Phân Tích Tai Của Đồ Thị Và Đồ Thị Series Parallel.pdf

BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ Nguyễn Thị Thu Hà PHÂN TÍCH TAI CỦA ĐỒ THỊ VÀ ĐỒ THỊ SERIES PARALLEL LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội[.]

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - Nguyễn Thị Thu Hà PHÂN TÍCH TAI CỦA ĐỒ THỊ VÀ ĐỒ THỊ SERIES PARALLEL LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - Nguyễn Thị Thu Hà PHÂN TÍCH TAI CỦA ĐỒ THỊ VÀ ĐỒ THỊ SERIES PARALLEL Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TSKH Phan Thị Hà Dương Hà Nội - 2019 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan viết luận văn tìm tịi, học hỏi thân hướng dẫn tận tình Phan Thị Hà Dương Mọi kết nghiên cứu ý tưởng tác giả khác, có trích dẫn cụ thể Đề tài luận văn chưa bảo vệ hội đồng bảo vệ luận văn thạc sĩ chưa cơng bố phương tiện Tôi xin chịu trách nhiệm lời cam đoan Hà Nội, tháng 10 năm 2019 Học viên Nguyễn Thị Thu Hà LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành luận văn này, trước hết xin bày tỏ biết ơn sâu sắc tới PGS.TSKH Phan Thị Hà Dương trực tiếp hướng dẫn, bảo tận tình tạo điều kiện thuận lợi suốt thời gian thực luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn thầy cô, anh chị bạn bè Viện Toán học quan tâm giúp đỡ suốt trình học tập nghiên cứu Viện Qua đây, xin trân trọng cảm ơn giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi sở đào tạo Học viện Khoa học Công nghệ, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam q trình thực luận văn Cuối tơi xin cảm ơn gia đình, người thân ln quan tâm, giúp đỡ, động viên khích lệ tơi suốt trình học tập nghiên cứu Hà Nội, tháng 10 năm 2019 Học viên Nguyễn Thị Thu Hà Mục lục Danh sách hình vẽ Danh sách bảng MỞ ĐẦU TÌM HIỂU VỀ PHÂN TÍCH TAI VÀ MỐI LIÊN HỆ VỚI TÍNH LIÊN THƠNG CỦA ĐỒ THỊ 1.1 Các định nghĩa đồ thị ví dụ 1.2 Tính liên thông đồ thị 12 1.3 Các loại liên thông đồ thị 15 1.4 1.3.1 Đồ thị k - liên thông 15 1.3.2 Đồ thị k - cạnh liên thông 21 Hai loại phân tích tai Điều kiện để có phân tích tai 24 1.4.1 Phân tích tai loại 24 1.4.2 Phân tích tai loại 27 NHẬN DẠNG ĐỒ THỊ SERIES PARALLEL DỰA TRÊN PHÂN TÍCH TAI 32 2.1 Phân tích tai gắn kết 33 2.2 Đồ thị Series - Parallel phân tích tai 40 2.3 2.2.1 Định nghĩa đồ thị Series - Parallel 40 2.2.2 Điều kiện để đồ thị Series - Parallel 41 Thuật toán nhận dạng đồ thị Series - Parallel 48 2.3.1 Ý tưởng thuật toán 48 2.3.2 Kiểm tra tính gắn kết 49 2.3.3 Độ phức tạp ví dụ 59 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 65 Danh sách hình vẽ 1.1 Một số ví dụ đồ thị 10 1.2 Đồ thị hai phần đồ thị hai phần đầy đủ K2,3 10 1.3 Đồ thị vô hướng G 13 1.4 Trường hợp P chứa e 13 1.5 Rừng