Giải các hệ thức truy hồi

V V a a n n H H o o a a C C h h u u y y ê ê n n     d d ã ã y y s s   - - G G i i   i i c c á á c c h h   t t h h   c c t t r r u u y y h h   i i v v a a n n h h o o a a @ @ l l q q d d q q t t . . c c o o m m T T r r a a n n g g 1 1 1 1 0 0 / / 1 1 / / 2 2 0 0 0 0 8 8 Copyright 2008 vanhoa Knowledge is power Chuyên  I. S lc v dãy s và quan h truy hi trong toán hc Trong toán hc, dãy s là mt danh sách (hu hn hoc vô hn) lit kê các s theo mt th t nào ó. Quan h truy hi là mt ng thc biu din dãy s mt cách  quy, mi phn t ca dãy c xác nh bi mt hàm s ca các phn t trc. Mt s quan h truy hi c xác nh mt cách n gin có th có nhng c tính ht sc phc tp, thnh thong c nghiên cu bi các nhà vt lý hc và thnh thong li c nghiên cu bi các nhà toán hc v mt lp ca toán hc c bit n vi cái tên gii tích phi tuyn. Phn này khá phc tp và không ng dng nhiu  chng trình THPT nên s không c  cp  chuyên  này. Mt cách t ng quát, h thc ( ) ( ) ( 1), ( 2), , ( 1) f n k g f n k f n k f n + = + − + − + (B.1) là mt h thc truy hi bc k. Công thc trên còn có th c viêt di dng: ( ) 1 2 1 , , , n k n k n k n f g f f f + + − + − + = Gii mt h thc truy hi có ngh!a là tìm mt hàm s không  quy theo bin n n gin nht. II. Gii h thc truy hi " chuyên  này chúng ta s ch xét 4 phng pháp c bn: • Phng pháp th • Phng pháp quy np • Phng pháp s dng nghim c trng • Phng pháp s dng hàm sinh 1. Phng pháp th Trong phng pháp th  gii các h thc truy hi cho ( ) f n , s truy hi ca ( ) f n c s dng lp i lp li nhiu ln  loi b# mi giá tr ca () f  v phi. $ hiu rõ hn phng pháp này, ta hãy xét mt s ví d. Ví d II.1.1 Xét dãy s ( ) n t xác nh nh sau: 1 * 2 1 | 0 | n n c n t c t n − =  =  + ∈   (II.1.1) Nu 2 n > thì 1 2 2 n n t c t − − = + , nu 3 n > thì 2 2 3 n n t c t − − = + ,… Nhng ng thc này là h qu trc tip ca (II.1.1) và c dùng  xác nh biu thc không truy hi cho n t : 2 1 2 2 2 2 2 2 3 2 0 2 1 , n n n n t c t c c t c c c t nc t nc c n − − − = + = + + = + + + = = + = + ∈  Nên chúng ta có th th%y r&ng 2 1 , n t nc c n = + ∈   V V a a n n H H o o a a C C h h u u y y ê ê n n     d d ã ã y y s s   - - G G i i   i i c c á á c c h h   t t h h   c c t t r r u u y y h h   i i v v a a n n h h o o a a @ @ l l q q d d q q t t . . c c o o m m T T r r a a n n g g 2 2 1 1 0 0 / / 1 1 / / 2 2 0 0 0 0 8 8 Ví d II.1.2 Xét h thc truy hi: ( ) * | 1 | , 2 c n t n n at nc n n b =   =    + ∈ ≥        (II.1.2) vi n là l'y th(a ca b. Gi s r&ng , k n b k = ∈  . Gii (II.1.2) b&ng phng pháp th cho ta: ( ) 2 2 2 2 3 2 2 3 3 2 3 4 4 4 4 1 1 1 n t n at nc b n n a at c nc b b n a a t nc nc b b n n a a at c nc b b b n a a a t nc nc b b b n n a a a at c nc b b b b n a t b   = +         = + +           = + +           = + + +                   = + + +                     = + + + +                     =   ( ) 3 2 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 i k k k i i k k i i k k i k i k i i a a a nc b b b n a a t nc b b a a t nc b a a c nc b a a nc nc b b a nc b − = − = − = − =       + + + +                 =       = +                   = +               = +                 = +                   =            0 k i=     Khi a b = , 0 1 i k i a k b =     = +            , khi a b ≠ , 1 0 1 1 k i k i a a b a b b + =   −         =           −  . V V a a n n H H o o a a C C h h u u y y ê ê n n     d d ã ã y y s s   - - G G i i   i i c c á á c c h h   t t h h   c c t t r r u u y y h h   i i v v a a n n h h o o a a @ @ l l q q d d q q t t . . c c o o m m T T r r a a n n g g 3 3 1 1 0 0 / / 1 1 / / 2 2 0 0 0 0 8 8 Vy, ta c: ( ) ( ) 1 1 | 1 , log | 1 k b nc k a b a t n k n b nc a b a b + + =        −     = =      ≠     −        Xét h thc ( ) ( ) * | n t n at g n n b   = + ∈      (I.1.3) vi a và b là nhng h&ng s ã bit. Gi s r&ng ( ) 1 t ã c bit. Rõ ràng, (I.1.3) tr thành (I.1.2) khi ( ) 1 t c = và ( ) g n nc = . Li s dng phng pháp th, ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 0 1 k k i i i n t n at g n b n n a at g g n b b n n a t ag g n b b n a t a g b − =   = +           = + +                 = + +         =     = +          Vi log b k n = . $ng thc này có th c làm n gin hn nh sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 0 1 1 1 1 k k i i i k k i k i i k k j j j n t n a t a g b a t a g n a t a g b − = − − = − =     = +         = +   = +        Do log log b b n a k a a n= = , nên biu thc cho ( ) t n tr thành: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) log 1 log log 1 log 1 1 1 1 b b b b k a j j j j k a a j j k a j j t n n t a g b g b n t b n t h b − = = =   = +             = +           = +        V V a a n n H H o o a a C C h h u u y y ê ê n n     d d ã ã y y s s   - - G G i i   i i c c á á c c h h   t t h h   c c t t r r u u y y h h   i i v v a a n n h h o o a a @ @ l l q q d d q q t t . . c c o o m m T T r r a a n n g g 4 4 1 1 0 0 / / 1 1 / / 2 2 0 0 0 0 8 8 Vi ( ) ( ) ( ) log b j j a j g b h b b = . Vy cui cùng biu thc cho ( ) t n ca chúng la là ( ) ( ) ( ) ( ) log 1 b a t n n t f n = + vi ( ) ( ) ( ) 1 k j j f n h b = =  . Xét mt s tr)ng hp riêng ca (II.1.3): • 1, 2, ( ) a b g n c = = = cho ta ( ) 2 n t n t c   = +     , lúc này log 0 b a = và ( ) ( ) log b a g n h n c n = = . T( công thc trên, ta c ( ) ( ) ( ) ( ) log 2 2 1 log 1 log b a t n n t c n t c n = + = + • ( ) 2 7, 2, 18 a b g n n = = = cho ta ( ) 2 7 18 2 n t n t n   = +     , lúc này 2 log log 7 b a = và ( ) 2 2 2 2 log 7 log 7 18 18 n h n n n − = = , công thc cho ( ) t n là ( ) ( ) ( ) 2 2 2 log 7 log 7 1 1 18 2 k j j t n n t − =   = +      ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 log 7 1 2 log 7 2 log 7 log 7 log 7 2 log 7 1 2 2 1 18 2 1 18 2 1 k k j j n t n t − + − − − =     − = + = +       −      . • ( ) 6 9, 3, 4 a b g n n = = = cho ta ( ) 6 9 4 3 n t n t n   = +     , lúc này log 2 b a = và ( ) 6 4 2 4 4 n h n n n = = , nên ( ) ( ) ( ) ( ) 3 log 1 4 2 2 1 81 81 1 4 3 1 20 n k j j t n n t n t + =     − = + = +           2. Phng pháp quy np Quy np là mt phng pháp kim tra hn là mt phng pháp gii. Xét các ví d: Ví d II.2.1 Xét h thc truy hi * 1 2 | 0 3 | n n n t t n − =  =  + ∈   C s cho vic quy np là, khi 0, 2 n n t = = và 3n + 2 = 2. Gi s r&ng 3 2, m t m m = + ∈  , chúng ta s chng minh ( ) 1 3 1 2 m t m + = + + , iu này hin nhiên úng theo h thc truy hi.  