UBND HUYỆN TIÊN DU PHÒNG GD & ĐT HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2022 – 2023 Mơn: Tốn - Lớp Câu Đáp án 1.a (1,5 điểm) Điểm 1 1 1 1 A 3 3 4 5 5 1 1 1 1 2.3 3.4 4.5 5.6 1 2.3 3.4 4.5 5.6 1 2 1 2 1.b (1,5 điểm) B 3 0,5 1 1 1 1 3 4 5 6 1 6 0,5 0,5 0,5.0, 3 1 4 : 3 3 3.5 15 27 1.c (1,5 điểm) 64 92.84 C 12 3 25 22 1 : 3 0,75 0,5 0,25 25 2.3 34.212 124 25.24.34 212.34 22.3 29.34 212.34 28.34 29.34 23 14 2.a (1,5 điểm) 0,5 0,5 28.34 0,5 1 : x 3 1 2 : 2x 3 3 : x 1 2x x 3 x 3 x x 1 1 x ; 3 Vậy 2.b (1,5 điểm) x 25 1 x x x 25 x 225 Vậy x 15 x 14 x 15 x 16 x 14;16 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,5 0,25 0,5 0,25 (2,0 điểm) ab b c 0 Cho số có hai chữ số ab; bc thỏa mãn bc c 2 a b a 2 Chứng minh b c c ab b c 0 + Với số có hai chữ số ab; bc thỏa mãn bc c Ta có: ab 10a b 10a b b 10b c c bc 10b c 0,25 Áp dụng tính chất dãy tỉ số được: 10a b b 10a b b 10a a 10b c c 10b c c 10b b a b a b2 a b a Từ b c b c b c c 0,5 0,5 Áp dụng tính chất dãy tỉ số được: a b2 a a b2 b2 c2 c b2 c2 a b2 a 2 Vậy b c c 0,5 0,25 4.1 (2,0 điểm) Cho tam giác ABC có AB AC Tia phân giác góc A cắt cạnh BC điểm I Trên cạnh AC lấy điểm D cho AD = AB a) Chứng minh BI = ID b) Tia DI cắt tia AB điểm E Chứng minh IBE IDC Từ suy BD // CE c) Gọi H trung điểm EC Chứng minh AH BD d) Cho ABC 2 ACB Chứng minh AB + BI = AC A D B C I 0,5 H E Vẽ hình đúng, ghi GT- KL đủ ABI ADI c.g c + Chứng minh BI ID (hai cạnh tương ứng) 4.2 (1,5 điểm) ABI ADI cmt ABI ADI + Mà ABI IBE 180 ; ADI IDC 180 (kề bù) IBE IDC IBE IDC g c.g Chứng minh 1800 BID IBD + IB = ID (cmt) IBD cân I 1800 CIE ICE IBE IDC cmt IE IC ICE cân I Mà BID CIE (đối đỉnh) nên IBD ICE mà hai góc so le nên BD // CE 1,0 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 4.3 (1,5 điểm) IBE IDC cmt BE DC Mà AB = AD AB BE AD DC AE AC AEH ACH c.c.c AHE AHC Chứng minh Mà AHE AHC 180 (kề bù) AHE 900 AH EC Lại có EC // BD (cmt) AH BD + 0,25 0,5 0,5 0,25 4.4 (1,5 điểm) ABI ADI cmt ADI 2.DCI + Có ABC 2 ACB hay ABI 2.DCI , mà (1) + Lại có ADI góc D DIC ADI DCI DIC (2) + Từ (1) (2) DCI DIC DIC cân D DI DC Mà DI = BI, AB = AD nên AB + BI = AD + DC = AC (đpcm) 0,5 0,5 0,5 5.1 bảng A (2,0 điểm) a) Cho A A 1 1 1 98 100 A 50 7 7 7 Chứng minh 1 1 1 98 100 7 7 7 Ta có: 1 1 1 A 7 98 100 7 7 7 1 1 49 A 1 96 98 7 7 1 1 1 1 1 49 A A 96 98 98 100 7 7 7 7 7 50 A 1 100 A 50 Suy đpcm 5.2 bảng A (2,0 điểm) 0,5 0,5 0,5 0,5 Tìm tất số tự nhiên m n thỏa mãn 2m 2021 n 2020 n 2022 Với m, n số tự nhiên thỏa mãn 2m 2021 n 2020 n 2022 Ta xét ba trường hợp sau: Trường hợp 1: n 2022 , ta có: 2m 2021 2n 4042 0,25 0,5 2m 2n 6063 m m 0 n 3032 tm Vế phải số lẻ, mà 2n số chẵn số lẻ Trường hợp 2: 2020 n 2022 , ta có: 2m 2021 n 2020 2022 n 2m 2019 (vơ lí) Trường hợp 3: n 2020 , ta có: 2m 2021 4042 2n 2m 2n 2021 m m 0 n 1010 tm Vế phải số lẻ, mà 2n số chẵn số lẻ Vậy m = 0, n = 3032 m = 0, n = 1010 thỏa mãn 0,5 0,5 0,25 5.1 bảng B (2,0 điểm) 99 100 A A 99 100 36 7 7 Cho Chứng minh 99 100 A 99 100 7 7 99 100 1 A 7 99 100 7 7 7 99 100 1 98 99 7 7 99 100 99 100 A A 98 99 99 100 7 7 7 7 7 1 1 100 A 1 98 99 100 7 7 7 1 1 B 1 98 99 7 7 Đặt 1 1 B 7 98 99 7 7 1 1 7 98 7 7 1 1 B B 98 7 7 B 7 99 7 B 0,75 1 1 98 99 7 7 0,75 Lại có: 100 7 B 6A A 100 36 5.2 bảng B (2,0 điểm) A B 0,5 Tìm tất số nguyên dương a1 , a2 , , an b (n số nguyên dương đó) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: b a1 a2 an i) ii) 1 1 1 2 1 1 b a1 a2 an Vì a1 , a2 , , an b số nguyên dương (n số nguyên dương đó) thỏa 1 1 1 b a1 a2 an b 3 1 * b b 3 b mãn 0,75 Lại có: a1 a2 an 1 1 a1 a2 an 0 a 1 1 1 0 a2 1 1 1 ** a1 a2 an 0 a n 0 1 1 1 2 1 1 Từ (*) (**) suy điều mâu thuẫn với a1 a2 an b Vậy ko tồn số nguyên dương thỏa mãn 0,25 0,75 0,25 Chú ý: Học sinh làm đến đâu giám khảo cho điểm đến đó, tương ứng với thang điểm HS trình bày theo cách khác mà giám khảo cho điểm tương ứng với thang điểm Trong trường hợp mà hướng làm HS kết đến cuối sai sót thi giám khảo trao đổi với tổ chấm để giải Tổng điểm thi không làm tròn -Hết -