gồm 14 1.6 Kết nối K3 , K2,3 đồ thị liên thơng có đỉnh cắt 16 1.7 Trường hợp đường R có điểm chung với P Q 18 1.8 Chu trình u, x, y, v, u qua hai cạnh uv xy 19 1.9 Sự phân chia cạnh uv thành đường u, w, v 19 1.10 Sửa đổi chu trình qua e, f 20 1.11 Ví dụ tập ngắt kết nối cạnh khơng phải tập cạnh cắt 22 1.12 Hình minh họa S, S T 23 1.13 Kết nối kết nối cạnh số đồ thị 23 1.14 Ví dụ phân tích tai phân tích tai mở loại 24 1.15 Phân tích tai thu thay P3 = P0 25 1.16 Chuỗi phép phân chia cạnh uv chuyển đồ thị G + uv thành G ∪ P 26 1.17 Phân tích tai phân tích tai mở loại 28 1.18 Đồ thị G, khối đồ thị - cạnh liên thông cực đại G 29 1.19 Hình minh họa trường hợp thêm tai thứ k 30 2.1 Phân tích tai gắn kết phân tích tai dạng 34 2.2 Cây khoảng gắn tai E1 35 2.3 Phân tích tai dạng 36 2.4 Tai Ej gắn Ei không gắn thực 38 2.5 Cấu trúc đồ thị TTSP phép tổng hợp chuỗi song song 41 2.6 Cây nhị phân thể cấu trúc đồ thị TTSP hình 2.5 42 2.7 Hình minh họa trường hợp 43 2.8 Tai Ei đường tai Hi 51 2.9 Cây gắn kết tai Ei 56 2.10 Đường tai Hj tai Ej 56 2.11 Cây sp 58 2.12 Đồ thị G 60 2.13 Đường cạnh H1 sp 61 2.14 Đường cạnh H2 sp 61 2.15 Đường cạnh H3 sp 62 2.16 Đường cạnh H4 sp 63 2.17 Đường cạnh H5 sp 63 2.18 Cây sp G 64 Danh sách bảng 2.1 Danh sách cạnh xuôi ngược đỉnh Hi 51 2.2 Bảng liệt kê đầu em kế cạnh Hi 55 2.3 Lưu trữ cạnh Hi vào ô nhớ 55 2.4 Danh sách cạnh xuôi ngược đỉnh Hj 56 2.5 Bảng liệt kê đầu em kế cạnh Hj 57 2.6 Lưu trữ cạnh Hj vào ô nhớ 57 2.7 Bảng tính X, Y, Z cho cạnh ei 58 2.8 Bảng liệt kê đầu em kế cạnh H1 60 2.9 Bảng tính X, Y, Z cho cạnh H1 60 2.10 Bảng tính X, Y, Z cho cạnh H2 61 2.11 Bảng tính X, Y, Z cho cạnh H3 62 2.12 Bảng tính X, Y, Z cho cạnh H4 62 2.13 Bảng tính X, Y, Z cho cạnh H5 63 MỞ ĐẦU Ngày nay, lý thuyết đồ thị phát triển mạnh mẽ, trở thành chủ đề quan trọng Toán học, sử dụng nhiều vấn đề ứng dụng toán học Một lớp đồ thị bản, quan trọng đồ thị Series Parallel Chúng hay ứng dụng mơ hình mạch điện, vấn đề lập kế hoạch Việc nhận đồ thị Series Parallel vấn đề nhiều nhà khoa học quan tâm điều thực thời gian tuyến tính (Valdes, Tarjan Lawler, 1979 [2]) Hơn nữa, ta biết phân tích đồ thị Series Parallel theo hai phép tốn Series Parallel ta giải nhiều vấn đề thời gian tuyến tính tìm ghép cặp lớn nhất, tập độc lập lớn nhất, có nhiều vấn đề NP – khó cho đồ thị tổng quát Năm 1987, He Yesha [3] đưa thuật tốn nhận dạng đồ thị Seriesparallel có hướng thời gian O(log n) với O(m + n) xử lí EREW PRAM Năm 1992, Eppstein [4] cải thiện kết này, thuật toán chạy thời gian O(logn) với C(m, n) xử lí CRCW PRAM, C(m, n) số xử lí cần thiết để đếm số thành phần liên thông đồ thị thời gian logarit Giá trị bị chặn tốt biết