v4.3 GN
w
TRUONG BE: HOC GIAO THONG VAN TẢI-Cđ SỞ 2
THU VIEN 001418 CƠ KỸ THUẬT
LÊ RHƯỚC NINH - AN HIỆP
*x##
( TẬP 1)
TRUONG DAI HOC GIAO THONG VAN TAI HA NOI - 1998
Trang 3
LOI NOI DAU
_ Giáo trình "Cơ kỹ thuột" giới thiệu các khói niệm uà kiến thúc cơ bản uề Cơ học lý |
thuyết, Súc bền vat liéu, Nguyén ly may via chi tiét may Giáo trình được biên soợạn theo ˆ - chương trình mơn học Cơ kỹ thuột dùng cho sinh uiên cóc ngành không cơ khi của trường
Đại học giao thông uận tải /
— Khi biên soợạn giáo trình này cả thú tự lẫn nội dụng chúng tôi đã thực hiện theo đề
cương chỉ tiết nôn học Cơ kỹ thuật dã được bộ môn Kỹ thuật Máy thơng qua
' Giáo trình được uiết cho dối tượng có số tiết dài nhất (150 tiết) Đối uới các lớp có 86 tiét it hơn có thể rút gọn dé dang theo đề cương chỉ tiết đã được bộ môn Kỹ thuật may
thông qua (105 tiét, 75 tiét)
- Khi biên soạn chúng tôi cố gắng trình bày rõ rùng, chỉ tiết, dễ hiểu uà chặt chẽ sœo cho sinh uiên cóc lớp tại chúc có thể tự học Trong từng chương chúng tôi đều đưa ra cúc u¿ dụ; cuối mỗi chương đều có cóc bời tập mẫu nhằm củng cố uà mở rộng kiến thúc
-_ Giáo trình gồm tất cả 29 chương được biên soạn thành 2 tap Tép I gdm 15 chuong
dau do PGS PTS LE PHUOC NINH bién soan Tép I gồm 14 chương, tròng đó: ˆ
PTS AN HIEP viét 9 chuong (chuong 16, 17, 18, 19, 20, 22,.27, 28 va 29); _ PGS PTS LE PHUỐC NINH uiết các chương còn lại (21, 23, 24, 25 va 26)
Chúng tôi chân thành cảm ơn tộp thể bộ môn Kỹ thuật máy của trường Đại học giao thông uận tải đã đọc va góp ý hiến cho bản, thảo nhằm nông cao chất lượng biên soạn +
Trong q trình biên soạn 0ò in ốn, chắc chắn Giáo trình khơng tránh khỏi những |
thiểu sót Chúng tôi mong nhận được ý kiến xôy dựng của dồng nghiệp uò bạn đọc
ca ị
Hà nội, tháng 5 năm 1998 so 1
‘Cac tac gia |
|
Trang 5
CHUONG I
KHÁI NIỆM CÓ BẢN VÀ TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC
"
1.1- KHÁI NIỆM CÓ BẢN
1- Tĩnh học và các bài toán tĩnh học
_ Tính học nghiên cứu sự cân bằng của các vật rắn dưới tác dụng của lực và phương
pháp giải các bài toán thực tế có liên quan tới các cơng trình xây dựng và cơ khí
Tinh học xét hai bài toán cơ bản: `
a) Thay hệ lực cho trước tác dụng lên một vật rắn bằng hệ lực khác hoặc bằng một lực tương đương với hệ lực đó
b) Các điều kiện chung để vật rắn dưới tác dụng của lực vẫn ở trạng thái tỉnh hoặc chuyển động thẳng đều Từ đó suy ra các điều kiện cân bằng của lực tác dụng lên vật rắn Bài toán thứ nhất của tỉnh học được giải bằng cách cộng các lực Để giải bài toán thứ hai cần phái lập các phương trình cân bằng thích hợp với hệ lực cho trước
Trong tĩnh học các bài toán đặt ra được giải hoặc bằng phương pháp giải tích, hoặc
bằng phương pháp đồ thị ‘ ,
e
2- Các khái niệm cø bản
Trong tĩnh học thường gặp 3 khái niệm cơ bản: Vật rắn tuyệt đối, lực và trạng thái cân bằng
a) Vat ran tuyét đối:
Vật rắn có hình dạng và kích thước khơng thay đổi khi chịu tác dụng e của lực được gọi là vật rấn tuyệt đối
Vật rắt tuyệt đối là mơ hình lý tưởng Thực tế các vật rắn khi chịu lực đều bị biến dạng song đa số các trường hợp biến dạng đó rất nhỏ có thể bỏ qua khi nghiên cứu các hiện tượng đơn giản mà kết quả thu được vẫn đảm bảo độ chính xác thỏa mãn các yêu cầu kỹ thuật Phần sau của giáo trình này sẽ xét tới các vật rắn biến dạng
b) Lực:
Lực là tác dụng qua lại của các vật thể hoặc từ môi trường xung quanh lên vật t thể được xót khiến cho trạng thái động học của vật thay đổi
Lực được đặc trưng bởi 3 yếu tố: điểm đặt, phương chiều và trị số
CKT.T1-5 ©
Trang 6
Lực là một đại lượng véc tơ Véc tơ
lực có phương chiều trùng với phương chiềuscủa lực, có độ dài tỷ lệ với độ lớn của lực Véc tơ lực được ký hiệu bằng
tên của fc với đấu mũi tên ở trên +
(FP, F tương ứng độ lớn của lực
được ký hiệu là P, F còn đường thẳng,
chứa véc tơ lực được gọi là đường tác
dụng của lực (đường A trên hình 1-1)
nộ Hình 1-1
©) Trạng thái cên bằng:
Vật rắn ở trạng thái cân bằng khi nó đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều đối với hệ qui chiếu (hệ trục tọa độ chọn làm chuẩn) Trạng thái đứng yên hoặc chuyển động của” vật luôn mang tính tương đối vì một vật:so với vật này là đứng yên nhưng so với vật khác
lại chuyển động Để xác định vị trí và trạng thái của vật ta cần so sánh nó với vật thể
khác trên đó gắn hệ tọa độ gọi là hệ qui chiếu Hệ qui chiếu được chọn tùy ý -
1-2 TIEN DE TINH HOC
‘Qua qua trình quan sát và thực nghiệm trạng thái cân bằng và tác động qua lại của
các vật thể, người ta rút ra một số tiên đề làm cơ sở nghiên cứu tính học- Dựa trên các
tiên đề cơ bản đó có thể suy ra và chứng mỉnh các định lý, các phương trình tính học 1- Tiên đề 1: Tiên đề hai lực cân bằng
Điều kiện cần và đủ để hai lực tác dụng lên một vật rắn cân bằng là hai lực đó phải cùng phương, ngược chiều và có độ lớn bằng nhau:
R= -F,
Hinh 1-2
Từ tiên đề này, ta thấy: Vật rắn chịu tác dụng của một lực khöng thể cân bằng Muốn cân bằng it nhất phải có hai lực
2- Tiên đề 2: Thêm và bớt lực
Trang 7
Tác dụng của một hệ lực lên một vật rắn không thay đổi khi ta thêm vào (hoặc bớt di) hai luc cân bang nhau
Nếu có hệ gồm n lực tác dụng lên vật Ÿ ; F, va F đặt thêm vào đó 2 lựẻ cân bằng F và ŸF' thì hệ lực mới gồm (n + 2) lực, ta có: ' -
(FF Fo) = (F, PP, FF)
Mat khác, nếu trong hệ F, , F, we F có 2 lực F , F, can bang thi: (CF, F F,) = C8, F, FD
Như vậy, hai hệ lực khác nhau bởi một hệ lực cân bằng thì tương đương
Từ 2 tiên đề trên ta suy ra hệ quả: tác dụng của một lực lên một vật rắn không thay đổi khi ta trượt lực trên đường tác dụng của nó
fe
A) b> oD
Hinh 1-3
Thật vậy, giả sử cớ lực F tac dung lén vat ran 6 diém A (hinh 1- 3a) Tại điểm B nào dé trén duéng tac dung cua luc F, ta dat thém vào 2 lực cân bang F ¡ và F Hai luc nay cùng phương với lực F va cùng có trị số bằng trị số của lực F Theo tién dé 2:
Fos (F, F,, F)
Hai luc F va F, can bằng nhau (theo tiên đề 1), nên theo tiên đề 2 ta lại có thể bớt
2 lực này và cớ: Sa
Fo = (F, FF) = F, thinh 1-30) `
F, chinh la F trượt từ A tới B Như vậy: Lực tác dụng lên vật rắn tuyệt đối được biểu điễn bằng véc tơ trượt
- -3« Tiên đề 3: Tiền đề hình bình hành lực _
Hai lực đặt tại cùng một điểm trên vật rắn có hợp lực đặt tại cùng điểm ấy và biểu diễn bởi đường chéo của hình bỉnh hành cớ hai cạnh là hai lực đó (hình 1-4)
R= F,+ F, \
Trang 8
:NỖ : `
4- Tiên đề 4: Tiên đề tương tác
Lực tác dung và phản lực là hai lực cố cùng phương, ngược chiều và cùng độ lớn Điều đó có nghĩa 1a: Néu vat A tac dung lên vật B lực F thì vật B sẽ tác dụng lên
vật A lực F2 tại chính điểm dé va Th=.F
Can chú ý: - bực táể dụng và phản luc khéng phải là hai lực cân bằng nhau vÌ chúng không tác dụng lên cùng một vật mà lên hai vật khác nhau
1-3 LIÊN KẾT VÀ PHẢN LỰC LIÊN KẾT
1- Khái niệm và định nghĩa a) Vat tu do va vat không tự do:
_ Vật rắn có thể thực hiện mọi di chuyển trong không gian gọi là vật tự do
Nếu vật, không thể di chuyển theo một phương nào đó của khơng gian thì nó được gọi la vat khong tu-do hay vat chiu lien kết ‘ ca oo
b) Liên hết va phản lực liên kết:
Những điều kiện cản trở chuyển dong | tu do của vật được gọi là liên kết “Vat gay ra cân trở chuyển động của vật khảo sát được gọi là vật gây liên kết
Ví dụ: Quyển sách đặt trên mặt bàn nằm ngang là vật chịu liên kết vì chuyển động thẳng đứng xuống phía dưới của nó bị cân trở Quyển sách đóng vai trò vật khảo sát còn bàn là vật gây liên kết
Các lực đặc trưng cho tác dụng qua lại giữa các vật có liên kết với nhau tại chỗ tiếp xúc gọi là các lực liên kết
Luc lién kết do các vật gây liên kết tác dụng lên vật khảo sát (chịu liên Xe được gọi
+
là phán lực liên kết ¬ -— sẻ Huy hờn,
Các lực do vật chịu liên kết tác dụng lên vat gay liền kết được gọi là: áp lực
Phan lực liên kết chính là lực làm cản trở chuyển động tự do của vật khảo sát
8-CKT.T1
Trang 9
©) Tính chất của phản, lực lien’ rate
Phan luc lên kết bao giờ cũng dat lên vật “khảo sát tại chỗ tiếp x xúc với vật t gay lién két
sat
- Trị số của | phan’ lực liên kết phụ thuộc vào các lực tác dụng lên vật khảo sát
Qua các tính chất trên, ta thấy: phản lực liên kết là loại lực bị động, khác với các ‘luc tác ở dụng lên vật khảo sát là các lực đã cho hay, lực chủ ¡ động ,
2- Tiên đề giải phóng liên kết: Tiên đề ð.'
