Đang tải... (xem toàn văn)
Nhằm cung cấp cho thầy cô và giáo viên một bộ đề hay đầy đủ mình soạn tập đề vào lớp 10 chuyên cực kì hay và có đáp án chi tiết, thầy cô có thêm kham khảo và góp ý cho mình nhé, cảm ơn tất cả mọi người
ĐỀ PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC ĐỀ LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUN TỐN MƠN TỐN (Thời gian: 120 phút, khơng tính thời gian giao đề) (Dùng cho tất học sinh vào lớp 10 chuyên) Câu (3 điểm) 1) Chứng minh với số tự nhiên n n4 + 2015n2 chia hết cho 12 2 x 3xy y 12 2) Giải hệ phương trình sau : 2 x xy 3y 11 Câu (2 điểm) 1) Tìm tất cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn: 2y2 + 2xy + x + 3y – 13 = 2) Giải phương trình: x2 3x 1 Câu (1 điểm) Cho x, y số thực khơng âm Tìm giá trị lớn biểu thức : ( x y )(1 x y ) P (1 x ) (1 y ) Câu (3 điểm) Cho hai đường tròn (O) (O‟) cắt A B Kẻ tiếp tuyến chung CD (C, D tiếp điểm, C (O), D (O‟)) Đường thẳng qua A song song với CD cắt (O) E, (O‟) F Gọi M, N theo thứ tự giao điểm BD BC với EF Gọi I giao điểm EC với FD Chứng minh rằng: a) Chứng minh tứ giác BCID nội tiếp b) CD trung trực đoạn thẳng AI b) IA phân giác góc MIN Bài (1điểm) Cho 1010 số tự nhiên phân biệt không vượt q 2015 khơng có số gấp lần số khác Chứng minh số chọn ln tìm số cho tổng số số lại - Hết -(Giám thị khơng giải thích thêm) Họ tên thí sinh: .Số báo danh: ĐỀ PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC ĐỀ LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN MƠN TỐN (Thời gian: 120 phút, khơng tính thời gian giao đề) (Dùng cho tất học sinh vào lớp 10 chuyên) Câu (1,5 điểm) Cho phương trình x4 16 x2 32 ( với x R ) Chứng minh rằng: x nghiệm phương trình cho Câu (2,5 điểm) 2 x( x 1)( y 1) xy 6 Giải hệ phương trình ( với x R, y R ) y ( y 1)( x 1) yx Câu 3.(1,5 điểm) Cho tam giác MNP có cạnh cm Lấy n điểm thuộc cạnh phía tam giác MNP cho khoảng cách giửa hai điểm tuỳ ý lớn cm ( với n số nguyên dương) Tìm n lớn thoả mãn điều kiện cho Câu (1 điểm) Chứng minh 10 số ngun dương liên tiếp khơng tồn hai số có ước chung lớn Câu (3,5 điểm) Cho tam giác ABC không tam giác cân, biết tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I) Gọi D,E,F tiếp điểm BC, CA, AB với đường tròn (I) Gọi M giao điểm đường thẳng EF đường thẳng BC, biết AD cắt đường tròn (I) điểm N (N khơng trùng với D), giọi K giao điểm AI EF 1) Chứng minh điểm I, D, N, K thuộc đường tròn 2) Chứng minh MN tiếp tuyến đường tròn (I) - Hết -(Giám thị khơng giải thích thêm) Họ tên thí sinh: .Số báo danh: ĐỀ PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC ĐỀ LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUN TỐN MƠN TỐN (Thời gian: 120 phút, khơng tính thời gian giao đề) (Dùng cho tất học sinh vào lớp 10 chuyên) Câu (3,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức: P b) Cho x 65 65 Tính Q x3 12 x 2009 Câu (3,5 điểm) Cho phương trình a(a+3)x2 - 2x - (a+1)(a+2) = (a tham số, ngun) a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm hữu tỷ b) Xác định a để phương trình có nghiệm nguyên Câu (5,0 điểm) Giải phương trình hệ phương trình sau: x2 y b) y x a) 13x 3x+2 x 42 ; Câu (2,5 điểm) a) Chứng minh với x, y > : x 2y xy y b) Cho số dương a,b,c với abc = Tìm giá trị lớn biểu thức: M 1 a 2b2 b2 2c c 2a Câu (2,5 điểm) Cho tam giác ABC thỏa mãn AB.AC = BC(AB+AC), có G trọng tâm BD, CE đường phân giác Chứng minh điểm D, E, G thẳng hàng Câu (3,5 điểm) Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn tâm O Một điểm D di động cung nhỏ AC Trên tia đối tia DB lấy điểm E cho DE = DC Tìm tập hợp trung điểm M đoạn thẳng BE D di chuyển cung nhỏ AC - Hết -(Giám thị khơng giải thích thêm) Họ tên thí sinh: .Số báo danh: ĐỀ PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC ĐỀ LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUN TỐN MƠN TỐN (Thời gian: 120 phút, khơng tính thời gian giao đề) (Dùng cho tất học sinh vào lớp 10 chuyên) Câu (1,5 điểm) a) Chứng minh số nguyên n lớn thoả mãn n2 n2 16 số nguyên tố n chia hết cho b) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2 y( x y) 2( x 1) Câu (2,0 điểm) 2(3 5) 2(3 5) a) Rút gọn biểu thức: A 2 3 2 3 b) Tìm m để phương trình: ( x 2)( x 3)( x 4)( x 5) m có nghiệm phân biệt Câu (2,0 điểm) a) Giải phương trình: x2 x x 1(1 x) x3 xy 10 y b) Giải hệ phương trình: 2 x y 10 Câu (3,5 điểm) Cho đường tròn (O; R) dây cung BC R cố định Điểm A di động cung lớn BC cho tam giác ABC nhọn Gọi E điểm đối ứng với B qua AC F điểm đối ứng với C qua AB Các đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE ACF cắt K (K không trùng A) Gọi H giao điểm BE CF a) Chứng minh KA phân giác góc BKC tứ giác BHCK nội tiếp b) Xác định vị trí điểm A để diện tích tứ giác BHCK lớn nhất, tính diện tích lớn tứ giác theo R c) Chứng minh AK ln qua điểm cố định Câu (1,0 điểm) 1 Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x y z P y2 z2 z x2 x2 y x( y z ) y(z x ) z(x y ) HẾT -Họ tên thí sinh: .Số báo danh: Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm ĐỀ PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC ĐỀ LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUN TỐN MƠN TỐN (Thời gian: 120 phút, khơng tính thời gian giao đề) (Dùng cho tất học sinh vào lớp 10 chuyên) a 1 a 5 (a 0, a 1) Câu Cho P a a a a a a a) Rút gọn P b) Đặt Q (a a 1) P Chứng minh Q > Câu Cho phương trình x2 2(m 1) x m2 (1) Tìm m để phương trình có nghiệm x1; x2 thỏa mãn ( x1 m)2 x2 m Câu Giải phương trình ( x 1) 2( x 4) x x x x xy y (1) y Giải hệ phương trình x x y x 3x 3(2) Câu Giải phương trình tập số nguyên x2015 y( y 1)( y 2)( y 3) (1) Câu Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O;R) Gọi H trực tâm tam giác ABC Gọi M trung điểm BC a) Chứng minh AH = 2OM b) Dựng hình bình hành AHIO Gọi J tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC Chứng minh OI OJ = R2 c) Gọi N giao điểm AH với đường tròn (O) (N khác A) Gọi D điểm cung nhỏ NC đường tròn tâm (O) (D khác N C) Gọi E điểm đối xứng với D qua AC, K giao điểm AC HE Chứng minh ACH = ADK Câu Cho a, b số thực dương Chứng minh (1 a )(1 b ) ab Cho a, b số thực dương thỏa mãn a + b = ab Tìm giá trị nhỏ biểu thức 1 P 1 a 1 b a 2a b 2b HẾT -Họ tên thí sinh: .Số báo danh: Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm ĐỀ PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC ĐỀ LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUN TỐN MƠN TỐN (Thời gian: 120 phút, khơng tính thời gian giao đề) (Dùng cho tất học sinh vào lớp 10 chuyên) Câu (2,0 điểm) 1) Cho a b 29 12 Tính giá trị biểu thức: A a (a 1) b2 (b 1) 11ab 2015 2) Cho x, y hai số thực thỏa mãn xy (1 x )(1 y ) Chứng minh x y y x Câu (2,0 điểm) 1) Giải phương trình x x2 x x x 2 x y xy x y y x 3x 2) Giải hệ phương trình x y x y x y Câu (2,0 điểm) 1) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x4 x2 y y 20 2) Tìm số nguyên k để k 8k 23k 26k 10 số phương Câu (3,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) dây BC cố định không qua tâm Trên tia đối tia BC lấy điểm A (A khác B) Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM AN với đường tròn (O) (M N tiếp điểm) Gọi I trung điểm BC 1) Chứng minh A, O, M, N, I thuộc đường tròn IA tia phân giác góc MIN 1 AK AB AC 3) Đường thẳng qua M vng góc với đường thẳng ON cắt (O) điểm thứ hai P Xác định vị trí điểm A tia đối tia BC để AMPN hình bình hành 2) Gọi K giao điểm MN BC Chứng minh Câu (1,0 điểm) Cho a, b số dương thỏa mãn điều kiện (a b)3 4ab 12 Chứng minh bất đẳng thức 1 2015ab 2016 1 a 1 b HẾT -Họ tên thí sinh: .Số báo danh: Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm ĐỀ PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC ĐỀ LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUN TỐN MƠN TỐN (Thời gian: 120 phút, khơng tính thời gian giao đề) (Dùng cho tất học sinh vào lớp 10 chuyên) Bài (3,0 điểm) 2x x x 1 x2 x ( x 0; x 1) x x x x x x a) Rút gọn biểu thức P Cho biểu thức: P b) Tính giá trị thức P x 2 c) Chứng minh rằng: với giá trị x để biểu thức P có nghĩa biểu thức nhận P giá trị nguyên Bài (2,0 điểm) Cho phương trình x2 – 2mx+ (m – 1)3= (m tham số) a) Giải phương trình m = –1 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt có nghiệm bình phương nghiệm lại Bài (1,0 điểm) 2x 1 Giải phương trình: x x2 Bài (3,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Đường tròn đường kính AH, tâm O, cắt cạnh AB AC E F Gọi M trung điểm cạnh HC a) Chứng minh AE.AB = AF.AC b) Chứng minh MF tiếp tuyến đường tròn đường kính AH HBO c) Chứng minh HAM d) Xác định điểm trực tâm tam giác ABM Bài (0,5 điểm) Cho số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = Chứng minh rằng: 1 a 1 b 1 c 1 HẾT -Họ tên thí sinh: .Số báo danh: Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm ĐỀ PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC ĐỀ LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN MƠN TỐN (Thời gian: 120 phút, khơng tính thời gian giao đề) (Dùng cho tất học sinh vào lớp 10 chuyên) Câu 1: (1,5 điểm) Giải phương trình: 2015 2015x 2014 2016 x 2015 2016 Câu 2: (1,5 điểm) Cho phương trình ( x 2)(x x) (4m 1) x 8m (x ẩn số) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt x1;x2;x3 thỏa mãn điều kiện x12 x2 x32 11 Câu 3: (2,0 điểm) x y x y ( x 1)( y 1) a) Giải hệ phương trình: x 2 y 2 1 y x b) Cho số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = x2 + y2 + z2 = Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y, z: Px (1 y )(1 z ) (1 z )(1 x ) (1 x )(1 y ) y z x2 1 y2 1 z2 Câu 4: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) , Giả sử B , C cố định A di động đường tròn cho AB < AC AC < BC Đường trung thực đoạn thẳng AB cắt AC BC P Q Đường trung trực đoạn thẳng AC cắt AB BC M N a) Chứng minh OM.ON=R2 b) Chứng minh bốn điểm M,N,P,Q nằm đường tròn c) Giả sử hai đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN CPQ cắt S T , gọi H hình chiếu vng góc B lên đường thẳng ST Chứng minh H chạy đường tròn cố định A di động Câu 5: (2,0 điểm) a) Cho a,b hai số thay đổi thoã mãn điều kiện a > 0, a + b ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức A 8a b b 4a b) Tìm tất cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn x4 x3 x2 y 32 x y 39 HẾT -Họ tên thí sinh: .Số báo danh: Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm ĐỀ PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC ĐỀ LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUN TỐN MƠN TỐN (Thời gian: 120 phút, khơng tính thời gian giao đề) (Dùng cho tất học sinh vào lớp 10 chuyên) Câu (2 điểm) a) Cho biểu thức A x x x 1 (với x ≠ 1; x ≥ 0) Rút gọn A, sau tính giá trị A – x 1 x 1 x 2016 2015 b) Cho A 12015 22015 n2015 với n số nguyên dương Chứng minh A chia hết cho n(n + 1) Câu (2 điểm) 0 x x 11 x x 12 x( x 4)(4 x y ) b) Giải hệ phương trình: x x y 5 Câu (1 điểm) Cho parabol (P): y = ax2 đường thẳng (d): y = bx + c với a, b, c độ dài ba cạnh tam giác vng a độ dài cạnh huyền Chứng minh (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B có hồnh độ x1 x2 thỏa mãn x12 x22 Câu (2 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao BD CE cắt H Các tia phân giác góc EHB, DHC cắt AB, AC I K Qua I K vẽ đường vng góc với AB, AC chúng cắt M a) Chứng minh AI = AK b) Giả sử tam giác nhọn ABC có hai đỉnh B, C cố định, đỉnh A di động Chứng minh đường thẳng HM qua điểm cố định Câu (2 điểm) Cho đường tròn (O) đường kính AB Qua A B vẽ tiếp tuyến d1 d2 với (O) Từ điểm M (O) vẽ tiếp tuyến với đường tròn cắt d1 C cắt d2 D Đường tròn đường kính CD cắt đường tròn (O) E F (E thuộc cung AM), gọi I giao điểm AD BC a) Chứng minh AB tiếp tuyến đường tròn đường kính CD b) Chứng minh MI vng góc với AB ba điểm E, I, F thẳng hàng Câu (1 điểm) Cho ba số thực x; y; z thỏa mãn: x2 + y2 + z2 ≤ Tìm giá trị lớn biểu thức P = x + y + z – (xy + yz + zx) a) Giải phương trình sau: HẾT -Họ tên thí sinh: .Số báo danh: Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm MC BC MC MA BC 1 MA AB MA AB NB BC BN NA BC 1 NA AC NA AC ( MC MA)( NB NA) BC BC BC BC BC (1 )(1 ) 1 MA.NA AB AC AB AC AB AC Áp dụng định lý Pi–ta–go cho tam giác vuông ABC BĐT Cô–si cho hai số không âm, ta có: BC 2 2 BC AB AC AB AC 2 AB.BC BC BC BC BC 2 2 AB AC AB AC ( MA MC )( NB NA) 1 2 2 MA.NA Câu III 1 ab c(a b) ab(*) c) Ta có: a b c ab c Giả sử a + b số nguyên tố, từ (*) ⇒ ab ⋮ (a + b) ⇒ a ⋮ (a + b) b ⋮ (a + b) Điều mâu thuẫn < a < a + b, < b < a + b Vậy a + b số nguyên tố d) Giả sử a + c b + c đồng thời số nguyên tố Từ c(a+b)=ab=>ca+cb=ab=>ca+ab=2ab-ab=>a(b+c)=b(2a-c) ⇒ a( b + c) ⋮ b (**) Mà b + c số nguyên tố, b số nguyên dương nhỏ b + c nên (b + c, b) = Do từ (**) suy a ⋮ b Chứng minh tương tự ta có b(a + c) = a(2b – c) ⇒ b ⋮ a Vậy a = b Từ (*) ⇒ a = b = 2c Do a + c = b + c = 3c, không số nguyên tố với c > (mâu thuẫn với giả sử) Vậy a + c b + c đồng thời số nguyên tố Câu IV d) Ta có: HCA =ABC (cùng phụ với HCB ) Vì CN phân giác góc HCB nên HCN =BCN Do CAN= HCA +HCN= ABC +BCN Mặt khác, xét ∆ BCN với góc ngồi ANC ta có: ANC= ABC+ BCN 216 Suy CAN= ANC ⇒ ∆ ACN cân A ⇒ AC = AN Chứng minh tương tự ta có BC = BM e) Vì CM, CN alà phân giác góc ACH BCH nên 1 MCN MCH NCH ACH BCH ACB 45o 2 Tam giác ACN cân A có AI phân giác kẻ từ đỉnh A, nên trung trực đáy CN ⇒ IC = IN ⇒ ∆ ICN cân I Tam giác ICN cân I có ICN=45o nên tam giác vng cân I ⇒ CI ⊥ IN Chứng minh tương tự ta có CJ ⊥ MJ Tứ giác MIJN có MIN=MJN=90o nên tứ giác nội tiếp ⇒ Bốn điểm M, I, J, N thuộc đường tròn Vì CH ⊥ MN, MJ ⊥ CN, NI ⊥ CM nên CH, MJ, NI đồng quy trực tâm ∆ CMN f) Đặt AC b; BC a a2 b2 BC R2 ( Pi ta go) Theo câu a, ta có AN=AC= b; BM=BC=b Do a+b=AN+BM=BC+MN=>MN=a+b-BC=a+b-2R Ta có: (a b)2 2ab a b (a b) 2(a b ) 8R a b 2 R MN a b R R( 1) Dấu xảy a = b ⇔ CA = CB ⇔ C điểm nửa đường tròn Vì C thuộc nửa đường tròn đường kính AB nên CH ≤ R 1 Do SCMN CH MN R.2.R( 1) R ( 1) 2 Dấu xảy ⇔ C điểm nửa đường tròn Vậy giá trị nhỏ MN 2R( 1) giá trị nhỏ diện tích tam giác CMN R ( 1) xảy C điểm nửa đường tròn đường kính AB Câu V c) Gọi số tự nhiên cho a, b, c, d, e Do chúng đơi phân biệt nên giả sử a < b < c < d < e Theo giả thiết ta có a + b + c > d + e ⇒ a + b + c ≥ d + e + Suy a ≥ d + e + – b – c Vì b, c, d, e số tự nhiên nên từ d > c ⇒ d ≥ c + 1; c > b ⇒ c ≥ b + Suy d ≥ b + ⇒ d – b ≥ e>d⇒e≥d+1⇒e≥c+2⇒e–c≥2 Do a ≥ (d – b) + (e – c) + ≥ Suy b, c, d, e > Vậy tất số không nhỏ d) Nếu a ≥ ⇒ b ≥ a + ≥ Tương tự c ≥ 8, d ≥ 9, e ≥ 10 ⇒ a + b + c + d + e ≥ 40 (mâu thuẫn) Suy a < Mà theo câu a ta có a ≥ ⇒ a = Ta có + b + c ≥ d + e + ⇒ b + c ≥ d + e – Mà d – ≥ b, e – ≥ c ⇒ d + e – ≥ b + c Do 217 b d =>a+b+c+d+e=5+2b+2c+4 y = +) x = => y = Vậy m= (P) (d) cắt điểm A(-2;4) B(3;9) Tìm m để (d) cắt (P) điểm nằm hai phía trục tung Hồnh độ giao điểm (P) (d) nghiệm phương trình: x (m 1) x m x (m 1) x m 0(*) (d) cắt (P) hai điểm nằm hai phía trục tung phương trình (*)có nghiệm trái dấu 1 (- m – 4) < m>-4 Câu x y 3m 1) Cho hệ phương trình: ( tham số m) 3x y 11 m x y 3m x y 6m 5 x 5m 15 x m 3x y 11 m 3x y 11 m x y 3m y 2m 222 x y (m 3) (2m 1) 3m2 10m 49 3(m )2 3 5 Do (m ) với m; dấu “=” xảy m 3 49 ,dấu “=” xảy m x y 3 49 Hay x2-y2 