ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HÀ NỘI ———————————– NGUYỄN THẾ LÂM ĐỘ ĐO XÁC SUẤT TRÊN KHÔNG GIAN HÀM VÀ KHÔNG GIAN HILBERT Chuyên ngành Lý thuyết xác suất và thống kê toán họ[.]
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HÀ NỘI ———————————– NGUYỄN THẾ LÂM ĐỘ ĐO XÁC SUẤT TRÊN KHÔNG GIAN HÀM VÀ KHÔNG GIAN HILBERT Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60.46.15 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH Đặng Hùng Thắng Hà Nội - 2013 i Mục lục Mục lục ii Độ đo xác suất không gian Metric 1.1 Tính quy 1.2 Giá độ đo 1.3 Tính chất Radon 1.4 Độ đo hoàn hảo 1.5 Liên hệ phiếm hàm tuyến tính độ đo 1.6 Tôpô yếu không gian độ đo 12 1.7 Sự hội tụ phân phối mẫu 19 Độ đo xác suất không gian Hilbert 21 2.1 Giới thiệu 21 2.2 Hàm đặc trưng tiêu chuẩn compact 21 2.3 Một ước lượng phương sai 30 2.4 Phân phối chia vô hạn 34 2.5 Tiêu chuẩn compact 40 2.6 Luật kết hợp 46 Độ đo xác suất C[0,1] 51 3.1 Giới thiệu 51 3.2 Các độ đo xác suất C [0, 1] 52 3.3 Một điều kiện cho tồn trình ngẫu nhiên với quỹ đạo C[0, 1] 55 3.4 Sự hội tụ tới chuyển động Brownian 56 3.5 Phân bố biến ngẫu nhiên liên hệ với chuyển động Brownian 60 Tài liệu tham khảo 65 ii Lời mở đầu Độ đo xác suất không gian metric lĩnh vực quan trọng xác suất thống kê Để giúp độc giả hiểu rõ độ đo, tính chất độ đo, vai trò độ đo mối liên hệ độ đo với lĩnh vực toán học khác, tơi hồn thành luận văn Luận văn chia thành chương với phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo phụ lục Chương 1: Trình bày độ đo xác suất khơng gian metric Chương 2: Trình bày độ đo xác suất khơng gian Hilbert Chương 3: Trình bày độ đo xác suất C[0,1] Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học GS.TSKH.Đặng Hùng Thắng thuộc khoa Toán - Cơ - Tin trường Đại học Khoa học Tự nhiên ĐHQGHN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy giúp đỡ khoa học mà thầy dành cho tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành luận văn Nhân dịp này, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy phản biện, người đọc đóng góp ý kiến cho tơi để luận văn hồn thiện Qua xin gửi lời cảm ơn tới thầy cô trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà nội tận tình giảng dạy, cung cấp kiến thức để ngày hồn thiện chun mơn Cuối tơi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình người thân tạo điều kiện tốt cho thời gian làm luận văn Mặc dù cố gắng, song luận văn tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận góp ý thầy cô bạn để luận văn em hoàn thiện Hà Nội, tháng năm 2013 iii Danh mục ký hiệu C (X): Không gian hàm liên tục bị chặn X; C [0, 1]: Không gian hàm liên tục [0, 1]; Cµ : Giá µ; d (x, A) = inf d (x, y); y∈A µ ¯ độ đo xác định : µ ¯ (A) = µ (−A); µ (A): Độ đo tập A; |µ|2 := µ ∗ µ ¯; µ ˆ (y): Hàm đặc trưng µ; µα ⇒ µ: µα hội tụ yếu tới µ; 10 µ ∗ ν: Tích chập µ ν; 11 M (X): Không gian độ đo xác suất X; 12 f|A : f hạn chế A; 13 W: Độ đo wiener iv Chương Độ đo xác suất khơng gian Metric 1.1 Tính quy Chúng ta hiểu độ đo µ khơng gian Metric hàm tập khơng âm, cộng tính đếm µ lớp tập Borel BX thỏa mãn µ(X) = Định nghĩa 1.1 Cho µ độ đo không gian Metric X Một tập Borel A ⊆ X gọi µ−chính quy µ (A) = sup µ (C) : C ⊆ A, C đóng = inf µ (U ) : A ⊆ U, U mở Nếu tập Borel µ−chính quy ta nói µ quy Định lý 1.1 Cho X không gian Metric µ độ đo X Khi tập A ∈ BX µ−chính quy với ε > tồn tập mở Uε tập đóng Cε cho: (i) Cε ⊆ A ⊆ Uε ; (ii) µ(Uε − Cε ) < ε Định lý 1.2 Cho X không gian Metric µ độ đo X Khi µ quy Chứng minh Kí hiệu B = {A ⊂ X : A−µ quy} ⇒ B ⊂ BX Bởi φ, X vừa tập đóng, vừa tập mở ⇒ φ ∈ B, X ∈ B B đóng phép lấy phần bù Thật , cho A ∈ B ε > Khi tồn tập mở Uε ⊇ A tập đóng Cε ⊆ A cho µ(Uε − Cε ) < ε Ta có Uε0 ⊆ A0 ⊆ Cε0 , Cε0 − Uε0 = Uε − Cε µ(Cε0 − Uε0 ) = µ(Uε − Cε ) < ε ⇒ A0 ∈ B Vậy B đóng phép lấy phần bù Ta chứng minh B đóng phép hợp ∞ S đếm Thật vậy, cho A1 , A2 , ∈ B, A = Ai Cho ε > cố định tùy i=1 ý Do An ∈ B nên tồn tập mở Un,ε tập đóng Cn,ε cho Cn,ε ⊆ An ⊆ Un,ε ∞ S S µ(Un,ε −Cn,ε ) < 3εn Đặt Uε = Un,ε , C = Cn,ε Do µ độ đo nên ta n=1 chọn số k đủ lớn để µ(C − n k S n=1 Cn,ε ) < 2ε Đặt Cε = k S Cn,ε Khi Uε − n=1 tập mở, Cε − tập đóng, Cε ⊆ A ⊆ Uε µ(Uε − Cε ) ≤ µ(Uε − C) + µ(C − Cε) ∞ X ε µ (Un,ε − Cn,ε ) + ≤ n=1 X ε ε + = ε < n Suy A ∈ B Vậy B σ- đại số Tiếp theo ta chứng minh B chứa tất tập đóng Cho C ⊂ X tập đóng ε > ⇒ C Gσ Do tồn ∞ T tập mở U1 , U2 , , U1 ⊇ U2 ⊇ cho C = Un Do µ(Un ) → µ(C) ⇒ ∃n0 : n=1 µ(Un0 − C) < ε Lấy Cε = C, Uε = Un0 ⇒ µ(Uε − Cε ) < ε ⇒ C ∈ B 1.2 Giá độ đo Định lý 2.1 Cho X khơng gian Metric tách µ độ đo X Khi tồn tập đóng Cµ thỏa mãn: i) µ(Cµ ) = 1, ii) Nếu D tập đóng cho µ(D) = Cµ ⊆ D Hơn Cµ tập tất điểm x ∈ X cho µ(U ) > với tập mở U chứa x Chứng minh Đặt U ={U:U mở,µ (U) = 0} Bởi X tách ⇒ có nhiều đếm S S S tập mở U1 , U2 , cho Un = {U : U ∈ U} Kí hiệu Un = Uµ Đặt n Sn P Cµ = X − Uµ Bởi