Chuyên đề toán vào 10 (2)

CHUYÊN ĐỀ ÔN VÀO 10 Bài Rút gọn biểu thức  P =  √ 2 √ 1− a 1−a a √ √ + a 1−a 1− a với a ≥ 0; a ̸= Bài Cho phương trình x2 + 2(1 − m)x − + m = 0, m tham số a) Giải phương trình m = b) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt với m c) Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm đối Bài Trên vùng biển xem phẳng khơng có chướng ngại vật Vào lúc có tàu cá thẳng tọa độ X theo hướng từ Nam đến Bắc với vận tốc khơng đổi Đến có tàu du lịch thẳng qua tọa độ X theo hướng từ Đông sang Tây với vận tốc lớn vận tốc tàu cá 12 km/h Đến giờ, khoảng cách hai tàu 60 km Tính vận tốc tàu Bài Cho tam giác ABC (AB < AC) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R) Vẽ đường cao AH tam giác ABC, đường kính AD đường trịn (O) Gọi E, F chân đường vng góc kẽ từ C B xuống đường thẳng AD Gọi M trung điểm BC a) Chứng minh tứ giác ABHF BM F O nội tiếp b) Chứng minh HE song song BD c) Chứng minh SABC = AB.BC.CA Trong SABC diện tích tam 4R giác ABC Bài Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh N= + a2 + b2 + c2 + + ≥ b+c c+a a+b Bài Khơng dùng máy tính cầm tay thực √ x+6 a) Tính giá trị biểu thức A = √ x = x+5−5 ( 2x − y = b) Giải hệ phương trình y − 5x = 10 c) Giải phương trình x4 + 5x2 − 36 = Bài (v104) Cho tam giác ABC có đường cao AH Trên cạnh BC lấy điểm M tùy ý (M không trùng với B, C, H) Gọi P, Q hình chiếu vng góc M lên AB, AC a) Chứng minh tứ giác AP M Q nội tiếp đường tròn xác định tâm O đường tròn b) Chứng minh OH ⊥ P Q c) Chứng minh M P + M Q = AH Bài (v101) Cho tam giác ABC có cạnh a Hai điểm M, N lần AN AM + = Đặt AM = x, lượt di động hai đoạn AB, AC cho MB NC AN = y Chứng minh M N = a − x − y Giải phương trình: 3(x − 1) = 5x + q q √ √ Cho biểu thức: A = x + x − + x − x − 1, với x ≥ Bài a) Tính giá trị biểu thức A x = b) Rút gọn biểu thức A ≤ x ≤ Bài 10 Cho phương trình: x2 − (m − 1)x − m = Tìm m để phương trình có nghiệm Tính nghiệm lại 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba đường thẳng d1 : y = 2x − 1; d2 : y = x; d3 : y = −3x + Tìm hàm số có đồ thị đường thẳng d song song với đường thẳng d3 đồng thời qua giao điểm hai đường thẳng d1 d2 Bài 11 Hai đội công nhân làm chung hồn thành cơng việc Nếu làm riêng thời gian hồn thành cơng việc đội thứ hai đội thứ Hỏi làm riêng thời gian hồn thành cơng việc đội bao nhiêu? Bài 12 (v103) Cho đường tròn tâm O, bán kính R đường thẳng d khơng cắt đường trịn (O) Dựng đường thẳng OH vng góc với đường thẳng d điểm H Trên đường thẳng d lấy điểm K (K khác H), qua K vẽ hai tiếp tuyến KA, KB với đường tròn (O) (A, B tiếp điểm), cho A H nằm hai phía đường thẳng OK a) Chứng minh tứ giác KAOH nội tiếp đường tròn b) Đường thẳng AB cắt đường thẳng OH điểm I Chứng minh IA.IB = IH.IO I điểm cố định điểm K chạy đường thẳng d cố định √ b) Khi OK = 2R, OH = R Tính diện tích tam giác KAI theo R ( x>y Bài 13 (v102) Cho x, y hai số thực thỏa Tìm giá trị nhỏ xy = biểu thức x2 + y P = x−y x+1 = x − √  √ x+2 x−2 Cho biểu thức: A = √ − √ · (x − 1), với x ≥ 0, x ̸= x+1 x−1 Bài 14 Giải phương trình: a) Tính giá trị biểu thức A x = b) Rút gọn biểu thức A tìm giá trị lớn A Bài 15 Cho parabol (P ) : y = x2 đường thẳng (d) : y = 2(m−1)x−2m+5 (m tham số) a) Chứng minh đường thẳng (d) cắt parabol (P ) hai điểm phân biệt với giá trị m b) Tìm giá trị m để đường thẳng (d) cắt parabol (P ) hai điểm √ √ phân biệt có hoành độ tương ứng x1 ; x2 dương | x1 − x2 | = Bài 16 Học sinh khơng dùng máy tính bỏ túi a) Giải phương trình 2x − = ( y−x=2 b) Giải hệ phương trình 5x − 3y = 10 √ √ √ a − 3 a + a2 + a + với a ≥ + √ − c) Rút gọn biểu thức A = √ a−4 a−2 a+2 0, a ̸= q q √ √ d) Tính giá trị biểu thức B = + + − Bài 17 Cho parabol (P ) đường thẳng (d) có phương trình y = mx2 y = (m − 2)x + m − 1, m tham số m ̸= a) Với m = −1, tìm tọa độ giao điểm (d) (P ) b) Chứng minh với m ̸= đường thẳng (d) cắt (P ) hai điểm phân biệt Bài 18 Quãng đường từ Quy Nhơn đến Bồng Sơn dài 100 km Cùng lúc, xe máy khởi hành từ Quy Nhơn Bồng Sơn xe ô tô khởi hành từ Bồng Sơn Quy Nhơn Sau hai xe gặp nhau, xe máy 30 phút đến Bồng Sơn Biết vận tốc hai xe không thay đổi suốt quãng đường vận tốc xe máy vận tốc ô tô 20 km/giờ Tính vận tốc xe Bài 19 Cho đường trịn tâm O đường kính AB = 2R Gọi C trung điểm OA, qua C kẻ dây M N vng góc với OA C Gọi K điểm tùy ý cung nhỏ BM , H giao điểm AK M N a) Chứng minh tứ giác BCHK tứ giác nội tiếp b) Chứng minh AK.AH = R2 c) Trên KN lấy điểm I cho KI = KM , chứng minh N I = KB √ x − 2013+ Bài 20 a) Tìm điều kiện x để biểu thức sau có nghĩa A = √ 2014 − x √ √ √ b) Rút gọn biểu thức A = 20 + 80 − 45 c) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng y = ax + b qua điểm M (−1; −2) song song với đường thẳng y = 3x − Tìm hệ số a, b Bài 21 Cho đường tròn tâm O đường kính AB, nửa đường trịn (O) lấy hai điểm G E (theo thứ tự A, G, E, B) cho tia EG cắt tia BA D Đường thẳng vng góc với BD D cắt BE C, đường thẳng CA cắt đường tròn (O) điểm thứ hai F a) Chứng minh tứ giác DF BC nội tiếp b) Chứng minh BF = BG c) Chứng minh DS DG.DE = BA BE.BC Bài 22 Cho A= 1 1 √ +√ √ +√ √ + ··· + √ √ 1+ 2+ 3+ 120 + 121 1 B = + √ + ··· + √ 35 Chứng minh B > A Bài 23 Giải hệ phương trình ( 2x + y = x+y =1 Bài 24 Rút gọn biểu thức   √ √ 2 1−a a √ 1− a √ + a P = 1−a 1− a với a ≥ 0; a ̸= Bài 25 Cho phương trình x2 + 2(1 − m)x − + m = 0, m tham số a) Giải phương trình m = b) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt với m c) Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm đối Bài 26 Trên vùng biển xem phẳng khơng có chướng ngại vật Vào lúc có tàu cá thẳng tọa độ X theo hướng từ Nam đến Bắc với vận tốc khơng đổi Đến có tàu du lịch thẳng qua tọa độ X theo hướng từ Đông sang Tây với vận tốc lớn vận tốc tàu cá 12 km/h Đến giờ, khoảng cách hai tàu 60 km Tính vận tốc tàu Bài 27 Cho phương trình x2 − 4x + m = (1), với m tham số a) Giải phương trình m = b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn điều kiện 1 + = x21 x22 Bài 28 Hai công nhân làm công việc 16 xong Nếu người thứ làm giờ, người thứ hai làm họ làm cơng việc Hỏi cơng nhân làm xong cơng việc? Bài 29 Cho đường trịn (O; R), hai đường kính AB CD vng góc với Trong đoạn thẳng AB lấy điểm M (khác điểm O) Đường thẳng CM cắt đường tròn (O) điểm thứ hai N Đường thẳng vng góc với AB M cắt tiếp tuyế tạn N đường tròn (O) điểm P a) Chứng minh tứ giác OM N P nội tiếp b) Tứ giác CM P O hình gì? c) Chứng minh CM.CN khơng đổi d) Chứng minh M di động đoạn thẳng AB P chạy đường thẳng cố định Bài 30 Cho ba số thực a, b, c dương Chứng minh √ √ √ √ a2 + b2 + b2 + c2 + c2 + a2 ≥ 2(a + b + c) Bài 31 a) Giải phương trình 3x − = x + b) Giải phương trình x2 + x − = ( x − 2y = c) Giải hệ phương trình x + y = −1 √ √ − d) Rút gọn biểu thức P = √ 5−2 Bài 32 Cho phương trình x2 − 2(m − 1)x + m − = (1) a) Chứng minh phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với m b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm đối Bài 33 Hai đội công nhân làm chung cơng việc hồn thành sau 12 giờ, làm riêng thời gian hồn thành cơng việc đội thứ hai đội thứ Hỏi làm riêng thời gian để đội hồn thành cơng việc bao nhiêu? √ √ √ Bài 34 a) Tính giá trị biểu thức A = 5( 20 − 5) + b) Tìm tham số m để đường thẳng y = (m − 1)x + 2018 có hệ số góc ( x + 4y = Bài 35 1) Giải hệ phương trình 2x + 5y = 13   √ √ 10 − a ( a − 1)2 √ √ + √ 2) Cho biểu thức B = · với a ≥ a−1 a a−a− a+1 a 0; a ̸= a) Rút gọn biểu thức B √ b) Đặt C = B.