lớn ,dấu “=” xảy m 3 Gọi vận tốc dự định ô tô x (km/h) (x > 6) 80 Khi thời gian tô dự định hết quãng đường AB (h) x 40 Thời gian thực tế ô tô nửa quãng đường đầu (h) x6 40 Thời gian thực tế tơ nửa qng đường lại (h) x 12 Theo ta có phương trình: 40 40 80 x 60 x 12 x 40 x( x 12) 40 x( x 6) 80( x 6)( x 12) x( x 6)( x 12) x( x 6)( x 12) x( x 6)( x 12) 40 x 480 x 40 x 240 x 80 x 480 x 5760 240 x 5760 x 24 Vậy vận tốc dự định ô tô 24 (km/h) Câu Từ giả thiết ta có: APH=90o; ANH 90o =>Tứ giác APHN nội tiếp đường tròn đường kính AH Ta có: BD//CH (BDCH hình bình hành) CH AB BD AB => ABD=90o Tương tự ta có: ACD=90o Tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn (đường kính AD) Xét tam giác ABE ACH có: ABE=ACH (cùng phụ với góc BAC) (1) Góc BAE phụ với góc BDA; BDA=BCA (góc nội tiếp chắn cung AB) Góc CAH phụ với góc BCA =>BAE=CAH(2) Từ (1) (2) suy tam giác ABE, ACH đồng dạng AB AC AB AH AC AE AE AH Gọi I trung điểm BC => I cố định ( B, C cố định) Gọi O trung điểm AD => O cố định (do góc BAC khơng đổi, B, C cố định, O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC) Độ dài OI không đổi 223 Tứ giác ABDC hình bình hành => I trung điểm HD OI AH (OI đường trung bình tam giác ADH) Độ dài AH khơng đổi Vì AH đường kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác APHN, độ dài AH khơng đổi => độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác APHN khơng đổi => đường tròn ngoại tiếp tứ giác APHN có diện tích khơng đổi Câu Ta có: ( x y ) (x y) S x y2 xy 1 xy x2 y 2 x2 y xy xy x2 y x2 y ) x2 y 2 xy xy Do x, y số dương nên ta có: 3 ( xy x2 y 2 xy x y 2 x2 y 2 xy x y 2 xy Dấu “=” xảy khi: xy x2 y ( x y )2 x y ( x y )2 x2 y 2 xy x y x y ( x; y 0) x2 y x y xy Cộng bất đẳng thức ta S S = x = y Vậy Min S = x = y ĐỀ 50 Câu 1) Điều kiện: x 1 x y xy Ta có: x x x x x x x x x x ( x 1)( x 3) x( x 1) x 1( x 1) ( x 1)( x x) x 1(1) x x(2) Ta có (1) x 2 (loại) 224 x x x (2) 17 x 1 4x 4 x x x x 17 (TM ) Vậy phương trình cho có nghiệm x 2) Điều kiện: x 1;y 1 17 x2 y2 ( y 1) ( x 1) Hệ phương trình cho tương đương với x y 1 y x 2 u v x y Đặt u , hệ cho trở thành ;v y 1 x 1 uv 2 u v 2uv (u v) 2 u v 2uv (u v) u v u v 1 y 1 2x x y 1(TM) Nếu u v x 1 y y 2 x 1 x y (TM) Nếu u v x 2 y 1 Câu a) Phương trình cho tương đương với x ( y 1)( y 2)(1) Nếu y 1 y ( y 1) 33 (y 1)(y 2)9 Mà 9x x Z nên ta có mâu thuẫn Suy ray 1 3, đó: y 1 = 3k( k Z )=>y=3k+1( k Z ) Thay vào (1) ta có: x 3k (3k 3) x k (k 1) x k (k 1) (k Z ) Vậy phương trình có nghiệm: y 3k Vậy hệ phương trình có nghiệm: x y , x y b) Từ giả thiết suy ab (a b) a b (1) Vì ab a+b N * nên a + b số phương Mặt khác a b 18 a b 1; 4;9;16 225 Nếu a+ b1, a +b 4, a+ b16 thay vào (1) không thỏa mãn Nếu a +b thay vào (1) ta ab 27 Vậy a=2;b=7 Câu Đặt a x; b y; c z a x3 ; b2 y ;c2 z , a x3 ; b y ;c z ; x, y, z Bất đẳng thức cho trở thành: x3 y3 z 3xyz 2( x3 y y z z x3 )(1) Vì vai trò x; y ;z bình đẳng nên giả sử x y z Khi x( x y )2 z ( y x) ( z x y )(x y )( y z ) x y z 3xyz xy (z y) yz(y z) zx(z x)(2) Áp