mô hình sommerfeld khí fermi lý tưởng

mô hình sommerfeld khí fermi lý tưởngnăng lượng fermihàm phân bố fermi dirac

BÀI TẬP – LÝ THUYẾT CHẤT RẮN – XẤP XỈ SOMMERFELD (KHÍ FERMI LÝ TƯỞNG) Học viên: PHẠM TIẾN PHÁT Khóa 23. MSHV: 1331009 1. Năng lượng Fermi Xét một electron tự do trong hộp V có f chiều. Phương trình Schrodinger cho hạt trong trạng thái dừng là ˆ H E    . Giải phương trình trên với điều kiện biên 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) f f f f f r r r r L r r r r L r r r r L            ta được: 2 2 1 , 2 ikr k e E m V     trong đó 1 2 1 2 1 2 ( , , , ) 2 , , , ( , 1,2, , ) f f i f n n n k k k k n i f L L L               . Trong không gian vector sóng k, ta có thể tịnh tiến toàn bộ các vector sóng về gốc tọa độ, khi đó, mỗi trạng thái trong không gian này có thể mô tả bằng một điểm có tọa độ { } 2 i i i n k L         và k là vector vạch từ gốc tọa độ tới điểm đó. 2 2 2 2 k mE E k m      cho thấy rằng tất cả những điểm có cùng năng lượng E sẽ phân bố trên một mặt cầu f-chiều có bán kính 2 mE k   trong không gian vector sóng. Vì k bị lượng tử hóa nên E không nhận các giá trị liên tục mà rời rạc thành các mức năng lượng. - Trong không gian vector sóng + Vì mỗi điểm là một trạng thái nên mật độ trạng thái là 1 2 (2 ) f i f i L V      (dọc theo trục i, cứ cách một đoạn 2 / i L  sẽ có một trạng thái) + Nếu xét tới spin của fermion thì mỗi trạng thái sẽ tách thành 2 trạng thái con ( , 1/2) k  và ( , 1/2) k  nên mật độ trạng thái là 2 (2 ) f V  + Số trạng thái trong hình cầu bán kính k hay số trạng thái có năng lượng nhỏ hơn E (ứng |k|) là /2 | | 2 2 ( ) ( ) . ( /2 1) (2 ) (2 ) f f sphere k f f V V k E V k f           + Số trạng thái kẹp trong lớp |k|; |k| + d|k| 1 /2 | | 2 ( ) 2 2 ( ) . . ( /2) (2 ) (2 ) f f sphere k f f k k V V d k d k S d k d k k f            Rõ ràng số trạng thái này cũng là số trạng thái có năng lượng E với sai lệch bé δE kẹp trong lớp giới hạn bởi 2 mặt ; E E E   . Về mặt toán học ( ) ( ) ( ) ( ) k E d dk dE E E E k E              /2 /2 /2 1 /2 1 /2 2 2 2 2 2 ( ) . ( /2) ( /2)(4 ) 2 f f f f f V m V m d E E dE E dE f f                        - Trong không gian thật (không gian tọa độ), gọi “mật độ trạng thái mang năng lượng E trong một đơn vị thể tích” (vì các hạt mang năng lượng E phân bố vào trong thể tích hộp V) là g(E) thì số trạng thái có năng lượng E trong toàn hộp là [ ( ) ]. g E dE V trong đó ( ) g E dE là số trạng thái có năng lượng E trong 1 đơn vị thể tích không gian thực. Vì số trạng thái có năng lượng E phải như nhau theo 2 cách mô tả trong từng không gian nên /2 /2 /2 1 /2 1 2 2 2 2 ( ) . ( ) ( ) ( /2) ( /2) 2 2 f f f f V m m g E dE V d E E dE g E E f f                          Trong trường hợp f = 3 thì 3/2 1/2 2 2 1 2 ( ) . 2 m g E E          Bây giờ ta xét một tập hợp N electron không tương tác nhau trong hộp V và hộp được giữ ở nhiệt độ T ≈ 0K. Khi đó, các electron sẽ ưu tiên chuyển vào trạng thái thấp nhất có thể, như vậy, trong không gian vector sóng hay không gian xung lượng, các trạng thái có năng lượng thấp (phân bố trên các mặt cầu gần gốc tọa độ) sẽ được chiếm đầy từ trong (phía tâm) ra ngoài. Theo nguyên lý loại trừ Pauli, N electron sẽ chiếm N trạng thái, mỗi điểm trong không gian xung lượng lại tương ứng với 2 