C(m, n) = O(mα(m, n)/logn) Trong luận văn này, chúng tơi trình bày phân tích tai đồ thị, mối liên hệ phân tích tai đồ thị Series Parallel quan trọng trình bày thuật tốn nhận dạng đồ thị Series Parallel, thuật tốn dựa khái niệm phân tích tai mở đồ thị Luận văn chia làm hai chương sau: Chương 1: Tìm hiểu phân tích tai mối liên hệ với tính liên thơng đồ thị Trong phần này, chúng tơi trình bày số khái niệm đồ thị, loại liên thơng đồ thị, định nghĩa phân tích tai mối liên hệ với tính liên thơng Chương 2: Nhận dạng đồ thị Series Parallel dựa phân tích tai Ở chương 37 eED (y) = Ej ′ với j ′ ≤ j Suy Ei gắn tai Ej tai có số lớn hai tai eED (x), eED (y) Nếu x, y đầu mút của Ej theo giả thiết quy nạp Ej gắn tai có số lớn hai tai eED (x), eED (y) nên Ei gắn tai có số lớn hai tai eED (x), eED (y) Vậy bổ đề với i Tiếp theo ta mở rộng hàm eED từ đỉnh đến tai Định nghĩa 2.1.6 [4] Cho đồ thị G có phân tích tai dạng ED = {E1 , E2 , , Ek }: Nếu Ei có hai đầu mút x, y , ta định nghĩa eED (Ei ) tai có số lớn hai tai eED (x) eED (y) Ei gắn thực Ej eED (Ei ) = Ej Ei chứa Ej có dãy tai Ei , Ek , , Ej cho tai gắn thực tai tiếp sau Định nghĩa gắn thực áp dụng cho phân tích tai Ví dụ 2.1.3 Trong đồ thị G (hình 2.1) ta có eED (E1 ) = E1 , eED (E2 ) = E1 , eED (E3 ) = E1 , eED (E4 ) = E2 nên E2 , E3 gắn thực tai E1 E4 gắn thực tai E2 E4 chứa E1 ta có dãy tai E4 , E2 , E1 thỏa mãn điều kiện tai gắn thực tai tiếp sau Hình 2.4 cho ta ví dụ tính gắn khơng gắn thực Ta có Ei gắn Ej không gắn thực Ej mà Ej Ei gắn thực E i′ Ta thấy phân tích tai khơng phải dạng tai gắn thực tai chưa gắn tai Như phân tích tai mở đồ thị H hình 1.14, tai P4 gắn thực tai P3 khơng gắn tai 38 Hình 2.4: Tai Ej gắn Ei không gắn thực Bổ đề sau chứng minh cần kiểm tra tai gắn thực việc kiểm tra phân tích tai có gắn kết hay khơng Bổ đề 2.1.3 [4] Cho đồ thị G có phân tích tai mở ED = {E1 , E2 , , Ek } cho: ED cạnh đơn Với i > 1, ∃j < i cho Ei gắn Ej Nếu hai tai Ei Ei′ gắn thực tai Ej khoảng gắn Ei chứa Ei′ ngược lại, hai khoảng gắn rời Khi ED gắn kết Chứng minh Ta có ED thỏa mãn điều kiện nên phân tích tai dạng Nếu Ei gắn tai Ej không gắn thực khoảng gắn Ei tồn Ej , khơng thể cắt khoảng gắn khác Ej Do ED phân tích tai gắn kết Ta thấy phân tích tai gắn kết thỏa mãn điều kiện Do đó, để kiểm tra tính gắn kết phân tích tai cạnh đơn ta làm hai bước sau: • Kiểm tra điều kiện 2: tai gắn tai khác 39 • Kiểm tra điều kiện 3: tai ta xét tập tai gắn thực tai kiểm xem có hai tai cắt khơng (tức khoảng gắn chúng khơng chứa mà lại có điểm chung), khơng có phân tích tai gắn kết Bổ đề 2.1.4 Cho ED phân tích tai gắn kết đồ thị G cho Ei tai với đầu mút x, y Khi x, y phân tách đồ thị sinh tai chứa Ei với phần lại