Nh ã c  cp  trên, phng pháp quy np không th dùng  tìm ra l)i gii cho mi h thc truy hi, nó ch có th dùng  kim tra tính úng *n mt h thc. 3. Phng pháp nghim c trng H thc truy hi ca ( ) f n là mt phng trình truy hi tuyn tính nu và ch nu nó có dng: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 k i i f n g n f n i g n = = − +  vi ( ) | 1, i g n i k = và ( ) g n là các hàm s bin n mà không phi là hàm s bin f. H thc truy hi xác nh nh trên là phng trình truy hi tuyn tính bc k, vi k là h&ng s và ( ) 0 k g n ≠ . Nu ( ) 0, k g n n = ∀ thì bc ca phng trình truy hi tuyn tính ó nh# hn k. Mt phng trình truy hi tuyn tính vi h s hng là phng trình có dng: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 , k f n a f n a f n a f n k g n n k = − + − + + − + ≥ (II.3.1) Vi | 1, i a i n = là h&ng s, ( ) g n là hàm s bin n mà không phi là hàm s bin f. (II.3.1) là mt ca phng trình truy hi tuyn tính thun nht nu và ch nu ( ) 0 g n ≡ . Phn ln các h trc truy hi chuyên  này ã  cp n u là phng trình truy hi tuyn tính vi h s hng. V V a a n n H H o o a a C C h h u u y y ê ê n n     d d ã ã y y s s   - - G G i i   i i c c á á c c h h   t t h h   c c t t r r u u y y h h   i i v v a a n n h h o o a a @ @ l l q q d d q q t t . . c c o o m m T T r r a a n n g g 5 5 1 1 0 0 / / 1 1 / / 2 2 0 0 0 0 8 8 H thc (II.1.2): ( ) * | 1 | , 2 c n t n n at nc n n b =   =    + ∈ ≥        vi n là l'y th(a ca b không phi là mt phng trình truy hi tuyn tính bc k vi h&ng s k nào bi vì s xu%t hin ca n t b        v phi. Tuy nhiên, vì n là l'y th(a ca b nên (II.1.2) có th vit li: ( ) ( ) 1 * | 1 | k k k c n t b at b cb k − =   =  + ∈    Dùng ( ) h k  biu din ( ) k t b , h thc trên tr thành: ( ) ( ) * | 1 1 2 | k c n h k ah k c k =   =  − + ∈    D th%y h thc trên là mt phng trình truy hi tuyn tính không thun nht bc 1 vi h s hng. Do ( ) ( ) ( ) k h k t b t n = = , vic gii h thc tuyn tính tng ng vi vic gii h thc trên. H thc ( ) ( ) ( ) * 1 2 | , 2 t n t n t n n n = − + − ∈ ≥  Xác nh các s Fibonacci khi s dng iu kin ( ) ( ) 0 0, 1 1 t t = = . $ây là mt phng trình truy hi tuyn tính thun nht bc 2 vi h s hng. Nhng h thc trên có th c gii b&ng cách trc tiên xác nh mt nghim chung cho ( ) t n . Nghim chung này cha mt s h s cha xác nh và vi các giá tr ca ( ) ( ) ( ) 0 , 1 , , 1 t t t k − , chúng ta có th xác nh c các h s cha xác nh ó. L%y ví d h thc ( ) ( ) ( ) * 5 1 6 2 | , 2 t n t n t n n n = − − − ∈ ≥  , nghim chung ca nó là ( ) 1 2 2 3 n n t n c c = + (chúng ta s tìm hiu cách tìm nghim chung này sau), các d s cha xác nh là 1 c và 2 c . Nu ( ) 0 0 t = và ( ) 1 1 t = , chúng ta có th th vào ( ) 1 2 2 3 n n t n c c = +  xác nh 1 c và 2 c . Vic này cho ta ( ) 1 2 0 0 f c c = + = và ( ) 1 2 1 2 3 1 f c c = + = Do ó 1 2 1, 1 c c = = − . Vì vy, ( ) 2 3 , 0 n n t n n = − ≥ là nghim ca h thc ( ) ( ) ( ) 5 1 6 2 t n t n t n = − − − . Nghim chung ca (II.3.1) có th biu din di dng t ng ca ( ) h f n và ( ) p f n , vi ( ) h f n là nghim chung cho phn thun nh%t ca (II.3.1): ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 , h h h k h f n a f n a f n a f n k n k = − + − + + − ≥ và ( ) p f n là nghim riêng ca ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 , p p p k p