µ(Uµ ) = µ( Un ) ≤ µ(Un ) = ⇒ µ(Cµ ) = Hơn nữa, n n D tập đóng thỏa mãn µ(D) = ⇒ µ(X − D) = ⇒ X − D ∈ U X − D ⊆ Uµ tức Cµ ⊆ D Tính Cµ hiển nhiên Để chứng minh khẳng định cuối ý với x ∈ X − Cµ , Uµ tập mở chứa x µ(Uµ ) = Trái lại, x ∈ Cµ U tập mở chứa x ⇒ µ(U ) > 0, khơng U ⊆ Uµ (theo định nghĩa Uµ ) Định nghĩa 2.1 Tập đóng Cµ định lí 2.1 gọi giá µ Hệ 2.1 Cho X khơng gian Metric µ độ đo X cho với E ⊆ X, E tập Borel tách được, µ(X − E) = Khi µ có giá tách Cµ ⊆ E 1.3 Tính chất Radon Bây ta nghiên cứu lớp nhỏ độ đo không gian Metric - Các độ đo chặt Các độ đo chặt xác định giá trị chúng tập compact Định nghĩa 3.1 Một độ đo µ khơng gian Metric X gọi chặt ∀ε > tồn tập compact Kε ⊆ X cho µ(X − Kε ) < ε Định lý 3.1 Cho X không gian Metric µ độ đo chặt X Khi µ có giá tách với tập Borel E ε > đó, có tập compact Kε ⊆ E với µ(E − Kε ) < ε Chứng minh Giả sử Kn tập compact cho µ(X − Kn ) < n1 Một tập S compact khơng gian metric tách Kn tách n S Nếu E0 = Kn ⇒ µ(E0 ) = Do khẳng định thứ suy từ hệ n 2.1 Bây giả sử E ∈ BX Theo định lí 1.2, tồn tập đóng Cε ⊆ E cho µ(E − Cε ) < 2ε Với N đủ lớn, µ(X − KN ) < 2ε Đặt Kε = Cε ∩ KN Bởi Cε đóng , Kε compact Hơn nữa, Kε ⊆ Cε ⊆ E µ(E −Kε ) ≤ µ(E −Cε )+µ(X −KN ) < ε Bổ đề 3.1 Cho X không gian Metric đủ K ⊆ X, K- đóng Giả sử với kn S n, tồn số nguyên kn cho K ⊆ Snj , Snj hình cầu đóng bán j=1 kính n X Khi K compact Định lý 3.2 Cho X không gian metric tách thỏa mãn tồn ∼ ∼ không gian metric tách được, đủ X cho X chứa X tập ∼ tôpô X tập Borel X Khi độ đo µ X chặt Đặc biệt X khơng gian metric tách được, đầy đủ độ đo X chặt ∼ ∼ Chứng minh Giả sử X ⊆ X , X không gian metric tách được, đầy đủ X ∼ ∼ tập borel X Cho trước độ đo µ BX Ta định nghĩa µ lớp B ∼ cách đặt X Bởi X ∈ B ∼ X ∼ ∼ ∼ ∼ µ(A) = µ(A ∩X), A ∈ B ∼ X ∼ ∼ ˜ − X = Suy µ độ đo chặt X Thực ⇒ µ ˜ X ∼ vậy, giả sử điều thiết lập Bởi X tập borel X ⇒ ∼ ∼ ∀ε > 0, ∃Kε ⊂ X, Kε compact X cho µ(X − Kε ) < ε (định lí 3.1) ∼ Kε compact X X tập tơpơ X Hơn ∼ µ(X − Kε ) = µ(X − Kε ) < ε Điều µ chặt Do ta giả định X khơng gian metric tách được, đầy đủ Chọn cố định ε > Giả sử d khoảng cách X Với số ngun n bất kì, hình cầu bán kính n bao quanh điểm thiết lập phủ X Bởi X tách được, ta tìm S S thấy nhiều đếm Sn1 , Sn2 , cho X = Snj Rõ ràng X = Snj j j tồn số nguyên kn cho µ( kn [ Snj ) ≥ − j=1 ∞ T kn S Xn Bởi Kε ⊆ Snj , Kε n=1 j=1 j=1 P P ε compact (bổ đề 3.1) Hơn µ(X − Kε ) ≤ µ(X − Xn ) ≤ = ε 2n Đặt Xn = kn