Giáo trình Phương pháp tính và Matlab - Lý thuyết, bài tập và chương trình minh họa: Phần 2

CHƯƠNG P hương ph p số tr o n g ĐẠI s ố TUYẾN TÍNH §1 MỞ Đ Ầ U V Ề H Ệ DẠI SÔ T U Y Ế N T ÍN H 1.1 Đ ật vấn đề rong T thực tế, nhiều mơ hình tốn học dẫn đến việc tìm nghiệm hệ đại số tuyến tính: + ^ ^ + ' ■ 4" Oỉl^l + Q m l^ l + o.\nx n ■ ữ2nxn CL22X2 + •• + Qm2%2 + • 4~ O-mn^n O l ,n + l = ô2,71+1 = đ m ,n + tro n g a,j e R Vi, j số thực cho (hoặc tìm đươc tro n g mơ hình to án học có th ể q u a n s t được) N ghiêm hệ (4.1) m ột bơ số thực (hoặc phức) có th ứ tự cho thay vào (4.1) đồng n h ấ t thức Hệ (4.1) có th ể viết dưói dạng m a trận: Ax — b, (4.2) 105 https://tieulun.hopto.org 106 Chương Phương pháp vSố đại số tuyến tín h tro n g ú, ô12 ô22 ãã ô in ãã ô2 n đml ôm2 ãã ômn 11 A= ô21 • b = («!,„+!, «2,„+ , • • e Rmxn m a trà n số; 71+1 )‘ € Rm vectơ (cột) vế phải; • X = ( x \ , X , ■■ x„y e Rn vectơ nghiêm cần tìm T rường hợp m = n (số phương trìn h số ẩn) th ì A ma trâ n vng cấp n T rong giáo trìn h ta đề cập đến trường hơp 77? - n trư n g hợp m Ỷ n có ta xét cụ thể 1.2 P hư ơng p h áp Cramer Xót hộ phương tr ìn h đai số tuyến tính: Ax = b, (4.3) tro n g A m a tr ậ n vuông cấp n Ta biết, điều kiên cần đủ (lể hệ (4.3) tồn tạ i n h ấ t nghiêm A m a trâ n không suy biỗn (dct A Ỷ 0) Khi đó, nghiệm n h ấ t X* € R" tín h cơng thức X* = A~lb, (4.4) theo công thức C ram er (đã xét giáo trìn h đại số tuvến tính): •r* = ậ , i = T7n; (4.5) tro n g A = det A A, định thức m a trậ n n h â n đươc từ A cách th a y cột th ứ i cột b N hư vậy, m uốn giải hệ phương trìn h (4.3) phương pháp C ram er, ta phải tín h 7 + đ in h thức cấp n Mỗi định thức cấp n tín h theo khai triển Laplace cần n! — phép cộng (trừ ) 7?!(n - 1) phép nhân Vây với n phương trìn h n ẩ n cần (n + l)(n! — ) = (n + )! — (n + ) phép cộng n!(n — ) phép n h â n , ngồi cịn n phép chia để tìm nghiệm theo cơng https://tieulun.hopto.org Phương pháp giải chương trình Mat Lab 107 thức (4.5) S au ta nêu m ột vài bố liệu để th rằ n g kh i n tă n g th ì so phép tín h tă n g r â t n h a n h tới mức k h ả n ăn g tín h tốn, sử dung n h ữ n g m áy tín h đai n h ấ t (b ản g 4.1) a Số p h é p n h â n Số p h é p c ộ n g 360 115 10 2880 359,251,810 716 39.916,791 B ả n g 4.1 Đổ kh ắc phục khối lượng tín h tốn, ta xét m ột vài phương p h áp giải đ ú n g giải g ầ n sau §2 P h n g p h p g iả i đ ú n g CHƯƠNG T R ÌN H M a T L A B Các phương p h p sau cho phép tìm nghiệm N ghiệm gần th u quy trịn số sinh q trìn h tín h tốn 2.1 P hư ơng pháp G auss Nội dung củ a phương pháp loại trừ ẩn, nhằm giảm khối lương tín h tốn Phương p h p G auss thực qua hai q u trìn h th u ậ n nghịch để tìm nghiệm hệ đại số tuyến tính, p ể cách trìn h bày đươc đơn giản, ta xét bốn phương trìn h bốn ẩn « O n X i + n 12X2 + X + 014X4 = O i5 O21X1 + 02 X + O23X3 + 024X4 = 