đồ thị Chứng minh Gọi S đồ thị sinh tai chứa Ei Để chứng minh bổ đề đúng, ta chứng minh với tai nằm S tai gắn thuộc S có hai đỉnh chung với G − S x, y Lấy Ej ∈ S , Ek tai gắn trên Ej Nếu Ek gắn thực Ej chứa Ei , Ek ∈ S Ngược lại Ek khơng gắn thực Ej hai đầu mút Ek trùng với hai đầu mút Ej Nếu j 6= i Ek chứa Ei gắn thực tai với Ej Nếu j = i Ek thuộc phần cịn lại đồ thị có hai điểm chung x y với Ei Như vậy, phân tích tai gắn kết phân tích tai mà tai gắn thực tai tai gắn thực tai khơng cắt Ta thấy cho đồ thị G có phân tích tai ED gắn kết với k tai tai cạnh đơn, ta cố định xích Eo G có phân tích tai gắn kết G có k kiểu phân tích tai gắn kết Việc kiểm tra phân tích tai gắn kết trình bày mục 2.3.2 40 2.2 Đồ thị Series - Parallel phân tích tai 2.2.1 Định nghĩa đồ thị Series - Parallel Trong mục chúng tơi trình bày khái niệm đồ thị TTSP (Two Terminal Series Parallel) cách biểu diễn đồ thị TTSP nhị phân mà gọi sp Định nghĩa 2.2.1 (Đồ thị Series - Parallel hai đầu) i Một đồ thị hai đầu (Two-Terminal Graph) đồ thị có hai điểm phân biệt s t gọi điểm nguồn điểm hút (ta gọi s t hai đỉnh đầu cuối) ii Đồ thị gồm hai đỉnh cạnh đơn nối hai đỉnh (đồ thị K2 ) TTSP với hai đỉnh đầu cuối hai đỉnh cho iii Cho TTSP X Y với đỉnh đầu cuối sX , tX , sY , tY , ta xây dựng đồ thị G cách: (a) Tổng hợp song song (parallel composition): ta đồng s = sX = sY , t = tX = tY giữ nguyên tập cạnh X , Y Khi ta viết G = P (X, Y ) (b) Tổng hợp chuỗi (series composition): ta đồng s = sX , t = tY , tX = sY giữ nguyên tập cạnh X , Y Khi ta viết G = S(X, Y ) iv Một đồ thị TTSP xây dựng dãy phép toán tổng hợp chuỗi song song tập đồ thị K2 với đỉnh đầu cuối gán v Một đồ thị Series Parallel tồn cặp đỉnh s, t để đồ thị TTSP với (s, t) hai đỉnh đầu cuối 41 Một đồ thị Series Parallel biểu diễn cách tự nhiên nhị phân với nút S (tương ứng với phép tổng hợp chuỗi), P (tương ứng với phép tổng hợp song song) tương ứng với cạnh đồ thị Ví dụ 2.2.1 Hình 2.5 cấu trúc đồ thị Series Parallel xây dựng từ chuỗi phép tổng hợp chuỗi tổng hợp song song Hình 2.6 sp thể cấu trúc đồ thị TTSP hình 2.5 Hình 2.5: Cấu trúc đồ thị TTSP phép tổng hợp chuỗi song song 2.2.2 Điều kiện để đồ thị Series - Parallel Đầu tiên, chúng tơi trình bày điều kiện cần đủ để đồ thị TTSP 42 Hình 2.6: Cây nhị phân thể cấu trúc đồ thị TTSP hình 2.5 Bổ đề 2.2.1 [5] Nếu đồ thị vơ hướng G có phân tích tai gắn kết đường nối từ s đến t G TTSP với đỉnh đầu cuối s, t Chứng minh Nếu G có cạnh đơn G TTSP Nếu |E(G)| ≥ ta chứng minh bổ đề quy nạp theo E(G) Trường hợp 1: Tồn số Ej , j > có chung hai đầu mút s, t với E1 Đặt Y đồ thị sinh Ej tai chứa X đồ thị sinh cạnh cịn lại (hình 2.7i) Theo bổ đề 2.1.4, ta có X, Y kết nối