trạng thái của spin, thành ra mỗi điểm sẽ có 2 electron chiếm đóng => tổng số điểm bị chiếm là N/2 (nhưng số trạng thái vẫn là N). Gọi K F là bán kính hình cầu chứa N/2 điểm đó, ta có 1/ /2 /2 2 2 ( /2) ( ) 2 ( /2 1) ( /2 1) 4 (2 ) (2 ) f f f f f F F F F f f V fn f K N K N K n K f f                         với n = N/V là mật độ hạt trong hộp V. - Với hộp 3 chiều: 1/3 2 1/3 3 2 (3 ) 8 F n K n            - Với hộp 2 chiều: 1/2 1/2 2 (2/2) 2 (2 ) 4 F n K n            - Với hộp 1 chiều: 1/1 (1/2) 2 0,5 4 F n K n            Năng lượng Fermi tương ứng với mặt cầu này là 2 2 ( ): 2 F F F K E K m     . Điều này có nghĩa là các mức năng lượng nằm bên trong mặt cầu Fermi ( ) F E   sẽ bị các điện tử chiếm đầy. Một khi các electron bị kích thích, chúng sẽ rời hình cầu Fermi để nhảy lên các trạng thái nằm ngoài mặt Fermi. Nhiệt độ Fermi: 2 2 2 2 2 2 F F F B F F B K K k T T m k m        . Nhiệt độ Fermi để so sánh năng lượng Fermi với năng lượng chuyển động nhiệt. Diễn giải theo không gian xung lượng cho ta một cái nhìn “hình ảnh” về việc các electron sẽ phản ứng như thế nào khi bị kích thích với nhiệt độ cao. Điều mà ta không “thấy” được khi nhìn vào không gian thực (thể tích V). Cụ thể: trong không gian xung lượng, khi ta nhìn thấy một electron nhảy ra khỏi hình cầu Fermi, trong không gian tọa độ, ta sẽ thấy hàm sóng của nó có tần số tăng lên (uốn lượn nhiều hơn), các phép đo vật lý cho thấy năng lượng/xung lượng của electron tăng (áp suất khí điện tử tăng, năng lượng khí điện tử tăng, nhiệt độ khí điện tử tăng,…). 2. Hàm phân bố Fermi-Dirac Xét hệ S khí electron tự do trong thể tích V tiếp xúc với (trao đổi hạt và cũng trao đổi năng lượng) với một hệ rất lớn R . Hệ  S R được giữ cân bằng ở nhiệt độ xác định làm cho năng lượng và số hạt của hệ S ổn định quanh một giá trị là trung bình của các trạng thái vi mô khả dĩ , l l E N . Theo vật lý thống kê, hệ S ở trạng thái phân bố chính tắc lớn có hàm tổng thống kê là ( ) l l E N l e        với E l và N l là năng lượng và số hạt của hệ S ở trạng thái vi mô khả dĩ l. Ta đánh số mỗi trạng thái { , } i n s trong không gian xung lượng bằng chỉ số λ ( 1;    ), năng lượng của hạt ở trong trạng thái riêng này là E  . Nói chung có thể có nhiều hạt chiếm cùng một trạng thái riêng lẻ, ta gọi số hạt này là số chiếm đóng l N  . Trạng thái l của hệ có thể được mô tả bằng một danh sách các số chiếm đóng tại mỗi điểm trong không gian xung lượng ( ) { } l l N   : chẳng hạn nếu trong trạng thái ( ) l của hệ, có 1 l N hạt đang chiếm trạng thái 1, 2 l N hạt đang chiếm trạng thái 2,…, l i N hạt đang chiếm trạng thái i,… thì 1 2 ( ) { , , , , } l l l l i l N N N N   . Do đó, ; l l l l E N E N N          và hàm tổng thống kê ( ) ( ) exp[ ( )] exp[ ( )] , l l E N l l l l l N E N e N E N E e z                                          với ( ) N E N z e           là hàm tổng thống kê lớn của mỗi trạng thái riêng lẻ (cố định một điểm λ trong không gian xung lượng, lấy tổng theo các khả năng chiếm đóng tại điểm đó). Khi hệ chuyển liên tục qua các trạng thái l thì số hạt của hệ thay đổi (do một số hạt đi ra/vào hệ lớn R ), số hạt này dao động quanh một giá trị trung bình là l l l N N P   . Đối với mỗi trạng thái riêng lẻ λ, số hạt chiếm đóng cũng thay đổi và dao động quanh một giá trị trung bình là N  . Ta có l l l N N P N         . Từ hệ thức (ln ) B N k T      => (ln ) B N k T z       . Đối với hệ Fermion ta khảo sát, do nguyên lý loại trừ Pauli, các giá trị có thể có của N  là 0 và 1 nên ( ) .0.