(a − a + 1) So sánh C Bài 36 Cho phương trình x2 − (m + 2)x + 3m − = (1), m tham số a) Giải phương trình (1) m = −1 b) Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 cho x1 , x2 độ dài hai cạnh góc vng tam giác vng có độ dài cạnh huyền Bài 37 Bạn Linh xe đạp từ nhà đến trường với quãng đường 10 km Khi từ trường nhà, cung đường ấy, lượng xe tham gia giao thông nhiều nên bạn Linh phải giảm vận tốc km/h so với đến trường Vì thời gian nhà nhiều thời gian đến trường 15 phút Tính vận tốc xe đạp bạn Linh từ nhà đến trường Bài 38 Cho tam giác nhọn ABC Đường tròn tâm O đường kính BC cắt cạnh AB, AC điểm M, N (M khác B, N khác C) Gọi H giao điểm BN CM , Gọi P giao điểm AH BC a) Chứng minh tứ giác AM HN nội tiếp b) Chứng minh BM.BA = BP.BC c) Trong trường hợp đặt biệt tam giác ABC tam giác cạnh 2a Tính chu vi đường trịn ngoại tiếp tứ giác AM HN theo a d) Từ điểm A kẽ tiếp tuyến AE AF đường trịn tâm (O) đường kính BC (E, F tiếp điểm) Chứng minh ba điểm E, H, F thẳng hàng Bài 39 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = √ x+8 với x > x+1 81x2 + 18225x + − 9x Bài 40 Học sinh khơng dùng máy tính bỏ túi a) Giải phương trình 2x − = ( y−x=2 b) Giải hệ phương trình 5x − 3y = 10 √ √ √ a − 3 a + a2 + a + + √ − với a ≥ c) Rút gọn biểu thức A = √ a−4 a−2 a+2 0, a ̸= q q √ √ d) Tính giá trị biểu thức B = + + − Bài 41 Cho parabol (P ) đường thẳng (d) có phương trình y = mx2 y = (m − 2)x + m − 1, m tham số m ̸= a) Với m = −1, tìm tọa độ giao điểm (d) (P ) b) Chứng minh với m ̸= đường thẳng (d) cắt (P ) hai điểm phân biệt Bài 42 Quãng đường từ Quy Nhơn đến Bồng Sơn dài 100 km Cùng lúc, xe máy khởi hành từ Quy Nhơn Bồng Sơn xe ô tô khởi hành từ Bồng Sơn Quy Nhơn Sau hai xe gặp nhau, xe máy 30 phút đến Bồng Sơn Biết vận tốc hai xe không thay đổi suốt quãng đường vận tốc xe máy vận tốc ô tơ 20 km/giờ Tính vận tốc xe Bài 43 Cho đường trịn tâm O đường kính AB = 2R Gọi C trung điểm OA, qua C kẻ dây M N vng góc với OA C Gọi K điểm tùy ý cung nhỏ BM , H giao điểm AK M N a) Chứng minh tứ giác BCHK tứ giác nội tiếp b) Chứng minh AK.AH = R2 c) Trên KN lấy điểm I cho KI = KM , chứng minh N I = KB √ Bài 44 a) Tìm điều kiện x để biểu thức sau có nghĩa A = x − 2013+ √ 2014 − x √ √ √ b) Rút gọn biểu thức A = 20 + 80 − 45 c) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng y = ax + b qua điểm M (−1; −2) song song với đường thẳng y = 3x − Tìm hệ số a, b Bài 45 Cho phương trình x2 − 4x + m = (1), với m tham số a) Giải phương trình m = b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn điều kiện 1 + = 2 x1 x2 Bài 46 Hai công nhân làm công việc 16 xong Nếu người thứ làm giờ, người thứ hai làm họ làm công việc Hỏi công nhân làm xong cơng việc? Bài 47 Cho đường trịn (O; R), hai đường kính AB CD vng góc với Trong đoạn thẳng AB lấy điểm M (khác điểm O) Đường thẳng CM cắt đường tròn (O) điểm thứ hai N Đường thẳng vng góc với AB M cắt tiếp tuyế tạn N đường tròn (O) điểm P a) Chứng minh tứ giác OM N P nội tiếp b) Tứ giác CM P O hình gì? c) Chứng minh CM.CN không đổi d) Chứng minh M di động đoạn thẳng AB P chạy đường thẳng cố định Bài 48 Cho ba số thực a, b, c dương Chứng minh √ √ √ √ a2 + b2 + b2 + c2 + c2 + a2 ≥ 2(a + b + c) Bài 49 a) Giải phương trình 3x − = x + b) Giải phương trình x2 + x − = ( x − 2y = c) Giải hệ phương trình x + y = −1 √ √ − d) Rút gọn biểu thức P = √ 5−2 Bài 50 Cho phương trình x2 − 2(m − 1)x + m − = (1) a) Chứng minh phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với m b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm đối 10 b) Tìm m để hai nghiệm x1 , x2 phương trình (1) thỏa mãn x1 + x2 − √ x1 x2 = Bài 264 Số học sinh trường tham gia đồng