(Skkn 2023) sử dụng hiệu quả tính chất đường phân giác trong bài toán hình học

Mục lục Nội dung Trang A – Đặt vấn đề I Lời mở đầu: Lý chọn đề tài 2 Mục đích - nhiệm vụ đề tài Phạm vi, đối tượng nghiên cứu đề tài II Phương pháp nghiên cứu Vai trị tính chất đường phân giác tam giác việc giải toán Nghiên cứu tài liệu: 3 Những biện pháp tác động giải pháp khoa học tiến hành B – Giải vấn đề I Cơ sở lý luận Mục tiêu Cấu trúc II Thực trạng vấn đề Tình hình nhà trường Số liệu điều tra trước thực III Nội dung cụ thể đề tài IV Kết thực 14 C – Kết luận khuyến nghị 15 I Kết luận 15 II Các đề xuất khuyến nghị 15 Đề xuất 15 Khuyến nghị 15 A ĐẶT VẤN ĐỀ I LỜI MỞ ĐẦU: Lí chọn đề tài Ngày nay, đào tạo học sinh trở thành người vừa có đức vừa có tài trở nên cấp bách hết Q trình hội nhập tồn cầu địi hỏi người động phải biết tư sáng tạo Muốn cịn ngồi ghế nhà trường, học sinh phải rèn luyện, tập dượt tư sáng tạo Có lẽ, nhà trường phổ thơng khơng có mơn mà tư sáng tạo có dịp rèn luyện nhiều mơn tốn, phân mơn hình học Trong q trình giảng dạy tốn THCS, khâu truyền thụ kiến thức quan trọng, kiến thức vốn sống động nhất, phải có tồn người học toán làm toán Về việc bồi dưỡng học sinh nắm vững kiến thức toán học trường phổ thông trở thành học sinh khá, học sinh giỏi không dễ dàng không khó khăn Trong năm gần giáo dục yêu cầu giáo viên phải đổi phương pháp giảng dạy Nội dung chủ yếu vấn đề là: Phải coi học sinh nhân vật trung tâm tiết học Bằng đổi phương pháp dạy học Đưa tình tạo điều kiện cho học sinh dễ nhớ, dễ hiểu việc khai thác, phát triển, phát huy óc sáng tạo, rèn luyện phương pháp suy nghĩ độc lập cho học sinh, giáo viên ln khuyến khích cho học sinh giải toán nhiều cách khác để giúp học sinh phát triển trí tuệ Ngồi cịn giúp học sinh làm quen với phương pháp tự tìm tịi, nghiên cứu để học sinh tiếp tục học lên Xuất phát từ luận điểm Trong trình giảng dạy luyện tập tập sách giáo khoa biết khai thác, phát triển ta xây dựng dạng tập hệ thống tập sử dụng bồi dưỡng cho học sinh khá, giỏi Đó lí tơi chọn đề tài " Sử dụng hiệu tính chất đường phân giác tốn hình học” Mục đích – Nhiệm vụ đề tài: Nhằm nâng cao lực học tốn, tìm tịi, sáng tạo học sinh Bồi dưỡng học sinh nắm vững kiến thưc trở thành học sinh khá, học sinh trở thành học sinh giỏi Phát huy đam mê u thích học tốn học sinh Phạm vi, đối tượng nghiên cứu đề tài: - Thường phân cơng giảng dạy lớp 8, Vì năm học 2021-2022 phân công giảng dạy mơn tốn lớp tơi giành thời gian nghiên cứu thực đề tài vào số tiết học buổi chiều - Đề tài áp dụng cho đối tượng học sinh lớp trường THCS Lương Thế Vinh Đây lứa tuổi thay đổi nhiều tâm sinh lý Do q trình giảng dạy cố gắng rút kinh nghiệm, điều chỉnh phương pháp dạy cho phù hợp với đối tượng học sinh