| \,@ | re ~
L 5: not dau
Khối THPT Chuyên Toán (nay là Khối Chuyên Toán - Tin) của Trường Đại học Khoa học Tự nhiên thuộc Đại học Quốc gia Ha
Nội được thành lập đầu tiên từ năm 1965 theo quyết định của cố
_ Thủ tướng Chắnh phủ Phạm Văn Đồng Sau đó, từ năm 1985, các
Khối Chuyên Lý, Hóa, Sinh lần lượt ra đời Học sinh các khối
chuyên của Trường đã đạt được nhiều thành tắch đáng kể trong các kì thi Olympic trong nước và quốc tế
Hằng năm, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội đều tổ
chức thi tuyển để tuyển chọn những học sinh có năng khiếu ở mọi
miền đất nước Các em đều phải thi mơn Tốn (vịng 1), riêng thắ sinh thi vào Chuyên Toán Ở Tin phải thi thêm mơn Tốn (vịng 2)
-_ Để giúp các em học sinh hiểu thêm về nội dung, chương trình cũng như mức độ khó, dễ của các đề thi, chúng tôi cho ra mắt tuyển tập này Đây cũng là tài liệu giúp các em có khả năng tự học, tự ôn luyện nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo và năng lực giải toán Ngoài các đề thi chắnh thức (cả vòng 1 và vòng 2) của
những năm gần đây, tuyển tập còn đưa thêm nhiều đề tự luyện để
_các em tham khảo | | Phần đề thi chắnh thức do tác giả sưu tâm và tự giải nên
không thể tránh khỏi khiếm khuyết Các tác giả rất mong nhận
được ý kiến đóng góp của bạn đọc để lần tái bản sau cuốn sách được hoàn thiện hơn |
Trang 3www VNMATH com:
Phan | DE THI CHINH THỨC
A DE BÀI
Dé thi nam 1989 - (Khéi chuyén Todn va chuyen Tin - Vòng 1)
Thời gian lam bai: 180 phat - -
Bài 1 Cho da thức P(z) = az? + bz + e
Biết rằng với mọi giá trị nguyên của z, giá trị của đa thức P(z) đều là những số chắnh phương (nghĩa là bằng bình phương của số nguyên) Chứng minh rằng các hệ số a, b,c đều là những số nguyên, và b là một số chắn
Bài 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
a2 + ab +b? Ở 3a Ở 3b + 1989
Giá trị nhỏ nhất đó đạt được tại giá trị nào của a và b ?
Bài 3 Chứng minh rằng trong 52 số nguyên dương bất kỳ luôn luôn có thể tìm được 2 số sao cho tổng hoặc hiệu của 2 số đó chia hết cho 100
Bài 4
Cho tam giác ABC Về phắa ngoài tam giác vẽ các góc BAz = CAy = 21ồ, Ha BE vuéng goc voi Ax (E nam trén Az), ỂF vuông góc
voi Ay (F nam trén Ay) M là trung điểm của BC
1 Chimg minh rằng tam giác MP là tam giác cân
Trang 4Bài 5 Có 9 học sinh vừa lớp Á vừa lớp xếp thành một hàng dọc, đứng cách đều Chứng minh rằng có ắt nhất 1 học sinh đứng cách 2 bạn cùng lớp
với mình một khoảng cách như nhau
Đề thi năm 1989 - (Khối chuyên Toán va chuyên Tin - Vòng 2)
Thời gian lam bai : 180 phi
Bài 1 Phân tắch biểu thức : c a1 + b + c* Ở 2a2b2 Ở 2b2c2 Ở 2c2a2 thành bốn nhân tử Bài 2 x 2 1 Cho biết ỞỞỞỞỞỞ = Ở-, mm z2+z-+1 3
Hãy tắnh giá trị của biểu thức Ủ!+z2+1 2 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
x2
z++z2+1
Giá trị lớn nhất đó đạt được tại giá trị nào cua x ?
Bài 3 Cho biéu thitc P(n) = a" + bn +c, trong dé a, b,c 1a những số
nguyên Chứng minh rằng nếu với mọi giá trị nguyên dương của 0, P(n)
luôn chia hết cho m (m la s6 nguyén duong cố định), thì b2 phải chia hết
cho ?m,
Với vắ dụ sau đây hãy chứng tô ng khong thể suy ra b chia hết
cho m:
_ P(r) = 3ồ + 2n+3 (xét khi mm = 4
Bài 4 Cho đa giác lồi sáu cạnh ABCDEF M,I,L,K,N,H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC,CD, DE, EF,FA Chimg minh rang cac trong tam cia hai tam gidc ACN L va HIK tring nhau
Trang 5www.VNMATH.com
Bài 5 Giả sử trong một trường có ?: lớp, ta ký hiệu đƯẤ là số học sinh của lớp thứ m, dẤ là số lớp trong đó mỗi lớp có ắt nhất k hoc sinh, M 1a sé học sinh của lớp đông nhất Chứng minh rằng : | |
OL đ\ + 0a +: có bán = đi + dạ +: - + đụ
2 di +aệT-: +03, = địt3da+Ếda+ -+(2kỞ 1)dk+ -+(2M- 1)dạu
Đề thi nẽm 1989 - (Khối chuyên Lý)
Thời gian lồm bởi : 180 phút -
Bài 1 Tìm tất cả những giá trị nguyên của z để biểu thức sau là số nguyên | Ở2z? + z + 36 | 2z+3 Bài 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : a2 + ab + bỀ Ở 3a Ở 3b + 3 Giá trị nhỏ nhất đó đạt được tại giá trị nào của ụ và b ? Bài 3
1 Chứng minh rằng với mọi mm nguyên dương, biểu thức rnỢ + rn + 1
không phải là số chắnh phương (nghĩa là không thể bằng bình phương
cha số nguyên)
2 Chứng minh rằng với mọi m nguyên dương, m(m +1) không thể bing
tắch của bốn số nguyên liên tiếp
Bai 4 Cho tam gidc ABC vuông cân, góc A =90ồ CM là trung tuyến (M nằm trên AB) Từ A vẽ đường thẳng vuông óc với MC cắt BC ở H
BH Tắnh tỷ số ỞỞ HG:
Bài 5 Có 6 thành phố, trong đó cứ 3 thành phố bất kỳ thì có ắt nhất 2 thành
phố liên lạc được với nhau Chứng minh rằng trong 6 thành phố nói trên
Trang 6Đề thi năm 1991- (Khối chuyên Toán và chuyên Tin - Vòng Ừ
Thời gian lờm bởi : 180 phút Bài 1 | _ 1 Giải và biện luận phương trình : wa+z+ va+z+va-z = vb VataỞVa-a Ở vVa~z _ _ với Ủ,b là các số dương đã cho
2 Cho phương trình zẼ +ar+6+1=0 (a,b Ạ Zvab+F Ở-1) Ching minh rằng nếu phương trình có hai nghiệm đều là những SỐ nguyên thì Ủ2 + b2 là hợp số Bài 2 Cho ụ, b,e là các số đôi một khác nhau và khác 0 Giải hệ : đ3z + a2 + az = 1 b3> + b2 + bz = I c3z + cụ + cz = 1 Bai 3.Tim nghiệm nguyên, đương của phương trình : 7# = 3.2Ỳ -++ 1 Bài 4 :
1 Cho hinh thang ABCD (AB//CD) Goi giao diém cha AD va
BC là E, giao điểm của AC va BD la F Chimg minh rang đường thẳng
EF di qua trung điểm của hai đáy AB, CD |
2 Cho tam giác
Trang 7www.VNMATH.com
của bốn tam giác gạch chéo bằng nhau thì diện tắch của ba tứ giác không: gạch chéo cũng bằng nhau
Bai 5 Tén tai hay khong 1991 điểm trên mặt phẳng sao cho ba điểm bất
kỳ trong chúng là ba đỉnh của một tam giác có một góc tù ?
