Luận án tiến sĩ một số vấn đề định tính của quy hoạch toàn phương trong không gian hilbert vô hạn chiều

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI VŨ VĂN ĐỒNG MỘT SỐ VẤN ĐỀ ĐỊNH TÍNH CỦA QUY HOẠCH TỒN PHƯƠNG TRONG KHƠNG GIAN HILBERT VƠ HẠN CHIỀU LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Hà Nội - 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI VŨ VĂN ĐỒNG MỘT SỐ VẤN ĐỀ ĐỊNH TÍNH CỦA QUY HOẠCH TỒN PHƯƠNG TRONG KHƠNG GIAN HILBERT VƠ HẠN CHIỀU Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 62 46 01 02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HDKH: PGS.TS Nguyễn Năng Tâm Hà Nội 2018 LỜI CAM ĐOAN Luận án viết dựa nghiên cứu tác giả Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, hướng dẫn bảo tận tình, chu đáo PGS TS Nguyễn Năng Tâm Các kết luận án chưa cơng bố cơng trình khoa học khác Tác giả luận án Vũ Văn Đồng i LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành Trường ĐHSP Hà Nội Tác giả xin chân thành cảm ơn PGS TS Nguyễn Năng Tâm, người Thầy dẫn dắt vào đường nghiên cứu khoa học Những lời chia sẻ, dạy Thầy khoa học sống hành trang quý báu để tự tin chặng đường tới Xin chân thành cám ơn PGS TS Khuất Văn Ninh, TS Trần Văn Bằng thành viên Xêmina Giải tích - Phịng Sau đại học Trường ĐHSP Hà Nội giúp đỡ tác giả trình nghiên cứu Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu Trường ĐHSP Hà Nội 2, Phịng Sau đại học, Khoa Tốn cán công nhân viên Trường ĐHSP Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả thời gian học Cao học làm nghiên cứu sinh Xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường CĐCN Phúc Yên, Trung tâm GDTHPT PCI trường CĐCN Phúc Yên động viên tạo điều kiện tốt cho tác giả Xin gửi lời cám ơn chân thành tới gia đình, bạn nghiên cứu sinh bạn bè tác giả ln khuyến khích giúp đỡ tác giả trình học tập nghiên cứu ii MỤC LỤC CAM ĐOAN i LỜI CÁM ƠN ii MỤC LỤC BẢNG KÍ HIỆU MỞ ĐẦU Chương BÀI TỐN QUY HOẠCH TỒN PHƯƠNG 10 1.1 Dạng toàn phương không gian Hilbert 10 1.2 Bài tốn quy hoạch tồn phương 19 Chương SỰ TỒN TẠI NGHIỆM 27 2.1 Bài tốn quy hoạch tồn phương khơng lồi 27 2.2 Bài toán quy hoạch toàn phương lồi 51 Chương MỘT SỐ TÍNH CHẤT ỔN ĐỊNH 66 3.1 Tính chất liên tục ánh xạ nghiệm 67 3.2 Tính liên tục hàm giá trị tối ưu 83 KẾT LUẬN 91 TÀI LIỆU THAM KHẢO 92 BẢNG KÍ HIỆU Tập khơng gian ∅ x∈X tập rỗng x phần tử tập X x∈ /X x không thuộc X N tập hợp số tự nhiên R tập hợp số thực R+ tập hợp số thực dương Rn không gian Euclid n chiều H không gian Hilbert ℓ2 không gian dãy số bình phương khả tổng L2 [a, b] khơng gian hàm bình phương khả tích [a, b] H ⊕G tổng trực tiếp H G A\B Tập hợp phần tử thuộc A không thuộc B {x ∈ X | P (x)} LH Tập phần tử x X tn theo tính chất P (x) khơng gian tốn tử tuyến tính liên tục H Hàm toán tử f :X→R hàm giá trị thực T :X→Y toán tử từ X vào Y T∗ toán tử liên hợp toán tử T A+ toán tử giả ngược toán tử A Giới hạn khả vi r(h) = o(h) tức