Vì “Nhà giáo khơng phải người nhồi nhét kiến thức mà cơng việc người khơi dậy lửa cho tâm hồn” II PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: Vai trị tính chất đường phân giác tam giác việc giải tốn Tính chất đường phân giác tam giác chương trình tốn gồm tiết (1 tiết lý thuyết tiết luyện tập) lại có tầm ảnh hưởng lớn, vận dụng vào làm nhiều tốn hay, kết hợp nhuần nhuyễn để có nhiều lời giải hay, độc đáo Học sinh vận dụng tính chất đường phân giác tam giác vào việc giải tốn khác có liên quan, qua phát triển kĩ chứng minh hình học Nghiên cứu tài liệu: Trước hết phải nghiên cứu phần lý thuyết mà học sinh học nội dung lý thuyết, phải xác định rõ ràng kiến thức trọng tâm, kiến thức nâng cao mở rộng cho phép bước nghiên cứu tập SGK, sách tập Toán, sách nâng cao theo yêu cầu tự phải giải đáp yêu cầu Cách giải loại, toán nào? Có cách giải tốn, loại tốn này, phương pháp giải hay hơn, thường gặp Ý đồ tác giả đưa toán để làm Mục đích tác dụng tập Học sinh học rút từ kiến thức Sau nghiên cứu kĩ tài liệu, định hướng cụ thể tập trung xây dựng nội dung đề tài: "Sử dụng hiệu tính chất đường phân giác tốn hình học” Những biện pháp tác động giải pháp khoa học tiến hành Để thực tốt yêu cầu, mục đích đề thân tơi áp dụng biện pháp sau: a Phải nắm thật vững chương trình đối tượng học sinh để chuẩn bị giảng tốt b Phải biết chọn lọc nội dung, phương pháp tập trung vào điểm mấu chốt, chọn kiến thức, kĩ hay ứng dụng để giảng tốt, luyện tốt c Phải giảng đến đâu, luyện đến Tránh giảng qua loa đại khái để chạy theo số lượng tập d Suốt trình luyện giảng phải cho học sinh động não suy nghĩ sao, làm ? Tại nghĩ ? đạt kết e Đầu tư cho cơng tác soạn giảng để có hệ thống câu hỏi phù hợp, tập trắc nghiệm tự luận hợp lý, khoa học f Ứng dụng phương tiện hỗ trợ giáo dục để tiết kiệm thời gian gây hứng thú cho học sinh B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I CƠ SỞ LÝ LUẬN Mục tiêu Đưa vào tiết học khố, tiết học bồi dưỡng Một số phần dành cho việc bám sát, củng cố, nâng cao kiến thức, kĩ Một phần dành cho việc cung cấp số nội dung phát triển, nâng cao, áp dụng thực tiễn theo nhu cầu học sinh Khai thác sâu tính chất đường phân giác tam giác, phát triển tốn có liên quan Đáp ứng nhu cầu học tập đối tượng học sinh khác Tạo điều kiện cho học sinh học tập, nắm bắt kiến thức phát triển nâng cao chương trình Cấu trúc Với mục tiêu củng cố, nâng cao mức độ phổ thông cho phép phần lí thuyết thơng qua hệ thống số tập, gồm tập sách giáo khoa, sách tập, tập tự chọn, tự sáng tạo giáo viên Đề tài phải có cấu trúc hợp lí, chặt chẽ gắn kết lơgíc với nhau, qua tạo cho người dạy, người học nguồn cảm hứng, độ mở định Với đề tài: "Giải tốn nhờ sử dụng tính chất đường phân giác" cấu trúc