f n a f n a f n a f n k g n n k = − + − + + − + ≥ Nhn th%y r&ng ( ) ( ) h p f n f n + là mt nghim ca (II.3.1). Do phng pháp ta s dùng  xác nh ( ) p f n s cho chúng ta mt biu thc ( ) p f n có th không phi là nghim ca phng trình ( ) f n . Nên vic tìm ( ) h f n  cng vào ( ) p f n là iu cn thit. V V a a n n H H o o a a C C h h u u y y ê ê n n     d d ã ã y y s s   - - G G i i   i i c c á á c c h h   t t h h   c c t t r r u u y y h h   i i v v a a n n h h o o a a @ @ l l q q d d q q t t . . c c o o m m T T r r a a n n g g 6 6 1 1 0 0 / / 1 1 / / 2 2 0 0 0 0 8 8 Tìm ( ) h f n $ xác nh ( ) h f n chúng ta cn phi gii h thc tuyn tính dng: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 h h h k h f n a f n a f n a f n k = − + − + + − Hay ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 0 h h h k h f n a f n a f n a f n k − − − − − − − = (II.3.1.1) Nhn th%y r&ng (II.3.1.1) có mt nghim dng ( ) n h f n Ax = . Th vào (II.3.1.1), ta c: ( ) 1 2 1 2 0 n n n n k k A x a x a x a x − − − − − − − = Ta có th gi s 0 A ≠ , khi ó ta c 1 0 k n k k k i i i x x a x − − =   − =      Phng trình trên có n nghim (trong ó có n – k nghim là 0). K nghim còn li ca nó là nghim ca phng trình 1 2 1 2 0 k k k k x a x a x a − − − − − − = (II.3.1.2) Phng trình (II.3.1.2) gi là phng trình c trng ca (II.3.1.1) . Trong  phong trình trên có úng k nghim. Ta ch xét tr)ng hp nó có úng k nghim trong  . Nghim ca phng trình c trng 2 5 6 0 x x − + = là 2 và 3. Phng trình c trng 3 2 8 21 18 0 x x x − + − = (II.3.1.3) có các nghim là 1 2 3 2, 3, 3 r r r = = = , vi 3 là nghim bi 2. Các nghim phân bit ca nó là 2 và 3. inh lý 1. Gi s các nghim phân bit ca phng trình c trng 1 2 1 2 0 k k k k x a x a x a − − − − − − = ca h thc tuyn tính thun nht ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 h h h k h f n a f n a f n a f n k = − + − + + − là 1 2 , , , s t t t vi s k ≤ . Tn ti mt nghim chung ca ( ) h f n có dng: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 h s f n u n u n u n = + + + vi ( ) ( ) 0 1 2 w-1 2 1 w n i i i i i i u n c c n c n c n t − = + + + +  ây, t i là nghim bi w. Phng trình c trng ca phng trình truy hi ( ) ( ) ( ) * 5 1 6 2 | , 2 t n t n t n n n = − − − ∈ ≥  Là 2 5 6 0 x x − + = Nghim ca phng trình c trng này là 2 và 3. nh lý 1 cho ta ( ) ( ) ( ) 1 2 t n u n u n = + vi ( ) 1 1 2 n u n c = , ( ) 2 2 3 n u n c = , Do ó, ( ) 1 2 2 3 n n t n c c = + . (II.3.1.3) là phng trình c trng ca h thc truy hi thun nht sau: ( ) ( ) ( ) ( ) 8 1 21 2 18 3 f n f n f n f n = − − − + − Phng trình ó có 2 nghim phân bit là 1 2 r = và 2 3 r = , vi 2 r là nghim bi 2. Nên, ( ) 1 1 2 n u n c = , và ( ) ( ) 2 2 3 3 n u n c c n = + . Nghim chung ca h thc truy hi trên là ( ) ( ) 1 2 2 2 3 n n f n c c c n = + +  V V a a n n H H o o a a C C h h u u y y ê ê n n     d d ã ã y y s s   - - G G i i   i i c c á á c c h h   t t h h   c c t t r r u u y y h h   i i v v a a n n h h o o a a @ @ l l q q d d q q t t . . c c o o m m T T r r a a n n g g 7 7 1 1 0 0 / / 1 1 / / 2 2 0 0 0 0 8 8 Dãy truy hi cho các s Fibonacci là thun nht và có phng trình c trng 2 1 0 x x − − = . Các nghim ca nó là 1 1 5 2 r − = và 2 1 5 2 r + = . Do