Sự ra đời của hình học phi EUCLIDE (tt)

Mục lục Lời cảm ơn MỞ ĐẦU SỰ RA ĐỜI CỦA HÌNH HỌC PHI EUCLIDE 1.1 Phương pháp tiên đề 1.2 Hình học Euclide 1.3 Vấn đề tiên đề 1.4 Sự đời hình học phi Euclide 11 HÌNH HỌC PHI EUCLIDE 2.1 2.2 2.3 16 Hình học giả Euclide 16 2.1.1 Không gian vectơ giả Euclide 16 2.1.2 Không gian giả Euclide 18 Hình học Lobachevsky (hình học Hyperbolic) 19 2.2.1 Không gian Lobachevsky 19 2.2.2 Các phép biến đổi đẳng cự không gian H n 20 2.2.3 Khoảng cách hai điểm H n 21 2.2.4 Góc hai đường thẳng 23 2.2.5 Siêu cầu, siêu mặt cách siêu mặt cực hạn 28 2.2.6 Một số tính chất chung siêu cầu siêu mặt cách 29 2.2.7 Ứng dụng hình học Hyperbolic 30 Hình học Elliptic 32 2.3.1 Không gian Elliptic 33 2.3.2 Khoảng cách 34 2.3.3 Góc hai đường thẳng 34 2.3.4 Ứng dụng hình học Elliptic 35 KẾT LUẬN 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO 38 Lời cảm ơn Được phân công khoa Khoa học Tự nhiên - Trường Đại học Quảng Bình hướng dẫn thầy giáo ThS Nguyễn Lê Trâm, thực đề tài: "Tìm hiểu hình học phi Euclide" Để hoàn thành khóa luận này, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn ThS Nguyễn Lê Trâm, giảng viên khoa Khoa học Tự nhiên - Trường Đại học Quảng Bình tận tình, chu đáo hướng dẫn thực khóa luận Qua đây, xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo nhiệt tình giảng dạy cho kiến thức kinh nghiệm quý báu suốt trình học tập rèn luyện trường Đại học Quảng Bình Tôi xin gửi lời cảm ơn đến toàn thể người thân gia đình bạn bè quan tâm, lo lắng, chăm sóc cho thời gian qua Trong trình thực khóa luận, cố gắng để hoàn thiện nội dung lẫn hình thức thiếu kinh nghiệm kiến thức có hạn nên tránh khỏi thiếu sót Tôi mong nhận góp ý thầy giáo, cô giáo bạn để khóa luận hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn ! Sinh viên Lê Thị Thanh Nhã MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Hình học hình thành từ lâu đời phát triển với ý tưởng phục vụ nhu cầu sống người Đến giai đoạn Euclide, người ta mở rộng thêm hiểu biết với tác phẩm Cơ tiếng có tất 13 quyển, trình bày cách xây dựng hình học phương pháp tiên đề Trong đó, có tiên đề với nội dung quan trọng Tuy nhiên, tiên đề dẫn đến nhiều nghi ngờ tranh cãi có thực tiên đề hay không? Hay chứng minh định lý? Việc tìm lời giải cho toán thu hút nhiều nhà toán học suốt thời gian dài Cho đến đầu kỷ 19, công trình nghiên cứu Nicolai Ivanovich Lobachevsky Janos Bolyal hình học phi Euclide (độc lập nghiên cứu đồng thời tìm ra) giải vấn đề, mở kỉ nguyên Toán học, Vật lý nhiều ngành khoa học khác có liên quan Nghiên cứu hình học phi Euclide thấy kết bất ngờ thú vị hoàn toàn khác với hình học Euclide, khác với mà tưởng tượng trực giác Với mong muốn giới thiệu, tìm hiểu hình học phi Euclide khác biệt hình học phi Euclide hình học Euclide mà học suốt trình học phổ thông, thầy giáo ThS Nguyễn Lê Trâm hướng dẫn chọn đề tài "Tìm hiểu hình học phi Euclide" làm đề tài khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Trong khóa luận tốt nghiệp này, nghiên cứu tổng quan hình học phi Euclide: Trình bày lịch sử đời hình học phi Euclide: giới thiệu phương pháp tiên đề, hệ tiên đề Euclide, vấn đề tiên đề đời hình học phi Euclide Trình bày số định nghĩa, tính chất hình học giả Euclide, hình học Hyperbolic hình học Elliptic Giới thiệu số ứng dụng tự nhiên đời sống hình học phi Euclide Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: hình học phi Euclide Phạm vi nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu đề tài lịch sử đời, số mô hình, ứng dụng tự nhiên đời sống hình học Euclide Phương pháp nghiên cứu - Đọc nghiên cứu tài liệu, giáo trình hình học phi Euclide - Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: tham khảo, lấy ý kiến góp ý giảng viên hướng dẫn Khoa học, giảng viên ThS Nguyễn Lê Trâm giảng viên khác Bộ môn Toán, khoa Khoa học Tự nhiên - Trường Đại học Quảng Bình Tầm quan trọng khoa học thực tiễn Khóa luận tài liệu tham khảo cho sinh viên chuyên ngành Toán có mong muốn tiếp tục tìm hiểu hình học phi Euclide Với thân tôi, khóa luận giúp tìm hiểu thêm loại hình học khác với hình học Euclide, tìm hiểu ứng dụng thực tế mà trước chưa biết đến Bố cục khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung khóa luận gồm hai chương: Chương 1: Sự đời hình học phi Euclide Chương trình bày phương pháp tiên đề, hình học Euclide tác phẩm Cơ bản, vấn đề tiên đề đời hình học phi Euclide Chương 2: Hình học phi Euclide Chương trình bày số định nghĩa, định lý loại hình học phi Euclide: hình học giả Euclide, hình học Hyperbolic hình học Elliptic Chương SỰ RA ĐỜI CỦA HÌNH HỌC PHI EUCLIDE 1.1 Phương pháp tiên đề Xây dựng lý thuyết toán học phương pháp tiên đề nét đặc trưng toán học đại Tuy nhiên, phương pháp tiên đề Euclide - nhà toán học cổ Hy Lạp phát sử dụng trình bày hình học sơ cấp tác phẩm Cơ Muốn xây dựng lý thuyết khoa học phương pháp tiên đề, ta cần lựa chọn số khái niệm (khái niệm không định nghĩa) số tiên đề (mệnh đề mà ta công nhận đúng, không cần chứng minh) nói lên tính chất đặc trưng khái niệm Dựa vào khái niệm tiên đề lựa chọn, ta tìm thêm tính chất khái niệm bản, định nghĩa khái niệm nghiên cứu tính chất khái niệm quan hệ khái niệm Các kết thường viết dạng định lý, tức mệnh đề suy từ hệ tiên đề nguyên tắc kết luận logic Một lý thuyết suy diễn hệ tiên đề phải thỏa mãn điều kiện: phi mâu thuẫn, độc lập, đầy đủ - Tính phi mâu thuẫn (nhất quán): yêu cầu tính chất từ hệ tiên đề dùng suy diễn logic để suy kết mâu thuẫn với tiên đề hay hai kết mâu thuẫn với - Tính độc lập: yêu cầu tính chất tiên đề hệ hệ logic tiên đề lại, tức tiên đề thừa - Tính đầy đủ: Mọi định lý (mệnh đề không nằm hệ tiên đề) nói khái niệm có lý thuyết khoa học chứng minh suy diễn logic (không dựa vào trực giác) Để chứng minh tính phi mâu thuẫn hệ tiên đề đó, ta phải dựa vào tính phi mâu thuẫn hệ tiên đề khác Do đó, tính phi mâu