Cấu trúc nhóm con gần á chuẩn tắc của nhóm

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG KHOA SƯ PHẠM KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP CẤU TRÚC NHÓM CON GẦN Á CHUẨN TẮC CỦA NHÓM LÊ THỊ MÀNG AN GIANG, 05 - 2021 TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG KHOA SƯ PHẠM KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP CẤU TRÚC NHÓM CON GẦN Á CHUẨN TẮC CỦA NHÓM LÊ THỊ MÀNG DTO170712 GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN: LÊ VĂN CHUA AN GIANG, 05 - 2021 Khóa luận tốt nghiệp "Cấu trúc nhóm gần chuẩn tắc nhóm" sinh viên Lê Thị Màng thực hướng dẫn ThS Lê Văn Chua Tác giả báo cáo kết nghiên cứu Hội đồng Khoa học Đào tạo thông qua ngày / / Cán chấm Cán chấm THS PHẠM MỸ HẠNH THS TRẦN THỊ NGỌC GIÀU GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN THS LÊ VĂN CHUA LỜI CẢM TẠ Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến q thầy (cơ) Bộ mơn Tốn, Khoa sư phạm giảng dạy, hướng dẫn, giúp đỡ suốt trình học tập Trường Đại học An Giang Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy Lê Văn Chua - giảng viên trực tiếp hướng dẫn tơi thực khóa luận tốt nghiệp, tận tình hướng dẫn, bảo, động viên giúp đỡ suốt trình thực đề tài Trong q trình nghiên cứu, tơi cố gắng lực cịn hạn chế lần thực nghiên cứu khoa học nên tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận ý kiến đóng góp quý báu quý thầy (cơ) để khóa luận hồn thiện Long Xuyên, ngày 17 tháng 05 năm 2021 Người thực Lê Thị Màng LỜI CAM KẾT Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu cơng trình nghiên cứu có xuất xứ rõ ràng Những kết luận khoa học cơng trình nghiên cứu chưa cơng bố cơng trình khác Long Xun, ngày 17 tháng 05 năm 2021 Người thực Lê Thị Màng MỤC LỤC Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Nhóm nhóm 1.2 Lớp ghép số 1.3 Nhóm chuẩn tắc nhóm thương 1.4 Đồng cấu nhóm 15 1.5 Nhóm chuẩn tắc 22 Chương Cấu trúc nhóm gần chuẩn tắc 26 2.1 Nhóm gần chuẩn tắc 26 2.2 Liên hợp nhóm gần chuẩn tắc 30 2.3 Nhóm gần chuẩn tắc hữu hạn sinh 33 Tài liệu tham khảo 37 i DANH MỤC KÝ HIỆU A ≤ G: A nhóm nhóm G A < G: A nhóm thực nhóm G |G|: Cấp nhóm G hSi: Nhóm sinh tập S [G : A]: Chỉ số nhóm A G A C G: A nhóm chuẩn tắc nhóm G xg : Phần tử liên hợp x g Ax : Nhóm