r(h) khk → h → f ′ (x, d), Df (x)d đạo hàm hàm f x theo hướng d f ′′ (x, d), D2 f (x)d đạo hàm cấp hai hàm f x theo hướng d Chuẩn hội tụ kxk chuẩn x xn ⇀ x xn hội tụ yếu tới x xn → x xn hội tụ (mạnh) tới x Các toán tối ưu val(QP ) giá trị tối ưu toán (QP) F tập chấp nhận (tập ràng buộc) toán (QP) Sol(QP ) tập nghiệm toán (QP) (QPω ) toán tối ưu theo tham số ω F (ω) tập chấp nhận toán tham số (QPω ) ϕ(ω) hàm giá trị tối ưu toán tham số (QPω ) Sol(ω) tập nghiệm tối ưu toán tham số (QPω ) v đ k với điều kiện MỞ ĐẦU Bài toán quy hoạch tồn phương tốn tìm nghiệm tối ưu (lớn nhỏ nhất) hàm toàn phương tập hợp xác định số hữu hạn hàm toàn phương Quy hoạch toàn phương nghiên cứu khía cạnh định tính, định lượng, thuật toán ứng dụng khác toán quy hoạch toàn phương Quy hoạch toàn phương phận quan trọng Quy hoạch toán học Nhiều toán ứng dụng thực tế, bao gồm tốn việc lập kế hoạch lịch trình, thiết kế kĩ thuật, điều khiển phát biểu cách tự nhiên dạng toán quy hoạch tồn phương Người ta sử dụng tốn quy hoạch toàn phương để giải xấp xỉ toán tối ưu phi tuyến phức tạp Về tầm quan trọng quy hoạch toàn phương Floudas Visweswaran trình bày đầy đủ tài liệu tham khảo [28] Bài tốn quy hoạch tồn phương thu hút quan tâm nhiều nhà nghiên cứu Năm 1956, Frank Wolfe mở rộng định lý quy hoạch tuyến tính cho quy hoạch toàn phương hữu hạn chiều chứng minh định lý tồn nghiệm (gọi định lý Frank-Wolfe) cho tốn tối ưu tồn phương với ràng buộc tuyến tính Định lý nói “Nếu tốn quy hoạch tồn phương hữu hạn chiều với ràng buộc tuyến tính có hàm mục tiêu bị chặn miền ràng buộc khác rỗng, có nghiệm tối ưu (nhỏ nhất)” Từ đến có thêm số chứng minh cho định lý nhiều phiên mở rộng Chẳng hạn, Eaves, B.C [27], Blum, E Oettli, W [12], Belousov, E.G [10], Luo, Z.Q Zhang, S [42], Belousov, E.G Klatte, D [8] Năm 2000, Frédéric, Bonnans, J F Shapiro, A [13] mở rộng định lý Frank-Wolfe cho tốn quy hoạch tồn phương vơ hạn chiều với ràng buộc tuyến tính Các tốn quy hoạch toàn phương hữu hạn chiều với ràng buộc tuyến tính khảo sát đầy đủ Nhiều kết nghiên cứu quan trọng quy hoạch toàn phương với ràng buộc tuyến tính tìm thấy sách chuyên khảo [39] tài liệu trích dẫn Đối với tốn quy hoạch toàn phương với ràng buộc toàn phương Kuhn, H.W Tucker, A.W nghiên cứu từ năm đầu thập niên 50 kỷ 20 [38] Trong năm gần nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu tốn quy hoạch tồn phương với ràng buộc tồn phương định tính định lượng, ứng dụng chúng Ở Việt Nam, có nhiều nhà khoa học tiến hành nghiên cứu quy hoạch toàn phương, chẳng hạn Hồng Tụy, Nguyễn Đơng n, Hồng Xn Phú, Lê Dũng Mưu, Nguyễn Năng Tâm, Nguyễn Quang Huy, Võ Minh Phổ, Hoàng Ngọc Tuấn Sự quan tâm nghiên cứu tốn quy hoạch tồn phương với ràng buộc toàn phương nước phản ánh qua số lượng chất lượng công trình cơng bố Điển hình như: Tuy, H [56], Kim, D.S., Tam, N.N., Yen, N.D [37], Lee, G.M., Tam, N.N., Yen, N.D [39, 40], Tam, N