên cứu những phương pháp giải các dạng  tốn, chun đề nâng cao dành cho các học sinh khá giỏi số học 6  Phạm vi nghiên cứu Khóa luận tập trung nghiên cứu những chun đề chính của số học 6:  Phép chia hết, ƯCLN, BCNN, Tốn suy luận logic, Tốn chuyển động.Đây  đều là những chun đề chúng ta sẽ gặp trong các đề thi địi hỏi học sinh phải  nắng bắt và thành thạo trong việc giải các bài tốn.  nhiệm vụ nghiên cứu Hệ thống những kiến thức cơ bản nhất về lý thuyết một số chun đề  trong chương trình đại số lớp 6 Sưu tầm và phân loại các chun đề một cách cụ thể và phương pháp  giải từng dạng Đề xuất được hệ thống một số bài tốn học sinh khá giỏi và các đề thi  học sinh giỏi tốn 6 Phương pháp nghiên cứu Thực hiện đề tài này, tơi kết hợp sưu tầm tài liệu và sử dụng các  phương pháp sau:  - Phương pháp nghiên cứu lý luận;   - Phương pháp phân tích;     - Phương pháp tổng hợp;   - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.  CÁC KÍ HIỆU DÙNG TRONG KHĨA LUẬN   N    :        Tập hợp các số tự nhiên  N*  :        Tập hợp các số tự nhiên khác 0     :         Mọi     :         Phép kéo theo, phương trình hệ quả     :        Phép tương tương, phương trình tương đương        :            Thuộc        :         Chia hết  ƯCLN:    Ước chung lớn nhất  BCNN:    Bội chung nhỏ nhất  HCN:       Hình chữ nhật  TG:          Thời gian              PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN 1.1 PHÉP CHIA HẾT 1.1.1 Định nghĩa phép chia Cho 2 số ngun a và b trong đó  b   ta ln tìm được hai số ngun q  và r duy nhất sao cho:  a  bq  r  với   r  b    Trong đó: a là số bị chia, b là số chia, q là thương, r là số dư.  Khi a chia cho b có thể xảy ra  b  số dư:  r  0;1; 2; ; b    Đặc biệt:  r   thì  a  bq Khi đó ta nói a chia hết cho b hay b chia hết cho a.  Ký hiệu:  a  b hay  ba   Vậy  a  b   Có số nguyên q sao cho  a  bq   1.1.2 Các tính chất  Với  a   có  a a    Nếu    a  b  và  ba    a c    Với  a    có  0a    Nếu a,b > 0 và  a  b  ;  ba  a  b    Nếu    a  b  và c bất kì có  ac b    Nếu    a  b    a   b     Với  a    có  a  1    Nếu   a  b  và  c b  a  c b    Nếu  a  m   và  a  n  và  m, n    a  mn   10  Nếu  a  b  và  n   a n  b n   11  Nếu  ac b  và   a,b    c b   12  Nếu  a  b ,  cb và m, n bất kì có:  am  cn  b   13  Nếu  a  b  và  c d  ac bd   14  Tích n số nguyên liên tiếp chia hết cho n!  15   a n  p (p nguyên tố)   a  p     1.1.3 Một số dấu hiệu chia hết Gọi  N    a n a n 1 a 1a    Dấu hiệu chia hết cho 2  + N  a   a  0;2;4;6;8    Dấu hiệu chia hết cho 5  +  N5  a o 5  a 0;5    Dấu hiệu chia hết cho 4 (hoặc 25)  +  N (hoặc 25)  a 1a  (hoặc 25).   Dấu hiệu chia hết cho 8 (hoặc 125)  +   N8 (hoặc 125)  a a 1a 8 ( hoặc 125).   Dấu hiệu chia hết cho 3 (hoặc9)  +   N3  ( hoặc 9)   a n  a n 1   a 3 (hoặc 9).   