( ) .1.( ) ( ) ( ) 1 1 . 1 N E E E E E N z e e e e N e                                      Đây chính là hàm phân bố Fermi-Dirac cho hệ khí Fermi. Nếu xem các mức năng lượng là liên tục thì chỉ số λ không còn ý nghĩa, ta thay : ( [0; )) E E E     . Khi đó, hàm phân bố cho một trạng thái riêng lẻ là ( ) 1 ( ) . 1 E N E e      3. Khí Fermi lý tưởng hoàn toàn suy biến Nếu hệ khí electron được giữ ở nhiệt độ rất thấp gần 0K thì các electron sẽ chiếm đầy các mức năng lượng thấp nhất nằm trong mặt cầu Fermi. Ta gọi hệ khí lúc này là suy biến hoàn toàn. Khi đó, gọi số hạt trung bình trong mỗi trạng thái là ( ) N E thì 0 ( ) ( ) 1 ( ) F F E N E E         Giả sử thể tích V lớn => các mức năng lượng rất sát nhau, coi như là liên tục. Năng lượng toàn phần của toàn bộ hệ khí là 5/23/2 0 0 0 2 3 ( ) ( ) ( ) 5 5 F F s F F E EN E d E Ed E E dE N                 với 3/2 2 2 2 2 V m           Có 2 2 2 2 2/3 2 2 2/3 2/3 2/3 (3 ) (3 ) 2 2 2 F F K n N V m m m           nên áp suất lượng tử là 5/3 2 2 2/3 3 (3 ) 2 . 5 5 5 s F F E N p N n V V m V                     Phương trình trạng thái khí Fermi hoàn toàn suy biến 2 . 5 B F pV Nk T  3. Khí Fermi lý tưởng suy biến Khi nhiệt độ thấp nhưng không ≈ 0K, một số điện tử bắt đầu nhảy ra khỏi hình cầu Fermi để chiếm các mức năng lượng lân cận bên ngoài. Nói chung số điện tử này ít, ta nói khí Fermi lý tưởng là suy biến (almost degeneracy). Ta tính tích phân Fermi 0 ( ) ( ) I N E f E dE    trong đó ( ) 1 ( ) 1 E N E e      là hàm Fermi và f(E) là hàm liên tục, khả vi và có một nguyên hàm bằng 0 khi E = 0, nguyên hàm này có thể biểu diễn là 0 ( ) ( ) E F E f E dE   . Ta có 0 0 ( ) ( ) ( ) dN I N E F E F E dE dE      . Vì ( ) 0; (0) 0 N E F     => 0 ( ) ( ) 0 N E F E   => 0 ( ) dN I F E dE dE     Khai triển Taylor quanh  : ( ) ( 1) 1 1 1 1 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ! ! n n n n n n F E F F E F f E n n                  => 0 ( 1) 1 0 0 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ! n n n n M M dN dN dN I F E dE F dE E dE f dE dE n dE                                  Ở nhiệt độ rất thấp, hàm Fermi có dạng bậc thang => ( ) dN E dE      . Như vậy, 0 1 ( ) ( ) ( ( )) ! ! ( ) ( ) ( ) ! ! n n n B n n n n n B B dN k T dN M E dE x dx x E n dE n dx k T dN k T x dx x x dx n dx n                                                - Nếu n lẻ thì hàm số dưới dấu tích phân là hàm lẻ (do Delta-Dirac) là hàm chẵn => 0   - Nếu n chẵn, để tăng độ chính xác, ta tính M n bằng định nghĩa ( ) ( ) ! n n B n k T dN x M x dx n dx       , chẳng hạn 2 4 0 2 4 ( ) 7( ) 1; ; ; 6 360 B B k T k T M M M      2 4 ( 1) (1) (3) 0 1 2 4 0 ( ) 7( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 360 ( ) ( ) ( ) ( ). 6 n B B n n B k T k T I F M f M F f f k T f E dE f O T                          - Chọn 1/2 ( ) f E E  ta có công thức tính số hạt 2 1/2 1/2 1/2 4 0 0 0 2 3/23/2 1/2 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 2 ( ) 1 2 ( ) 3 6 2 3 B E B F k T E N N E d E N E E dE E dE O T E k T O T                                   với 3/2 2 ( 0) 3 F N T    vì khi T bé, số hạt chiếm các mức năng lượng ngoài mặt Fermi vẫn đủ ít để có xấp xỉ trên. Nếu khai triển 2 4 [1 ( )] F aT O T      , thay vào biểu thức trên và khai triển Taylor cần thiết thì ta có đồng nhất 2 1 12 B F k a           . Vậy, 2 2 4 2 4 1 1 ( ) 1 . 