N [1], Zheng, X.J., Sun,X.L., Li, D., Xu, Y.F [58], Burer,S., Dong, H [19], Jeyakumar,V., Lee, G.M., Li, G.Y [33], Jeyakumar, V., Huy, N.Q., Li, G.Y [34], Jeyakumar, V., Rubinov, A.M, Wu, Z.Y [35, 36], Pasquale L De Angelis, Gerardo Toraldo [45], Beck, A., Eldar, Y.C [9], Nghị, T V [44] Trong cơng trình đó, tìm thấy nhiều kết thú vị vấn đề mở tốn quy hoạch tồn phương với ràng buộc tồn phương không gian hữu hạn chiều Trong tốn quy hoạch tồn phương hữu hạn chiều nhận quan tâm nghiên cứu đông đảo tác giả, cơng trình nghiên cứu lớp tốn quy hoạch tồn phương vơ hạn chiều cơng bố cịn hạn chế Theo chúng tơi biết, kết nghiên cứu tốn tối ưu phi tuyến tổng qt áp dụng cho quy hoạch toàn phương, kết nghiên cứu quan trọng cho quy hoạch tồn phương khơng gian vô hạn chiều, nay, xuất lẻ tẻ, chưa nhiều chưa trọn vẹn Trong kết có, đáng lưu ý kết tồn nghiệm toán quy hoạch tồn phương với ràng buộc tuyến tính không gian Hilbert Bonnans Shapiro chứng minh vào năm 2000 [13] Ngồi ra, kể đến vài kết tồn nghiệm điều kiện cực trị toán quy hoạch toàn phương đặc biệt tác giả Schochetman, I E., Smith, R L., Tsui, S K [49], Semple, J [50], Sivakumar, K.C., Swarna, J M [53] Borwein, J.M [17] Theo biết, nhiều vấn đề tốn quy hoạch tồn phương với ràng buộc tồn phương khơng gian vơ hạn chiều chưa nghiên cứu Vì lý chúng tơi đặt vấn đề nghiên cứu định tính tốn quy hoạch tồn phương vơ hạn chiều Mục tiêu luận án nghiên cứu số vấn đề định tính quy hoạch tồn phương vơ hạn chiều Cụ thể nghiên cứu tồn nghiệm tính ổn định cho lớp tốn quy hoạch tồn phương hàm mục tiêu hàm tồn phương (có thể khơng lồi) hàm ràng buộc hàm toàn phương lồi khơng gian Hilbert có số chiều tùy ý (hữu hạn vô hạn chiều) Trong không gian hữu hạn chiều tính chất nghiên cứu đầy đủ [39, 42] tài liệu trích dẫn Trong khơng gian vơ hạn chiều tồn nghiệm tính ổn định tốn quy hoạch tồn phương Bởi f ∗ > −∞ nên tồn xk ∈ H cho 1 f (xk ) = hxk , T xk i + hc, xk i f ∗ + , k gi (xk ) = hxk , Ti xk i + hci , xk i + αi i = 1, , m (2.33) (2.34) Do Sk khác rỗng Vì f , gi hàm lồi liên tục nên Sk tập lồi đóng, chúng chứa phần tử có chuẩn cực tiểu (xem, chẳng hạn, [41, Theorem 1, p 69]) Khơng giảm tổng qt ta giả sử xk (2.33), (2.34) có chuẩn cực tiểu Sk Xét dãy {xk } Nếu dãy {xk } bị chặn có dãy hội tụ Khơng tính tổng qt ta giả sử xk ⇀ x k → ∞ Từ (2.34) ta có xk ∈ F Vì F đóng yếu nên x ∈ F Vì hx, T xi dạng Legendre, nửa liên tục yếu Vì vậy, 1 h¯ x, T x¯i lim inf hxk , T xk i k→∞ 2 Do vậy, theo (2.33), 1  k k k x, T x¯i + hc, x¯i lim inf hx , T x i + hc, x i f (¯ x) = h¯ k→∞ 2 lim inf (f ∗ + ) = f ∗ k→∞ k Điều x¯ nghiệm (CQP) Tiếp theo ta xét trường hợp {xk } không bị chặn Không tính tổng qt ta giả sử kxk k → ∞ k → ∞, kxk k = với k Đặt v k := xk , kxk k ta có kv k k = Vì {v k } bị chặn H nên có dãy hội tụ yếu Khơng giảm tổng qt ta giả sử v k hội tụ yếu tới v¯ k → ∞ Theo Bổ đề 1.2.10, ta có v¯ ∈ 0+ F Tiếp theo ta T v¯ = 