Nhận xét: Dư trong phép chia của một số cho 3 (hoặc 9) cũng chính là   dư trong phép chia tổng các chữ số của số đó cho 3 (hoặc 9).   Dấu hiệu chia hết cho 11  +   N 11   a  a  .   a  a  .  11    Dấu hiệu chia hết cho 19  +   N 19   a n  2a n 1  2 a n    n a 19  .  Chỉ có m = 3 và n = 4 là thỏa mãn. Khi đó a = 18 và b = 24. Vậy hai số cần  tìm là 18 và 24.  Bài tập 13: Tìm a, b biết a – b = 7 và   a, b   140            Giải   Đặt    a, b   d  a  md,b  nd với  m,n  * ;  m,n     Giả sử a > b khi đó m > n     do đó a – b = d (m – n) = 7    (1)  a,b  dmn  140                    (2)  Từ (1) và (2)   d ƯC ( 7, 140 ) mà ƯCLN ( 7, 140 ) = 7   d Ư (7) nên d  1,7   Lần lượt thay các giá trị của d vào (1), (2) để tính m, n ta thấy chỉ có d = 7 là  thỏa mãn    m – n = 1 và m.n = 20  Chỉ có m = 5 và n = 4 là thỏa mãn. Khi đó a = 35 và b = 28. Vậy hai số cần  tìm là 35 và 28.  Bài tập 14:  Tìm  số  tự  nhiên  a,  biết  rằng  350  chia  cho  a  thì  dư  14,  cịn  320  chia cho a thì dư 26   Giải   Số 350 chia cho a dư 14 nên a là ước của 350 -14 = 336 và a > 14  Số 320 chia cho a dư 26 nên a là ước của 320 – 26 = 294 và a > 26  Do đó a là ước chung của 336 và 294, đồng thời a > 26  ƯCLN (360,432) = 42 mà 42 > 26 nên a = 26.  67 Bài tập 15: Người ta muốn chia 200 bút bi, 240 bút chì, 320 tẩy thành một số  phần  thưởng  như  nhau.  Hỏi  có  thể  chia  được  nhiều  nhất  là  bao  nhiêu  phần  thưởng, mỗi phần thưởng có bao nhiêu bút bi, bút chì, tẩy?  Giải    Số phần thưởng phải tìm làƯCLN (200, 240, 320) = 40.   Mỗi phần thưởng có 5 bút bi, 6 bút chì và 8 tẩy.  Bài tập 16: Hai lớp 6A, 6B cùng thu nhặt một số giấy vụn bằng nhau. Trong  lớp 6A, một bạn thu được 26kg, cịn lại mỗi bạn thu 11kg. Trong lớp 6B, một  bạn thu được 25kg, cịn lại mỗi bạn thu 10kg. Tính số học sinh mỗi lớp, biết  rằng số giấy mỗi lớp thu được trong khoảng từ 200kg đến 300kg Giải   Gọi số giấy mỗi lớp thu được là x(kg) thì  x  2611, x  2510 do đó  x  15  BC(11,10)   Ngồi ra 200  x  300   Ta tìm được x = 235.   Do đó lớp 6A có 20 học sinh, lớp 6B có 22 học sinh.  Bài tập 17: Gia  đình  Lan  có  5  người:  Ơng  nội,  bố,  mẹ,  Lan  và  em  Hồng.  Sáng chủ nhật cả nhà thích đi xem xiếc nhưng chỉ mua được 2 vé. Mọi người  trong gia đình đề xuất 5 ý kiến: Hồng và Lan đi      Bố và Mẹ đi      Ơng và bố đi      Mẹ và Hồng đi      Hồng và bố đi  68 Cuối cùng mọi người đồng ý với đề nghị của Lan vì theo đề nghị đó thì mỗi  đề nghị của 4 người cịn lại trong gia đình đều được thỏa mãn một phần. Bạn  hãy cho biết ai đi xem xiếc hơm đó   Giải           Ta nhận xét:  Nếu chọn đề nghị thứ nhất thì đề nghị thứ hai bị bác bỏ hồn tồn. Vậy  khơng thể chọn đề nghị thứ nhất.  Nếu chọn đề nghị thứ hai thì đề nghị thứ nhất bị bác bỉ hồn tồn. Vậy  khơng thể chọn đề nghị số hai.  Nếu chọn đề nghị thứ ba thì đề nghị thứ tư bị bác bỏ hồn tồn. Vậy khơng  thể chọn đề nghị thứ ba.  