diễn thể dục số có chữ số Nếu xếp 15 em, 20 em hay 25 em thành hàng thiếu em, xếp 32 em thành hàng vừa đủ Hỏi có học sinh tham gia đồng diễn thể dục Bài 265 Cho A điểm cố định thuộc đường tròn (O; R) Kẽ tiếp tuyến Ax đường tròn (O) Lấy điểm B thuộc tia Ax cho AB < 2R Gọi M trung điểm đoạn thẳng AB, đường thẳng vng góc với AB M cắt đường tròn (O) H K (H nằm M K) a) Chứng minh góc M KA = M AH Từ chứng minh hai tam giác M KA M AH đồng dạng b) Kẽ HI ⊥ AK I Chứng minh tứ giác AM HI nội tiếp đường tròn c) AH cắt BK D Chứng minh AD ⊥ KB d) Lấy C đối xứng với B qua AK Chứng minh C thuộc đường trịn (O; R) Bài 266 Giải phương trình √ √ √ x + x + + x2 + 7x + 2x = 35 Bài 267 Một trường THCS cho tất em học sinh xếp hàng sân trường đề tập diễu hành Nếu xếp hàng 40, 45 hay 60 học sinh thừa học sinh Nhưng nêu xếp hàng 27 học sinh vừa đủ Hỏi trường THCS có học sinh Biết trường có khơng q 1000 học sinh Bài 268 Cho hai biểu thức √ √ √ x+8 x x + 24 B = √ + với x ≥ 0, x ̸= A= x+7 x−9 x−3 1) Tính giá trị biểu thức A x = 25 √ x+8 2) Chứng minh B = √ x−3 r 3) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 49 B A Bài 269 Một đội sản xuất phải làm 1000 sản phẩm thời gian dự định Nhờ tăng suất lao động nên ngày đội làm tăng thêm 30 sản phẩm so với kế hoạch Vì làm vượt mức kế hoạch 170 sản phẩm mà cịn hồn thành cơng việc sớm dự định ngày Tính số sản phẩm mà đội sản suất phải làm ngày theo kế hoạch Bài 270 Giải hệ phương trình √  =5  3−x+ √ y−2 √  4 − x + √ = 15 y−2 Bài 271 Trong buổi tập đồng diễn thể dục có khoảng 400 đến 500 người tham gia Thầy tổng phụ trách cho xếp thành hàng 5, hàng hàng thấy thừa người Hỏi có xác người dự buổi tập đồng diễn thể dục? Bài 272 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d : y = 6x + m2 − parabol (P ) : y = x2 a) Chứng minh d cắt (P ) hai điểm phân biệt với m b) Gọi x1 , x2 hoành độ giao điểm d (P ) Tìm m để x21 − 6x2 + x1 x2 = 48 Bài 273 Khối trường THCS có số học sinh chưa tới 400 học sinh Khi xếp hàng 10, 12, 15 thừa học sinh Nhưng xếp hàng 11 lại vừa đủ Tính số học sinh khối lớp Bài 274 Cho điểm A nằm đường tròn (O; R) Từ điểm A vẽ tiếp tuyến AB, AC (với B, C tiếp điểm) cát tuyến AM N với đường tròn (O; R) (M, N không qua tâm O AM < AN ) a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp b) Chứng minh AM.AN = AB c) Tiếp tuyến N đường tròn (O; R) cắt BC điểm F Chứng minh đường thẳng F M tiếp tuyến đường tròn (O; R) 50 d) Gọi P giao điểm dây BC dây M N , E giao điểm đường tròn ngoại tiếp tam giác M ON đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC (E khác O) Chứng minh ba điểm P, E, O thẳng hàng Bài 275 Giải hệ phương trình    + =2 x y   + = −2 x y Bài 276 Một trường THCS xếp hàng 20, 25, 30 dư 15, xếp hàng 41 vừa đủ Tính số học sinh trường Biết số học sinh chưa đến 1000 học sinh? Bài 277 Trong mặt phẳng (Oxy), cho parabol (P ) : y = x2 đường thẳng d : y = −3x − m + a) Tìm m để d cắt (P ) hai điểm phân biệt b) Tìm giá trị cảu m để d cắt (P ) hai điểm có hồnh độ x1 , x2 thỏa mãn x21 + x22 = Bài 278 Một xe khách xe du lịch khởi hành lúc từ A đến B Xe du lịch có vận tốc lớn vận tốc xe khách 20 km/h, đến B trước xe khách 25 phút Tính vận tốc xe biết quãng đường dài 100 km Bài 279 Cho đường tròn tâm (O) đường kính AB = 2R Từ A vẽ tiếp tuyến Ax với (O) (A tiếp điểm) Trên tia Ax lấy điểm C cho AC = 2R Qua C kẽ đường thẳng cắt đường tròn (O) hai điểm D E (D nằm C E; đường thẳng cắt đoạn thẳng OB) Gọi H trung điểm DE a) Chứng minh tứ giác AOHC nội tiếp b) Chứng minh CA2 = CD.CE c) Đoạn thẳng CB cắt đường trịn (O) K Tính số đo góc AOK diện tích hình quạt AOK theo R d) Đường thẳng CO cắt tia BD, tia BE M N Chứng minh O trung điểm đoạn thẳng M N 51 Bài 280 