với qua s t Khi tai Y có dạng phân tích tai gắn kết Ej , tai X có dạng phân tích tai gắn kết E1 Theo quy nạp X, Y đồ thị TTSP với đỉnh đầu cuối s t Do G = P (X, Y ) TTSP với đỉnh đầu cuối s t Trường hợp 2: Khơng có tai có chung hai đầu mút s t với E1 Gọi Ej tai gắn thực E1 cho khoảng gắn Ej không nằm khoảng gắn khác Khi Ej có đầu mút x khác s t Gọi X đồ thị G bao gồm đường từ s đến x E1 tất tai chứa đường Y đồ thị G bao gồm đường từ x đến t E1 tất tai chứa đường (hình 2.7ii) Do tính gắn kết 43 phân tích tai khoảng gắn Ej khơng chứa khoảng gắn khác nên khơng có tai gắn E1 mà cắt tai Ej tai gắn E1 phải nằm X Y Mỗi tai Ei , i 6= G Ei ⊂ X Y , khơng có tai nối X với Y Suy X có phân tích tai gắn kết đường nối s tới x, Y có phân tích tai gắn kết đường nối x đến t Theo quy nạp X Y đồ thị TTSP với điểm đầu cuối s, x x, t G = S(X, Y ) TTSP với đỉnh đầu cuối s, t Hình 2.7: Hình minh họa trường hợp Bổ đề 2.2.2 [5] Nếu ED = {E1 , E2 , , Ek } phân tích tai mở đồ thị TTSP G với đỉnh đầu cuối s, t E1 đường từ s đến t ED gắn kết Chứng minh Ta chứng minh bổ đề quy nạp theo số cạnh G Nếu G có cạnh đơn st hiển nhiên ED gắn kết Trường hợp 1: Nếu G = P (X, Y ), X Y liên kết với qua s t E1 phải nằm trọn vẹn X Y , tai thuộc X Y (nếu không s t đỉnh tai đó, mâu thuẫn) Khơng tính tổng quát ta giả sử E1 ⊂ X Khi tai X có dạng phân tích tai mở, theo qui nạp phân tích gắn kết Gọi Ej tai 44 Y với j số nhỏ Khi s t phải hai đầu mút Ej s t hai đỉnh Y xuất tai trước Khi tai Y có dạng phân tích tai mở Ej , nên theo qui nạp phân tích tai gắn kết Kiểm tra tính gắn kết: Lấy Ei ∈ G, i 6= suy Ei ∈ X Ei ∈ Y Do X, Y có phân tích tai gắn kết nên Ei phải gắn tai Ej với j < i Nếu hai tai Ei Ei′ gắn tai Ek Không tính tổng quát ta giả sử Ek ∈ X Nếu Ei , Ei′ thuộc X khoảng gắn chúng khơng cắt (do tính gắn kết phân tích tai X ) Nếu Ei ⊂ X, Ei′ ⊂ Y suy Ek Ei′ có hai đỉnh chung s t Khi khoảng gắn Ei′ Ek mà khoảng gắn Ei chứa Ek nên khoảng gắn Ei Ei′ chứa Nếu Ei , Ei′ thuộc Y ba tai Ei , Ei′ , Ek có chung đỉnh cuối s, t khoảng gắn chúng trùng Ek Vậy phân tích tai ED G gắn kết Trường hợp 2: G = S(X, Y ) với X Y gặp x Khi X , Y khơng có cạnh chung có đỉnh chung x Hơn x đỉnh E1 Thật x không đỉnh E1 x ∈ / E1 x điểm biên E1 Nếu x ∈ / E1 E1 nằm hồn tồn X Y tập rỗng, x điểm biên E1 có tai Ek ∈ Y tai đóng (mâu thuẫn) Ta có đường từ s tới x E1 tai lại thuộc X có dạng phân tích tai mở nên theo quy nạp phân tích tai gắn kết Tương tự đường từ x tới t E1 tai cịn lại thuộc Y có dạng phân tích tai gắn kết Kiểm tra tính gắn kết: Lấy Ei ∈ G, i 6= suy Ei ∈ X Ei ∈ Y Do X, Y có phân tích tai gắn kết nên Ei phải gắn tai Ej với j < i 45 Giả sử Ei , Ei′ gắn Ek Nếu Ei , Ei′ nằm X Y khoảng gắn