12 12 B F B F F F F k T T T O T k T O T T                                              - Chọn 3/2 ( ) f E E  ta có công thức tính năng lượng toàn phần 2 4 2 3/2 ( 0) 0 0 5 ( ) ( ) ( ) 1 . 12 s s T F F T T E EN E d E N E E dE E O T T                                  - Nhiệt dung đẳng tích ở nhiệt độ thấp 2 2 3 2 ( 0) 5 1 1 2 ( ) . 12 2 s V s T B F F V E T C E T O T Nk T T T                              - Entropy 2 , . 2 V B F N V S T C T S Nk T T             4. Khí Fermi lý tưởng ở nhiệt độ cao * Nhiệt độ như thế nào là cao/thấp? Các gần đúng trên là các đa thức theo thương số F T T , ta thấy một đại lượng ( ) ( 0) G T G T   khi F T T rất bé tức là F T T  . Đó là điều kiện để “gần đúng nhiệt độ 0”. Khi F T T  , thống kê Fermi-Dirac chuyển thành thống kê Maxwell-Boltzmann nên khí Fermi tuân theo phương trình trạng thái khí lý tưởng. Nhiệt độ T như thế có thể coi là “cao”. See more: 1. Sommerfeld expansion 2. Chứng minh tổng Gibbs: ( ) exp[ ( )] N E l l N N E e                     trong đó, mỗi l N  nhận một giá trị bất kì trong M giá trị cho trước của N  :   (1), (2), , ( ) l N N N N M      . Số giá trị của l là số cách phân bố M giá trị khả dĩ của số chiếm đóng i N  vào T giá trị của λ: có T M cách phân bố như vậy => tổng dưới đây có T M số hạng: ( ) 1 1 1 1 1 1 2 exp[ ( )] exp[ ( )] exp[ ( )] exp[ ( )] exp[ ( )]. T T T l l T T M M T M E N l l l l l M e N E N E N E N E N E                                                             Gọi ( ) N E N z e           là hàm tổng thống kê lớn của mỗi trạng thái riêng lẻ (cố định một điểm λ trong không gian xung lượng, lấy tổng theo các khả năng chiếm đóng tại điểm đó). Nhận xét rằng ( ) N E N z e           là một tổng của M số có cùng E λ và số chiếm đóng khác nhau. Tích 1 T z     sẽ cho ta T M số hạng, mỗi số hạng có dạng tích của T các hàm mũ, mỗi hàm mũ ứng với một mức năng lượng E λ khác nhau: 1 1 2 2 exp[ ( )]exp[ ( )] exp[ ( )] exp[ ( )] i i i i T T N E N E N E N E                      . Từ nhận xét này ta thấy mỗi số hạng sinh ra khi khai triển tích 1 T z     sẽ ứng với mỗi số hạng trong hàm tổng thống kê  . Tức là ( ) . N E N z e                 Đây là biểu diễn theo số chiếm đóng của hàm tổng thống kê. Ví dụ: xét không gian trạng thái có T = 2 điểm được đánh số 1,2   và M = 2 khả năng chiếm đóng trong mỗi trạng thái   2,5 l N N     . Số trạng thái vi mô khả dĩ 1 2 ( ) { , } l l l N N  của hệ là 2 2 4 T M   . Hàm tổng thống kê: 1 1 2 2 3 3 4 4 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 4 4 2 4 ( ) 1 1 1 1 1 2 5 5 2 2 2 5 5 exp[ ( )]: exp( ) . l l E N l l l l l N E N E N E N E N E N E N E N E E E E E E E E E e N E N E e e e e e e e e e e e e e e e e                                     Mặt khác, 1 1 2 2 2 5 2 5 1 2 ; , E E E E z e e z e e    1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 5 2 5 2 2 2 5 5 2 5 5 1 2 ( )( ) . E E E E E E E E E E E E z z z e e e e e e e e e e e e            Vậy, . z      λ l 1 l N 2 l N 1 2 5 2 5 2 3 2 2 4 5 5