- Các vật không tự do (vật chịu liền kết) có thể xem là vật tự do nếu giải phóng các liên kết, thay tác dụng của các liên kết được giải phóng bằng các phản lực liên kết tương
ứng
Nhờ tiến đề giải phóng liên kết, các tiên đề phát biểu cho vật rắn tự do vẫn đúng với vật rắn chịu liên kết Khi ấy vật rắn chịu liên kết được xem là vật tự do chịu tác dụng - của hệ lực gồm các lực chủ động tác dụng lên nó và các phản lực liên kết tương ứng với
các liên kết được giải phóng |
Tién dé giải phóng liên kết phù hợp v với i bai toán tỉnh học lẫn bài toán động lực học
3- Một SỐ liên kết cơ bản thường gặp:
Cần chú ý rằng c các phản lực liên kết có tính chất bị động, chúng phụ thuộc vào các lực chủ động tác dụng lên vật khảo sát Do đó việc xét cấu trúc của các liên kết không cho phép xác định độ lớn của các phản lực liên kết mà chỉ cho biết phương chiều của ching
mà thôi : , , ,
Sau đây trình bày cách tìm các đặc trung của phản lực liên kết đối với một số liên
kết cơ bản thường gặp :
a) Lién hết tựa (hinh 1- 6):
Hai vật trực tiếp tựa lên nhau tạo thành liên kết tựa
Cy | n * ewe i Zz > ASX 2 Hình 1-6 CKT.TI -9
Trang 10
Với giả thiết bỏ qua ma sát, liên kết tựa cản trở chuyển động của vật khảo sát theo , phương vng góc với mặt tiếp xúc chung, chiều đi từ vật gây liên kết vào vật khảo sát
Phân lực liên kết thường ký hiệu là Đ có một yếu tố chưa biết là trị số
b) Liên kết dây mền: (hình 1-7):
Liên kết thực hiện bởi dây mềm không dan Liên kết đây mềm cản trở chuyển động của vật khảo sát theo chiều kéo căng dây Phản lực TỶ của dây hướng đọc theo dây về phía điểm treo va cd mot yếu tố chưa biết là độ lớn Phan luc của liên kết dây mềm thường ký hiéu 1a T con được gọi là sức căng của đây
Hình 1-7 Hình 1-8
e) Liên hết thanh (hình 1-8): Sài tro
ˆ Tiên kết thanh cân trở chuyển động của vật khảo sát theo phương của thanh (bỏ qua trọng lượng của thanh) Phân lực có phương doc theo thanh Trị số của phản lực Ÿ của
liên kết thanh: chưa biết ` cao
d) Liên kết bản lề phẳng:
Liên kết bản lề phẳng gồm hai loại: liên kết bản lề đi động và liên kết bản lề cố định
Hình 1-9 Hình 1-10
Trang 11các lực: Trọng lực 8 đặt tại
Liên kết bản lề đi động (hỉnh 1-9): Bản lề di động cho phép vật khảo sát (vật B) quay
quanh trục bản lề và di chuyển theo phương song song với mặt tựa còn cản trở theo phương
vng góc với mặt tựa Phan lực liên kết Đ cớ phương vng góc với mặt tựa nhưng độ
lớn chưa biết Có thể giả định cho phản lực một chiều nào đó, nếu kết quả tính được mang
dấu đương (+) thì chiều giả định là đúng với chiều thực Kết quả-tính ra mang dấu âm
(-) thì chiều thực ngược với chiều giả định :
Liên kết bản lề cố định (hÌnh 1-10): Loại liên kết này chi-cho phép vật khảo sát (vật B) quay quanh trục bản lề còn mọi di chuyển khác đều bị cản trở Phản lực liên kết R có
trị số và phương chưa biết Để tiện cho việc tính tốn ta thường phân R thành hai thành phần % và Ÿ vng góc với nhau Lúc đó phản lực cũng có hai yếu tố chưa biết là hai
trị số của Ä và Ÿ R=Ñ + Ÿ :
Vi du 1-1: Khối trụ tròn đồng chất có trọng lượng 8 được đặt trên giá đỡ A và B đối xứng qua tâm O Hãy xác định tất cả các lực tác dụng lên khối trụ đó
Giải:
Trụ tròn được xem là
một vật khảo sát Hình dung tách trụ tròn khỏi hai giá đỡ
Trụ tròn chịu tác dụng của
tâm O hướng thẳng đứng
xuống phía dưới, các phản `
lực liên kết tựa N, ; N, dat
tại các điểm tiếp xúc với giá
- đỡ hướng vào tam O Nhu _, Hình 1-11
vậy, sau khi giải phóng các liên kết và thay bằng các
phản lực liên kết tương ứng, ta có thể xem trụ tròn như vật rắn tự do cân bằng dưới tác
dụng của hệ lực gồm các lực ( 8, Ñ , Đg) (Hình 1-11)
ví dụ 1-2: Cơ cấu nâng hạ có trọng lượng bản thân là Œ đặt tại S mang vật cần nâng
hạ có trọng lượng Ÿ (hình 1-12)
Trụ thẳng đứng AB của cơ cấu nâng hạ:
được liên kết bằng ổ đỡ B và ổ chặn A —] iE
Hãy xác định tất cả các lực tác dụng „ E
lên cơ cấu nâng hạ đó
Giải:
| Xem cơ cấu nâng hạ là vật khảo sát MÀ † G | Hình dung tách cơ cấu nâng hạ khỏi ổ đỡ Ads B và ổ chặn A, khi ấy cơ cấu nâng hạ chịu
tác dụng của các lực gồm: Các tải trọng G
P
ẠA
và Bp, phản lực từ ổ đỡ tác dụng lên trụ - ; : Hinh 1-12
thang dting tai B ( N,,) va phan luc tt 6
Trang 12
⁄
chặn tác dụng lên trụ thẳng đứng tại A (X,, Y,)
_ Như vậy sau khi giải phóng liên kết và thay vào đó các phản lực liên kết tưong ứng,
cơ cấu nâng hạ cân bằng dưới tác dụng của hệ lực gồm các lực (ở , P, Ñg, X, , Y, )
Vi du 1-3: Qua cầu đồng chất có trọng lượng Ở được treo vào mặt tường chắn thẳng
đứng nhờ đây OA (hình 1-13) Hãy xác định tất cả các lực tác dụng lên quả cầu
_ Giải:
Các lực tác dụng lên quả
cầu gồm có: Trọng lực Ở đặt
tại tâm O và hướng thẳng
đứng xuống phía dưới, phản
lực liên kết tựa Ñ (thay cho
liên kết tựa ở B) và lực căng
T của dây (thay cho liên kết dây) Như vậy, sau khi giải phóng các liên kết và thay
bằng các phản lực liên kết
tương ứng, ta có thể xem quả
cầu như vật rắn tự do cân Hình 1-13
bằng dưới tác dụng của hệ luc '
(T,N, &) a
Ví dụ 1-4: Vật nặng Ổ = 1000N treo thẳng đứng nhờ day AB (hình 1-14a) Hãy xác ' |
định: :
_a) Phan lực của dây đặt lên vật: c ⁄ b) Các lực đặt lên hai đầu của dây
e) Lực đặt vào điểm kẹp trên cùng của dây đ) Lực tương tác giữa 2 phần AC và CB của đây
Trang 13Giải:
Xét sự cân bằng của vật Thay liên kết của dây với: vật bằng sức căng T, của dây
Vì dây cân trở vật di chuyển xuống phía dưới nên phản lực TẠ hướng lên phía trên
(hỉnh 1-14b) Vật cân bằng dưới tác dụng của hai lực cùng phương, ngược chiều, cùng độ lớn (tiên đề 1), nghĩa là:
T, = Q = 1000N
Xét sự cân bằng của dây Đặt vào đầu dây phía dưới (diém A) luc T, (hinh 1-14c) Theo tiên đề 4, ta có: - —
T’, = T, = 1000N
_ Đặt vào điểm trên cùng của dây (điểm B) phản lực liên kết Ti Dây cân bằng dưới tác dụng của 2 lực Theo tiện đề 1, hai lực đó phải cùng phương, ngược chiều và cùng trị số, nghiã là:
, Tp =T' = 1000N
Lực T, đặt lên điểm kẹp trên cùng của dây hướng xuống dưới theo phương thẳng đứng, nghiã là về phía ngược với phản lực T, và có trị số bằng trị số của phân lực đớ: ˆ