theo nhiều cách khác tuỳ theo chủ định người dạy, xin đưa cấu trúc sau để đồng chí tham khảo góp ý Bước 1: Khơi nguồn kiến thức lí thuyết: Tính chất đường phân giác tam giác thông qua hệ thống câu hỏi tập dạng đơn giản tự luận trắc nghiệm Bước 2: Học sinh áp dụng tính chất đường phân giác tam giác, sử dụng tính chất cách linh hoạt, sáng tạo, qua giáo viên kiểm tra, rèn luyện kĩ vận dụng chứng minh, thao tác làm học sinh Nhận xét sau tốn, qua xâu chuỗi để phát tốn Bước 3: Vận dụng tính chất, kết để giải tốn tính độ dài đoạn thẳng, so sánh hai đoạn thẳng, chứng minh hai đường thẳng song song, chứng minh tam giác vng, tốn mở rộng khác II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ: Tình hình nhà trường a) Thuận lợi: Đội ngũ giáo viên nhiệt tình công tác giảng dạy, yêu học sinh, yêu nghề, ln tìm tịi phương pháp đổi phù hợp với mơn học b) Khó khăn: - Cơ sở trường lớp chật hẹp chưa đủ đồ dùng phục vụ công tác giảng dạy, đội ngũ giáo viên giảng dạy mơn tự nhiên cịn thiếu cịn trẻ nên chưa có nhiều kinh nghiệm giảng dạy - Một số học sinh chưa có ý thức học tập, cịn ỉ lại vào sách hướng dẫn, mà ảnh hưởng đến chất lượng giảng dạy học tập học sinh Số liệu điều tra trước thực Khi thăm dò khảo sát chất lượng học tập mơn tốn học sinh trước thực đề tài thu kết sau: * Số liệu điều tra trước thực Điểm - - Điểm – Điểm – 12 12 30% 20% 30% III NỘI DUNG CỤ THỂ CỦA ĐỀ TÀI: Điểm – 17,5% Điểm – 10 2,5% Sau nôi dung đề tài áp dụng giảng dạy thời gian vừa qua cho phần: " Sử dụng hiệu tính chất đường phân giác tốn hình học” Bài tốn 1: Xét tập 15 trang 67 SGK T8: Tính x, y hình vẽ làm tròn kết đến chữ số thập phân thứ A P 7,2 4,5 C Lời giải: 8,7 6,2 3,5 D x B M y N Q 12,5 a, Vì AD phân giác góc BAC nên ta có: AB DB 4,5 3,5 3,5.7,2  hay   x 5,6 AC DC 7,2 x 4,5 b, Vì PQ đường phân giác góc MPN nên ta có: PM QM 6, QM 6, QM QM QM  hay      PN QN 8, QN 8,  6, QN  QM MN 12,5 12,5.6,  QM   QM 5, 14,9 Vậy y  5,2 Nhận xét 1: Đây toán bản, áp dụng trực tiếp tính chất đường phân giác tam giác Ta xét tiếp toán sau: Bài toán 2: Bài tập 18 trang 69 SBT T8 Tam giác ABC có đường phân giác AD, BE CF (hình vẽ) CMR: DB EC FA 1 DC EA FB A F Lời giải: Áp dụng tính chất đường phân giác, ta có: DB AB  (1) DC AC EC BC  ( 2) EA BA FA CA  (3) FB CB E B D C Nhân vế tương ứng đẳng thức (1),(2),(3) ta được: DB EC FA 1 DC EA FB Lại tính chất vận dụng để giải toán sau Bài toán 3: Cho tam giác vng ABC có Â = 900, AB = 21cm, AC = 28cm, đường phân giác góc A cắt BC D, đường thẳng qua D song song với AB cắt AC E (Hình vẽ) a) Tính độ dài đoạn thẳng BD, DC DE b) Tính diện tích tam giác ABD diện tích tam giác ACD B Lời giải: 2 a) A = 900  BC  AB  AC (định lí Pytago) 21 BC2 = 212 + 282= 1225 A D E  BC = 35 (cm) C 