Đề thi năm 199] - (Khối chuyên Toán va chuyên Tin - Vòng 2) _Thời gian lỏm bỏi : 180 phút Bài 1 1 Rút gọn biểu thức : = Ỳ2v5 ~ 4V3.$/44 + 16V8 2 Phân tắch biểu thức sau thành tắch các nhân tử : P=(zỞ-w)+(wu-z)Ợ+( Ở z)Ế Bài 2 1 Cho các s6 a,b,c, a, 8,-y thoả mãn các điều kiện : ụ+b+e=0 a+B+y7=0 | ể + too
Hãy tắnh giá trị của biểu thức A = Ủa2 + Bb? + yc?
2 Cho bốn số aụ,b,c, dở; mỗi số đều không âm và nhỏ hơn hoặc bằng 1 Chứng minh rằng :
0<64:b3e+cdỞ shỞ bề Ở cả Ở án <8
Trang 8www .VNMATH com Bài 3 Cho trước a và đ là những số 6 nguyên dương Xét tất cả các SỐ có đạng : aat+dat2d, ,a-+nd, Chứng minh rằng trong các số đó có it nhat một số mà 4 chữ số đầu tiên của nó là 1991 Bài 4 : | | |
Trong một cuộc hội thảo khoa học có 100 người tham dự Giả SỬ -
mỗi người đều quen biết với ắt nhất 67 người Chứng minh rằng có thể | tìm được một nhóm 4 người mà bất kỳ 2 người trong nhóm đó đều quen -
biết nhau
Bai 5 |
1 Cho hình vuông ABỂCD Lấy điểm M nằm trong hình vuông sao cho:
MAB = MBẢ = 15ồ
Chứng minh rằng tam giác A#ỂD là tam giác đều ẹ |
2 Hãy xây dựng một tập hợp gồm 8ậ điểm có tắnh chất : Đường trung -
trực của đoạn nối hai điểm bất kỳ luôn đi qua ắt nhất hai điểm Ề của tập hop điểm đó
Đề thi năm 1992 - (Khối chuyên Lý - Hoé)_
Trang 9www.VNMATH.com |
Bài 2 Giả sử ?n là một tham số để phương trình :
_(Ủ= 1)(ỦỞ9)(z Ở 3)(Ủ 4) =m
có bốn nghiệm z), zo, #3, đều khác không
Hãy tắnh giá trị của biểu thức sau đây theo mm :
si PS + + Tạ
Bài 3 Cho tam giác ABC có BC = a, CA = =b,AB = c, AD là đường phân giác trong của góc Ả |
1 Chứng minh rằng AD2 = AB.AC - DB.DC Ở
_2 Tắnh 4D theo a,b,Ấe |
Bài 4 Cho tam giác 4C có AM, BÀ là các đường trung tuyến xuất phat |
tu A va B; AD, BE là các đường phân giác xuất phát từ A và ỷ,
Chứng minh rang néu A > B thi: 1 AM < BN
2 AD < BE
Bai 5 Tim nghiệm nguyên của phương trình : 2z + z + = 83 Dé thi nam 1992 - (Khối chuyên Todn va chuyên Tin - Vòng 1)Ộ
Trang 10đài 3Ỉ Tìm tất cả các cặp số nguyên không 4m (m,n) dé phuong trình :
+2 Ở mxn# + Tn + n = 0
có nghiệm nguyên
Bài 3 Cho tam giác ABC có diện tắch Ế Trên các cạnh A4, ĐỂ, CA lần
lượt lấy CỢ, A', BỢ tương ứng, sao cho : |
_ !L_Ở_ ca pa _+ BA' 1 CB' = 1 A= OB: AC 2) BA 3
Gia st AAỖ cét BB! tai M, BBỖ cét CCỖ tai N, CCỖ cat AA' tại P Tắnh dién tich tam giac MNP theo S
ặ
Bài 4 Cho tam giác 4.BC nội tiếp trong một đường tròn Lấy một điểm D
trên cung BỂ (không chứa 4) của đường tròn đó Hạ DJ vuông góc với BC, DĨ vuông góc với CA và DK vuông góc với AB Ching minh rằng:
BC _ AC Ấ AB DH DI DKỖ
Tìm tất cả các cặp số nguyên đương (m,) sao cho 2m + 1 chia hết cho n va 2n + 1 chia hết cho m
Trang 11www.VNMATH.com
Bài 2 Cho a là tổng các chữ số của số (29)!?45, b là tổng các chữ số của s6 a Tim tổng các chữ số của số ỏ
Bài 3 Cho tam giác ABC Giả sử đường phân giác trong và ngoài của
góc A cit đường thẳng BC tại D, tương ứng Chứng minh rằng nếu AD = AK thi AB? + AC? = 4R?, trong đó R là bán kắnh đường tròn
ngoại tiếp tam giác AC |
Bai 4
Trong mat phang kẻ 1992 đường thẳng sao cho không có 2 đường nào
song song và khóng có ba đường nào đồng quy Tàm giác tao bởi ba đường
thẳng trong số các đường thẳng đã cho gọi là "tam giác xanhỢ nếu nó không bị đường thẳng nào trong số các đường thẳng còn lại cất
1 Chứng minh rằng số tam giác xanh không ắt hơn 664
2 Chứng minh kết luận mạnh hơn : Số tam giác xanh không ắt hơn 1328 -
-Bài 5 Sợ
Có 41 thành phố được nối với nhau bằng các đường chỉ đi được một
chiều Biết rằng từ mỗi thành phố có đúng 16 đường đến các thành phố khác và đúng 16 đường từ các thành phố khác đến nó Giữa hai thành phố
bat ky không có quá một con đường của mạng đường nói trên Chứng minh _
_ rằng từ một thành phố bất kỳ A đều có thể đi đến một thành phố bất kỳ B
mà chỉ đi qua nhiều nhất hai thành phố trung gian |
Đề thi năm 1993 - (Chung cho cóc khối chuyên)
Trang 122 Gidi he phuong trinh | | #3 + 2z2 + 12 = 0 { 8? + z2 = 12
Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của biểu thức :
| A = 2y(4Ở ny)
khi xr Và Ly thay đổi thoả mãn điều kiện : z > 0, y 20,2 rt US 6
Bài 3 Cho hình thoi ABC Gọi R,r lần lượt là bán kắnh các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABD, ABC và a là độ đài ¡ Cạnh, hình thoi Chứng
minh rằng : |
1 1 4
Rit 2 = QP
Bài 4 Cho tam giác déu ABC nội tiếp đường tròn tâm Ó bán kắnh R
Quay AA BC một góc 90ồ quanh tâm Ó ta được AAi:C; Tắnh diện tắch
phần chung của hai hình tam giác ABC va A,B, CỖ; theo R
Bài 5 Tìm tất cả các số nguyên dương a5, c déi mot khác nhau sao cho biểu thức : 1 1 1 1 1 A=- a a + b abs ac 1 be | nhận giá trị nguyên dương
Dé thi nam 1993 - (Khối chuyên Toán và chuyên Tin)