Tp = Tp = 1000N
Trong ví dụ đang xét chỉ có trọng lượng của vật là ngoại lực còn tất cả các lực tương
tác còn lại đều là những nội lực ‘
Để xác định các lực tương tác giữa 2 phần của vật thé, người ta thường dùng phương
pháp mặt cát, nghĩa là tưởng tượng cắt vật thể bằng một mặt phẳng, tách vật thành hai
phần rồi đặt vào chỗ tách các lực tương ứng
Để xác định lực tương tác giữa 2 phần AC và CB của dây, ta hình dung phân dây thành 2 phần (cắt bằng một mặt phẳng đi qua điểm C), tác động của phần dây này lên phần kia được thay bằng các lực Tẹ = T”c (hỉnh 1-14,d)
- Xét sự cân bằng của một phần dây, phần dưới AC chẳng hạn Theo những điều đã
xét ở trên, ta có:
To =T’, = 1000N Cũng thế đối với phan trén BC:
Tc = Ty = 1000N nghĩa là hai phần của dây bị kéo bởi các lực như nhau:
T'e = T¿ = Q = 1000N
Trang 14
BÀI TẬP
“1- Thanh đồng chất AB cơ khối lượng m; liên kết bản lề cố định tai A và tựa lên tường
tai C Dau A của: thanh treo vật nặng có khối lượng m; (hỉnh 1-15) - Hay xác định hệ lực
tác dụng lên thanh vài
Đáp số: Xem AB như vật tự do cân bang dưới tác dụng của hệ: lực GP, Nes Bas Y,) G = mg va P’= my g
Hinh 1-15
_ 2- Hai thanh AC và BC không trọng lượng liên kết với nhau và với tường bằng các
bản lề sao cho thanh AC nằm ngang và thanh BC hợp với: tường góc ‹ a Tai C treo vat nặng Q Hãy, xác định ứng lực trọng các thanh (hinh 1- 16),
Dap sé: - Thanh AC chiu kéo với: SAc =9 tgzzˆ z _ Thanh BƠ chịu nén với: Sạc = a :
Trang 15
CHUONG Il
HE LUC DONG QUI
Hệ lực đồng qui là hệ gồm các lực có đường tác dụng gặp nhau tại một điểm - Trong chương này ta sẽ khảo sát các hệ lực phẳng đồng qui là hệ lực mà đường tác dụng của các lực nằm trong cùng một mặt phẳng và gặp nhau tại một điểm ˆ
VÌ các lực có thể trượt trên đường tác dụng của chúng nên khi xét hệ lực đồng qui ta trượt các lực về cùng một điểm đặt, chính là điểm gặp nhau của các đường tác dung của các lực tạo thành hệ lực đó (hình 2-1)
Hình 3-1 -
2.1- HOP LUC CUA HAL LỰC ĐỒNG QUI
Hợp lực R của 2 lực-đồng qui F, và F, (hinh 2-2,a) được xác định theo qui tắc hinh bình hành (hình 2-2,b) hoặc qui tác tam giác lực (hình 2-2,c)
Hình 9-9
Trang 16
Từ tam giác ADC (hình 2-2,b), ta cớ:
R? = Fi + Fj - 2F, F,cos(180°- a)
suy ra: , R =N Fƒ+ F2+ 2F, F, cosa: ‘ (2-1)
Để xác định phương chiều của hợp lực Ẩ, ta cớ thể dùng định ly ham Sin của tam
giác Ta cớ: l
Fy _ Fy _ R _ R
sine, sina, sin(180-a) sina
Kì
Do đó: sin # = PR sina ; (2-2)
Fy
có sina, = R sina (2-3)
- Bây giờ ta xét một số trường hợp đặc biệt thường gặp:
1- Hai lực F và F, cùng phương cùng chiều, nghĩa là khi góc a = 0° Hap luc bằng
tổng của 2 lực thành phần (hình 2-3):
| R=F,+F, : (2-4)
Trong trường hợp này các lực tác dụng theo đường thẳng về cùng một phía và hình
bình hành trở thàng đường thẳng r 1 : - : là RR o E R K— — —- Fy Hinh 2-8 F o R F ẹ : A B _ Hinh 2-4 Hinh 2-5
2- Hai luc F, va F, cing phuong nhung nguge chiéu Khi ấy gdéc a = 180°.-
R =\F?+ F- FF, = F,-F, _ (8)
Hợp lực bằng hiệu các lực thành phần và hướng về phía lực cớ trị số lớn hơn (hỉnh 2-4)
3- Hai lực F va F, vng góc với nhau (hinh 2-5) Do 1a trường hợp z = 90° Ta cớ:
R =VF?+ F2 | (2-6)
nghĩa là hợp lực được xác định bởi cạnh huyền của tam giác vng có hai cạnh vng
- góc là các lực F, va Fy
Trang 17
2.2- HỘP LỰC CỦA MỘT SỐ LỰC ĐỒNG ( Qui
Hgp luc của một số lực đồng qui được xác định bằng cách cộng liên tiếp các lực đó
theo qui tác hình bình hành lực (hình 2-6,a) Thoạt đầu cộng lực F; và F›, tiếp đó cộng
hợp lực Rị¿ với lực F; Cuối cùng, tổng hình học của hợp lực R¡+; với lực Fy cho ta nop
‘lye R của hệ lực
_ Hình 3-6 -
Tuy vậy, phương pháp cộng các lực trình bày vừa rồi khơng thật tiện lợi vì phải vẽ s nhiều Dùng phương pháp đa giác lực (hình 2- 6,b) dé tim hợp lực của hệ lực đồng qui tiện lợi hơn nhiều Khi ấy, hợp lực của hệ lực phẳng đồng qui bằng tổng hình học của các lực
đó - -
Tổng quát, hợp lực của he lực phẳng đồng qui fF, # gery uF, ) 1a lực :
@ La
Z
R= Ra Bức HN = cần
Hợp lực R là véc tơ có ó gốc là gốc của lực đầu : và mút là mút của lực cuối FS: Nhu vay, hợp lực Ẩ tạo với các lực thành phần của hệ đa giác kín
2.3- PHAN LUC THANH CAC LỰC THÀNH PHẦN
_Phân lực thành các lực thành phần là bài toán ngược với bài toán tÌm hợp lực
Rhi phân một lực đã cho thành hai lực thành phần ta xem lực đã cho là đường chéo
của hình bình hành cần xây dựng có các cạnh là các lực thành phần cần tim Tuy nhiên, - độ lớn và phương chiều của lực đã cho không đủ để giải bài tốn bởi vÌ cùng một đường chéo có thể vẽ được vơ số hình bình hành Dể nhận-được-lời giải hồn.tần xác định cần
phải có thêm hai điều kiện Ví dụ: _ TRƯỜNG ĐẠI HỌC -
, GIAO THONG VAN TẢI - CƠ SỞ 2
THU VIE perth -17
Trang 18
- Hai phương của các lực thành phần cần tim;
- Độ lớn của hai lực thành phần;
- Độ lớn và phương của một trong các lực thành phần;
- Độ lớn của một lực thành phần và phương của lực thành phần thứ hai Sau đây ta sẽ lần lượt xét các trường hợp nêu trên:
1- Phân lực đã cho thành hai thành phần theo hai phương chơ trước
Đây là trường hợp phổ ˆ '
biến nhất Ta hãy xét trường hợp này qua ví dụ giá đỡ (hình 2-7,a) Mơ hình khảo sát chứng ' tổ rằng trọng lượng của vật nặng gây ra trong thanh AB lực hướng từ điểm B tới điểm A và trong thanh BC lực từ C tới B Các hướng này được
vạch bằng các đường thẳng
xuất phát từ điểm B là điểm
đặt trọng lực Ở (hinh 2-7,b) Xây dựng hình bình hành cớ: Hình 37 `
đường chéo là lực Ể Muốn thế, từ mút của vée tơ luc P ta kế các đường song song với
phương tác dụng cho trước của các lực thành phần Các cạnh của hình bình hành dựng
được (với tỷ lệ xích chọn trước) cho ta độ lớn các lực tác dụng lên các thanh của giá
2- Phan hic R thanh hai lực thành phần R và Fo khi cho trước độ lớn của hai lực thành phan
_ đó,
Sau khi biểu thị lực với tỷ lệ xích
_ chọn trước, bằng cách dựng hình ta xác: định được phương chiều và đường tác
dụng của các lực thành phần F va F,
(hình 2-8)