0, hc, v¯i = (2.35) Vì T nửa xác định dương, hx, T xi nửa liên tục yếu Chia hai vế bất đẳng thức (2.33) cho kxk k2 , cho qua giới hạn 53 k → ∞, ta đạt 1 v , T v¯i lim inf hv k , T v k i lim suphv k , T v k i 0 h¯ 2 k→∞ k→∞ Từ bất đẳng thức ta suy h¯ v , T v¯i = lim hv k , T v k i = k→∞ Vì T nửa xác định dương, từ ta suy T v¯ = (2.36) Bởi tính nửa xác định dương T , từ (2.33) suy hc, xk i f ∗ + k (2.37) Chia hai vế bất đẳng thức (2.37) cho kxk k, cho qua giới hạn k → ∞ ta đạt hc, v¯i Bây ta hc, v¯i = Giả sử hc, v¯i < Với k cố định với t > 0, ta có xk + t¯ v ∈ F t2 v , T v¯i + thT xk + c, v¯i f (x + t¯ v ) =f (x ) + h¯ =f (xk ) + thc, v¯i → −∞ t → +∞, k k điều mâu thuẫn với f bị chặn F Do vậy, hc, v¯i = Từ (2.36) (2.38) suy (2.35) Ta xét ba trường hợp phân biệt Trường hợp hci , v¯i = với i = 1, 2, , m Khi đó, T v¯ = 0, hc, v¯i = 0, Ti v¯ = 0, ∀i = 1, 2, · · · , m, 54 (2.38) Đặt y k (t) := xk − t¯ v , t > Dễ dàng kiểm tra y k (t) := xk − t¯ v∈F với t > Vì T v¯ = 0, hc, v¯i = 0, ta có f (y k (t)) = f (xk − t¯ v) k t2 k k = hx , T x i + hc, x i + h¯ v , T v¯i − thxk , T v¯i − thc, v¯i 2 = f (xk ) f ∗ + k Do vậy, y k (t) ∈ Sk với t > Mặt khác, ta lại có ky k (t)k2 = kxk − t¯ v k2 = kxk k2 − t(2hxk , v¯i + tk¯ v k2 ) E D xk v , v¯i, tồn k1 cho Vì h¯ v , v¯i = kxk k , v¯ → h¯ (2.39) hxk , v¯i > ∀k > k1 Do đó, với k > k1 , theo (2.39) tồn γ > cho kxk − t¯ v k2 < kxk k2 ∀t ∈ (0, γ) (2.40) Từ (2.40) suy kxk − t¯ v k < kxk k Điều mâu thuẫn với xk phần tử có chuẩn nhỏ Sk Vì vậy, trường hợp không xảy Trường hợp hci , v¯i < 0, với i = 1, , m Ta xét toán min{f (x) := hx, T xi + hc, xi | x ∈ H} Nếu f (x) bị chặn không gian Hilbert H theo Hệ 2.1.8, tồn x¯ ∈ H cho f (¯ x) f ∗ Nếu f (x) không bị chặn H rõ ràng tồn xˆ ∈ H cho f (ˆ x) f ∗ Vậy, hai trường hợp, tồn x∗ ∈ H cho f (x∗ ) f ∗ Đặt −gi (x∗ ) t = max{ , i = 1, , m} hci , vi ∗ Dễ dàng kiểm tra x∗ + t¯ v ∈ F với t > t∗ Khi đó, ta có f (x∗ + t∗ v¯) = hx∗ , T x∗ i + hc, x∗ i f ∗ 55 Điều chứng tỏ x∗ + t∗ v¯ nghiệm toán (CQP) Trường hợp Tồn i, j cho hci , v¯i = hcj , v¯i < Đặt J1 = {i ∈ I | hci , v¯i = 0}, F1 = {x ∈ H | gi (x) 0, i ∈ J1 } Xét toán min{f (x) := hx, T xi + hc, xi | x ∈ F1 } Nếu f (x) bị chặn F1 theo trường hợp tồn x¯1 ∈ F1 cho f (¯ x1 ) f ∗ Nếu f (x) không bị chặn F1 tồn xˆ1 ∈ F1 cho f (ˆ x1 ) f ∗ Vì vậy, hai trường hợp này, −gj (x∗1 ) hcj ,vi , j ∈ I\I1 } Dễ max{0, t∗1 } Khi đó, ta có tồn x∗1 ∈ F1 cho f (x∗1 ) f ∗ Đặt t∗1 = max{ dàng kiểm tra x∗1 + t¯ v ∈ F với t > f (x∗1 + t∗ v¯) = hx∗1 , T x∗1 i + hc, x∗1 i f ∗ Suy x∗1 + t∗1 v¯ nghiệm (CQP) Định lý chứng minh  Nhận xét 2.2.3 Trong không gian Hilbert hữu hạn chiều, chứng minh Định lý 2.2.2 tìm thấy [8] [42] Belousov, E.G Klatte, D [8, p 45] tồn tốn quy hoạch tồn phương R3 với hàm mục tiêu toàn phương bị chặn tập ràng buộc khác rỗng khơng có nghiệm Do vậy, chí tốn quy hoạch tồn phương với ràng buộc tồn phương khơng gian Hilbert ba