Nếu chọn dề nghị thứ tư thì đề nghị thứ ba bị bác bỏ hồn tồn. Vậy khơng  thể chọn đề nghị thứ tư.  Nếu chọn đề nghị thứ năm thì cả bốn đề nghị trên đều thỏa mãn một phần và  bác bỏ một phần. Vậy sáng hơm đó Hồng và Bố đi xem xiếc.  Bài tập 18: Tìm số tự nhiên x, biết rằng tổng các chữ số của x bằng y, tổng  các chữ số của y bằng z và x + y + z = 60.  Giải          Từ đầu bài ta có x là số có 2 chữ số. Đặt  x  ab x  10a  b  y  a  b,  z có 2 trường hợp:  Nếu  y  a  b   z  a  b Ta có:  10a  b    a  b    a  b   60  4a  b  20      b  b  0;4;8  a  5, 4,3   loại a = 3, b = 8 (do a + b > 9)     Nếu  y  a  b  10  z  a  b    69 Ta có:  10a  b    a  b    a  b    60                 4a  b  23  a  4,b                  ab  44,47,50    Kết luận: Có 3 số 44, 47, 50 đều thỏa mãn đề bài.  Bài tập 19: Với một số nguyên dương n, A1  1;4;9 , A2  A1 2;6;12 , A3  3;5;15 , A4  7;8;14 B  10;11;13 Ai (i  1,2,3,4) M  1011B12  M  1;4;5;6;7;10;11;12;13;14    ta xét một bảng ơ vng n . n. Mỗi ơ vng con được tơ bởi màu đỏ hoặc màu  xanh. Tìm số n nhỏ nhất sao cho với mỗi cách tơ ta ln chọn được một hình  chữ nhật kích thước m. k    m, k  n Mà bốn ơ vng con ở 4 góc của hình  chữ nhật này là cùng màu.                                         (Đề thi chọn đội tuyển HSG lớp 6 – KHTN Hà Nội)  Giải           Gọi một hình chữ nhật (HCN) thỏa mãn đề bài là một HCN tốt.  Với   n  2;3;4 thì tồn tại cách tơ sao cho khơng tồn tại HCN tốt.  Ta chứng minh: n  N* ,n  , hình vng n . n ln tồn tại một HCN tốt.  Với n = 5, xét hình vng 5 . 5:  Theo ngun lý Dirchlet, mỗi cột ln tồn tại ít nhất 3 ơ cùng màu.  Nếu tồn tại một cột có 5 ơ đỏ (xanh), dễ thấy ln tồn tại một HCN tốt với 4  đỉnh màu xanh.  Nếu tồn tại một cột có 4 ơ màu đỏ hoặc màu xanh . Giả sử cột đó có 4 ơ đỏ:  Ta thấy rằng trong 4 cột cịn lại nếu có nhiều hơn một cột có 2 ơ đỏ thì sẽ tồn  tại một HCN tốt với 4 đỉnh màu đỏ. Do đó trong 4 cột cịn lại chỉ có nhiều  70 nhất một cột có 2 ơ đỏ. Tức là ta sẽ có 3 cột có ít nhất 4 ơ xanh, do đó tồn tại  một HCN tốt với 4 đỉnh màu xanh.  Xét trường hợp tất cả các cột được tơ 3 ơ đỏ, 2 ơ xanh hoặc 3 ơ xanh, 2 ơ đỏ:  Theo ngun lý Dirchlet, có ít nhất 3 cột có 3 ơ được tơ cùng màu, khơng mất  tổng qt giả sử các ơ này được tơ cùng màu đỏ.  Xét 4 hàng bất kỳ trong 5 hàng. Do hàng cịn lại là tối đa 3 ơ đỏ nên tổng số ơ  đỏ của 3 cột ở 4 hàng này khơng nhỏ hơn: 3 . 3 – 3 = 6 = 4 + 2  Do đó theo ngun lý Dirchlet, tồn tại 2 cột có cùng ơ đỏ ở 2 trong 4 hàng này  nên tồn tại một HCN tốt với 4 đỉnh màu đỏ.  Vậy, ln tồn tại một HCN tốt trong hình vng 5 . 5  Với n > 5, hình vng n . n chứa hình vng 5 . 5 nên ln tồn tại một HCN  tốt   Vậy, n = 5 là giá trị nhỏ nhất thỏa mãn đề bài  Nhận xét: Đây là câu tổ hợp trong của đề thi chọn đội tuyển của trường  KHTN được đăng trên diễn đàn VMF. Ý tưởng đến khá tự nhiên thơng qua  việc cố gắng tìm một cách vẽ thỏa trường hợp n = 5. Tác giả đốn rằng khơng  thể vẽ được như vậy và ý tưởng sử dụng ngun lý Dirchlet được nảy sinh.  