Luận án tiến sĩ về lý thuyết nevanlinna cho hình vành khuyên và vấn đề duy nhất

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LEUANGLITH VILAISAVANH VỀ LÝ THUYẾT NEVANLINNA CHO HÌNH VÀNH KHUYÊN VÀ VẤN ĐỀ DUY NHẤT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2022 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LEUANGLITH VILAISAVANH VỀ LÝ THUYẾT NEVANLINNA CHO HÌNH VÀNH KHUN VÀ VẤN ĐỀ DUY NHẤT Ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 9460102 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS HÀ TRẦN PHƯƠNG THÁI NGUYÊN - 2022 i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu hướng dẫn PGS TS Hà Trần Phương Các kết viết chung với tác giả khác trí đồng tác giả đưa vào luận án Các kết luận án chưa công bố cơng trình khoa học khác Thái Nguyên, tháng 10 năm 2022 Tác giả LEUANGLITH Vilaisavanh ii Lời cảm ơn Luận án thực hoàn thành dự hướng dẫn tận tình PGS TS Hà Trần Phương Tác giả luận án xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến thầy Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám đốc Đại học Thái Nguyên, Ban Đào tạo Đại học Thái Nguyên, Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo, Ban chủ nghiệm khoa Tốn phịng Ban chức Trường Đại học Sư phạm Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ tác giả q trình học tập nghiên cứu hồn thành luận án Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy, cô, bạn bè Seminar Bộ môn Giải tích Tốn ứng dụng, Khoa Tốn Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên giúp đỡ, động viên tác giả nghiên cứu khoa học Tác giả xin chân thành cảm ơn Trường Đại học Savannakhet nước CHDCND Lào đồng nghiệp tạo điều kiện giúp đỡ mặt trình học tập hồn thành luận án Cuối tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn người thân gia đình, người chịu nhiều khó khăn, vất vả dành hết tình cảm u thương, động viên, chia sẻ, khích lệ để tác giả hồn thành luận án Thái Nguyên, tháng 10 năm 2022 Tác giả LEUANGLITH Vilaisavanh iii Mục lục Mở đầu Chương Hai định lý cho đường cong chỉnh hình hình vành khuyên 14 1.1 Một số kiến thức Lý thuyết phân bố giá trị cho hàm phân hình 14 1.1.1 Trường hợp hàm phân hình C 14 1.1.2 Trường hợp hàm phân hình hình vành khuyên 17 1.2 Các hàm Nevanlinna-Cartan Định lý thứ 23 1.2.1 Các hàm Nevanlinna-Cartan 23 1.2.2 Định lý thứ 25 1.3 Định lý thứ hai 26 1.3.1 Kiến thức bổ trợ 26 1.3.2 Định lý thứ hai 29 Chương Vấn đề cho đường cong chỉnh hình hình vành khuyên 41 2.1 Một số kiến thức chuẩn bị 41 2.1.1 Hàm đếm có trọng 41 2.1.2 Hai định lý với mục tiêu siêu phẳng 44 