Chuyên đề toán 12 – chuyên đề số phức

TRƯỜNG THPT NGUYỄN TẤT THÀNH – GV: LÊ QUANG XE – ĐT: 0967.003.131 TỐN 12 TỐN πChun π π àïì π π π π π π π π π π SỐ PHỨC y ππ π ππ π π π π π π π ππ −1 π TL π LƯU HÀNH NỘI BỘ π O −1 x CHƯƠNG MỤC LỤC MỤC LỤC Chương §1 – §2 – SỐ PHỨC Xác định yếu tố bản, biểu diễn hình học A Lý thuyết B Bài tập minh họa Bảng đáp án Các phép toán số phức A Tóm tắt lý thuyết B Bài tập minh họa Bảng đáp án 20 Bảng đáp án 30 §3 – Bài tốn quy giải phương trình, hệ phương trình §4 – Phương trình bậc hai với hệ số thực §5 – A 31 Bài tập minh họa 31 Bảng đáp án 51 52 A Tóm tắt lý thuyết 52 B Bài tập minh họa 52 Bảng đáp án 64 Cực trị số phức 65 A Tóm tắt lý thuyết 65 B Ví dụ minh họa 66 Bảng đáp án 81 Lê Quang Xe i SĐT: 0967.003.131 MỤC LỤC Lê Quang Xe ii SĐT: 0967.003.131 CHƯƠNG SỐ SỐ PHỨC PHỨC BÀI XÁC ĐỊNH CÁC YẾU TỐ CƠ BẢN, BIỂU DIỄN HÌNH HỌC A LÝ THUYẾT Phần thực, phần ảo số phức, số phức liên hợp • Số phức có dạng z = a + bi (a, b ∈ R, i2 = −1) Phần thực z a, phần ảo z b i gọi đơn vị ảo • Số phức liên hợp z z¯ = a + bi = a − bi ⊕ z · z¯ = a2 + b2 ⊕ z1 ± z2 = z¯1 ± z¯2 Å ã z¯1 z1 = ⊕ z2 z¯2 ⊕ z1 · z2 = z¯1 · z¯2 ⊕ Tổng tích z z¯ ln số thực • Lưu ý: i4n = 1; i4n+1 = i; i4n+2 = −1; i4n+3 = −i; với n ∈ N Hai số phức Cho hai số phức z1 = a1 + b1 i, z2 = a2 + b2 i (a1 , a2 , b2 , b2 ∈ R) Khi đó: ® a1 = a2 z1 = z2 ⇔ b1 = b2 Biểu diễn hình học số phức, mơđun số phức y M (a; b) b a O −b x M (a; −b) • Biễu diễn hình học số phức ○ Số phức z = a + bi(a, b ∈ R) biểu diễn điểm M (a; b) mặt phẳng tọa độ Lê Quang Xe SĐT: 0967.003.131 Xác định yếu tố bản, biểu diễn hình học ○ z z¯ biểu diễn hai điểm đối xứng qua trục Ox • Mô đun số phức √ # » ○ Mô đun số phức z |z| = |OM | = a2 + b2 √ z | ○ Ta có: |z| = z · z¯; |z| = |¯ B BÀI TẬP MINH HỌA Câu Cho số phức z = − 2i Tìm phần ảo số phức z¯ A B −2 C −1 D ɓ Lời giải Ta có z = − 2i ⇒ z¯ = + 2i Vậy z¯ có phần ảo b = Chọn đáp án A Câu Tìm số thực x, y thỏa mãn (3 − 2i)(x − yi) − 4(1 − i) = (2 + i)(x + yi) A x = 3, y = −1 B x = −3, y = −1 C x = −1, y = D x = 3, y = ɓ Lời giải Có ® (3 − 2i)(x − yi) − 4(1 − i) = (2 2y − + (−2x − 3y + 4)i = 2x − y + (x + 2y)i ® + i)(x + yi) ⇔ 3x −® 3x − 2y − = 2x − y x−y =4 x=3 ⇔ ⇔ ⇔ − 2x − 3y + = x + 2y − 3x − 5y = −4 y = −1 Chọn đáp án A Câu Cho hai số phức z1 = + i, z2 = − 3i Tính mơ-đun số phức w = z12 − z2 √ √ A |w| = B |w| = C |w| = 19 D |w| = 53 ɓ Lời giải Ta có: w = z12 − z2 = (2 + i)2 − (1 − 3i) = + 7i ⇒ |w| = Chọn đáp án D √ 22 + 72 = √ 53 Câu Cho số phức z thỏa mãn 2z =√i(¯ z + 3) Tính |z| √ A |z| = B |z| = C |z| = D |z| = √ 10 ɓ Lời giải Đặt z = a + bi(a; b ∈ R), suy z¯ = a − bi Thay vào đẳng thức 2z = i(¯ z + 3) ta có 2(a + bi) = i(a − bi + 3) ⇔ 2a + 2bi = b + (a + 3)i ® ® 2a = b a=1 ⇔ ⇔ 2b = a + b = Vậy z = + 2i, suy |z| = Chọn đáp án C √ 12 + 22 = √ Câu Cho số phức z thỏa mãn z + 2¯ z = + 2i Điểm biểu diễn số phức z có tọa độ A (2; −2) B (−2; −2) C (2; 2) D (−2; 2) ɓ Lời giải Lê Quang Xe SĐT: 0967.003.131 Chương SỐ PHỨC Gọi số phức z = x + yi với x, y ∈ R Theo ta có ® (x + yi) + 2(x − yi) = + 2i ⇔ 3x − yi = + 2i ⇔ x=2 y = −2 Vậy điểm biểu diễn số phức z có tọa độ (2; −2) Chọn đáp án A Câu Tìm mơ đun số phức z, biết z − (2 + 3i)¯ z = −17 + 9i √ √ √ A |z| = 26 B |z| = 17 C |z| = 29 Gọi z = a + bi, (a, b ∈ R) Suy z¯ = a − bi Ta có ɓ Lời giải D |z| = √ z − (2 + 3i)¯ z = −17 + 9i ⇔ (a + bi) − (2 + 3i)(a − bi) = −17 + 9i ⇔ a ®+ bi − 2a + 2bi − 3ai®− 3b = −17 + 9i a=2 − a − 3b = −17 ⇔ ⇔ b = − 3a + 3b = √ Suy z = + 5i Do |z| = 29 Chọn đáp án C Câu Tìm tất số thực x, y để hai số phức z1 = 9y − − 10xi5 , z2 = 8y + 20i11 hai số phức liên ® hợp ® ® ® x=2 x = ±2 x = −2 x = −2 A B C D y = ±2 y=2 y = ±2 y=2 ɓ Lời giải Ta có z1 = z ⇔ 9y − − 10xi5 = 8y − 20i11 ⇔ 9y − − 10xi = 8y + 20i ® ® 9y − = 8y x = −2 ⇔ ⇔ −10x = 20 y = ±2 ® x = −2 y = ±2 Chọn đáp án C Vậy  z−1    z−i =1 Số phức z¯ Câu Biết số phức z thỏa mãn  z − 3i   =1 z+i A z¯ = + i B z¯ = − i C z¯ = −1 − i ɓ Lời giải D z¯ = −1 + i Giả sử z = a + bi, a, b ∈ R, i = −1 Ta có  z−1  ®   z−i =1 |z − 1| = |z − i| ⇔  z − 3i |z − 3i| = |z + i|   =1 z+i Lê Quang Xe SĐT: 0967.003.131 Xác định yếu tố bản, biểu diễn hình học ® ⇒ ® ⇒ (a − 1)2 + b2 = a2 + (b − 1)2 a2 + (b − 3)2 = a2 + (b + 1)2 − 2a + 2b = ⇒ a = b = 8b − = Do z = + i ⇒ z¯ = − i Chọn đáp án B Câu Tính mơđun số phức z, biết (1 − 2i)z + − i = −12i √ A B C √ D 2 ɓ Lời giải Ta có (1 − 2i)z + − i = −12i −2 − 11i (−2 − 11i)(1 + 2i) ⇔ z= = = − 3i − 2i 12 + (−2)2 » ⇒ |z| = 32 + (−4)2 = Chọn đáp án A a − bi C a2 + b2 = Câu 10 Nếu z = a + bi(a, b ∈ R) có số phức nghịch đảo z −1 = A a2 + b2 = B a2 + b2 = D a2 + b2 = 16 ɓ Lời giải Ta có a − bi a − bi ⇔ = z a − bi ⇔ = ⇔ (a + bi)(a − bi) = a + bi ⇔ a2 + b2 = z −1 = Chọn đáp án B Câu 11 Cho số phức z = a + bi với a, b ∈ R thỏa mãn z − + i = |z|i Giá trị a + b A −1 B C D 12 ɓ Lời giải Ta có z − + i = |z|i ⇔ a + bi − + i = Ä√ ä a2 + b i ⇔ a − + (b + 1)i = ® ® a−3=0 a=3 √ ⇔ ⇔ b = b + = a2 + b √ a2 + b2 i Vậy a + b = + = Chọn đáp án B Lê Quang Xe SĐT: 0967.003.131 Chương SỐ PHỨC i+2 Câu 12 Cho i đơn vị ảo Nghiệm phương trình 3z + i − = i−2 3 2 2 A − i B + i C − − i D − + i 15 15 15 15 ɓ Lời giải Ta có 3z + i − = (i + 2)(−i − 2) i+2 ⇔ 3z + i − = i−2 −3 − 4i − 9i ⇔ 3z = − i + ⇔ 3z = 5 − i ⇔ z= 15 Chọn đáp án A Câu 13 Có số phức z thỏa mãn z − 2018z = 2019|z|2 ? A B C D Vô số ɓ Lời giải Đặt z = a + bi(a, b ∈ R) ® Ta có z − 2018z = 2019|z| ⇔ đ b=0 Từ (2) ta a = 1009 a2 − b2 − 2018a = 2019 a2 + b2 2ab − 2018b = (2) (1) ñ a=0 Thay b = vào (1) ta −2018a = 2018a ⇔ a = −1 Do trường hợp ta có số phức thỏa yêu cầu z = 0; z = −1 Thay a = 1009 vào (1) ta −2018 · 1009 · 1010 = 2020b2 vô nghiệm b ∈ R Vậy có số phức z thỏa mãn Chọn đáp án C Câu 14 Cho hai số phức z = − 4i z = (2 + m) + mi(m ∈ R) thỏa mãn |z | = |iz| Tổng tất giá trị m √ 46 A −1 B C D −2 ɓ Lời giải √  −2 + 46 m = 2√ 2 Ta có |z | = |iz| = |i| · |z| ⇔ (2 + m) + m = ⇔ 2m + 4m − 21 = ⇔   −2 − 46 m= Tổng tất giá trị m −2 Chọn đáp án D √ Câu 15 Có số phức z thỏa mãn đồng thời điều