các nghim này phân bit, nên ( ) 1 1 1 5 2 n u n c   − =       và ( ) 2 2 1 5 2 n u n c   + =       . Vì vy ( ) 1 2 1 5 1 5 2 2 n n F n c c     − + = +             Là nghim chung ca dãy Fibonacci. S dng iu kin ( ) 0 0 F = và ( ) 1 1 F = , ta c 1 2 0 c c + = và 1 2 1 5 1 5 1 2 2 c c     − + + =             . Gii cho 1 2 , c c ta c 1 2 1 1 , 5 5 c c= − = . Nên các s Fibonacci thõa mãn ng thc ( ) 1 1 5 1 1 5 2 2 5 5 n n F n     − + = − +              $nh lý 1 cho chúng ta mt phng pháp n gin xác nh nghim chung ca b%t k+ h thc truy hi tuyn tính tun nht bc k vi h s hng. Chúng ta ch cn xác nh các nghim ca phng trình c trng ca nó, Tìm ( ) p f n Hin cha có phng pháp chung  xác nh nghim riêng ( ) p f n . Biu thc ca ( ) p f n ph thuc r%t nhiu vào ( ) g n . Chúng ta ch xét 2 tr)ng hp: • ( ) g n là mt a thc bin n • ( ) g n là hàm s m' theo bin n Tìm ( ) p f n khi ( ) g n là a thc theo bin n Khi ( ) 0 g n = , nghim riêng ( ) 0 p f n = . Khi ( ) 1 , 0 d i i d i g n e n e = = ≠  , nghim riêng ( ) p f n có dng ( ) 2 0 1 2 d m p d m f n p p n p n p n + + = + + + + (III.3.2.1.1) Vi 0 m = nu 1 không là nghim ca phng trình c trng, và nu 1 là nghim ca phng trình c trng thì m = k vi 1 là nghim bi k ca phng trình c trng. $ xác nh 0 2 , , , d m p p p + , ta th ( ) p f n vào h thc truy hi ri áp dng tính ch%t ca ng nh%t thc. Xét ví d ( ) ( ) ( ) 3 1 6 2 3 2 u n u n u n n = − + − + + (III.3.2.1.2) Có ( ) 3 2 g n n = + , phng trình c trng ca nó là 2 3 6 0 x x − − = . Phng trình này không có nghim 1 x = nên 0 m = , nghim riêng ca (III.3.2.1.2) có dng ( ) 0 1 p f n p p n = + . Th vào (III.3.2.1.2), ta c: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 3 1 6 2 3 2 3 3 3 6 6 12 3 2 9 15 2 9 3 , , 2 p p n p p n p p n n p np p p np p n p p p n n n + = + − + + − + + = + − + + − + + = − + + + ∀ ∈ ≥  V V a a n n H H o o a a C C h h u u y y ê ê n n     d d ã ã y y s s   - - G G i i   i i c c á á c c h h   t t h h   c c t t r r u u y y h h   i i v v a a n n h h o o a a @ @ l l q q d d q q t t . . c c o o m m T T r r a a n n g g 8 8 1 1 0 0 / / 1 1 / / 2 2 0 0 0 0 8 8 So sánh 2 v ca ng thc trên, ta c 0 0 0 1 1 1 1 61 9 15 2 64 3 9 3 8 p p p p p p p  = −  = − +   ⇔   = +   = −   Do ó mt nghim riêng ca (III.3.2.1.2) là ( ) 61 3 64 8 p f n n = − −  Xét dãy s ( ) ( ) ( ) 2 1 2 6 f n f n f n = − − − − (III.3.2.1.3) Phng trình c trng tng ng ca nó là 2 2 1 0 x x − + = , nghim ca nó là 1 2 1 r r = = . Nên, ( ) p f n có dng: ( ) 2 0 1 2p f n p p n p n = + + Th vào (III.3.2.1.3), ta c: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 2 0 2 1 2 2 1 1 2 2 6 2 6 , , 2 p p n p n p p n p n p p n p n p p p n p n n n + + = + − + − − + − + − − = − − + + ∀ ∈ ≥  So sánh 2 v, ta c 0 0 2 2 2 6 3 p p p p = − −  = − , nên ( ) 2 0 1 3 p f n p p n n = + − , mt khác ( ) ( ) 0 1 1 n h f n c c n = + , vy ( ) 2 2 0 1 0 1 2 3 3 3 f n p p n n c c n c c n n = + − + + = + − vi 2 3 , c c là các h&ng s, có th xác nh t( các giá tr ca ( ) 0 f và ( ) 1 f .  