- Thời gian làm bởi : 1ô0 phút
Bai 1 a
¡ Cho ba số dương a, b,c có tổng bằng 1 Chứng minh rằng :
6(ab + be + ca) + a(b Ở c)? + b(c Ở a)? + cla Ở Đ)? <2
2 Chop= z3 Ở 32 + Bụ, g = gề Ở 3u? + By
Biết rằng p + q = 6 Hay tinh x + y
Trang 13Ở WWW.VNMATH.com s
Bài 2 Cho 1993 số nguyên dương, mỗi số đều nhỏ hơn hoặc bằng 1993 và không phải tất cả các số trên đều bằng nhau Biết rằng tổng của chúng ià
3986 Chứng minh rằng từ các số đã cho luôn chọn được k số (k > 1L) để
tổng của k số này bằng 1993 | -
Bài 3 Người ta dự định lát nền một căn phòng hình chữ nhật bằng các viên
gạch men hình thang cân với các kắch thước : đáy nhỏ 7cm, đáy lớn 2lcm,
cạnh bên 72cm Số lượng gạch men không hạn chế Hỏi có thể lát kắn
được hay không ? (Không được đập vỡ từng viên hay lat chong viên này
lên viên kia) Giải thắch vì sao ?
Bài 4 Cho hình bình hanh ABCD Tren cdc cạnh 4, 4D ta lấy tương ứng các điểm Ả⁄ va N Qua M va N lần lượt kẻ các đường thẳng song
song với các cạnh 4D, AB Gọi ử là giao điểm của các đường thẳng đó
Chứng minh rằng các đường thẳng AẶD, NB và SC déng quy
Bài Ế Trong một giải bóng đá có tám đội tham gia thi đấu vòng tròn (Mỗi
đội đá một trận với tất cả các đội còn lại) Giải được chia thành hai đợt
Tìm số trận đấu nhiều nhất có thể có ở đợt đầu sao cho với ba đội bất kỳ
đều có ắt nhất hai đội chưa thi đấu với nhau trong các đợt đấu
Để thi năm 1994 - (Chung cho các khối chuyên)
Thời giơn lam bai : tảo phút
Trang 14Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
_A= Vzụ+2v:t
Bài 3 Tìm tất cả các số nguyên #, Ư, 2, thoả mãn hệ phương trình :
Ở 3zt = 1 |
xz + yt =2 | |
- Bài 4 Cho tam giác cân ABC có AB = AC và H là trung điểm của cạnh BC Một đường tròn đi qua Á và tiếp xúc với cạnh BƠ tai B cit AC, AH _ lân luot tai D va E Biét rang D là trung điểm của AC va bán kắnh đường
tròn bằng # Tắnh độ dài các dây cung 4E, AD theo R -
Bài 5 |
| Cho tam gidc ABC cé6 BC > AC Mot dudng thang song song vdi _ cạnh 4P cất các cạnh BC và AC lần lượt tại các điểm M⁄ và W Chứng
minh rang BN > AM
Để thi năm 1994 - (Khối chuyên Toún vò chuyên Tin) Thời gian lồm bởi : 180 phút Giải hệ phương trình : ( (Ủ+)(u+z) = 4zuẼz (yt+z)\(2+2)= Auz2z (z+ z)(Ủ + 9) = 4zzồw Bài 2 Tìm tất cả các cặp số nguyên (z, ) thoả mãn phương trình : 12z? + 6zụ + 3y2 = 28(z + 0)
Bài 3 Xác định các giá trị nguyên dương % (n > 3) sao cho số A= 1.2.3 n (tắch của z số nguyên dương đầu tiên) chia hết cho số
B=1+2+3+ -+n |
Trang 15www.VNMATH.com Bài 4 Cho a,b,c > 1 Chứng minh rằng : 1 1 1 1 1 dt + ~ > + +ỞỞ 1+a 1+b l1+c 1+ớai 14+ Vdc? 1+ Vea
Bài 5 Cho AAửC có AB = AC |
1 Chứng minh rằng nếu BAC = 20ồ thì luôn tìm được các điểm D va
K trên các cạnh 4 và AC sao cho AD = DK = KC =CB
2 Ngược lại, chứng minh rằng nếu tồn tại các điểm và trên các cạnh
AB va AC sao cho AD = DK = KC =CB thi BAC = 20ồ
Dé thi nam 1995 - (Chung cho các khối chuyền)
Thời gian lêm bởi : 180 phút |
Bai 1 Giai hé phuong trinh : 2z2 Ở ? = 1 _a +2 = 2 Bài 2 Giải phương trình : vi=z+v4+z=3 | i , 1 6+1,, _
Bài 3 Giả sử a, b là các số nguyên dương sao cho : = : + | a la mét số nguyên Gọi đ là ước số của ụ và b Chứng minh rằng : d< va + b Bài 4 Cho hai hình chữ nhật có cùng diện tắch Hình chữ nhật thứ nhất có các kắch thước a và b (a > b) Hình chữ nhật thứ hai có các kắch thước e và đ (c > d) Chứng minh rằng : nếu ụ > c thì chu vi của hình chữ nhật
thứ nhất lớn hơn chu vi của hình chữ nhật thứ hai
Trang 16Bai 5 Cho ba diém cé dinh A, B,C thang hàng theo thứ tự ấy Gọi (@) là
- một đường tròn qua ỷ và Ể Kẻ từ A các tiếp tuyến AF và AF' đến đường
tròn (Q) (E và #' là các tiếp điểm) Gọi Ó là tâm của đường tròn (ẹ), 7 là
trung điểm của BC, N 1a trung diém cla EF |
1 Ching minh rang : E va F nằm trên một đường tròn cố định khi đường tròn (Q) thay đổi |
2 Dudng thang FI cat dudng tron (Q) tai EỖ Ching minh ring EEỖ
song song véi AB |
3 Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ONT nằm trên một đường thẳng cố định khi đường tròn (ẹ) thay đổi |
Đề thi năm 1995 = (Khdéi chuyén Todn va chuyén Tin)
Thời gian làm bởi : 180 phút
Bài 1 Cho (= + vi +3) (y+ Vy? +3) =3
Hãy tắnh giá trị của biểu thức : E = z + 9 Bài 2 Giải hệ phương trình : Ủ+zu+u=l | ytyz+2z=3 z+z~z+z = ỉ Bai 3 Cho z,y > 0 và z2 + y? = 1 Chứng minh rang: 1 Ở<rty <1 v2
Bài 4 Tìm số nguyên có chắn chữ số Á = aaa0ab+babaa1aaaa, trong đó
a, # 0 và bibaba = 2.aiaad, đồng thời A có thể viết được dưới dạng A = p?p$p3pẬ với pị, pa, p3, p4 là bốn số nguyên tố khác nhau
Trang 17www.VNMATH.com
Bài 5 Cho đường tròn (2), vẽ hai dây cung AB va CD cat nhau 6 I (J
nam trong dudng tron) Goi M 1a trung diém cba BD, MI kéo dai cắt AC ở W Chứng minh rang : :
AN AI?
