Luận án tiến sĩ một số bất đẳng thức tích phân cho toán tử đạo hàm trên thang thời gian và áp dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRẦN ĐÌNH PHỤNG MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN CHO TOÁN TỬ ĐẠO HÀM TRÊN THANG THỜI GIAN VÀ ÁP DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC BÌNH ĐỊNH - NĂM 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRẦN ĐÌNH PHỤNG MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN CHO TỐN TỬ ĐẠO HÀM TRÊN THANG THỜI GIAN VÀ ÁP DỤNG Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 62.46.01.02 Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biện 3: TẬP THỂ HƯỚNG DẪN: PGS TS Đinh Thanh Đức GS TSKH Vũ Kim Tuấn BÌNH ĐỊNH - NĂM 2017 Lời cam đoan Luận án hoàn thành Trường Đại học Quy Nhơn, hướng dẫn PGS TS Đinh Thanh Đức GS TSKH Vũ Kim Tuấn Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu khoa học Các kết Luận án trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa cơng bố trước Tác giả Trần Đình Phụng Lời cảm ơn Luận án thực hoàn thành Trường Đại học Quy Nhơn hướng dẫn nhiệt tình đầy tận tâm PGS TS Đinh Thanh Đức GS TSKH Vũ Kim Tuấn Trước tiên, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy Đinh Thanh Đức, người hướng dẫn tác giả từ bước nghiên cứu khoa học, Thầy không hướng dẫn cách tận tình, định hướng, giúp đỡ tác giả vượt qua khó khăn q trình nghiên cứu khoa học mà quan tâm giúp đỡ mặt vật chất lẫn tinh thần cho tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành đến Thầy Vũ Kim Tuấn, người nhiệt tâm giúp đỡ tác giả trình nghiên cứu khoa học giúp tác giả học hỏi thêm nhiều điều nghiên cứu khoa học sống thời gian làm việc chung với tác giả không nhiều Tác giả xin trân trọng gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu Trường Đại học Quy Nhơn, Phịng Đào tạo sau đại học, Khoa Tốn Quý thầy cô giáo giảng dạy lớp nghiên cứu sinh Tốn giải tích khóa tận tình giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt thời gian học tập nghiên cứu Tác giả xin chân thành cảm ơn Thầy Nguyễn Dư Vi Nhân Thầy giúp đỡ tác giả tận tình trình nghiên cứu khoa học việc hoàn thành Luận án Cuối cùng, tác giả xin tỏ lịng biết ơn chân thành đến gia đình, bạn bè, người sát cánh động viên, chia sẻ giúp đỡ tác giả hoàn thành Luận án Mục lục Danh mục ký hiệu iii Mở đầu Chương Một số kiến thức giải tích thang thời gian 1.1 Các định nghĩa 1.2 Phép tính vi phân 11 1.3 Phép tính tích phân 14 Chương Bất đẳng thức loại Opial thang thời gian áp dụng 22 2.1 Bất đẳng thức loại Opial cho hàm biến 24 2.2 Bất đẳng thức loại Opial cho hàm nhiều biến 38 2.3 Một số áp dụng 68 Chương Tính dao động số phương trình động lực thang thời gian 77 3.1 Bất đẳng thức loại Lyapunov thang thời gian 79 3.2 Tính dao động phương trình 84 