liên hợp A x CG (x): Tâm x G NG (A): Chuẩn hóa tử nhóm A G CoreG (A): Lõi nhóm A G AG : Bao đóng chuẩn tắc nhóm A G G/A: Nhóm thương nhóm G A G∼ = H: G đẳng cấu với H Kerϕ: Hạt nhân đồng cấu ϕ Imϕ: Ảnh đồng cấu ϕ A CC G: A nhóm chuẩn tắc nhóm G A asn G: A nhóm gần chuẩn tắc nhóm G [a, b]: Hốn tử a b [X, Y ]: Nhóm hốn tử tập hợp X Y Sn : Nhóm đối xứng bậc n ls (A, G): Chiều dài nhóm chuẩn tắc A G la (A, G): Chiều dài nhóm gần chuẩn tắc A G ii CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức lý thuyết nhóm: Nhóm nhóm con, lớp ghép số, nhóm chuẩn tắc nhóm thương, đồng cấu nhóm, nhóm chuẩn tắc Những kiến thức nhằm để phục vụ cho chương sau 1.1 NHÓM VÀ NHÓM CON Định nghĩa 1.1 Cho G tập hợp khác rỗng Ta nói G nhóm tồn phép tốn hai ngơi ∗ : G × G → G thỏa mãn điều kiện sau: (i) (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) với a, b, c ∈ G (ii) Tồn phần tử e ∈ G cho e ∗ a = a = a ∗ e với a ∈ G (iii) Với a ∈ G, có phần tử a−1 ∈ G cho a ∗ a−1 = e = a−1 ∗ a Một nhóm G gọi aben hay giao hốn a ∗ b = b ∗ a với a, b ∈ G Phần tử e nhóm G gọi đơn vị nhóm G, phần tử a−1 ∈ G gọi nghịch đảo a ∈ G Chú ý phần tử đơn vị phần tử nghịch đảo phần tử nhóm G Phép toán ∗ G thường kí hiệu phép tốn cộng + phép tốn nhân · G Khi ta nói G nhóm phép tốn cộng G nhóm phép tốn nhân Khi G nhóm phép toán cộng, ta gọi phần tử đơn vị phần tử khơng kí hiệu phần tử nghịch đảo a−1 ∈ G a ∈ G gọi phần tử đối kí hiệu −a Để thuận lợi cho việc trình bày, ta ln kí hiệu phép tốn ∗ phép tốn nhân · viết a · b = ab tích hai phần tử a b G Khi điều kiện (i), (ii), (iii) Định nghĩa 1.1 viết lại sau: (i) (ab)c = a(bc) với a, b, c ∈ G (ii) Tồn phần tử e ∈ G cho ea = a = ae với a ∈ G (iii) Với a ∈ G, có phần tử a−1 ∈ G cho aa−1 = e = a−1 a Định nghĩa 1.2 Cho G nhóm Lực lượng hay số phần tử G gọi cấp G kí hiệu |G| Ta nói G nhóm hữu hạn (vơ hạn) |G| hữu hạn (vô hạn) Định nghĩa 1.3 Cho G nhóm A tập G Ta nói A nhóm G A nhóm phép tốn G kí hiệu A ≤ G Một nhóm G ln có hai nhóm G nhóm tầm thường {e} Một nhóm A G gọi thực A khác G Trong trường hợp này, ta kí hiệu A < G Định lý 1.1 Cho G nhóm A tập G Khi A nhóm G điều kiện sau thỏa mãn (i) e ∈ A (ii) ab ∈ A với a, b ∈ A (iii) a−1 ∈ A với a ∈ A Chứng minh: Giả sử A nhóm G Ta chứng minh điều kiện (i), (ii), (iii) thỏa mãn Thật vậy, A nhóm G nên tập A ổn định với phép tốn G, ta có (ii) Gọi e0 phần tử đơn vị nhóm A Khi đó, ta có e0 e0 = e0 = ee0 suy e0 = e, ta có (i) Gọi a0 phần tử nghịch đảo nhóm A phần tử a ∈ A Khi đó, ta có a0 a = e = a−1 a suy a0 = a−1 , ta có (iii) Đảo lại, giả sử điều kiện (i), (ii), (iii) thỏa mãn Ta chứng minh A nhóm G Thật vậy, điều kiện (ii) chứng tỏ A tập hợp ổn định với phép toán G Do phép tốn cảm sinh A có tính kết hợp Với điều kiện (i) (iii), ta suy A nhóm Vậy A nhóm G  Hệ 1.1 Cho G nhóm A tập G Khi A nhóm G e ∈ A ab−1 ∈ A với a, b ∈ A Chứng minh: Giả sử A nhóm G Ta chứng minh e ∈ A ab−1 ∈ A với a, b ∈ A Thật vậy, theo Định lí 1.1 ta có e ∈ A Với a, b ∈ A, ta có b−1 ∈ A nên suy ab−1 ∈ A Đảo lại, giả sử e ∈ A ab−1 ∈ A với a, b ∈ A Ta chứng minh A nhóm G Thật vậy, ta có e ∈ A Mặt khác, với a ∈ A, ta có a−1 = ea−1 ∈ A Với a, b ∈ A ta có b−1 ∈ A nên suy ab = a(b−1 )−1 ∈ A Vậy A nhóm G  Định lý 1.2 Cho G nhóm {Ai | i ∈ I} họ nhóm G T Khi A = Ai nhóm G i∈I Chứng minh: Với i ∈ I, Ai nhóm G nên e ∈ Ai , suy T e ∈ A = Ai Với a, b ∈ A suy a, b ∈ Ai với i ∈ I Do ta có i∈I T T ab−1 ∈ Ai với i ∈ I, suy ab−1 ∈ A = Ai Vậy A = Ai nhóm i∈I G i∈I  Cho G nhóm S tập G Kí hiệu hSi giao tất nhóm G chứa S Theo Định lý 1.2, hSi nhóm G chứa S Ta nhận thấy hSi nhóm nhỏ G chứa S Nhóm hSi gọi nhóm sinh S Nếu S = {a1 , a2 , , an } ta kí hiệu ha1 , a2 , , an i thay cho hSi Chú ý rằng, S nhóm hSi = S Định lý 1.3 Cho G nhóm S tập khác rỗng G Khi hSi = {an1 an2 ank k | ∈ S, ni ∈ Z} Chứng minh: Ta chứng minh A = {an1 an2 ank k | ∈ S, ni ∈ Z} nhóm G Thật vậy, ta có ni ∈ Z nên −ni ∈ Z, suy ani i ai−ni = e ∈ A với ∈ S mt m2 Với a, b ∈ A, a = an1 an2 ank k với ni ∈ Z, ∈ S b = bm b2 bt t −m1 ∈ A Vậy A b1 b−m với mj ∈ Z, bj ∈ S Suy ab−1 = an1 an2 ank k b−m t nhóm G Ta chứng minh A nhóm nhỏ G chứa S Thật vậy, giả sử B nhóm G chứa S Khi đó, với a ∈ A ta có a = an1 an2 ank k với ∈ S, ni ∈ Z Vì B chứa S nên ∈ B Mặt khác, B nhóm nên a = an1 an2 ank k ∈ B Do A ⊆ B Hiển nhiên A ⊇ S Vậy A nhóm nhỏ G chứa S Hay hSi = {an1 an2 ank k | ∈ S, ni ∈ Z}. Hệ 1.2 Cho G nhóm a ∈ G Khi hai = {an | n ∈ Z} Chứng minh: Hiển nhiên Định lý 1.3  Cho G nhóm A, B tập G Ta định nghĩa tích A B G tập hợp AB = {ab | a ∈ A, b ∈ B} Ta