031X1 + 03 X - f 033X3 + 034X4 = 035 041X1 + X + 043X3 + 044X4 — 045 Ta ln có th ể giả th iế t n Ỷ Trường hơp O ii 25 (4.6) = , hệ (4.6) ắ t phải có n h ấ t m ột p h ầ n tử 0,1 Ỷ 0' (i = 2,3,4) C hẳng h ạn 031 Ỷ 0, đổi chỗ phương trìn h th ứ ba cho phương trìn h đ ầ u đánh số lại ta Oii 7^ https://tieulun.hopto.org 108 Chương Phương pháp số đại số tuyến tính 2.1.1 Q u t r ì n h t h u ậ n Đ ưa (4.6) d ạn g có m a trậ n hệ số d ạn g ta m giác trê n Bước 1: Giữ nguyên phương trìn h đ ầu hệ (4.6) T phương trìn h th ứ h trỏ đi, hệ số, kể vế p h ải biến đổi th eo công thức: aịj1} = Oý (lil &lj , i — 2,3 4; j — 2,3, 4,5 ttll (4.7) (1) O i i « n A n A «à = ,1 -= , I - ,3,4; ơn nghĩa là, ẩn £i hệ (4.6) loại trừ khỏi phương trìn h th ứ hai, ba tư K ết th ú c bưóc m ột ta th u đươc hệ o n £ ' i + i2 £ '2 + i3 £ + O14X4 (1) , 022X2 + (1) , (1) , (1) (1) O32 «-'2 + O33 £ a 42 x + , «23 £ + (1) (1) O ụ X ị (1) + «34 £ , O43 £ + (1) ^ '£ — «15 _ (1) = 0-25 _ (1) (4.8) — «35 _ (1) = ô45 ã Bc 2: Loai tr n r khỏi hệ (4.8) phương trìn h th ứ ba tư Với giả th iế t «22* Ỷ 0, hệ số hai phương trìn h sau đươc biến đổi theo cơng thức: i(22) ỈÍ i = 4; „ ( 1) „ (1) (2 ) (1) ni2 -n2j _ Q3 c ,i = « ị - 7n ’ i = 3,4; j = , (4.9) « (1) «22 K ết th ú c bưóc ta hệ + Q13£3 + « ^ — [5 « 2 ^ + 023 £ + 2V j -4 — fl(l) — °25 O llll + a 12x II M OM «3 „ (2 )- _ (2 )T O33 £ + O34 £ (2) (2) «43 £ + «44 £ _ ,,(2) - O45 (4.10) https://tieulun.hopto.org Phương pháp giải chương trình MatL ab 109 • Bước 3: Loại tr ẩ n ,r3 khỏi phương trìn h th ứ tư hệ (4.10) G iả th iế t flg> / 0, hệ số phương trìn h th ứ tư đươc biến đổi n hư sau: (4.11) K ết th ú c bước 3, ta hệ (4.12) Hệ (4.12) hệ có m a trậ n hệ số dang ta m giác trê n Q uá trìn h th u ậ n k ết th ú c 2.1.2 Q uá tr ìn h n g h ịc h T hệ (4.12), giải từ dưỏi lên ta nghiệm hệ (4.6) đươc tín h theo công thức: Xi 2.1.3 T h u ậ t to n (Sơ đ tín h tốn ) Q uá trìn h th u ậ n chuyển từ hệ (4.6) dang (4.12) th ự c c h ất biến dổi số (kể vế phải) Ta có th ể mơ tả trê n sơ đồ tín h to n n h sau: https://tieulun.hopto.org 110 Chương Phương pháp số đại số tuyến tính A «11 «12 «13 «14 B Các cơng th ứ c tín h «15 («) OQ II Hĩ «21 «22 «23 «24 «25 «31 «32 «33 «34 «35 «42 «43 «44 (1) (1) (1) «22 «23 «24 «45 «41 «25 (b) (1) (11 (1) «32 «33 «34 (1) (1) (1) «42 «43 «44 (2) (2) «33 «34 «35 (1) « i l — « lj 0'ij — -ilij — ỉằ «45 i = 2,3,4; j = ,3 ,4 ,5 ai> „(1 )„ (1 ) (c) «(2) uij = «(1) uij Ai (2) (2) «43 «44 (3) «44 (1) «22 * = 3,4; j = ,4 WAĨ) (3) _ (2) «43_«3j «4 j «4i (2) ’ «45 «45 " (d) - « _ «33 _ Các h n g a, b, c, d tạo n ên hệ dạng (4.12) Q u tr ìn h th u ậ n kết thúc Quá trình nghịch : N ghiêm X = (x\ )x 2,X3 , x 4)t hệ (4.6) tin h sau: • T (d) suy X4 = % r ; «14 r (2) Từ (c) suy x3 «35 ( 2) - ô34 X ' ô33 ã T (h) suy x = - i y [«25 - «23*3 - ô24*41; ô22 ã T (a) suy Ti = — [