Cho a, b, c > Tìm giá trị nhỏ cảu biểu thức P = a2 2b2 3c2 + + a−1 b−1 c−1 Bài 281 Cho hai biểu thức √ x− x x+3 √ √ A= B = √ + 2− x x x−1 1− x với x > 0; x ̸= 1; x ̸= a) Tính giá trị biểu thức A x = 36 b) Rút gọn biểu thức P = AB c) So sánh P với Bài 282 Một đội sản xuất phải làm 1000 sản phẩm thời gian dự định Nhờ tăng suất lao động nên ngày đội làm tăng thêm 30 sản phẩm so với kế hoạch Vì làm vượt mức kế hoạch 170 sản phẩm mà hồn thành cơng việc sớm dự định ngày Tính số sản phẩm mà đội sản suất phải làm ngày theo kế hoạch Bài 283 Số học sinh khối trường khoảng từ 200 đến 400, xếp hàng 12 15, 18 thừa học sinh, Tính số học sinh khối Bài 284 Tổng số học sinh khối khối trường 400 em, có 252 học sinh giỏi Tính số học sinh khối biết số học sinh giỏi khối chiếm tỷ lệ 60% số học sinh khối 8, số học sinh giỏi khối chiếm tỷ lệ 65% tỷ lệ học sinh khối Bài 285 Giải hệ phương trình  y−2 x−1   − =1 2x + y + 3x − 2y −   + =3 2x + y+2 Bài 286 Cho phương trình x2 − 2(m − 2)x + m − = a) Tìm m để phương trình có nghiệm x = −1 tìm nghiệm cịn lại 52 b) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 với giá trị m tìm m để x1 − x2 = Bài 287 Trên đường trịn (O) đường kính AB = 2R, lấy điểm M cho AM = R lấy điểm N cung nhỏ BM (N khác M B) Gọi I giao điểm AN BM , H hình chiếu I lên AB a) Chứng minh tứ giác IHBN nội tiếp b) Chứng minh HI tia phân giác góc M HN c) Chứng minh đường trịn ngoại tiếp tam giác M HN ln qua hai điểm cố định d) Xác định vị trí điểm N để chu vi tứ giác AM N B lớn √ √ √ b = Bài 288 Cho số thực không âm a, b thỏa mãn điều kiện √a + √ Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức T = a a + b b Bài 289 Cho biểu thức   √ x−6 A= √ − · √ x+3 9−x x+1 với x ≥ 0; x ̸= a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị biểu thức A x = 64 c) Tìm x để A đạt giá trị lớn Bài 290 Một trường THCS xếp hàng 20, 25 30 dư 13 học sinh xếp hàng 45 cịn dư 28 học sinh Tính sơ học sinh trường biết số học sinh chưa đến 1000 Bài 291 Hai xe máy khởi hành lúc quãng đường từ A đến B dài 120 km Mỗi xe máy thứ chạy nhanh xe máy thứ hai 10 km nên xe máy thứ đến B trước xe máy thứ hai Tính vận tốc xe máy √ Bài 292 1) Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x = + √ x2 = − 53 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d : y = mx − (m ̸= 0) parabol (P )y = −x2 a) Chứng minh d cắt (P ) hai điểm phân biệt với giá trị m b) Gọi x1 , x2 hoành độ giao điểm d (P ) Tìm m cho x21 + x22 = Bài 293 Số công nhân nhà máy số có ba chữ số Khi xếp hàng 18 người, 20 người hay 24 người thừa người xếp hàng 25 người vừa đủ Tìm số cơng nhân nhà máy? Bài 294 Trên đường trịn (O) đường kính AB = 2R lấy điểm C cho AC = R lấy điểm D cung nhỏ BC (D không trùng với B C) Gọi E giao điểm AD BC Đường thẳng qua E vng góc với đường thẳng AB H cắt AC F Gọi M trung điểm EF a) Chứng minh BHCF tứ giác nội tiếp b) Chứng minh HA.HB = HE.HF c) Chứng minh CM tiếp tuyến (O) d) Xác định vị trí điểm D để chu vi tứ giác ABCD lớn Bài 295 Cho biểu thức  √  x−6 · √ − A= √ x+3 9−x x+1 với x ≥ 0; x ̸= a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị biểu thức A x = 64 c) Tìm x để A đạt giá trị lớn Bài 296 Số học sinh trường xếp 36 hàng, 48 hàng hay 52 hàng thừa em Cịn xếp hàng 47 vừa đủ Tính số học sinh trường Biết số học sinh 2000 em? Bài 297 Cho hai số dương x, y thỏa mãn x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức 1 S= + x + y xy 54 Bài 298 Một đơn vị đội xếp hàng, hàng có 20 người, 25 người, 30 người thừa 15 người Nếu xếp hàng 41 người vừa đủ (khơng có hàng thiểu, khơng có ngồi hàng) Hỏi đơn vị có người, biết số người đơn vị chưa đến 1000? Bài 299 (Bình Định 2018-2019) Cho tam giác ABC có đường cao AH Trên cạnh