Cơng việc cịn lại chỉ là chia trường hợp và giải quyết bài tốn.  Bài tập 20: Cho A, B là hai tập con của tập  1;2;3; ;100  thỏa  A  B  và A  B    Xác định số phần tử lớn nhất của tập  A  B  sao cho với  n  A , ta  ln có  2n   B                                             (Đề thi Olympic truyền thồng 2011- 2012)  Giải           Vì  2n   B mà  B  1;2;3; ;100  nên  2n   100  n  49   Do đó:  A  1;2;3; ;49   71 Ta chia tập  1;2;3; ;49   thành 3 tâp con như sau:  Nhóm 1: Gồm 16 tập con chứa đúng 2 phần tử:  1;4 ,2;6 ,3;8 ,5,12 ,7;16 , 9;20,10;22 , 9;20 ,10;22 ,11;24 ,13;28 ,14;30 ,15;32 ,17;36 ,18;38 19;40 ,21;44 ,23;48   Các tập này đều có dạng: x, 2x  2   Nhóm 2: Gồm 17 tập con chứa đúng một phần tử:  25 ,26 ,27 ,29 ,31 ,33 ,34 ,35 ,37 , 39 ,41 ,42 ,43 ,   45 ,46 ,47 ,49   Nếu A  34 , khi đó theo ngun lý Dirchlet tồn tại ít nhất một trong 16 tập  con ở nhóm một có 2 phần tử đều thuộc tập A, tức là tồn tại 2 số x và 2x + 2  cùng thuộc tập A, điều này mâu thuẫn với giả thiết.  Suy ra,  A  33  A  B  A  B  A  B  A  66   Ta thấy rõ dàng 2 tập A, B thỏa mãn đề bài và  A  B  66   Vậy, số phần tử lớn nhất của tập A  B   là 66  Nhận xét: Bản chất bài tốn khá đơn giản, tuy nhiên để giải đúng nó thì cần  phải có sự kiên nhẫn trong việc phân hoạch tập 1;2;3; ;49  Đây là một  trong những bài rất dễ sai đáp số.  Bài tập 21: Cho tập X  1;2;3; ;15  Gọi M là một tập con của X thỏa điều  kiện tích 3 phần tử bất kì của M đều khơng phải là số chính phương. Tìm số  phần tử lớn nhất của M.                                                    (Đề thi học sinh giỏi Tốn 6 - Hà Nội)       Giải 72          Gọi bộ ba phần tử bất kỳ của X có tích là số chính phương là một bộ  xấu.  Chia tập X thành 5 tập con như sau:    A1  1;4;9 ,A  2;6;12 ,A3  3;5;15 ,A  7;8;14.B  10;11;13   Ta thấy rằng các bộ ba phần tử của  A i (i  1,2,3, 4)  đều là các bộ xấu.  Nếu  M  12  Thì theo ngun lý Dirchlet, có ít nhất hai trong 5 tập trên là tập  con của M ,suy ra cso ít nhất một bộ xấu được chứa trong M. Suy ra M  11   Giả sử  M  11  Áp dụng ngun lý Dirchlet, có 1 trong 5 tập trên là tập con  của M. Để M khơng chứa bộ xấu thì tập B phải là tập con của M, các tập   A i (i  1,2,3, 4) mỗi tập có 2 phần tử thuộc M.  Vì  B  M  nên ta có 10  M  Ta có 2 bộ xấu đi với 10 là (2; 5; 10), (6; 10;  15). Dễ thấy rằng nếu cả 3 và 12 khơng thuộc M thì sẽ có ít nhất một trong hai  bộ xấu trên được chứa trong M.  Suy ra   M  và 12  M  Tuy nhiên ta lại có hai bộ xấu đi với 3 và 12 là hai  bộ (3; 12; 9) . (3; 12; 9). Mặt khác 1 và 9 đều thuộc tập  A1 , nên chắc chắn có  ít nhất một trong hai phần tử này thuộc M. Điều này đồng nghĩa với viêc một  trong hai bộ xấu trên sẽ được chứa trong M, gây mâu thuẫn với giả thiết.  