28 BD AB 21 BD 21 BD 21        BC 49 Ta có: DC AC BD  DC 21  28  BD  BC.21 35.21  15(cm) 49 49  DC = BC – BD = 35 – 15 = 20 (cm) Mặt khác: DE // AB DE CD AB.CD 21.20   DE   12(cm)  AB CB CB 35 1 S ABC  AB AC  21.28 294(cm ) 2 b) Vì ABD ABC có chiều cao nên:  S ABD BD 15 15    S ABD  294 126(cm ) SABC BC 35 35  S ACD  S ABC  S ADB 168(cm ) Bài toán Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Đường phân giác góc AMB cắt cạnh AB D, đường phân giác góc AMC cắt cạnh AC E a) Chứng minh DE// BC b) Gọi I giao điểm DE với AM Chứng minh ID = IE Lời giải: a) Theo tính chất đường phân giác tam giác, ta có: A DA MA  DB MB EA MA  EC MC Mà MB = MC (gt) DA EA  Do đó: DB EC Suy ra: I D E B DE// BC M b) DE//BC (theo câu a) áp dụng định lí Talet, ta có: ID AI  MB AM Suy IE AI  MC AM ID IE  , MB MC mà MB = MC, ID = IE * Chúng ta sử dụng tính chất đường phân giác tam giác để chứng minh hai đường thẳng song song, hai đoạn thẳng Bài tốn Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c, đường phân giác AD a) Tính độ dài đoạn thẳng BD, DC theo a, b, c b) Tia phân giác góc B cắt AD I Tính tỉ số AI : ID c) Cho BC trung bình cộng AB AC, gọi G trọng tâm tam giác ABC Chứng minh IG // BC Lời giải a) AD đường phân giác  ABC nên: BD AB c   DC AC b A Suy ra: BD c BD c ac     BD  BD  DC c  b a c b c b ac ab  Do DC = a - c  b c  b I G B b) BI đường phân giác  ABD nên: D M C C ac c b  a AI : ID = AB : BD = c : a  b AI c  b bc AI   a Nếu a = ID c) Theo câu b ta có: ID AG  Ta lại có: GM (M trung điểm BC) AI AG  Như ID GM , suy IG // DM, tức là: IG // BC Cách khác giải câu c mà không dùng kết câu câu a b: S ABC  Kẻ I I’  BC Ta có: Nếu b + c = 2a Ta lại có S IBC  S ABC  a b c I I’ A 3a I I’ I a S IBC  S ABC I I’ Do đó: Dễ chứng minh được: SGBC  S ABC (1) G I' D M B C (2) Từ (1) (2) suy S IBC SGBC , từ IG // BC NhËn xÐt 2: Một tốn áp dụng trực tiếp tính chất đường phân giác tam giác dạng tổng quát Đồng thời sử dụng để chứng minh hai đoạn thẳng song song Bài toán Cho tam giác ABC với I tâm đường tròn nội tiếp G trọng tâm.Biết AI vng góc với IG Chứng minh: AB + AC > 2.BC Lời giải: Nhận xét tam giác ABC cân A AI trùng với AG, vi phạm giả thiết AI vng góc với AG Giả sử AB < AC , AI cắt BC D Dựng MN vng góc với AD N  A     Khi ADC = ABC  BAD  ACB DAC    Nhưng ADC ADB = 1800 Nên ADC > 900 10 G I B D N M C Từ D nằm I N Suy IN > ID Mặt khác từ IG// MN ta có: AI AG  2  AI 2 IN IN GM > 2ID Áp dụng tính chất đường phân giác tam giác, ta được: AB AC AI   2 BD DC ID  AB + AC > 2( BD + DC ) = BC (đpcm) Ta thấy điều kiện IG vng góc với AI giả thiết AI > 2.DI tam giác ABC khơng cân A Nếu tam giác ABC có thêm điều kiện AB < AC muốn có AI > 2.DI ta cần cho ràng buộc: IG cắt tia MB đủ Trước hết có nhận