NC CFỖ
Dé thi nam 1996 - (Chung cho cóc khối chuyên),
Thời gian làm bởi : 180 phút
Bài 1 Cho z > 0, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức _ +) = +3) ~2 1\3 3, 2 (x + =) +2 + 3 + Bài 2 Giải hệ phương trình 1 oT Ở=+,/2~ =2 v2 y 1 1 Ở+4/2Ở~=2 Vy x Bai 3 Chimg minh rằng với mọi ?: nguyên dương ta có : - | nh+ồn : 6 Bài 4 Cho a,b,c > 0, chứng minh rằng : 3 Oo a b Ộ > ab >+ bc + ca b3 +Ở+Ở c a
Bài 5 Cho hình vuông ABỂD cạnh bằng a Goi M,N, P,Q la các điểm
bất kỳ lần lượt nằm trên các cạnh AB, BỂ,CD,DA -
Trang 181 Chứng minh rang :
2a2< MN2?~+ NP? + PQ? + QMỖ? <
2 Giả sit M 1a mét điểm cố định cho trước trên canh AB Hay xác định
vi tri cla cdc diém N, P,Q lan lugt trén cdc canh BC,CD, DA sao
cho MNPQ là một hình vuông
Đề thi năm 199ó (Khối chuyên Toán và chuyên Tin)
Thởi gian lồm bởi : 180 phút
Phân chung cho chuyên Toán và chuyên Tin
Bài 1 Giải phương trình : (VE=1+1)ồ+2V/E71=2-z Bài 2 Giải hệ phương trình : vụ =1 y-Vvz=1 zỞwv#z=1 (Bai 3) Cho z, là những số nguyên dương thay đổi thoả mãn điều kiện : pty =201 Hay tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P =z(Ỳ +) + (ồ + s)
Bài 4 Cho đoạn thẳng BƠ và đường thẳng (đ) song song với BC Biét rằng khoảng cách giữa đường thẳng (ở) và đường thẳng đi qua BƠ nhỏ hơn
= Gia str A là một điểm thay đổi trên đường thẳng (đ) | 1 Hãy xác định vị trắ của điểm A để bán kắnh đường tròn ngoại tiếp
AABC nhỏ nhất
Trang 19www.VNMATH.com
2 Goi ha, hp, he 1a dO dai các đường cao cha AABC Hay xac dinh vi
tri của điểm A để tắch hg.hy.he là lớn nhất
Phần dành cho chuyên Toán 3 (Bai 5) cho 2, y,z>Ovartytzs <5: Chứng minh rằng : / 4+ TT 2+ ~Ởs + | z2đ+Ởs >aVvl7 1-3 x y Z 2 Phần dành cho chuyên Tin - Bài 5 | Chia một hình tròn thành 14 hình
quạt bằng nhau Trong mỗi hình quạt đặt
một viên bi (xem hình vẽ) Gọi 7 là phép
biến đổi: Lấy hai hình quạt bất kỳ có bi
và chuyển từ mỗi hình quạt đó một viên bi sang hình quạt liền kể nhưng theo hai chiều ngược nhau (vắ dụ, nếu viên bị ở -
một hình quạt được chuyển theo chiéu |
kim đồng hồ thì viên bị ở hình quạt kia được chuyển theo chiều ngược lại) Hỏi bằng việc thực hiện phép biến đổi trên, sau một số hữu hạn bước
ta có thể chuyển được tất cả các viên bi vào một hình quạt được không ?
Nếu có, hãy chỉ ra quá trình biến đối Nếu không, hãy giải thắch tai sao ?
Trang 20Bai 2 Giai phuong trinh : vưz+3+vz+8=5vz Bài 3 Giải hệ phương trình : 2zu=z++l:- 2uz=u+z+7 2zz=z++~+9
Bài 4 Tìm tất cả các số tự nhiên n để 2" + 15 là số chắnh phương
Bài 5 Cho tam giác đều ABC cạnh ¡ Bên trong tam giác ta đặt 2 đường tron (O, R) va (ỚỢ, H) tiếp xúc ngoài với nhau, sao cho một trong hai đường tròn tiếp xúc với các cạnh BC va ỏA, đường tròn kia tiếp xúc với các cạnh BỂ và CA
` =1
1 Ching minh rang R+ RỖ > vs
2 Cdc bin kinh R va RỖ bang bao nhiêu để tổng diện tắch các hình tròn
(O, R) và (O', R') nhỏ nhất và tắnh giá trị nhỏ nhất đó
Đề thi năm 1997 - (Khối chuyên Toán vỏ chuyên Tin)
Thời gian lồm bởi : 180 phút
Trang 21www.VNMATH.com
Bài 3 Số 1997 viết được dưới dạng tổng n hợp số, nhưng không viết được
dưới dạng tổng Ủ + 1 hợp số Hỏi n bang bao nhiêu ?