Suy ra, M  10   Ta sẽ chỉ ra tập M có đúng 10 phần tử thỏa mãn yêu cầu đề bài:  M  1;4;5;6;7;10;11;12;13;14   Vậy, số phần tử lớn nhất của M là 10.  Nhận xét: Bài tốn này cũng thuộc dạng phân hoạch tập hợp như bài trên,  nhưng lại là một bài tốn khó hơn, địi hỏi tính tư duy tổ hợp cao . Việc chia  73 tổ hợp để chỉ ra  M  11 là điều dễ nhận ra, nhưng để chỉ ra  M  10  thì lại là  cả một vấn đề. Đây là bài tốn rất hay và thú vị  Bài tập 22: Một người đi từ A đến B gồm một đoạn lên dốc và một đoạn  xuống dốc. Biết vận tốc lên dốc là 12km/giờ, vận tốc xuống dốc là 20km/giờ,  tổng cộng hết 1 giờ 35 phút. Lúc về, người đó đi từ B đến A, biết vận tốc lên  dốc là 12km/giờ, vận tốc xuống dốc cùng là 20 km/giờ, tổng cộng hết 1 giờ  45 phút. Tính qng đường AB?                               (Đề thi học sinh giỏi tốn 6 trường Amsterdam – Hà Nội)  Giải           Gọi qng đường lên dốc lúc đi là AC, qng đường xuống dốc lúc đi  là CB  Cả đi lẫn về, qng đường lên dốc tổng cộng là: AC + BC = AB  Cả đi lẫn về, qng đường xuống dốc tổng cộng là: CB + CA = AB  Qng đường lên dốc, xuống dốc tổng cộng bằng qng đường xuống dốc  tổng cộng nên:  20    12 Tổng thời gian lên dốc tổng cộng và xuống dốc tổng cộng là:  1h 35ph + 1h 45ph = 200 (phút)  Thời gian xuống dốc tổng cộng:  200.3  75  (phút)  Quãng đường xuống dốc tổng cộng (tức là quãng đường AB):    20.75  25  km  60 Bài tập 23: Một xe tải đi từ A đến B, vận tốc 40km/h. Sau đó một thời gian,  một xe du lịch dời A, vận tốc 60km/h và như vậy sẽ đến B cùng lúc với xe tải.  74 Nhưng đi đến C, được  qng đường AB, xe tải giảm vận tốc xuống cịn  35km/h, do đó xe du lịch gặp xe tải ở D, cách B 30km. Tính qng đường  AB?                                   (Đề thi học sinh giỏi tốn 6 thành phố Hà Nội năm 2015) Giải          Nếu khơng thay đổi vận tốc thì xe tải gặp xe du lịch ở B, do đổi vận tốc  nên nó gặp xe du lịch ở D. Trong bài tốn này, xe du lịch được dựa vào để xác  định xem do thay đổi vận tốc, xe tải đi chậm bao lâu so với bình thường.  Xe du lịch đi DB trong:  30 : 60   (h)  1 Trong   giờ đó, xe tải đi được:  35  17,5  (km)  2 Như vậy lúc xe du lịch đến B (tức là lúc xe tải đáng lẽ đến B) thì xe tải mới  đến E, cịn cách B: 30 – 17,5 = 12,5 (km)  Từ C xe tải đi với vận tốc bằng  35   vận tốc cũ nên quãng đường đi được  40 CE bằng   quãng đường CB. Vậy quãng đường 12,5 km là   quãng đường  8 CB.   Quãng đường CB: 12,5 . 8 =100 (km)  Quãng đường AB:  100.5  125  (km)  Bài tập 24: Một người đi từ B đến C với vận tốc 45 km/h. Cùng lúc đó một ơ  tơ đi từ A với vận tốc 50km/h để đuổi theo xe máy và sau 1,2 giờ thì ơ tơ đuổi  kịp xe máy. Hỏi:  a) Qng đường AB dài bao nhiêu km?  75   b) Hai xe gặp nhau khi mỗi xe đi bao nhiêu km?           Giải          a Hiệu vận tốc của 2 xe là: 50 – 45 = 5  Qng đường AB dài là: 5 . 