chiều, tính nửa xác định dương tốn tử T hàm mục tiêu bỏ qua Định lý 2.2.2 Tương tự trường hợp toán (QP) không lồi, ta phát biểu chứng minh định lý kiểu Eaves cho toán (CQP) Định lý cho ta điều kiện cần điều kiện đủ để tốn (CQP) có nghiệm, mở rộng kết [37] sang khơng gian Hilbert có số chiều tùy ý 56 Định lý 2.2.4 (Định lý kiểu Eaves 2) Xét tốn (CQP) F khác rỗng hx, T xi dạng Legendre Khi mệnh đề sau thỏa mãn: a) Nếu (CQP) có nghiệm,
v ∈ 0+ F, T v = ⇒ hc, vi > (2.41) b) Bài toán (CQP) có nghiệm điều kiện sau thỏa mãn (2.42) (b1 ) c = 0, (b2 ) (b3 )
v ∈ 0+ F \{0}, T v = ⇒ hc, vi > 0, (2.43)

v ∈ 0+ F, T v = ⇒ hc, vi > 0, hci , vi = 0, ∀i ∈ I1 (2.44) I = {1, 2, , m}, I1 = {i ∈ I | Ti 6= 0} Chứng minh a) Giả sử (CQP) có nghiệm x¯ Để có (2.41), lấy v ∈ 0+ F cho T v = Vì x¯ + v ∈ F T v = 0, ta có f (¯ x + v) − f (¯ x)     1 x + v, T (¯ x + v)i + hc, x¯ + vi − h¯ x, T x¯i + hc, vi = hc, vi = h¯ 2 Như ta hc, vi > với v ∈ 0+ F thỏa mãn T v = b) Giả sử c = Để chứng minh (CQP) có nghiệm, theo Định lý 2.2.2, ta cần f bị chặn F Vì hx, T xi > với x ∈ H, ta có f (x) = hx, T xi + hc, xi > ∀x ∈ H, Điều f bị chặn F Tiếp theo, giả sử (2.43) thỏa mãn Ta f F Bằng phản chứng, giả sử f không F Khi đó, ta 57 tìm a ∈ R dãy {xk } ⊂ F với kxk k → ∞ k → ∞ f (xk ) = hxk , T xk i + hc, xk i a ∀k (2.45) Ta giả thiết kxk k = với k, vk := kxk k−1 xk ⇀ v, Theo Bổ đề 1.2.10 ta có v ∈ 0+ F Nhân hai vế bất đẳng thức 12 hxk , T xk i+hc, xk i a (2.45) với kxk k−2 cho qua giới hạn k → ∞, ta đạt hv, T vi lim inf hvk , T vk i lim suphvk , T vk i k→∞ k→∞ Từ bất đẳng thức tính nửa xác định dương T , suy lim hvk , T vk i = hv, T vi = 0, k→∞ (2.46) T v = Vì hx, T xi dạng Legendre v k ⇀ v k → ∞, (2.46), v k hội tụ tới v Do vậy, ta có v 6= Khi hxk , T xk i > 0, từ (2.45) suy hc, xk i a (2.47) Nhân hai vế hc, xk i a với kxk k−1 cho qua giới hạn k → ∞, ta đạt hc, vi (2.48) Điều mâu thuẫn với (2.43) Vậy, f F Theo [52, Theorem 6.2.4], (CQP) có nghiệm Cuối cùng, giả sử (2.44) thỏa mãn Khi đó, tất giả thiết Định lý 2.1.12 thỏa mãn Theo Định lý 2.1.12, (CQP) có nghiệm Định lý chứng minh  Lưu ý điều kiện (2.41) cần không đủ cho tồn nghiệm tốn (CQP) Sau ví dụ minh họa 58 Ví dụ 2.2.5 Xét tốn (CQP) H = ℓ2 , T x = (0, 0, x3 , ), T1 x = (0, x2 , 0, 0, ), với x = (x1 , x2 , x3 , ) ∈ ℓ2 , c = (0, −1, 0, 0, ), c1 = (1, 0, 0, ) ∈ ℓ2 α1 = −1 Khi đó, (CQP) trở thành    f (x) = (0x2 + 0x2 + x2 + x2 + · · · ) − x2 2   v đ k x ∈ F, (2.49) F = {x = (x1 , x2 , ) ∈ ℓ2 | 12 x22 + x1 − 0} Vì hx, T xi > với x ∈ F , f (x) hàm lồi Dễ dàng thấy hx, T xi = kxk2 −(x21 +x22 ) Do hx, T xi tổng dạng elliptic dạng tồn phương có hạng hữu hạn Theo Mệnh đề 1.1.27, hx, T xi dạng Legendre Theo Bổ đề 1.2.8, ta có 0+ F = {v ∈ F | T1 v = 0, hc1 , vi 0} = {(v1 , 0, v3 , v4 , ) ∈ ℓ2 | v1 0} Chú ý T v = (0, 0, v3 , ) Do vậy, v = (v1 , 0, v3 , ) ∈ 0+ F T v = thì, hc, vi = −v2 = Do vậy, điều kiện cần (2.41) thỏa mãn Vì xk := (− 