Luận án tiến sĩ một số dạng của định lý ritt và ứng dụng vào vấn đề duy nhất

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM NGỌC HOA MỘT SỐ DẠNG CỦA ĐỊNH LÝ RITT VÀ ỨNG DỤNG VÀO VẤN ĐỀ DUY NHẤT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM NGỌC HOA MỘT SỐ DẠNG CỦA ĐỊNH LÝ RITT VÀ ỨNG DỤNG VÀO VẤN ĐỀ DUY NHẤT Ngành: Tốn Giải tích Mã số: 46 01 02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Vũ Hoài An GS.TSKH Hà Huy Khoái THÁI NGUYÊN - NĂM 2018 i Líi cam oan Tỉi xin cam oan ¥y l cổng trẳnh nghiản cựu cừa tổi dữợi sỹ hữợng dăn cừa GS.TSKH H Huy KhoĂi v TS Vụ Hoi An CĂc kát quÊ viát chung vợi tĂc giÊ khĂc  ữủc sỹ nhĐt trẵ cừa ỗng tĂc giÊ ữa vo luên Ăn CĂc kát quÊ cừa luên Ăn l mợi v chữa tứng ữủc cổng bố bĐt ký cỉng tr¼nh khoa håc cõa kh¡c T¡c gi£ PhÔm Ngồc Hoa ii Lới cÊm ỡn Luên Ăn ữủc thỹc hiằn v hon thnh tÔi khoa ToĂn thuởc trữớng Ôi hồc Sữ phÔm - Ôi hồc ThĂi Nguyản, dữợi sỹ hữợng dăn tên tẳnh v nghiảm khưc cừa GS TSKH H  Huy Kho¡i v  TS Vô Ho i An C¡c thƯy  truyÃn cho tĂc giÊ kián thực, kinh nghiằm hồc têp v sỹ say mả nghiản cựu khoa hồc Vợi tĐm lỏng tri Ơn sƠu sưc, tĂc giÊ xin by tọ lỏng biát ỡn chƠn thnh v sƠu sưc nhĐt ối vợi hai thƯy TĂc giÊ xin cÊm ỡn Ban GiĂm ốc Ôi hồc ThĂi Nguyản, Ban o tÔo Ôi hồc ThĂi Nguyản, Ban GiĂm hiằu trữớng Ôi hồc Sữ phÔm- Ôi hồc ThĂi Nguyản, cĂc Phỏng Ban chực nông, Phỏng o tÔo, Ban chừ nhiằm khoa ToĂn to n thº gi¡o vi¶n khoa, °c bi»t l  tê GiÊi tẵch  tÔo mồi iÃu kiằn thuên lủi giúp ù tĂc giÊ quĂ trẳnh hồc têp nghiản cựu v hon thnh luên Ăn TĂc giÊ xin chƠn thnh c£m ìn Ban Gi¡m hi»u tr÷íng Cao ¯ng H£i D÷ìng, Phỏng Ban chực nông, Phỏng o tÔo, cĂc giÊng viản Khoa Tỹ Nhiản  tÔo mồi iÃu kiằn thuên lủi giúp ù tĂc giÊ quĂ trẳnh hồc têp nghiản cựu v hon thnh luên Ăn TĂc giÊ xin chƠn thnh cÊm ỡn cĂc thƯy, cổ, bÔn b cĂc Seminar tÔi Bở mổn ToĂn GiÊi tẵch v ToĂn ựng dửng Trữớng Ôi hồc Sữ phÔmÔi hồc ThĂi Nguyản, Trữớng Ôi hồc Thông Long v Trữớng Cao ng HÊi Dữỡng  luổn giúp ù, ởng viản tĂc giÊ nghi¶n cùu khoa håc T¡c gi£ xin b y tä láng biát ỡn tợi nhỳng ngữới thƠn gia ẳnh, c biằt l chỗng hai trai, nhỳng ngữới  chu nhiÃu khõ khôn, vĐt vÊ v dnh hát tẳnh cÊm yảu thữỡng, ởng viản, chia s, khẵch lằ  tĂc giÊ hon thnh ữủc luên Ăn TĂc giÊ PhÔm Ngåc Hoa iii Mưc lưc Líi cam oan i Líi c£m ìn ii Möc löc iii Mð ¦u Chữỡng Hai nh lỵ cừa Ritt v vĐn à nhĐt ối vợi a thực vi phƠn cừa hm phƠn hẳnh 1.1 Mët sè kh¡i ni»m v  k¸t qu£ bê trñ 1.2 Hai nh lỵ cừa Ritt ối vợi cĂc a thực kiu Fermat-Waring cừa cĂc hm phƠn hẳnh 14 1.3 nh lỵ thự hai cừa Ritt v vĐn à nhĐt ối vợi a thực vi phƠn cừa hm phƠn hẳnh 20 Chữỡng nh lỵ thù hai cõa Ritt v  v§n · nh§t cõa a thực vi phƠn trản mởt trữớng khổng-Acsimet 38 2.1 Mët sè kh¡i ni»m v  k¸t qu£ bê trñ 39 2.2 ành lỵ thự hai cừa Ritt v vĐn à nhĐt cừa a thực vi phƠn trản mởt trữớng khổng-Acsimet 44 2.3 nh lỵ thự hai cừa Ritt v vĐn à nhĐt cừa a thực vi phƠn nhiÃu bián trản mởt trữớng khổng-Acsimet 54 Ch÷ìng nh lỵ thự hai cừa Ritt v vĐn à nhĐt ối vợi tẵch q-sai phƠn, a thực vi phƠn cừa hm phƠn hẳnh trản mởt trữớng khổng-Acsimet 67 3.1 Mët sè kh¡i ni»m v  k¸t qu£ bê trđ 67 3.2 nh lỵ thự hai cừa Ritt v vĐn à nhĐt ối vợi tẵch q-sai phƠn cừa hm phƠn hẳnh trản mởt trữớng khổng-Acsimet 79 3.3 nh lỵ thự hai cừa Ritt v vĐn à nhĐt cừa a thực vi phƠn v a thực sai phƠn trản mởt trữớng khổng-Acsimet 85 Kát luên v kián ngh 93 Danh mưc cỉng tr¼nh 94 T i li»u tham kh£o 95 Mð ¦u Lỵ chồn à ti nh lỵ cỡ bÊn cừa lỵ thuyát số phĂt biu rơng mồi số nguyản n Ãu biu diạn nhĐt dữợi dÔng tẵch cĂc số nguyản tố cõ dÔng mk n = pm pk , vỵi k ≥ 1, ð â c¡c thøa sè nguy¶n tè p1 , , pk ỉi mởt phƠn biằt v cĂc số mụ tữỡng ựng m1 ≥ 1, , mk ≥ ÷đc x¡c ành mët cĂch nhĐt theo n Ritt l ngữới Ưu tiản tữỡng tỹ nh lỵ ny ối vợi cĂc a thực  mổ tÊ kát quÊ cừa Ritt, ta kẵ hiằu M(C) (tữỡng ựng, A(C)) l têp cĂc hm phƠn hẳnh (tữỡng ựng, nguyản) trản C v kẵ hiằu L(C) l tªp c¡c a thùc bªc °t E, F l  c¡c tªp kh¡c réng cõa M(C), â mët hm phƠn hẳnh F (z) ữủc gồi l khổng phƠn tẵch ữủc trản Eì F náu bĐt ký cĂch viát thnh nhƠn tỷ F (z) = f g(z) vợi f (z) ∈ E v  g(z) ∈ F ·u k²o theo hoc f l tuyán tẵnh hoc g l tuyán tẵnh Nôm 1922, Ritt [46]  chựng minh nh lỵ sau nh lỵ A (nh lỵ thự nhĐt cừa Ritt) Cho F l  tªp kh¡c réng cõa C[z] \ L(C) N¸u mët a thùc F (z) câ hai c¡ch phƠn tẵch khĂc thnh cĂc