thuẫn hệ tiên đề có tính chất tương đối Xây dựng lý thuyết toán học theo phương pháp tiên đề cách hình thức hóa Nếu hình thức hóa đối tượng nghiên cứu mà không hình thức hóa phương pháp suy diễn logic "nửa hình thức" Các lý thuyết toán học thường trình bày theo dạng Nếu hình thức hóa đối tượng nghiên cứu phương pháp suy diễn logic gọi "hình thức hóa hoàn toàn" Người ta thường nói: Phương pháp tiên đề tác phong toán học đại 1.2 Hình học Euclide Euclide nhà toán học tiếng thời kỳ Alexandria Tài liệu viết đời riêng ông lưu lại Người ta biết rằng, ông sống Alexandria vào thời gian trị vua Ptolemy I (306 - 283) Ptolemy hỏi Euclide: "Liệu có đường ngắn để hiểu hình học cách dễ dàng không?" Euclide trả lời: "Trong hình học đường dành riêng cho vua chúa" Khoảng 300 năm TCN, Euclide viết Cơ - sách gồm 13 tập coi giáo khoa vĩ đại từ trước tới Các tập Cơ trình bày toàn lý thuyết hình học - lý thuyết dẫn dắt nghiên cứu Toán học suốt 23 kỷ Hình học Euclide ý đồ trừu tượng hóa khái niệm không gian vật lý với mục tiêu sử dụng tiên đề, định đề, định lý để khảo sát tính chất chủ yếu không gian mà người thời cổ đại nghĩ không gian Trước hết, Euclide định nghĩa yếu tố hình học điểm, đường thẳng, mặt phẳng - khái niệm quen thuộc với theo học chương trình hình học sơ cấp ngày Sau đó, Euclide nêu năm tiên đề chủ yếu: Qua hai điểm vẽ đường thẳng; Một đường thẳng kéo dài mãi; Có thể vẽ đường tròn biết tâm bán kính nó; Mọi góc vuông nhau; Nếu đường thẳng cắt hai đường thẳng tạo nên góc phía có tổng nhỏ 180◦ , hai đường thẳng kéo dài cắt phía có hai góc có tổng nhỏ 180◦ 1.3 Vấn đề tiên đề Các cách phát biểu tương đương: • Tiên đề Playfair : "Qua điểm cho trước không nằm đường thẳng cho trước, có đường thẳng song song với đường thẳng cho" • "Tổng ba góc tam giác 180◦ ": cách phát biểu hệ tiên đề cách phát biểu dễ nhớ Trong Euclide sử dụng chủ yếu tiên đề chứng minh, tiên đề không sử dụng chứng minh Điều cho thấy rằng, định lý ông có giá trị tiên đề bị loại bỏ thay tiên đề khác phù hợp với tiên đề Ngay cách phát biểu tiên đề dài dòng, lủng củng, tiên đề ngắn gọn, súc tích Ngay từ Cơ đời, nhà hình học nghi ngờ cần thiết tính hiển nhiên tiên đề toàn lý thuyết Tiên đề có thật tiên đề hay không? Hay chứng minh định lý? John Playfair (1748 - 1819), nhà Toán học người Scotland Cách phát biểu tiên đề ông trở thành phổ biến hầu hết sách giáo khoa hình học giới sử dụng, kể Việt Nam Từ đó, tiên đề thường đồng với tên gọi Tiên đề đường thẳng song song Có vẻ Euclide băn khoăn vậy, ông cố trì hoãn việc áp dụng tiên đề vào việc chứng minh định lý Cho đến định lý thứ 29, dừng được, ông sử dụng vào chứng minh Tiên đề trở thành câu hỏi, thách thức nhà Toán học suốt 2000 năm từ Cơ sở đời Rất nhiều nhà Toán học cố gắng tìm cách chứng minh tiên đề Có thể nói, lịch sử Toán học chưa có vấn đề nhiều người nghiên cứu đến (từ kỷ II TCN kỷ XIX) Hầu hết nhà Toán học thất bại Họ tưởng chứng minh tiên đề 