chúng không cắt Nếu Ei ⊂ X, Ei′ ⊂ Y Ek = E1 Khi khoảng gắn chúng nằm đường phân biệt từ s tới x từ x tới t nên chúng phân biệt Vậy phân tích tai G gắn kết Kết hợp hai bổ đề ta có định lý sau: Định lý 2.2.1 [5] Bất đồ thị vô hướng TTSP có phân tích tai gắn kết đường nối hai đỉnh đầu cuối đồ thị có phân tích tai gắn kết TTSP với đỉnh đầu cuối hai đầu mút tai Tiếp theo chúng tơi trình bày cách chọn đỉnh đầu cuối cho đồ thị TTSP chưa rõ đỉnh đầu cuối Khi đồ thị đầu vào G chưa rõ đỉnh đầu cuối đỉnh nào, ta cần cách chọn cặp đỉnh s, t cho G Series Parallel TTSP với hai đỉnh đầu cuối chọn Bổ đề 2.2.3 [5] Nếu G TTSP với đỉnh đầu cuối s t khối G phải đường s t thuộc hai khối tương ứng với hai đầu mút đường Chứng minh Đề chứng minh bổ đề ta chứng minh qui nạp bốn điều sau: Cây khối G phải đường với s t chứa hai khối tương ứng với hai đầu mút đường Nếu G tạo phép tốn tổng hợp song song - liên thông Nếu v ∈ G, tồn đường rời G từ s đến v từ v đến t 46 Nếu w, v ∈ G nằm hai khối khác tồn đường rời P1 , P2 , P3 nối v đến w nối hai đỉnh đến hai đỉnh đầu cuối, tức từ v tới s w tới t từ v tới t w đến s Nếu G cạnh bổ đề Giả sử G = S(X, Y ), đỉnh cắt x Khi khối G khối X Y chúng nối với cặp cạnh tương ứng với đỉnh cắt x Ta có X TTSP với đỉnh đầu cuối s, x nên theo qui nạp khối X đường từ s đến x với s, x thuộc hai khối Tương tự khối Y đường với x, t thuộc hai khối Vậy khối G đường với s, t thuộc hai khối tương ứng với hai đỉnh đầu mút đường Vậy (1) Để chứng minh (3), khơng tính tổng quát ta giả sử v ∈ X , theo quy nạp tồn hai đường rời từ v đến s từ v đến x Kết hợp đường từ v đến x với đường từ x đến t Y ta thu đường từ v đến t rời với đường từ v đến s Cuối ta chứng minh (4) Nếu v w nằm X Y , khơng tính tổng qt ta giả sử X , theo quy nạp tồn đường rời nhau, ta giả sử P1 đường từ v đến s, P2 đường từ v đến w, P3 đường từ w đến x, kết hợp đường P3 với đường từ x đến t, ta ba đường thỏa mãn yêu cầu Ngược lại, giả sử v ∈ X w ∈ Y Khi theo quy nạp ý (3) tồn hai đường rời từ v đến s từ v đến x, hai đường rời từ w đến x từ w đến t, kết hợp đường từ v đến x với đường từ x đến w ta đường từ v đến w rời với hai đường từ v đến s từ w đến t Vậy bổ đề với phép tổng hợp chuỗi Giả sử G = P (X, Y ), G - liên thơng khối đỉnh Vậy ta chứng minh G - liên thông tức ta phải chứng minh tồn hai đường rời theo đỉnh hai đỉnh thuộc G Lấy v, w ∈ G Nếu v ∈ X w ∈ Y , theo qui nạp ý (3) ta có tồn đường rời từ v đến s từ v đến t X đường từ w đến s, w đến t Y Kết hợp đường v đến s từ w đến s; v đến t từ w đến t ta hai đường rời nối w 47 v Vậy G - liên thông Nếu v, w ∈ X theo quy nạp ý (4) ta có: tồn đường rời từ w đến v từ v đến s từ w đến t Kết hợp đường từ s đến v từ w đến t với đường G nối s với t ta đường phân biệt thứ hai nối w v Vậy G - liên thông Bổ đề 2.2.4 [5] Nếu G đồ thị Series Parallel - liên thông (s, t) cạnh G G TTSP với s t hai đỉnh đầu cuối Chứng minh Nếu G có cạnh bổ đề Nếu E(G) > G - liên thông nên G = P (X, Y ) Giả sử G Series Parallel với hai đỉnh đàu cuối v, w Khơng tính tổng quát giả sử (s, t) ∈ X Ta chứng minh bổ đề quy nạp theo kích cỡ X Nếu X = st G TTSP với đỉnh đầu cuối s, t Nếu X = S(A, B), khơng tính tổng qt giả sử st ∈ A Khi G = P (A, S(B, Y )) |A| ≤ |X| suy s, t hai đỉnh đầu cuối A hay s, t hai đỉnh đầu cuối G Nếu X = P (A, B), G = P (A, P (B, Y )) Vì |A| ≤ |X| nên s, t hai đỉnh đầu cuối A hay s, t hai đỉnh đầu cuối G Bổ đề 2.2.5 [5] Cho đồ thị Series Parallel G - liên thông Gọi X, Y hai khối đồ thị x, y hai đỉnh cắt thuộc hai khối Gọi s, t hai đỉnh X, Y kề với x y tương ứng Khi G TTSP với hai đỉnh đầu cuối s, t Chứng minh Vì G - liên thông nên G xây dựng cách tổng hợp chuỗi khối G Giả sử A, B hai khối G Theo bổ đồ 2.2.4, A B hai TTSP với đỉnh đầu cuối s, x y, t Để tổng hợp khối G dùng phép tổng hợp chuỗi nên G đồ thị TTSP với đỉnh đầu cuối s t Tổng hợp kết ta có định lý sau: 48 Định lý 2.2.2 [5] Bất kì đồ thị Series Parallel G TTSP với đỉnh đầu cuối chọn bổ đề 2.2.4 G - liên thông bổ đề 2.2.5 G không - liên thông 2.3 Thuật toán nhận dạng đồ thị Series - Parallel Trong phần chúng tơi trình bày thuật tốn để giải tốn: Cho đồ thị bất kì, kiểm tra xem đồ thị có phải Series - Parallel khơng? Nếu có ta đưa sp đồ thị 2.3.1 Ý tưởng thuật tốn Để giải toán nêu, ta làm cơng việc sau: Bước Tìm thành phần - liên thông G thuật toán Tarjan Vishkin (1985) [7] Bước Nếu đồ thị đầu vào rõ đỉnh đầu cuối ta chuyển sang bước Nếu khơng ta chọn đỉnh đầu cuối cho đồ thị định lý 2.2.2 Cụ thể: – Nếu G - liên thơng chọn (s, t) cạnh G – Nếu G không - liên thông, kiểm tra khối G có đường khơng? Nếu có ta gọi v, w hai đỉnh cắt hai khối (s, v) (t, w) hai cạnh hai khối Thêm cạnh (s, t) vào đồ thị ta thu đồ thị - liên thông Theo bổ đề 2.2.4, G Series Parallel s, t hai đỉnh đầu cuối G Bước Tìm phân tích tai ED mở G cạnh đơn (s, t) Điều thực thuật toán Maon et al (1986) [6] Bước Với đỉnh v , tính eED (v) tai mà v đỉnh Với tai Ei , tính eED (Ei ) tai có số lớn hai tai mà hàm eED tác động lên hai 49 đầu mút Ei Bước giúp ta xác định tai gắn thực tai (đây bước chuẩn bị cho bước 5) Bước Kiểm tra phân tích tai gắn kết đưa gắn kết cho tai (nếu có) (chi tiết bước trình bày mục 2.3.2) Bước Nếu đồ thị Series Parallel ta đưa sp đồ thị 2.3.2 Kiểm tra tính gắn kết Trong mục ta trình bày chi tiết bước 6, hai bước quan trọng thuật toán với cách giải tinh tế Ta giải hai vấn đề, vấn đề thứ làm để kiểm