Ứng dụng tích phân trong hình học bài toán về thể tích

lOMoARcPSD|15963670 TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP.HCM BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC & BÀI TỐN VỀ THỂ TÍCH Giáo viên hướng dẫn: Huỳnh Thị Vu Lớp: L10 Nhóm thực hiện: 10 Danh sách thành viên nhóm: STT Họ tên MSSV Trần Huy Hoàng Anh Huỳnh Nhật Huy Huỳnh Thu Hiền Đặng Ngọc Phú Đinh Vũ Mỹ Uyên 2112813 2113476 2111200 2114410 2115246 lOMoARcPSD|15963670 LỜI NĨI ĐẦU Ngày nay, ứng dụng vi tích phân chiếm vị trí quan trọng lĩnh vực Tốn học Tích phân ứng dụng phần lớn vào thực tiễn, rộng rãi đa dạng tập khác nhau, bao gồm tính tốn diện tích mặt phẳng, thể tích khối trịn xoay, dạng tốn vận tốc qng đường Tích phân cịn đối tượng nghiên cứu Giải tích, tảng cho lý thuyết hàm, lý thuyết phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng,…Ngồi phép tính tích phân cịn sử dụng rộng rãi Xác suất, Thống kê, Vật lý, Cơ học, Thiên văn học, y học, …Hơn hết, tầm quan trọng phép tính tích phân ứng dụng tích phân hình học phần củng cố, nâng cao kiến thức , đòi hỏi học sinh, sinh viên cần nắm vững yêu cầu toán học để vận dụng phù hợp q trình học tập, cịn móng trang bị cho sinh viên có sở trao dồi kỹ tính tốn, bồi đắp kiến thức nâng cao lOMoARcPSD|15963670 Mục Lục Lời nói đầu………………………………………………….trang 2 Cơ sở lý thuyết…………………………………………… trang Bài toán thực tế thể tích  Huỳnh Nhật Huy……………………………………… trang  Huỳnh Thu Hiền…………………………………………trang  Trần Huy Hoàng Anh………………………………… trang 11  Đinh Vũ Mỹ Uyên………………………………………trang 12  Đặng Ngọc Phú…………………………………………trang 14 Tài liệu tham khảo…………………………………………trang 15 lOMoARcPSD|15963670 1)CƠ SỞ LÝ THUYẾT: a)Tính diện tích hình phẳng  Nếu hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=f(x) liên tục đoạn [a;b]; trục hoành hai đường thẳng x=a ; x=b, diện tích S cho cơng thức:  Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục đoạn [a; b] hai đường thẳng x = a, x = b xác định:  Diện tích hình phẳng giới hạn đường x = g(y), x = h(y) hai đường thẳng y = c, y = d xác định: b)Chiều dài sợi dây:  Chiều dài đường cong y=f(x) liên tục đoạn [a,b] tính cơng thức: c) Thể tích vật thể:  Gọi B phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm a b; S(x) diện tích thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm x, (a ≤ x ≤ b) Giả sử S(x) hàm số liên tục đoạn [a; b] d) Thể tích khối trịn xoay: lOMoARcPSD|15963670  Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường y = f(x) ,y=g(x) hai đường thẳng x = a, x = b quanh trục Ox: dx  Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường y = f(y) hai đường thẳng y = c, x = d quanh trục Ox:  Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường x = g(y),x=f(y), trục hoành hai đường thẳng y = c, y = d quanh trục Oy: dy  Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường y = f(x) hai đường thẳng x=a, y=b quanh trục Oy: e)Diện tích xung quanh quay:  Quay quanh Ox :  Quay quanh Oy : 2) BÀI TỐN THỰC TẾ VỀ THỂ TÍCH: _Huỳnh Nhật Huy: VD : Một thùng đựng dầu có thiết diện ngang (mặt thùng) đường elip có trục lớn m, trục bé 0,8 m, chiều dài (nằm thùng) m Được đặt cho trục bé nằm theo lOMoARcPSD|15963670 phương thẳng đứng(như hình vẽ bên) Biết chiều cao dầu thùng ( tính từ đáy thùng đến mặt dầu) 0,6 m Tính thể tích V dầu có thùng (kết làm trịn đến phần trăm) Phương trình đường elip đáy có phương trình : Khi chiều cao mép dầu thùng trùng với đường thẳng y = 0,2 Xét phương trình: Diện tích phần mặt chứa dầu là: Thể tích dầu thùng là: VD 2: Một khối cầu có bán kính 5dm, người ta cắt bỏ hai đầu hai mặt phẳng vùng vng góc với đường kính khối cầu cách tâm khối cầu khoảng 4dm để làm lu đựng nước Thể tích lu ? Downloaded by ng?c trâm (ngoctram201217@gmail.com) lOMoARcPSD|15963670 Hai phần cắt tích nhau, phần chỏm cầu tích: Vậy thể tích lu : _Huỳnh Thu Hiền: Vd1: Cho trống hình vẽ, có đường sinh elip cắt trục lớn với độ dài trục lớn 80 cm, độ dài trục bé 60 cm đáy trống hình trịn có bán kính 60 cm Tính thể tích V trống (kết làm trịn đến hàng đơn vị) Lời giải Chọn hệ trục tọa độ Oxy hình vẽ Khi trống hình tròn xoay sinh elip, đường sinh 60 cm y 30 − 40 O − 30 Downloaded by ng?c trâm (ngoctram201217@gmail.com) 40 x lOMoARcPSD|15963670 elip có phương trình Khi nửa đường elip có phương trình: y=60− Vậy thể tích trống là: V=π  344.964 Vd2: Một trống trường có bán kính đáy 30cm, thiết diện vng góc với trục cách hai đáy có diện tích 1600π(cm2), chiều dài trống 1m Biết mặt phẳng chứa trục cắt mặt xung quanh trống đường Parabol Hỏi thể tích trống bao nhiêu? Downloaded by ng?c trâm (ngoctram201217@gmail.com) lOMoARcPSD|15963670 Thiết diện vng góc với trục cách hai đáy hình trịn có bán kính r có diện tích 1600π (), nên π = 1600π  r = 40cm Ta có: Parabol có đỉnh I(0;40) qua A (50;30) nên có phương trình y = Vậy thể tích trống là: V = π = π  425,2 (lít) Vd3: Cho vật thể dạng hình xoay giống ly hình vẽ Người ta đo đường kính miệng ly 4cm chiều cao 6cm Biết thiết diện ly cắt mặt phẳng đối xứng parabol Tính vật thể ly? Lời giải: Chọn gốc tọa độ O trùng với đỉnh I parabol (P), Vì (P) qua điểm A(-2;6) , B(2:6) I(0:0) nên parabol (P) có phương trình: y =  Khi thể tích ly cho là: Downloaded by ng?c trâm (ngoctram201217@gmail.com) lOMoARcPSD|15963670 V = π _Trần Huy Hồng Anh: Ví dụ 1: Cho bồn nước thiết kế với kích thước cho sẵn mặt cắt parabol bồn nước hình vẽ đây: BÀI LÀM Parabol qua điểm A(-4,8), B(4,8), C(0,0) ta tìm phương trình Diện tích phần mặt cắt: Thể tích bồn nước: 10 Downloaded by ng?c trâm (ngoctram201217@gmail.com) lOMoARcPSD|15963670 Ví dụ 2: Tính thể tích bình rượu biết bình rượt có đáy hình trịn nhau, chiều cao bình 14 cm Đường cong bình đường cong bán kính 10 cm BÀI LÀM Xem tâm đường tròn tâm O gốc tọa độ Ta phương trình đường cong bình rượu Thể tích bình tính thể tích xoay đường cong bình bị giới hạn đường thẳng y =0, x = -7, x = _Đinh Vũ Mỹ Uyên: Ví dụ 1: Tính thể tích bên lều có thiết diện mặt trước hình vẽ: Biết cạnh trái cạnh phải mặt lều nhánh phải parabol nhánh trái parabol ; chiều dài bên hông lều mét (mỗi đơn vị trục ứng với mét) Bài giải: Diện tích mặt lều là: Thể tích bên lều là: 11 Downloaded by ng?c trâm (ngoctram201217@gmail.com) lOMoARcPSD|15963670 Ví dụ 2: Tính thể tích bên lồng bàn tạo quay đường cong quanh trục Oy hình sau: (mỗi đơn vị trục tọa độ ứng với đề-xi-mét): Bài giải: Đường cong (C) có tính đối xứng qua trục Oy nên ta cần lấy nửa nhánh bên trái bên phải đường cong quay quanh trục Oy để tính phần thể tích cần tìm Cách1: Thể tích bên lồng bàn cần tính là: Cách2: Biến đổi x theo y: Thể tích bên lồng bàn cần tính là: 12 Downloaded by ng?c trâm (ngoctram201217@gmail.com) lOMoARcPSD|15963670 _Đặng Ngọc Phú: Ví dụ 1: Để chuẩn bị cho hội trại Đoàn trường tổ chức, lớp 12 A dự định dựng lều trại có dạng hình parabol hình vẽ Nền lều trại hình chữ nhật có kích thước bề ngang mét, chiều dài mét, đỉnh trại cách mét Tính thể tích phần khơng gian bên lều trại Lời giải Hình dạng khung trại parabol giả sử có phương trình , đỉnh trại cao m bề ngang trại rộng m nên parabol qua điểm A(0; 3) B(1.5; 0) suy Cách 1: Thiết diện vng góc với trục trại hình phẳng giới hạn đường parabol hình vẽ giả sử có diện tích S(x) Khi Do trại dài m nên thể tích phần không gian trại Cách 2: Thiết diện dọc theo trại vng góc với mặt đất hình chữ nhật có diện tích S(x)=6| f(x)| với Vậy thể tích khơng gian trại Ví dụ 2: Có cốc thủy tinh hình trụ, bán kính lòng đáy cốc cm, chiều cao lòng cốc 12 cm đựng lượng nước Tính thể tích lượng nước 13 Downloaded by ng?c trâm (ngoctram201217@gmail.com) lOMoARcPSD|15963670 cốc, biết nghiêng cốc nước vừa lúc nước chạm miệng cốc, mực nước trùng với đường kính đáy Lời Giải Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Cắt khối nước cốc nằm nghiêng theo mặt phẳng vng góc với trục Ox ta thiết diện tam giác ABC vuông B Ta có: AB=BC => = > V= 14 Downloaded by ng?c trâm (ngoctram201217@gmail.com) lOMoARcPSD|15963670 TÀI LIỆU KHAM THẢO [1] ‘’Giáo trình giải tích 1’’, Trường ĐH Bách Khoa – ĐH Quốc gia TP.HCM [2] Wikipedia.org [3] https://toanmath.com/2021/07/bai-giang-ung-dung-cua-tichphan.html [4] https://tuhoc365.vn/learn/cong-thuc-ung-dung-tich-phan-tinh-thetich-ly-thuyet-va-cac-dang-bai-tap/ 15 Downloaded by ng?c trâm (ngoctram201217@gmail.com) lOMoARcPSD|15963670 16 Downloaded by ng?c trâm (ngoctram201217@gmail.com)