5, thực không phải, chứng minh họ sử dụng điều tương đương với tiên đề • Vua Ptolemy I (306 - 283 TCN): nhà vua viết sách bàn tiên đề rắc rối Euclide, tìm cách chứng minh tiên đề dựa tiên đề Đây cố gắng thông qua nguồn lịch sử mà biết ý đồ chứng minh tiên đề hệ tiên đề Euclide Do đó, Ptolemy cho chứng minh chứng tỏ tiên đề thừa • Tuy nhiên, đến kỷ V, Proclus (410 - 485) triết gia, nhà Toán học sử học Hy Lạp Khi trình bày công trình lịch sử Euclide, ông nhận định xác chứng minh Ptolemy thực sử dụng giả định khác tương đương với tiên đề 5: Qua điểm không nằm đường thẳng, kẻ đường thẳng song song với đường thẳng cho (chính xác tiên đề Playfair nói trên) Do chứng minh Ptolemy sai • Nasiraddin (1201 - 1274, nhà Thiên văn học Hulagu Khan) học giả nhận thấy tầm quan trọng tiên đề khác tương đương với tiên đề Euclide: Tổng góc tam giác 180◦ Như người trước, Nasiraddin cố gắng chứng minh tiên đề rắc rối Euclide hệ tiên đề trước Và người trước, Nasiraddin thất bại • Saccheri (một thầy tu dòng Jesuit, tác giả sách Euclides ob omni narvo Vindicatus - Vứt bỏ thiếu sót hình học Euclide) sử dụng phương pháp phản chứng, giả sử tiên đề sai, hi vọng tìm thấy mâu thuẫn Nhưng ông chẳng thấy mâu thuẫn cả, mà ngược lại thu kết khác thường, có đường 10 C thuộc H n nên C nằm (T ) Gọi U điểm liên hợp C (T ) Giả sử ma trận cột tọa độ C , U c u ta có ct I1 u = Đường thẳng xạ ảnh CU có phương trình: x = kc + lu, cắt (T ) hai điểm phân biệt nên phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: (kc + lu)t I1 (kc + lu) = hay (ct I1 c)k + (ut I1 u)l2 = C nằm (T ) nên ct I1 c < ⇒ ut I1 u > hay U nằm (T ) Mặt khác, A B nằm siêu phẳng đối cực C đường thẳng AB không cắt (T ), tức phương trình sau nghiệm thực: (ka + lb)t I1 (ka + lb) = hay (at I1 a)k + 2(at I1 b)kl + (bt I1 b)l2 = Như ta có: (at I1 b)2 < (at I1 a)(bt I1 b) hay |at I1 b| < (at I1 a)(bt I1 b) Do góc θ xác định Tính chất 2.2.2 (Các tính chất số đo góc)2 θ = ⇔ p ≡ q θ(p, q) = θ(q, p) Gọi I J giao điểm đường thẳng AB với (T), (I, J hai điểm phức liên hợp) ta có công thức Laguerre: cos θ = cos ln[A, B, I, J] 2i θ không thay đổi qua phép đẳng cự Hai đường thẳng p q gọi vuông góc (hoặc trực giao) với θ = π2 Điều xảy cos θ = 0, tức at I1 b = Đó A B liên hợp (T) Tài liệu tham khảo [1], trang 173 24 Cho điểm C nằm đường thẳng Lob p ∩ H n (p đường thẳng xạ ảnh) Ta gọi C điểm nằm p liên hợp với C , gọi γ siêu phẳng đối cực điểm C (T ) γ ∩ H n siêu phẳng Lob qua điểm C Ngoài đường thẳng Lob qua điểm C nằm γ vuông góc với đường thẳng Lob p ∩ H n Bởi vậy, ta nói siêu phẳng Lob γ ∩ H n vuông góc với đường thẳng Lob γ ∩ H n điểm C , nói đường thẳng Lob p ∩ H n vuông góc với siêu phẳng Lob γ ∩ H n điểm C Cho điểm A nằm siêu phẳng Lob α Khi có điểm A ∈ α cho đường thẳng AA vuông góc với siêu phẳng α Khi khoảng cách d(A, A ) gọi khoảng cách từ điểm A tới siêu phẳng α Định lí 2.2.1 (Tổng góc tam giác Hyperbolic) Tổng góc tam giác