Bài 4 Cho tam giác AC ngoại tiếp đường tròn có bán kắnh bằng 1 Goi
hạ, bụ, hẤ lần lượt là độ dài các đường cao hạ từ đỉnh 4, ỷ, Ở tới các cạnh
đối diện Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
1 1 Ề 1 |
hạ + 2hy + hy + 2he + he + Qh
M=
Bài 5 Trên đường tròn cho 16 điểm và dùng 3 màu xanh, đỏ, vàng để tô
các điểm này (mỗi điểm tô bằng một màu) Giữa mỗi cặp điểm nối ¡ bằng một đoạn thẳng được tô bằng màu tắm hoặc màu nâu
Chứng minh rằng với mọi cách tô màu trên các điểm (chỉ dùng 3 màu: xanh, đỏ, vàng) và mọi cách tô màu trên các đoạn thẳng nối giữa các cặp điểm (chỉ dùng hai màu : tắm hoặc nâu) ta đều tìm được trên hình vẽ một
tam giác có định là các điểm đã cho, mà các định được tô bằng cùng một
màu và các cạnh cũng được tô bằng cùng một màu (dĩ nhiên là khác màu tô trên đắnh)
Đề thi năm 1998 - (Chung cho các khối chuyên)
Trang 22Bài 2 Các số ụ, b thoả mãn điều kiện :
a3 Ở 3ab? = 19
| b3 Ở 3a?b = 98
Hãy tắnh giá tri của biểu thức : P = a2 + ÙÊ, Bài 3 Cho các số ụ, b, c Ạ [0, 1] Chứng minh rằng : ụ + b + cỲ Ở ab Ở be Ở ca < 1
Bài 4 Cho đường tròn (ặ) bán kắnh ? A và ỷ là hai điểm cố định trên
đường tròn, (A < 2R) Giả sử M là một điểm thay đổi trên cung lớn A
của đường tròn |
1 Kẻ từ ử đường thẳng vuông góc với AM, đường thang nay cat AM tai I va cắt đường tròn (ặ) tại W Gọi -
Ở là trung điểm của 1N Chứng minh rằng khi M thay đổi trên đường
tròn thì mỗi điểm ỉ, Ặ đều nằm trên một đường tròn cố định
2 Xác định vị trắ của điểm AM để chu vi của AAM là lớn nhất
Bai $ |
-_ 1, Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho mỗi số n + 26 va n Ở 11 đều là lập phương của một số nguyên dương
2 Cho các số z,Ư/, z thay đổi thoả mãn điều kiện : z2 + y? + z2 = 1
Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
P=zu+z+zz+ slzồ(w Ở z)?+1Ợ(z Ở #)Ỳ + zỢ(Ủ Ở 9)Ợ Đề thi năm 1998 - (Khối chuyên Toón vỏ chuyên Tin)
Trang 23www.VNMATH.com 2 Với những giá trị nào của ụ thì phương trình sau đây có nghiệm : VI=z+VT+z=|1-a|+|1+al Bài 2 Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 192ồ Ở 98y? = 1998 Bai 3 | 1 Cho ụ,b,c là các số thoả mãn hai điều kiện sau : )0<a<b, ii) Phuong trinh az? + bx +c = 0 vô nghiệm b
Chimg minh rang : _Ở > 3
2 Cho z,y,2z > 0 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 2 2 2 + + y + z Ởz2+ 2yz 12 +2zz z?+ Pay, Bai 4 Cho bảng ô vuông kắch thước 1998 x 2000 (bảng gồm 1998 hàng, và 2000 cột) Ký hiệu (m,n) là ô vuông nằm ở giao của hàng thứ rn (tắnh từ trên
xuống dưới) và cột thứ r (tinh từ trái sang phải)
Cho các số nguyên p, q với 1 <p< 1993 và 1 < g< 1995
Tô màu các ô vuông con của bảng theo quy tắc : Lân thứ nhất tô màu năm ô : (p,g); (p + 1,q + 1);(p+2,g + 2); (p + 3,g + 3); (P+ 4,9 +4) Lần thứ hai trớ đi, mỗi lần tô năm ô chưa có màu nằm liên tiếp trong cùng
một hàng hoặc cùng một cột
Hỏi bằng cách đó ta có thể tô màu hết tất cả các ô vuông con của bảng hay không ? Vì sao ? |
Bai 5 Cho tam giác đều AC
Trong AABƠ, vẽ ba đường tròn ặ1; 2; 3 có bán kắnh bằng nhau, tiếp
xúc ngoài lẫn nhau và mỗi đường tròn đều tiếp xúc với hai cạnh của tam
giác
Trang 24Goi ằ la đường tròn tiếp xúc ngoài với cả ba đường tròn ặ, ặa,ặs Biết bán kắnh của đường tròn e là r, hãy tắnh độ dài cạnh của AABƠ
Đề thi năm 1999 - (Chung cho cóc khối chuyên)
Thời gian làm bởi : 180 phút
Bài 1 Cho các số ụ,b,c thoả mãn điều kiện : a+b+c=0 a2 + b2 + c2 = 14 Hãy tắnh giá trị của biểu thức : P = 1 + a* + b4 + c4, Bài 2 1 Giải phương trình VWxz+3Ở~ V7 - z = V2+ - 8 2 Giải hệ phương trình : Bài 3 Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho: n?+9n Ở2 chia hét cho n + 11
Bai 4 Cho đường tron (C) va điểm 7 ở trong đường tròn Dựng qua J hai day cung bat ky MIN va ELF Goi MỖ, N', E, FỢ là các trung điểm của -
_JM,IN,IE,TIT |
1 Chứng minh rằng tứ giác M'E'N'FỢ là tứ giác nội tiếp
2 Giá sử I thay d6i, céc day cung MIN, EIF thay đổi Chứng minh rang đường tròn ngoại tiép tt gidc MỖEỖN'F"' co ban kinh khong déi
Trang 25www.VNMATH.com
3 Gia su I c6 dinh, cdc day cung MIN,ETF thay déi nhưng luôn luôn
vuông góc với nhau Tìm vị trắ của các dây cung MIN va EIF sao
cho ti gidc MỖEỖNỖ'FỖ cé diện tắch lớn nhất
Bài Ế Các số dương z Và thay đổi thoả mãn điều kiện : z + = 1 Hãy
tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
"=(Ộ+2) +3)
Các thắ sinh thi vào Khối chuyên Sinh không phải làm bài 5 Đề thi năm 1999 - (Khối chuyên Toán vò chuyên Tin)
Thời gian làm bồi : 150 phút
Bài 1 Giải phương trình : [Tt 48 = 20? + Ven I Ủ+1 | Bai 2 Cac s6 a1,a9, duoc xdc định bởi công thức : 3k? + 3k +1 | | ne ới mọi k > 1 Qn (k2 + ks với mọi
Hãy tắnh giá trị của tổng : 1 + ụi + ụạ + - + ao
_ Bài 3 Chứng minh rằng tồn tại một số chia hết cho 1999 và tổng các chữ
_ số của số đó bằng 1999,
Bài 4 Cho đường tròn tâm Ó bán kắnh R Giả sử A và P là hai điểm cố
định trên đường tròn với AB = RV3
1 Giả sử M là một điểm thay đổi trên cung lớn 4B của đường tròn Đường tròn nội tiếp AAẢ⁄A? tiếp xúc với ẢA tại # và tiếp xúc với
AB tại F, Chứng minh rằng đường thang EF luon tiếp Xúc với mỘt đường tròn cố định khi M thay đổi
Trang 262 Tìm tập hợp tất cả các diém P sao cho đường thang A vuông Ư góc với
OP tại P cắt đoạn thang AB
Bài 5 Cho hình tròn (C) bán kắnh bằng 1 Giả sử 4, 4s, , 4s là 8
điểm bất kỳ nằm trong hình tròn (kể cả trên biên) Chứng minh rằng trong |
các điểm đã cho luôn tồn tại hai điểm mà khoảng cách giữa chúng nhỏ
hon 1
Đề thi năm 2000 - (Chung cho các khối chuyên)
Thời gian lòm bởi : 150 phút Bài 1 _ 1 Tắnh a 12 23 1999.2000ồ 2 Giải hệ phương trình - Bài 2 1 Giải phương trình vz-Ở 1 + VSE+221z11=1+ v2 2 Tìm tất cả các giá trị của Ủ (ụ là số thực) dé phương trình | 11 8 2z? ~ (4a+ = )a+40+7=0 có ắt nhất một nghiệm nguyên
Bài 3 Cho đường tròn tâm Ở nội tiếp trong hình thang ABỂCD (AB//CD), tiếp xúc với canh AB tai E va véi canh CD tai FY
Trang 27www.VNMATH.com 1 Chứng minh rằng : | | BE DF AE CF 2 Cho biết AB = a,CB = b (ụ < b),BE = 2AE Tắnh diện tắch hình thang ABCD " : Bài 4 Cho z, là hai số thực bất kỳ khác không Chứng minh rằng : 2 2 4x2u2 Ở - y + Ù >3 | (2+2? -y2 x? Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?