định nghĩa nghịch đảo A tập hợp A−1 = {a−1 | a ∈ A} Rõ ràng, A tập khác rỗng G A nhóm G AA = A A−1 = A Mệnh đề 1.1 Cho G nhóm Giả sử A B nhóm G Khi AB nhóm G AB = BA Chứng minh: Giả sử AB nhóm G Ta chứng minh AB = BA Thật vậy, với x ∈ AB x−1 ∈ AB, suy tồn a ∈ A b ∈ B cho x−1 = ab Do x = (x−1 )−1 = b−1 a−1 ∈ BA suy AB ⊆ BA Với y ∈ BA suy tồn c ∈ A d ∈ B cho y = dc Do y −1 = c−1 d−1 ∈ AB nên y ∈ AB, suy BA ⊆ AB Vậy AB = BA Đảo lại, giả sử AB = BA Ta chứng minh AB nhóm G Thật vậy, A, B nhóm G nên e ∈ A, e ∈ B suy e = ee ∈ AB Với x, y ∈ AB, ta có x = a1 b1 với a1 ∈ A, b1 ∈ B −1 y = a2 b2 với a2 ∈ A, b2 ∈ B Suy xy −1 = (a1 b1 )(a2 b2 )−1 = a1 (b1 b−1 a2 ) −1 −1 −1 Ta có b1 b−1 a2 ∈ BA nên b1 b2 a2 ∈ AB, suy tồn a3 ∈ A, b3 ∈ B cho −1 −1 b1 b−1 = a1 (a3 b3 ) = (a1 a3 )b3 ∈ AB Vậy AB nhóm a2 = a3 b3 Suy xy G  Suy |G/CoreG (A)| |SG/A | Hay [G : CoreG (A)] [G : A]! Mặt khác, [G : CoreG (A)] = [G : A][A : CoreG (A)] nên suy [G : A][A : CoreG (A)] [G : A]! Do [A : CoreG (A)] ([G : A] − 1)!  Hệ 1.6 Cho G nhóm A nhóm G Giả sử số [G : A] hữu hạn đặt [G : A] = n Khi (i) Nếu A C G xn ∈ A với x ∈ G (ii) Nếu A không chuẩn tắc G xn! ∈ A với x ∈ G Chứng minh: (i) Ta có [G : A] = |G/A| = n Với x ∈ G, ta có xA ∈ G/A Suy (xA)n = xn A = A Do xn ∈ A (ii) Ta có [G : CoreG (A)] ước [G : A]! = n! Khi đó, với x ∈ G, ta có xCoreG (A) ∈ G/CoreG (A) Suy (xCoreG (A))n! = xn! CoreG (A) = CoreG (A) Do xn! ∈ CoreG (A) ≤ A Vậy xn! ∈ A 1.5  NHÓM CON Á CHUẨN TẮC Định nghĩa 1.10 Cho G nhóm A nhóm G Ta nói A nhóm chuẩn tắc G tồn dãy hữu hạn nhóm A = A0 C A1 C C An−1 C An = G G kí hiệu A CC G Dãy nhóm gọi dãy chuẩn tắc A G Nếu n số nguyên khơng âm nhỏ thỏa mãn dãy n gọi chiều dài A G kí hiệu ls (A, G) Rõ ràng G nhóm chuẩn tắc G có chiều dài Một nhóm chuẩn tắc B G có chiều dài chuẩn tắc G 22 Cho G nhóm X tập hợp khác rỗng G Gọi X G,0 = G G,α X G,α+1 = X X ,α∈N \ X G,µ = X G,β β Khi ta có X G,i = X X G,i−1 H ≤ X Hr−i+1 ≤ Hr−ir−i+1 = Hr−i Do X G,i ≤ Hr−i với i = 0, r Suy X = X G,r Do X CC G X = X G,r Định lý 1.19 Cho G nhóm A, B, C nhóm G Nếu A CC B B CC C A CC C Chứng minh: Vì A CC B nên tồn dãy hữu hạn nhóm A = A0 C A1 C C An−1 C An = B B Mặt khác, B CC C nên nên tồn dãy hữu hạn nhóm B = B0 C B1 C C Bm−1 C Bm = C C Khi đó, nên tồn dãy