2.2 Hai định lý cho đường cong chỉnh hình 45 2.2.1 Trường hợp không xét nghịch ảnh siêu mặt 45 2.2.2 Trường hợp có xem xét điều kiện nghịch ảnh siêu mặt 53 iv Chương Vấn đề cho hàm nguyên liên quan đến gi thuyt Bră uck 57 3.1 Kiến thức bổ trợ 57 3.1.1 Phân bố giá trị cho đa thức vi phân 57 3.1.2 Họ chuẩn tắc hàm phân hình 59 3.2 Vấn đề 64 3.2.1 Tiêu chuẩn chuẩn tắc họ hàm phân hình 64 3.2.2 Định lý 77 Kết luận 82 Danh mục Cơng trình tác giả cơng bố liên quan đến luận án 83 Tài liệu tham khảo 84 Mở đầu Lịch sử nghiên cứu lý chọn đề tài Được bắt nguồn cơng trình R Nevanlinna từ đầu kỷ XX, Lý thuyết phân bố giá trị cho hàm phân hình (cịn gọi Lý thuyết Nevanlinna) đánh giá thành tựu sâu sắc đẹp đẽ Toán học Với nội dung bao gồm hai định lý bản: Định lý thứ Định lý thứ hai, Lý thuyết phân bố giá trị ngày thu hút quan tâm nhiều tác giả nước, thu nhiều kết quan trọng có ứng dụng nhiều lĩnh vực khác Toán học vấn đề cho hàm phân hình, hệ động lực phức, phương trình vi phân phức, Kí hiệu Pn (C) không gian xạ ảnh n chiều trường C Năm 1933, H Cartan mở rộng kết Nevanlinna cho trường hợp đường cong chỉnh hình vào Pn (C) đưa số ứng dụng Theo hướng nghiên cứu nhiều nhà tốn học ngồi nước công bố nhiều kết đặc sắc dạng định lý thứ thứ hai trường hợp khác nghiên cứu ứng dụng định lý lĩnh vực khác Toán học, đặc biệt vấn đề cho đường cong chỉnh hình Với đường cong chỉnh hình f : C → Pn (C) có biểu diễn tối giản (f0 , , fn ), hàm Tf (r) = 2π Z 2π log ∥f (reiθ )∥dθ gọi hàm đặc trưng Nevanlinna-Cartan đường cong f , ∥f (z)∥ = max{|f0 (z)|, , |fn (z)|} Cho H siêu phẳng, xác định dạng tuyến tính L Hàm Z 2π ∥f (reiθ )∥ dθ log mf (r, H) = mf (r, L) := 2π |L(f )(reiθ )| gọi hàm xấp xỉ f kết hợp với siêu phẳng H Kí hiệu nf (r, H) số không điểm L(f )(z) đĩa {|z| < r}, kể bội, nM f (r, H) số không điểm L(f )(z) đĩa {|z| < r}, bội cắt cụt số nguyên dương M Hàm Z Nf (r, H) = Nf (r, L) = r nf (t, H) − nf (0, H) dt + nf (0, H) log r t gọi hàm đếm kể bội hàm Z r M nf (t, H) − nM f (0, H) M M Nf (r, H) = Nf (r, L) = dt + nM f (0, H) log r t gọi hàm đếm bội cắt cụt M đường cong f kết hợp với siêu M phẳng H , nf (0, H) = lim nf (r, H), nM f (0, H) = lim nf (r, H) r→0 r→0 Số M kí hiệu NfM (r, H) gọi số bội cắt cụt Năm 1933, H Cartan ([4]) chứng minh hai kết sau: Định lý Cho đường cong chỉnh hình f : C → Pn (C) siêu phẳng H cho f (C) ̸⊂ H , ta có Tf (r) = Nf (r, H) + mf (r, H) + O(1) Định lý Cho đường cong chỉnh hình khơng suy biến tuyến tính f : C → Pn (C) q siêu phẳng H1 , , Hq vị trí tổng qt Pn (C) Khi bất đẳng thức (q − n − 1)Tf (r) ⩽ q X Nfn (r, Hj ) + o(Tf (r)) j=1 với r > đủ lớn nằm tập có độ đo Lebesgue hữu hạn Định lý gọi Định lý thứ nhất, Định lý gọi Định lý thứ hai với bội cắt cụt cho đường cong chỉnh hình từ C vào Pn (C) khơng suy biến tuyến tính kết hợp với siêu phẳng vị trí tổng qt Cơng trình H Cartan đánh giá quan trọng, mở hướng nghiên cứu việc phát triển lý thuyết phân bố giá trị - nghiên cứu phân bố giá trị ánh xạ phân hình, chỉnh hình - mà ngày ta biết đến với tên gọi gắn với tên hai nhà toán học xuất sắc “Lý thuyết Nevanlinna-Cartan” Các kết nghiên cứu theo hướng thời gian gần tập trung vào hai vấn đề: Xây dựng dạng định lý (định lý thứ thứ hai) cho đường cong chỉnh hình từ C miền C vào Pn (C) đa tạp đại số xạ ảnh Pn (C) với mục tiêu siêu phẳng, siêu mặt cố định di động, cách thiết lập quan hệ hàm đặc trưng Nevanlinna-Cartan với hàm xấp xỉ, hàm đếm hay hàm đếm bội cắt cụt Từ suy kết quan hệ số khuyết Nghiên cứu ứng dụng lý thuyết Nevanlinna-Cartan lĩnh vực khác toán học, chẳng hạn, nghiên cứu suy biến đường cong đại số, vấn đề cho hàm phân hình đường cong chỉnh hình, hệ phương trình vi phân, đạo hàm riêng phức, Hướng nghiên cứu thứ thu hút quan tâm nhiều nhà toán học thu nhiều kết sâu sắc, chẳng hạn, G Dethloff, E I Nochka, M Ru, P Vojta, H H Khoai, D D Thai, T V Tan, T T H An, S D Quang Năm 1983, Nochka ([33]) mở rộng kết H Cartan cho trường hợp họ siêu phẳng H1 , , Hq vị trí N −tổng quát Pn (C) Năm 2004, M Ru ([41]) đưa dạng Định lý thứ hai cho đường cong chỉnh hình khơng suy biến đại số kết hợp với siêu mặt cố định Trong ([42]), Ông mở rộng kết cho đường cong chỉnh hình vào đa tạp đại số xạ ảnh V Năm 2007, T T H An H T Phuong ([1]) năm 2008, Q M Yan Z H Chen ([51]) chứng minh quan hệ hàm đặc trưng Tf (r) đường cong chỉnh hình f : C → Pn (C) với hàm đếm bội cắt cụt NfM (r, Dj ) trường hợp họ siêu mặt cố định {D1 , , Dq } vị trí tổng qt Ngồi ra, năm gần G Dethloff, T V Tan ([13]), D D Thai, S D Quang ([48]), L Shi ([45]), P C Hu, N V Thin ([23]) công bố số cơng trình theo hướng cho đường cong chỉnh hình nhiều biến phức vào Pn (C) hay đa tạp đại số xạ ảnh Pn (C) với mục tiêu siêu phẳng hay siêu mặt, cố định hay di động, vị trí tổng quát hay N − tổng quát Một ứng dụng quan trọng lý thuyết Nevanlinna-Cartan, lý thuyết Nevanlinna nghiên cứu xác định ánh xạ chỉnh hàm phân hình thông qua ảnh ngược hay nhiều tập hữu hạn phần tử Vấn đề thu hút quan tâm nhiều nhà toán học: A Boutabaa, W Cherry, G Dethloff, H Fujimoto, M Ru, L Smiley, C C Yang, H H Khoai, D D Thai, T V Tan, S D Quang, H T Phuong nhiều tác giả