Đề thi năm 2000 - (Khối chuyên Toón vỏ chuyên Tin)
Trang 28Bai 3 _ |
_1 Cho tứ giác lôi ABỂT Chứng minh rằng nếu các góc B và D của tứ
giác là vuông hoặc tù thì AC > BD
2 Cho đoạn thẳng AC cố định và điểm ỷ di động Hãy tìm tập hợp tất
_ cả các điểm để tam giác ABC là tam giác không tù và góc BAC
là góc nhỏ nhất của tam giác ABC - |
_ Bài 4 Trên mặt phẳng cho 6 điểm sao cho không có ba điểm nào thẳng
hàng và khoảng cách giữa các cặp điểm là các số khác nhau Ta nối mỗi
cặp điểm bởi một đoạn thắng Chứng minh rằng trong các đoạn thẳng thu
được có một đoạn thẳng là cạnh nhỏ nhất của một tam giác có 3 đỉnh là
3 trong 6 điểm đã cho, đồng thời là cạnh lớn nhất của một tam giác khác
cũng có 3 đỉnh là 3 trong 6 điểm đã cho
Đề thi năm 2001 - (Chung cho cóc khối chuyên)
Thời gian lồm bởi : 150 phat
Trang 29www.VNMATH.com
Hài 3 Cho nửa đường tron dudng kinh AB = 2a Trén doan AB lay điểm
M Trong nita mat phẳng bờ 4? chứa nita vong tron, ta ké hai tia Ma va My sao cho AMz = BMy = 30ồ Tia Mz cat ntta dudng tron 6 E, tia
My cat nua dudng tròn 6 F Ké EEÈ',FF' vuông góc xuống AB 1 Cho AM = 7 tắnh diện tắch hình thang vuông #EỘFƑỢF' theo a
2 Khi điểm AẶ di động trên 4B, chứng minh rằng đường thẳng EZƑ luôn
tiếp xúc với một đường tròn cố định
Bai 4 Gia sit x, , z là các số thực khác không thoả mãn hệ đẳng thức :
1 1 1 1 1 1
x(- + -) +y(= +=) +2(= + =) = Ở2
y 2 HN: \# y
z2-+?+z? =1
Hãy tắnh giá trị của biểu thức :
Bài 5 Với z,,z là những số thực dương, hãy tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức |
LYZ
M=@inw+ae+e)
Đề thi năm 2001 - (Khối chuyên Toán và chuyên Tin)
Thời gian làm bởi : 150 phút
Bài 1 |
1 Cho Ặ(z) = a#z2+bz + c có tắnh chất : Ặ(z) nhận giá trị nguyên khi z
là số nguyên Hỏi các hệ số a, b, c có nhất thiết phải là các số nguyên
hay không ? Tai sao ? | |
2 Tìm các số nguyên không âm z, thoả mãn đẳng thức :
z2 Ở=?2+ Sy H+,
Trang 30Bài 2 Giải phương trình : 4Vz+1=z?ỢỞ5z+14 Bài 3 Cho các số thực ụ, b, z, thoả mãn hệ : ax + by =3 az2 + bụ? = 5 az? + bụ3 =9 axỖ + by! = 17 Hãy tắnh giá trị của các biểu thức : A=azồ+ by? B = 0720 + by2001, Bai 4
Cho đoạn thẳng 4 có trung điểm là Ó Gọi đị, dạ là các đường thẳng
vuông góc với 4? tương ứng tại Á và ỷ Một góc vuông đỉnh Ó có một
cạnh cắt dị ở ẢM⁄, còn cạnh kia cắt dạ ở N Kẻ ÓH vuông góc xuống M{N Vòng tròn ngoại tiếp tam giác M4H cắt dị ở điểm thứ hai E khác M, MB cát NA ở I, đường thắng H7 cắt EB ở K Chứng minh rằng nằm
_ trên một đường tròn cố định khi góc vuông quay xung quanh dinh O
Bai 5
Cho 2001 đồng tiền, mỗi đồng tiền được sơn một mặt bằng màu đỏ và
mặt kia bằng màu xanh Xếp 2001 đồng tiền đó theo một vòng tròn sao cho tất cả các đồng tiền đều có mặt xanh ngửa lên phắa trên Cho phép mỗi lần
đổi mặt đồng thời 5 đồng tiền liên tiếp cạnh nhau Hỏi với cách làm như
thế, sau một số hữu hạn lần ta có thể làm cho tất cả các đồng tiền đều có mặt đỏ ngửa lên phắa trên được hay không ? Tại sao ?