21 k , k, 0, ) ∈ ℓ2 thuộc F với số nguyên k > ta có f (xk ) = −k, ta suy f không bị chặn F Vậy, tốn (2.49) khơng có nghiệm Nhận xét 2.2.6 Chú ý rằng, Ti = với i = 1, , m ci = với tất i ∈ I1 , (2.41) điều kiện cần điều kiện đủ cho tồn nghiệm (CQP), F 6= ∅ Ví dụ sau điều kiện (2.42), (2.43), (2.44) đủ không cần cho tồn nghiệm (CQP) Ví dụ 2.2.7 Xét tốn    f (x) = hx, T xi + hc, xi,   v đ k x ∈ ℓ2 : hx, Ti xi + hci , xi + αi 0, i = 1, 2 59 (2.50) x = (x1 , x2 , ) ∈ ℓ2 , toán tử T, Ti : ℓ2 → ℓ2 , i = 1, xác định bởi: T x = (0, x2 , x3 , x4 , ), T1 x = (0, x2 , x3 , ), T2 x = (0, 0, x3 , 0, ), c = (0, 1, 0, 0, ), c1 = (0, 0, 0, ), α1 = 0, c2 = (1, 0, ), α2 = Bài toán (2.50) viết lại sau:    f (x) = (x2 + x2 + · · · ) + x2 , 2   v đ k x ∈ ℓ2 : (x22 + x23 + · · · ) 0, x23 + x1 2 Vì hx, T xi > với x ∈ ℓ2 , hx, T xi hàm lồi Dễ dàng thấy hx, T xi = kxk2 − x21 Theo Mệnh đề 1.1.27, hx, T xi dạng Legendre Đặt F = {x ∈ ℓ2 | 21 (x22 + x23 + · · · ) 0, 12 x23 + x1 0} Dễ thấy x = (0, 0, ) ∈ F , F 6= ∅ Từ Bổ đề 1.2.8 suy 0+ F = F = {v = (v1 , 0, 0, ) ∈ ℓ2 | v1 0}, {v ∈ 0+ F | T v = 0} = {v = (v1 , 0, 0, ) ∈ ℓ2 | v1 0} Vì f (x) = F , tập nghiệm toán (2.50) trùng với F Với c = (0, 1, 0, 0, ), điều kiện (2.42) không thỏa mãn (2.50) Với v¯ := (−1, 0, , 0, ) ta có hc, v¯i = Do vậy, điều kiện (2.43) không thỏa mãn (2.50) Với v¯ := (−1, 0, , 0, ) ta có hc2 , v¯i = Do vậy, (2.44) điều kiện đủ không cần cho tồn nghiệm toán (CQP) Tương tự xét tồn nghiệm tốn quy hoạch tồn phương không lồi, ta phát biểu chứng minh định lý kiểu Frank-Wolfe cho toán (CQP) với giả thiết tốn tử biểu diễn dạng tồn phương tốn có hạng hữu hạn Định lý 2.2.8 (Định lý kiểu Frank-Wolfe 2b) Xét toán (CQP), T Ti (i = 1, 2, , m) tốn tử tuyến tính liên tục tự 60 liên hợp khơng âm có hạng hữu hạn Giả thiết hàm mục tiêu f bị chặn F Khi đó, (CQP) có nghiệm Chứng minh Ta chứng minh định lý cách quy nạp theo số m hàm toàn phương tập ràng buộc F (CQP) Với m = 1: Với k, xét tập Sk = {x ∈ F | f (x) f1∗ + k1 } Vì f ∗ > −∞, tồn {xk } ⊂ H cho    f (xk ) = hxk , T xk i + hc, xk i f ∗ + , k   g (xk ) = hxk , T xk i + hc , xk i + α 1 (2.51) Giả sử xk phần tử có chuẩn cực tiểu Sk Nếu {xk } bị chặn {xk } có dãy hội tụ yếu Khơng tính tổng qt ta giả sử xk hội tụ yếu tới x¯ Khi T T1 có hạng hữu hạn, chúng tốn tử compact Từ [32, Theorem 1, p 261 ], ta suy f (x) g1 (x) liên tục yếu Do vậy, cho qua giới hạn (2.51) k → ∞ ta x¯ nghiệm (CQP) Xét trường hợp {xk } không bị chặn Đặt v k := xk , kxk k ta có kv k k = Vì {v k } bị chặn nên có dãy hội tụ Khơng giảm tổng quát ta giả sử v k ⇀ v¯ k → ∞ Vì T , T1 tốn tử nửa xác định dương, lập luận tương tự chứng minh Định lý 2.2.2 ta suy T v¯ = 0, hc, v¯i = 0, T1 v¯ = 0, hc1 , v¯i Bây ta khẳng định hc1 , v¯i < Bằng phản chứng, giả sử, hc1 , v¯i = Khi đó, T v¯ = 0, hc, v¯i = 0, T1 v¯ = 0, hc1 , v¯i = Đặt L1 = H ⊕ H ⊕ R2 , ⊕ kí hiệu tổng trực tiếp không gian Hilbert, ta viết