kiện |z| = |z + 4| = A B C D ɓ Lời giải Gọi số phức z = a + bi(a, b ∈ R) Ta có z + = a2 − b2 + + 2abi Từ giả thiết, ta suy ® ® a + b2 = a + b2 = ⇔ (a2 − b2 + 4)2 + 4a2 b2 = 12 a2 + b2 + 8a2 − 8b2 = −4 Lê Quang Xe SĐT: 0967.003.131 Xác định yếu tố bản, biểu diễn hình học   a2 = a2 + b = 16 ⇔ ⇔ 13  8a2 − 8b2 = −5 b = 16 √ √  13 a = ; b = ± √ √ ⇔   13 a=− ;b = ± 4 ® Vậy có số phức z thỏa mãn tốn Chọn đáp án D Câu 16 Cho số phức z = a + bi(a, b ∈ R) thỏa mãn z + 2i¯ z = + 3i Tính giá trị biểu thức: 2019 2019 P = (a + i) + (b − i) 1010 A −2 B −21009 C −21011 D −21008 ɓ Lời giải Ta có z + 2i¯ z = + 3i ⇔ a + bi + 2i(a − bi) = + 3i ⇔ a + 2b + (2a + b)i = + 3i ® ® a + 2b = a=1 ⇔ ⇔ 2a + b = b = Khi P = (a + i)2019 + (b − i)2019 = (1 + i)2019 + (1 − i)2019 1009 1009 = (1 + i) (1 + i)2 + (1 − i) (1 − i)2 = (1 + i)(2i)1009 + (1 − i)(−2i)1009 = 21009 (1 + i)i − 21009 (1 − i)i = 21009 i + i2 − i + i2 = 21009 (−2) = −21010 Chọn đáp án A Câu 17 Có số phức z thỏa mãn |z + i + 1| = |¯ z − 2i| |z| = A B C D ɓ Lời giải Gọi z = a + bi(a, b ∈ R) ⇒ z¯ = a − bi Ta có ® ® |z + i + 1| = |z − 2i| (a + 1)2 + (b + 1)2 = a2 + (b + 2)2 ⇔ |z| = a2 + b = ® b = −1 ® đ  a=b+1 z = −i  ®a = ⇔ ⇒ ⇔   b=0 (b + 1)2 + b2 = z = a=1 Vậy có số phức z = −i z = thỏa mãn Chọn đáp án C Câu 18 Tìm hai số thực x y thỏa mãn (3x + 2yi) + (3 − i) = 4x − 3i với i đơn vị ảo A x = 3; y = −1 B x = ; y = −1 C x = 3; y = −3 D x = −3; y = −1 Lê Quang Xe SĐT: 0967.003.131 Chương SỐ PHỨC ɓ Lời giải Ta có (3x + 2yi) + (3 − i) = 4x − 3i ⇔ (3x + − 4x) + (2y − + 3)i = ⇔ (3 − x) + (2y + 2)i = ® ® x=3 3−x=0 ⇔ ⇔ y = −1 2y + = Chọn đáp án A Câu 19 Có số phức z thỏa mãn z + 2|z| = A B C D ɓ Lời giải Gọi z = a + bi, (a, b ∈ R) Khi √ z + 2|z| = ⇔ a2 − b2 + a2 + b2 + 2abi = ® a=0   b=0 ® √ ® √   a=0  − b + b2 = a − b + a2 + b =   ⇔ ⇔ ⇔ ®  b=2 2ab =  b=0 ® √  2  a=0 a +2 a =0 b = −2 ® a=0 Vậy có số phức z cần tìm Chọn đáp án C Câu 20 Với số ảo z, số z + |z|2 A số thực dương C số B số thực âm D số ảo khác ɓ Lời giải Ta có z = bi(b ∈ R) ⇒ z + |z| = (bi) + b = Chọn đáp án C 2 2 Câu 21 Cho số phức z = 10 − 2i Phần thực phần ảo số phức z¯ A Phần thực −10 phần ảo −2i B Phần thực −10 phần ảo −2 C Phần thực 10 phần ảo D Phần thực 10 phần ảo 2i ɓ Lời giải Số phức z¯ = 10 + 2i nên phần thực 10 phần ảo Chọn đáp án C BẢNG ĐÁP ÁN A 11 B 21 C A 12 A Lê Quang Xe D 13 C C 14 D A 15 D C 16 A 7 C 17 C B 18 A A 19 C 10 B 20 C SĐT: 0967.003.131 Chương SỐ PHỨC Do |z| = ⇔ x2 + y = ⇔ x2 + y = Suy x, y ∈ [−1; 1] Ta có z · z¯ = |z|2 = Thay vào P ta P = |z + 1| + z − z + z z¯ = |z + 1| + |z(z − + z¯)| = |z + 1| + |z| · |z + z¯ − 1| = |z + 1| + |z + z¯ − 1| » √ = (x + 1)2 + y + |2x − 1| = 2x + + |2x − 1| √ Xét hàm số y = f (x) √= 2x + + |2x − 1|   2x + − 2x + − ≤ x < Ta có y = f (x) = √   2x + + 2x − ≤ x ≤  1   − −1 < x < √ 2x + f (x) = 1   + Đặt t =   |z|(t > 0) √ √ … Å ã 2 1 5t − 2t + 2 Ta có: = = 5− + = − + ≥ √ , ∀t > ⇒ |w| ≤ |w| t t t√ t √2 2 √ Khi đó: T = |w + − i| ≤ |w| + |1 − i| ≤ + 2= 3  w = k(1 − i) (k ∈ R, k ≥ 0)   √  √  √ 1 ⇒k 2= ⇔ k = ⇔ w = − i Dấu đẳng thức xảy ⇔ |w| =  3 3    |z| = √ Vậy max T = Cách 2: z z Ta có: (2 + i)|z| = + − i ⇔ (2|z| − 1) + (|z| + 1)i = w w z |z| |z| ⇒ |(2|z| − 1) + (|z| + 1)i| = ⇔ 5|z|2 − 2|z| + = ⇔ (2|z| − 1)2 + (|z| + 1)2 = w |w| |w| Vì 5|z|2 − 2|z| + > ∀z ⇒ |z| > Đặt t =   |z|(t > 0) √ √ … Å ã 5t2 − 2t + 2 1 Ta có: = = 5− + = − + ≥ √ , ∀t > ⇒ |w| ≤ |w| t t t t 2 3√ 2 Suy tập hợp điểm biểu diễn cho số phức w hình trịn tâm O(0; 0), bán kính R = Khi đó: T = |w + − i| = M I Dễ thấy điểm I(0; 2) nằm ngồi đường trịn √ tâm C(O; R), suy ra√T = M I đạt giá trị lớn √ 6+ T = M I = IO + R = + = Vậy max T = 3 Chọn đáp án A z Câu 19 Cho số phức z w thỏa mãn (1+i)|z| = +2−i Tính giá trị lớn T = |w−2i| w √ √ √ √ 5 A + B C + D 3 ɓ Lời giải Cách 1: Ta có: Lê Quang Xe 73 SĐT: 0967.003.131 Cực trị số phức (1+i)|z| = z z −2+i ⇔ |z|−2+(|z|+1)i = ⇔ w w (|z| − 2)2 + (|z| + 1)2 = |z| ⇔ |w| 2|z|2 − 2|z| + = |z| |w| Đánh giá: 2|z|2 − 2|z| + > 0, ∀z ⇒ |z| > Đặt = |z|(t > 0)   tÅ √ √ … ã 2t − 2t + 5 1 Ta có: = = 2− + = − + ≥ √ ⇒ |w| ≤ |w| t t √t t 5 5 Khi ta có: |w − 2i| ≤ |w| + | − 2i| ≤ +  w = k(−2i) (k ∈ R, k > 0)   √ √ √  √  5 5 Dấu đẳng thức xảy ⇔ |w| = ⇒ = 2k ⇒ k = ⇔w=− i     |z| = √ Vậy Max T = + Cách 2: Ta có: z |z| z ⇔ 2|z|2 − 2|z| + = (1+i)|z| = −2+i ⇔ |z|−2+(|z|+1)i = ⇔ (|z| − 2)2 + (|z| + 1)2 = w w |w| |z| |w| Đánh giá: 2|z|2 − 2|z| + > 0, ∀z ⇒ |z| > Đặt = |z|(t > 0)   tÅ √ √ … ã 2t − 2t + 5 1 = = 2− + = − Ta có: + ≥ √ ⇒ |w| ≤ |w| t t t t 5 √ Suy tập hợp điềm biều diễn cho số phức w hình trịn tâm O(0; 0), bán kính R = Khi đó: T = |w − 2i| = M I Dễ thấy điểm I(0; 2) nằm ngồi đường trịn tâm C(O; R), suy T = M I đạt giá trị lớn √ T = M I = IO + R = + √ Vậy max T = + Chọn đáp án A z Câu 20 Cho số phức z w thỏa mãn (3 + 2i)|z| = + − i Tính giá trị lớn iw − + 3i T = |w| √ √ √ √ √ 5 √ A + 11 B + 10 C √ D + 13 5 ɓ Lời giải Ta có: (3 + 2i)|z| = z z + − i ⇔ 3|z| − + (2|z| + 1)i = iw − + 3i iw − + 3i |z| |z| ⇔ (3|z| − 1)2 + (2|z| + 1)2 = ⇔ 13|z|2 − 2|z| + = |i(w + + i)| |w + + i| Đánh giá: 13|z|2 − 2|z| + > 0, ∀z ⇒ |z| > Đặt t = |z|(t  > Å0) √ … ã 13t2 − 2t + 2 1 25 Ta có: = = 13 − + = − + ≥ √ ⇒ |w + + i| ≤ |w + + i| t t t t 2 √ √ √ Khi ta có: |w| = |w + + i + (−3 − i)| ≤ |w + + i| + | − − i| ≤ + 10 Lê Quang Xe 74 SĐT: 0967.003.131 Chương SỐ PHỨC  w + + i = k(−3 − i), (k ∈ R, k > 0)   √  √  √ 2 ⇒ Dấu đẳng thức xảy ⇔ |w + + i| = = k 10 ⇒ k = √  5 5    |z| = Å ã Å ã ⇔ w + + i = √ (−3 − i) ⇔ w = − √ + − √ + i 5 5 5 √ √ + 10 Vậy: Max T = Chọn đáp án B Câu 21 Cho z số phức thỏa mãn |¯ z | = |z + 2i| Giá trị nhỏ |z − + 2i| + |z + + 3i| √ √ √ √ A B C 29 D 13 ɓ Lời giải Đặt z = a + bi(a, b ∈ R) √ Ta có: |z| = |z + 2i| ⇔ a2 + b2 = a2 + (b + 2)2 ⇔ 4b + = ⇔ b = −1 ⇒ z = a − i Xét: |z − + 2i| + |z + + 3i| = |a − + i| + |a + + 2i| = (1 − a)2 + 12 + (1 + a)2 + 22 Áp dụng BĐT Mincôpxki: (1 − a)2 + 12 + (1 + a)2 + 22 ≥ √ √ (1 − a + + a)2 + (1 + 2)2 = + = 13 √ Suy ra: |z − + 2i| + |z + + 3i| đạt GTNN 13 2(1 − a) = + a ⇔ a = Nhận xét: Bài tốn có thề giải cách đưa tốn hình học phẳng Chọn đáp án B Câu 22 Cho z1 , z2 số phức khác thỏa mãn |z1 |z1 = 9|z2 |z2 Gọi M , N điềm biểu diễn số phức z1 z¯2 Biết tam giác OM N có diện tích 6, giá trị nhỏ |z1 + z2 | √ √ A B C D ɓ Lời giải Từ giả thiết: |z1 |z1 = 9|z2 |z2 (1) Lấy mô-đun hai vế ta |z1 |2 = 9|z2 |2 ⇒ |z1 | = 3|z2 | Thay |z1 | = 3|z2 | vào (1) ta z1 = 3z2 Gọi z2 = a + bi(a, b ∈ R) ⇒ z1 = 3a + 3bi, z¯2 = a − bi Điểm M (3a; 3b), N (a; −b) ⇒ SOM N = | − 3ab − 3ab| = 3|a||b| √ Mà SOM N = nên |a||b| = |z1 + z2 | = |4a + 4bi| = a2 + b2 ≥ 2|a||b| = Suy |z1 + z2 | = # » # » Lưu ý công thức tính diện tích tam giác OAB với OA = (a1 ; a2 ), OB = (b1 ; b2 ) SOAB = |a1 b2 −a2 b1 | Chọn đáp án A Câu 23 Các số phức z1 , z2 thỏa mãn w = z1 + − i số thực |4z2 + + 13i| = Giá trị (z1 + z¯1 ) i + nhỏ biểu thức P = |z1 √ + z2 | 21 37 A B 16 C √ 37 − D ɓ Lời giải Lê Quang Xe 75 SĐT: 0967.003.131 Cực trị số phức Đặt z1 = x + yi, (x, y ∈ R), ta có w= z1 + − i (x + 2) + (y − 1)i x + + 2x(y − 1) + [y − − 2x(x + 2)]i = = (z1 + z¯1 ) i + 1 + 2xi + 4x2 Vì w số thực nên y − − 2x(x + 2) = ⇔ y = 2x2 + 4x + Å ã 13 13 = |4z2 + + 13i| = ⇔ z2 + + i = ⇔ (x + 2) + y + 4 P = |z1 + z2 | = |z1 − (−z2 )| Gọi M điểm biểu diễn z1 điểm M thuộc parabol (P ) : y = 2x2 + 4x + ã Å 13 2 = Gọi N điểm biểu diễn z2 điểm N thuộc đường tròn (C) : (x + 2) + y + Å ã 13 2 Gọi N1 điểm biểu diễn −z2 điểm N1 thuộc đường trịn (C1 ) : (x − 2) + y − = Phương trình tiếp tuyến ∆ (P ) T (x0 , 2x20 + 4x0 + 1) , (x0 > −1) y = (4x0 + 4)(x − x0 ) + 2x20 + 4x0 + ⇔ (4x0 + 4)x − y − 2x20 + = Khi đó: Å ã 13 Pmin ⇔ (M N1 )min ⇔ T hình chiếu vng góc I lên ∆, với I 2, tâm (C1 ) Å ã #» #» #» », với IT ⇒ IT phương với VTPT n# ∆ = x0 − 2, 2x20 + 4x0 − , n∆ = (4x0 + 4, −1) Å ã Å ã 2 ⇔ (4x0 + 4) 2x0 + 4x0 − = − x0 ⇔ 8x0 + 24x0 + 8x0 − 11 = ⇔ x0 = ⇒ T , 2 √ √ 37 37 − Vậy Pmin = IT − R = −1= 4 Chọn đáp án D z Câu 24 Cho số phức z w thỏa mãn (3−i)|z| = +1−i Tìm giá trị lớn T = |w+i| w−1 √ √ A B C D 2 ɓ Lời giải Điều kiện: w = Ta có: (3 − i)|z| = z z z + − i ⇔ (3 − i)|z| − + i = ⇔w= + w−1 w−1 (3|z| − 1) + (1 − |z|)i z z |z| Vậy T = |w+i| = +1+i ≤ + +|1+i| ≤ √ − 8|z| + (3|z| − 1) + (1 − |z|)i (3|z| − 1) + (1 − |z|)i 10|z| √ √ t Đặt t = |z| điều kiện: t ≥ Xét hàm số f (t) = √ + 10t2 − 8t + −4t + √ f (t) = ; f (t) = ⇔ t = 2 (10t − 8t + 2) 10t − 8t + Bảng biến thiên: t + f (t) 2 f (t) √ Lê Quang Xe √ 76 +∞ − √ 10 √ + 10 SĐT: 0967.003.131 Chương SỐ PHỨC √ Å ã = Dựa vào bảng biến thiên ta có T = |w + i| ≤ max f (t) = f [0;+∞) 2 Chọn đáp án B Câu 25 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |z + 2| = |z + 2i| Biết √ giá trị nhỏ biều thức a + b 17 √ A = |z − − 2i| + |z − − 4i| + |z − − 6i| viết dạng với a, b số hữu tỉ Giá trị 3a − b A B C D ɓ Lời giải Gọi z = x + yi với x, y ∈ R Ta có: |z + 2| = |z + 2i| ⇔ |(x + yi) + 2| = |(x + yi) + 2i| ⇔ |(x + 2) + yi| = |x + (y + 2)i| ⇔ (x + 2)2 + y = x2 + (y + 2)2 ⇔ x = y hay z = x + xi Khi ta có: A = |(x − 1) + (x − 2)i| + |(x − 3) + (x − 