khác Cho ánh xạ chỉnh hình f : U → Pn (C) biểu diễn tối giản (f0 , , fn ) f , U tồn mặt phẳng phức C miền C Với họ siêu mặt cố định D = {D1 , , Dq }, với Dj ∈ D, ta kí hiệu E f (Dj ) = {z ∈ U | Qj ◦ f (z) = không kể bội}; Ef (Dj ) = {(z, m) ∈ U × N | Qj ◦ f (z) = ordQ◦f (z) = m} Và đặt E f (D) = [ Dj ∈D E f (Dj ) Ef (D) = [ Ef (Dj ) Dj ∈D Kí hiệu F họ ánh xạ chỉnh hình khác từ U vào Pn (C) Họ siêu mặt D gọi tập xác định khơng kể bội, kí hiệu URSIM (hoặc tập xác định kể bội, kí hiệu URSCM) cho họ ánh xạ F với cặp ánh xạ f, g ∈ F , điều kiện E f (D) = E g (D) (hoặc (ψ1 ◦ f ) (ψM ◦ f ) Ta thấy với (i) = (i1 , , in ) ∈ S ψt ∈ {ψ1 , , ψM } có biểu diễn dạng ψt = P1i1 Pnin Q, Q ∈ VN −dσ(i) ψt ◦ f = (P1 ◦ f )i1 (Pn ◦ f )in (Q ◦ f ), i (Pj ◦ f )ij (z) = (z − z0 )ij βj gjj (z), j = 1, , n Chú ý có ∆(i) phần tử ψt sở {ψ1 , , ψM } Như W triệt tiêu z0 với bậc  q0 q0 q0 XX X X X ij (βj − M ) ∆(i) = ij ∆(i) (βj − M ) = A (βj − M ) (i) j=1 (i) =A q X j=1 j=1 max{0, βj − M } j=1 Bởi q X q X 1 M N1,f (r, Dj ) N1,f (r, Dj ) − N1 r, ) ⩽ A W j=1 j=1 37 q q X X 1 M N2,f (r, Dj ) N2,f (r, Dj ) − N2 r, ) ⩽ A W j=1 j=1 Suy q X q X Nf (r, Dj ) − NW (r, 0) ⩽ NfM (r, Dj ) A j=1 j=1 (1.12) Tiếp theo ta ước lượng vế trái (1.11) Ta biết số m−bộ số nguyên không âm mà tổng ≤ S với số (m + 1)−bộ số nguyên
không âm mà tổng S ∈ Z S+n n Từ Mệnh đề 1.3.3 ta có n+1 dn X X ij A:= ij ∆(i) ⩾ ij ∆(i) = n+1 (i) j=1 σ(i)≤N/d σ(i)≤N/d−n ! dn X dn N/d − n = (N/d − n) = n+1 n+1 n X X c (i) = P c (i) N (N − d) (N − nd) , d(n + 1)! lấy tất (n + 1) số ngun khơng âm với tổng xác N/d − n Hơn ! N +n (N + 1)(N + 2) (N + n) M = dim VN = = , n n! suy n Y N +j MN ⩽ d(n + 1) A N − (n − j + 1)d j=1 Dễ dàng kiểm tra N +1 N +2 N +n ⩾ ⩾ ··· ⩾ N − nd N − (n − 1)d N −d 38 Điều kéo theo N +1 MN ⩽ d(n + 1) A N − nd !n !n + nd N − nd ! !k ! n X n + nd = d(n + 1) + k N − nd k=1 = d(n + 1) + Nếu ta đặt N = d([(n + 1)2 (2n − 1)ε−1 ] + n + 1), N chia hết cho d ! ! n X MN n + nd ⩽ d(n + 1) + A k N − nd k=1 ! + nd = d(n + 1) + (2n − 1) N − nd ⩽ d(n + + ε) Do (qd − MN )Tf (r) ⩾ d(q − n − − ε)Tf (r) A (1.13) Kết hợp công thức (1.11), (1.13) (1.12) với nhau, ta có || d(q − n − − ε)Tf (r) ⩽ q X NfM (r, Dj ) + Of (r) (1.14) j=1 Bây ta ước lượng M , ta có ! N +n (N + 1)(N + 2) (N + n) ⩽ (N + 1)n M = dim VN = = n! n ⩽ (d([(n + 1)2 (2n − 1)ε−1 ] + n + 1) + 1)n ⩽ (d[(n + 1)2 2n )ε−1 ] + 1)n Do α ⩾ (d[(n + 1)2 2n )ε−1 ] + 1)n 39 α ⩾ M nên NfM (r, Dj ) ⩽ Nfα (r, Dj ) với j = 1, 2, , q Do đó, từ (1.14) ta có || d(q − n − − ε)Tf (r) ⩽ q X Nfα (r, Dj ) + Of (r) (1.15) j=1 Từ bất đẳng thức ta suy bất đẳng thức cần chứng minh Bây ta xem xét trường hợp P1 , P2 , , Pq có bậc không giống d/dj Với j ∈ {1, , q}, ta đặt Qj = Pj , d bội nhỏ d1 , d2 , , dq Khi Q1 , , Qq có bậc d Từ (1.15) ta có || d(q − n − − ε)Tf (r) ⩽ q X Nfα (r, Qj ) + Of (r) (1.16) j=1 Chú ý z ∈ C không điểm Pj ◦ f với bội β z khơng d d/d điểm Pj j ◦ f với bội β Điều kéo theo dj d/dj Nfα (r, Pj d/dj α ) = N1,f (r, Pj d/dj α ) + N2,f (r, Pj ) d α d α N1,f (r, Pj ) + N2,f (r, Pj ) dj dj d = Nfα (r, Pj ) dj ⩽ Do từ (1.15) ta có (q − (n + 1) − ε)Tf (r) ⩽ q X d/dj d−1 Nfα (r, Pj ) + Of (r) j=1 ⩽ q X j=1 Định lý chứng minh α d−1 j Nf (r, Qj ) + Of (r) 40 Kết luận Chương Trong Chương 1, Luận án thu kết sau: - Giới thiệu số khái niệm hàm đếm, hàm xấp xỉ, hàm đặc trưng đường cong chỉnh hình hình vành khuyên kết hợp với siêu mặt Hàm đặc trưng khái niệm quen thuộc xây dựng trước, hàm đếm, hàm xấp xỉ kết hợp với siêu mặt xây dựng dựa khái niệm quen thuộc Lý thuyết Nevanlinna-Cartan - Phát biểu chứng minh Định lý 1.2.3 dạng Định lý thứ nhất; phát biểu chứng minh Định lý 1.3.6 dạng Định lý thứ hai cho đường cong chỉnh hình hình vành khuyên trường hợp siêu mặt 41 Chương Vấn đề cho đường cong chỉnh hình hình vành khuyên 2.1 Một số kiến thức chuẩn bị 2.1.1 Hàm đếm có trọng Trong chương chúng tơi nghiên cứu vấn đề cho đường cong chỉnh hình hình vành khun Để trình bày kết chính, phần giới thiệu số khái niệm kết sử dụng chứng minh Cho U miền C, f (z) hàm phân hình U z0 điểm thuộc U Với M, k số nguyên dương, ta kí hiệu ( νf (z0 ) νf (z0 ) ⩽ k, νf (z0 , ⩽ k) = trường lại; ( νfM (z0 ) νfM (z0 ) ⩽ k, νfM (z0 , ⩽ k) = trường lại; ( νf (z0 ) νf (z0 ) > k, νf (z0 , > k) = trường lại; ( νfM (z0 ) νfM (z0 ) > k, M νf (z0 , > k) = trường lại Cho f = (f0 : · · · : fn ) : ∆ → Pn (C) đường cong chỉnh hình, f0 , , fn hàm chỉnh hình khơng có khơng điểm chung ∆ 42 Cho D siêu mặt bậc d Pn (C), xác định đa thức Q Cho M, k số nguyên dương, với < r < R, kí hiệu n1,f (r, D, ⩽ k), n2,f (r, D, ⩽ k) số không điểm có bội khơng vượt q k M Q(f ) ∆1,r ∆2,r kể bội, nM 1,f (r, D, ⩽ k), n2,f (r, D, ⩽ k) số khơng điểm có bội khơng vượt k Q(f ) ∆1,r ∆2,r bội cắt cụt M , tức n1,f (r, D, ⩽ k) = X νQ(f ) (z, ⩽ k), z∈∆1 n2,f (r, D, ⩽ k) = X νQ(f ) (z, ⩽ k), z∈∆2 nM 1,f (r, D, ⩽ k) = X M νQ(f ) (z, ⩽ k), z∈∆1 nM 2,f (r, D, ⩽ k) = X M νQ(f ) (z, ⩽ k) z∈∆2 Ta kí hiệu n1,f (r, D, ⩽ k) dt; t 1/r Z r n2,f (r, D, ⩽ k) dt; N2,f (r, D, ⩽ k) = N2,f (r, Q, ⩽ k) = t Z M n1,f (r, D, ⩽ k) M M N1,f (r, D, ⩽ k) = N1,f (r, Q, ⩽ k) = dt; t 1/r Z r M n2,f (r, D, ⩽ k) M M N2,f (r, D, ⩽ k) = N2,f (r, Q, ⩽ k) = dt t Z N1,f (r, D, ⩽ k) = N1,f (r, Q, ⩽ k) = Các hàm đếm định nghĩa Nf (r, D, ⩽ k) = Nf (r, Q, ⩽ k) = N1,f (r, D, ⩽ k) + N2,f (r, D, ⩽ k), M M NfM (r, D, ⩽ k) = NfM (r, Q, ⩽ k) = N1,f (r, D, ⩽ k) + N2,f (r, D, ⩽ k) Tương tự ta kí hiệu n1,f (r, D, > k), n2,f (r, D, > k) số khơng điểm có bội khơng nhỏ k + Q(f ) ∆1,r ∆2,r kể M bội, nM 1,f (r, D, > k), n2,f (r, D, > k) số khơng điểm có bội khơng nhỏ k + Q(f ) ∆1,r ∆2,r bội cắt cụt M , tức 43 n1,f (r, D, > k) = X νQ(f ) (z, > k), z∈∆1 n2,f (r, D, > k) = X νQ(f ) (z, > k), z∈∆2 nM 1,f (r, D, > k) = X M νQ(f ) (z, > k), z∈∆1 nM 2,f (r, D, > k) = X M νQ(f ) (z, > k) z∈∆2 Ta kí hiệu n1,f (r, D, > k) dt; t 1/r Z r n2,f (r, D, > k) N2,f (r, D, > k) = N2,f (r, Q, > k) = dt; t Z M n1,f (r, D, > k) M M N1,f (r, D, > k) = N1,f (r, Q, > k) = dt; t 1/r Z r M n2,f (r, D, > k) M M dt N2,f (r, D, > k) = N2,f (r, Q, > k) = t Z N1,f (r, D, > k) = N1,f (r, Q, > k) = Các hàm đếm định nghĩa Nf (r, D, > k) = Nf (r, Q, > k) = N1,f (r, D, > k) + N2,f (r, D, > k), M M NfM (r, D, > k) = NfM (r, Q, > k) = N1,f (r, D, > k) + N2,f (r, D, > k) Từ định nghĩa hàm đếm dễ dàng suy số quan hệ loại hàm đếm: kể bội, bội cắt cụt, hàm đếm tính bội không vượt qua k hay không nhỏ k + mệnh đề sau đây: Mệnh đề 2.1.1 Cho f = (f0 : · · · : fn ) : ∆ −→ Pn (C) đường cong chỉnh hình, f0 , , fn hàm chỉnh hình khơng có khơng điểm chung ∆ D siêu phẳng Pn (C) cho f (C) ̸⊂ D Khi với số thực dương r > 0, với số nguyên dương k, M ta có 44 1) Nf (r, D) = Nf,⩽k (r, D) + Nf,>k (r, D); 2) M NfM (r, D) = Nf,M⩽k (r, D) + Nf,>k (r, D); 3) NfM (r, D) ⩽ Nf (r, D); 4) Nf1 (r, D) ⩽ NfM (r, D) ⩽ M Nf1 (r, D); 5) Nf,1 ⩽k (r, D) ⩽ Nf,M⩽k (r, D) ⩽ M Nf,1 ⩽k (r, D); 6) M Nf,>k (r, D) ⩽ Nf,>k (r, D) ⩽ M Nf,>k (r, D) 2.1.2 Hai định lý với mục tiêu siêu phẳng Trong phần nhắc lại hai định lý thứ thứ hai chứng minh H T Phương N V Thìn vào năm 2015, cần thiết cho việc chứng minh kết Mệnh đề 2.1.2 ([38]) Cho f : ∆ → Pn (C) đường cong chỉnh hình H siêu phẳng Pn (C) cho ảnh f không chứa siêu phẳng H Khi với < r < R, ta có Tf (r) = mf (r, H) + Nf (r, H) + O(1), O(1) đại lượng giới nội không phụ thuộc vào r Mệnh đề 2.1.3 ([38]) Cho f : ∆ → Pn (C) đường cong chỉnh hình khơng suy biến tuyến tính H1 , , Hq họ siêu phẳng vị trí tổng quát Pn (C) Khi ta có || (q − n − 1)Tf (r) ⩽ q X Nfn (r, Hj ) + Of (r), j=1  O(log r + log Tf (r)) Of (r) = O(log + log Tf (r)) R0 − r R0 = +∞ R0 < +∞ 45 2.2 Hai định lý cho đường cong chỉnh hình Trong phần chúng tơi phát biểu chứng minh hai kết điều kiện đại số liên quan đến siêu mặt vị trí tổng quát phép nhúng Veronese để hai đường cong chỉnh hình hình vành khuyên trùng 2.2.1 Trường hợp không xét nghịch ảnh siêu mặt Gọi D siêu mặt bậc d Pn (C) Q đa thức bậc d, với hệ số lấy C, xác định D Khi Q biểu diễn dạng: Q(z0 , , zn ) = nd X ak z0ik0 znikn , k=0 nd =