S ε 2n Snj , Xn đóng Đặt Kε = n 1.4 n Độ đo hoàn hảo Định nghĩa 4.1 Một không gian với độ đo (X, B, µ) gọi hoàn hảo với hàm f nhận giá trị thực B- đo tập A đường thẳng thực cho f −1 (A) ∈B có tập borel A1 A2 đường thẳng thực cho A1 ⊆ A ⊆ A2 µf −1 (A2 − A1 ) = Bổ đề 4.1 Cho X không gian metric µ độ đo X Nếu f hàm đo borel X ε > tùy ý tồn tập đóng Cε cho: i)µ(X − Cε ) ≤ ε; ii)f|Cε liên tục Chứng minh Cho {f n } dãy hàm đơn giản hội tụ theo điểm tới f Cho trước ε > , theo định lí Egoroff tồn tập borel E ⊆ X cho µ(X − E) < 2ε fn hội tụ đến f E Bởi fn đơn giản E, ta kn kn S P Eni = E viết fn = ani χEni Ở En1 , , Enkn tập borel rời nhau, i=1 i=1 χA hàm đặc trưng A Bởi µ quy nên tồn tập đóng Cni ⊆ Eni kn S cho µ(Eni − Cni ) ≤ 4nε.kn Đặt Cn = Cni Bởi Cni tập đóng rời i=1 fn số Cni ⇒ fn|Cn liên tục Đặt Cε = ∞ T Cn ⇒ Cε đóng n=1 Hơn µ(X − Cε ) = µ(X − E) + µ(E − Cε ) X µ(E − Cn ) ≤ µ(X − E) + n ε X ε < + kn n < ε k n n Ta có Cε ⊆ Cn với n, fn|Cε liên tục với n f|Cε liên tục fn ⇒ f Cε Bổ đề 4.2 Cho X khơng gian metric µ độ đo chặt X Nếu f hàm đo ε > tồn tập compact Kε cho: i) µ(X − Kε ) ε; ii) f|Kε liên tục Định lý 4.1 Cho X khơng gian metric µ độ đo chặt X Khi (X, BX , µ) khơng gian với độ đo hoàn hảo Chứng minh Cho f hàm đo nhận giá trị thực Thật đủ để chứng minh với tập A ⊂ R1 cho f −1 (A) ∈ BX tồn tập borel A1 ⊆ A với µ(f −1 (A − A1 )) = 0, sau A2 xác định tập borel cho A02 ⊆ A0 µ (f −1 (A0 − A0 )) = Thật vậy, giả sử A ⊆ R1 tập cho E = f −1 (A) ∈ BX Cho { Cn } ,n = 1,2, { Kn } ,n = 1,2, hai dãy tập hợp cho i)K1 ⊆ K2 ⊆ , Kn − compact, f|Kn liên tục µ(X − Kn ) → 0, ii) C1 ⊆ C2 ⊆ ⊆ E, Cn đóng , µ(E − Cn ) → Đặt ∼ ∼ ∼ ∼ Kn = Kn ∩ Cn ⇒ K1 ⊆ K2 ⊆ ⊆ E, Kn −compact ∼ ∼ f ∞ P R R R Ta có: gdµn − gdµ = g − g xnj dµ ≤ Sup βnj − αnj → An j j n→∞ Do g ∈ U (X) bất kỳ, theo định lý 6.1 suy µn ⇒ µ Định lý 6.4 M(X) không gian metric compact ⇔ X không gian metric compact Chứng minh Cho X khơng gian metric compact C (X) khơng gian Banach tách Do tồn dãy phần tử thuộc C (X) g1 , g2 , 15 cho g1 ≡ 1, kgn k ≤ {gn } trù mật hình cầu đơn vị bao quanh C (X) Cho T ánh xạ µ → R g1 dµ, R g2 dµ, Khi T ánh xạ M(X) vào khơng gian ∞ I -Tích đếm khoảng [−1, 1] I ∞ không gian metric compact T đồng phôi từ M(X) vào I ∞ Bây ta chứng minh T (M (X)) ∞ tập đóng I Giả sử {µn } dãy độ đo cho T (µn ) hội tụ tới (α1 , α2 , ) I ∞ Cho g hàm thuộc hình cầu đơn vị C (X) Khi tồn dãy gkr cho kgkr − gk → r → ∞ Ta có: