đề thi học sinh giỏi năm 2010

TRẦN NAM DŨNG (chủ biên) LỜI GIẢI VÀ BÌNH LUẬN ĐỀ THI CÁC TỈNH, CÁC TRƯỜNG ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2009-2010 E-BOOK dddd Lời nói đầu iii iv Trần Nam Dũng (chủ biên) Lời cảm ơn Xin cảm ơn sự nhiệt tình tham gia đóng góp của các bạn: 1. Phạm Tiến Đạt 2. Phạm Hy Hiếu 3. Nguyễn Xuân Huy 4. Mai Tiến Khải 5. Nguyễn Vương Linh 6. Nguyễn Lâm Minh 7. Nguyễn Văn Năm 8. Đinh Ngọc Thạch 9. Lê Nam Trường 10. Võ Thành Văn Cùng rất nhiều bạn yêu toán khác. v vi Trần Nam Dũng (chủ biên) Mục lục Lời nói đầu iii Lời cảm ơn v I Đề toán và lời giải 1 1 Số học 3 1.1 Đề bài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 Phương trình, hệ phương trình 15 2.1 Đề bài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3 Bất đẳng thức và cực trị 27 3.1 Đề bài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2 Lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4 Phương trình hàm và đa thức 45 4.1 Đề bài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.2 Lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5 Hình học 61 5.1 Đề bài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 5.2 Lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 6 Tổ hợp 73 6.1 Đề bài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 6.2 Lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 vii viii Trần Nam Dũng (chủ biên) II Một số bài giảng toán 91 7 Giải phương trình hàm bằng cách lập phương trình 93 8 Dãy truy hồi loại u n+1 = f (u n ) 99 9 Các định lý tồn tại trong giải tích và định lý cơ bản của đại số 105 Phần I Đề toán và lời giải 1 [...]... − cos x)[1 − (sin2 x + sin x cos x + cos2 x)(2 sin 2x − 1)] = 0, hay 3 (sin x − cos x) − sin2 2x − sin 2x + 2 = 0 2 Lời giải và bình luận đề thi các tỉnh, các trường Đại học năm học 2009 -2010 21 Từ đó giải ra được phương trình Bình luận Bài này giống đề thi đại học hơn, không có ý tưởng gì Bài 2.5 Giải hệ phương trình x2 − 2xy + x + y = 0 x4 − 4x2 y + 3x2 + y2 = 0 (Đồng Nai) m Lời giải Hệ phương trình... Fermat đề xuất toán này năm 1640 trong bức thư gửi Frenicle Sau đó ông có nói là chứng minh được, nhưng không ai biết về chứng minh này Weil nói rằng Euler đã công bố chứng minh vào năm 1780, nhưng trong chứng minh có đôi chỗ có vấn đề, và Weil cũng nói rằng một chứng minh tốt hơn được đưa ra bởi J.Itars vào năm 1973 m Bài toán này được đưa vào đề thi e rằng là hơi quá sức, bởi trong phòng thi, nếu... hàm log (hay mũ) và vừa có hàm đa thức (phân thức) thông thường thì việc nghĩ đến dùng tính đơn điệu của hàm số để giải là điều dễ hiểu Bài này chỉ khó hơn đề đại học một tí Lời giải và bình luận đề thi các tỉnh, các trường Đại học năm học 2009 -2010 19 Bài 2.2 Giải phương trình 9 √ √ 4x + 1 − 3x − 2 = x + 3 (Hà Nội) √ √ 2 Lời giải Điều kiện x ≥ Nhân hai vế của phương trình với 4x + 1 + 3x − 2, 3 ta... Chứng