h· , ·iL k · kL tương ứng tích vơ hướng chuẩn L 61 Đặt A : H → L1 toán tử xác định Ax = (T x, T1 x, hc, xi, hc1 , xi) Vì T T1 tốn tử liên tục có ảnh đóng, A liên tục có ảnh đóng Với k, xét hệ tuyến tính Ax = Axk (2.52) Vì A liên tục với ảnh đóng, tồn tốn tử liên tục giả ngược A+ A nghiệm x¯k (2.52) cho x¯k = A+ Axk (xem, chẳng hạn, [41, p 163]) Do đó, tồn ρ > 0, phụ thuộc vào A, cho   k k k¯ x k ρ kAx kL Điều cho ta   k k k k k¯ x k ρ kT x k + kT1 x k + |hc, x i| + |hc1 , x i| k Bởi (2.52), A¯ xk = Axk , ta kiểm tra f (¯ xk ) = f (xk ) f ∗ + k1 Vì xk phần tử có chuẩn cực tiểu Sk , ta có   k k k k k k kx k k¯ x k ρ kT x k + kT1 x k + |hc, x i| + |hc1 , x i| ∀k Chia hai vế bất đẳng thức cho kxk k, cho qua giới hạn k → ∞ sử dụng tính compact T , ta   ρ kT v¯k + kT1 v¯k + |hc, v¯i| + |hc1 , v¯i| Điều mâu thuẫn với T v¯ = 0, hc, v¯i = 0, T1 v¯ = 0, hc1 , v¯i = Vậy hc1 , v¯i < Xét tốn quy hoạch tồn phương min{f (x) = hx, T xi + hc, xi | x ∈ H} Nếu f (x) bị chặn khơng gian H đó, theo Hệ 2.1.8, tồn x¯ ∈ H cho f (¯ x) f ∗ Nếu f (x) không bị chặn 62 khơng gian Hilbert H tồn xˆ ∈ H cho f (ˆ x) f ∗ Do vậy, hai trường hợp, tồn x∗ ∈ H cho f (x∗ ) f ∗ Bởi hc1 , v¯i < 0, ta kiểm tra x∗ + t¯ v ∈ F với t > đủ lớn Chọn t∗ > cho x∗ + t∗ v¯ ∈ F Từ ta có f (x∗ + t∗ v¯) = hx∗ , T x∗ i + hc, x∗ i f ∗ Điều x∗ + t∗ v¯ nghiệm toán (CQP) Như ta chứng minh xong trường hợp m = Giả sử khẳng định với tập ràng buộc xác định m − hàm toàn phương Ta xét tập ràng buộc F xác định m hàm toàn phương Đặt f ∗ = inf{f (x) | x ∈ F } > −∞ Sk = {x ∈ F | f (x) f ∗ + k1 } Vì f ∗ > −∞ Rõ ràng Sk khác rỗng Vì f, gi hàm liên tục, lồi nên Sk tập lồi đóng khác rỗng Do vậy, Sk chứa phần tử có chuẩn cực tiểu (xem, chẳng hạn, [41, Theorem 1, p 69]) Lấy xk phần tử có chuẩn cực tiểu Sk , ta có    f (xk ) = hxk , T xk i + hc, xk i f ∗ + , k   g (xk ) = hxk , T xk i + hc , xk i + α 0, i = 1, 2, , m i i i i Nếu {xk } bị chặn xk có dãy hội tụ yếu Khơng tính tổng qt, ta giả sử xk hội tụ yếu tới x Khi đó, dễ dàng kiểm tra x¯ nghiệm (CQP) Xét trường hợp {xk } không bị chặn Đặt v k := xk , kxk k ta có kv k k = Vì {v k } bị chặn nên có dãy hội tụ Khơng giảm tổng quát, ta giả sử v k := xk kxk k ⇀ v¯ k → ∞ Vì T Ti toán tử nửa xác định dương, lập luận tương tự trường hợp m = ta có T v¯ = 0, hc, v¯i = 0, Ti v¯ = 0, hci , v¯i i = 1, , m, tồn j ∈ {1, 2, , m} cho hcj , v¯i < 63 Không giảm tổng quát ta giả sử , v¯i < Xét tốn quy hoạch tồn phương min{f (x) = hx, T xi + hc, xi | x ∈ F1 }, ( P1 ) F1 := {x ∈ H | gi (x) 0, i = 1, 2, , m − 1} Với toán ( P1 ), f bị chặn không bị chặn F1 Trong hai trường hợp, tồn x¯ ∈ F1 cho f (¯ x) f ∗ Xét vector x(t) := x + t¯ v , t > Bởi hc, v¯i = 0, ta có f (x(t)) = f (x) + thc, v¯i = f (x) f ∗ ∀t > Vì gm (x(t)) = gm (x) + thcm , v¯i, thcm , v¯i < 0, ta chọn t∗ > cho x(t∗ ) ∈ F f (x(t∗ )) f ∗ Điều x(t∗ ) nghiệm (CQP) Định lý chứng minh  Trong trường hợp, T = 0, Ti = (∀i ∈ I) ta đạt tồn nghiệm tốn quy hoạch tuyến tính (LP) khơng gian Hilbert Hệ 2.2.9 Xét toán quy hoạch tuyến tính (LP) (nghĩa (CQP), T = Ti = với i = 1, , m) Giả sử f (x) bị chặn tập ràng buộc khác rỗng F Khi tốn (LP) có nghiệm Nhận xét 2.2.10 Lưu ý rằng, H không gian hữu hạn chiều tốn tử tuyến tính liên tục tự liên hợp T H có hạng hữu hạn hx, T xi dạng Legendre Vì không gian Hilbert hữu hạn chiều Định lý 2.2.2 Định lý 2.2.8 trùng Kết luận Trong chương này, điều kiện cho tồn nghiệm tốn quy hoạch tồn phương khơng gian Hilbert đưa Các kết trình bày mở rộng kết tồn nghiệm 64 có tốn quy hoạch tồn phương khơng gian Hilbert hữu hạn chiều, bao gồm định lý Frank-Wolfe toán quy hoạch tồn phương với ràng buộc tuyến tính tới khơng gian Hilbert 65 Chương MỘT SỐ TÍNH CHẤT ỔN ĐỊNH Tính ổn định tập nghiệm tối ưu giá trị tối ưu toán quy hoạch tham số vấn đề thời nhiều người quan tâm nghiên cứu phản ánh qua số công trình chẳng hạn chẳng hạn như: Anh, L Q., Duy, T Q., Khanh, P Q [5], Anh, L Q, Hung, N V [6] tài liệu trích dẫn Chương luận án nghiên cứu tính liên tục ánh xạ tập nghiệm tính liện tục hàm giá trị tối ưu toán quy hoạch tồn phương có tham số Để thu kết tính ổn định tốn (QP), sử dụng tính chất Legendre dạng tồn phương hàm mục tiêu Tính chất dùng để chứng minh rằng, dãy (hoặc dãy con) mà hội tụ yếu hội tụ mạnh đến giới hạn Điều giúp sử dụng kỹ thuật tương tự xem xét tốn quy hoạch tồn phương khơng gian hữu hạn chiều Trong chương quan tâm đến tốn quy hoạch tồn phương có tham số dạng:    f (x, ω) := hx, T xi + hc, xi   v đ k x ∈ H, gi (x, ω) := hx, Ti xi + hci , xi + αi 0, i ∈ I (QPω ) I = {1, 2, , m}, Ω := L(H)×H×L(H)m ×Hm ×Rm khơng gian tham số, ω = (T, c, T1 , , Tm , c1 , , cm , α1 , , αm ) ∈ Ω tham số, T : H → H toán tử tuyến tính liên tục tự liên hợp, Ti tốn tử tuyến tính liên tục tự liên hợp nửa xác định dương không gian H, c, ci ∈ H α, αi số thực 66 Với ω ∈ Ω, đặt F (ω) = {x ∈ H | gi (x, ω) := hx, Ti xi + hci , xi + αi 0, i ∈ I} Hàm ϕ : Ω → R ∪ {+∞} xác định   inf{f (x, ω) | x ∈ F (ω)} F (ω) 6= ∅ ϕ(ω) =  +∞ F (ω) = ∅ gọi hàm giá trị tối ưu toán (QPω ) Trong chương chuẩn khơng gian tích X1 × × Xk khơng gian định chuẩn X1 , , Xk xác định k(x1 , , xk )k = max{kx1 k, , kxk k} Chương gồm hai mục Mục 3.1 nghiên cứu tính liên tục ánh xạ nghiệm toàn cục Mục 3.2 nghiên cứu tính liên tục hàm giá trị tối ưu Nội dung chương viết dựa báo [26] 3.1 Tính chất liên tục ánh xạ nghiệm Mục dành cho việc nghiên cứu tính liên tục ánh xạ tập nghiệm Sol( · ) : Ω ⇒ H (QPω ) xác định Sol(ω) = {x ∈ F (ω) | f (x, ω) = ϕ(ω)} Định nghĩa 3.1.1 ([3, tr.19, 20]) Cho S : X ⇒ Y ánh xạ đa trị từ không gian Hilbert X vào không gian Hilbert Y Ta nói S nửa liên tục (usc) u¯ ∈ X với tập mở V ⊂ Y thỏa mãn S(¯ u) ⊂ V , tồn lân cận mở U u¯ cho S(u) ⊂ V với u ∈ U Ta nói S nửa liên tục (lsc) u¯ với tập mở V ⊂ Y thỏa mãn S(¯ u) ∩ V 6= ∅ tồn lân cận mở U u¯ cho S(u) ∩ V 6= ∅ với 67