Hyperbolic bé 180◦ Chứng minh Ta xét trường hợp: Trường hợp : ABC nhọn (hoặc ABC vuông A) Gọi D E trung điểm AB AC Dựng BG, AF CH vuông góc với DE Xét BGD AF D có: BGD = AF D(= 90◦ , BG ⊥ DE, AF ⊥ DE) BDG = ADF (đối đỉnh) 25 DB = DA (D trung điểm AB ) Do đó: BGD = AF D Từ suy ra: BG = AF DBG = DAF (*) Tương tự, xét CEH AEF có: CHE = AF E(= 90◦ , CH ⊥ DE, AF ⊥ DE) CEH = AEF (đối đỉnh) AE = EC (E trung điểm AC ) Do đó: CEH = AEF Từ suy ra: CH = AF ECH = EAF (**) Từ (*) (**) suy ra: BG = CH BGHC tứ giác saccheri Ta có: ABC + ACB + BAC = ABC + ACB + (DAF + EAF ) = (ABC + DAF ) + (ACB + EAF ) = (ABC + DBG) + (ACB + ECH) = GBC + HCB (2.8) Như vậy, tổng ba góc tam giác ABC tổng góc đỉnh tứ giác saccheri nên trường hợp ABC nhọn vuông tổng góc ABC bé 180◦ Trường hợp : ABC tam giác tù Trong trường hợp ACB góc tù 26 Vẽ đường vuông góc từ C đến AB Đường cắt AB điểm D nằm hai điểm A B Đồng thời chia tam giác tù ABC thành hai tam giác: BCD ACD Ta có: ABC + ACB + BAC = DBC + (DCA + DCB) + DAC = (DBC + DCB) + (DCA + DAC) + (ADC + BDC − 180◦ ) = (DBC + DCB + BDC) + (DCA + DAC + ADC) − 180◦ < 180◦ + 180◦ − 180◦ = 180◦ (2.9) Theo định lý trên, hình học Hyperbolic, tổng ba góc tam giác bé 180◦ Sự thiếu hụt tam giác định nghĩa 180◦ trừ tổng góc tam giác Khi vẽ vài tam giác Hyperbolic, thiếu hụt chúng, ta nhận thấy với tam giác hỏ thiếu hụt nhỏ (tổng góc gần 180◦ ) Vì vậy, chu vi tam giác tiến gần đến tổng góc dần tiến đến 180◦ Điều phù hợp với ý tưởng mảng tương đối nhỏ Không gian Hyperbolic gần giống với hình học Euclide Ngược lại, nhận thầy tam giác lớn có thiếu hụt lớn Khi chiều dài cạnh tam giác gần đến vô cực, góc tam giác gần đến 0◦ thiếu hụt gần đến 180◦ 27 2.2.5 Siêu cầu, siêu mặt cách siêu mặt cực hạn Định nghĩa 2.2.1 Trong H n , cho điểm A cố định Tập hợp tất điểm X cách A khoảng r > không đổi gọi siêu cầu tâm A bán kính r Nếu ta kí hiệu ma trận cột tọa độ A X a x phương trình siêu cầu là: r (at I1 x)2 cosh = R (at I1 a)(at I1 x) hay cosh2 r t (a I1 a)(at I1 x) − (at I1 x)2 = R Phương trình nói cho ta siêu mặt bậc hai xạ ảnh (C) có tính chất: siêu phẳng đối cực A (C) trùng với siêu phẳng đối cực A (T ) (vì có phương trình at I1 x = 0) Ngược lại, chứng minh siêu mặt bậc hai xạ ảnh (S) có phương trình (xt I1 x) + (xt I1 x)2 = với (at I1 a) < (S) ∩ H n (nếu khác rỗng) siêu cầu H n Định nghĩa 2.2.2 Trong H n cho siêu phẳng Lob α = αt ∩ H n ( αt siêu phẳng xạ ảnh) Tập hợp điểm X cách α khoảng cách không đổi r gọi siêu mặt cách với sở α Ta giả sử siêu mặt αt có điểm đối cực là: A = (a0 : a1 : : an ) Khi αt có phương trình: −a0 x0 + a1 x1 + a2 x2 + + an xn = hay at I1 x = Với điểm X = (x0 : x1 : : xn ) ta gọi X giao điểm hai đường thẳng XA với α khoảng cách X X khoảng cách X α Điểm X có ma trận tọa độ cột x + ka X nằm α nên ta có at I1 (x + ka) = 0, hay at I1 x + (at I1 a)k = Chú ý điểm A −at I1 x t nằm (T ) nên a I1 a > 0, k = t a I1 a 28 Ta có: δ(X, X ) = r2 [xt I1 (x + ka)]2 r ⇔ cosh = R (xt I1 x)[(x + ka)t I1 (x + ka)] [xt I1 (x + ka)]2 = (xt I1 x)[xt I1 (x + ka)] xt I1 (x + ka) = xt I1 x (at I1 )k = 1+ t x I1 x Từ đó: (2.10) (2.11) r (at I1 x)k −(aI1 x)2 sinh = = t R xt I1 x (a I1 a)(xt I1 x) Như cuối ta được: r sinh2 (at I1 a)xt I1 x + (at I1 x)2 = R Phương trình cho ta siêu mặt bậc hai xạ ảnh (S), nó, siêu phẳng α’ có điểm đối cực A Vì vậy, (S) qua điểm vô tận siêu phẳng Lob α Tóm lại, siêu mặt cách siêu mặt bậc hai xạ ảnh tiếp với (T ) dọc theo siêu mặt α ∩ (T ) Ngược lại, chứng minh rằng: Nếu (S) siêu mặt bậc hai xạ ảnh P n có phương trình: xt I1 x + (at I1 a)2 = với at I1 a > (S) ∩ H n (nếu khác rỗng) mặt cách H n 2.2.6 Một số tính chất chung siêu cầu siêu mặt cách Nếu (C) siêu cầu tâm A H n đường thẳng Lob qua A gọi đường kính siêu cầu Như vậy, đường kính (C) làm thành bó đường thẳng Lob qua tâm (C) Nếu (S) siêu mặt cách H n với sở siêu phẳng α đường thẳng Lob vuông góc với α gọi đường kính (S) Các đường kính làm thành bó đường thẳng với tâm điểm đối cực siêu phẳng α Vì điểm đối cực α điểm lí tưởng nên bó thường gọi bó đường thẳng Lob phân kỳ 29 Ta chứng minh rằng: Siêu phẳng tiếp xúc siêu cầu (hoặc siêu mặt cách đều) điểm U vuông góc với đường kính qua U Thật vậy, siêu cầu mặt cách có phương trình: xt I1 x + (at I1 x)2 = 0, at I1 a = (nếu siêu cầu at I1 a < 0, siêu mặt cách at I1 a > 0) Siêu phẳng tiếp xúc điểm U có phương trình: ut I1 x + at I1 x = 0, hay (u + a)t I1 x = 0, u ma trận cột tọa độ điểm U Điểm M nằm đường thẳng AU có ma trận cột tọa độ u + a điểm đối cực siêu phẳng tiếp xúc đó, suy đường kính AU vuông góc với siêu phẳng tiếp xúc U Số Pi hình học Hyperbolic Ta kí hiệu số Pi hình học Euclide π , số Pi hình học Hyperbolic πh Số π số tỉ lệ chu vi đường tròn với đường kính Còn hình học Hyperbolic, số πh đường tròn xác định sau: πh = π sinh(r) r Trong đó, r bán kính đường tròn Hyperbolic Ta có nhận xét rằng: πh số r → π sinh(r) → hay πh → π r 2.2.7 Ứng dụng hình học Hyperbolic - Nghiên cứu quỹ đạo Thủy: Khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời lớn dụng cụ nhạy để đo lường khác hình học Euclide hình học Hyperbolic, nguyên nhân mức độ uốn lớn không gian Sao Thủy gần Mặt Trời nhất, vùng hấp dẫn mạnh Trái Đất, vậy, không gian bị uốn cong cách đáng kể vùng lân cận Với kính viễn vọng, khoảng cách Trái Đất Thủy cho phép thực đo lường xác vận động Quỹ đạo Thủy quanh Mặt Trời dự đoán xác ta sử dụng hình học Hyperbolic thay sử dụng hình học Euclide 30 - Hình học cá voi: Hãy tưởng tượng bạn cá voi Ánh sáng không hữu ích sâu thẳm đại dương tối Vì vậy, bạn truyền đạt trải nghiệm giới qua âm Khoảng cách ngắn hai điểm giới bạn đường sóng âm Với điều tương tự với đường thẳng Âm truyền với tốc độ khác lòng đại dương Ở độ sâu định, âm di chuyển với tốc độ tỉ lệ thuận với độ sâu mặt nước Vì vậy, sóng âm di chuyển không theo đường thẳng mà đường cong Sóng âm nhận từ cá voi A đến cá voi