Trang 31www.VNMATH.com
Đề thi năm 2002 - (Chung cho cóc khối chuyên)
Thời gian lam bài: 150 phút Bài 1 1 Giải phương trình: 4⁄/8+ 2+ V5 Ở Ve =5 2 Giải hệ phương trình : (ụ+1)0 +1) =8 z(z +1) +w(y+ 1) +zu= 17
Bài 2 Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng phương trình z2 + (Ủ + b + e)z + ab + be + ca = 0 vô nghiệm
(ổài 3 Tìm tất cả các số nguyên n sao cho ụ2 + 2002 là một số
chắnh phương
Bài 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
HQ
_ 1+, ltyz l+zz
trong đó z, , z là các số dương thay đổi thoả mãn điều kiện z2+u?+z? <3
Bài 5 Cho hình vuông ABCD, M là điểm thay đổi trên cạnh BC (M
khóng trùng với ỷ) và N là điểm thay đối trên cạnh CD (N không trùng
với D) sao cho: Ở_ _
MAN = MAB + NAD
1 BD cit AN va AM tương ứng tại P và Q Chứng minh rằng năm _ điểm P,Q, M,C,N cùng nằm trên một đường tròn
2 Chứng minh rằng đường thẳng MA luôn tiếp xúc với một đường tròn
cố định khi Ảf và N thay đổi ca |
3 Ký hiệu diện tắch của tam giác 4PQ là S¡ và diện tắch của Ộtứ giác PQM N là ệ$; Chứng minh rằng ti sd = không đổi khi Ả⁄ va N thay đổi
Trang 32.Thời gian lồm bởi : 150 phat
Bài 1
[ Giải phương trình :
Vz2 - 3z+2+ Wx+3= V#ặỞ=3+ V+2 + 2+ Ở 3 2 Tìm nghiệm nguyên của phương trình :+zu+w=9
Bài 2 Giải hệ phương trình : | z2 +2 + = 1
#3 +2 =z + 3g
Bài 3 Cho mười số nguyên dương 1,2, ,10 Sắp xếp mười số đó một _ cach tuy ý thành một-hàng Cộng mỗi số với số thứ tự của nó trong hàng,
ta được mười tổng Chứng minh rằng trong mười tổng đó tồn tại ắt nhất hai tổng có chữ số tận cùng giống nhau
Bài 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : |
_ 4a + 9b + lốc
b+c-a a+c-Ở-b at+b-c
trong đó ụ,b,c là độ dài ba cạnh của một tam gidc
Bài 5 |
| _ Đường tròn (C) tâm I noi tiép tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh
BC, CA, AB tương ứng tại các điểm A', BỖ,CỖ
1 Gọi các giao điểm của đường tròn (C) với các đoạn 1A,1B, TC lân
Trang 33www.VNMATH.com
Đề thi năm 2003 - (Chung cho cóc khối chuyên)
Thời gian lồm bởi : 150 phút
Bài 1 Giải phương trình : (V#+đ~Ở v#+)(1+ Wz? + 7z + 10 = Bài 2 Giải hệ phưởng trình : -ặ 223 +3z2 =5 y? + 6ry? = 7 Ẽ Bài 3 Tìm các số nguyên z, thoả mãn đẳng thức : 2U2?z+~z++1=z2+ 22 + xụ
Bài 4 Cho nửa đường tròn (O) đường kắnh AB = 2 (# là một độ dài cho
trước), Mĩ, N là hai điểm trên nửa đường tròn (O) sao cho M thudc cung
AN va téng cdc khoang céch tir A, B dén dudng thing MN / bằng RV3
1 Tinh dd dai doan MN theo R |
2 Gọi giao điểm của hai dây AN và BM là 1, giao điểm của các đường
thang AM va BN la K Chứng minh rằng bốn điểm M, N,I, K cing
nằm trên một đường tròn Tắnh bán kắnh của đường tròn đó theo R
3 Tìm giá trị lớn nhất của diện tắch tam giác KAB theo R khi M,N
thay đổi nhưng vẫn thoả mãn giả thiết của bài toán
Bài 5 z,, z là các số thực thoả mãn điều kiện :
_ụ+0+z+zụ+z+ zz =6
Chứng minh rằng : z2 + 1Ẽ + zẼ > 3
Trang 34Để thi năm 2003 - (Khối chuyên Toớn và chuyên Tin)
Thai gian lam bai : 150 phút
Bai 1 Cho phuong trình : x + Ima? +4=0 Tim giá trị của tham số ?m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt T , Ta, #3; #4 thoả mãn : nf + 25 +28 + x4 = 32 Bài 2 Giải hệ phương trình : 2z2 + mụ Ở y2 Ở 5z +ụ+2=0, z2 +12 +-z+Ở4=0 Bài 3 Tìm các số nguyên z, thoả mãn đẳng thức : _#? +aụ+t? = xyỢ
Bài 4 Cho đường tròn tâm Ô nội tiếp tam giác ABC tiép xúc với các cạnh
BC,CA, AB tương ứng tại các điểm D,E,F' Đường tròn tâm ÓỘ bàng
tiếp trong gỐC BAC cia tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC và phần kéo
đài của các cạnh 4ỷ, AC tương ứng tại các diém P, M,N |
1 Chimg minh ring: BP = CD
2 Trén đường thang MN ta lấy các diém I va K sao cho CK//AB, BI/ JAC
Ching minh rằng các tứ giác BIỚE và BKCF là các hình bình hành 3 Gọi (5) là đường tròn đi qua ba điểm J, K, P Chimg minh rang (5S)
tiếp xúc với các đường thẳng BC, Bỉ,CK
Bài 5: Số thực z thay đổi và thoả mãn điều kiện z? + (3 Ở z)? > 5 Tìm
giá trị nhỏ nhất của biểu thức: _
p=zỘ+(3Ởz)ồệ+6z2(3 Ở z)Ẻ
Trang 35www.VNMATH.com
Đề thi năm 2004 - (Chung cho cóc khối chuyên)
Thời gian làm bởi: 150 phút Bài 1 1 Giải phương trình : lz + 1|+|zỞ 1|=1~+|#? - 1| 2.: Tìm nghiệm nguyên của hệ : 2y? Ở z2 ~ rụ + 2 Ở 24 =7 * 3 +u)+xzỞ= 8 Bài 2 Cho các số thực dương ụ và b thoả mãn : 300 + 5100 Ở g101 b101 Ở qi? 4 p102 Hãy tắnh giá trị của biểu thức : P = q2004 4 42004
- Bài 4, ỔCho AABC có AB = = 3em, BC = 4em, CA = 5em Đường cao, đường phân giác, đường trung tuyến của tam giác kẻ từ đỉnh chia tam giác thành 4 phần Hãy tắnh diện tắch mỗi phan
Bài 4 Cho tir gidc ABCD ndi tiép trong duong tron có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại H (H không trùng với tâm của đường
tròn) Gọi Ả và ' lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ #J xuống
các đường thẳng AB va BC; ?' và Q lần lượt là giao điểm của đường thẳng
\MH và NH với các đường thẳng CD và DA Chứng minh rằng đường
Trang 36D6 thi nam 2004 - (Khối chuyên Toón vỏ chuyên Tin)
Thời gian làm bởi : 150 phút