xét sau: Nhận xét 3: Cho tam giác ABC với AB < AC Gọi AD đường phân giác trong, AM đường trung tuyến tam giác M nằm C D BM AB BD BC BC 1      CD  CM AC CD CM CD Thật ta có: CM Suy M nằm C D Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC thì: AI AB AC AB  AC AB  AC     (1) ID BD CD BD  CD BC Bài toán 7: Cho tam giác ABC ( AB < AC) Gọi G, I trọng tâm, tâm đường tròn nội tiếp tam giác GI cắt tia MB K Chứng minh rằng: AB + AC > 2.BC Lời giải: Gọi D,M giao điểm tương ứng AI AG với BC Từ I kẻ đường thẳng song song với BC, cắt GM J, theo nhận xét 2, J nằm G M nên AI AJ AG   2 ID JM GM (2) Từ (1) (2) suy ra: AB + AC > BC 11 Từ kết toán 6, đặt cho câu hỏi: Khi AB + AC < BC ? Kết sau trả lời câu hỏi Bài tốn 8: Cho tam giác ABC ( AB < AC) gọi I tâm đường tròn nội tiếp G trọng tâm tam giác GI cắt tia DC tai K Chứng minh rằng: AB + AC < BC Lời giải: Gọi giao điểm AI AG với BC D M Qua G kẻ đường thẳng song song với DM, cắt ID J J nằm I D theo nhận xét nên: AI AJ AG   2 ID JD GM (3) Từ (1) (3) suy ra: AB + AC < BC Ta xét xem AB + AC = BC Bài toán9 : Cho tam giác ABC ( AB < AC) I, G tâm đường tròn nội tiếp, trọng tâm tam giác Khi IG // BC nếu: AB + AC = BC Lời giải: AI AG  2 IG // BC  ID GM ( hình vẽ) Theo (1), điều xảy khi: AB + AC = BC Phần ta khai thác tốn để có thêm kết qủa khác Nhận xét 4: Đặt BC = a, AC = b, AB = c; c < b, c + b = 2a.Khi đó: IG // BC, b c b c b a   2 a theo nhận xét CD BD DM = DC – MC = b a DM  Suy ra: IG = 12 Nếu lấy a = 3, b = 4, c = IG = Ta lại có toán Hoặc lấy a = 6, b = 7, c = IG = lại toán Bây gọi N trung điểm AC, P trung điểm AB Khi tam giác b IDC tam giác INC (IC chung, góc NCI = góc DCI DC= = NC) Do đó: N D1  N D2  AIN ABC (do AI phân giác góc BAC ) Tương tự: AIP ACB ( ) Giả sử K giao điểm CI AB K nằm B P (vì theo nhận xét b c b b  b a= ) Vậy:  AIP <  CID   ACB <  CID ( theo (4)), Suy ra:  ACB <  CIN (  CIN =  CID ) Từ đó:  GIC <  GIN ( IG // BC ) có kết quả: Bài toán 10: Cho ABC (AB < AC) Gọi G, I trọng tâm, tâm đường tròn nội tiếp tam giác đó, N trung điểm AC Chứng minh rằng: Nếu AB + AC = BC :  GIC <  GIN Nhận xét 5: Nếu  ABC có  B = 900, AB = BC = lúc AC = 10 Tam giác thỏa mãn điều kiện b + c = 2a Trở lại phần phân tích để dẫn đến tốn 10, ta có:  AIN =  ABC = 900 IV KẾT QUẢ THỰC HIỆN Với dạng hệ thống thấy học sinh dễ hiểu nhớ lâu hơn, không nhiều thời gian Với cách làm cần phải tạo tình (chuẩn bị tình huống) dẫn dắt học sinh học tập cách tự học Tuy nhiên để học sinh 13 làm điều giáo viên phải tốn khơng thời gian chuẩn bị nội dung phương pháp giảng dạy Muốn cho chất lượng học tập học sinh ngày nâng cao biện pháp tốt giáo viên phải đầu tư suy nghĩ thật nhiều vào nội dung chương trình dạy, tìm tịi khai thác phần, phương pháp với