n+d n − ik0 + · · · + ikn = d, ak ∈ C với k = 1, , nd Ta gọi a = (a0 , , and ) vectơ liên kết với siêu mặt D (hoặc Q) Tiếp theo ta nhắc lại khái niệm họ siêu mặt vị trí tổng quát phép nhúng Veronese Cho D = {D1 , , Dq } họ siêu mặt cố định, Dj xác định đa thức Qj C[z0 , , zn ] bậc dj , với j = 1, , q Gọi mD bội chung nhỏ bậc d1 , dq , kí hiệu nD = n + mD n ! mD /dj Với j = 1, , q, ta đặt Q∗j = Qj − gọi a∗j vectơ liên kết với đa thức Q∗j Họ D siêu mặt cố định gọi vị trí tổng quát phép nhúng Veronese q > nD với họ tùy ý số i1 , , inD +1 ∈ {1, , q}, vectơ a∗i1 , , a∗in D +1 độc lập tuyến tính Cho đường cong chỉnh hình f : ∆ → Pn (C), với siêu mặt D bậc d Pn (C) xác định đa thức Q, ta kí hiệu 46 E f (D) := {z ∈ ∆ | Q ◦ f (z) = không kể bội}; Ef (D) := {(z, m) ∈ ∆ × N | Q ◦ f (z) = νQ(f ) (z) = m ⩾ 1} Với họ siêu mặt D = {D1 , , Dq } Pn (C), ta định nghĩa [ [ Ef (Dj ) E f (D) := E f (Dj ) Ef (D) := Dj ∈D Dj ∈D Với khái niệm kí hiệu trên, năm 2021 chứng minh dạng định lý cho đường cong chỉnh hình hình vành khuyên với mục tiêu siêu mặt sau: Định lý 2.2.1 ([39]) Cho f g hai đường cong chỉnh hình khơng suy biến đại số từ ∆ vào Pn (C) cho Of (r) = o(Tf (r)) Og (r) = o(Tg (r)) Cho D = {D1 , , Dq } họ gồm q > nD + + 2n2D /mD siêu mặt vị trí tổng quát phép nhúng Veronese Pn (C) Giả sử f (z) = g(z) với z ∈ E f (D) ∪ E g (D) Khi f ≡ g Chứng minh Ta chứng minh phản chứng Giả sử f ̸≡ g Gọi k số nguyên dương đủ lớn, ta chọn sau, trước hết ta chứng minh với r, < r < R : (q(k + − nD )−(nD + 1)(k + 1))Tf (r) n2D k ⩽ (Tf (r) + Tg (r)) + (k + 1)Of (r), mD (2.1) Of (r) xác định Định lý 2.1.3 Thật vậy, giả sử f = (f0 , , fn ) biểu diễn tối giản f Gọi Qj đa thức bậc dj C[z0 , , zn ] xác định Dj với j = 1, , q Với j = 1, , q , đặt mD /dj Q∗j = Qj , đa thức Q∗1 , , Q∗q có bậc mD mD bội số chung nhỏ d1 , , dq 47 Kí hiệu (z0 : · · · : zn ) hệ tọa độ Pn (C) {I0 , , InD } tập hợp tất (n + 1)−bộ số tự nhiên cho σ(Ij ) = mD , j = 0, , nD xếp theo trật tự từ điển, tức Ii < Ij với i < j ∈ {0, nD } Với z = (z0 : · · · : zn ) ∈ Pn (C), ta kí hiệu zI = z0i0 , znin , I = (i0 , , in ) ∈ {I0 , , InD } Kí hiệu ϱmD : Pn (C) → PnD (C) phép nhúng Veronese bậc mD , tức kí hiệu (w0 : · · · : wnD ) hệ tọa độ PnD (C) ϱmD xác định sau ϱmD (z) = (w0 (z) : · · · : wmD (z)), wj (z) = zIj , Ij ∈ {I0 , , InD } với j = 0, , nD Ta đặt F = (F0 : · · · : FnD ) = ϱmD ◦ f, dễ thấy Fj = f Ij , j = 0, , nD Khi F đường cong chỉnh hình từ ∆ vào PnD (C) F = (F0 , , FnD ) biểu diễn tối giản F Từ giả thiết f không suy biến đại số ta suy F khơng suy biến tuyến tính Với đa thức Dj ∈ {D1 , , Dq }, kí hiệu aj = (aj0 , , ajnD ) vectơ liên kết với Q∗j Với j = 1, , q , kí hiệu Lj = aj0 w0 + · · · + ajnD wnD , Lj dạng tuyến tính PnD (C) Gọi Hj siêu phẳng PnD (C) xác định dạng tuyến tính Lj ta nói siêu phẳng Hj liên kết với siêu mặt Dj Theo giả thiết họ {D1 , , Dq } vị trí tổng quát phép nhúng Veronese Pn (C), ta suy họ siêu phẳng {H1 , , Hq } vị trí tổng quát PnD (C) Áp dụng Mệnh đề 2.1.3 cho ánh xạ chỉnh hình F : ∆ → PnD (C) họ siêu phẳng Hj vị trí tổng quát ta có 48 ∥ (q − nD − 1)TF (r) ⩽ q X NFnD (r, Hj ) + OF (r) (2.2) j=1 Bây ta ước lượng Bất đẳng thức (2.2) Theo định nghĩa đường cong F , với j = 1, , q, Hj ◦ F = aj F := nD X ajk Fk = Q∗j ◦ f k=0 Suy Nf (r, Q∗j ) = NF (r, Hj ); NfnD (r, Q∗j ) = NFnD (r, Hj ) (2.3) Hơn nữa, từ định nghĩa đường cong F , ta có Z 2π Z 2π ∥f (reiθ )∥mD ∥f (r−1 eiθ )∥mD 1 ∗ log ∗ log dθ + dθ mf (r, Qj ) = 2π |Qj ◦ f (reiθ )| 2π |Q∗j ◦ f (r−1 eiθ )| Z 2π ∥F (reiθ )∥ log dθ (2.4) = 2π |Hj ◦ F (reiθ )| Z 2π ∥F (r−1 eiθ )∥ + log dθ + O(1) 2π |Hj ◦ F (r−1 eiθ )| = mF (r, Hj ) + O(1) (2.5) Kết hợp (2.3) Định lý 2.1.2 (2.5) ta có TF (r) = NF (r, Hj ) + mF (r, Hj ) + O(1) = Nf (r, Q∗j ) + mf (r, Q∗j ) + O(1) (2.6) Từ Mệnh đề 1.1.8, ta có Nf (r, Q∗j ) + mf (r, Q∗j ) Z 2π Z 2π ∥f (reiθ )∥mD ∥f (r−1 eiθ )∥mD log ∗ dθ + log ∗ dθ = 2π |Qj ◦ f (reiθ )| 2π |Qj ◦ f (r−1 eiθ )| Z 2π + log |Q∗j ◦ f (reiθ )|dθ 2π Z 2π + log |Q∗j ◦ f (r−1 eiθ )|dθ + O(1) 2π 49 = mD 2π Z 2π log ∥f (reiθ )∥dθ + 2π Z 2π ! log ∥f (r−1 eiθ )∥dθ + O(1) = mD Tf (r) + O(1) (2.7) Như vậy, từ (2.6) ta có TF (r) = mD Tf (r) + O(1) (2.8) OF (r) = Of (r) (2.9) Điều kéo theo Kết hợp (2.2), (2.3), (2.8) (2.9), ta có q X nD Nf (r, Q∗j ) + Of (r) ∥ (q − nD − 1)Tf (r) ⩽ mD j=1 (2.10) Bây ta ước lượng vế phải (2.10) Với j ∈ {1, , q}, từ Mệnh đề 2.1.1 (2.7) ta có NfnD (r, Q∗j ) = NfnD (r, Q∗j ⩽ k) + NfnD (r, Q∗j , > k) k k NfnD (r, Q∗j , ⩽ k) + NfnD (r, Q∗j , ⩽ k) = k+1 k+1 nD ∗ + Nf (r, Qj , > k) k nD ⩽ NfnD (r, Q∗j , ⩽ k) + Nf1 (r, Q∗j , ⩽ k) k+1 k+1 ∗ + nD Nf (r, Qj , > k) nD k NfnD (r, Q∗j , ⩽ k) + Nf (r, Q∗j , ⩽ k) ⩽ k+1 k+1 nD Nf (r, Q∗j , > k) + k+1 k nD ⩽ NfnD (r, Q∗j , ⩽ k) + Nf (r, Q∗j ) k+1 k+1 k nD mD ⩽ NfnD (r, Q∗j , ⩽ k) + Tf (r) + O(1), k+1 k+1 Lấy tổng tập số j = 1, 2, , q , ta có