1,2 = 6 (km)  b. Xe ơ tơ đi được qng đường là: 50 . 1,2 = 60 (km)  Người đi xe máy đi được qng đường dài là: 45 . 1,2 = 54 (km)  Bài tập 25: Hiện nay là 6 giờ đúng. Hỏi sau bao lâu nữa thì kim giờ và kim  phút của đồng hồ sẽ trùng khít lên nhau?  Giải          Vì kim phút quay nhanh gấp 12 lần kim giờ nên trong cùng một thời  gian nếu kim giờ quay được một phần thì kim phút quay được 12 phần.  Vậy kim phút quay được nhiều hơn kim giờ là:  12 – 1 = 11 (phần)   Lúc 6 giờ kim phút chỉ số 12, kim giờ chỉ số 6. Vậy lúc 6 giờ, kim phút đi sau  kim giờ đúng   vịng trịn.  Khi mà kim phút trùng khít lên kim giờ thì cũng là lúc kim phút đuổi kịp kim  giờ. Trong thời gian đó kim phút quay được nhiều hơn kim giờ   vịng trịn.  Vậy   vịng trịn chính là 11 phần.  1 phần là: 1 :11   (vòng tròn)  22 Thời gian để kim giờ quay được 1 vòng là 12 giờ. Vậy thời gian để kim phút  quay được   12 vòng tròn là   giờ (hay   giờ)  22 22 11 76 Đổi  6.60  32  phút   giờ =  11 11 11 Bài tập 26: Bây giờ là 12 giờ. Hỏi sau bao nhiêu lâu nữa thì kim giờ và kim  phút vng góc với nhau?         Giải           Lúc 12 giờ kim giờ và kim phút trùng khít lên nhau, khi hai kim vng  góc thì kim phút quay được nhiều hơn kim giờ đúng   vịng (đồng hồ)  Trong 1 giờ kim phút chạy được 1 vịng, kim giờ chạy được 1 giờ kim phút chạy nhiều hơn kim giờ là:   vòng nên trong  12 11   (vòng)  12 12 11 Thời gian để 2 kim vng góc với nhau là:  :   (giờ)  12 11 Đổi  60.3  16 phút  giờ =   11 11 11 Bài tập 27: Hiện nay là 2 giờ. Hỏi ít nhất bao nhiêu phút nữa thì hai kim giờ  và kim phút của đồng hồ tạo thành góc bẹt? Giải             Lúc 2 giờ kim giờ chỉ số 2, kim phút chỉ số 12. Do đó kim phút đi sau   1 kim giờ  vòng đồng hồ         12  Để 2 kim tạo thành góc bẹt thì kim phút phải vượt qua kim giờ đúng   vịng  đồng hồ.  77 Vậy kể từ lúc 2 giờ để 2 kim tạo thành góc bẹt thì kim phút phải đi nhiều hơn  1 kim giờ:      (vòng)  Một giờ kim phút đi được 1 vòng, kim giờ đi được  phút đi nhanh hơn kim giờ là:1   vòng nên mỗi giờ kim  12 11   (vòng)  12 12 Kể từ lúc 2 giờ thời gian để hai kim tạo thành góc bẹt là:  11 :    (giờ) =   43 phút  12 11 11   Bài tập 28: Trong dãy số gồm 2010 số thực khác 0 được sắp xếp theo thứ tự a1 ,a , ,a 2010  1a n  a n 1  , ta đánh dấu tất cả các số dương và tất cả các số  mà tổng của nó với một số liên tiếp ngay sau nó là một số dương.  Chứng minh rằng nếu trong dãy số đã cho có ít nhất một số dương thì tổng  của tất cả các số được đánh dấu là một số dương.                                         (Đề thi Chun KHTN mơn Tốn năm 2010)  Giải           Số các số được đánh dấu     Nếu tất cả các số được đánh dấu là số dương ta có đpcm.  Nếu các số đánh dấu có số ơm giả sử là  a n   thì số   a n 1   là số dương cũng  được đánh dấu và  a n  a n 1  , mọi số âm đều có số có tổng dương, các cặp  số này khơng trùng nhau.  