hữu hạn nhóm A = A0 C A1 C C An−1 C An = B = B0 C B1 C C Bm−1 C Bm = C C Do A CC C  Định lý 1.20 Cho G nhóm A, B, C nhóm G Nếu A CC B A ∩ C CC B ∩ C Chứng minh: Vì A CC B nên tồn dãy hữu hạn nhóm A = A0 C A1 C C An−1 C An = B B Khi đó, tồn dãy hữu hạn nhóm A ∩ C = A0 ∩ C C A1 ∩ C C C An−1 ∩ C C An ∩ C = B ∩ C B ∩ C Do A ∩ C CC B ∩ C  23 Hệ 1.7 Cho G nhóm A ≤ B ≤ G Nếu A CC G A CC B Chứng minh: Vì A CC G nên suy A∩B CC G∩B Mặt khác, A ≤ B ≤ G nên suy A ∩ B = A G ∩ B = B Do A CC B  Hệ 1.8 Cho G nhóm Giả sử A B nhóm G Khi đó, A CC G B CC G A ∩ B CC G Chứng minh: Vì A CC G nên suy A ∩ B CC G ∩ B Vì B ≤ G nên suy A ∩ B CC B Mặt khác, B CC G nên A ∩ B CC G  Định lý 1.21 Cho G nhóm Giả sử A, B C nhóm G cho C C G Khi đó, A CC B AC CC BC Chứng minh: Vì A CC B nên tồn dãy hữu hạn nhóm A = A0 C A1 C C An−1 C An = B B Mặt khác, C C G nên nên tồn dãy hữu hạn nhóm AC = A0 C C A1 C C C An−1 C C An C = BC BC Do AC CC BC  Định lý 1.22 Cho G nhóm Giả sử A, B C nhóm G cho A ≤ B ≤ C A C C Khi B CC C B/A CC C/A Chứng minh: Giả sử B CC C Ta chứng minh B/A CC C/A Thật vậy, B CC C nên tồn dãy hữu hạn nhóm B = B0 C B1 C C Bn−1 C Bn = C C Vì A C C nên A C Bi với ≤ i ≤ n Khi đó, tồn dãy hữu hạn nhóm B/A = B0 /A C B1 /A C C Bn−1 /A C Bn /A = C/A C/A Do B/A CC C/A Đảo lại, giả sử B/A CC C/A Ta chứng minh B CC C Thật vậy, B/A CC C/A nên tồn dãy hữu hạn nhóm B/A = B0 /A C B1 /A C C Bn−1 /A C Bn /A = C/A C/A Suy tồn dãy hữu hạn nhóm B = B0 C B1 C C Bn−1 C Bn = C C Do B CC C  24 Định lý 1.23 Cho ϕ : G → H đồng cấu Khi (i) Nếu A CC G ϕ tồn cấu ϕ(A) CC H (ii) Nếu B CC H ϕ−1 (B) CC G Chứng minh: (i) Vì A CC G nên tồn dãy hữu hạn nhóm A = A0 C A1 C C An−1 C An = G G Mặt khác, ϕ tồn cấu nên ϕ(A) = ϕ(A0 ) C ϕ(A1 ) C C ϕ(An−1 ) C ϕ(An ) = ϕ(G) = H H Vậy ϕ(A) CC H (ii) Vì B CC H nên tồn dãy hữu hạn nhóm B = B0 C B1 C C Bn−1 C Bn = H H Mặt khác, ϕ đồng cấu nên ϕ−1 (B) = ϕ−1 (A0 ) C ϕ−1 (B1 ) C C ϕ−1 (Bn−1 ) C ϕ−1 (Bn ) = ϕ−1 (H) = G G Do ϕ−1 (B) CC G  25 CHƯƠNG CẤU TRÚC NHÓM CON GẦN Á CHUẨN TẮC Trong chương này, chúng tơi trình bày cấu trúc nhóm gần chuẩn tắc, liên hợp nhóm gần chuẩn tắc nhóm gần chuẩn tắc hữu hạn sinh 2.1 NHÓM CON GẦN Á CHUẨN TẮC Định nghĩa 2.1 Cho G nhóm A nhóm G Ta nói A nhóm gần chuẩn tắc G tồn dãy hữu hạn nhóm A = A0 ≤ A1 ≤ ≤ An−1 ≤ An = G G cho với ≤ i < n, Ai nhóm chuẩn tắc Ai+1 Ai có số hữu hạn Ai+1 Dãy nhóm gọi dãy gần chuẩn tắc A G Nếu n số ngun khơng âm nhỏ thỏa mãn dãy n gọi chiều dài A G kí hiệu la (A, G) Rõ ràng G nhóm gần chuẩn tắc G có chiều dài Một nhóm gần chuẩn tắc B G có chiều dài chuẩn tắc có số hữu hạn G Nếu A nhóm gần chuẩn tắc G ta kí hiệu A asn G Từ định nghĩa 2.1 ta có kết sau: Mệnh đề 2.1 Cho G nhóm Khi (i) Mọi nhóm chuẩn tắc G nhóm gần chuẩn tắc G (ii) Mọi nhóm chuẩn tắc G nhóm gần chuẩn tắc G (iii) Mọi nhóm có số hữu hạn G nhóm gần chuẩn tắc G (iv) Nếu G hữu hạn nhóm G nhóm gần chuẩn tắc G Ví dụ 2.1 Ta có h(1 2)i nhóm gần chuẩn tắc S3 S3 hữu hạn Tuy nhiên, h(1 2)i khơng nhóm chuẩn tắc S3 Thật vậy, với g = (1 3) ∈ S3 a = (1 2) ∈ h(1 2)i ta có gag −1 = (1 3)(1 2)(1 3)−1 = (2 3) ∈ / h(1 2)i 26 Ví dụ 2.2 Ta có h(1 2)i nhóm gần chuẩn tắc S3 Tuy nhiên, h(1 2)i khơng nhóm chuẩn tắc S3 Thật vậy, giả sử h(1 2)i CC S3 Khi đó, tồn dãy nhóm h(1 2)i = A0 C A1 C C An−1 C An = S3   Suy = |h(1 2)i||Ai | |Ai ||S3 | = với ≤ i ≤ n Do h(1 2)i C S3 (mâu thuẫn h(1 2)i khơng nhóm chuẩn tắc S3 ) Định lý 2.1 Cho G nhóm A, B, C nhóm G Khi (i) Nếu A nhóm gần chuẩn tắc B B nhóm gần chuẩn tắc C A nhóm gần chuẩn tắc C (ii) Nếu A nhóm gần chuẩn tắc B A ∩ C nhóm gần chuẩn tắc B ∩ C (iii) Nếu A ≤ B ≤ C A nhóm gần chuẩn tắc C A nhóm gần chuẩn tắc B (iv) Nếu A nhóm gần chuẩn tắc C B nhóm gần chuẩn tắc C A ∩ B nhóm gần chuẩn tắc C (v) Nếu A nhóm gần chuẩn tắc B C C G AC nhóm gần chuẩn tắc BC (vi) Nếu A ≤ B ≤ C A C G B nhóm gần chuẩn tắc C B/A nhóm gần chuẩn tắc C/A Chứng minh: (i) Vì A asn B nên tồn dãy hữu hạn nhóm A = A0 ≤ A1 ≤ ≤ An−1 ≤ An = B B cho với ≤ i < n, Ai C Ai+1 [Ai+1 : Ai ] < ∞ Vì B asn C nên tồn dãy hữu hạn nhóm B = B0 ≤ B1 ≤ ≤ Bm−1 ≤ Bm = C C cho với ≤ j < m, Bj C Bj+1 [Bj+1 : Bj ] < ∞ Khi dãy nhóm A = A0 ≤ A1 ≤ ≤ An−1 ≤ An = B = B0 ≤ B1 ≤ ≤ Bm−1 ≤ Bm = C C thỏa Ai C Ai+1 [Ai+1 : Ai ] < ∞ với ≤ i < n Bj C Bj+1 [Bj+1 : Bj ] < ∞ với ≤ j < m Vậy A asn C 27 (ii) Vì A asn B nên tồn dãy hữu hạn nhóm A = A0 ≤ A1 ≤ ≤ An−1 ≤ An = B B cho với ≤ i < n, Ai C Ai+1 [Ai+1 : Ai ] < ∞ Khi đó, tồn dãy hữu hạn nhóm A ∩ C = A0 ∩ C ≤ A1 ∩ C ≤ ≤ An−1 ∩ C ≤ An ∩ C = B ∩ C B ∩ C Mặt khác, với ≤ i < n, Ai C Ai+1 Ai ∩ C C