a thực khổng phƠn tẵch ữủc trản Fì F : F = ϕ2 ◦ · · · ϕr = ψ1 ◦ ψ2 ◦ · · · ψs , th¼ r = s, v bêc cừa cĂc a thực l bơng vợi bêc cừa cĂc a thực náu khổng tẵnh án thù tü xu§t hi»n cõa chóng Cơng [46], Ritt  chựng minh nh lỵ sau nh lỵ B (nh lỵ thự hai cừa Ritt) GiÊ sỷ rơng a, b, c, d ∈ C[x]\ C thäa m¢n a◦b = c◦d v  gcd(deg(a); deg(c)) = gcd(deg(b); deg(d)) = Khi â tỗn tÔi cĂc hm tuyán tẵnh lj C[x] cho (l1 ◦ a ◦ l2 , l2−1 ◦ b ◦ l3 , l1 ◦ c ◦ l2 , l4−1 d l3 ) cõ mởt cĂc dÔng (Fn , Fm , Fm , Fn ) ho°c (xn , xs h(xn ), xs h(x)n , xn ), ð â m, n > l  nguy¶n tè cịng nhau, s > nguyản tố vợi n, v  h ∈ C[x]\xC[x], lj−1 l  h m ng÷đc cõa lj , Fn , Fm l  c¡c a thùc Chebychev Ð Ơy, php phƠn tẵch F (z) = f g(z) ch½nh l  ph²p hđp th nh F (z) = f (g(z)) Do õ, ta thĐy rơng nh lỵ thự hai cừa Ritt mổ tÊ cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh a(b) = c(d), ð â a, b, c, d l  c¡c a thực v bêc cừa cĂc a thực l nguyản tố Ró rng phữỡng trẳnh a thực ữủc Ritt nghiản cựu l trữớng hủp riảng cừa phữỡng trẳnh hm P (f ) = Q(g), ð â P, Q l  c¡c a thùc v  f, g l  c¡c h m ph¥n hẳnh Phữỡng trẳnh hm P (f ) = Q(g)  ữủc nghiản cựu bi nhiÃu tĂc giÊ nhữ TÔ Th Ho i An-Nguy¹n Thà Ngåc Di»p [3], H.Fujimoto [19], H  Huy KhoĂi-C.C.Yang [35], F.Pakovich [44], C.C.Yang-X.H.Hua [51],  ỵ rơng, phữỡng trẳnh hm liản quan mêt thiát án vĐn à xĂc nh nhĐt ối vợi hm phƠn hẳnh-mởt ựng dửng cừa lỵ thuyát phƠn bố giĂ tr VĐn à xĂc nh nhĐt  ữủc nghiản cựu lƯn Ưu tiản bi R.Nevanlinna Nôm 1926, R.Nevanlinna  chựng minh ữủc rơng: Vợi hai hm phƠn hẳnh f v g trản m°t ph¯ng phùc C, n¸u chóng câ chung £nh ngữủc (khổng tẵnh bởi) cừa im phƠn biằt thẳ f = g (nh lỵ im) v náu chúng cõ chung Ênh ngữủc (cõ tẵnh bởi) cừa af + b (a, b, c, d l  c¡c sè phùc n o â cho cf + d ad − bc 6= 0)(nh lỵ im) Khi nguỗn tứ nh lỵ im v nh lỵ im, vĐn à nhĐt  ữủc nghiản cựu liản tửc vợi hai hữợng nghiản cựu chừ yáu v  cõ rĐt nhiÃu kát quÊ sƠu sưc cừa G.Dethloff, ộ ực ThĂi, M Shirosaki, H.X.Yi, P.C.Hu-C.C.Yang, H  Huy Kho¡i, H  Huy Kho¡i-Vô Ho i An, H Huy KhoĂi-Vụ Hoi An-Lả Quang Ninh, TÔ Th Hoi An, TÔ Th Hoi An-H TrƯn Phữỡng, L.Lahiri, TrƯn Vôn TĐn, Sắ ực Quang, A.Escassut, H.Fujimoto, im phƠn biằt thẳ g = Tiáp theo, sỹ nghiản cựu ữủc m rởng sang mởt nhĂnh cừa lỵ thuyát xĂc nh nhĐt õ l xem xt têp xĂc nh nhĐt cừa cĂc a thực vi phƠn V ngữới Ưu tiản xữợng cho hữợng nghiản cựu ny l Hayman Nôm 1967, Hayman  chựng minh mởt kát quÊ nời tiáng rơng mởt hm phƠn hẳnh f trản trữớng số phực C khổng nhên giĂ tr v Ôo hm bêc k cừa f , vợi k l số nguyản dữỡng, khổng nhên giĂ tr thẳ f l hm hơng Hayman cụng ữa giÊ thuyát sau GiÊn thuyát Hayman [21] Náu mởt hm nguyản f thọa mÂn i·u ki»n f (z)f (z) = vỵi n l số nguyản dữỡng v vợi mồi z C thẳ f l hm hơng GiÊ thuyát ny  ữủc chẵnh Hayman kim tra vợi n > v ữủc Clunie kim tra vợi n CĂc kát quÊ ny v cĂc vĐn à liản quan  hẳnh thnh mởt hữợng nghiản cựu ữủc gồi l sỹ lỹa chồn cừa Hayman Cổng trẳnh quan trồng thúc ây hữợng nghiản cựu ny thuởc và Yang-Hua [51], hai  nghiản cựu vĐn à nhĐt ối vợi hm phƠn hẳnh v ỡn thực vi phƠn cừa nõ cõ dÔng f n f Hai ỉng ¢ chùng minh ữủc rơng, vợi f v g l hai hm phƠn hẳnh khĂc hơng, n l số nguyản, n 11 n¸u f n f v  g n g nhên giĂ tr phực a tẵnh cÊ thẳ hoc f, g sai khĂc mởt côn bêc n + cừa ỡn v, hoc f, g ữủc tẵnh theo c¡c cỉng thùc cõa h m mơ vỵi c¡c h» sè thäa m¢n mët i·u ki»n n o â Tø â, cĂc kát quÊ tiáp theo  nhên ữủc dỹa trản xem xt cĂc a thực vi phƠn dÔng (f n )(k) , [f n (f − 1)](k) (Bhoosnurmath - Dyavanal [10], Fang [18]) v cõ dÔng [f n (af m + b)](k) , [f n (f − 1)m ](k) (xem Zhang v Lin, [54]), v cõ 0 dÔng (f )( ) P (f ),( xem K Boussaf- A Escassut- J Ojeda[11]) Nôm 1997, thay vẳ nghiản cựu cĂc Ôo hm bêc n, I Lahiri [36]  nghiản cựu cĂc tr÷íng hđp têng qu¡t hìn cõa c¡c a thùc vi phƠn khổng tuyán tẵnh cừa cĂc hm phƠn hẳnh nhên giĂ tr tẵnh cÊ Theo hữợng nghiản cựu n y, n«m 2002 C Y Fang v  M L Fang [17]  chựng minh rơng, náu n 13, v ối vợi hai hm phƠn hẳnh khĂc hơng f v g, m  f (n) (f − 1)2 f v  g (n) (g − 1)2 g nhªn gi¡ trà tẵnh cÊ bởi, thẳ f = g Vo cuối nhỳng nôm cừa thêp k ny, vĐn à nhên giĂ tr cụng ữủc xem xt ối vợi a thực sai phƠn cừa cĂc hm nguyản v cĂc hm phƠn hẳnh Laine v Yang [37]  nghiản cựu vĐn à phƠn bố giĂ tr cừa tẵch sai phƠn ối vợi cĂc h m nguy¶n X C.-Qi, L.