Như ta.đã thấy trên hình vẽ, bài _ toán cố hai nghiệm Bài toán chỉ cớ
nghiệm khi thỏa mãn các điều kiện: F,+F,>R_
va F,-F,<R
3- Phan tich Ic R thanh hai lực thành phần
khi cho trước một véc tơ lực thành phan
(độ lớn và phương chiều)
18-CKT.TI -
Trang 19
Giả sử véc tơ lực thành phần cho trước là &) Thanh phần d thứ hái đŒ) nhận được
như là cạnh thứ hai của hình bỉnh hành | có đường chéo là Zz và một cạnh là a, ) thỉnh, 2-9)
4- Phân lực R thành hai lực thành
phần khi cho trước độ lớn của
một lực thành phần ( Ÿj) -và
phương của lực thành phần thứ
hai ( ÊÈ)
Sau khi biểu thị lực Ñ theo tỷ
lệ xích tùy chọn (hỉnh 2-10) và
phương củá lực F; (đường Ox), từ
điểm A, với khẩu độ compa bằng độ lớn của lực Fi quay cung tròn cắt Ox tại B và C Phương chiều của lực F, chiều và độ lớn của lực: F,
duge xác định nhờ tam giác lực OAB và OAC Rõ rang g bai tốn có hai lời giải
2.4- HỈNH CHIEU CUA LUC TREN CAC TRUC TOA BO
Hình 9- 10
Để giải các bài toán tinh hoc người ta còn dùng phương pháp giải tích Khi ấy cần phải xác định khơng phải chính bản thân các lực.mà là hình chiếu của chúng, trên các trục
toạ độ
1- Hình chiếu của lực trên hệ tọa độ vng góc
a
_ Giả sử lực Ÿ có đường tác dụng hợp với trục Öx của hệ toạ độ vuông góc xOy m một ¿ ese nhọn œ Cần xác định hình chiếu của lực F: lén truc Ox va Oy ¬
Hình chiếu của lực F lên một trục là độ dài đại số của đoạn thẳng giới hạn bởi hind _ chiếu của gốc và mút lực lên trục đó
Trang 20
Trong các công thức (2-8): ø là góc nhọn hợp bởi đường tác dụng của lực Ÿ với trục
Ox `
Hình chiếu mang đấu (+) khi chiều từ điểm chiếu của gốc tới điểm chiếu của mút cùng chiều với chiều dương của trục Hình chiếu mang dấu (-) trong trường hợp ngược lại
Hình chiếu F, và Fy có cùng đơn vị
với đơn vị của lực
Trường hợp đặc biệt khi lực song
song với trục thì trị số tuyệt đối của hình chiếu lực lên trục bằng trị số của lực; cịn khi lực vng góc với trục thì hình chiếu
của lực lên trục bằng khơng Chẳng hạn,
trên hình 2-12, ta cớ:
F,=0; Fy=F, va FP, =-F,; Py =0
Khi biét hai hinh, chiếu F, va Fy cua
luc Flen truc Ox va Oy, ta hoàn toàn xác
định được lực F:
Hinh 2-12
- Trị số: P= YR+ F , — (2-9)
F, Fy
- Hướng: cosa = TT va sina = T (2-10)
2- Xác định hợp lực của hệ lực phẳng đồng qui bằng phương pháp hình chiếu
Hợp lực của hệ lực phẳng đồng qui cớ thể tÌm được bằng phương pháp chiếu lực
Thoạt tiên ta xét cách xác định hợp lực của hệ lực đồng qui qua ví dụ hệ lực phẳng
Trang 21- Hình chiếu củá véc tơ hợp luc R lên các trục tọa vng góc Ịx, Oy là R_ nh có trị số
bằng tổng đại số hinh chiếu các vée t tơ lực thành me (Fi, Fae Fx ) va ay F + Fsy )
Re F, 4 + Fy + Fy: | =3 Fy
l _
Ry = Fy + Poy + pay = & Fy
Hợp lực Rcó tri sé: : (2-11) - và phương chiều: " n , n ZF 2 F, Rist” i, — Hy cảm 2-12 cosa = p= R va Sina = R R (2-12) Ví dụ 2-1: Cho hệ lực phẳng đồng qui gdm các lực có trị số: F, = F„ = 100N; F¿ lực đó Giát:
Chọn hệ trục tọa độ vng góc xOy như, hình vẽ Thoạt tiên ta xác định hình chiếu của từng lực -Luc F,: F,, = 100N ; Fy = 0 - Luc F,': F,, = F, cos 50° = 64,28N F;, = - F, sin 50° = - 76,6N
- Luc F, : Fa, = - Fy cos 60° = - 75N x
Fy, = - F; sin 60° = - 129, 9N 7 - Luc F, : F,, = - Fy cos 20° = - 187,94N
Fy = F,sin 20° = 684N.0 0 2 Hinh 2-14 |
Hình chiếu của hợp lực R lên cdc truc Ox va Oy sẽ là:
R, = F,, + F,, + Fy + Fy = 100 + 64,28 - 75 - 187,94 = - 98,7N Ry = Fy + Fy + Fs + Fy = - 76,6 - 129,9 + 68,4 = - 138,1N
Ta có trị số của hợp lực 8:
R =^V nộ +R =/c 98,7)? + (— 188,12
170N
và phương chiều của hop luc RK: -
1881 0 0 gg cọ
Sinz‹= —-—7 = — 0,812; Cosa = — xa = - 0,58
170 ee < 170
Như vậy; hợp lực R nằm ở góc phần tư thứ 3 với œ = 54°38'
CKT.TI - 21
Trang 22
2.5- ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG CỦA HỆ LỰC PHẲNG ĐỒNG QUI
Hệ lực đồng qui có thể thu về một hợp lực ( đ ) Do đớ, điều kiện cần và đủ để hệ lực đồng qui cân bằng là hợp lực của nớ bằng 0 ( K = 0)
Điều kiện cân bằng của hệ lực đồng qui có thể biểu thị hoặc dưới dạng hình học hoặc dưới dạng giải tích
1- Điều kiện hình học
Vi hợp lực của hệ lực đồng qui được xác định bằng vectơ tổng của đa giác lực của hệ nên hợp lực chỉ bằng 0 khi đa giác vectơ khép kín (điểm gốc của vée tơ lực đầu tiên cũng là mút của vectơ lực cuối cùng của hệ lực) Tính khép kín của đa giác vectơ lực là tiêu _ chuẩn hình học của sự cân bằng của hệ lực đồng qui Do do, hệ lực phẳng đồng qui cân bằng nếu sau khi cộng hình học ta thu được đa giác lực khép kín (hinh 2-15)
t
Ff
Hinh 2-15 2- Điều kiện giải tích:
Ta có thể rút ra điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng đồng qui dưới dạng giải tích từ - công thức (9-11); n n R=Rệ + R? = l (2 FA)" + (2 Fy)" =0 (2-18) | 1= mi - n n - nghĩa là R = 2 F, = 0 và R = Ð F„= 0 (2-14) =1 ` =1
Như vậy: Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng đồng qui cân bằng là tổng đại số hình
chiếu của các lực lên hai trục toạ độ vuông góc đều phải bằng 0
Hệ (2-14) được gọi là hệ phương trỉnh cân bằng của hệ lực phẳng đồng qui Người ta dùng nó để giải các bài toán vật rắn cân bằng dưới tác dụng của hệ lực phẳng đồng qui
Trang 23ˆ b) Phương pháp giải tích:
Ví đồ 2-2: Vật nặng có trọng lượng Œ được treo bằng 2 sợi dây: Một dây nằm ngang
còn một dây hợp với phương thẳng đứng góc Ø Tìm sức căng của các dây (hỉnh 2-16)
Gidi: ‘
Chọn vật nặng @ là vật xét cân bằng Các lực tác dụng lên vật cân bằng gồm: trọng lượng Ở, các phản lực liên kết là sức căng của các dây T và + Có thể giải bài toán theo 2 cách _ø) Phương pháp hình học: Vẽ tam giác lực khép kín T, Ty G, ta co: T, = Gtgổ và T;= cos B Chọn hệ trục tọa độ như hỉnh XE, = T - T; sin đ = 0 \š Fy = T, cos 8 - G =.0 Từ hệ phương trình trên, ta — duge: Hinh 2-16 G Tạ” sss8
Vi dụ 2-3: Sợi dây một đầu treo vật nặng Q = 400N được vắt qua ròng rọc cố định | D và đầu còn lại được buộc chặt và điểm B của giá ABC Hãy xác định ứng lực trong các,
thanh AB và BC của giá (hình 2-17) os
va T¡ = T; sin 8 = G tgổ Gidi:
a) Phuong phap gidi tich:
Tách nút B rồi xem là đối tượng cân bằng trong trường hợp của bài toán Đặt vào nút B hệ lục cân bằng gồm các lực: Trọng lực Ö của vật nặng truyền qua dây (ròng rọc cố định D làm thay đổi phương của lực nhưng không ảnh hưởng tới độ lớn của nó), các phản lực
liên kết thanh 83 ava Sac có chiều giả dinh nhu hinh 2-15,b _ "
Sau khi chọn hệ trục tọa độ vng góc xBy (hỉnh 2-17 sb), ta lập các phương trình cơn”
bang: ™ n | > F,, = Spc cos 45° + Q cos 45°-S,, = 0 (1) i=1 - | | oe “ D Fy = Sgc sin 45° - Q sin 45° = 0 (2) ~ i=]
Từ phương trinh (2) ta rit ra: Sp = Q = 400N -
Trang 24
Hình 3-17 Từ phương trình (1), ta cớ:
Spa = Spc cos 45° + Q cos 45° = 400 0,707 + 400 : 0,707 = 566N
Các ứng lực thanh Sac va kế a tinh được đều là số đương Điều đó chứng tỏ chiều gia định của Sac va 83 A đều đúng với chiều thực
Như vậy, thanh BC chịu ứng lực nén Sac = '400N còn thanh BA chịu ứng lực kéo 83 A
= 566N ca
.b) Phương pháp hình học:
Xét cân bằng của hệ lực đồng qui gồm 8 lực: Lực 8, các phản lực liên kết thanh S A va Sac Lực 8 đã biết còn các lực 53 BA Va Sac biét phuong: 83 BA Song song với BA, Sac song song với BC ~ oe
„Vẽ tam giác lực (với tỷ lệ xích xác định) Lực 8 được biểu thị bởi véctơ ab (hình 2-17,e) Từ gốc a của vectơ ab kẻ đường chỉ phương của S, a (song song véi BA) va từ mút b của vectơ ab kẻ đường chỉ phương của Ÿ) BC ong song với BC) Hai đường: chỉ phương đó cắt
nhau tại C 'Ta được tam giác lực khép kin abe Vécto be biéu thi Sac va vécto ca biểu thị
Spa: ,
-+ Từ hình 2-15,c ta thấy tam giác lực khép kín là tam giác vng cân Bởi vậy: - Snc=Q =400N
và Spa = Sos 45 = 0707 ‘= 566N
Khi giải bài tốn bằng phương pháp hÌnh học, các ứng lực 33 A va Sac có thể xác định
bằng cách đo các cạnh be và ca của tam giác lực rồi nhân với tỷ lệ xích đã chọn khi biểu
thị 8 Vì vậy, thơng thường độ chính xác của phương pháp hình học còn tùy thuộc độ chính
xác của việc vẽ đa giác lực
VÍ dụ 2-4: Piston A chịu tác dụng của lực P = 25Kn Thanh truyền AB hợp với đường
thẳng đứng góc 8 = 14° (hinh 2-18)
Xác định áp lực của piston lên thành xỉ lanh và lực tác dụng đọc theo thanh truyền
Trang 25
Giải:
Piston được xem là đối tượng ˆ
cân bằng Piston cân bằng dưới tác `
dụng của lực Ữ phản lực của xi
lanh lên piston Ñ và phản lực của
thanh truyền Ÿ (hỉnh 2-18,b)
ny”
Cac phương trình cân _ bằng a
của hệ lực cớ dạng: : oe — x =F =N- Sen t0 (0 non Hi SE, =8 cos 142 P =0 (2) Từ phương trình (2) rút ra: Ỳ Ể ga P.25 ` - oogld° 0/9708 - 7 = 25,8 kN - Bee ' Hinh 2-18 cà
Thay Ð vào phương trình (1), ta có:
N = Ssin 14° = 25,8 0,2498 ~ 6,4 KN ,
Áp lực của piston lên thành xilanh có trị số là 6,4 KN, cùng phương và ngược chiều với Đ, cịn lực tác dụng lên thanh truyền có, trị số bằng 25,8 KN, cùng phương và ngược chiều với &
BAI TAP
1- Dây treo vật có trọng lượng = 80KN được vắt qua ròng rọc A và giữ bởi tời D Ròng rọc A có bán kính khơng đáng kể (hình 2- 19) Xác định phản lực của các thanh AB và AC Bỏ qua ma sát ở rong roc, trong lượng của các thanh và của aay ,
Trang 26
2- Vật nặng P = 1000N được treö vào đầu C của thanh-CA Thanh CA được giữ cân bằng trong mặt phẳng thẳng đứng nhờ bản lề A và dây nằm ngang hợp với CA góc 45° (hình 2- 20) Tính sức căng của dây BC và lực nén thanh CA khi bỏ qua trọng lượng của thanh CA
1000N Đáp số: - - Sức căng của dây: ` To
.- Lựẽ nén thanh CA: Ñ„ = 1414N
8- Tại điểm B của giá ABC treo hai vat ning P = 3kN và Ñ = 1 kN (hình 2-21) Bỏ
qua ma sát tại ròng rọc D Hãy xác định ứng lực trong các thanh AB và BC của giá
- Đáp số: Sac = 0,683 KN Thanh BC chju nén
5.3 = 3,10 kN Thanh AB chịu kéo - ca
4- Quả cầu có khối lửợng lkg, tựa lên mặt phẳng nghiêng trơn tại điểm A và được giữ bằng dây mềm BC (hỉnh 2-22)
Xác định áp lực của quả cầu lên mặt nghiêng và sức căng của dây BC Góc "nghiêng
của mặt nghiêng z = 30°
_Dép sé: - Áp lực của quả cầu lên mặt nghiêng đặt tại A citing phuong, ngược , _chiều với phản lực tựa tại đó và có giá trị số bằng 8,66N
- 8ức căng ca day 5, = 5N
- \
7777777170805 SOOT |
Hinh 2- 2-22 Ti _ _ Hình 3-23
5- Tru tron đồng chất cố trọng lượng Ở = 60N đặt trên máng vuông ABC, vng góc
tại B Mặt AB của máng hợp với mặt nằm ngang một gúc 802 (hình 2- 28)
ác định phân lực của máng tác dung lên trụ tròn tại các điểm tiếp xúc D và E
Đáp số: Np =52N vaN, = 30N
26 - CKT.TI
Trang 27
CHUONG III
_ HỆ LỰC §ONGSONG
VA MOMEN CUA LỰC DOI VOI DIEM
Hệ lực song song là hệ lực có đường tác dụng của các lực song song với nhau VÍ dụ: các lực tác dụng lên cân, lên đòn gánh, lên thanh xà đơn hoặc lực tác dụng lên ô tô khi đứng yên
3.1- HOP HAI LUC SONG SONG
Hai lực song song có thể tác dụng cùng chiều hoặc ngược chiều Ta không thể hợp hai lực song song theo qui tác hình bình hành vì chúng khơng có chung điểm đặt Muốn hợp hai lực song song ta phái biến các lực này tương đương với hệ lực đồng qui
1- Hai lực song song cùng chiều:
Giả sử có 2 lực song song cùng chiều F dat 6 A va F, dat 6 B Can khang dinh hé
có hợp lực rồi xác dinh hgp luc do
- Để đưa hai lực song song về hai lực đồng qui tương đương, ta thêm vào A va B hai Í
lực , và Q, can bằng nhau Hợp 8, và F, được R,, hợp 8, va F, được: ER, (hinh 3- Ù-
Theo các tiên đề tính học, ta có:
(F,,F,) = (F pm, 8, @) =H, Ry
Vi R va R, là hai lực đồng qui có
hợp lực nên hệ F va F, có hợp lực
Để xác định hợp lực ta trượt R,
va R, vé diém đồng qui 0, được PP,
và R’, rồi lại phân R, va B, thanh hai lực như trước Các lực a ,va 8 2
triệt tiêu nhau, còn lại p ,va P, dat
tại 0, cùng phương và cùng chiều Hai
lực này có hợp lực đặt tại 0 với R,
=P +P, Vi P, =F, va P,= Ÿ, nên ta có: ở
R=F,+F, (3-1)
Trượt dọc Ÿ về Ở trên đường AB
Vì AACO ~ ATNO nên :
Trang 28
cB’ 9;
Vi ABCO ~ A KMO nên : CÓ“ +; 2
Chia (1) cho (2) với chú ý là: Q”¡ = Q;, ta có:
CA _ F2 CB TT, \2) `
Qua (3-2) ta thấy: C chia trong đường AB thành hai đoạn tỷ lệ nghịch với độ lớn của
hai lực đã cho :
Như vậy: Hai lực song song cùng chiều có hợp lực Hợp lực này song song cùng chiều với các lực đã cho, có độ lớn bằng tổng độ lớn các lực thành phần, cớ điểm đặt chia trong đường nối điểm đặt hai lực thành phần thành hai đoạn tỷ lệ nghịch với độ lớn của hai lực đó