dụng Bất đẳng thức Côsi ta có xy( x y) xy xy x3 y (3) Tương tự ta có: yz (y z ) y z (4) zx(z x) z x3 (5) Cộng vế theo vế bất đẳng thức (3), (4), (5) ta xy(x y) yz (y z ) zx(z x) 2( x3 y y z z x3 )(6) Từ (2) (6) ta có x3 y3 z 3xyz 2( x3 y y z z x3 ) Đẳng thức xảy x=y=z hay a= b =c Câu a) Vì AEC= AFC =90o nên tứ giác ACEF nội tiếp Suy BFE =ACB (cùng bù với góc AFE ) (1) 226 Kẻ tia tiếp tuyến Bx đường tròn (O) B Ta có ACB= ABx (cùng chắn cung AB ) (2) Từ (1) (2) suy BFE =ABx Do Bx// EF Mà OBBx nên OB EF Xét BEF BAC có ABC chung BFE= ACB ( theo (1)) nên BEF BAC đồng dạng Mặt khác BEF BAC nội tiếp đường tròn bán kính BH đường tròn bán kính OB EF BH AC 2.OB BH EF Từ ta có BO AC b) Gọi M1và N1lần lượt điểm đối xứng với P qua AB AC Ta có: AM1B=APB (do tính chất đối xứng) (3) APB=ACB (cùng chắn cung AB) (4) Tứ giác BEHF nội tiếp nên BFE= BHE (5) Mặt khác theo câu a) BFE =ACB (6) Từ (3), (4), (5), (6) suy AM1B= BHE AM1B+ AHB = 1800, tứ giác AHBM1nội tiếp AHM1= ABM1 mà ABM1= ABP nên AHM1 =ABP Chứng minh tương tự ta có AHN1= ACP AHM1+ AHN1= ABP+ ACP=180OM1, N1, H thẳng hàng Mặt khác MN đường trung bình tam giác PM1N1, MN qua trung điểm PH Câu nên Gọi (O) đường tròn ngoại tiếp tam giác Gọi (O) đường tròn ngoại tiếp tam giác BC, CA, AB Do tam giác ABC nhọn nên O nằm tam giác ABC MC 2 Vì BAC 60O MOC 60O OA OB OC sin 60o Vì O nằm tam giác ABC OM BC, ON AC ,OP AB 227 Suy tam giác ABC chia thành tứ giác ANOP, BMOP, CMON nội tiếp đường tròn có đường kính (đường kính OA, OB, OC) Theo nguyên lý Đirichlê, tồn tứ giác chứa điểm 13 điểm cho, giả sử tứ giác ANOP Gọi E, F, G, H trung điểm NA, AP, PO, ON I trung điểm OA, suy IA=IP=IO=IN=1 Khi tứ giác ANOP chia thành tứ giác AEIF, FIGP, IGOH, IHNE nội tiếp đường tròn có đường kính Theo ngun lý Đirichlê, tồn tứ giác chứa điểm điểm cho, giả sử tứ giác AEIF chứa điểm X, Y số 13 điểm cho Vì X, Y nằm tứ giác AEIF nên X, Y nằm đường tròn ngoại tiếp tứ giác này, XY khơng lớn đường kính đường tròn này, nghĩa khoảng cách X, Y không vượt 228 MỤC LỤC Phần Đề luyện thi Phần Đáp án Đề 1: Trang ….51 Đề 2: Trang ….54 Đề 3: Trang ….58 Đề 4: Trang ….62 Đề 5: Trang ….65 Đề 6: Trang ….69 Đề 7: Trang ….73 Đề 8: Trang ….75 Đề 9: Trang ….79 Đề 10: Trang ….84 Đề 11: Trang ….88 Đề 12: Trang ….90 Đề 13: Trang ….94 Đề 14: Trang … 102 Đề 15: Trang … 104 Đề 16: Trang … 109 Đề 17: Trang … 112 Đề 18: Trang … 115 Đề 19: Trang … 117 Đề 20: Trang … 120 Đề 21: Trang … 122 Đề 22: Trang … 125 Đề 23: Trang … 129 Đề 24: Trang … 132 Đề 25: Trang … 136 Đề 26: Trang … 140 Đề 27: Trang … 143 Đề 28: Trang … 147 Đề 29: Trang … 152 Đề 30: Trang … 156 Đề 31: Trang … 158 Đề 32: Trang … 161 Đề 33: Trang … 163 Đề 34: Trang … 168 Đề 35: Trang … 172 Đề 36: Trang … 176 Đề 37: Trang … 179 Đề 38: Trang … 184 Đề 39: Trang … 188 Đề 40: Trang … 192 Đề 41: Trang … 195 Đề 42: Trang … 199 229 Đề 43: Trang … 202 Đề 44: Trang … 205 Đề 45: Trang … 208 Đề 46: Trang … 211 Đề 47: Trang … 213 Đề 48: Trang … 218 Đề 49: Trang … 221 Đề 50: Trang … 224 Hết - 230