HÌNH HỌC PHI EUCLID 1 Nguồn gốc Hình học phi Euclid là bộ môn hình học dựa trên cơ sở phủ nhận ít nhất một trong số những tiên đề Euclid Hình học phi Euclid được bắt đầu bằng những công trình nghiên c[.]
HÌNH HỌC PHI EUCLID Nguồn gốc : Hình học phi Euclid mơn hình học dựa sở phủ nhận số tiên đề Euclid Hình học phi Euclid bắt đầu cơng trình nghiên cứu Lobachevsky (được Lobachevsky gọi hình học trừu tượng) phát triển Bolyai, Gauss, Riemann Nội dung : Hình học cầu (Spherical) - Mơ hình Riemann: Xét mặt cầu Σ tâm O, bán kính R Trong mơ hình Riemann, Σ xem mặt phẳng, điểm tất điểm Euclid Σ, đường thẳng đường tròn lớn Σ Với cách hiểu điểm, đường thẳng mặt phẳng trên, ta dùng Hình học Euclid để kiểm chứng mơ hình Riemann hồn tồn thoả tiên đề đầu Đối với tiên đề 2, ‘nối vơ hạn’ tức quay vịng quanh mặt cầu vơ hạn lần (khơng có trái với nội dung tiên đề này, dĩ nhiên khái niệm “điểm nằm điểm khác” cần phải điều chỉnh) Dễ thấy tiên đề khơng cịn nữa: khơng tồn đường thẳng qua điểm đường thẳng cho sẵn song song với đường thẳng (2 đường trịn lớn có điểm chung – mặt phẳng chứa đuờng tròn lớn có điểm chung tâm mặt cầu) Khoảng cách d(A,B) điểm A B độ dài cung tròn AB đường tròn lớn: d(A,B) = R.α (α số đo góc AOB tính radian) Dù với định nghĩa khoảng cách mới, đuờng tròn Riemann đường trịn Euclid Góc đường thẳng góc đường trịn lớn [góc tiếp tuyến giao điểm (= góc phẳng nhị diện tạo mặt phẳng chứa đường tròn lớn)] Trong mơ hình đa giác có số cạnh nhỏ tam giác mà nhị giác (biangle) hay (vỏ) múi cầu, cịn tổng góc tam giác ABC lớn 180° Gọi α, β γ số đo (tính bằn radian) góc tam giác ABC ta có α + β + γ = π + dt(ΔABC)/R² (định lí Gerard)ABC)/R² (định lí Gerard) Ví dụ: tam giác ABC hình sau (AB kinh tuyến 0°, AC kinh tuyến 90° BC xích đạo) có tổng số góc 270º Từ công thức Gerard dễ thấy tam giác ABC có kích thước vừa phải bán kính mặt cầu R thật lớn tổng góc tam giác gần 180° Hình học Hyperbolic: a) Mơ hình Đĩa Poincaré đơn giản: Xét đuờng trịn C mặt phẳng Euclid, khơng tính tổng qt chọn bán kính Gọi Ω đĩa trịn mở xác định C (khơng chứa điềm đường trịn biên C) Trong mơ hình Poincaré, Ω coi mặt phẳng, điểm tất điểm Euclid Ω Đường thẳng dây cung (khơng kể đầu mút) đường trịn C Với cách hiểu điểm, đường thẳng, mặt phẳng trên, dễ thấy tiên đề khơng cịn thồ mãn Xem hình vẽ đây: Trong hình vẽ này, tất đuờng thẳng m nằm góc tạo m1 m2 (kể m1 m2) song song với l Có người đề nghị nói m1 song song phía phải với l, m2 song song phía trái với l L R xem điểm vô tận [nếu hiểu đường thẳng song song đường thẳng gặp vô tận (∞)] Dĩ nhiên, mơ hình đơn giản nhằm cho thấy tiên đề "hiển nhiên", nên khơng có điều chỉnh thích hợp định nghĩa khoảng cách tiên đề (về đường tròn) chưa thoả mơ hình b) Mơ hình Đĩa Poincaré: Xét đuờng trịn C mặt phẳng Euclid, khơng tính tổng qt chọn bán kính Gọi Ω đĩa trịn mở xác định C (khơng chứa điểm đường trịn biên C) Trong mơ hình Poincaré, Ω coi mặt phẳng, điểm tất điểm Euclid Ω Đường thẳng phần Ω (i) đường