Tìm ( ) p f n khi ( ) g n là hàm s m theo bin n Khi ( ) n g n ca = vi c và a là h&ng s, thì nghim riêng ( ) p f n có dng ( ) ( ) 2 0 1 2 w n p w f n p p n p n p n a = + + + + Vi 0 w = nu a là nghim ca phng trình c trng, và b&ng k vi a là nghim bi k ca phng trình c trng. Xét h thc truy hi ( ) ( ) ( ) 3 1 2 4 6 2 n f n f n f n = − + − − ⋅ (III.3.2.1.4) H thc truy hi thun nh%t tng ng là: ( ) ( ) ( ) 3 1 2 4 h h h f n f n f n = − + − Phng trình c trng ca nó là: 4 3 3 2 0 x x − − = D dàng kim tra x = 2 không phi là nghim ca nó, vì vy nghim riêng ca (III.3.2.1.4) có dng: ( ) 0 2 n p f n p = Th vào (III.3.2.1.4) ta c: 1 4 0 0 0 4 3 4 0 0 0 0 0 0 0 2 3 2 2 2 6 2 , , 4 2 3 2 2 6 2 , , 4 16 24 2 96, , 4 48 5 n n n n p p p n n p p p n n p p p n n p − − = + − ⋅ ∀ ∈ ≥ ⇔ = + − ⋅ ∀ ∈ ≥ ⇔ = + − ∀ ∈ ≥ ⇔ =    Nên mt nghim riêng ca (III.3.2.1.4) là ( ) 48 2 5 n p f n ⋅ = .  V V a a n n H H o o a a C C h h u u y y ê ê n n     d d ã ã y y s s   - - G G i i   i i c c á á c c h h   t t h h   c c t t r r u u y y h h   i i v v a a n n h h o o a a @ @ l l q q d d q q t t . . c c o o m m T T r r a a n n g g 9 9 1 1 0 0 / / 1 1 / / 2 2 0 0 0 0 8 8 Xét h thc truy hi ( ) ( ) ( ) 5 1 6 2 4 3 n f n f n f n = − − − + ⋅ (III.3.2.1.5) Phng trình c trng ca h thc truy hi thun nh%t tng ng là 2 5 6 0 x x − + = , có nghim 1 2 2, 3 r r = = . Do 3 là nghim bi 1 (nghim n) ca phng trình c trng nên nghim riêng ca nó có dng: ( ) ( ) 0 1 3 n p f n p p n = + Th vào (III.3.2.1.5) ta c: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 0 1 0 1 0 1 3 5 1 3 6 2 3 4 3 , , 2 n n n n p p n p p n p p n n n − − + = + − − + − + ⋅ ∀ ∈ ≥  Chia 2 v cho 2 3 n − , ta c: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 1 0 1 0 1 0 1 1 3 5 1 3 6 2 4 3 9 3 36 9 , , 2 p p n p p n p p n p p p n n n + = + − − + − + ⋅ = − + + ∀ ∈ ≥ So sánh 2 v, ta th%y 0 0 1 1 9 9 3 36 12 p p p p = − + ⇔ = . Mt nghim riêng ca (III.3.2.1.5) là: ( ) ( ) 0 12 3 n p f n p n = + Mt khác, nghim chung ca phn thun nh%t ca nó là: ( ) 1 2 2 3 n n h f n c c = + Vy nên nghim chung ca nó là: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 0 1 3 2 3 12 3 2 3 12 3 h p n n n n n n f n f n f n c c p n c c n = + = + + + ⋅ ⋅ = + + ⋅ ⋅ Cho 2 giá tr u, ( ) 0 f và ( ) 1 f , ta s tính c giá tr ca 1 c và 3 c .  Tìm kt quá cui cùng Chúng ta ã bit ( ) ( ) ( ) h p f n f n f n = + là nghim chung ca h thc truy hi: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 , k f n a f n a f n a f n k g n n k = − + − + + − + ≥ (II.3.3.1) S dng các giá tr ban u ( ) ( ) ( ) ( ) 0 , 1 , 2 , , 1 f f f f k − , chúng ta có th tìm c k h&ng s cha xác nh trong ( ) ( ) h p f n f n +  nhn c kt qu duy nh%t vi mi b giá tr ban u cho h thc trên. Tóm tt Phng pháp nghim c trng dùng  gii h thc (II.3.3.1) bao gm các bc sau: 1. Vit phng trình c trng: 1 0 k k k i i i x a x − = − =  2. Xác nh các nghim phân bit 1 1 , , , s t t t ca phng trình c trng, vi i t là nghim bi , 1, i m i n = . 3. Xác nh nghim chung ( ) h f n ca h thc thun nh%t tng ng. ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 h s f n u n u n u n = + + + vi ( ) ( ) 0 1 2 w-1 2 1 w n i i i i i i u n c c n c n c n t − = + + + + , i w m = . 