Bài 1 Giải phương trình : Ộé v#+đả+vzỞ-l=2 Bài 2 Giải hệ phương trình : (z+)(z2 +?) = 15 (x Ở y)(z* Ở y*) = 3 Bai 3 Tim gia tri nho nhat cua biéu thức : Ở p_# +v)-(ỂỦẼ+yỢ) (z Ở 1) Ở 1) trong đó z, là những số thực lớn hơn 1
Bai 4 Cho hinh vuong ABCD va diém Ả⁄ nằm trong hình vuông
| Tim tat cả các vị trắ của điểm M sao cho MAB = MBC = MCD =
MDA |
2 Xét diém M nam trén đường chéo AC Gọi N là chân đường vuông
góc hạ từ điểm Ả⁄ xuống cạnh AB và O là trung điểm của đoạn AM
B có giá trị không đổi khi Ả⁄ di chuyển trên
Z | ằ Ợ
Chứng minh rằng tỉ số ỞỞ CN | đường chéo AC _
3 Với giả thiết M nằm trên đường chéo AC, xét cdc c đường tròn (8) và (5a) có đường kắnh tương ứng là AM và CN Hai tiếp tuyến chung của (S51) và (Sa) tiếp xúc với (Sa) tại P và Q Chứng minh rằng đường thắng PQ tiếp xúc với (S9))
Bài 5 Với số thực a, ta định nghĩa phần nguyên của số ụ là số nguyên lớn
nhất không vượt quá a và ký hiệu là [a] Dãy các sỐ #o, #1, Ta oe
Trang 37www.VNMATH.com
Dé thi nam 2005 - (Chung cho các khối chuyên) Thdi gian làm bởi : 150 phút
Bài 1 Giải hệ phương trình : z++zu=3 +? +ự? = 2 Bai 2 Giai phuong trinh : z+4Vx+ 3+ 2V3 Ở 2z = 11 Bài 3 Tìm nghiệm nguyên của phương trình : +2 + 17? + 34z + 51(z + ) = 1740
_Bài 4 Cho hai đường tròn (Ó), (Ó7) nằm ngoài nhau có tâm tương ứng là O va ỞỚ' Một tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn tiếp xúc với (Ó)
tai A va (OỖ) tại ỷ Một tiếp tuyến chung trong của hai đường tròn cát AB
tại 1, tiếp xúc với (ử) tại Ơ và (O") tại D Biết rang C nam giữa ỳ và D 1 Hai đường thang OC,OỖB cat nhau tai M Chứng minh rằng :
OM > O'M
2 Ký hiệu (5) là đường tròn đi qua A, Ể, B và (5Ợ) là đường tròn đi qua A,D,B Đường thẳng CD cất (S) tại E khác C và cắt (5Ợ) tai F
khác D Chứng minh rằng ÁF' vuông góc với BE
Bài 5 Giả sử z,y,z là các số dương thay đổi và thoả mãn diéu kiện z2z? + z2z + ụ = 3z2 Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
z3
P=Ở-aỞ
1+z#(z*4+ 9)
Trang 38Đề thi năm 2005 - (Khối chuyên Toán vò chuyên Tin)
Thời gian lồm bởi : 150 phút |
Bài 1 Giải phương trình : V2Ởz+V2+z+ 4Ở77=2 | Bai 2 Giai hé phuong trinh : fe =1 4x4 + y4 =4r+y Bài 3 Giả sử z, Ấ là những số không âm thoả mãn điều kiện : z2 +2 = 1 1 Chứng minh rằng: 1<z+< V2 2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P=v1+2z+ 1+2
Bài 4 Cho hình vuông ABC? và điểm P nằm trong tam gidc ABC
1 Giả sử góc BPC = 135ồ Chung minh ring : 2PB? + PC? = PA?
2 Các đường thẳng AP và CP cắt các cạnh BC và BA tương ứng tại các điểm M va W Gọi Q là điểm đối xứng với qua trung điểm của đoạn MN Chứng minh rằng khi P thay đổi trong AA BC, đường thắng P@ luôn đi qua D | |
Bai 5
1 Cho đa giác đều (H) c6 14 dinh Ching minh ring trong 6 dinh bat
kỳ của (H) luôn có 4 đỉnh là các đỉnh của một hình thang Ở -
2 Có bao nhiêu phân số tối giản ể lớn hơn I (m,n là các số nguyên - đương) thoả mãn m.n = 13860
Trang 39www.VNMATH.com
Đề thi năm 2006 - (Chung cho cóc khối chuyên) + Thời gien lồm bai : 150 phút
Bài 1 Giải hệ phương trình : z?+z+z+ụ=4 (z + (1 + z) = 4 Bài 2 Với những giá trị của x thỏa n mãn điều kiện z > =5 hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức | f(x) = 2z? +5xz+2+2V++3Ở 2z
Bài 3 Tìm số tự nhiên gồm bốn chữ số thỏa mãn đồng thời hai tắnh chất 1 Khi chia số đó cho 100 ta được số dư là 6
2 Khi chia số đó cho đ1 ta được số dư là 17
Bài 4 Cho hình vuông 4BỂCD có cạnh AB= = a Trên các canh AB, BC,
CD, DA lấy lân lượt các điểm M, N, P, Q sao cho MN//AC, PQ//AC
va AMQ = 30ồ |
1 Gọi A/ là điểm đối xứng với A qua đường thang M Q, CỖ la diém d6i xứng với Ể qua đường thẳng WP Giả sử đường thẳng QAỖ cat đoạn
thing NP tai E, dudng thing PCỖ cat doan thang MQ tai F Chimg
minh ring nam diém E, F,Q,D,P nằm trên cùng một đường tròn
2 Biét AC = 3MN, tinh điện tắch hình thang 4N PQ theo a
Bài 5 Chứng minh rằng với mỗi số dương ụ cho trước, đa thức
f(z) =at*+az? +2
luôn là tổng bình phương của hai đa thức bậc hai
Trang 40Dé thi nam 2006 (Khối chuyên Toón vỏ chuyên Tin)
Thời gian lồm bai : 150 phat Bài 1 Chứng minh rằng : | | ểể Ở | 3 1 + v84 + 3 1Ở V84 | 9 9 Bài 2 Giải hệ phương trình | +2 Ở 2 = 4z Ở 2 TỞ 3 z?2+t?=5 | là một số nguyên Bai 3 1 Tim nghiệm nguyên của phương trình 8zỢ? + z2 + ? = 10zg
2 Ký hiệu |z| là phần nguyên của số z (số nguyên lớn nhất không vượt quá z) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên ?+ ta luôn có
[W72n + 1] = [Ỳ9n + Ỳn + 1] = [Ỳ72n + 7]
Bài 4 Cho A.A1 BC nội tiếp đường tròn (Ó) và ỉ là điểm nam trong AABC Cac dutng thang AI, BI, CI cắt đường tròn (Ó) lần lượt tại AỖ, B ,CỢ (khác
A,B,C) Day cung BỖCỖ cat các cạnh 4ử, AC tương ứng tại các điểm M,N Day cung CỖA' cat các cạnh AB, BC tương ứng tại các điểm P,Q
Day cung AỖBỖ cat các cạnh BƠ, CA tương ứng tại các điểm F; E
1, Giả sử AM = AN, BP = BQ,CE = CF xây ra đồng thời Chứng minh rằng I 1a tam duong tron ndi tiép AABC
2 Gia st AM = AN = BP = BQ = CE =CF Ching minh ring
sáu diém M, N, P,Q, E, F cing nam trén mot dudng tron
Bài 5 Chứng minh rằng da gidc 16i 2n canh (n Ạ W,n 3 2) luôn có ắt nhất r, đường chéo không song song với bất kỳ cạnh nào của đa giác đó