BC lấy điểm M tùy ý (M không trùng với B, C, H) Gọi P, Q hình chiếu vng góc M lên AB, AC a) Chứng minh tứ giác AP M Q nội tiếp đường tròn xác định tâm O đường tròn b) Chứng minh OH ⊥ P Q c) Chứng minh M P + M Q = AH Bài 300 (Bình Định 2017-2018) Cho tam giác ABC có (AB < AC) nội tiếp đường tròn tâm O Gọi M điểm nằm cung BC không chứa điểm A Gọi D, E, F hình chiếu M lên BC, CA, AB a) Chứng minh bốn điểm M, B, D, F thuộc đường tròn, bốn điểm M, D, E, C thuộc đường tròn b) Chứng minh D, E, F thẳng hàng c) Chứng minh AC AB BC = + MD ME MF Bài 301 Một buổi tập đồng diễn thể dục có khoảng từ 350 đến 500 người tham gia Khi tổng huy cho xếp 5, 6, hàng thấy lẻ người, Khi cho đồn xếp hàng 13 vừa vặn khơng thừa người Hỏi số người tham gia tập đồng diễn ? Bài 302 (Bình Định 2016-2017) Cho đường tròn tâm O, dây cung AB cố định (AB khơng phải đường kính đường trịn) Từ điểm M di động cung nhỏ AB (M khác A M khác B) kẽ dây cung M N vng góc với AB H Từ M kẽ đường vng góc với N A cắt đường thẳng N A Q a) Chứng minh bốn điểm A, M, H, Q nằm đường trịn Từ suy M N tia phân giác góc BM Q 55 b) Từ M kẽ đường vng góc với N B cắt đường thẳng N B P Chứng \ \ minh AM Q=P MP c) Chứng minh ba điểm P, H, Q thẳng hàng d) Xác định vị trí M cung AB để M Q.AN + M P.BN có giá trị lớn Bài 303 Cho tam giác vuông ABC vuông A, kẽ đường cao AH Đường trịn tâm I đường kính AH cắt cạnh AB, AC M N (M, N không trùng A) Gọi D trung điểm HC \ = AHM \; a) Chứng minh ABH b) Chứng minh bốn điểm B, C, N, M nằm đường tròn; c) Chứng minh BI vng góc với AD Bài 304 Một số học sinh khối trường THCS xếp hàng 12, hàng 15 hay hàng 18 thừa học sinh, xếp hàng 26 vừa đủ Tính số học sinh khối trường THCS Biết số học sinh nhỏ 400 em Bài 305 Một khối học sinh xếp hàng 2, 3, 4, 5, thiếu l người xếp hàng vừa đủ, biết số học sinh chưa đến 300, Tính số học sinh? Bài 306 Cho tam giác nhọn ABC Đường trịn tâm O đường kính BC cắt cạnh AB, AC điểm M, N (M khác B, N khác C) Gọi H giao điểm BN CM , Gọi P giao điểm AH BC a) Chứng minh tứ giác AM HN nội tiếp b) Chứng minh BM.BA = BP.BC c) Trong trường hợp đặt biệt tam giác ABC tam giác cạnh 2a Tính chu vi đường tròn ngoại tiếp tứ giác AM HN theo a d) Từ điểm A kẽ tiếp tuyến AE AF đường trịn tâm (O) đường kính BC (E, F tiếp điểm) Chứng minh ba điểm E, H, F thẳng hàng 56 Bài 307 Học sinh khối trường THCS xếp hàng 2, 3, thiếu người, xếp hàng vừa đủ Biết số học sinh khối chưa đến 300 Tính số học sinh khối trường đó? Bài 308 Số sách lớp 6A nhỏ 1500 Biết xếp thành bó cuốn, cuốn, cuốn, thiếu Nhưng xếp bó vừa đủ Tính số sách lớp 6A Bài 309 Trong đợt quyên góp sách giáo khoa cũ ủng hộ bạn vùng chịu ảnh hưởng nặng nề lũ lụt lớp trường ủng hộ số sách khoảng từ 400 đến 500 Biết rằng, số sách xếp thành chồng 15 hay 16 hay 20 thừa hai Tính số sách mà khối quyên góp Bài 310 Trường THPT Chuyên Hà Nội - Amsterdam tổ chức cho học sinh khối THCS trường dã ngoại Biết sử dụng loại xe 28 chỗ, 20 chỗ hay 12 chỗ thừa học sinh số học sinh toàn khối THCS nằm khoảng từ 800 đến 900 em Hỏi trường có tất học sinh khối THCS? Bài 311 Số học sinh khối trường xếp thành 12 hàng, 15 hàng hay 18 hàng dư học sinh Hỏi số học sinh khối trường, biết số học sinh lớn 300 nhỏ 400 [ > 90◦ nội tiếp đường tròn tâm Bài 312 Cho tam giác ABC có ACB ⌢ O Gọi M trung điểm BC, đường thẳng OM cắt cung nhỏ BC D, cắt ⌢ cung lớn BC E Gọi F chân đường vng góc hạ từ E xuống AB, H chân đường vng góc hạ từ B xuống AE a) Chứng minh tứ giác BEHF tứ giác nội tiếp b) Chứng minh M F ⊥ AE c) Đường thẳng M F cắt AC Q Đường thẳng EC cắt AD, AB lần [ = 90◦ EC = EK lượt I K Chứng minh EQA IC IK Bài 313 Một đơn vị đội xếp hàng 12, hàng 18 hàng 30 thiều người Hỏi đơn vị đội có người