4. Xác nh nghim riêng ( ) p f n . • Nu ( ) 0 g n = , thì ( ) 0 p f n = . V V a a n n H H o o a a C C h h u u y y ê ê n n     d d ã ã y y s s   - - G G i i   i i c c á á c c h h   t t h h   c c t t r r u u y y h h   i i v v a a n n h h o o a a @ @ l l q q d d q q t t . . c c o o m m T T r r a a n n g g 1 1 0 0 1 1 0 0 / / 1 1 / / 2 2 0 0 0 0 8 8 • Khi ( ) 1 , 0 d i i d i g n e n e = = ≠  , nghim riêng ( ) p f n có dng ( ) 2 0 1 2 d m p d m f n p p n p n p n + + = + + + + (III.3.2.1.1) Vi 0 m = nu 1 không là nghim ca phng trình c trng, và nu 1 là nghim ca phng trình c trng thì m = k vi 1 là nghim bi k ca phng trình c trng. • Khi ( ) n g n ca = vi c và a là h&ng s, thì nghim riêng ( ) p f n có dng ( ) ( ) 2 0 1 2 w n p w f n p p n p n p n a = + + + + Vi 0 w = nu a là nghim ca phng trình c trng, và b&ng k vi a là nghim bi k ca phng trình c trng. 5. Nu ( ) 0 g n ≠ , s dng ( ) p f n  trên  loi b# t%t c các ( ) f n i − trong (II.3.3.1) b&ng cách thay th ( ) p f n i − cho ( ) f n i − . Sau ó s dng tính ch%t ca ng nh%t nhc  xác nh càng nhiu càng tt các h s cha bit. 6. Ghi ra kt qu, ( ) ( ) ( ) h p f n f n f n = + . Gii h s dng các giá tr ban u ( ) ( ) ( ) ( ) 0 , 1 , 2 , , 1 f f f f k −  tìm t%t c các h s cha bit còn li. nh lý 2. Sáu bc trên luôn tìm c nghim duy nht cho h thc (II.3.3.1) vi các giá tr khi u cho trc. Ví d II.3.5.1. Phng trình c trng ca h thc truy hi tuyn tính thun nht bc 2: 1 2 6 4 | , 2 n n n u u u n n − − = − ∈ ≥  Là 2 6 4 0 x x − + = Có 2 nghim phân bit 1 2 3 5, 3 5 x x= − = + Nên ( ) ( ) 1 2 3 5 3 5 | n n n u c c n = − + + ∈  Gi s r&ng ta có 0 0 u = và 1 4 5 u = , vy thì ta có h: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 1 1 2 3 5 3 5 0 2 4 5 3 5 3 5 2 3 5 3 5 u c c c c c c c c u c c  = − + + = +  = −    ⇔ ⇔    = − + + =    = − + +   Vy biu thc ca n u là ( ) ( ) 2 3 5 2 3 5 | n n n u n = − − + + ∈   Ví d II.3.5.2. Xét h thc 2 1 2 5 | 0 2 9 | 1 2 5 6 3 | , 2 n n n n u n u u n n n − −  =    = =    − + ∈ ≥    Phng trình c trung cho phn thun nh%t là: 2 5 6 0 x x − + = Nghim ca nó là 1 2 2, 3 x x = = Vì vy nghim chung cho phn thun nh%t là 1 2 2 3 | n n n h c c n = + ∈  [...]... = 2 tìm d ng t )ng minh c a 1 (1 − z ) n | n∈ * Chúng ta s s m bi t r&ng, hàm sinh có th dùng gi i các quan h h i quy Nh ng u tiên, chúng ta hãy tìm hi u v các phép toán trên các hàm sinh Các phép toán trên hàm sinh C ng và tr : N u G1 ( z ) = ci z i và G2 ( z ) = di z i là các hàm sinh t ng ng v i các hàm f1 và f 2 , i≥0 i≥0 thì hàm sinh ng v i f1 ± f 2 là ( ci ± di ) z i , là h qu tr c ti p t( nh... cách l%y tích phân c a f ( n ) = 1 , t( ví d II.4.2, ta có: 1 = 1− u (II.4.1.5) * có th c xác nh b&ng ui i≥0 Vì v y, z 1 du = 1− u 0 z u i du i≥0 0 = i≥0 = i >0 1 i +1 z z +1 1 i z z Nh ng z 1 du = − ln (1 − z ) 1− u 0 0|n = 0 Nên hàm sinh c a hàm s f ( n ) = 1 là − ln (1 − z ) | n∈ * n ng d ng gi i các h th c truy h i Ph ng pháp s d ng hàm sinh gi i các h th c truy h i s c minh h a rõ nh%t b&ng cách... b&ng cách l%y m t ví d Xét h th c truy h i: 0 |n=0 F ( n) = 2 F ( n − 1) + 7 | n ∈ * vanhoa@lqdqt.com Trang 15 10/1/2008 VanHoa Nh ng b Chuyên dãy s - Gi i các h th c truy h i c gi i các h th c truy h i b&ng hàm sinh là: 1 G i G ( z ) = ai z i là hàm sinh c a hàm F ( n ) , v y thì ai = F ( i ) , ∀i ∈ i ≥0 2 Thay th t%t c F ( n ) , F ( n − 1) , F ( n − 2 ) , b i các ai t b c 2 ta s 3 Nhân 2 v c a... + n 2 − 4n − 4 = 0 7 u0 = a, u1 = b, 2un + 2 + un +1 − 10un − 3n − n3 + n 2 − 2n − 1 = 0 vanhoa@lqdqt.com Trang 20 10/1/2008 VanHoa Chuyên Chuyên v vi c gi i các quan h truy h i k t thúc li u tham kh o b" ích cho b n c dãy s - Gi i các h th c truy h i ây Hy v ng r ng chuyên này s! là m t tài Vanhoa Ki n th c ch có c qua t duy c a con ng i - A Einstein (1879–1954) Tham kh o A general method for solving... vanhoa@lqdqt.com Trang 16 c b c 6 H s này là 7zn n ≥1 10/1/2008 VanHoa Chuyên dãy s - Gi i các h th c truy h i H s c a z n trong tích c a hai chu i trên là : n 7 ⋅ 2n −i = 7 ( 2n − 1) an = i =1 F ( n ) = 7 ( 2 n − 1) , n ∈ Nên, M t vài ví d ti p ây s minh h a rõ h n k! thu t này Ví d II.4.2.1 Chúng ta hãy xét dãy các s Fibonacci: Fn = Fn −1 + Fn − 2 , ∀n ∈ * , n ≥ 2 V i F0 = 0, F1 = 1 $ t G ( z) = ai... 1+ 5 2 n i 1− 5 − 2 1− 5 − 2 Trang 17 1− 5 2 i zi i zi n , ∀n ≥ 0 10/1/2008 VanHoa Chuyên Ví d II.4.2.2 Xét dãy: $ t G ( z) = 0 tn = dãy s - Gi i các h th c truy h i |n=0 atn −1 + bn | n ≥ 1 ci z i là hàm sinh c a hàm tn , thì ci = ti , i ≥ 0 T( công th c truy h i c a dãy, ta có: i≥0 cn = acn −1 + bn, ∀n ≥ 1 Nhân 2 v v i z r i l%y t ng t( n = 1 n +∞ cho ta: n cn z n = a n ≥1 cn −1 z n + bnz n n ≥1... n +1 ( 3 − 2n − 3) − 6 ⋅ 3n−1 − 4 ( 2n+1 − n − 2 ) + 4 ⋅ 2n−1 2 5 ⋅ 3n 7 = − 3 ⋅ 2n +1 + n + 2 2 n 5⋅3 7 un = − 3 ⋅ 2n +1 + n + 2 2 = Cu i cùng m)i các b n hãy t gi i m t s bài toán sau n*m ch*c h n các ph Tìm s h ng t ng quát c a dãy s ( un ) trong các tr )ng h p sau sau: ng pháp nêu trên: 1 u1 = a , un +1 = a + bun 1 2 u0 = a, u1 = b, un + 2 = ( un +1 + un ) 2 3 u0 = 1, u1 = 2, u2 = 3, un +3 =... bi u th c t ng i +1 ai z i i 1 i i az i ≥1 i 1 i i az i≥0 i ! ng minh và chu i l y th a t ng ng ng ch ch a G ( z ) , z và m t s h u h n các ai Cho m t h th c truy h i b c k s ch còn l i a0 , a1 , , ak −1 " ví d này là: G ( z ) − a0 = 2 zG ( z ) + 7zn n ≥1 5 Thay th các giá tr ã bi t a0 , a1 , , ak −1 ( ai = F ( i ) ) : G ( z ) = 2 zG ( z ) + 7zn n ≥1 6 Gi i ph ng trình tìm G ( z ) t( ng th c nh n c... Nghi m chung c a h th c ban vanhoa@lqdqt.com p0 = 10 p0 − 37 p0 + 60 p0 − 36 p0 + 4 p0 = 1 u s là: f h ( n ) = ( c1 + c2 n ) 2n + ( c3 + c4 n ) 4n + 1 Trang 11 10/1/2008 VanHoa Chuyên dãy s - Gi i các h th c truy h i Th n = 0, n = 1, n = 2, n = 3 và s d ng f ( 0 ) = f (1) = f ( 2 ) = f ( 3) = 1 , ta c c1 + c3 = 0 2c1 + 2c2 + 3c3 + 3c4 = 0 ⇔ c1 = c2 = c3 = c4 = 0 4c1 + 8c2 + 9c3 + 18c4 = 0 8c1 + 24c2... ng 2 v c a t%t c các n mà an z n = 2 n ≥1 ví d này sau khi th c hi n * an = 2an −1 + 7, ∀n ∈ ng th c nh n ng ng, 7zn an −1an z n + n ≥1 ng th c còn n ≥1 D ng t )ng minh 1 (1 − az ) Chu i l'y th(a −1 ai z i i≥0 2 (1 − az ) −2 ( i + 1) a i z i i≥0 n i i az i m 3 (1 − az ) i =0 n m= ( −1) ln (1 + az ) 4 n |n≥0 +∞ | n < 0 i ≥1 5 − ln (1 − az ) 6 eaz B ng 1 M t s d ng t 4 Thay th t%t c các t ng ch a ai . v v a a n n h h o o a a @ @ l l q q d d q q t t . . c c o o m m T T r r a a n n g g 1 1 1 1 0 0 / / 1 1 / / 2 2 0 0 0 0 8 8 Copyright 2008 vanhoa Knowledge is power Chuyên  I. S lc v dãy s và quan h truy hi trong toán