B nhanh xuống Thực ra, nghiên cứu chất "đường cong" này: Đó vòng cung đường tròn có tâm bề mặt đại dương! Hình học cá voi mà nói đến hình học Hyperbolic Từ việc nghiên cứu hình học sóng âm lòng đại dương, nhà sinh vật học thuận lợi dự đoán đường hoạt động cá voi 31 - Hình học Hyperbolic không gian "cong" đóng vai trò quan trọng thuyết tương đối rộng Einstein Dòng tư Einstein theo đường khởi đầu từ “Ý nghĩ hạnh phúc nhất” đời ông Ngay từ Sở cấp sáng chế Thụy Sĩ, ông tiến hành thí nghiệm tiếng Đó vòng tròn quay không gian Tâm vòng tròn cố định, đường biên chu vi quay tròn nhanh Einstein so sánh xem điều xảy số hệ quy chiếu, công cụ tiêu chuẩn ông sử dụng trình phát triển Thuyết tương đối đặc biệt Sử dụng Thuyết tương đối đặc biệt mình, Einstein kết luận đường biên vòng tròn bị co lại quay Có lực tác động lên đường biên vòng tròn – lực ly tâm – tác động tương tự tác động lực hấp dẫn Nhưng co ảnh hưởng đến đường biên vòng tròn làm cho đường kính không thay đổi Do đó, Einstein kết luận, kết luận làm ông phải ngạc nhiên, tỉ lệ chu vi đường kính không Pi Ông suy luận diện lực (hoặc trường) hấp dẫn, hình học không gian phi Euclide - Hình học Hyperbolic có nhiều ứng dụng phạm vi Topo lĩnh vực Toán học cao cấp 2.3 Hình học Elliptic Nhà vật lý toán học Đức C.F.Gauss (1777-1855) xây dựng hình học, mặt phẳng xác định bề mặt hình cầu có bán kính vô hạn; hình dung khái niệm so sánh với mặt 32 nước, Trái Đất hình cầu Euclide tưởng B.Riemann (1828-1866), người Đức, học trò Gauss Gottingen, tiếp tục công trình Gauss đề nghị xét lại hình học cổ điển cho phép xem hình học Elliptic trường hợp lý thuyết tổng quát 2.3.1 Không gian Elliptic Trong không gian xạ ảnh thực n chiều P n với mục tiêu xạ ảnh cho trước, xét siêu mặt trái xoan (T ) có phương trình: x20 + x21 + x22 + + x2n = 0, hay xt x = Ta có số định nghĩa sau: - Không gian P n với (T ) gọi không gian Elliptic n chiều, kí hiệu (P n , (T )) đơn giản P n - Siêu mặt (T ) gọi tuyệt đối không gian Elliptic P n - Phép biến đổi xạ ảnh P n bảo tồn tuyệt đối (T ) gọi phép đẳng cự không gian Elliptic - Tập hợp phép đẳng cự không gian Elliptic làm thành nhóm gọi nhóm đẳng cự - Hình học nhóm P n gọi hình học Elliptic n chiều - Mỗi m - phẳng xạ ảnh P n gọi m - phẳng không gian Elliptic 33 2.3.2 Khoảng cách Cho hai điểm A, B không gian Elliptic P n có ma trận cột tọa độ a b Khoảng cách hai điểm A B , kí hiệu ρ(A, B) định nghĩa công thức: ρ(A, B) cos = R ρ(A, B) π |at b| ,0 ≤ ≤ R (at a)(bt b) Trong đó, R số thực dương không phụ thuộc cặp điểm A, B Định nghĩa hợp lý vế phải biểu thức nằm đoạn [0, 1] Tính chất 2.3.1 (Các tính chất khoảng cách)3 ρ(A, B) bất biến qua phép đẳng cự ρ(A, B) = R π2 ⇔ at b = ⇔ A B liên hợp với (T ) Nếu A, B hai điểm phân biệt, đường thẳng AB cắt (T ) hai điểm P, Q (chúng hai điểm ảo liên hợp) ta có công thức: cos 2.3.3 ρ(A, B) = cos ln[A, B, C, D] R Góc hai đường thẳng Cho hai đường thẳng p q không gian