Biết số người khoảng từ 500 đến 600 người 57 Bài 314 Cho tam giác ABC có đường cao AH Trên cạnh BC lấy điểm M tùy ý (M không trùng với B, C, H) Gọi P, Q hình chiếu vng góc M lên AB, AC a) Chứng minh tứ giác AP M Q nội tiếp đường tròn xác định tâm O đường tròn b) Chứng minh OH ⊥ P Q c) Chứng minh M P + M Q = AH Bài 315 Số học sinh trường THCS số có ba chữ số lớn 500 Khi xếp hàng 4, 5, hay em thiêu em Tìm số học sinh trường? Bài 316 Số học sinh khối khoảng từ 300 đến 400 em Những buổi tập thể dục đồng diễn, thầy giáo xếp hàng 12, 15 hay 20 em dư em Hỏi khối có em? Bài 317 Số học sinh khối trường lớn 500 nhỏ 600 Khi xếp hàng 10, hàng 15 hay hàng 18 thừa em Tìm số học sinh khối trường Bài 318 Một đơn vị đội xếp hàng 10, 12 hay 15 thiều người Hỏi đơn vị độ có người biết ràng số người khoảng từ 300 đến 400 Bài 319 Số học sinh trường THCS khoảng từ 500 đến 600 em Khi xếp hàng 15, 12 hay 18 thừa học sinh Tính số học sinh trường Bài 320 Số bé trường mầm non Hoa Hồng có khoảng 400 đến 500 bé Biết cho bé xếp hàng 5, hàng hay hàng để tập thể dục thừa bé Hỏi trường Mằm non Hoa Hồng có bé? Bài 321 Số học sinh khối trường khoảng từ 300 đến 400 Biết xếp hàng 24, hàng 30, hàng 36 thừa học sinh Tính số học sinh khối trường Bài 322 Học sinh khối trường Ngôi Sao Hà Nội xếp hàng để tập nhảy dân vũ Biết xếp hàng 14, 15, 21 dư 10 học sinh số học sinh khoảng từ 200 đến 250 Tính số học sinh khối trường 58 Bài 323 Cho biểu thức   √ x √ −√ √ : A= x+ x x+1 x+2 x+1 với x > a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị x để A > Bài 324 Một số sách sau xếp thành bó 12 cuốn, 15 cuốn, 18 thừa Tính số sách biết số sách khoảng tử 350 đền 400 Bài 325 Số học sinh khối trường khoảng từ 200 đến 400, xếp hàng 12 15, 18 thừa học sinh Tính số học sinh Bài 326 Một đội thiếu niên xếp hàng 2, 3, 4, thừa người Tính số đội viên biết số nằm khoảng 100 đến 150? Bài 327 Từ ba gỗ có độ dài 56dm, 48dm 40dm Bác thợ mộc muốn cắt thành gỗ có độ dài mà không đề thừa mẩu gỗ Hỏi bác cắt để gỗ có độ dài lớn có thể? Bài 328 Một phận máy có hai bánh xe cưa khớp với nhau, bánh xe có 18 cưa, bánh xe có 12 cưa Hỏi bánh xe phải quay vòng để cưa khớp với lần đầu khớp với lần Bài 329 Ba ô tô chở khách khởi hành lúc 6h sáng từ bến xe theo ba hướng khác nhau, xe thứ quay bến sau 1h5 phút sau 10 phút lại đi, xe thứ hai quay bến sau 56phút lại sau phút, xe thứ ba quay bến sau 48 phút sau phút lại Hãy tính khoảng thời gian ngắn để xe xuất phát lần thứ hai ngày lúc giờ? Bài 330 Tại bến xe 10 phút lại có chuyến Taxi rời bến, 12 phút lại có chuyến xe buýt rời bến Lúc xe taxi xe buýt rời bến lúc Hỏi lúc lại có xe taxi xe buýt rời bến lần tiếp theo? 59 Bài 331 Cho tam giác ABC có đường cao AH Trên cạnh BC lấy điểm M tùy ý (M không trùng với B, C, H) Gọi P, Q hình chiếu vng góc M lên AB, AC a) Chứng minh tứ giác AP M Q nội tiếp đường tròn xác định tâm O đường tròn b) Chứng minh OH ⊥ P Q c) Chứng minh M P + M Q = AH Bài 332 Câu 185 Một công ty dùng ba Ca nô đề chở nhận hàng Ca nô thứ ngày lại cập bến lần, Ca nô thứ hai ngày cập bến lần cịn Ca nơ thứ ba ngày cập bến lần Hiện ba ca nô cập bến a) Sau ngày ca nô thứ ca nô thứ hai cập bến? b) Sau ngày ca nô thứ Ca nô thứ ba lại cập bến lần thứ c) Sau ngày Ba ca nơ lại cập bến Bài 333 Bạn An ngày lại trực nhật lần, bạn Bình ngày lại trực nhật cịn bạn Cường ngày trực nhật Lần ba bạn trực nhật vào thứ hai đầu tuần Hỏi lần tới ba bạn lại trực nhật cách lần ngày? Khi ba bạn trực nhật vào thứ tuần? Bài 334 Đội đỏ lớp có bạn An, Bình, Mai Ngày đầu tháng đội trực nhật ngày Cứ sau ngày An lại trực nhật lần, sau ngày Bình lại trực nhật ằ cịn Mai ngày lại trực nhật lần Hỏi sau ngày đội lại trực nhật vào ngày lần Khi bạn