3.3 Tính dao động phương trình khơng 92 Chương Đồng thức loại Picone thang thời gian áp dụng 110 i 4.1 Một số đồng thức bất đẳng thức loại Picone 112 4.2 Bất đẳng thức loại Wirtinger loại Hardy thang thời gian 118 4.3 Định lý Ried cho lớp hệ động lực cấp 124 Kết luận 130 Danh mục cơng trình tác giả 133 Tài liệu tham khảo 134 Chỉ mục 144 ii Danh mục kí hiệu T : Thang thời gian R : Tập số thực Z : Tập số nguyên N : Tập  số tự nhiên T \ (ρ(sup T), sup T] sup T < ∞ : T sup T = ∞ Tκ [a, b]T : [a, b] ∩ T σ : Toán tử nhảy tiến ρ : Tốn tử nhảy lùi µ : Hàm hạt ∆ : Toán tử đạo hàm thang thời gian fσ : f ◦σ   [a, b] ∩ T     [a, b) ∩ T :   (a, b] ∩ T     (a, b) ∩ T I a < σ(a) ρ(b) < b, a < σ(a) ρ¯(b) = b, a = σ¯ (a) ρ(b) < b, a = σ¯ (a) ρ¯(b) = b I0 : (a, b) ∩ T Ia : [a, ∞) ∩ T Λn : Thang thời gian n chiều x : (x1 , , xn ) ∈ Λn x≤y : xj ≤ yj với j ∈ [1, n]N λ : Đa số λ = (λ1 , , λn ) : (1, , 1) ρλ−1 (b) : (ρλ1 −1 (b1 ), , ρnλn −1 (bn )) Ω (hay [a, b]) : {x ∈ Λn : a ≤ x ≤ b} Ωκ λ−1 Ωx : {x ∈ Λn : a ≤ x ≤ ρλ−1 (b)} : {t ∈ Λn : a ≤ t ≤ x} iii ¯x Ω : {t ∈ Λn : x ≤ t ≤ ρλ−1 (b)} Ω0 : [a2 , b2 ]T2 × · · · × [an , bn ]Tn Rb Rb : a11 · · · ann f (x1 , , xn )∆x1 · · · ∆xn R f (x)∆x Ω ∂ λ f (x) ∆xλ : AC(I) ∂ |λ| f (x) λ ∆1 x1 ···∆n xλnn : Tập tất hàm số nhận giá trị thực liên tục tuyệt đối đoạn đóng I Crd (I) : Tập tất hàm số nhận giá trị thực rd-liên tục I C1rd (I) : Tập tất hàm số nhận giá trị thực, xác định I cho ∆−đạo hàm chúng thuộc lớp Crd (I) Lp∆ (I), p ≥ : Tập tất hàm số ∆−đo f xác định I R cho I |f (x)|p ∆x < ∞ Lp∆ ([a, b]T , τ ), p ≥ : Tập tất hàm số f ∆−đo được, xác định [a, b]T cho Rb a |f (x)|p τ (x)∆x < ∞, τ ∈ W([a, b]T ) Lpa ([a, b]T , τ ), p ≥1 : Tập tất hàm số f ∈ AC([a, b]T ) cho f ∆ ∈ Lp∆ ([a, b]T , τ ) f có khơng điểm tổng quát a f −g 1+µg −g 1+µg f g : g : ef (·, x0 ) : Nghiệm toán y ∆ = f (x)y, Gp (t), p > : |t|p−1 sign(t) P(I0 ) : Tập tất nghiệm (u, v) hệ động lực phi tuyến  u∆ = Auσ + BG α f (x0 ) = +1 (v) v ∆ = −CGα+1 (uσ ) − Dv A, B, C D thuộc lớp hàm Crd (I0 ) với B > −A, −D ∈ R+ , cho u khơng có khơng điểm tổng qt I0 iv R : Tập tất hàm hồi quy R+ : Tập tất hàm hồi quy f thỏa mãn + µ(x)f (x) > với x ∈ T U(a, b) : Tập tất hàm thử Cnλ rd (Ω) : Tập tất hàm số f : Ω → R có ∆−đạo hàm riêng ∂ k1 +···+kj f (x) k k ∆1 x1 ···∆j xj j với kj ∈ [1, λj ]N , j ∈ [1, n]N hàm rd-liên tục W(Ω) Lpa (Ω, τ, λ), p : Tập tất hàm trọng Ω ≥1 nλ (Ω) : Tập tất hàm số f : Ω → R thuộc lớp Crd (G ◦ f )∆ (x) ≤ f ∆ (x) Z G0 (sf σ (x) + (1 − s)f (x)) ds, x ∈ [σ(a), c]T (2.20) Theo Bất đẳng thc (2.8) v Bt ng thc Hăolder dng tng ta có  p1  |sf σ (x) + (1 − s)f (x)| ≤ sFξσ (x) + (1 − s)Fξ (x)   1q sτξσ (x) + (1 − s)τξ (x) với x ∈ [σ(a), c]T s ∈ [0, 1] Điều kết hợp với tính chất hàm số G0 ta nhận σ G (sf (x) + (1 − s)f (x))