-Z Yang v  K Liu [45] xem xt cĂc tẵch sai phƠn v vi phƠn cõ dÔng f (z)(n) f (z + c), v  ch i·u ki»n º f = tg , vỵi f v g l hai hm nguyản siảu viằt cõ bêc hỳu hÔn Nôm 2007, xuĐt phĂt tứ nh lỵ thự hai cừa Ritt, F.Packovich [43] cõ ỵ tững xt Ênh ngữủc cừa hai têp compact ối vợi hai a thực ặng  tẳm ữủc iÃu kiằn cho hai a thực f1 , f2 v  hai tªp compact K1 , K2 thọa mÂn f11 (K1 ) = f21 (K2 ) Kát quÊ cừa F.Packovich ữủc inh Tián Cữớng m rởng [13], [14] Tứ nh lỵ Ritt thự hai v kát quÊ cừa F.Pakovich nõi trản chúng tổi cõ nhên xt Nhên xt nh lỵ Ritt thự hai cõ th ữủc xem l kát quÊ Ưu tiản và vĐn à xĂc nh hm tứ phữỡng trẳnh hm P (f ) = Q(g), tứ õ sinh cĂc kát quÊ cho VĐn · x¡c ành a thùc thæng qua i·u ki»n £nh ngữủc cừa têp hủp im Tứ nhên xt ny v cĂc kát quÊ và phữỡng trẳnh hm (xem [3], [35], [44]) nảu trản, vĐn à nghiản cựu ữủc t tỹ nhiản nhữ sau Xem xt sỹ tữỡng tỹ hai nh lỵ Ritt ối vợi hm phƠn hẳnh v a thùc vi ph¥n, a thùc sai ph¥n, a thùc q -sai phƠn Xem xt VĐn à xĂc nh hm, VĐn à nhĐt ối vợi hm phƠn hẳnh v a thùc vi ph¥n, a thùc sai ph¥n, a thùc q -sai phƠn dữợi gõc ở cừa cĂc nh lỵ Ritt Tø â, chóng tỉi chån · t i: "Mët sè dÔng cừa nh lỵ Ritt v ựng dửng vo vĐn à nhĐt"  giÊi quyát cĂc vĐn à nghiản cựu trản Ơy, ỗng thới gõp phƯn lm phong phú thảm cĂc kát quÊ v ựng dửng cừa Lỵ thuyát Nevanlinna VĐn à VĐn à 2 Mửc tiảu cừa luên Ăn 2.1 Thiát lêp mởt số nh lỵ tữỡng tỹ hai nh lỵ cừa Ritt ối vợi hm phƠn hẳnh v a thực vi phƠn, a thực sai phƠn, a thực q -sai phƠn trữớng hủp phực v p-adic 2.2 Tiáp cên VĐn à xĂc nh hm, VĐn à nhĐt ối vợi hm phƠn hẳnh, a thùc vi ph¥n, a thùc sai ph¥n, a thùc q -sai phƠn trữớng hủp phực v p-adic dữợi gõc ở cừa hai nh lỵ Ritt ối tữủng v phÔm vi nghiản cựu VĐn à xĂc nh hm phƠn hẳnh v a thực vi phƠn, a thực sai phƠn, a thực q -sai phƠn trữớng hủp phực v p-adic dữợi gõc ở cừa hai nh lỵ Ritt VĐn à nhĐt cừa hm phƠn hẳnh v a thực vi ph¥n, a thùc sai ph¥n, a thùc q -sai phƠn trữớng hủp phực v p-adic dữợi gõc ở cừa hai nh lỵ Ritt Phữỡng phĂp v cổng cử nghiản cựu Sỷ dửng hai nh lỵ chẵnh v cĂc tữỡng tỹ cừa chúng vợi cĂc kiu Bờ à Borel cừa Lỵ thuyát phƠn bố giĂ tr  giÊi cĂc phữỡng trẳnh hm CĂc phữỡng trẳnh hm ny tữỡng tỹ nhữ phữỡng trẳnh hm nh lỵ Ritt thự hai Sỷ dửng hai nh lỵ chẵnh  chuyn b i to¡n x¡c ành h m, b i to¡n nh§t v· phữỡng trẳnh hm Nhớ õ v cĂc kát quÊ và phữỡng trẳnh hm nõi trản  ữa cĂc kát qu£ v· V§n · x¡c ành h m v  V§n · nhĐt ị nghắa khoa hồc cừa luên Ăn Luên Ăn  ữa mởt cĂch tiáp cên mợi ối vợi VĐn à xĂc nh, VĐn à nhĐt cừa hm, a thực vi phƠn v a thực sai phƠn õ l, xem xt cĂc vĐn à ny dữợi gõc ở cừa hai nh lỵ Ritt Nhớ õ thiát lêp ữủc cĂc kát quÊ mợi gõp phƯn m rởng thảm cĂc ựng dửng cừa Lỵ thuyát Nevanlinna CĐu trúc v kát quÊ cừa luên Ăn Luên Ăn gỗm cõ ba chữỡng vợi phƯn m Ưu, phƯn kát luên v ti liằu tham khÊo Chữỡng vợi tỹa Ã: "Hai nh lỵ cừa Ritt v vĐn à nhĐt ối vợi a thực vi phƠn cừa hm phƠn hẳnh" Trong chữỡng ny, chúng tổi nghiản cựu vĐn à nhĐt ối vợi a thực vi phƠn cừa hm phƠn hẳnh Nởi dung cừa Chữỡng ữủc viát düa tr¶n c¡c b i b¡o [5], [7], [29] Vi»c nghi¶n cựu bi toĂn ny gỗm cĂc bữợc sau Bữợc Thiát lêp cĂc kát quÊ tữỡng tỹ hai nh lỵ Ritt ối vợi hm phƠn hẳnh Bữợc Chuyn bi toĂn nhĐt và phữỡng trẳnh hm v dũng kát quÊ Bữợc Nhữ ta  thĐy trản, nh lỵ thự nhĐt cừa Ritt  chựng tọ rơng: bĐt ký hai sỹ phƠn tẵch cừa mởt a thực cho trữợc thnh cĂc a thực khổng phƠn tẵch ữủc s³ chùa cịng mët sè a thùc nh÷ v  bêc cừa cĂc a thực mội cĂch phƠn tẵch l nhữ náu khổng tẵnh án thự tỹ cừa chúng cĂch phƠn tẵch Tứ õ, mửc tiảu thự nhĐt cừa Chữỡng l: Thiát lêp kát quÊ tữỡng tỹ nh lỵ thự nhĐt cừa Ritt cho hm phƠn hẳnh Tuy nhiản, ta thĐy rơng, chựng minh cừa hai nh lỵ cừa Ritt [46] dữớng nhữ khổng tữỡng tỹ ữủc cho hm phƠn hẳnh Lỵ l chộ, Ritt  dũng án iÃu kiằn "hỳu hÔn" khổng iºm cõa a thùc chùng minh cõa æng Kh­c phửc khõ khôn ny, trữợc tiản chúng tổi thiát lêp nh lỵ 1.2.2 nh lỵ 1.2.2 chẵnh l mởt kiu nh lỵ Ritt thự hai ối vợi phữỡng trẳnh hm P (f1 , f2 ) = Q(g1 , g2 ), ð â P, Q l  c¡c a thùc hai bi¸n kiºu Yi v  f1 , f2 , g1 , g2 l cĂc hm nguyản Chú ỵ rơng, kát quÊ ny  ữủc phĂt biu v chựng minh [2] v [32], nhiản Ơy chúng tổi nhẳn kát quÊ ny dữợi gõc ở cừa nh lỵ Ritt thự hai v  ÷a mët c¡ch chùng minh kh¡c Nhí ¡p dửng nh lỵ 1.2.2 v cĂc hằ quÊ chúng tổi chựng minh ữủc nh lỵ 1.2.5, chẵnh l mởt kát quÊ tữỡng tỹ nh lỵ Ritt thự nhĐt ối vợi hm phƠn hẳnh Trong Chữỡng cỏn trẳnh by cĂc ựng dửng cừa nh lỵ 1.2.2 õ l nh lỵ 1.3.1 v nh lỵ 1.3.2, cĂc nh lỵ ny cho ta cĂc kát quÊ mợi và Bi U RSM cho cĂc hm phƠn hẳnh  ỵ rơng, vĐn à nhĐt ối vợi a thực vi phƠn dÔng (P (f ))(k) , ð â P l  a thùc v  f l hm phƠn hẳnh, l mởt bi toĂn khõ Khõ khôn Ơy l trữớng hủp tờng quĂt hiằn chữa cõ mởt mối liản hằ tốt giỳa hm 85 T÷ìng tü, ta câ (n − m)T (r, g) ≤ 16T (r, g) + 12T (r, f ) − log r + O(1) Bði vªy, câ