Vi du 3-1: Tại hai đầu thanh AB dài 0,6m người ta treo vật nặng Ở, = 60kN và Ở,
= 20kN (hình 8-2,a) Xác định khoảng cách từ A tới gối đỡ C để thanh AB nằm ngang
Giải:
Thanh AB sẽ nằm ngang khi gối đỡ C trùng với điểm đặt hợp lực Ể của Gq, va G
8 G, xn | me mlk| § 4 A c B A Cc > a) Hinh 3-2 Rb) bò Dat AC = x, theo (3-2), ta có: x _ & _ 20 06-x G, 60
Sau khi giải phương trình trên, ta được: x = AC = 0,lỗm
VÍ dụ 3-2: Trên dầm AB đài 7m treo vật nang Q = 14kN Tìm khoảng cách từ gối
A tới điểm treo vật để áp lực tác dụng lên gối A có trị số F,.= ðkN _
Giải: | | oO
Khi ap luc tac dung lén gối À có | A, &
tri sé F, = 5KN, thi ap luc tac dung ot -
lên gối B sẽ là: _ Xx sl -
Fy = Q-F, = 14-5 = 9KN ^ | 2
| va B
Gọi khoảng cách từ điểm treo vật
tới gối A là x, theo (3-2), ta có: Hình 3-3
Trang 29
Giải phương trình trên, ta được: _ có ~ Re
_ B | -
x=4,5m | : L2
i
2- Hai lực song song ngược chiều
Giả sử có hai lực Fi va F, song ˆ song và ngược chiều, không cùng trị số
(chẳng hạn Fi > F, ) (hỉnh 3-4) Ta cũng '
chứng minh được rằng: Hệ (F, ; F, ) cd
hợp lực và hợp lực đó song song, cùng èthiều với lực có trị số lớn, có trị số bằng
hiệu trị số hai lực và có điểm đặt chia ngoài đường nối các điểm đặt của hai lực
đã cho thành hai đoạn tỷ lệ nghịch với trị
số hai lực ấy: “
F, /F, = CB/CA (8-8)
R=F,-F, (3-4)
Vi du 3-3: Hai luc song song ngược chiều Fi va F, (hinh 3-5) cd F, = 30KN, F, = 20kN, AB = 0,2m Xác định hợp lực của hệ lực Hình 3-4 Giải: | Theo (3-4), ta co: F, R = F, - F, = 80 - 20 = 10kN
Dat x = CA, theo (3-3) tacé: c A c
Giải ra, ta được: x = CA = 0,4m Hinh 3-5
3.2- PHÂN LỰC THÀNH HAI THÀNH PHAN SONG SONG
Phân lực thành hai thành phần song song là bài toán ngược với hợp bai lực song song
Lực cho trước được xem như hợp lực và dựa vào lực này để tìm các lực thành phần Hãy
xét một số trường hợp điển hình sau đây
: 4, , ⁄
Giả sử đặt lực tại C (hình 3-6) Cần phân lực Ở thành hai lực Fi va F, song song và cùng chiều với nó Biết trị số của lực F và điểm đặt tại A Trị số và điểm đạt của lực
thứ hai F, duge xác định từ các hệ thức sau:
= (+R) va CB F,
Từ đó, ta có:
Trang 30
—AC.F Fạ=P-F, và CB=—;
2
Ta cũng có thể phân lực Ở thành hai lực song song F¡ và.F; khi biết trước điểm đặt của chúng, nghiã là biết trước các khoảng cách AC va CB
Hình 3-6 — : _ Hình 8-7
Trong trường hợp đó trị số của các lực FE, va F, được xác định từ các đẳng thức sau:
CHm ` mt AC
Fi = Pag va 2 = PAB
Bằng cách tương tự, ta có thể giải bài toán phân một lực đã cho thãnh 2 lực thành phần song song và ngược chiều
Giả sử cần phân lực Ở thành 2 lực thành phần song song Fi và F, trong do F, (hinh 8-7) song song và ngược chiều với lực Ở, có đường tác dụng cách đường tác dụng của: lực
một khoảng CB " :
Theo điều kiện của bài toán, lực P ila hgp luc của các lực F và F, cần tìm có một trong các lực này là F, hướng ngược với Ở Từ cách hợp hai lực song song ta biết rằng hợp của hai lực song song ngược chiều cùng chiều với lực có trị số lớn Do dd, luc thanh phần thứ hai F;, chưa biết cần phải cùng chiều với Ở Gọi x là khoảng cách giữa hai đường tác dụng của lực F và lực cho trước Khoảng cách x và độ lớn của lực F được xác định từ các phương trình:
P=F,-F » 2.2
, TET AQ „ Về CB Fy
Giải các phương trình trên, ta được:
Đ
F, = P+F, va x => CB
Fy
- Ta cũng có thể phân lực Ở thành 2 lực thành, \ phần song song F và F, ( F, ngược chiều véi F, ¡và '), khi biết điểm đặt của các lực thành phần Fi va F, do Như vậy, theo _ điều kiện ‹ của bài toán, các khoảng cách CA và CB đã biết (hình 3-7) Độ lớn của các lực -
thành phần Fy va F, được xác định từ các phương trình (3-3) và (3-4): (7 CA
F,=P AB và F,=P+F,
Trang 31
3.3- MÔ MEN CỦA LUC DOI VOI MOT ĐIỂM
Thực tế chứng tỏ rằng một lực khi tác dụng lên vật rắn có thể khiến vật chuyển động hoặc tịnh tiến hoặc quay Để đặc trưng cho sự quay, ta dùng khái niệm mômen Xét mômen
của lực đối với một điểm là xét khả năng của lực làm vật quay quanh điểm đó
Giả sử có lực P (hình 3-8,a) tác dụng tại điểm A của vật rắn làm vật quay.quanh Oo Khoảng cách từ điểm O đến đường tác dụng của luc P gọi là cánh tay đòn của lực Tác dụng quay mà lực P gây ra cho vật phụ thuộc vào trị số của lực (P) và khoảng cách (h) từ điểm O tới đường tác dụng của lực (cánh tay đòn của lực) Còn chiều quay mà lực gây
ra cho vật có thể là ngược hay thuận chiều kim đồng hồ Đại lượng đặc trưng cho cả tác
dung quay và chiều quay đớ được gọi là mômen của lực đối với một điểm, cụ thể là: _Mômen của một lực đối với một điểm là một lượng đại số có giá trị tuyệt đối bằng
tích của trị số của lực với cách tay địn và có dấu (+) hay (-) tùy theo chiều quay của lực
8 quanh tâm O là ngược hay thuận chiều kim đồng hồ
m,(P) = +P.h | (3-5)
a)
Hinh 3-8
Chia y:
_- Mômen của lực đối với một điểm không thay đổi nếu di chuyển điểm tác dụng của
lực dọc theo đường tác dụng của nớ, ' ,
- Mômen của lực bằng không khi lực bằng không hoặc đường tác dụng của lực đi qua ' điểm lấy mômen
Thứ nguyên của mômen lực là: Nm,
Tm, KG.m
Vi du 3-4:
Tìm mômen của các lực F, va F, đối với các điểm A và B (hình 8-9) Biết F,
Trang 32
m,(F,) =-F,.Al=-F, “AC sina = - 10.2 sin 30° = 10 kÑm
m,(F,) =-F,.AD=-12.4 = -48kNm |
mạ(Ÿ) =F,.BK=F,.CBsina = 10.4 1/2 = 20 kNm mz (F,) = F,.BD'= 12.2 = 24 kNm
3.4- DINH LÝ VỀ MÔMEN HOP LUC DINH LY VA-RI-NHONG
Giả sử hệ gồm hai lực đồng qui F, va F, cd hap luc R dat tai diém đồng qui K Tim
mnômen của các lực F, , F, và hợp lực 8 đối với điểm O bất kỳ nằm trong mặt phẳng của
hệ lực đó (hỉnh 8- 10) - og
Hinh 3-10 0 0 | Hinh 3-11
Nối OE Qua O kẻ đường Oz vng góc với OE Từ các mút M, Ñ, Q của các lực F,, F, và R ké các dung Mm, Nm va aa vng góc với oz Nối các đỉnh của hình bình hành
lực với O, ta được các tam giác OM, OKN va OKQ