trực nhật lần? Bài 335 Ba bạn An, Bảo, Ngọc học trường lớp khác nhau, An ngày trực nhật lần, Bảo 10 ngày trực nhật lần Ngọc ngày trực nhật lần Lần đầu ba bạn trực nhật vào ngày Hỏi sau ngày ba bạn lại trực nhật, lúc bạn trực nhật lần? Bài 336 Hai bạn Tùng Hải thường đến thư viện đọc sách, Tùng ngày đến thư viện lần, Hải 10 ngày lần Lần đầu hai bạn đến thư viện vào ngày Hỏi sau ngày hai bạn lại đến thư viện? Lúc Tùng đến thư viện lần? 60 Bài 337 Hai bạn An Dương thường đến thư viện đọc sách An 12 ngày đến thư viện lần Dương 10 ngày lần Lần đầu hai bạn đền thư viện vào ngày Hỏi sau ngày hai bạn lại đến thư viện? Lúc bạn Dương đến thư viên lần? Bài 338 Có ba bạn học sinh dã ngoại, sử dụng tin nhắn để thông báo cho bố mẹ nơi mà bạn thăm Nếu lúc sáng ba bạn nhắn tin cho bố mẹ, hỏi lần ba bạn nhắn tin lúc giờ? Biết 45 phút Nam nhắn tin lần, Hà 30 phút nhắn tin lần Mai 60 phút nhắn tin lần Bài 339 Hai bạn An Dương thường đến thư viện đọc sách An 12 ngày đến thư viện lần Dương 10 ngày lần Lần đầu hai bạn đền thư viện vào ngày Hỏi sau ngày hai bạn lại đến thư viện? Lúc bạn Dương đến thư viên lần? Bài 340 Có ba bạn học sinh dã ngoại, sử dụng tin nhắn để thông báo cho bố mẹ nơi mà bạn thăm Nếu lúc sáng ba bạn nhắn tin cho bố mẹ, hỏi lần ba bạn nhắn tin lúc giờ? Biết 45 phút Nam nhắn tin lần, Hà 30 phút nhắn tin lần Mai 60 phút nhắn tin lần Bài 341 Tan học, Quỳnh Khánh bến xe buýt để nhà Khi đến bến xe buýt hai xe mà hai bạn cần vừa chạy lúc Hai bạn ngồi nói chuyện đề chờ xe buýt Bảng thông báo cho biết xe buýt mà bạn Quỳnh cần phải sau 12 phút tới, xe Khánh cần chờ 18 phút Vậy phải chờ phút hai xe mà hai bạn đền bến lúc? Bài 342 Lịch nhập cảng ba tàu sau: Tàu thứ 10 ngày cập cảng lần, tàu thứ hai 12 ngày cập cảng lần, tàu thứ ba 15 ngày cập cảng lần Vào ngày đó, ba tàu cập cảng Sau ngày ba tàu lại cập cảng? Bài 343 Cứ ngày, Hà dạo bạn cún yêu quý Cứ ngày, Hà lại tắm cho cún Hôm cún vừa dạo, vừa tắm Hỏi sau ngày cún vừa dạo vừa tắm Bài 344 Cho tam giác nhọn ABC Đường trịn tâm O đường kính BC cắt cạnh AB, AC điểm M, N (M khác B, N khác C) Gọi H giao điểm BN CM , Gọi P giao điểm AH BC 61 a) Chứng minh tứ giác AM HN nội tiếp b) Chứng minh BM.BA = BP.BC c) Trong trường hợp đặt biệt tam giác ABC tam giác cạnh 2a Tính chu vi đường trịn ngoại tiếp tứ giác AM HN theo a d) Từ điểm A kẽ tiếp tuyến AE AF đường tròn tâm (O) đường kính BC (E, F tiếp điểm) Chứng minh ba điểm E, H, F thẳng hàng Bài 345 Hai vận động viên chạy xung quanh sân vận động, hai vận động viên xuất phát thời điểm, vị trí chạy chiều Vận động viên thứ chạy vòng sân hết 360 giây, vận động viên thứ chạy vòng sân mắt 420 giây Hỏi sau bao nhiều phút họ gặp lại nhau, biết vận tốc di chuyển họ không đổi? Bài 346 Hai đội công nhân nhận trồng số Tính cơng nhân đội I phải trồng 17 cây, công nhân đội II phải trồng 18 Số đội phải trồng khoảng từ 600 đến 700 Tính số số người đội? Bài 347 Mỗi công nhân đội I làm 24 sản phẩm, công nhân đội II 20 sản phẩm Số sản phẩm hai đội làm Tính số sản phẩm đội biết số sản phẩm khoảng từ 100 đến 200 Bài 348 Ba đội công nhân trồng số nhau, tính cơng nhân đội I trồng cây, đội II trồng đội II trồng Tính số cơng nhân đội, biết số đội khoảng từ 100 đến 200 √ √ √ Bài 349 a) Tính giá trị biểu thức A = 5( 20 − 5) + b) Tìm tham số m để đường thẳng y = (m − 1)x + 2018 có hệ số góc ( x + 4y = Bài 350 1) Giải hệ phương trình 2x + 5y = 13  √  √ ( a − 1)2 10 − a √ √ · với a ≥ 2) Cho biểu thức B = + √ a−1 a a−a− a+1 a 0; a ̸= 62 a) Rút gọn biểu thức B √ b) Đặt C = B.(a − a + 1) So sánh C Bài 351 Hai đội công nhân trồng số nhau, công nhân đội I phải trồng cây, đội II phải trồng Tính số đội phải trồng biết số khoảng từ 100 đến 200 63