phương pháp giải tốn nào, dạng nào? phù hợp với đối tượng học sinh nào? phương pháp, tình đưa có phù hợp chưa Đó quan tâm hàng đầu người giáo viên Nếu thật mong muốn chất lượng học tập học sinh ngày nâng cao Thông qua giảng dạy, ôn tập, làm tập dạng rèn luyện kỹ năng, tính tốn đa số em thể lực tư sáng tạo, chí nhiều em giải nhiều khó, câu khó thơng qua hướng dẫn Qua việc theo dõi, kiểm tra đánh giá chất lượng học sinh thu kết sau: Kết kiểm tra sau thực đề tài Điểm - - 2,5% Điểm – 12,5% Điểm – 10 25% Điểm - 15 37,5% Điểm - 10 22,5% C KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ I KẾT LUẬN: - Để chất lượng học tập học sinh ngày nâng cao người giáo viên cần nắm vững kiến thức dạy, kiến thức chương trình, phải tốn thời gian tìm tịi suy nghĩ tạo tình dấn dắt học sinh để em học tập cách tự học Trong trình giảng dạy thực hành kiểm nghiệm giáo viên phải biết tích lũy rút nhiều điều bổ ích cho Bên cạnh cần phải thường xun kiểm tra nắm bắt thông tin qua việc học tập kinh nghiệm đồng nghiệp, tham gia nghiêm túc việc tự học, tự bồi dưỡng nghiên cứu chuyên đề để bổ sung cách hợp lí chắn việc nâng cao chất lượng học sinh qua mơn nói chung mơn Tốn nói riêng việc làm 14 - Giáo viên phải nắm vững kiến thức, phương pháp có liên quan đến tính chất đường phân giác tam giác - Trong phương pháp, dạng tập phải rèn luyện cho học sinh tính cẩn thận, tư sáng tạo, kỹ phân tích áp dụng u thương tơn trọng học sinh - Thường xuyên dự đồng nghiệp để rút kinh nghiệm cho II CÁC ĐỀ XUẤT VÀ KHUYẾN NGHỊ: Đề xuất: - Nhà trường mua thêm tài liệu tham khảo phục vụ bồi dưỡng học sinh Khuyến nghị : - Giải pháp cách hướng dẫn học sinh giải tốn nhờ sử dụng tính chất đường phân giác trình bày thực năm học 2021 – 2022 Nhưng tốn lại địi hỏi sáng tạo người giáo viên Do trước tiết dạy giáo viên cần: a Xác định rõ mục tiêu để phân chia thời gian hợp lý b Chuẩn bị chu đáo cho tiết dạy, hệ thống câu hỏi lựa chọn tập đặc biệt phương tiện hỗ trợ máy vi tính, máy chiếu, ti vi Tránh thời gian kẻ vẽ lớp c Tổ chức hoạt động phù hợp sinh hoạt cho nhóm đối tượng học sinh tham gia d Lưu ý hoạt động hướng dẫn, bổ sung kiến thức cho học sinh Trên kinh nghiệm mà tơi rút q trình giảng dạy Tốn Mong muốn đóng góp để giúp bạn đọc tham khảo thêm giảng dạy học sinh “Sử dụng hiệu tính chất đường phân giác tốn hình học” Cuối xin trân thành cảm ơn ghi nhận ý kiến đóng góp, bổ xung bạn bè đồng nghiệp, hội đồng khoa học cấp./ Ngày 20 tháng năm 2023 Người viết 15 Nguyn Th Thu Loan ý kiến nhận xét đánh giá hội đồng khoa học sở ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Ngày tháng năm 2023 ý kiến nhận xét đánh giá hội đồng khoa học cÊp trªn ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Ngày tháng năm 2023 16