(n − m) T (r, f ) + T (r, g) ≤ 28 T (r, f ) + T (r, g) − log r + O(1),
(n − m − 28) T (r, f ) + T (r, g) + log r ≤ O(1) Do n ≥ m + 28 ta gp mƠu thuăn A.B = tùc l  f n f m (qz + c).g n g m (qz + c) = Theo Bê Tr÷íng hđp l vỵi ln+m = g A = B tùc l  f n f m (qz + c) = g n g m (qz + c) Theo Bê · 3.2.1ii) suy f = hg vỵi hn+m = · 3.2.1i) suy f = Tr÷íng hđp nh lỵ 3.2.7 Cho f, g l hai hm phƠn hẳnh khĂc hơng trản K, n, m l l vợi ln+m = 1, ho°c g f = hg vỵi hn+m = náu mởt cĂc iÃu kiằn sau Ơy x£y ra: m = 1, n ≥ 13 v  f n f (qz + c) v  g n g(qz + c) nhên cõ tẵnh bởi; m = 1, n ≥ 25 v  f n f (qz + c) v  g n g(qz + c) nhên khổng tẵnh bởi; m ≥ 2, n ≥ m + 16 v  f n f m (qz + c) v  g n g m (qz + c) nhên cõ tẵnh bởi; m ≥ 2, n ≥ m + 28 v  f n f m (qz + c) v  g n g m (qz + c) nhên khổng tẵnh hai số nguyản dữỡng q, c K, |q| = Khi õ f = 3.3 nh lỵ thù hai cõa Ritt v  v§n · nh§t cõa a thực vi phƠn v a thực sai phƠn trản mët tr÷íng khỉng-Acsimet Bê · 3.3.1 Cho q, c ∈ K vỵi |q| = 1, n, m, d, k l  cĂc số nguyản dữỡng vợi n > 2k + 1, m > d Khi õ Phữỡng trẳnh hm
(k) nm nd
(k) f nm f nd (qz + c) g g (qz + c) =1 khỉng câ nghi»m ph¥n hẳnh khĂc hơng (f, g) Phữỡng trẳnh hm
(k)
(k) f nm f nd (qz + c) = g nm g nd (qz + c) 86 câ nghi»m ph¥n hẳnh khĂc hơng (f, g) v ch f = hg vỵi h ∈ K v  hn(m+d) = Chùng minh °t A = (f nm (z)f nd (qz + c))(k) , B = (g nm (z)g nd (qz + c))(k) , A B C = f m (z)f d (qz + c), D = g m (z)(g d (qz + c), P = n−k , Q = n−k Khi C D n (k) n−k n (k) n−k â A = (C ) = C P, B = (D ) = D Q (f nm (z)f nd (qz + c))(k) (g nm (z)g nd (qz + c))(k) = (C n )(k) (Dn )(k) = Ta s³ chùng minh C 6= 0, C 6= ∞, D 6= 0, D 6= ∞ Gi£ sû r¬ng C câ khỉng iºm Gåi a l  khỉng iºm vỵi ω(C, 0, a) = α, α ≥ Khi â a l  cüc iºm cõa D vỵi ω(D, ∞, a) = β , β ≥ cho nα − k = nβ + k v  k(m + d) + 16 > 2k + ta gp md mƠu thuăn Bơng cĂch lêp luên tữỡng tỹ, ta cõ D 6= 0, C 6= ∞, D 6= ∞ Do C, D kh¡c h¬ng, ta cụng gp mƠu thuăn (f nm (z)f nd (qz + c))(k) = (g nm (z)g nd (qz + c))(k) , (C n )(k) = (Dn )(k) Bði v¼ f, g kh¡c h¬ng, v  Bê · 3.1.5 ta thĐy C, D khĂc hơng Do õ C n = Dn + s, Dn = C n − s, vỵi s l  mët a thùc bªc < k Ta chùng minh s ≡ Gi£ sû s 6≡ Thá thẳ n( ) = 2k Tứ Ơy v  n ≥ 2k + nT (r, D) = T (r, Dn ) + O(1) ≤ T (r, C n ) + T (r, s) + O(1) ≤ nT (r, C) + (k − 1) log r + O(1) Tø ¥y v  n ≥ 2k + k(m + d) + 16 > 2k + ta nhên ữủc m−d k−1 1 < , T (r, D) ≤ T (r, C) + log r + O(1) n 2 Dn Cn ,G = Do C, D kh¡c hơng, ta nhên ữủc t F = s s F s = C n , nT (r, C) = T (r, C n ) ≤ T (r, F ) + T (r, s) + O(1) ≤ T (r, F ) + (k − 1) log r + O(1), nT (r, C) − (k − 1) log r ≤ T (r, F ) + O(1), 1 N1 (r, ) ≤ N1 (r, ) ≤ T (r, C) + O(1), F C 1 N1 (r, ) ≤ T (r, D) + O(1) ≤ T (r, C) + log r + O(1), F (3.17) 87 N1 (r, F ) ≤ N1 (r, C n ) + N1 (r, ) ≤ N1 (r, C) + (k − 1) log r + O(1) s ≤ T (r, C) + (k − 1) log r + O(1) Tø ¥y v  Bê · 2.1.9, câ F − = G n¶n ta suy nT (r, C) − (k − 1) log r + O(1) ≤ T (r, F ) 1 ) + N1 (r, F ) + N1 (r, ) − log r + O(1) F F −1 ≤ T (r, C) + T (r, C) + (k − 1) log r + N1 (r, ) − log r + O(1) G ≤ 2T (r, C) + (k − 1) log r + N1 (r, ) − log r + O(1) D ≤ 2T (r, C) + T (r, C) + log r + (k − 1) log r − log r + O(1) Vªy, ta câ ≤ N1 (r, (n − 3)T (r, C) − 2(k − 1) log r + log r ≤ O(1) M°t kh¡c, C kh¡c h¬ng sè, ta nhên ữủc T (r, C) log r + O(1) Vªy k(m + d) + 16 > (n−2k−1) log r+ log r ≤ O(1) Tø ¥y v  n ≥ 2k+ m−d 2k + ta g°p mởt mƠu thuăn Vêy s Do vêy, C n = Dn v  C = eD, f m (z)f d (qz + c) = eg m (z)g d (qz + c) vỵi f f (qz + c) en = °t h = Gi£ sû h kh¡c h¬ng Khi â h(qz + c) = g g(qz + c) kh¡c h¬ng v  e , hd (qz + c)