Vậy tổng các số dương đánh dấu là dương.  Bài tập 29: Cho các số ngun dương từ 1 đến 2018 được tơ màu theo quy  tắc sau: Các số mà khi chia cho 24 dư 17 được tơ màu xanh. Các số mà khi  chia cho 40 dư 7 được tơ màu đỏ. Các số cịn lại tơ màu vàng. Chứng tỏ rằng  78 khơng có số nào được tơ cả hai màu xanh và đỏ. Hỏi có bao nhiêu số được tơ  màu vàng.                   (Đề thi vào lớp 10 mơn Tốn Chun TP-HCM năm 2018)  Giải Giả sử có một số a được tơ cả hai màu xanh và đỏ   a  N,1  a  2018  a chia cho 24 dư 17 hay  a  24k  17  k  N , k  83   a chia cho 40 dư 7 hay  a  40l   l  N , l  50  * *  24k  17  40l   40l  24k  10  20l  12k    5l  3k   Vô lý do  5l  3k  Z   và 5 khơng chia hết cho 4. Do đó giả sử sai.  Vậy khơng có số nào được tơ cả hai màu xanh và đỏ.      79 PHẦN KẾT LUẬN   Khóa luận đã hệ thống hóa được các kiến thức cơ bản về khái niệm  cũng như các phương pháp giải một số chun đề bồi dưỡng học sinh khá giỏi  đại số 6. Đặc biệt là những kiến thức liên quan chặt chẽ đến chương trình  THCS và những kiến thức hữu ích mà bước đầu tạo niềm đam mê, hứng thú  học tập, nâng cao tư duy, sáng tạo cho các em.    Trong khn khổ thời gian có hạn và tài liệu tham khảo cịn chưa thật  đầy đủ nên khóa luận cịn tồn tại và nhiều hạn chế. Đây cũng là những trải  nghiệm ban đầu về nghiên cứu khoa học, giúp em hình thành những kĩ năng  cơ bản khi nghiên cứu một đề tài khoa học nói chung và đề tài Tốn nói riêng.  Vì vậy, em rất mong nhận được đóng góp ý và sự chỉ dẫn q báu của các  thầy cơ giáo, các bạn sinh viên giúp em rút kinh nghiệm và hồn thành tốt hơn  đề tài của mình.    Để có sự hồn thiện của khóa luận này, một lần nữa em xin chân thành  cảm ơn Tiến sĩ Phạm Xn Hinh, người đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn, giúp  đỡ em, trong suốt q trình làm đề tài. Em cũng xin gửi lời cảm ơn đến các  thầy cơ giáo trong trường Đại học Thủ đơ Hà Nội, đặc biệt là các thầy cơ  trong bộ mơn Tốn của trường đã giúp đỡ em rất nhiều trong q trình làm  khóa luận. Cuối cùng, em xin được bày tỏ lịng biết ơn đến gia đình, bạn bè và  người thân đã động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi để em hồn thành  khóa luận.      Em xin chân thành cảm ơn.    80 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1  Phạm Văn Đức, Tuyển tập tốn hay & khó lớp 6, NXB Giáo dục  Việt Nam.   2  Nguyễn Đức Tấn, Chun đề bồi dưỡng học sinh giỏi Tốn 6, NXB Tổng  hợp thành phố Hồ Chí Minh.  3  Nguyễn Đức Tấn, Tốn nâng cao, NXB Đại học quốc gia  thành phố Hồ Chí Minh.   4  Huỳnh Ngọc Thanh, Tốn tốn thực tế, NXB Đại học sư  phạm thành phố Hồ Chí Minh  5  Lê Minh Thư, Bộ đề kiểm tra Tốn 6, NXB Đại học quốc gia Hà Nội.   6  Thầy Đồn Thích, Tuyển tập 13 chuyên đề nâng cao phát triển bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6, NXB Giáo dục Việt Nam.    81