Elliptic P n cắt C Gọi A B hai điểm nằm p q liên hợp với C (T ) Độ lớn góc hợp p q số ϕ(p, q) xác định công thức: cos ϕ(p, q) = |at b| π , ≤ ϕ(p, q) ≤ (at a)(bt b) Tính chất 2.3.2 (Các tính chất số đo góc)4 ϕ(p, q) = ϕ(q, p) Tài liệu tham khảo [1], trang 179 Tài liệu tham khảo [1], trang 180 34 ϕ(p, q) = ⇔ p q trùng ϕ(p, q) = π2 ⇔ hai điểm A, B liên hợp với (T ) Khi đó, ta nói hai đường thẳng p q vuông góc (hay trực giao) với Ta dễ dàng chứng minh tập hợp đường thẳng vuông góc với đường thẳng p A nằm siêu phẳng Siêu phẳng gọi vuông góc với đường thẳng p A Nếu I, J giao điểm đường thẳng AB với (T ) (chúng hai điểm ảo liên hợp) ta chứng minh công thức: ϕ(p, q) = cos ln[A, B, I, J] 2i Định lí 2.3.1 (Tổng góc tam giác Elliptic) Tổng góc tam giác Elliptic lớn 180◦ 2.3.4 Ứng dụng hình học Elliptic Hình học Elliptic phi công thuyền trưởng sử dụng họ vòng quanh giới Làm việc với hệ tọa độ cầu cho vài kết phi trực giác Ví dụ, bạn có biết đường bay ngắn từ LosAngeles đến Paris đường bay qua đảo Greenland? Tại bay phía bắc qua đảo Greenland lại đường tắt? Câu trả lời LosAngeles, đảo Greenland Paris thẳng hàng hình học cầu (Chúng nằm đường tròn lớn) 35 36 KẾT LUẬN Khóa luận tốt nghiệp thực hoàn thành nỗ lực cố gắng thân hướng dẫn, giúp đỡ ThS Nguyễn Lê Trâm Khóa luận trình bày nội dung sau : Trình bày lịch sử đời hình học phi Euclide Trình bày định nghĩa, tính chất ứng dụng hình học giả Euclide, hình học Hyperbolic hình học Elliptic Làm rõ vấn đề khác biệt hình học phi Euclide hình học Euclide Nêu số ứng dụng hình học phi Euclide tự nhiên đời sống Hướng mở rộng khóa luận: nghiên cứu sâu ứng dụng hình học phi Euclide lĩnh vực khác có liên quan vật lý, sinh học, thiên văn học 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1 ] Hình học xạ ảnh (2010), Văn Như Cương, Nhà xuất Đại học sư phạm [2 ] Giáo trình Lịch sử toán học (2007), Phạm Gia Đức - Phạm Đức Quang, Nhà xuất Đại học sư phạm [3 ] Lịch sử hình học (1977), Văn Như Cương, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật [4 ] Đại số tuyến tính (2003), Nguyễn Duy Thuận (chủ biên), Phí Mạnh Ban, Nông Quốc Chung, Nhà xuất Đại học sư phạm [5 ] Danh nhân toán học giới, Lê Hải Châu, Nhà xuất trẻ [6 ] Bách khoa toàn thư mở Wikipedia, (https://www.wikipedia.org/) [7 ] Wolfram Alpha, (http://www.wolframalpha.com/) 38 ... định lý loại hình học phi Euclide: hình học giả Euclide, hình học Hyperbolic hình học Elliptic Chương SỰ RA ĐỜI CỦA HÌNH HỌC PHI EUCLIDE 1.1 Phương pháp tiên đề Xây dựng lý thuyết toán học phương... chương: Chương 1: Sự đời hình học phi Euclide Chương trình bày phương pháp tiên đề, hình học Euclide tác phẩm Cơ bản, vấn đề tiên đề đời hình học phi Euclide Chương 2: Hình học phi Euclide Chương... tìm hiểu hình học phi Euclide khác biệt hình học phi Euclide hình học Euclide mà học suốt trình học phổ thông, thầy giáo ThS Nguyễn Lê Trâm hướng dẫn chọn đề tài "Tìm hiểu hình học phi Euclide"