Qua (8-5) ta thay: ‘Momen’ của lực F, đối với O bằng hai lần điện tích tam giác ok, mô men của lực F, đối với O bằng hai lần diện tích tam giác OKN và mô men của ' hợp lực R đối với O bằng bai làn diện tích: tam giác OKQ Ta cd:
m,(F,) = 28,oxm = OK Om
“mo (F) = 28,oey = OK On
m,(B) = 28,oxq = OK Oq
~ Vi On = mq (hinh chiếu lên cùng một trục của hai cạnh song song và bằng nhau MQ
va KN của hình bình han luc KMQN), nén:
m, (F,) + mi, (F,) = OK(Om + On) = OK(Om + mq) = OK Oq = m,(R)
Trang 33
Nh vay: oom (Fp + m,(F) = m, (2) gy
Biểu thức (3-6) chứng tỏ rằng: Mômen của: hợp lực của hai lực đồng qui đối với một: | ' điểm bất kỳ nằm trong mặt phẳng của các lực > bang tổng đại số của mômen của các lực
thành phần đối với điểm đó
Kết luận trên đây đối với hai lực đồng ‹ qui cũng phù hợp với hệ lực phẳng đồng qui (F, , F., „ FE n) Ì vì ta có thể cộng liên tiếp các mơmen Do đó, nếu đla hợp lực của hệ lực - phẳng đồng qui Œ, F, s , Fs ta có:
n
m,(R) = m8 + 09+ “ + => m, (F) (3-7)
i=1
Bay gid ta xét trường hợp các lực song song:
Xét hệ gồm hai lực song song FE; ; F, và hợp lực của hai lực đó Tìm momen của các lực đó với điểm O bất kỳ nằm trong mặt phẳng của hệ lực (hình 3-11) :
Qua O kê đường thẳng vuông góc với các đường tác dụng của các lực Ff, ; F, va ¬ _ M6 men của các lực thành phần th, F, và của hợp lực Ñ đối với O lần lượt sẽ là:
_m o(F) | = ‘Fe Oa
m o(F) = = F, Ob m, (RB) = _R Oc
_` Theo(8-1), ta có: R=F,+F,
| mat khác: Oc = Ob + be “hin | 3- 11),
Do de: ml) = @ + F,) (Ob + be) = F,.Ob+F, “be + Fy Ob +.F, be
" b |
_ Vì: —.2 hodc F,.ca F, ca = F, cb, nén: :
- mẹ đ) — =F,.Ob+F,.be + F;.be + F,.Ob+F, ca
_ =4 (Ob + bơ + ca) + F; Ob
= F,.Oa+F,.Ob
hoặc: m,(R) = m,(F) + m, (F)) ._ 8-8)
Như vậy, đối với các lực song song, mômen của hợp lực đối với một điểm nào đó bằng tổng đại số mômen của các lực thành phần đối với điểm đó
Các đẳng thức (3-6), (3-7) và (3- 8 là cơ sở của định lý về mômen hợp lực + (dinh nly Va-ri-nhéng) sau day:
"Nếu một hệ lực phẳng có hợp lực thì momen của hợp lực đối với điểm bất kỳ nằm -
trong mặt it phang « của hệ lực bằng tong x mômen của các lực thuộc hệ đối + với 1 điểm đó”
n
mya = dmc,
i=l
Trang 34
Ví dụ 3-5: Xác định hợp lực của các lực song song F, = 300N, F, = 530N va F,.=
700N Biết khoảng cách giữa các đường tác dụng của các lực đó: a; = 80mm, a„ = 250mm (hỉnh 3-12)
Giải:
Gọi là hợp lực song song Œ, F, , F, ) Trị số
của R sẽ là: "
R =F, + F;-F, = 300 + 700 - 530 = 470N |
Hop luc R cd phương song song với các lực thành phần và hướng lên phía trên
Lấy tâm mômen nằm trên đường tác dụng của lực F Gọi x là cánh tay địn cần tìm của hợp lực Đ, ta có phương trình mơmen :
Rx = -F,.a, + F, (a, + a,) = - 530 80 + 700 (80 + 250) = 188600 N.mm Hinh 3-12
Ti dé ta dude: x = 401 mm
Dinh ly vé mhômen hợp lực cho phép ta xác định vị trí đường tác dụng của hợp lực của hệ lực phẳng song song Từ định lý đó ta suy ra điều kiện cân bằng của tay đòn
Tay đòn là vật rắn quay dưới tác dụng của lực quanh trục cố định Giao điểm của trục
quay của đòn với mặt phẳng tác dụng của lực gọi là điểm tựa Tay đòn được phâp,thành hai loại:
Loại thứ nhất: Diểm tựa ở giữa các lực tác dụng (hình 3-13,a) Loại thứ hai: Diểm tựa ở một phía của lực tác dung (hinh 3-13,b)
a) b) Fy Fy Fy F, a b a ⁄——2 Q 0 J z TY b ry anes I ‘Hinh 3-13
Diều kiện cần và đủ để tay đòn ở trạng thái cân bang là tổng đại số của mômen các
lực đối với điểm tựa phải bằng không: có
F,.a-F,.b=0 (3-9) -
Vi du 3-6: Thanh AB dong chat, nằm ngang, có trọng lượng Ở = 2N, cố thể quay quanh bản lề A (hình 3-14) Dầu B của thanh được treo bằng một sợi dây mềm vắt qua
ròng rọc cố định D, nhờ quả cân P = 3N Xac định khoảng cách từ bán lề Á.tới điểm cần | treo vật nặng 8 = 5N, để thanh AB cân bằng Biết chiều dài của thanh AB la L = 500mm
Trang 35
Giát:
Dat lên thanh AB tất cả các luc cho trước Xem thanh như một tay địn Lap phương
trình cân bằng của đòn: - ~ " GL x ma(Fi) = 0; ~P.L tpt Q.x= 0 L - P.L—C' 73 gø00— 2,250 Từ đó rút ra: x= a} = —g = 200mm x = 200 mm 1 Ã i PA + #8 A te Hình 3-14_
3.5- HOP LUC CUA MỘT SỐ LỤC SONG SONG TÂM CỦA HỆ LỰC SONG SONG
Nguyên tắc hợp hai lực song song có thể dùng 'để hợp các lực song song của hệ lực bất kỳ gồm nhiều lực song song
- Giả sử có hệ lực song song gồm các lực: Œ, F, F,, F,, F, ) trong đó các lực Fi, F., F, hướng về cùng một phía cịn các lực F,, F, hướng về phía ngược lại (hình 3- 1ð) Cần
phải xác định hợp lực của các lực do Thoạt đầu cộng hai lực F, vA F,, ta
được hợp lực R, dat tai B Tiép dd cong
R, véi F, ta duge hgp luc méi R, dat tai
C và hướng cùng phía với các lực thành -8~ j >
> Z 2 - -> ⁄, A, h
phần Dộ lớn của hợp lực R, bang: Ẻ of — `.ˆ J S
4 J! ar
R,=F,+F,+F, > K2 `_ 4z
RON `
Bây giờ cộng các lực F, va F, Hợp A
luc ota hai luc dé 1A R, = F, + F, dat Be L 3
tai diém D va huéng vé cing mét phia ĐÓ Ễ
với F, va F, Cuối cùng, dựa vào nguyên '
tác cộng hai lực song song ngược chiều ˆ
R, vA R, ta tim duge hop luc R của hệ
lực: ` + 7 ' Hinh 3-15
Trang 36- song song cân bằng là tổng hình chiếu của các lực
R=F,+F, + Bsr Fy - Fo = =F
_ Hợp lực R dat tai diém E Vi tri của điểm E được xác định từ dang thức sau đây: ED R,
R,
Phương pháp vừa trình bày có thé dùng dé tim hợp lực của hệ lực song song có số lực bất kỳ Qua đó ta thấy: Hợp lực của hệ song song bằng tổng đại số các lực thành phần tạo nên hệ
CE =
Điểm E được gọi là tâm của hệ lực song song
Đối với hệ lực song song cho trước nếu ta chỉ thay đổi phương của các lực thành phần song chúng vẫn song song với nhau, phương của hợp lực Ñ sẽ thay đổi theo nhưng đường tác dụng của R vẫn đi qua tâm E của hệ lực như trước Như vậy,:tâm của hệ lực song song chỉ phụ thuộc vào độ lớn và điểm đặt của các lực thành phân mà không phụ thuộc vào phương của các lực do
3.6- ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG CỦA HỆ LỰC PHANG SONG SONG
Điều kiện cần và đủ để các lực song song cùng nằm trong một mặt phẳng cân bằng là vectơ hợp lực phải bằng 0
Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng song song được biểu thị dưới dạng giải tích nhờ
các phương trình:
ZF, = 0, =F, =0, m, (F) = 0 (3-10)
nghĩa là: Dưới tác dụng của một hệ lực phẳng song song vật thể ở trạng thái cân bằng
khi tổng hình chiếu của tất cả các lực lên các trục tọa độ bằng không và tổng mômen của -
tất cả các lực đối với một điểm bất kỳ trong mặt phẳng chứa các lực đều phải bằng không
Xét hệ lực phẳng song song đŒ, F,, ty F )
Chọn hệ tọa độ vng góc Oxy có trục Oy song
song với các lực Khi đó rõ rang 1A 2 F, = 0 nên F, L
điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng song song có
thể biểu thị qua các dạng phương trỉnh cân bang "
dưới đậy: F MH¿
| %
1- "Điều kiện cần và đủ để một hệ lực phẳng
y
lên trục song sọng với chúng và tổng đại số c7
mômen của các lực đối với một điểm bất kÌ trong -“ Hình 3-16
mặt phẳng chứa các lực đều phải bằng không"
XFy,= 0 và mạ(Ể) = 0 — (1D
2- "Điều kiện cần và đủ để một hệ lực song song cân bằng là tổng đại số mômen của các lực đối với hai điểm bất kỳ trong mặt phẳng chứa các lực đều phải bằng không Đường thẳng đi qua 2 điểm bất kỳ đó khơng song song với phương của các lực"
Trang 37
lực tại các gối đỡ Á và B của trục
.song do trọng lượng của các
m.(Œ)= 0 va mg(F) = 0 (8-19)
Phương AB không song song với phương của các lực
3.7- XÁC ĐỊNH PHAN LUC TAI CAC GOI BO CUA DAM
Dam là vật rắn tựa trên các gối đỡ chịu tác dụng của tai trong Dam thường được biểu thị dưới dạng một thanh cứng tựa trên các gối đỡ có các lực tác dụng Các lực tác dụng lên dầm gây ra các phản lực tại các gối đỡ Các phản lực và ngoại lực hình thành hệ lực song song hoặc không song song Khi xác định phân lực tại các gối đỡ cần phải lập ‹ các
phương trình cân bằng
Hãy xét cách xác định phân lực tại các gối đỡ của dầm qua các ví dụ cụ thể dưới đây:
- { - Ví dụ 3-7: Xác định phản
quạt gió trên đó gắn 2 bánh công _ 6n 6,
tác có trọng lượng G¡ = G;.= ca J3 Zea _
B00N Khoảng cách giữa 2 bánh _ F“< - m -†—
= 250mm, khoảng cách từ —— VTA
bánh 1 tới gối dé A la L, = 350mm Khoang cach giita hai |
gối đỡ L = 1250mm (hinh 3-17)
Giác:
Cơ thể xem trục quạt gió
như một dầm tựa trên 2 gối đỡ
chịu tác dụng của các lực song
bánh và phản lực tại các gối gây nên Để tìm các phản lực đó cần
phải lập các phương trình cân _ - -
bằng của hệ lực phẳng song Hình 3-17
song TS
ER, = Rạ - G, - G, + Rụ =0 (a)
mạ (È) = - Gị.Úy - G; đụ + Lạ + Rp L = 0 (b)
“Tir (b) ta tim duge phân lực tại gối đỡ B: |
_ Gb, + G (1, + L,) _ 500 0,85 + 500 ( 0,35 + 0,25) _ ss0N
Rp = —b = 125 ao
Phân lực tại gối đỡ A tim được từ phương trình thứ nhất (a):
R, = G, + Gy - Ry = 500.+ 500 - 380 = 620 N
Vi du 3-8: Dầm nằm tự do trên hai gối dé A và B chịu tác dụng của các tải trọng ' thẳng đứng F = 2kN; F, = 3kN và F, = 2,BkN Xác định phản lực R, va R, tại các ˆ CKT.T1 - 37
Trang 38
-các phản lực thẳng đứng từ đường
gối A và B Biết a; = Im, a, = l,õm, a, = 2m Khoảng cách giữa 2 gối đỡ L = 5m Trọng
lượng 1 mét dầm bằng 200N Dầm dài 5,5m
(hinh 3-17)
Trọng lượng bản thân của dầm; G = 0,2kN 5,5 = 1,1 kN
Dầm cân bằng dưới tác dụng của các lực ' thẳng đứng F F,, F,, (dat tại điểm giữa của
dam) và các phản lực cần tỉm Ra và Rp Để
xác định các phân lực đó ta lập các phương trình cân bằng của hệ lực phẳng song song
Hình 3-17 m, (F) = Ry L-F,.a;-F, ata) -GL2-F; (a, +a, ta) = 0
Rg 5-2.1-3.2,5-1,1.2,5-2,5.4,5 =0
Ry = 4,7 KN
mg (F) =F, G-a) +F,(L-a,-a,) +F;L-a,-a-a)-R,.L=0
2.44+3.2,5 +1,1.2,5+2,5.0,5-R,.5=0 R, = 3,9 KN
Ví dụ 3-9: Cơ cấu nâng đơn giản - có sơ đồ như hỉnh vẽ Trọng lượng của cơ cấu G = 6kN, đối trọng K =
2kN, trong lượng vật nâng Q = 3kN
Xác định phản lực từ đường ray tác dụng lên hai bánh xe của cơ cấu nâng Biết a = 0,4m; b = l,2m; c = 0,4m và d = 2m (hình 3- 18) Giải:
Cơ cấu nâng cân bằng dưới tác eh
dụng của các luc da biet R, G, GF va
ray tác dụng lên hai bánh
R, va Rg Cơ cấu chịu tác dụng của
hệ lực-song song Theo điều kiện cân
bằng của hệ lực phẳng song song, ta
Trang 39—2.04-6.1/2+ Rp (12 + 0,4) - 81,2 + 0,4 + 2) = 0
Rg = 10,75 KN.’
Chú ý là khi viết các phương trình cân bằng ta giả thiết các phản lực By v va z, hướng lên, kết quả tính được phản lực R2 có thể mang dấu dương, mang dấu âm hoặc bằng không Nếu hộ A = 0 điều đó có nghĩa cơ cấu chỉ tựa lên ray B, còn ở ray A cần trục sắp sửa rời khỏi mặt ray Do là trạng thái cân bằng giới hạn
Áp lực của cần trục lên ray cùng phương, ngược chiều với phản lực và có trị số.bằng độ lớn của phản lực
BÀI TẬP
1- Xe ô tô vận tải có sơ đồ như hình vẽ (hinh 3-19)
a) Khi xe không tải, trục bánh trước của xe chịu tác dụng lực 1,BðkN và trục bánh sau
chịu tác dụng lực 1kN ,
Xác định khoảng cách từ trọng tâm của xe tới trục trước
-b)} Dé thay thế bánh sau, người ta dùng kích kê ở cuối xe Xác định lực đỡ của kích khi xe tì lên ở trạng thái nằm ngang
_ Đáp số: - Trọng tâm xe cách trục trước một khoảng x = 1,6m -
- Lựe đỡ của kích F =0,8kN Ỷ 2 oe [a ao Fr x96 4F o củ = + i 20Âm 20Cmơ - 8
aor: AT arn 8 ras i 2Ì 1 — L >
Hinh 3-19 Hinh 3-20 Hình 3-91
2- Xác định hợp lực của hệ lực song song nằm trong cùng một mặt phẳng Biết F, =
100N; F, = 180N; Fạ = 200N Khoảng cách giữa các lực cho như hình vẽ (hình 3- 20)
Đáp số: Hep lực R song song, cùng chiều với F,, cố độ lớn R = 120N, nằm bên
phải F, va cach F, mét khoảng x = 366,66mm
3- Dòn AB tỳ lên điểm tựa O cân bằng dưới tác dụng của các lực F, = 1,2kN; F =
0,6kN Khoảng cách từ đường tác dụng của các lực đó tới điểm tựa O là a = 360mm, b= 375mm (hình 3- 21)
Trang 40
Xác định lực F, cần đặt vào đầu B của đòn để đòn cân bằng, nếu chiều dài của đòn L = 960mm Khi ấy phan lực R tại gối tựa O bằng bao nhiêu ? (Bỏ qua trọng lượng của
đòn) , Đáp số F; = 345N va R = 2145N > | - + + = 4- Dầm có chiều dài L = öm nằm tự do > A 1 b Ke 3 4
_tyên hai gối đỡ A và B dưới tác dụng củacác Mo |
_ lực thẳng đứng F, = F, = 3kN, Bs = A E ,
1,5KN; F, = 24k | | z Lag a
_ Xác định phân lực tại các gối đỡ Biết L + a = 1,8m; b = 0,9m;c = 0,9m (hinh 3-22)
Lap = 4,5m; L = 6m Dap sé:
R, = 1,9 KN; Ry = 8kN Ca hai phan
luc HN và R, đều hướng lên phía trên Hình 3-29