tra tính gắn kết phân tích tai? Vấn đề thứ hai ta mong muốn tìm nhị phân thể cấu trúc Series Parallel (cây sp) phải làm nào? Vấn đề 1: Để kiểm tra tính gắn kết phân tích tai, ta kiểm tra tính gắn kết tai phân tích đó, ta xử lí tai gắn thực tai cách độc lập với tai gắn tai khác cách sau: Ta xây dựng đường tai Hi cho tai Ei : • Hi chứa đỉnh Ei • Hi chứa cạnh Ei (các cạnh gọi đường dẫn - path edge) • Nếu Ej gắn thực Ei ta thêm cạnh vào Hi với hai đầu mút hai đầu mút tai Ej (cạnh gọi cạnh không nằm đường - non path edge) Từ hết mục này, nhắc đến "cạnh" "đỉnh" ta hiểu cạnh đỉnh Hi Khi để giải vấn đề ta kiểm tra tính gắn kết 50 Hi Nếu xây dựng gắn kết, ta thời gian logarit số xử lí tỉ lệ thuận với kích thước Hi Từ ví dụ 2.1.3 ta thấy rằng, không xây dựng đường tai Hi (có tai gắn thực khơng gắn Ei ) phân tích tai cần kiểm tra khơng gắn kết thuật tốn kết thúc Nếu xây dựng Hi ta tiếp tục kiểm tra tính gắn kết sau: Đánh số đỉnh Hi theo thứ tự từ hết (áp dụng thuật toán parallel list ranking algorith Anderson, Miller, 1988) [8] Với ei ∈ Hi , ta đặt M in(ei ) số nhỏ hai số tương ứng với hai đầu mút, M ax(ei ) số lớn hai số tương ứng với hai đầu mút Cạnh e gọi lồng cạnh f nến M in(e) ≥ M in(f ) M ax(e) ≤ M ax(f ) Với đỉnh ta chia danh sách cạnh kề đỉnh thành hai danh sách, danh sách cạnh xi (đi từ đỉnh có số thứ tự nhỏ đến đỉnh có số thứ tự lớn) danh sách cạnh ngược (đi từ đỉnh có số thứ tự lớn đến đỉnh có số thứ tự nhỏ) giả sử đường dẫn ln xếp trước trường hợp Móc nối danh sách cạnh ngược với từ đỉnh có số thứ tự nhỏ đến đỉnh có số thứ tự lớn ta danh sách cạnh Hi , ta xếp cạnh theo thứ tự tăng dần M ax(e) Với giá trị M ax đường dẫn xếp trước cạnh khác có giá trị, cịn có hai cạnh khơng nằm đường có giá trị M ax cạnh có M in nhỏ đứng sau Với cạnh khơng nằm đường e danh sách, ta đặt N est(e) cạnh f gần xuất trước e danh danh sách với M in(f ) ≤ M in(e) M ax(f ) < M ax(e) (thực nhờ thuật toán "All Nearest Smaller Value" [9]) Nếu e f có giá trị M in, M ax f xếp trước e danh sách 51 N est(e) = f Theo tiêu chuẩn tất đường dẫn lồng vào cạnh có chung hai đầu mút cạnh khơng nằm đường có đường dẫn lồng vào Ta nói g lồng trực tiếp e g lồng e cạnh f thỏa mãn g lồng f f lồng e Ví dụ 2.3.1 Cho tai Ei hình 2.8i, ta xây dựng đường tai Hi hình 2.8ii danh sách cạnh xuôi, ngược cho bảng 2.1 Móc nối danh sách ngược với xếp theo giá trị tăng dần M ax ta danh sách cạnh Hi là: e , e2 , e6 , e7 , e , e4 , e8 , e5 , e9 Ta xác định N est(e6 ) = e2 , N est(e7 ) = e1 , N est(e8 ) = e4 , N est(e9 ) = e8 Hình 2.8: Tai Ei đường tai Hi Bảng 2.1: Danh sách cạnh xuôi ngược đỉnh Hi Cạnh xuôi Cạnh ngược e , e7 e , e6 e3 e , e8 , e9 e5 e1 e , e , e7 e3 e4 , e8 e , e9