kính C, (ii) đường trịn vng góc (trực giao) với C (2 tiếp tuyến giao điểm C đường trịn vng góc nhau) Với cách hiểu điểm đường thẳng mặt phẳng ta kiểm chứng Hình học Euclid tiên đề “ tồn đường thẳng qua điểm phân biệt” cịn thoả mản [có thể chứng minh điều dễ dàng Hình học Giải tích (toạ độ)] Tiên đề “mỗi đoạn thẳng kéo cách vô hạn phía” thoả mãn Ω đĩa mở (lưu ý [i]khi nói tới đường vơ hạn ta thường nghĩ ‘kéo dài ra’ mãi, thật phải hiểu đường vô hạn đường ‘khơng có điểm mút’ ‘Vơ hạn’ ‘khơng có điểm mút’ khơng có nghĩa )… Định nghĩa đường thẳng song song hoàn toàn tương tự cũ (khơng có điểm chung) Tuy nhiên, kiểm chứng tiên đề song song khơng cịn thoả mãn định lí mà chứng minh phải sử dụng tiên đề khơng cịn (chẳng hạn đường thẳng song song đường thẳng thứ ba chưa hẳn song song nhau…) Tiên đề song song phải chỉnh lại thành: Qua điểm M khơng nằm đường thẳng a tồn hai đường thẳng song song với a Ta thể chứng minh tồn vô số đường thẳng song song với l khơng phải có đường tiên đề, xem minh hoạ duới đây: Trong hình vẽ trên, tất đưịng thẳng m qua M nằm góc xác định m1 m2 (kể cà m1 m2) song song với a Cho điểm A B mặt phẳng Ω, hai đỉểm xác định đường thẳng (phần đường kính cung trịn Ω) đường thẳng ‘tiếp cận’ C điểm P Q Khoảng cách d(A,B) đìểm AB định nghĩa sau: d(A,B) =| ln(AP:AQ/BP:BQ)| với AP, AQ, BP BQ khoảng cách theo nghĩa Hình học Euclid, ln logarithm tự nhiên [Có thể kiểm chứng định nghĩa khơng phụ thuộc việc gọi tên điểm P Q, thoả mản yêu cầu định nghĩa khoảng cách: d(A,A) = 0, d(A,B) = d(B,A) d(A,C) ≤ d(A,B) + d(B,C)] Từ định nghĩa khoảng cách ta định nghĩa đuờng trịn hồn tồn tương tự định nghĩa Hình học Euclid Số đo góc đuờng thẳng hình học số đo góc đường cong (góc tạo tiếp tuyến đuờng cong điểm chung) đuờng thẳng với đuờng cong theo Hình học Euclid (góc tạo tiếp tuyến đường cong điểm chung với đường thẳng) Tam giác định nghĩa tương tự cũ Tuy nhiên đây, tổng góc tam giác khơng q 180° c) Mơ hình nửa mặt phẳng trên: Cho đường thẳng XY mặt phẳng Euclid, khơng tính tổng qt giả sử XY đuờng thẳng nằm ngang (trục hoành) Gọi Ψ nửa mặt phẳng mở (khơng chứa đìểm đường thẳng XY) Trong mơ hình Ψ coi mặt phẳng Điểm tất điểm Euclid Ψ Đường thẳng phần nằm Ψ (i) đường trịn có tâm XY, (ii) đường thẳng vng góc với XY Cho điểm A B mặt phẳng Ψ, tồn đường thẳng qua A B (ii) đường thẳng AB vng góc với XY, gọi giao điểm chúng P; (iii) đường thẳng nửa đường tròn mở, gọi giao điểm đường tròn tương ứng XY P Q Khoảng cách d(A,B) điểm A B định nghĩa sau: • d(A,B) = |ln(PA/PB)| cho trường hợp (i) • d(A,B) = |ln(PA:QA/PB:QB)| cho trường hợp (ii) Đường trịn số đo góc định nghĩa tương tự mơ hình Poincaré Mọi kết tìm đươc mơ hình Poincaré cho mơ hình nửa mặt phẳng Thật mơ hình trường hợp đặc biệt mơ hình Poincaré (xem đường thẳng XY đường trịn có tâm vơ tận) Trích nguồn tham khảo : https://vi.wikipedia.org/wiki/H%C3%ACnh_h%E1%BB %8Dc_phi_Euclid https://docs.google.com/document/d/ 1RN3KtzDK_cuD_wtLgmAqLEWXTUesdYHmeEZoXAvmi1I/edit