minh f (n) = n với mọi n nguyên dương Bài 1.11 Tìm tất cả các bộ số tự nhiên a, b, c, d đôi một phân biệt thỏa mãn a2 − b2 = b2 − c2 = c2 − d 2 (Đại học Khoa học tự nhiên) Lời giải và bình luận đề thi các tỉnh, các trường Đại học năm học 2009 -2010 13 Lời giải Bài toán tương đương với việc tìm một cấp số cộng thực sự gồm bốn số chính phương Ta chứng minh rằng không tồn tại một cấp số cộng như vậy... Chứng minh rằng tồn tại số nguyên k sao cho (pq − 1)n k + 1 là hợp số với mọi số nguyên dương n Lời giải và bình luận đề thi các tỉnh, các trường Đại học năm học 2009 -2010 1.2 5 Lời giải n là số lẻ với d = (m, n) d Xác định (am + 1, an − 1) với a là số nguyên dương lớn hơn 1 (Đại học Vinh) Bài 1.1 Giả sử m, n là hai số nguyên dương thoả mãn m n 2m n n , , = 1, = 1 Vì là số lẻ nên ta có d d d d d suy... dư không mới Đề thi vô địch Liên Xô trước đây có câu: Chứng minh rằng trong dãy số Fibonacci tồn tại ít nhất một số tận cùng bằng bốn chữ số 0 Đề thi chọn đội tuyển Việt Nam năm 2004 cũng có ý tưởng tương tự: Cho dãy số (xn ) (n = 1, 2, 3, ) được xác định bởi: x1 = 603, x2 = 102 và xn+2 = xn+1 + xn + 2 xn+1 xn − 2 với mọi n ≥ 1 Chứng minh rằng (1) Tất cả các số hạng của dãy số đã cho đều là các số... hạng của dãy số đã cho đều là các số nguyên dương (2) Tồn tại vô hạn số nguyên dương n sao cho biểu diễn thập phân của xn có bốn chữ số tận cùng là 2003 Lời giải và bình luận đề thi các tỉnh, các trường Đại học năm học 2009 -2010 7 (3) Không tồn tại số nguyên dương n mà biểu diễn thập phân của xn có bốn chữ số tận cùng là 2004 Bài 1.3 Cho m, n là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau, m là số chẵn... 1 = 13 2x3 + 2x2 + x − 1 2.10 Giải trong tập hợp các số thực hệ phương trình sau          2009 ∑ xi = 2009 i=1 2009 ∑ i=1 2009 8 xi = ∑ i=1 6 xi Lời giải và bình luận đề thi các tỉnh, các trường Đại học năm học 2009 -2010 2.11 Cho a, b, c là các số thực dương Giải hệ phương trình   ax − aby + 1 = bc2    xy   2x + 1 = a abz − bc  zx    2  bc − az + 1 = ab  yz 2.12 Giải hệ phương... nghiệm của (1) Vậy k = 3 và k = 4 là tất cả các giá trị cần tìm suy ra x0 = y0 Thay vào (1) ta được 2 + Ta cũng có thể đánh giá k khác một chút, như sau Lời giải và bình luận đề thi các tỉnh, các trường Đại học năm học 2009 -2010 9 2 Cách 1 Từ đẳng thức x0 + y2 + x0 + y0 = kx0 y0 , chia hai vế cho x0 , y0 , ta được 0 1 x0 y0 1 + + + = k y0 x0 y0 x0 Mặt khác, cũng theo lý luận ở trên thì ky0 − 1 − x0... ra n chẵn, sau đó xét modul 13 suy ra mâu thuẫn Bài 1.8 Cho n là số nguyên dương sao cho 3n − 1 chia hết cho 22009 Chứng minh rằng n ≥ 22007 (Bình Định) Lời giải và bình luận đề thi các tỉnh, các trường Đại học năm học 2009 -2010 11 Lời giải Vì n nguyên dương nên ta có thể đặt n = 2k m, với k, m ∈ N, m lẻ Ta có m k 3n − 1 = 32 k k − 1 = 32 − 1 32 m−1 k + 32 m−2 k + · · · + 32 + 1 k k m−2 k m−1 +