e mT (r, h) = T (r, hm ) + O(1) = T r, d + O(1) h (qz + c) T (r, h(qz + c)) = T (r, h) + O(1), hm = = dT (r, h(qz + c)) + O(1) = dT (r, h) + O(1) Suy (m − d)T (r, h) = O(1) i·u n y m¥u thuăn vợi giÊ thiát m > d, h khĂc hơng Vêy h l hơng Do f m (z)f d (qz + c) = eg m (z)g d (qz + c), en = ta kát luên rơng f = hg vợi hm+d = e, hn(m+d) = Vêy Bờ à 3.3.1 ữủc chựng minh 88 nh lỵ 3.3.2 Cho f v g l hai hm phƠn hẳnh khĂc hơng tr¶n K, q, c ∈ K, |q| = 1, cho n, m, d, k , l cĂc số nguyản dữỡng thäa m¢n i·u k(m + d) + 16 ki»n m > d ≥ 1, n ≥ 2k + N¸u (f nm (z)f nd (qz + c))(k) v  m−d nm nd (k) (g (z)g (qz + c)) nhªn CM, thẳ f = hg vợi hn(m+d) = 1, h K Chùng minh °t A = (f nm (z)f nd (qz + c))(k) , B = (g nm (z)g nd (qz + c))(k) , B A C = f m (z)f d (qz + c), D = g m (z)(g d (qz + c), P = n−k , Q = n−k Khi C D â A = (C n )(k) = C n−k P, B = (Dn )(k) = Dnk Q Chú ỵ rơng N1 (r, A) + N1,(2 (r, A) = N2 (r, A), 1 ) + N1,(2 (r, ) = N2 (r, ), A A A N1 (r, B) + N1,(2 (r, B) = N2 (r, B), 1 N1 (r, ) + N1,(2 (r, ) = N2 (r, ) B B B Khi â, ¡p dưng Bê · 3.1.4 èi vỵi (C n )(k) , (Dn )(k) ta x²t c¡c tr÷íng hđp sau N1 (r, Tr÷íng hđp T (r, A) ≤ N2 (r, A) + N2 (r, 1 ) + N2 (r, B) + N2 (r, ) − log r + O(1), A B T (r, B) ≤ N2 (r, A) + N2 (r, 1 ) + N2 (r, B) + N2 (r, ) − log r + O(1) A B (3.18) Ta thĐy rơng náu a l mởt cỹc im cừa A, thẳ C(a) = vợi à01 (a) ≥ A n + k ≥ v  Bê · 3.1.4 ta câ N1 (r, C) = N1 (r, f f (qz + c)) ≤ N1 (r, f ) + N1 (r, f (qz + c)) + O(1) ≤ T (r, f ) + T (r, f (qz + c)) + O(1) = 2T (r, f ) + O(1) T÷ìng tü, N1 (r, C1 ) ≤ 2T (r, f ) + O(1) Do â, theo Bê · 3.1.5 ta câ m d N2 (r, A) = 2N1 (r, C) ≤ 4T (r, f ) + O(1), 1 1 ) ≤ N2 (r, n−k ) + N (r, ) = 2N1 (r, ) + N (r, ) A C P C P ≤ 4T (r, f ) + N (r, ) + O(1) P ≤ 4T (r, f ) + k(m + d)T (r, f ) + kN1 (r, C) + O(1) N2 (r, 89 T÷ìng tü, ta công câ N2 (r, B) ≤ 4T (r, g) + O(1), 1 ) ≤ 4T (r, g) + N (r, ) + O(1) B Q ≤ 4T (r, g) + k(m + d)T (r, g) + kN1 (r, D) + O(1) N2 (r, Tø c¡c b§t ¯ng thùc tr¶n v  (3.18) ta câ T (r, A) ≤ 8(T (r, f ) + T (r, g)) + N (r, 1 ) + N (r, ) − log r + O(1) P Q ≤ 8(T (r, f )+T (r, g))+k(m+d)T (r, f )+kN1 (r, C)+N (r, )−log r+O(1), Q 1 ) + N (r, ) − log r + O(1) P Q ≤ 8(T (r, f )+T (r, g))+k(m+d)T (r, g)+kN1 (r, D)+N (r, )−log r+O(1), P 1 T (r, A) + T (r, B) ≤ 16(T (r, f ) + T (r, g)) + N (r, ) + N (r, ) P Q +k(m + d)(T (r, f ) + T (r, g)) + k(N1 (r, C) + N1 (r, D)) − log r + O(1) T (r, B) ≤ 8(T (r, f ) + T (r, g)) + N (r, Do Bê · 3.1.5 ta câ (n − 2k)(m − d)T (r, f ) + kN (r, C) + N (r, ) ≤ T (r, A) + O(1), P (n − 2k)(m − d)T (r, g) + kN (r, D) + N (r, ) ≤ T (r, B) + O(1) Q Kát hủp cĂc bĐt ng thực trản Ơy, ta nhên ữủc (n 2k)(m d)(T (r, f ) + T (r, g)) + k(N (r, C) + N (r, D))+ N (r, 1 ) + N (r, ) P Q ≤ (k(m + d) + 16)(T (r, f ) + T (r, g)) + k(N1 (r, C) + N (r, D)) + N (r, ) P ) − log r + O(1), Q [(n − 2k)(m − d) − (k(m + d) + 16)](T (r, f ) + T (r, g)) + log r ≤ O(1) +N (r, 90 V¼ n ≥ 2k + Tr÷íng hđp k(m + d) + 16 , ta gp mƠu thuăn md (f nm (z)f nd (qz + c))(k) (g nm (z)g nd (qz + c))(k) = (C n )(k) (Dn )(k) = ÷đc suy tø Bê · 3.3.1.1 Tr÷íng hđp (f nm (z)f nd (qz + c))(k) = (g nm (z)g nd (qz + c))(k) , (C n )(k) = (Dn )(k) Kát luên cừa trữớng hủp ny ữủc suy tứ Bờ à 3.3.1.2 Vêy nh lỵ 3.3.2 ữủc chựng minh nh lỵ 3.3.3 Cho f v g l hai hm phƠn hẳnh khĂc hơng trản K, q, c K, |q| = 1, v  cho n, m, d, k l cĂc số nguyản dữỡng, thọa mÂn cĂc iÃu kiằn 2k(2m + 2d + 3) + 28 m > d ≥ 1, n ≥ 2k + N¸u (f nm (z)f nd (qz + c))(k) m−d nm nd (k) v  (g (z)g (qz + c)) nhên IM, thẳ f = hg vỵi hn(m+d) = 1, h ∈ K Chùng minh Ta sû dưng c¡c k½ hi»u chùng minh nh lỵ 3.3.2 Khi õ Ăp dửng Bờ à 3.1.6 èi vỵi (C n )(k) , (Dn )(k) ta xem x²t c¡c tr÷íng hđp sau Tr÷íng hđp 1 ) + N2 (r, B) + N2 (r, )+ A B 1 2(N1 (r, A) + N1 (r, )) + N1 (r, B) + N1 (r, ) − log r + O(1), A B 1 T (r, B) ≤ N2 (r, A) + N2 (r, ) + N2 (r, B) + N2 (r, )+ A B 1 2(N1 (r, B) + N1 (r, )) + N1 (r, A) + N1 (r, ) − log r + O(1) B A Kát hủp cĂc bĐt ng thực tr¶n ta câ T (r, A) ≤ N2 (r, A) + N2 (r, 1 ) + N2 (r, B) + N2 (r, )) A B 1 +3(N1 (r, A) + N1 (r, ) + N1 (r, B) + N1 (r, )) − log r + O(1) A B Tứ Ơy, tữỡng tỹ nhữ Trữớng hủp cừa nh lỵ 3.3.2 v Bờ à 3.1.5 ta cõ T (r, A) + T (r, B) ≤ 2(N2 (r, A) + N2 (r, (n − 2k)(m − d)(T (r, f ) + T (r, g)) + k(N (r, C) + N (r, D)) 91 1 ) + N (r, ) ≤ T (r, A) + T (r, B) + O(1); (3.19) P Q 1 T (r, A) + T (r, B) ≤ 16(T (r, f ) + T (r, g)) + N (r, ) + N (r, )+ P Q k(m + d)(T (r, f ) + T (r, g)) + k(N1 (r, C) + N1 (r, D)) + 3(N1 (r, A)+ +N (r, 1 ) + N1 (r, B) + N1 (r, )) − log r + O(1); A B N1 (r, A) ≤ 2T (r, f ) + O(1), N1 (r, ) ≤ 2T (r, f )+ A k(m + d + 2)T (r, f ) + O(1); N1 (r, B) ≤ 2T (r, g) + O(1), N1 (r, ) ≤ 2T (r, g) + k(m + d + 2)T (r, g) + O(1) B Do (3.19), (3.20), (3.21) ta câ N1 (r, (3.20) (3.21) (n−2k)(m−d)(T (r, f )+T (r, g)) ≤ 16(T (r, f )+T (r, g))+k(m+d)(T (r, f ) +T (r, g))+3[2T (r, f )+2T (r, f )+k(m+d+2)T (r, f )+2T (r, g)+2T (r, g) +k(m + d + 2)T (r, g)] − log r + O(1) = (28 + 2k(2m + 2d + 3))(T (r, f ) + T (r, g)) − log r + O(1) Tø â, suy [(n−2k)(m−d)−(28+2k(2m+2d+3))](T (r, f )+T (r, g))+4 log r ≤ O(1) 28 + 2k(2m + 2d + 3) md Ta sỷ dửng cĂc lêp luên tữỡng tü nh÷ c¡c Tr÷íng hđp v  cõa ành lỵ 3.3.2 Ta cụng cõ kát luên f = hg vợi hn(m+d) = nh lỵ 3.3.3 ữủc chựng minh iÃu ny mƠu thuăn vợi giÊ thiát n 2k + Tr÷íng hđp v  Tr÷íng hđp ành lỵ 3.3.4 Cho f v g l hai hm phƠn hẳnh khĂc hơng trản K, q, c K, |q| = 1, v  cho n, m, d, k l  c¡c số nguyản dữỡng, thọa mÂn cĂc iÃu kiằn m > d ≥ Khi â f = gh vỵi hn(m+d) = 1, h ∈ K n¸u mët hai i·u kiằn sau ữủc thọa mÂn: n 2k + k(m+d)+16 v  (f nm (z)f nd (qz + c))(k) v  (g nm (z)g nd (qz + c))(k) m−d nhªn CM; n ≥ 2k + 2k(2m+2d+3)+28 v  (f nm (z)f nd (qz + c))(k) v  (g nm (z)g nd (qz + md c))(k) nhên IM 92 Kát luên cừa Chữỡng Trong Chữỡng 3, chúng tổi  thiát lêp ữủc cĂc Bờ à 3.2.1, 3.3.1 nhữ l hai kiu nh lỵ Ritt thự hai cho tẵch q -sai phƠn dÔng f n f m (qz + c) v a thực vi phƠn, sai phƠn dÔng (f nm f nd (qz + c))(k) , ð â q, c ∈ K vỵi |q| = v  f l  h m phƠn hẳnh trản K Chúng tổi cụng  thiát lêp ữủc hai kát quÊ và VĐn à nhĐt cho tẵch q -sai phƠn v a thực vi phƠn, sai phƠn cõ dÔng trản, õ l cĂc nh lỵ 3.2.7, 3.3.4 Chú ỵ rơng cĂc kát quÊ ny chữa cõ trữớng hủp phực 93 Kát luên v kián ngh Luên Ăn nghiản cựu VĐn à nhĐt cừa hm phƠn hẳnh v a thực vi phƠn, a thực q -sai phƠn trữớng hủp phực v p-adic, xem xt cĂc tữỡng tỹ cừa cĂc nh lỵ Ritt ối vợi VĐn à nhĐt ối vợi a thực vi phƠn cừa hm phƠn hẳnh v VĐn à nhĐt ối vợi tẵch q-sai phƠn, a thực vi phƠn cừa hm phƠn hẳnh trản mởt trữớng khổng Acsimet Nhỳng kát quÊ chẵnh cừa luên Ăn Thiát lêp ữủc mởt nh lỵ tữỡng tỹ nh lỵ thự hai cừa Ritt cho hm phƠn hẳnh (nh lỵ 1.2.2), mởt nh lỵ tữỡng tỹ nh lỵ thự nhĐt cừa Ritt cho hm phƠn hẳnh (nh lỵ 1.2.5) Thiát lêp ữủc mởt kát quÊ và Bi U RSM (nh lỵ 1.3.2), mởt kát quÊ và U RSM (nh lỵ 1.3.3), mởt kát quÊ và têp xĂc nh nhĐt cho a thực vi phƠn (nh lỵ 1.3.10) Thiát lêp hai kiu nh lỵ thự hai cừa Ritt cho hm phƠn hẳnh v vec-tỡ cĂc hm nguyản trản mởt trữớng khổng-Acsimet (nh lỵ 2.2.6 v nh lỵ 2.3.2) Thiát lêp ữủc ba kát quÊ và VĐn à nhĐt cho hm v a thực vi phƠn (nh lỵ 2.2.7, Hằ quÊ 2.2.9, nh lỵ 2.3.7) Thiát lêp ữủc hai kiu nh lỵ Ritt thự hai cho tẵch q -sai phƠn dÔng f n f m (qz + c) v  a thùc vi phƠn, sai phƠn dÔng (f nm f nd (qz + c))(k) , ð â q, c ∈ K vỵi |q| = v f l hm phƠn hẳnh trản K, vợi K l mởt trữớng khổng-Acsimet (Bờ à 3.2.1, Bờ à 3.3.1) Thiát lêp ữủc hai kát quÊ và VĐn à nhĐt cho tẵch q -sai phƠn v a thực vi phƠn, sai phƠn cõ dÔng trản (nh lỵ 3.2.7, 3.3.4) Nhỳng vĐn à cƯn tiáp tửc nghiản cựu Tiáp tửc nghiản cựu cĂc tữỡng tỹ cừa hai nh lỵ Ritt và VĐn à xĂc nh v VĐn à nhĐt ối vợi hm phƠn hẳnh v a thùc vi ph¥n, a thùc sai ph¥n, a thùc q -sai phƠn trữớng hủp phực v p-adic Tiáp tửc nghiản cựu cĂc ựng dửng cừa hai nh lỵ Ritt vo bi toĂn xĂc nh hm v têp xĂc nh nhĐt 94 Danh mửc Cổng trẳnh cừa tĂc giÊ  cổng bố liản quan án à t i Pham Ngoc Hoa (2008), " An analogue of Mason's theorem for padic entire functions in several variables", Journal of Science, NXB Trữớng Ôi hồc Sữ PhÔm H Nởi, 53(1), pp 12-21 Vu Hoai An, Pham Ngoc Hoa (2012), "A version of the Hayman conjecture for p-adic several variables difference polynomials", Interractions between real and complex analysis, Sci Technics Publ.House, Hanoi, pp 152-161 Vu Hoai An, Pham Ngoc Hoa, and Ha Huy Khoai (2017), "Value sharing problems for differential and difference polynomials of meromorphic functions in a non-Archimedean field", p-Adic Numbers, Ultrametric Analysis and Applications, Volume 9, Issue 1, pp 114 Vu Hoai An, Pham Ngoc Hoa (2017), "On the uniqueness problem of non-Archimedean meromorphic functions and their differential polynomials", Annales Univ.Sci.Budapest, Sect Comp, 46, pp.289-302 Ha Huy Khoai, Vu Hoai An, and Pham Ngoc Hoa (2017), "On functional equations for meromorphic functions and applications", Archiv der