Ai+1 ∩ C Định lý 1.7, [Ai+1 : Ai ] < ∞ [Ai+1 ∩ C : Ai ∩ C] < ∞ Bổ đề 1.1 Vậy A ∩ C asn B ∩ C (iii) Vì A asn C nên A ∩ B asn C ∩ B Mặt khác, A ≤ B ≤ C nên A ∩ B = A C ∩ B = B Do A asn B (iv) Vì A asn C nên A∩B asn C ∩B Suy A∩B asn B Mặt khác, B asn C nên A ∩ B asn C (v) Vì A asn B nên tồn dãy hữu hạn nhóm A = A0 ≤ A1 ≤ ≤ An−1 ≤ An = B B cho với ≤ i < n, Ai C Ai+1 [Ai+1 : Ai ] < ∞ Mặt khác, C C G nên tồn dãy hữu hạn nhóm AC = A0 C ≤ A1 C ≤ ≤ An−1 C ≤ An C = BC BC Với ≤ i < n, Ai C Ai+1 Ai C C Ai+1 C Định lý 1.7, [Ai+1 : Ai ] < ∞ [Ai+1 C : Ai C] < ∞ Bổ đề 1.1 Vậy AC asn BC (vi) Giả sử B asn C Ta chứng minh B/A asn C/A Thật vậy, B asn C nên tồn dãy hữu hạn nhóm B = B0 ≤ B1 ≤ ≤ Bn−1 ≤ Bn = C C cho với ≤ i < n, Bi C Bi+1 [Bi+1 : Bi ] < ∞ Vì A C G nên A C Bi với ≤ i ≤ n Do tồn dãy hữu hạn nhóm B/A = B0 /A ≤ B1 /A ≤ ≤ Bn−1 /A ≤ Bn /A = C/A C/A Với ≤ i < n, Bi C Bi+1 Bi /A C Bi+1 /A Hệ 1.4, [Bi+1 : Bi ] < ∞ [Bi+1 /A : Bi /A] = [Bi+1 : Bi ] < ∞ Định lý 1.13 Vậy B/A asn C/A 28 Đảo lại, giả sử B/A asn C/A Ta chứng minh B asn C Thật vậy, B/A asn C/A nên tồn dãy hữu hạn nhóm B/A = B0 /A ≤ B1 /A ≤ ≤ Bn−1 /A ≤ Bn /A = C/A C/A cho với ≤ i < n, Bi /A C Bi+1 /A, [Bi+1 /A : Bi /A] < ∞ Do tồn dãy hữu hạn nhóm B = B0 ≤ B1 ≤ ≤ Bn−1 ≤ Bn = C C Với ≤ i < n, Bi /A C Bi+1 /A Bi C Bi+1 Hệ 1.4, [Bi+1 /A : Bi /A] < ∞ [Bi+1 : Bi ] = [Bi+1 /A : Bi /A] < ∞ Định lý 1.13 Vậy B asn C  Định lý 2.2 Cho ϕ : G −→ H đồng cấu nhóm Khi (i) Nếu ϕ tồn cấu A nhóm gần chuẩn tắc G ϕ(A) nhóm gần chuẩn tắc H (ii) Nếu B nhóm gần chuẩn tắc H ϕ−1 (B) nhóm gần chuẩn tắc G Chứng minh: (i) Vì A asn G nên tồn dãy hữu hạn nhóm A = A0 ≤ A1 ≤ ≤ An−1 ≤ An = G G cho với ≤ i < n, Ai C Ai+1 [Ai+1 : Ai ] < ∞ Mặt khác, ϕ tồn cấu nên suy ϕ(A) = ϕ(A0 ) ≤ ϕ(A1 ) ≤ ≤ ϕ(An−1 ) ≤ ϕ(An ) = ϕ(G) = H Với ≤ i < n, Ai C Ai+1 ϕ(Ai ) C ϕ(Ai+1 ) Hệ 1.5, [Ai+1 : Ai ] < ∞ [ϕ(Ai+1 ) : ϕ(Ai )] ≤ [Ai+1 : Ai ] < ∞ Hệ 1.5 Vậy ϕ(A) asn H (ii) Vì B asn H nên tồn dãy hữu hạn nhóm B = B0 ≤ B1 ≤ ≤ Bn−1 ≤ Bn = H H cho với ≤ i < n, Bi C Bi+1 [Bi+1 : Bi ] < ∞ Mặt khác, ϕ đồng cấu nên suy ϕ−1 (B) = ϕ−1 (B0 ) ≤ ϕ−1 (B1 ) ≤ ≤ ϕ−1 (Bn ) = ϕ−1 (H) = G Với ≤ i < n, Bi C Bi+1 ϕ−1 (Bi ) C ϕ−1 (Bi+1 ) Hệ 1.5, [Bi+1 : Bi ] < ∞ [ϕ−1 (Bi+1 ) : ϕ−1 (Bi )] ≤ [Bi+1 : Bi ] < ∞ Hệ 1.5 Vậy ϕ−1 (B) asn G  29