4)i| + |(x − 5) + (x − 6)i| » » » = (x − 1)2 + (x − 2)2 + (x − 3)2 + (x − 4)2 + (x − 5)2 + (x − 6)2 √ √ √ = 2x2 − 6x + + 2x2 − 14x + 25 + 2x2 − 22x + 61  Å   Å ã ã2 Å ã2 ã Å ã2  Å √ 11 1 x− −x + = 2· + + + x− + 2 2 2  Å   … √ ã2 Å ã Å ã √ 11 √ √ + 17 1 √ ≥ 2· x− + −x + + = + x− + ≥ · 17 + 2 2 2 2 11  x − = −x 2 Dấu xảy ⇔x=  x − = √ + 17 √ Suy a = 1, b = nên 3a − b = Vậy A = Chọn đáp án C Câu 26 Trong số phức z thoả mãn |z − − 4i| = có hai số phức z1 , z2 thỏa mãn |z1 − z2 | = Giá trị nhỏ |z1 |2 − |z2 |2 √ √ A −10 B −4 − C −5 D −6 − ɓ Lời giải  ® (a − 3)2 + (b − 4)2 = 4(1)   z1 = a + bi Đặt (a, b, c, d ∈ R) Theo đề ta có: (c − 3)2 + (d − 4)2 = 4(2)  z2 = c + di  (a − c)2 + (b − d)2 = 1(3) Khi lấy-theo vế có a2 + b2 − c2 − d2 = 6(a − c) + 8(b − d) Kết hợp sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz sử dụng ta có: 2 2 |z1 |2 − |z2 |2 = a2 + b2 − c2 − d2 = 6(a − c) + 8(b − d) ≥ −2 (6 + )2 [(a − c) + (b − d) ] = −10 (a − 3) + (b − 4) =      (c − 3)2 + (d − 4)2 = 2 Vậy giá trị nhỏ |z1 | − |z2 | = −10 (a − c)2 + (b − d)2 =       a − c = b − d = k < Lê Quang Xe 77 SĐT: 0967.003.131 Cực trị số phức     z1     z2  Tồn hai cặp số phức thỏa mãn      z1    z2 = = = = √ 27 − 15 10√ 33 − 15 10√ 27 + 15 10√ 33 + 15 10 + + + + √ 144 + 12 15 i 40 √ 176 + 12 15 i 40 √ 144 − 12 15 i 40 √ 176 − 12 15 i 40 Chọn đáp án A Câu 27 Cho số phức z = a+bi (a, b ∈ R) thỏa mãn |2z+2−3i| = Khi biểu thức P = 2|z+2|+|z−3| đạt giá trị lớn giá trị a − b A −3 B C −2 D ɓ Lời giải Theo giả thiết có: |2(a + bi) + − 3i| = ⇔ |(2a + 2) + (2b − 3)i| = ⇔ (2a + 2)2 + (2b − 3)2 = ã Å 2 = (∗) ⇔ (a + 1) + b − Å ã 2 (∗) ⇔ a + b = −3 − 2a + 3b Từ (∗) suy b − ≤ ⇔ ≤ b ≤ 2 Khi biến đổi sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta » » P = 2|z + 2| + |z − 3| = (a + 2)2 + b2 + (a − 3)2 + b2 » » √ √ = a2 + b2 + 4a + + a2 + b2 − 6a + = (−3 − 2a + 3b) + 4a + + (−3 − 2a + 3b) + − 6a √ √ = 2a + 3b + + −8a + 3b + » √ √ = 8a + 12b + + −8a + 3b + ≤ (1 + 1)(8a + 12b + − 8a + 3b + 6) » » √ = 2(15b + 10) ≤ 2(15.2 + 10) = ® ® 8a + 12b + = −8a + 3b + a = −1 Dấu “=” xảy ⇔ b=2 b = √ Suy Max P = a = −1, b = Vậy a − b = −3 Chọn đáp án A Câu 28 Cho số phức z thỏa mãn |z − − 2i| + |z − − 6i| = 9, giá trị lớn |z − 10 − 14i| A 17 B 20 C 15 D 12 ɓ Lời giải Cách 1: Đặt z = w + 8i + − 4i w 25 25 w + + 2i + − − 2i = ⇔ w + + w− = 45 − 4i − 4i 2 Đặt w = x + yi gọi M (x; y) điểm biểu diễn w x2 y2 56 Khi tập hợp điểm M elip có phương trình (E) : Å ã2 + = Suy y = 350 − x2 (1) 350 81 45  Å ã w 15 125 125 Mặt khác ta có T = |z − 10 − 14i| = − − 10i = w − = x− + y2 − 4i 5  Å … ã 125 56 25 17025 Suy T = x− + 350 − x = x − 125x + 81 81 Ta có |z −1−2i|+|z −4−6i| = Lê Quang Xe 78 SĐT: 0967.003.131 Chương SỐ PHỨC 45 45 ≤x≤ 2 ï ò 17025 45 45 50 25 đoạn − ; ; f (x) = x − 125 Xét hàm số f (x) = x − 125x + 81 4ò 2 81 ï 405 45 45 Xét f (x) = ⇔ x = ∈ / − ; Å ã2 Å ã 45 45 Ta có f − = 7225; f = 1600 2   Å ã 45 Vậy giá trị lớn T f − = 17 Cách 2: Ta có |z − 10 − 14i| ≤ |z − − 2i| + | − − 12i| = |z − − 