Mathematik, Springer International Publishing, Volume 109, Issue 6, pp 539549 Vu Hoai An, Pham Ngoc Hoa, and Ha Huy Khoai (Submit), "Uniqueness theorems for meromorphic functions and their differential polynomial" 95 T i li»u tham kh£o Ti¸ng Viằt [1] Nguyạn XuƠn Lai (2017), VĐn à xĂc nh hm hai Ôo hm nhên mởt têp, Luên Ăn Tián s ToĂn hồc, Ôi hồc Sữ phÔm ThĂi Nguyản, Ôi hồc ThĂi Nguyản [2] Lả Quang Ninh (2017), Và xĂc nh hm v Ănh xÔ chnh hẳnh qua iÃu kiằn Ênh ngữủc cừa têp hủp im, Luên Ăn Tián s ToĂn hồc, Ôi hồc Sữ phÔm ThĂi Nguyản, Ôi hồc ThĂi Nguyản Tiáng Anh [3] Ta Thi Hoai An, Nguyen Thi Ngoc Diep (2013), "Genus one factors of curve defined by separated variable polynomial", J Number Theory, 133 (8), pp 2616-2634 [4] Vu Hoai An, Pham Ngoc Hoa (2012), "A version of the Hayman conjecture for p-adic several variables difference polynomials", Interractions between real and complex analysis, Sci Technics Publ.House, Hanoi, pp 152-161 [5] Vu Hoai An, Pham Ngoc Hoa (2017), "On the uniqueness problem of non-Archimedean meromorphic functions and their differential polynomials", Annales Univ.Sci.Budapest, Sect Comp, 46, pp.289-302 [6] Vu Hoai An, Pham Ngoc Hoa, and Ha Huy Khoai (2017), "Value sharing problems for differential and difference polynomials of meromorphic functions in a non-Archimedean field", p-Adic Numbers, Ultrametric Analysis and Applications, Volume 9, Issue 1, pp 114 [7] Vu Hoai An, Pham Ngoc Hoa, and Ha Huy Khoai (Submit), "Uniqueness theorems for meromorphic functions and their differential polynomial" [8] Vu Hoai An and Le Quang Ninh (2016), "On functional equations of the Fermat-Waring type for non-Archimedean vectorial entire functions", Bull.Korean Math.Soc, 53(4), pp 1185-1196 96 [9] Bezivin J P., Boussaf K and Escassut A (2012), "Zeros of the derivative of a p-adic meromorphic function", Bull Sci Math²matiques, 136(8), pp 839847 [10] Bhoosnurmath Subhas S and Dyavanal Renukadevi S (2007), "Uniqueness and value-sharing of meromorphic functions", Computers and Mathematics with Applications, 53, pp 1191-1205 [11] Boussaf K , Escassut A., Ojeda J (2012), "p-adic meromorphic func0 0 tions (f )( ) P (f ), (g)( ) P (g) sharing a small function", Bull Sci math, 136, pp 172-200 [12] Boutabaa A (1990), "Th'eorie de Nevanlinna p-adique", Manuscripta Math, 67, pp 251-269 [13] T Dinh (2002), "Ensembles d'unicite' pour les polnomes", Ergodic Theory Dynam Systems, 22(1), pp 171-186 [14] T Dinh (2005), "Distribution des pr²images et des points p²riodiques d'une correspondance polynomiale", Bull Soc Math France, 133(3), pp 363394 [15] Escassut A and Ojeda J (2014), "The p-adic Hayman Conjecture when n=2", Complex Variable and Elliptic Equations, 59(10), pp 1451-1456 [16] Escassut A (2015), "Value Distribution in p-adic Analysis", World Sci Publ Co Pte, Ltd Singapore [17] Fang C Y and Fang M L (2002), "Uniqueness of meromorphic functions and differential polynomials", Comput Math Appl, 44 , pp 607617 [18] Fang M L (2002), "Uniqueness and value-sharing of entire functions", Comput Math Appl, 44, pp 823-831 Theory Appl, 37(1-4), pp 185-193 [19] Fujimoto H (2000), "On uniqueness of meromorphic functions sharing finite sets", Amer J.Math, 122(6), pp 1175 - 1203 [20] Hayman W.K (1964), "Meromorphic Functions", Oxford Mathematical Monographs Clarendon Press, Oxford [21] Hayman W.K (1967), "Research problems in Function Theory", The Athlone Press University of London, London [22] Pham Ngoc Hoa (2008), " An analogue of Mason's theorem for p-adic entire functions in several variables", Journal of Science, NXB Trữớng Ôi hồc Sữ PhÔm H Nëi, 53(1), pp 12-21 97 [23] Hu P C and Yang C C (1999), " A unique range set for p-adic meromorphic functions with 10 elements", Acta Math Vietnamica., 24, pp 95-108 [24] Hu P C and Yang C C (2000), "Meromorphic functions over nonArchimedean fields", Kluwer [25] Ha Huy Khoai (1983), "On p-adic meromorphic functions", Duke Math J., 50,pp 695-711 [26] Ha Huy Khoai and Vu Hoai An (2003), "Value distribution for p-adic hypersurfaces", Taiwanese Journal of Mathematics, 7(1), pp 51-67 [27] Ha Huy Khoai and Vu Hoai An (2011), "Value distribution problem for p-adic meromorphic functions and their derivatives", Ann Fac Sc Toulouse, Vol XX (No Special), pp.135-149 [28] Ha Huy Khoai and Vu Hoai An (2012), " Value sharing problem for p-adic meromorphic functions and their difference operators and difference polynomials", Ukranian Math J., 64(2), pp 147-164 [29] Ha Huy Khoai, Vu Hoai An, and Pham Ngoc Hoa (2017), "On functional equations for meromorphic functions and applications", Archiv der Mathematik, Springer International Publishing, Volume 109, Issue 6, pp 539549 [30] Ha Huy Khoai, Vu Hoai An and Nguyen Xuan Lai (2012), "Value sharing problem and Uniqueness for p-adic meromorphic functions", Ann Univ Sci Budapest., Sect Comp., 38, pp 71-92 [31] Ha Huy Khoai, Vu Hoai An and Nguyen Xuan Lai (2017), "Valuesharing and Uniqueness problems for non-Archimedean differential polynomials in several variables", Complex Variables and Elliptic Equations, pp 1-17 [32] Ha Huy Khoai, Vu Hoai An and Le Quang Ninh (2014), "Uniqueness theorems for holomorphic curves with Hypersurfaces of FermatWaring type", Complex Anal Oper Theory, Vol.8, No.3, pp 591-790 [33] Ha Huy Khoai and Ta Thi Hoai An (2001), "On uniqueness polynomials and Bi-URS for p-adic Meromorphic functions", J Number Theory, 87, pp 211-221 [34] Ha Huy Khoai and Mai Van Tu (2004), "p-adic Nevanlinna-Cartan Theorem", Internat J Math, 6(1995), pp 719-731 [35] Ha Huy Khoai and Yang C C., "On the functional equation P (f ) = Q(g)", Advances in Complex Analysis and Application, Value Distribution Theory and Related Topics, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Boston, London, pp 201-208 98 [36] Lahiri I (1997) , "Uniqueness of meromorphic functions as governed by their differential polynomials", Yokohama Math J., 44, pp 147156 [37] Laine I and Yang C C (2007), "Value distribution of difference polynomials", Proc Japan Acad., Ser A, 83(8), pp.148-151 [38] Li P and Yang C.C (2004), "Some Further Results on the Functional Equation P (f ) = Q(g)", Value Distribution Theory and Related Topics, Advanced Complex Analysis and Application, Kluwer Academic, Boston, MA, Vol.3, pp 219-231 [39] Liu K., Liu X., Cao T B (2011), "Value distribution and uniqueness of difference polynomials", Adv Difference Equ., article ID234215, 12pp [40] K Masuda and J Noguchi (1996), "A construction of hyperbolic hypersurface of P N (C)", Math Ann., 304 ,pp 339-362 18, pp 437-450 [41] Ojeda J (2008), "Hayman's conjecture in a p-adic field", Taiwanese J Math 12(9), pp 2295-2313 [42] Ostrovskii I., Pakovitch F., Zaidenberg M (1996), "A remark on complex polynomials of least deviation", Internat Math Res Notices, 14, pp 699703 [43] Pakovich F (2008), " On polynomials sharing preimages of compact sets, and related questions", Geom Funct Anal, 18(1), pp 163-183 [44] Pakovich F (2010), "On the equation P (f ) = Q(g), where P, Q are polynomials and f, g are entire functions", Amer J Math., 132(6), pp 1591-1607 [45] Qi X C., Yang L Z., Liu K (2010), "Uniqueness and periodicity of meromorphic functions concerning the difference operator", Comp Math Appl., 60(6), pp 1739-1746 [46] Ritt J (1922), "Prime and composite polynomials", Trans Amer Math Soc., 23(1), pp 51-66 [47] Ru M (2001), "A note on p-adic Nevanlinna theory", Proc Amer Math Soc., 129, pp 1263-1269 [48] Siu Y.T., Yeung S.K (1997), "Defects for ample divisors of Abelian varieties, Schwarz lemma, and hyperbolic hypersurfaces of low degrees", Amer J Math., 119, pp 1139-1172 99 [49] Yang C (1978), "Open problem in Complex analysis", Proceedings of the S.U.N.Y.Brockport Conf on Complex Function Theory, June 79, 1976, Edited by Sanford S Miller Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics, Marcel Dekker, Inc., New York-Basel, Vol.36 [50] Yang C.C (1976), "On two entire functions, which together with their first derivatives have the same zeros", J Math Anal Appl., 56, pp 1-6 [51] Yang C.C and Hua X.H (1997), "Uniqueness and value-sharing of meromorphic functions", Ann Acad Sci Fenn Math., 22, pp 395406 [52] Yi H X (1990), "A question of C C Yang on the uniqueness of entire functions", Kodai Math J., 13, pp 39-46 [53] Yi H X (1995), "The unique range sets of entire or meromorphic functions", Complex Variables Theory Appl., 28, pp 13-21 [54] Zhang X.Y., Lin W.C (2008), "Uniqueness and value-sharing of entire functions", J Math Anal Appl., 343, pp 938-950