2i| + 15 Ta có |z − 10 − 14i| ≤ |z − − 6i| + | − − 8i| = |z − − 6i| + 10 Suy 2|z − 10 − 14i| ≤ + 15 + 10 = 34 ⇔ |z − 10 − 14i| ≤ 17 Dấu “=” xảy z = − + i Vậy max |z − 10 − 14i| = 17 5 Cách 3: Gọi M (x; y) điểm biểu diễn số phức z Gọi F1 (1; 2) F2 (4; 6) Suy M F1 + M F2 = Suy tập hợp điểm biểu diễn z Elip có F1 F2 = Ta có P = |z − 10 − 14i| = M A với A(10; 14)   F1 F2 = # » # » # » # » Ta có F1 A = (9; 12), F1 F2 = (3; 4) ⇒ F1 A = 3F1 F2 ⇒ F1 , A, F2 thẳng hàng có F1 A = 15   F2 A = 10 Ta có M A ≤ M F2 + F2 A ≤ + 10 = 17 Dấu “=” xảy M, F1 , F2 thẳng hàng M F1 + F1 F2 = M F2 Chọn đáp án A Từ (1) ta có − Câu 29 Xét số phức z, w thỏa mãn |z| = 2, |iw − + 5i| = Giá trị nhỏ |z − wz − 4| √ √ A B 2( 29 − 3) C D 2( 29 − 5) ɓ Lời giải Ta có: |iw − + 5i| = ⇔ |w + + 2i| = 1; |z| = ⇒ z = ® z.¯ x + y2 = Đặt: z = x + iy, w = a + ib; (x, y, a, b ∈ R) Khi đó: (a + 5)2 + (b + 2)2 = Ta có: |z − wz − 4| = |z| z − w − = 2|(z − z¯) − w| z Gọi A, B điềm biều diễn z − z¯ w Dẫn đến: A(0; 2y) với −2 ≤ y ≤ 2, B thuộc đường trịn có tâm I(−5; −2) có bán kính R = Khi đó: |z − wz − 4| = 2AB Ta có: ABmin = d(I, d) − R = Giá trị nhỏ |z − wz − 4| = Nhận xét: Ta xem toán gồm giả thiết: |z| = ⇒ z.¯ z = |iw − + 5i| = ⇔ |w + + 2i| = z − wz − = 2|z − w − z¯| (∗) Việc đầu tiên, ta rút gọn giả thiết toán Từ (∗), ta gọi A điểm biểu diễn z − z¯, B điểm biểu diễn w Bài tốn trở thành tìm độ dài AB nhỏ Chọn đáp án C √ Câu 30 Cho số phức z, w thỏa mãn |w + i| = 5w = (2 + i)(z − 4) Tìm giá trị lớn biểu thức P = |z − 2i| + |z − − 2i| Lê Quang Xe 79 SĐT: 0967.003.131 Cực trị số phức A √ B 53 √ C 58 √ D 13 ɓ Lời giải Ta có 5w = (2 + i)(z − 4) ⇔ 5w + 5i = 5i + (2 + i)(z − 4) ⇔ 5|w √+ i| = |(2 + i)z − + i| Đặt z = x + yi với x, y ∈ R ta được√|(2 + i)(x + yi) − + i| = ⇔ |2x − y − + (x + 2y + 1)i| = ⇔ (2x − y − 8)2 + (x + 2y + 1)2 = 45 ⇔ 4x2 + y + 64 − 4xy − 32x + 16y + x2 + 4y + + 4xy + 2x + 4y = 45 ⇔ 5x®2 + 5y − 30x + 20y + 20 = ⇔ (x − 3)2 + (y + 2)2 = x = sin α + Khi Đặt y = cos α − P = » x2 + (y − 2)2 + » √ √ (x − 6)2 + (y − 2)2 = 18 sin α − 24 cos α + 34 + −18 sin α − 24 cos α + 34 √ √ √ + 12 −48 cos α + 68 ≤ 58 Áp dụng bất đẳng thức Bunhia Copsky ta có P ≤ √ √ ® −18 sin α − 24 cos α + 34  18 sin α − 24 cos α + 34 cos α = −1 = ⇔ Dấu xảy 1  sin α = cos α = −1 √ Suy max P = 58 z = − 5i Chọn đáp án C Câu 31 Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn |z1 + + 3i| = 5|z2 + + 3i| = Gọi m0 giá trị lớn z1 + + 3i phần thực số phức Tìm m0 z2 + + 3i 81 A m0 = B m0 = C m0 = D m0 = 5 25 ɓ Lời giải  √  |w | = = a2 + b w1 = z1 + + 3i = a + bi Đặt với a, b, c, d ∈ R, theo giả thiết ta có: √ |w2 | = = c2 + d2 w2 = z2 + + 3i = c + di w1 ac + bd + (bc − ad)i z1 + + 3i (a + bi)(c − di) = = = z2 + + 3i w2 c2 + d 25 w1 25(ac + bd) Phần thực số phức w2 9 ⇒ ac + bd ≤ Ta có (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2 ) (c2 + d2 ) ⇔ (ac + bd)2 ≤ · 25 25(ac + bd) w1 ⇒ ≤ Dấu “=” xảy ad = bc số thực |w1 | = 5|w2 | = w2 Vậy m0 = Chọn đáp án D √ Câu 32 Cho số phức z thỏa mãn |(1 + i)z + 2| + |(1 + i)z − 2| = Gọi m = max |z|; n = |z| số phức w = m + ni Tính |w|2018 A 41009 B 51000 C 61009 D 21009 ® ɓ Lời giải Gọi z = x + yi (x, y ∈ R) √ Ta có |(1 + i)z + 2| + |(1 + i)z − 2| = √ ⇔ |(1 + i)z + (1 + i)(1 − i)| + |(1 + i)z − (1 + i)(1 − i)| = √ √ ⇔ |(1 + i)(z + − i)| + |(1 + i)(z − + i)| = ⇔ |1 + i||z + − i| + |1 + i||z − + i| = » » ⇔ |z + − i| + |z − + i| = ⇔ (x + 1)2 + (y − 1)2 + (x − 1)2 + (y + 1)2 = (∗) Gọi M (x; y), F1 (−1; 1), F2 (1; −1) Ta có ⇔ M F1 + M F2 = Lê Quang Xe 80 SĐT: 0967.003.131 Chương SỐ PHỨC Do tập hợp điểm M biểu diễn cho số phức z Elip có hai tiêu điềm F1 , F2 ; tiêu cự √ √ F1 F2 = 2; độ dài trục lớn M F1 + M F2 = 4; nửa độ dài trục bé 2 √ √ √ √ Ta có m = max |z| = 2; n = |z| = ⇒ w = + 2i ⇒ |w| = ⇒ |w|2018 = ( 6)2018 = 61009 Chọn đáp án C √ Câu 33 Cho√số phức z thỏa mãn |(1 + i)z + − 3i| = Giá trị lớn biểu thức P = |z + + i| + 6|z − − 3i| √ √ √ √ √ √ A B 15(1 + 6) C D 10 + 15 ɓ Lời giải √ Ta có |(1 + i)z + − 3i| = ⇔ |z − − 2i| = nên tập hợp điểm M biểu diễn số phức z đường trịn tâm I(1; 2), bán kính R = Đặt a ® = z − − 2i, b = + i |z + + i|2 = |a + 3b|2 = |a|2 + 9|b|2 + 3(a · ¯b + a ¯ · b) Ta có 2 2 |z − − 3i| = |a − b| = |a| + |b| − (a · ¯b + a ¯ · b) 2 ⇒ |z + + i|2 + 3|z − 2√− 3i| = |a + 3b| + 3|a − b| = 4|a|2 + 12|b|2 = 60 √ √ Khi P = |a + 3b| + · 3|a − b| ≤ (1 + 2) (|a + 3b|2 + 3|a − b|2 ) = Chọn đáp án C Câu 34 Hai số phức z, w thay đồi nhung thỏa mãn đẳng thức 2019¯ z + 2019i (1 + i) |z − 2iz − 1| = + − 2i Giá trị lớn |w| w √ √ 2019 2019 A B C 2019 D Đáp án khác ɓ Lời giải Ta có: |z − i| = |¯ z + i| nên |z − 2iz − 1| = |z − i|2 = |¯ z + i|2 2019¯ z + 2019i 2019(¯ z + i) Như vậy: (1 + i) |z − 2iz − 1| = + − 2i ⇔ (1 + i)|¯ z + i|2 = + − 2i w w ⇔ (1 + i)|¯ z + i|2 + 2i − = 2019(¯ z + i) 2019(¯ z + i) ⇔ |¯ z + i|2 − + |¯ z + i|2 + i = w w Điều kiện: w = suy z¯ + i = hay |¯ z + i| > 2019(¯ z + i) Đặt t = |¯ z + i|, t > ta có t2 − + (t2 + 2) i = Lấy mô-đun hai vế ta w » » 2019|z + i| 2019t (t2 − 2)2 + (t2 + 2)2 = ⇔ (t2 − 2)2 + (t2 + 2)2 = |w| |w| √ 2019t 2019t 2019 2019t ⇔ |w| = » ⇔ |w| = √ ⇒ |w| ≤ √ ⇔ |w| ≤ 2t4 + 2t (t2 − 2)2 + (t2 + 2)2 √ √ √ 2009 Vậy max |w| = 2t4 = ⇔ t4 = ⇔ t = ⇔ |z − i| = Chọn đáp án A BẢNG ĐÁP ÁN 11 21 31 C D B D 12 22 32 Lê Quang Xe C B A C 13 23 33 A D D C 14 24 34 D A B A B 15 D 25 C C 16 D 26 A 81 C 17 B 27 A B 18 A 28 A D 19 A 29 C 10 C 20 B 30 C SĐT: 0967.003.131 ... = t có số phức z = thỏa mãn đề t−6+i Vậy có số phức thỏa mãn yêu cầu toán Chọn đáp án B Lê Quang Xe 21 SĐT: 0967.003.131 Các phép toán số phức Câu 37 Cho số phức − 2i Điểm biểu diễn số phức w... hai số phức z1 = a + bi (a, b ∈ R) z2 = c + di (c, d ∈ R) Khi z1 ± z2 = (a + c) ± (b + d) i ○ Số đối số phức z = a + bi −z = −a − bi ○ Tổng số phức với số phức liên hợp hai lần phần thực số phức. .. Xe ii SĐT: 0967.003.131 CHƯƠNG SỐ SỐ PHỨC PHỨC BÀI XÁC ĐỊNH CÁC YẾU TỐ CƠ BẢN, BIỂU DIỄN HÌNH HỌC A LÝ THUYẾT Phần thực, phần ảo số phức, số phức liên hợp • Số phức có dạng z = a + bi (a, b ∈